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Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007

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  • Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007
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  • Altes Rathaus in Leipzig Da Vinci Mona Lisa Raffael Sixtinische Madonna
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 Gliederung des Vortrags 1.Einfhrung 2.Definition 3.Historisches 4.Konstruktion 5.Fraktale 5.1. Der Goldene Baum 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal 5.3. Dimension des Fraktals 6.Regelmiges Fnfeck 6.1. Konstruktion 6.2. Goldenes Dreieck 6.3. Goldener Schnitt im regelmigen Fnfeck 6.4. Falten 7.Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur 8.2. Kunst 8.3. Krper des Menschen 8.4. Natur 9.Der Goldene Schnitt in der Schule
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 2. Definition Eine Strecke sei im Verhltnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstcke zueinander verhalten wie das lngere Teilstck zur ganzen Strecke. A C xy B 1
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 2. Definition spiegelt das Verhltnis kleinere/grere Seite (y/x) wider Der Kehrwert bestimmt das Verhltnis grere/kleinere Strecke (x/y)
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 2. Definition A C xy B 1 ; y=1: Zur Wiederholung: x+y=1: ;
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 2. Definition und sind die wichtigen Gren beim Goldenen Schnitt. Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen. Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 3. Historisches Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes) Untersuchungen am regelmigen Fnfeck: Verhltnis Kantenlnge zu Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch Euklid (ca. 340 v. Chr.): proportio habens medium et duo extrema Teilung im inneren und ueren Verhltnis Euklid (365-300 v.Chr.) Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro: De Divina Proportione Gttliche Teilung/Gttliche Proportion Luca Pacioli (1445-1514) Martin Ohm fhrt 1835 den Begriff Goldener Schnitt ein
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 4. Konstruktion P Q s gesucht: Teilpunkt T, der im Verhltnis des Goldenen Schnittes teilt Gleichung: T ? xy quadratische Ergnzung: Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 4. Konstruktion Um und ablesen zu knnen: Fr s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse und Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius:
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale Zur Wiederholung: Fraktale sind Figuren, die Selbsthnlichkeiten aufweisen, das heit bei denen Teilfiguren eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind. 5.1. Der Goldene Baum Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung Baumfraktal mit Stammlnge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2 a) Ausgangslage; b) Fraktal
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Verkleinerungsfaktor so whlen, dass keine Zwischenrume offen bleiben, aber ste sich nicht berlappen -> positive Lsung:
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal Goldenes Dreiecksfraktal mit f=Goldenes Quadratfraktal mit f=
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Halbieren der Seitenlnge fhrt zu Teilquadraten Bei einem Wrfel dann Teilwrfel
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Dimension des Goldenen Baumes: Verkleinerungsfaktor: Dimension ist irrational
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 6. Regelmiges Fnfeck 6.1. Konstruktion Spitzes Goldenes Dreieck mit den Basiswinkeln 72 und dem Spitzenwinkel 36 Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen Dreieck ABC ein dazu hnliches Dreieck DAB ab Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck Setzt man a=1, ergibt sich durch hnlichkeit von ABC und DAB: 6.2. Goldenes Dreieck
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 6. Regelmiges Fnfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmigen Fnfeck Regelmiges Fnfeck zusammengesetzt aus einem spitzen und zwei stumpfen Goldenen Dreiecken Seiten und Diagonalen stehen im Verhltnis des Goldenen Schnittes
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 6. Regelmiges Fnfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmigen Fnfeck Auerdem gilt: Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fnfecks schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt. Fr den Beweis bentigen wir folgende Merkmale eines regelmigen Fnfecks: a)Die Gre jedes Innenwinkels ist 108 b)Alle Diagonalen haben dieselbe Lnge c)Jede Seite ist parallel zu der ihr gegenberliegenden Diagonalen Q ist Schnittpunkt der Diagonalen und Strahlensatz: Mit und:
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 6. Regelmiges Fnfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmigen Fnfeck zeigen, dass ein Parallelogramm ist Merkmal c): Seite und gegenberliegende Diagonale sind paralell Somit folgt: Parallelogramm und es gilt: Bleibt zu zeigen, dass gilt:
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes Heranmultiplizieren von : Allgemein folgt durch Multiplizieren mit :
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes sind die Fibonacci-Zahlen, fr sie gilt: mit und Analog:
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit Hilfe der Linearisierungsformeln knnen wir eine explizite Darstellung der Fibonacci- Folge bestimmen: Mit : Formel von Binet
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit und somit und fr : Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci- Zahlen angenhert werden
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur Altes Rathaus in Leipzig Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Raffaels Sixtinische Madonna
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Leonardo da Vincis Mona Lisa
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.3. Krper des Menschen Leonardo da Vinci: sthetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der Nabel den Menschen im goldenen Schnitt
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.4. Natur Sonnenblume Bltenstand nach dem Goldenen Schnitt angeordnet optimale Nutzung der Sonnenstrahlen optimale Nutzung der Sonnenstrahlen
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  • Der Goldene Schnitt Proseminar fr Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber 04.12.2006 9. Der Goldene Schnitt in der Schule In der 9. Klasse als Mathematische Exkursion (Lambacher Schweizer) Im Lehrplan der 9.Klasse: Reelle Zahlen (irrationale Zahlen) Satz des Pythagoras Strahlenstze Quadratische Gleichungen hnliche Figuren Verschiedene Themen des Lehrplans werden im Goldenen Schnitt verarbeitet Anschauliche Verwendung der gelernten Theorie