Kleine Mi tteilungen 537

HLEINE MITTEILUNGEN

ZAMM 60, 537 -539 (1980)

K. ZIMMER

Ein Beitrng zur qiierisotropen Platte mit grollen Verformungen

I . E i n l e i t u n g

Ein qucrisotropes Werkstoffverhalten zeigen 11. a. Bauteile aus faserverstiiirkten Plasten. Unt.ersuchungen haben ergeben, daB der EinfluB aus der Querisotropie auf die Durchbiegung nicht niir mit dem kleiner werdenden Plettenverhlltnis a/h sehr groB wird, sondern auch bei dunnen Platten, aber groBem GIG, [l].

Die verbesserten Plattentheorien, die von REISSNER [2 ] und KROMN [3] cntwickelt wurden, konnen die Querisotropie im Gegensatz zur klassischen Plattentheorie, die nur fur E, = 00

und 0, = co gilt, erfassen. Ihre Fehlergrenzen konnen fur die querisotrope, rechteckige Platte mit kleinen Durchbiegungen mit Hilfe einer strengen Losung, die in [4] entwickelt wurde und in [5 ] in einer kurzgefalten Form enthalten ist, festgelegt wer- den.

Als Grundlage fur die im folgenden dargelegte nichtlineare Theorie querisotroper Platten diente eine in [6] entwickelte nichtlineare Plattentheorie, die eine Berucksichtigung der Quer- schiibverzerrungen gestattet.

2. Differ e n t i a 1 g 1 e i c h u n g s s y s t e m d e r q u e r i s o t r o p e n , r e c h t e c k i g e n P l a t t e m i t g roBer D u r c h b i e g u n g

Fur die Herleitung des Differentialgleichungssystems werden die Ansatze

sowie die Voraiiwetzungen w = w(z1. 22) , U' > u, 2) , (.2;) = 9'(T3) 9 ( 2 ) und daB die FILchenlast p(z , , z2). die an der Laibung z3 = -h/2 angreift, stetig verteilt sein soll, verwendet.

Mit den Beziehungen (1) wird der Genauigkeitsgrad der Theorie nicht eingeschriinkt, sondern es wird nur die Losungs- form festgelegt [3]. Fur die Verteilungsfunktionen q ( a ) und f(r3) werden uber ihre Form (2. B. parabolische Verteilung fur f(r3)) keine Festlegungen getroffen. Sie werden so bestimmt, daB die Spannungen und die Verzerrungen die Vertriiglichkeits-, dic Gleichgewichts- und die vorgegebenen Randbedingungen erfdlen.

Fur die Beziehungen der Verzerrungskomponenten und des HooKmchen Gesetzes, fur die Gleichgewichtsbedingungen am verformten Korperelement und fur die Beziehungen der auf die Schnittlingeneinheit bezogenen Schnittkrafte wurden die be- kannten Gleichungen der Elastizitatstheorie benutzt [ ll.

Unter Berucksichtigung von (1) und (2) erhllt man dann aus diesen Gleichungen das vollstiindige Differentialgleichungs- system fur die Bestimmung des Spannungs- und Verformungs- zustandes der querisotropen, rechteckigen Platte rnit groBer Durchbiegung, die durch eine beliebige FILchenlast beansprucht wird. Es Iantct 111:

Das Differentialgleichungssystem (3) lLBt sich nach eiriern Verfahren, das in [3] ausfuhrlich dargelegt und auf ein Lhnlich aufgebautes System angewendet wurde, losen. Die Funktion ?/)(a;) wird so best,immt, daB sie die Grenzbedingungen

iind die Beziehung

+ hI2 f f b 3 ) d.., = 1 (7) - I I p

befriediat und (3) identisch erfullt. Das hat zur Folee. daB im GegensGz zur klassischen Plattentheorie, die info16 her Ver- nachlassigung der Querschubverzerrungen nur den Zustand der ausgebogenen Platte kennt, zwei Falle betrachtet werden miis- sen: die ansgebogene (w f 0) und die eben bleibende Platte (w = 0). Die Funktion tp(z3) wurde so normiert, daB die in den Gleichungen fur die Verschiebungskomponenten auftretenden Integrationskonstanten die Versrhiebungskomponenten der Plattenmittelfliiche darstellen.

3. D i e a u s g e b o g e n e P l a t t c (w + 0)

Fur die Funktion y(z3) folgt [l]:

1 2 -

h h ' - - tanh - 21 21

I n dieser Formel ist I eine noch zu best,immende Konstante. Setzt man (8) in (3) ein und beachtet, daB diese Gleichungen fur jedes z, identisch erftillt sein mussen, dann erhiilt man die folgenden drei Gleichungssysteme mit je zwei Gleichungen:

ni, i -1 n j i . j = 0 , (9)

1 + p = O .

Aus (10) und (11) bekommt man die Bezieliungen fur die Querkriifte

qi = - -R( l ) A w , ~ (12)

mit 2 ~ 1 3 K(1) = - (" - t a n h h ) . 1 - v2 21 21

Fiihrt man nun (12) in (4) ein, dann folgt einc Differentialglei- chung fiir die Durchbiegungsfunktion w und fur die Norinal- krafte der Plattenmittelflache :

K(1) AAw = p(zl, zz) + nlw,ii + n22u,22 + 2n,,u:12. (14)

Die Gleichungen (9), die in ihrem LuBeren Aufbau rnit den Gleichgewichtsbedingungen der Scheibe (ohne Volumenkrifte) iibereinstimmen, konnen durch die Einfuhrung einer Spannungs- funktion @(q, za) erfallt werden, die mit den Normalkriiften der Plattenmittelf lache bekanntlich folgendermaBen ziisammen- hiingt :

n, = h @ , j j , n I 2 = --h@,12. (15)

Kleine Mitteilungen -

Als Bestimmunjisgleichung fiir die Spannungsfunktion @ cr- halt man dann [ 11 :

Die Gln. (14) und (16) lassen sich auch in der folgenden Form darstellcn:

K(1) AAw = p + hL(w, @) , E v AA@ = - - [ -5 Ap + L(w, zu)] 2 E3

(17)

mit L(w, @) = w,11@,22 + w,zz@,11 - 2w,12@,12.

Die Gln. (17) stellen die Grundgleichungen der querisotropen Platte mit grol3er Durchbiegung dar. Sie unterscheiden sich von den Gleichungen, die ohne Berucksichtigung des Einflusses der Querschubverzerrungen und Querdehnungen auf den Span- nungs- und Verformungszustand zuerst von K h ~ h aufge- stellt wurden und z. B. in [7] auf Scite 40 enthalten sind, nur durch eine allgemeinere Plattensteifigkeit K(Z), die fur I -+ co den Wert

K =

annimmt, und ein zusatzliches Glied in G1. (17.2) infolge der teilweisen Berucksichtigung dcr Querdehnungen, das fur eine konstante Belastung Null wird.

Zur Bestimmung der Konstante 1 wird (12) in (10) oder (11) eingesetzt. Es folgt dann das Gleichungssystem

Ehs 12(1 - v2)

E p 1 - v Awl = 0 , [2

Ahw - v3 T- + - h3 K(Z) l2 .i

das man fur die Bestimmung der Grode 1 verwenden kann. Wenn fur die Bestimmung von 1 der EinfluB infolge der groDen Verformungen vernachlassigt wird, dann folgt rnit Berucksichti- gung dcr GI. (17.1)

(19)

Fur E3 = co benotigt man diese Voraussetzung nicht. Deshalb durfte der Fehler, der bei der Bestimmung von I nach (19) entsteht, nicht gro6 werden.

Die Gln. (19) stimmen mit denen in [4] uberein, die dort fur die querisotrope Platte mit kteinen Verformungen abgeleitet wordcn sind. Aus (19) folgt auderdem, dad die Funktion w ( 9 , z2) und wegen (17) die Lastfunktion p(zl, 2%) und die Spannungs- funktion @(q, z2) zu einer bestimmten Gruppe, und zwar zu der der Kreis- und Hyperbelfunktionen gehoren miissen, die in [3] angegeben sind. Bei Anwendung dieser Funktionen lassen sich die Gln. (19) auf eine Differentialgleichung reduzioren, die Vereinfachungen in den Formeln fur die Verschiebungen, Span- nungen usw. zur Folge hat [3]. Sctzt man (17.1) in (18) oder (19) ein, so sieht man, daB im Gegensatz zur linearen Platten- theorie die Konstante I nur dann gegen unendlich geht, wenn gleichzeitig die Lastfunktion p und der Operator L(w, @) kon- stante Werte, die auch Null sein konnen, annehmen. Dieser Sonderfall kann ahnlich dem der Iinearen Piattentheorie mit Beriicksichtigung der Querschubverzerrungen und der teilweisen Berucksichtigung der Querdehnungen behandelt werden [3].

4. Die eben bleibende P l a t t e (w = 0)

Fur w = 0 folgt aus (3) das Differentialgleichungssystem

+ P!Y”(~J 3- h(ni,a’ + W,j) = 0 . (20) Die Funktion y(x3) wird wieder so bestimmt, daf3 sie die Be- ziehungen (6) und (7) befriedigt und das Gleichnngssystem (20) identisch erfullt. Man er&lt [l]:

1 2 h y(zJ = - - (-1)k sin (2k - 1) 5, k = I, 2, 3, ... (21)

Setzt man nun (21) in (20) ein und beachtet, dad diese ffir jedes z3 identisch erfullt sein miissen, dann erhalt man zwei Glei- chungssysteme rnit je zwei Gleichungen: ni, i + nji, j = 0 , (22)

(23) n ‘ G , (2k - 1)- h ] -- G qc = __ 1 - v +Y(l - 2 2 y 3 $ ) p , i .

Fur die Herleitung der Gln. (23) wurde die GI. (4) benutzt, die fur 20 = 0 in die einfache Form

q u + q2,2 + P h 4 = 0 (24) ubergeht.

Die Gln. (22) konnen wieder durch die Einfuhrung rincr Spannungsfunktion @ erfullt werden. Fur @ erhiilt man dann eine Bestimmungsgleichung, die rnit (16) fur %J = 0 uberein- stimmt. Da sich die Losung aus den Ergebnissen der ausge- bogenen und eben bleibenden Platte zusammensetzt, kann man den ebenen Spannungszustand bei der eben bleibenden Platte weglassen, weil dieser von dem Zustand der ausgebogenen PIntte erfaBt wird.

Von dem Differentialgleichungssystem (23) und (24) wird nur die homogene Losung ( p = 0) verwendct, da man davon aus- gehen kann, darj die Last p von der partikularen Losung dcr ausgebogenen Platte berucksichtigt wird.

Fur die Auflosung des Gleichungssystems (23) und (24) wird eine Querkraftfunktion Q(q, z2) eingefiihrt [S]. Alu Bestim- mungsgleichung fur Q foIgt [l]:

k = l , 2 , 3 ,.... (25)

Die Konstante, die bei der Herleitung der Differentialglcichung (25) auftritt, kann man gleich Null setzen, weil nur die Ablei- tungen der Querkraftfunktion zur Berechnung der Verformnngs- und Spannungskomponenten benotigt werden [3,4].

Fur vide nichtlineare Probleme kann man auf die Losung der eben bleibenden Platte verzichten, mit der Spannungskonzen- trationen am Rande von Ausschnitten genauer erfaBt und die Randbedingungen erfiillt werden konnen, ohne daB eine Ersatz- querkraft eingefiihrt werden mud. Es wird dann nur die Losung der ausgebogenen Platte berucksichtigt. In diesen Fallen erweist sich die Aufspaltung in die Zustiinde fur w .t. 0 und w = 0 als sehr zweckmiidig, weil trotz Beriicksichtignng der Quersrhub- verzerrungen und der teilweisen Berucksichtignng dcr Querdeh- nungen die Losungen nicht komplizierter aufgebaut sind als die der klassischen nichtlinearen Plattentheorie.

5. Auswertung

Im folgenden wird der EinfluB aus dcr Beriicksichtigung dcr groBen Verformungen auf die Durchbiegung w bei einer quer- isotropen Kreisplatte, die durch einc konstante Flachenlnst be- ansprucht wird und am Rand gestiitzt ist, untcrsucht. Es wer- den die zwei Falle 1. frei verschieblicher Rand in radialer Rirhtung

w = o , r n r = 0 , u r o = o ,

w = o , m,=O, u , = O , 2. unverschieblicher Rand in radialer Richtung

fur r = a (a - Radius der Kreisplatte) betrachtet. Die Rand- bedingungen mrp, = 0 und zrp, = 0 sind infolge der Rotations- symmetrie identisch erfullt.

Fur Rotationssymmetrie und konstante Belastung folgt aus (17) ein verhaltnismiiBig einfach aufgebautes Differcntialglei- chungssystem fur die querisotrope Kreisplatte zur Bestimmung der Durchbiegungsfunktion w und der Spannungsfunktion @ [I]:

K - = - + - - - dAw p r h dwd@ __ dA@ - _ - _ - E’ (dW)Z (28) dr 2 r dr dr ’ dr 2r dr *

Dieses Gleichungssystem unterscheidet sich nicht von dem der isotropen PIatte. Es wurde mit Hilfc des Verfahrens von BIJB- NOW-GBLERKIN gelost. Die Durchbieguugsfunktion w wird dabci als Reihe

w = Cf!??&) n

i = l

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nngcnommcn. Bei der Auswahl des Niihemgsansatzes fur w nurde von der Losung der querisotropen Kreisplatte mit kleinen Durchbiegungen ausgegangen [4] und der Ansatz

mit

und f - Durchbiegung der querisotropen Kreisplatte im Plat- tenmittelpunkt verwendet.

Die Bestinimungsgleichung fur f [I]: AC3 + Bc = p* rnit ,F - f

p* = + (;)4 - h’ nurde in AbhLngigkeit von p * , EjG, und dlh (d = 2a) fur einige Zahlenwert,e, die in der Tabelle 1 enthalten sind, ausgewertet. Sie zeigt, daB der EinfluB der Querisotropie auf die Durchbie- gung mit abnehmendem p* und djh zunimmt und eine Beruck- sichtigung der Querisotropie auch in der nichtlinearen Platten- theorie zweckmiiDig ist.

Im Bild 1 ist die Abhiingigkeit zwischen dem Durchbiegungs- pfeil, der nach der linearen (mit Beriicksichtigung der Queriso- tropie) und nichtlinearen Theorie berechnet wurde, und der Belastung fur die gelenkig gelagerte Platte rnit verschieblicher und unverschieblicher Kontur fur die Konstanten El@, = 25 und d/h = 30 dargestellt.

Das Differentialgleichungssystem (26) kann auch mit anderen Methoden gelost werden [7]. Die hier verwendete Methode nach BUBNOW-GALERKIN und die zur Losung benutzten Ansiitze fur die Durchbiegungen liefern im betrachteten Bereich fur die Durchbiegungen Werte rnit f i i r die Praxis ausreichender Genau- igkeit, was durch Versuche bestitigt worden ist [7].

6. Zusammenfassung Die nichtlinearen Differentialgleichungen der ausgebogenen, querisotropen Platte fur die Durchbiegungs- und Spennungs- f unktion, die unter Beriicksichtigung der Querschubverzerrun- gcn und zum Teil der Querdehnungen entwickelt wurden, unter- scheiden sich von denen der klassischen nichtlinearen Thmrie im wesentlichen nur durch eine allgemeinere Plattensteifigkeit. Es konnen daher die bekannten Niiherungsverfahren fur die nestimmung der Losungen der Differentialgleichungen, die linter der Annahme einer flach verformten Plattenmittelfliiche aufgestellt wurden, verwendet werden. Mit der nichtlinearen Theorie der querisotropen Platte laBt sich der Spannungs- und Vcrformungszustand faserverstiirkter Plastbauteile erfassen.

t-i- ’

llild 1. Belastungs-UurcliLiegungs-Diagrani~

T a b e 11 e 1. Durchbiegung t

C

dlh - 30 $* dlh = 20

ver- 0,5 0,338 0,340 0,370 0,461 0,339 0,352 0,395 schiebl. 1 0,630 0,634 0,679 0,806 0,632 0,652 0,716 Rand 4 1,635 1,640 1,691 1,819 1,637 1,661 1,731

uuver- 0,s 0,299 0,301 0,318 0,364 0,299 0,307 0,332 sohiebl. 1 0,485 0,488 0,605 0,647 0,485 0,493 0,617 Rand 4 0.9R9 0,994 1,004 1,026 0,990 0,994 1,007

lineare 0,5 0,348 0,351 0,384 0,497 0,349 0,364 0,414 Theorie 1 0,696 0,702 0,768 0,993 0,698 0,728 0,828

4 2,782 2,806 3,073 3,973 2,793 2,912 3,312

BIG 0 2,6 25 100 2.6 25 100 v ~ E I E z ) 0 0,3 0,4 0,4 0,3 0,4 0,4 I 0.3 0 3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,a

L i t e r a t u r 1 ZIMMEB, K., Eln Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Platten- und

Schalentragwerke, insbesondere der Plasttragwerke, Dissertation (B) TU Dreden 1977.

2 HEISSNER, E., On the Theorie of Bending of Elastic Plates, J. Nath. Phys. 29 (1944) 9.184-191.

3 KRoPY, A,, Verallgemeinerte Theorie der Plattenstatik, 1ng.-Arch. 21 (1953) S. 266-288.

4 ZIMMBB, X., Ein Beitrag zur verbesserten Plattentheorie, Dissertation TU Dresden 1966.

6 ZIYMEB, K., Eln Beitrag zur anisotropen dioken Platte, ZAMM 47 (1967) H. 8. 6 ZIMMER, K., Ein Beltrag eur nichtiinearen Plattentheorle, Wiss. Z. TU

Dresden 16 (1966) H. 6. 7 WOLMIB, A. S., Blegsame Platten und Schalen, Berlin 1062. 8 REISBNER, E., The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending

of Elastic Plates, J. Appl. Mech. 12 (1945) S. 69-77.

Eingereicht am 25. 8. 1978

Anschrift: Dr. sc. t e c h . ULHEINZ ZIMMER, Sektion Bauingenieurwesen, WB Baukonstruktionen, Technische Universitat Dresden, 8027 Dresden, MommsenstraDe 13, DDR

A. DONATO / D. Fusoo

Some Applications of the Rlemann Method to Electromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Media

1. I n t r o d u c t i o n

In 1952 LUDFORD [l], by extending RIEMANN’S method of integration of the normal form of a homogeneous linear hyper- bolic second order partial differential equation, and using the hodograph transformation, determined the critical time t , when gas motion in a closed tube first becomes discontinuous. This procedure was used subsequently by various authors such as ZABUSKY [2] for studying a nonlinear vibrating string, and MACCAMY and MIZEL. [3] for the determination of existence and non-existence conditions for the solution of a class of second order quasilinear equations, thereby extending the study of the nonlinear string undertaken in [Z]. The same method of approach has been used in [4] to study the influence of the initial data on the motion of water confined within a vertical walled tank when the bottom has the form of a polygon. Finally in [5] the authors showed how the ideas underlying LUDFORD’S approach may be still further extended to include reducible quasilinear hyper- bolic systems comprising two dependent and two independent variables. In this same paper confining attention to the case in which the initial data is such that the RIEMANN invariants vary only a’ little from constant values two theorems are obtained that between them give the conditions for the breakdown of the solution and the first time a t which this occurs.

As a first result of the present paper we show that, under a suitable condition satisfied by many simple but important physical systems such as those listed in [5] and the ones con- sidered in the second part of this paper and concerning electro- magnetic waves in nonlinear media, the problem of determining the RIEMANN function becomes that of determining the solu-