R O L F D I E T E R F R A N K

EIN L O K A L E R F U N D A M E N T A L S A T Z F O R

P R O J E K T I O N E N

ABSTRACT. A projection is a mapping between linear spaces, which preserves collinearity, and whose restriction to any line is injective or constant. Motivated by applications in photogramme- try, we prove that any projection from a subset M of a (little) Desarguesian projective space to another such space is a product of a central projection and an isomorphism, provided M is not too small and the image of M is not contained in one line.

1. E I N L E I T U N G

Photographische Bilder werden meist als Resultate von Zentralprojektionen angesehen. Dies ist gerechtfertigt fiir Bilder einer Lochkamera; bei einer Kamera mit Objektiv jedoch weicht die Abbildung gew6hnlich etwas vonder Zentralprojektion ab. Im Idealfall l~iBt sich diese Verzeichnung genannte Abweichung bestimmen, so dab man sie bei einer Bildauswertung rechnerisch ausgleichen kann. Einige Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Verzeich- nung werden in [13] beschrieben. Nun sind aber viele Rekonstruktionsauf- gaben schon unter der Voraussetzung 16sbar, dab die photographische Abbildung durch eine lineare Abbildung f: ~4 ~ ~3 gegeben ist, wenn man sowohl im abgebildeten Raum als auch in der Bildebene homogene Koordi- naten einfiihrt. Man kann n~imlich f bestimmen, wenn man sechs PaBpunkte im Raum, keine vier davon in einer Ebene, samt ihren Bildpunkten kennt und die Kamera sich nicht auf der kubischen Normkurve durch die PaBpunkte befindet (siehe [2] und [7] sowie §4 der vorliegenden Arbeit). Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die Bedeutung des folgenden Satzes.

SATZ 3. Seien P und P' reelle projektive Rdume, M ~ P often und ~o: M ~ P' eine Abbildung derart, dab die Bilder kollinearer Punkte stets kollinear sind, die Einschrfinkung yon q) auf Geraden injektiv oder konstant ist und Bild q~ drei nicht kollineare Punkte enthfilt. Dann wird q) in homogenen Koordinaten durch eine lineare Abbildung induziert.

Dieser Satz wurde f/Jr den Fall dimP < m von H. Lenz [16, Hilfssatz 3] bewiesen. Seine Behauptung folgt auch aus [17, Theorem], wenn man zus~itzlich dim P -- dim P' < mund ~o stetig und injektiv voraussetzt; sie folgt aus [4, Satz 1] oder [20, Satz 2.3], falls es einen Teilraum Z c P mit M = P \ Z gibt und die Bilder yon Geraden und punktierten Geraden stets Geraden oder Punkte sind. Da mir die Arbeit yon H. Lenz unbekannt war, suchte und

Geometriae Dedicata 44: 53-66, 1992. © 1992 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

54 ROLFDIETER FRANK

fand ich einen eigenen Beweis ffir Satz 3. Die Analyse dieses Beweises ffihrte zum Begriff des projektiven Raumes mit linearer Topologie, welcher nicht nur allgemeiner, sondern auch einfacher ist als der des topologischen projektiven Raumes, und zu Satz 2 (siehe §2). Man erh~ilt Satz 3 mit Hilfe von Satz 2, weil ffir desarguessche projektive R/iume Zentralprojektionen und Isomorphismen durch semilineare Abbildungen induziert werden (siehe etwa [9, Abschnitt 3.2.9] und [1, Theorem 2.26]) und R nut den trivialen Automorphismus zul/iSt. Satz 1 wird ffir einen Induktionsanfang im Beweis von Satz 2 ben6tigt. Ich fand Satz 1 bei der Suche nach einem in- zidenzgeometrischen Beweis ohne Koordinaten und Lie-Gruppen fiir das Theorem aus [17]. In [17] definiert R. L6wen eine Einbettung tp: M ~ Pals stetige, Kollinearitfit erhaltende Injektion, wobei M eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen projektiven Raumes P fiber einem der K6rper R, C, H oder fiber den Oktaven ist, und beweist, dab q~ sich zu einem Automorphismus yon P fortsetzen 1/iBt. Da wegen der Stetigkeit Bild q~ often ist und folglich P erzeugt, ist q~ nach Lemma 5d (siehe §3) eine Einbettung auch im Sinne der Definition in §2, und Satz 1 verallgemeinert das Theorem aus [17]. DaB diese Definition auch unstetige Einbettungen zul/iBt, ist klar: Man nehme etwa den Automorphismus eines projektiven Raumes fiber einem topologischen K6rper, welcher durch eine semilineare Abbildung mit unstetigem K6rperautomorphismus induziert wird.

Fiir wichtige Anregungen und Hinweise zu dieser Arbeit danke ich Thomas Buchanan und Hubert Kiechle.

2. D E F I N I T I O N E N UND ERGEBNISSE

Es seien P eine Menge, deren Elemente wir Punkte, und G eine Menge von Teilmengen von P, deren Elemente wir Geraden nennen. Das Paar (P, G) sei ein Inzidenzraum; dies bedeutet, dab durch je zwei Punkte genau eine Gerade geht und jede Gerade wenigstens zwei Punkte enth/ilt. Ist M eine Teilmenge von P und G(M) := {M c~ g :g e G und IM c~ gl >/2}, so ist auch (M, G(M)) ein Inzidenzraum, der Spurraum auf M. Eine Teilmenge T ~ P heiBt Teilraum, wenn mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsgerade in T liegt. Ffir eine Teilmenge S c P sei die Hiille S der kleinstc Teilraum, welcher S enth/ilt. S heiBt unabhdngig, wenn/~ ~ S ffir jede echte Teilmenge R ~ S gilt. Punkte A1,.. . , Ak nennen wir unabh/ingig, wenn sie paarweise verschieden sind und {At . . . . . Ak} unabh/ingig ist. Ffir einen Teilraum T heil3en die Kardinal- zahlen d imT:= inf{ISl:S= T} - 1 die Dimension und codimT:=

inf{[Sl:Tu S = P} die Kodimension yon T}. Eine Basis von T ist eine unabh/ingige Menge S mit S = T. Ein Isomorphismus zwischen Inzidenzr/iu-

EIN LOKALER F U N D A M E N T A L S A T Z FOR P R O J E K T I O N E N 55

men (P, G) und (P', G') ist eine Bijektion q~: P ~ P' mit g~o ~ G' fiir aUe g ~ G. Die bisher eingefiihrten Begriffe sowie grundlegende Aussagen dariiber

findet man in 1-14]. Nun folgen einige speziell auf die vorliegende Arbeit zugeschnittene Definitionen.

Seien (P, G) und (P', G') Inzidenzr/iume und M c P. Eine Abbildung ~0:M ~ P' heiBt Einbettung, falls Punkte A1 . . . . . A k ~ M stets genau dann unabh/ingig sind, wenn dies auch ffir A~o . . . . . Akq~ gilt. Eine Abbildung q>: M ~ P' heiBt Projektion, wenn die Bilder kollinearer Punkte stets kollinear sind und die Einschr/inkung yon ~o auf Geraden injektiv oder konstant ist. Eine kennzeichnende Eigenschaft von Projektionen ist, dab die Urbilder von Teilr/iumen von P' Teilr/iume des Spurraumes auf M sind. Sei nun (P, G) ein projektiver Raum. Eine Teilmenge U c P heiBt Unterraum, wenn auch der Spurraum auf U ein projektiver Raum ist. F~r Teilr/iume T~ . . . . , Tk c P

schreiben wir statt T 1 u ... w Tk einfach T~ ... Tk. Seien D und Z disjunkte Teilr/iume und M c DZ \Z . Dann ist die Abbildung 7z: M ~ D :X ~-~ X Z c~ D eine Projektion, die Zentralprojektion mit Zentrum Z. 1st auf jeder Geraden g e G eine Topologie gegeben, welche weder diskret noch indiskret ist, und sind alle Perspektivit/iten zwischen schneidenden Geraden stetig, so sagen wir, der projektive Raum (P, G) besitze eine lineare Topologie. Eine Teilmenge M c P heiBt linear often, wenn M c~ g often ist fiir jede Gerade g ~ G. Die Spurtopologie auf den Geraden eines topologischen projektiven Raumes ist stets eine lineare Topologie (siehe [18, S. 262]); jede offene Punktmenge ist dann auch linear often, aber nicht umgekehrt (siehe [11] oder [10, Beispiel 2]). Es gibt jedoch lineare Topologien, die nicht Spurtopologie eines topologischen projektiven Raumes sind, etwa die cofinite Topologie auf den Geraden eines projektiven Raumes unendlicher Ordnung (siehe [3]). Von den Eigenschaften einer linearen Topologie ben6tigen wir nur ihre Invarianz unter Perspektivit/iten sowie die Tatsache, dab fiJr offene Teilmengen u, v, w einer Geraden stets [u c~ v c~ w[ ¢ {1, 2} gilt.

SATZ 1. Seien P und P' projektive Riiume mit dim P, dim P' >/2, fiir die der kleine Satz yon Desargues gilt. Die Menge M ~ P sei nicht leer und erffille eine der beiden folgenden Bedingungen:

(i) M i s t linear often beziiglich einer linearen Topologie yon P. (ii) Die Ordnung yon P ist endlich, und fiir jede Gerade g ~ P mit

M c~ g v~ ~ gilt [M n g[ > ~(Igl + 1).

Dann gilt:

(a) Jede Einbettung cp:M ~ P' l/iBt sich zu einer Einbettung O:P---,P' .fortsetzen.

56 R O L F D I E T E R F R A N K

(b) Offensichtlich ist Bild (o ein zu P isomorpher Unterraum yon P'. Bild (o ist sogar ein Teilraum yon P', falls P' eine lineare Topologie besitzt und es in

P eine Gerade g gibt derart, dab ( M c~ g)~p eine offene Menge u ~

enth?ilt.

SATZ 2. Seien P, P' und M c P wie in Satz 1, und q ~ : M ~ P ' sei eine

Projektion mit Bild q9 = P'. In P gebe es eine Gerade g derart, dab ( M c~ g)q9

eine bezfiglich einer linearen Topologie yon P' offene Menge u ~ ~ enth?ilt, oder es gelte Ord P = Ord P' < ~ . Dann gibt es Teilr?iume Z c P \ M und

D c P \ Z mit D Z = P sowie einen Isomorphismus ~: D ~ P' mit q9 = n~kffir die

Zentralprojektion ~: M ~ D mit Zentrum Z. Es gibt nur einen Teilraum Z mit

dieser Eigenschaft.

BEISPIELE ZU SATZ l(a) 1. Die affine Ebene der Ordnung 3 l/iBt sich in die komplexe projektive Ebene einbetten; dabei sind die Bildpunkte die neun Wendepunkte einer kubischen Kurve ohne Singularit/iten (siehe etwa [6, Abschnitt 7.3]). Diese Einbettung 1/iBt sich nicht fortsetzen auf die projektive Ebene der Ordnung 3, da C keinen Unterk/Srper mit 3 Elementen enth/ilt.

2. Nach J. F. Rigby 1-,19] 1/iBt sich jede Einbettung einer affinen Ebene der Ordnung n > 3 in eine desarguessche projektive Ebene n auf ihren pro- jektiven AbschluB fortsetzen. Den Beweis von Rigby kann man so ab/indern, dab man ffir n nut den kleinen Satz von Desargues zu fordern braucht.

3. In 1-15] gibt G. Korchmaros folgendes Beispiel an: Sei P die projektive Koordinatenebene fiber dem K/Srper K = (0, 1 , - 1~ und P' die projektive Koordinatenebene fiber einem K6rper K' mit ungerader Charakteristik. M entstehe aus P, indem man 4 Punkte in allgemeiner Lage wegnimmt, etwa alle Punkte ohne Koordinate 0. Dann ist ~p: M ~ P'; K(a, b, c) ~-~ K'(a, b, c) eine Einbettung. Genau im Fall char K' = 3 l/iBt q~ sich auf P fortsetzen.

3. BEWEISE

LEMMA 1. Seien P und P' Inzidenzrdume und qg: P ~ P' eine Projektion.

Dann gilt:

(a) Far jeden Teilraum T ~ P' ist die Urbildmenge ( X ~ P : X q g ~ T) ein

Teilraum yon P.

(b) Sop ~ Sq9 ffir jede Teilmenge S ~ P. (c) Ist S ~ P abhdngig und tPls injektiv, so ist auch Sop abhiingig.

Beweis. (a) ist klar.

(b) Die Urbildmenge von S~o enth/ilt S und daher wegen (a) auch S.

EIN LOKALER FUNDAMENTALSATZ FUR PROJEKTIONEN 57

(c) S enth/ilt eine echte Teilmenge R mit/~ = S. Rq~ ist echte Teilmenge von

S~o, und es gilt Rq~ c Sq~. Wegen (b) gilt S~o c S~o --/~q~ c R~0 und daher

S~o ~ R~o.

L E M M A 2. In einer projektiven Ebene mit linearer Topolooie ist jede offene

Menoe leer oder unendlich. Beweis. Sei u = {Ao . . . . . Ak} ~ ~ eine endliche offene Teilmenge einer

Geraden O. Weil die Topologie auf g nicht indiskret ist, dfirfen wir u # 9 annehmen. Da die Gruppe der Projektivit~ten von 9 stetig und zweifach transitiv ist, gibt es fiir i = 1 , . . . , k offene Mengen ui c 9 mit A o ~ ul und

Ainu ~. Dann ist {Ao} = u n ul n ..- n Uk often, und daher auch jede andere einelementige Teilmenge von 9. Dies ist ein Widerspruch, denn die Topologie auf O ist nach Voraussetzung nicht diskret.

L E M M A 3. Sei e eine projektive Ebene mit linearer Topolooie und 6 c e eine

Unterebene. Gibt es in e eine Gerade 9 derart, dab 6 n 9 eine offene Menoe

u # (~ enthiilt, so ist 6 =- 5. Beweis. Wir w/ihlen zwei Punkte A, B ~ u sowie C ~ 6 \ 9 und nehmen

BC ¢ 6 an. Dann k6nnen wit Z 1 ~BC n 6\{B, C} und Z2 EBC\3 w/ihlen. Seien ~ : 9 ~ AC und ~z: AC ~ 9 die Perspektivit~iten mit Zentrum Z 1 bzw.

Z2. Dann ist u~1~2 und daher auch u n u~xct 2 often. Ffir jedes X ~_ uk{A, B} ist X~I E 6 und deshalb X ~ 2 $ 6, weil sonst Z2 ~ 6 ware. Mit A, B ~ F i x ( ~ 2 ) folgt u n u~x~ 2 = {A, B} im Widerspruch zu Lemma 2. Also gilt BC c 6 und damit 6 = e.

Z 2

~ _ g C~/ X X~le 2

z 1

Zehn Punkte und zehn Geraden eines projektiven Raumes heiBen Desargues-Konfiguration, wenn man die zweielementigen Teilmengen von {I, 2, 3, 4, 5} den Punkten und den Geraden jeweils so zuordnen kann, dab

58 ROLFDIETER FRANK

ein Punkt auf einer Geraden liegt, falls die zugeh6rigen 2-Mengen disjunkt sind. Jeden der Punkte kann man als Zentrum der Konfiguration auffassen; die Gerade mit derselben 2-Menge ist dann die Achse. Eine Desargues- Konfiguration heiBt klein, wenn ihr Zentrum auf der Achse liegt (siehe [18, S. 86]).

BEWEIS VON SATZ 1. F/Jr jeden Punkt A e P w~ihlen wir zwei Geraden gl und 92 durch P mit M ca gi # JZ[ und definieren AFp als den Schnittpunkt der Geraden h~ und h E yon P' mit (M ca 91)tp c h i. DaB diese Definition nicht von der Wahl von gl und 92 abh/ingt, zeigt die dritte der nun folgenden Hilfsaussagen.

(1) Seien [/1, 92, 93 drei Geraden durch einen Punkt S e P \ M und A1, A 2, C ~ M kollineare Punkte mit A i E g 1, AEEg2, C~.g 3. Dann gibt es eine kleine Desargues-Konfiguration mit Zentrum C, welche g~, g2, g3 enthdlt und deren siimtliche yon S verschiedenen Punkte in M liegen.

Beweis. Wir w/ihlen einen Punkt Aa6MCaff3\(C } und betrachten zunfichst den Fall, dab M die Bedingung (i) erfiillt. Die Menge u := {Xeg~ :g2 ca C X e M } enth/ilt A~ und ist often, weil Mcag 2 often und die Perspektivit/it yon gl auf 92 mit Zentrum C stetig ist. Daher ist auch M ca u often und nicht leer, enth/ilt also einen Punkt B 1 ~ A 1. Es gilt B2:-- g 2 c a C B l e M . Die Mengen u ' := { X e g a : A I A a c a B 1 X e M } und u" := {X 6 ga:A2A3 ca B2X 6 M} enthalten A a und sind often. Daher ist auch M ca u' n u" often und nicht leer, enth/ilt also einen Punkt B 3 # Aa, C. Falls M die Bedingung (ii) erffillt, definieren bzw. wfihlen wir u, u', u", BI, B2, l 3 genauso wie oben. Dies ist m6glich, denn wegen [u[ = IM ca gEl > ~(Igll + 1) und IMcagl[ >~(19~l ÷ 1) und u c g 1 gilt IMcaul > 1, und wegen lu'l = [M ca A1Aal > ~1031 + 1) und lu"l = IM ca A2Aal > 3z(1931 + 1) und

D

S A 3 C

gl

B 3

g2

g3

EIN LOKALER FUNDAMENTALSATZ FOR PROJEKTIONEN 59

IM n ga[ > ~(1031 + 1) und u', u" c 03 gilt IM n u' c~ u"l > 2. Aufgrund dieser Wahl von B 3 liegen auch die Schnittpunkte D:= AxAat-~B1B 3 und E := A2A 3 c~ B2B 3 in M. Nach dem kleinen Satz von Desargues sind C, D, E kollinear.

(2) Seien gl, gz, 93 drei Geraden in einer Ebene dutch einen Punkt S ~ P \ M mit M c~ gi ~ ~ . Dann gibt es eine Gerade g dutch S und zwei kleine Desargues-

Konfigurationen mit Zentrum Ca bzw. C 2 ~ M, welche 9, 91, g2 bzw. g, ga, g3 enthalten und deren s?imtliche yon S verschiedenen Punkte in M liegen.

Beweis. Es gibt Punkte A1, A2, Aa ~ M mit Aie g~, welche nicht kollinear sind, sowie CI~Mc~A1A2\{Aa , A2 } und C2 ~Mc~A1 A3 \ { A a, A3} mit S ~ C1C2. Daher liefert (1) die Behauptung.

(3) Seien gl, g2, g3 drei Geraden yon P mit M c~ gi ~ i2~ und hi, h2, ha die Geraden yon P' mit (M n gi)q) c hi. Gehen 91, 02, 9a durch einen Punkt, so auch

hi, h2, h a. Beweis. Im Fall #1 c~ 92 c~ ga e Mis t die Behauptung klar. Liegen 0a, 9z, 93

nicht in einer Ebene, so folgt die Behauptung, weil drei nicht koplanare Geraden genau dann durch einen Punkt gehen, wenn sie paarweise koplanar sind. Andernfalls w/ihlen wir eine Gerade 9 und zwei kleine Desargues- Konfigurationen wie in (2) beschrieben. Sei h die Gerade von P' mit (M c~ 0)~o c h. Weil in P' auch die Dualisierung des kleinen Satzes von Desargues gilt (siehe 1-18, S. 89]), sind h, hi, h2 bzw. h, hi, h3 kopunktal. Also gehen ha, h2, h3 durch den Punkt h c~ hi.

(4) ?p ist injektiv. Beweis. Zu zwei Punkten A, B e P gibt es stets ein Viereck mit Ecken in M

und Diagonalenschnittpunkten A, B.

(5) Sind drei Punkte A1, A2, Aa ~P kollinear, so auch Al(p, A20 , A3( p. Beweis. Sei g die Gerade durch A1, A2, Aa. Ahnlich wie im Beweis von (1)

finden wir B 1, B2, B 3 ~ M \ g mit A1 e B2B3, A2 ~ B1B3, A3 ~ B1B2 sowie C1, C2, Ca ~ M \ g mit C1 ~ B2Ba\{B2, Ba}, A1 ~ C2Ca, A: ~ CaCa, A 3 ~ Ca C2. Es gilt dann Bi ~ Ci, und die Geraden Ba C1, B2C2, B3C3 gehen dutch einen Punkt. Denn setzen wir U:= B2C 2 (~ BaC a, so geht nach dem kleinen Satz von Desargues (Zentrum C1, Achse B2B3) die Gerade B1 U durch das Zentrum C1. Nach (3) sind auch die Geraden Bl~oClqo, B2(PC2(P, Baq~C3tP kopunktal. Nach dem kleinen Satz von Desargues (Zentrum Caq~, Achse B2tPB3tp) liegt S := C2(PC3q9 n A2q)A3tp auf der Achse B2~oBago. Es folgt S = Aa~o. Also sind Aatp, A2q~, Aaq9 kollinear.

60 R O L F D I E T E R F R A N K

B 1

c I

A I A 2 A 3

g

(6) Sind Punkte A 1 . . . . . A k E P abhgingig, so auch Aa(o . . . . . Ak(O.

Beweis. Wegen (4) und (5) ist ?p eine injektive Projektion. Daher liefert Lemma 1(c) die Behauptung.

(7) Sind Punkte A 1 . . . . . A k 6 P unabhgingig, so auch Al(o . . . . , Ak(O.

Beweis. Sei zun/ichst A I . . . A k ¢ P . Dann gibt es einen Punkt C e M \ A 1 ... Ak und Punkte Bi ~ M n Ai C \ {C} . B 1 . . . . . B k, C und daher auch B,q~,... ,Bkq), C~0 sind unabh/ingig. Wegen Ai(oeBiq~C~o\{Cq~} sind auch

A x (o,.. . , Ak(O unabh/ingig. Sei nun A 1 ... A k = P. Nach Lemma l(b) gilt dann Pgp c Al(o ... Ak(O. Weil es in M und deshalb auch in P?p k unabh/ingige Punkte gibt, folgt dimAagp ... Ak(O >>, k - 1.

Mit (6) und (7) ist Satz l(a) bewiesen. Unter den Voraussetzungen von Satz l(b) enth/ilt Bild ?p nach Lemma 3 eine Gerade von P' und ist daher sogar ein Teilraum. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Sei P ein Inzidenzraum und M eine Teilmenge von P. Fiir S c M bezeichne ~ die Hfille von S im Spurraum auf M. Weil M n S ein Teilraum

des Spurraumes a u f M ist, gilt ~vt c M n ~ DaB ~ ~ M n Ssein kann, zeigt das folgende

BEISPIEL. Sei P der projektive AbschluB von ~2 und M : = {(xl , x2)

e R2:x 2 + x2 2 ~ N}. Sind A, B, C e M nicht kollinear, so gilt M n A B C = M,

w~ihrend ~A, B, C} M nut abz/ihlbar viele Elemente hat.

LEMMA 4. Sei P ein projektiver Raum, und M c P habe die folgende

Eigenschaft, welche aus (i) oder (ii) yon Satz 1 folgt:

Sind g und h Geraden durch einen Punk t A e M, so gibt es durch jeden Punk t

EIN L O K A L E R F U N D A M E N T A L S A T Z F O R P R O J E K T I O N E N 61

B e gh\(g u h) eine Gerade, welche M n #\{A} und M n h \ {A} trifft.

Dann gilt ~ = M n g fiir jede Teilmenge S c M.

Beweis. Sei T die Vereinigung aller Geraden A B mit A, B e S-~. Dann ist S-~ = M n T. Wir zeigen, dab T ein Tei l raum ist; wegen S c T c S folgt hieraus T = S. Seien X , Y e T und Z e X Y \ { X , Y}. Dann gibt es A, B, C,

D ~ S -~ mit X ~ A B und Y e CD. Weiter gibt es E e M n A B und F e M n B Y

mit Z e EF. SchlieBlich gibt es G e M n BC und H e M n BD mit F e GH. N u n folgt E, G, H, F e ~ und damit Z e E F c T.

B E M E R K U N G . Mit Lemma 4 folgt leicht, dab unter dessen Voraussetzun- g e n d e r Spur raum auf M ein Austauschraum (siehe 1-14, S. 50111 ist, weil der projektive Raum P ein solcher ist (siehe 1-14, Satz 9.9]).

L E M M A 5. Seien P und P' projektive Riiume und M c P wie in Lemma 4.

Dann gilt fiir jede Projektion ~o: M ~ P':

(a) (M n S)tp c Stp ffir jede Teilmenge S ~ M.

(b) Ist S c M abhdngig und (Pls injektiv, so ist auch Sq) abh&~gig.

(c) dim P ~> dim Bild q)

(d) Im Falle dim P = dim Bild q~ < ~ ist ¢p eine Einbettung.

(e) Ist D c P ein Teilraum mit einer Basis S c M, f f i r die qgls injektiv und Sq~

unabhdngig ist, so ist tpl o eine Einbettung.

Beweis. (a) Wegen Lemma 4 ist (M n S)@ = ~ o , und nach L emma l(b)

gilt S-Uq~ c Sq~. (b) Wegen Lemma 4 ist die abh/ingige Menge S c M auch itm Spurraum

auf M abh/ingig. Daher liefert Lemma 1(c) die Behauptung.

(c) P besitzt eine Basis S c M. Mit (a) folgt Mq~ = (M n S)q~ c S~o. Also

gilt Mq~ c S~o, und wir erhalten dim M~o ~< ISq~l - 1 ~< ISI - 1 = dim P. (d) Unabh/ingige Punkte A 1 . . . . . A k e M lassen sich stets zu einer Basis

A 1 . . . . . A, e M yon P erg/inzen. Wie im Beweis von (c) folgt

M~o c Alq~ ..-A,q~. Wegen dimM~o = n - 1 sind daher AI@ ..... ,A,q~ und somit A~(p, . . . , Akq) unabh/ingig. Weil q~ injektiv ist, sind nach (b) die Bilder abhSngiger Punkte stets abh~ingig.

(e) Zu beliebigen Punkten A 1 , . . . , A k E M n D gibt es B 1 . . . . . B , e S mit

A 1 , ' " , Ak ~ E := B 1 ... B n. Mit (c) folgt dim E = dim(M n E ) ~ < ~ . Also ist ~o1~ nach (d) eine Einbettung, und die Punkte A 1 , . . . , A k sind genau dann unabh/ingig, wenn dies auch fiir A~q~ . . . . . Akq9 gilt.

BEWEIS V O N SATZ 2. Sei Z ein Tei l raum mit den behaupte ten Eigenschaf- ten. Fiir X e P gilt X e Z genau dann, wenn ~o auf jeder Geraden durch X

62 R O L F D I E T E R F R A N K

konstant ist. Daher ist Z durch ¢p eindeutig bestimmt. Wir w/ihlen eine Basis

S' c Mq~ von P ' mit IS ' n 9~o] = 2 sowie eine Menge S c M mit IS c~ 91 --- 2 derart, dab ~Ols injektiv und S~o = S' ist. Nach Lemma 5(b) ist S unabh/ingig, also eine Basis von D := ~ Die Projektion ~Pl/) ist nach Lemma 5(e) eine

Einbettung und l~iBt sich wegen 9 c D und (M n D)~o = P ' nach Satz 1 zu einem Isomorphismus ~k: D ---, P' fortsetzen. Wit betrachten nun zun/ichst nur den Fall codim D < ~ und beweisen mit Induktion fiber n := codim D, dab

es einen Teilraum Z c P \ M mit D n Z = ~ und DZ = P gibt derart, dab ~0 = 7r~k fiir die Zentralprojektion r~: M ~ D mit Zentrum Z gilt. Im Fall n = 0 gilt ~o = ~olo = rc~k, wobei ~: M --, D die Zentralprojektion mit Zentrum JZ;, also die identische Abbildung ist. Ist n > 0, so wfihlen wir eine Hyperebene H von P mit D c H. Nach Indukt ionsannahme gilt dann ~olH = rcn~k, wobei 7~n: M nH---,D eine Zentralprojektion mit einem Zentrum Zn c H \ M mit D n Zn = ~ und DZ• = Hist. Wir w/ihlen Punkte A E S \9 und B ~ M \ H mit

Bq~ ¢S \ {A} ~k. Dann ist $1 := {B} u S\{A} unabh/ingig, ~Olsl injektiv und $1~0 eine Basis von P'. Also ist $1 eine Basis yon D 1 := $1, und genau wie ~olD 1/iBt sich auch ¢PlD1 zu einem Isomorphismus ~ : D 1 ~ P ' fortsetzen. Nun iiberle-

gen wir:

(1) Der Isomorphismus ~b t ~b- ' : D1 ---" D ist eine Zentralprojektion mit einem Zentrum YeD1D\(Dx u H).

Beweis. Die Elemente von M n D n D x sind Fixpunkte; daher ist

D n D1 = M n D n D 1 invariant. Wir w/ihlen Punkte G e M n D n Da und E, F e D \ D 1 mit GeEF. Seien Ea, F1 e D , \ D die Urbilder von E, F, Weil G Fixpunkt ist, liegen die Geraden ExE und F~F in der Ebene F1FG und

bestimmen einen Schnittpunkt Y e D~D\(D u DI). Wegen DID n H = D gilt YCH. Sei lh: D, ~ D die Zentralprojektion mit Zentrum Y Wir beweisen nun ~bx~ -~ = ~r~. Offensichtlich sind E, F u n d die Elemente von M n D n Dx Fixpunkte yon ~r~-l~x~ -~. Im Fall d imD = 2 ist Fix(~i-~91O - ' ) eine

Unterebene von D, deren Schnitt mit der Geraden D n D~ die nichtleere Menge M n D n D ~ enth/ilt. Ist M linear often beziiglich einer linearen Topologie von P, so ist M n D n D I often, und mit Lemma 3 folgt Fix(n~-~b~k -x) = D. Andernfalls gilt ~ O r d P + 2) < [ M n D n D I I <<. Ord Fix(n~-~b~b -~) + 1 < ~ . Hieraus folgt OrdFix(n~-~bl~k -~) = O r d P < ~ und damit Fix(n~-l~bx~k -~) = D. Ist d imD > 2, so gehen durch jeden Punkt X ~ ( D n D~)\M wenigstens zwei Geraden gx, 92 mit I M n D n D x n g~l ~> 2, also Fixgeraden. Damit ist D n D~ c Fix(n;~b~b-1) . Dann ist auch jedes X~D\(D~ ~ EF) Fixpunkt, weil die Geraden X E und X F die Hyperebene D n D, von D treffen und daher Fixgeraden sind. Hiermit ist Fix(7~-X~kl~k-x ) = D gezeigt.

EIN L O K A L E R F U N D A M E N T A L S A T Z FU R P R O J E K T I O N E N 63

(2) Fiir Z := Y Z n gilt M n Z = D n Z = ~ und D Z = P sowie (p = 7r~b f f ir

die Zentralprojekt ion re: M ~ D mit Zentrum Z.

Beweis. Wegen D n Z n = ~ , D Z n = H, Y ~ P \ H und codim H = 1 gilt

D n Z = ( 3 und D Z = P . Es folgt dim(D1DnZ)<<.O und hiermit

D1D ~ Z = Y. Wegen Yq~D i gilt daher D 1 n Z = ~ und folglich D i Z = P.

Ffir alle X e M n H folgt Xq~ = Xrcn~, = X ~ b wegen X Z n n D = X Z n D;

fiir alle X e M n D 1 folgt Xtp = X~b i = Xf f l f f - l~ , = Xu~, wegen

X Y n D = X Z ~ D. Sei nun X e M \ ( H u D1 u Z ) . D a n n ist C : = DI n X Z

ein Punkt . Wir w/ihlen eine Gerade h c D 1 mit h n H ~ M und C ~ h; dann ist

X h c~ Z --- ~ . Es gibt zwei Punkte R1, R 2 ~ M n h \ H mit Si := R~X n H ~ M.

(o und 7z~b st immen auf dem Viereck {R l, R 2, S1, $2} c X h iiberein, und auch (R~q~, R2~p, S~q~, S2~p} ist ein Viereck. Daher s t immen ~p und u~k auch auf

X = R~S i n R2S 2 iiberein. Wir haben X@ = Xu~b bewiesen fiir alle X e M \ Z

und zeigen nun M n Z = ~ . Existierte ein X ~ M c~ Z, so g/ibe es A1, A2, B~,

B 2 ~ M \ Z mit X = A 1 A 2 n B i B 2 und Al~p ~ B~p. Wegen A ~ t A 2 n Z vL

w/ire A lu = A27z, und es folgte Al~p = A2~p = X~p. Entsprechend erhielten

wir B l t p = Xtp und damit den Widerspruch A~0 =Bl tp .

Dami t ist Satz 2 im Fall codim D < oo bewiesen. Ha t D unendliche Kodimen-

sion, so sei {P~: i e I} die Menge aller Teilr/iume von P, welche/ ) als Tei lraum

endlicher Kodimens ion enthalten. Fiir jedes i t I gilt dann tple , = u~b, wobei

~ : M n P~ ~ D eine Zentralprojekt ion mit einem Zent rum Z,~ c P~\M mit

D n Z~ = ~ und DZ~ = P~ ist. N u n iiberlegen wir:

(3) Sind i, j ~ 1 mit Pi c PI, so gilt Z i c Z~.

Beweis. Wir zeigen Z~ = Pi n Z~. Fiir jeden Punk t X e P i c~ Z] ist (o

kons tan t auf allen Geraden durch X in P~, also auch auf allen Geraden durch

X in P~. Daher gilt X ~ Z ~ . Fiir jeden Punk t X eZ~ gibt es Punkte A,

B ~ M n P~ mit X e A B und wegen A~p = B~p einen Punk t X ' ~ A B n Z k Wir haben X ' e P~ n Z~ c Z~, und mit lAB n Z~I = 1 folgt X = X ' e Z~.

(4) Z := U i ~ z i ist ein Teilraum mit M n Z = D ~ Z = ~ und D Z = P. Beweis. Seien A, B e Z . D a n n gibt es i, j , k e I mit A e Z i , B ~ Z ~ und

P~P~ = Pk- Mit (3) folgt A, B ~ Zk und damit A B c Z. Also ist Z ein Teilraum. Die iibrigen Behauptungen sind klar.

(5) Es gilt q~ = rcq~, wobei ~t: M ~ D die Zentralprojekt ion mit Zentrum Z ist.

Beweis. FOr jeden Punk t X e M n D gilt Xtp = X ~ = Xrc~k. 1st X ~ M \ D ,

so gibt es ein i ~ I mit P~ = DX. D a n n gilt ~ ¢ XZ~ n D c X Z n D. Mit I X Z n DI = 1 folgt XZ~ n D = X Z n D und damit Xtp = X~z~9 = X~z~b.

Mit (4) und (5) ist Satz 2 bewiesen.

64 R O L F D I E T E R F R A N K

BEWEIS VON SATZ 3. Um Satz 3 wie in der Einleitung angek/indigt aus Satz 2 folgern zu k6nnen, ist noch zu zeigen, dab es in P eine Gerade g gibt derart, dab (Mn9)~o eine offene Menge u # ~ enth/ilt. Seien A', B', C'~ Bild q~ nicht kollinear und A, B, C ~ M zugeh6rige Urbilder. Dann ist q~laBc naeh Lemma 5(c), (d) eine Einbettung, welche sich nach Satz l(a) zu einer Einbettung ~b: A B C ~ A 'B ' C' fortsetzen 1/iBt. Weil R keinen echten zu

isomorphen Unterk6rper besitzt, ist ~k sogar ein Isomorphismus. Weil R keinen echten Automorphismus zul/iBt, wird ~b durch eine bijektive lineare Abbildung induziert und ist deshalb ein Hom6omorphismus. Also ist (M n AB)q9 often in A'B'.

4. B E R E C H N U N G E I N E R P H O T O G R A P H I S C H E N A B B I L D U N G

In diesem Abschnitt soll die in der Einleitung erw/ihnte Bestimmung der linearen Abbildung f : R 4 ~ •a durchgeffihrt werden. Dabei ergibt sich durch geschickte Wahl der Koordinatensysteme eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung gegenfiber [2], wobei man direkt den in [7] aufgezeigten Ausnah- mefall erkennt, welcher in [2] fibersehen wurde.

Seien V und W Vektorr/iume fiber einem kommutativen K6rper K mit dim V = 4 und dim W = 3 und P(V) und P(W) die zugeh6rigen projektiven R/iume, deren Punkte die eindimensionalen Untervektorr/iume sind. Gegeben seien Punkte A~ . . . . . A 6 e P(V), keine vier davon koplanar, sowie Punkte B~, . . . , B 6 e P(W), und es existiere eine surjektive lineare Abbildung

f : V --* W mi t f (Ai ) = B i ffir i = 1 . . . . . 6.

BEHAUP TUNG. Genau dann ist f bis auf einen Faktor 2 e K \ { 0 } die einzige Abbildung mit dieser Eigenschaft, wenn der Punkt Kern f nicht auf der kubisehen Normkurve (siehe etwa [5] oder [12"]) durch A1, . . . , A 6 liegt.

Beweis. Ohne Einschr/inkung dfirfen wit annehmen, dab Kern f in keiner der vier Ebenen AiAjAk(1 <<. i < j < k <<. 4) liegt; dann sind keine drei der Punkte Bx, B2, B a, B4 kollinear. Wir w/ihlen Basen Vl, v2, va, v4 von V und wa, w2, Wa von W mit Ai = Kvg ffir i = 1, 2, 3, 4 und A5 = K(va + v2 + Va + v4)

sowie B~ = K w i ffir i = 1, 2, 3 und B 4 = K(w 1 + W 2 + Wa). Seien al, ~2, ~3, ~4,

i l l , /]2, /]3, 71, 72, 7a ~K mit A 6 = K(~IO 1 + . . . + ~4/)4), B5-=K(/] lWl + flEW2 + /]aw3) und B6 = K(y lw l + y2w2 + 73w3). Dann sind die al paarweise und von Null verschieden, und •r eine lineare Abbildung g: V-~ W gilt g(A 3 = B~ ffir i = 1 . . . . . 5 genau dann, wenn sie bezfiglich dieser Basen durch eine Matrix

0 0

2 /]2 - # 0 p

0 / ] 3 - #

E I N L O K A L E R F U N D A M E N T A L S A T Z FLIR P R O J E K T I O N E N 65

mit 2 ~ K \ { 0 } und # e K \ { 0 , fix, //2, f13} beschrieben wird. Also diirfen wir voraussetzen, dab zu f eine solche Matr ix geh6rt. Dann liefert

f (o~ lV 1 + "'" + 0%V4) = ~ lW1 "-F ~2W2 "-F ~Y3W3 das folgende lineare Gleich- ungssystem fiir 2-1 und #:

~l;t-1 + (~1 - ~4)# = ~131

732- ~ + (~3 - ~4)~ = ~3fl3

Dessen nach Voraussetzung ¢xistierende LSsung ist genau dann die einzige,

w e n n K(elfll, t~2/32, ~ 3 f l 3 ) ¢ K ( ° ~ 1 - ~z4, ° ~ 2 - °~4, ~ 3 - ~4). Wir setzen e 1 := 1 - - ~ 4 ~ 1 1 , 82 := 1 -- C%Ct 2 1, /33 := 1 -- e4e~ 1. Die letzte Bedingung ist dann/ iqu iva len t zu K(fll, f12, f13) ¢ K(/31, /32, /33)-

Die Normkurve durch A1 , . . . , A6 hat die Parameterdars te l lung

K(z(z --/32)(z -/33)vl + "c(z --/33)(z -/31)v2 + "c('c --/31)(~ - - /32)/) 3

+(2" - - /31)("~ r - - /32)(~ - - /33)/)4); (15 t ~ K k_) { 0 0 } )

Man erhfilt n/imlich A1, . . . , A6 fiir z =/31,/32,/32, 0, 0% 1. Offensichtlich gilt

K(1 - v4v~ 1, 1 - v4v~ 1, 1 - v4v31) = K(/31, /32, /33)

fiir jeden Punk t K(vlv 1 + ... + v4v,,) der Normkurve , und an der Matr ix yon f liest man ab:

K e r n f = K(#(/z -/32)(/z - /33)vl + #(# - /33)(# -/31)v2

+ ~(~ -/30(~ -/39v~ + (, -/3,)(~ -/3~)(~ -/3~)v~)

Deshalb gilt K(fll, f12, f13) = K(/31, /32, /33), wenn K e r n f auf der Normkurve liegt. Gilt umgekehr t K(/31, /32, /33) = K(el, /32, e3), ist also v(/31, /32, /33) = (/31,/32,/33) ffir ein v ~ K\{0}, so erh/ilt man Kern f, indem man in der Parameterdars te l lung der Normkurve z = v# setzt.

Die oben bewiesene Behauptung ist auch enthalten in dem folgenden

SATZ. Sei K ein K6rper, und F, G : K n ~ K n-k seien surjektive lineare Abbildungen. Weiter sei X : = {x~ Kn: F(x) und G(x) sind linear abhiingi9} unoleich K n, und X\(Kern F L) Kern G) enthalte n + k + 1 Vektoren, yon denen je n linear unabhiin#i9 sind. Dann ist {Kx : x ¢ X\{O} } eine k-dimensionale rationale Normalmanni~lfaltigkeit (rational normal scroll).

Ist K algebraisch abgeschlossen, so folgt dieser Satz aus [8, Lemma 2.1]. Der allgemeine Fall 1/iBt sich hierauf zuriickf~hren, wie ich demn/ichst genauer ausfiihren werde.

66 ROLFDIETER FRANK

R E F E R E N C E S

1. Artin, E., Geometric Algebra, Interscience, New York, 1957. 2. Ballard, D. H. und Brown, C. M., Computer Vision, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.,

1982. 3. Biallas, D., 'Zur Topologie in projektiven Ebenen', Mitt. Math. Ges. Hamburg 10 (1974), 135-

138. 4. Brauner, H., 'Eine geometrische Kennzeichnung linearer Abbildungen', Monatsh. Math. 77

(1973), 10-20. 5. Brauner, H., Geometrie projektiver R?iume 1I, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1976. 6. Brieskorn, E. und Knfrrer, H., Ebene algebraische Kurven, Birkh/iuser, Basel, 1981. 7. Buchanan, T., 'The twisted cubic and camera calibration', Comput. Vision, Graph., Image

Proc. 42 (1988), 130-132. 8. Eisenbud, D. und Harris, J., 'On varieties of minimal degree', Proc. Syrup. Pure Math. 46

(1987), 3-13. 9. Fischer, G., Analytische Geometrie, Vieweg, Braunschweig, 1978.

10. Hartmann, P., 'Die Stellentopologie projektiver Ebenen und Lenz-topologische Ebenen', Geom. Dedicata 26 (1988), 259-272.

11. Heise, W. und S6rensen, K., 'Zur Definition topologischer projektiver Rfiume', Arch. Math. 21 (1970), 218-220.

12. Hirschfeld, J. W. P., Finite Projective Spaces of Three Dimensions, Clarendon Press, Oxford, 1985.

13. Jacobi, O., 'Kalibrieren gew6hnlicher Photoapparate und deren Verwendung als MeBkammern', Bildmess. Luftbild. 36 (1968), 59-70.

14. Karzel, H., S6rensen, K. und Windelberg, D., Einfffhrung in die Geometrie, Vandenhoeck, G6ttingen, 1973.

15. Korchmaros, G., 'Recenti risultati di geometria combinatoria', Sympos. Math. 28 (1986), 113-125.

16. Lenz, H., 'Einige Anwendungen der projektiven Geometrie auf Fragen der Fl~ichentheorie', Math. Nachr. 18 (1958), 346-359.

17. L6wen, R., 'A local "Fundamental Theorem" for classical topological projective spaces', Arch. Math. 38 (1982), 286-288.

18. Pickert, G., Projektive Ebenen. 2. Auflage, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975. 19. Rigby, J. F., 'Affine subplanes of finite projective planes', Canad. J. Math. 17 (1965), 977-

1014. 20. S6rensen, K., 'Der Fundamentalsatz fOr Projektionen', Mitt. Math. Ges. Hamburg 11 (1985),

303-309.

Anschrift des Autors:

Rolfdieter Frank, Heinrich-Delp-StraBe 221, D-6100 Darmstadt-Eberstadt, Germany.

(Received, August 7, 1991)