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Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007
Altes Rathaus in Leipzig
Da Vinci „Mona Lisa“
Raffael „Sixtinische Madonna“
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
Gliederung des Vortrags
1. Einführung
2. Definition
3. Historisches
4. Konstruktion
5. Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal
5.3. Dimension des Fraktals
6. Regelmäßiges Fünfeck
6.1. Konstruktion
6.2. Goldenes Dreieck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
6.4. Falten
7. Fibonacci-Zahlen
7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.1. Architektur
8.2. Kunst
8.3. Körper des Menschen
8.4. Natur
9. Der Goldene Schnitt in der Schule
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
2. Definition
„Eine Strecke sei im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke.“
• A Cx yB
1
yx
x
x
y
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
2. Definition
1
1 x
x
x
011 22 xxxx
618,02
511
x
618,1
2
512x
382,02
53
y
• spiegelt das Verhältnis kleinere/größere Seite (y/x) wider
• Der Kehrwert bestimmt das Verhältnis größere/kleinere Strecke (x/y)
618,02
51
618,12
511
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
2. Definition
• A Cx y
B
1
1
1
x
x
x 012 xx
2
511x
2
512x ;y=1:
Zur Wiederholung:
x+y=1:1
1 x
x
x
012 xx
2
511x ;
2
512x
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
2. Definition
618,02
51
618,1
2
511
• und sind die wichtigen Größen
beim Goldenen Schnitt.
• Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen.
• Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar
Der Goldene Schnitt
Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber
04.12.2006
3. Historisches
• Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes) Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck: Verhältnis Kantenlänge zu Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar• Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch
Euklid (ca. 340 v. Chr.):
„proportio habens medium et duo extrema“
Teilung im inneren und äußeren VerhältnisEuklid (365-300 v.Chr.)
• Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro:
„De Divina Proportione“ – Göttliche Teilung/Göttliche Proportion
Luca Pacioli (1445-1514)• Martin Ohm führt 1835 den Begriff „Goldener Schnitt“ ein
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
4. Konstruktion
P • Qs
• gesucht: Teilpunkt T, der im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt
• Gleichung:
PQ
yx
x
x
y
s
x
x
xs
T ?
x y
22 ssxx
22
22
22
ss
ssxx
22
2
22
ss
sx
• quadratische Ergänzung:
• Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras
Der Goldene Schnitt
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4. Konstruktion
Um und ablesen zu können:
• Für s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse
2
5
2
11
2
22
22
s
s
2
15
2
1
2
5und
2
15
2
1
2
5
• Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius:
Der Goldene Schnitt
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5. Fraktale
Zur Wiederholung:
Fraktale sind Figuren, die Selbstähnlichkeiten aufweisen, das heißt bei denen Teilfiguren eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind.
5.1. Der Goldene Baum
• Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung
Baumfraktal mit Stammlänge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2
a) Ausgangslage; b) Fraktal
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5. Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
• Verkleinerungsfaktor so wählen, dass keine Zwischenräume offen bleiben, aber Äste sich nicht überlappen
...)30cos()30cos()30cos()30cos( 543 ffff
f
ffffffff
1
...)1(...3
23543
011 22 ffff
-> positive Lösung: 1f
Der Goldene Schnitt
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5. Fraktale
5.1. Der Goldene Baum
Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=ρ
Der Goldene Schnitt
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5. Fraktale
5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal
Goldenes Dreiecksfraktal mit f=ρ
Goldenes Quadratfraktal mit f=ρ
Der Goldene Schnitt
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5. Fraktale
5.3. Dimension des Fraktals
Halbieren der Seitenlänge führt zu Teilquadraten
224328
D
fn
1
)log(
)log(
1log
)log(
f
n
f
nD
Bei einem Würfel dann Teilwürfel
Der Goldene Schnitt
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5. Fraktale
5.3. Dimension des Fraktals
Dimension des Goldenen Baumes:
Verkleinerungsfaktor:
1f
D2
440,1)log(
)2log(
D
Dimension ist irrational
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
6. Regelmäßiges Fünfeck
6.1. Konstruktion
Spitzes Goldenes Dreieckmit den Basiswinkeln 72° und dem
Spitzenwinkel 36°
• Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen Dreieck ABC ein dazu ähnliches Dreieck DAB ab
• Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck
Setzt man a=1, ergibt sich durch Ähnlichkeit von ABC und DAB:
c
cc 1
1
012 cc
1c
6.2. Goldenes Dreieck
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
Regelmäßiges Fünfeck – zusammengesetzt aus einem spitzen und zwei stumpfen
Goldenen Dreiecken
Seiten und Diagonalen stehen im Verhältnis des
Goldenen Schnittes
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
Außerdem gilt:
Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fünfecks schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt.
Für den Beweis benötigen wir folgende Merkmale eines regelmäßigen Fünfecks:
a) Die Größe jedes Innenwinkels ist 108°
b) Alle Diagonalen haben dieselbe Länge
c) Jede Seite ist parallel zu der ihr „gegenüberliegenden“ Diagonalen
Q ist Schnittpunkt der Diagonalen und
Strahlensatz:
31PP 52PP
53
21
3
1
PP
PP
QP
QP
Mit und :5421 PPPP 3153 PPPP
31
54
3
1
PP
PP
QP
QP
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
6. Regelmäßiges Fünfeck
6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck
31
54
3
1
PP
PP
QP
QP
zeigen, dass ein Parallelogramm ist
Merkmal c): Seite und „gegenüberliegende“ Diagonale sind paralell
354 QPPP
543 PPQP
354 QPPP
Somit folgt:
31
3
3
1
PP
QP
QP
QP
Parallelogramm und es gilt:
Bleibt zu zeigen, dass gilt:
Der Goldene Schnitt
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7. Fibonacci-Zahlen
7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes
12 xx
12
12123
Heranmultiplizieren von :
Allgemein folgt durch Multiplizieren mit :
nnnn 12
Der Goldene Schnitt
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7. Fibonacci-Zahlen
7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes
1 nnn aa
sind die Fibonacci-Zahlen, für sie gilt:
na
,...4,3,2n
nnn aaa 12
mit und11 a 12 a
Analog:1)()( 2
1)()( nnn aa ,...4,3,2n
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
7. Fibonacci-Zahlen
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt
Mit Hilfe der Linearisierungsformeln können wir eine explizite Darstellung der Fibonacci-Folge bestimmen:
)()()( 11 nnnnnnn aaaaa
Mit :5
nnna )(
5
1
nn
na 2
51
2
51
5
1
Formel von Binet
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
7. Fibonacci-Zahlen
7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt
n
n
nn
nn
n
n
a
a
1)(
)(
1
111
Mit und somit und für :1
01
n
0
n
n
11
1
1 nn
n
n
n
a
a
Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci- Zahlen angenähert werden
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.1. Architektur
Altes Rathaus in Leipzig
Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt
Der Goldene Schnitt
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8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.2. Kunst
Raffaels „Sixtinische Madonna“
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.2. Kunst
Leonardo da Vincis „Mona Lisa“
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.3. Körper des Menschen
Leonardo da Vinci: Leonardo da Vinci: Ästhetische Proportionen des MenschenÄsthetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der , z.B. teilt der Nabel den Menschen im goldenen SchnittNabel den Menschen im goldenen Schnitt
Der Goldene Schnitt
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04.12.2006
8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen
8.4. Natur
SonnenblumeSonnenblume
Blütenstand nach dem Goldenen Blütenstand nach dem Goldenen
Schnitt angeordnetSchnitt angeordnet
→ → optimale Nutzung der optimale Nutzung der
SonnenstrahlenSonnenstrahlen
Der Goldene Schnitt
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9. Der Goldene Schnitt in der Schule
• In der 9. Klasse als „Mathematische Exkursion“ (Lambacher Schweizer)
• Im Lehrplan der 9.Klasse:
Reelle Zahlen (irrationale Zahlen)
Satz des Pythagoras
Strahlensätze
Quadratische Gleichungen
Ähnliche Figuren
Verschiedene Themen des Lehrplans werden im „Goldenen Schnitt“ verarbeitetAnschauliche Verwendung der gelernten Theorie