Eine Klasse von achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen mit großen Scherungsgruppen

Mh. Math. 97, 2345 (1984) IV~na~efte for

Malhematik �9 by Springer-Verlag 1984

Eine Klasse von achtd imens iona len l o k a l k o m p a k t e n Trans la t ionsebenen mit groflen Scherungsgruppen

Von

Hermann H~ihl, Kiel

(Eingegangen am 30. September 1983)

Abstract. A Class of Eight-dimensional, Locally Compact Translation Planes with Many Shears. This paper is one of the final steps in a classification program to determine all eight-dimensional, locally compact translation planes having large collineation groups. Here, we describe all such planes whose collineation group contains a semidirect product 2Y. N, where N is an at least 3-dimensional normal subgroup consisting of shears with fixed axis, and Z is isomorphic to SO 3 (E).

1. Einleitung

1.1. Inhalt. In [12] wurde die allgemeine Struktur der Kollinea- tionsgruppe von achtdimensionalen lokalkompakten Translations- ebenen untersucht, in denen die Gruppe G c der stetigen affinen Kollineationen eine zu SO3(N) lokal isomorphe Untergruppe S enth/ilt, welche auf der Translationsachse L~ Fixpunkte hat und eine zu SO3 (R) isomorphe Transformationsgruppe induziert.

Als besonders relevant unter dem Blickwinkel der Klassifikation der Ebenen mit groger Kollineationsgruppe (die in [6] begonnen wurde) erweist sich dabei der Spezialfall, dab G c noch eine dreidimensionale abgeschlossene Untergruppe N von Scherungen mit fester Achse enth/ilt, die von s normalisiert wird (Alternative (2) des SO3 (~)-Satzes in [12; 1.4]). Dies ist ein glficklicher Umstand, da man Scherungsgruppen fiber Koordinatenmethoden algebraisch gut im Griff hat.

Die Ebenen, in denen solche Kollineationsgruppen s und N auftreten, lassen sich denn auch alle explizit bestimmen. In der vorliegenden Arbeit wird der Fall s ~ SO3(R) behandelt; solche Ebenen nennen wir kurz SO3 (N)-Ebenen mit mindestens dreidimensionaler Scherungsgruppe. Die alternative M6glichkeit, dab 27 die universelle Oberlagerungsgruppe Spin 3 (~) von SO3 (N) ist, wird in einer

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weiteren Arbeit [13] diskutiert werden. Dabei wird sich schliel31ich herausstellen, dab in diese beiden Ebenenklassen - - neben den in [5] behandelten Ebenen vom Lenz-Typ V sowie den Ebenen fiber den Fastk6rpern von Kalscheuer-Tits (siehe [8; 3.3]) - - alle weiteren achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen mit (mindestens) 17-dimensionaler Kollineationsgruppe fallen.

Zur Gliederung: Wir erinnern zun~ichst an die einschlfigigen Grundtatsachen und ffihren dann in w 2 ausgehend von den Ergebnis- sen von [12] die Feinanalyse der ffir die Struktur der Kollineations- gruppe bestehenden M6glichkeiten durch; dies kann ohne weiteren Aufwand ffir beide Ebenenklassen zugleich geschehen. In w 3 werden dann auf dieser Grundlage alle SO3 (E)-Ebenen explizit bestimmt.

Der Verfasser dankt der Deutschen Forschungsgemeinschaft fiir das Forschungsstipendium, zu dessen Ergebnissen die vorliegende Arbeit geh6rt. Sie stellt einen Ausschnitt aus der Habilitationsschrift des Verfassers dar.

1.2. Grundtatsachen. Eine achtdimensionale lokalkompakte Translationsebene 1/iSt sich als affine Ebene bezfiglich irgend zweier verschiedener Koordinatenachsen W und S dutch einen ats Ursprung gew/ihlten Punkt o koordinatisieren fiber einem lokalkompakten topologischen Quasik6rper Q, dessen additive Gruppe die Vektor- gruppe R 4 ist ([19; w 7, insb. 7.23]).

Der affine Punktraum A ist in diesen Koordinaten der R- Vektorraum Q xQ = Ns. Die Ursprungsgeraden sind die 4-di- mensionaten linearen Teilr/iume W = Q x {0}, S = {0} x Q und {(x, a o x); x ~ Q} (Gerade der ,Steigung' a) ffir 0 # a e Q, wo o die Multiplikation des Quasik6rpers Q ist; die fibrigen affinen Geraden entstehen als Bilder der Ursprungsgeraden unter der Translations- gruppe des Vektorraums A = R s. Durch Adjunktion einer uneigentlichen Geraden L~ erh/ilt man eine kompakte topologische projektive Ebene ([19; w als projektive Gerade ist L~ hom6omorph zur Einpunktkompaktifizierung einer affinen Geraden, also zur 4-Sph~re N4.

Die Gruppe ~3 c der stetigen affinen Kollineationen ist das semidirekte Produkt der Translationsgruppe mit dem Stabilisator G o ~ des Ursprungs. G~ ist eine abgeschlossene Gruppe yon E-linearen Transformationen yon A = E8 (siehe z. B. [3; w 3]). Der Tr/igheitsnormalteiler der Wirkung von G ~ auf der uneigentlichen Geraden Loo ist die Gruppe GEo, L~I der affinen Streckungen vom Zentrum o aus, also

Eine Klasse von achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen 25

aller Kollineationen, die jede Ursprungsgerade invariant lassen. Sie wird algebraisch beschrieben durch den Kern

Ker Q =

= {cEQ; A x , y~Q: (x + y)oc = xoc + yoc, (xoy)oc = xo(yoc)}

des Quasik6rpers Q; die Streckungen vom Zentrum o aus sind n~mlich - - in Koordinaten fiber Q - - genau die Kollineationen der Form

( x , y ) ~ ( x o c , yoc) mit 0 # c e K e r Q

(vgl. [1], [15; 8.2]). Ker Q ist ein abgeschlossener UnterkSrper von Q, der ~ = 1-R enthfilt (entsprechend den Streckungen mit reellen Skalaren im Vektorraum A = R8). Nach dem Satz yon Pontrjagin ist also Ker Q gleich ~ oder isomorph zu C, sofem nicht Ker Q = Q der Quaternionenschiefk6rper ist, d. h. die klassische Quaternionenebene vorliegt. Angesichts der Beziehung zur Streckungsgruppe GEo, L=j ist der Isomorphietyp yon Ker Q unabhfingig vom gew~ihlten Koordina- tensystem, weshalb man ihn auch als Kern der Ebene ansprechen kann.

Insgesamt hat die affine Ebene eine lineare Struktur als Rechtsvek- torraum fiber KerQ, wobei (~fo, L~l einfach die Gruppe der skalaren Streckungen dieses Vektorraums ist. Die Kollineationen aus G o ~ sind semilinear fiber Ker Q ([1], [15; 8.3.8]), natfirlich mit stetigem Begleit- automorphismus. Da R nur einen und C genau zwei stetige Automor- phismen hat, sind auger im Fall der Quaternionenebene die Kollinea- tionen aus der Zusammenhangskomponente Fo von G ~ stets linear sogar fiber Ker Q. Man erh/ilt dann eine Darstellung von Foals fastdirektes Produkt

r o = A �9 (GIo,

dabei ist A die Zusammenhangskomponente von

SFo = {~Fo; detKerQ ~, = 1}

der Kollineationen aus Fo, die fiber Ker Q Determinante 1 haben, und (E;to ,L~I) 1 die Zusammenhangskomponente der Streckungsgruppe vom Zentrum o aus. SF0 ist damit eine Untergruppe, die auf L~ dieselbe Transformationsgruppe bewirkt wie Fo, dabei aber fast effektiv auf Loo wirkt. - - Im Fall der Quaternionenebene erreicht man im fibrigen dasselbe durch die Setzung

A = S F o--- SL 2 ( H ) .

26 H.H.~IL

Im Hinblick auf das Thema dieser Arbeit ist es wichtig, Scherun- gen in Koordinaten beschreiben zu k6nnen.

1.3. Seherungen Sei s ~ L~ der zur Koordinatenachse S = {0} x Q geh6rige uneigentliche Pnnkt. Die Gruppe G[s, sl der Scherungen mit Achse S (und Zentrum s) l~il3t sich in Koordinaten beschreiben anhand des Distributors

DQ = {d~Q; A a , x~Q: (d + a)x = dox + aox}

yon Q; die Elemente yon E;t,,s 1 sind nfimlich in Koordinaten fiber Q genau die Kollineationen der Form

aa: (x,y)~---~(x, dox + y) mit d ~ D Q ,

wie man sich leicht fiberlegt. DQ ist eine abgeschlossene Untergruppe der additiven Gruppe ~4

yon Q, und DQ ~ G~s,s~: d~-~ a~ ist ein Isomorphismus topologischer Gruppen.

Eine abgeschlossene zusammenhfingende Untergruppe N von G[s, s] entspricht unter diesem Isomorphismus einem Untervektorraum Vvon R 4 ([16; Beispie133, S. 127]). Ein Element aa~ N (d~ V) ffihrt die Ursprungsgerade der Steigung a~ Q in die Ursprungsgerade der Steigung d + a fiber. Identifiziert man also Lo~ \ {s} mit Q, indem man jedem Punkt aus Loo \ {s} die Steigung der zugeh6rigen Ursprungsge- raden zuordnet, so geht das System der Bahnen yon Nin L~ \ {s} fiber in das System der Nebenklassen yon E4 nach V.

SchlieBlich werden wir uns wesentlich auf die folgende Aussage stfitzen, die eine vereinfachte Version eines grundlegenden Ergebnis- ses aus [7; 2.1] ist:

1.4. Lemma iiber Aehsenstandgruppen. Eine zusammenhdngende, abgeschlossene Untergruppe yon SFo, die zwei verschiedene uneigentliche Punkte w, s~Lo~ festldJ3t, ist entweder kompakt oder direktes Produkt einer kompakten Untergruppe mit einer zu ~ isomorphen ,,Kompressionsuntergruppe" Y; die Bahnen yon Y in L~ \ {w, s} haben dann sowohl w als auch s als I-Igiufungspunkt.

2. Struktur und Wirkung der Koilineationsgruppe

In diesem Abschnitt bestimmen wir die M6glichkeiten, die ffir die Struktur der Kollineationsgruppe in den Ebenen des eingangs geschil- derten Typs bestehen. Im einzelnen treffen wir folgende


2.1. Voraussetzungen. Gegeben sei eine nicht desarguessche achtdimensionale lokalkompakte Translationsebene, in der bezfiglich einer Geraden S durch den als Ursprung gew/ihlten affinen Punkt o die Gruppe der Scherungen mit Achse S mindestens dreidimensional ist. (Das Zentrum dieser Scherungen ist der zu S geh6rige uneigentliche Punkt s.) Ferner enthalte G; eine zu SO3 (~) lokal isomorphe, zusammenh/ingende Untergruppe Z mit 271Loo = SO3(~), die S invariant 1/igt.

Auf der 4-Sphfire Loo kann Z dann nur in der gewohnten Weise wirken, d.h. als die Einpunktkompaktifizierung der Wirkung von SO 3 (~) = SO 3 (~) x {id} auf ~4 ~-- ~3 X ~ (siehe RICHARDSON [18]). Insbesondere bilden die Fixpunkte von 2: in L~o eine durch s gehende Kreislinie.

Da die Ebene voraussetzungsgem/ig nicht die desarguessche Ebene fiber dem Quaternionenk6rper ist, ist die quasi-einfache Gruppe 27 in A = (S/'o) 1 (siehe 1.2) enthalten.

Zun/ichst betrachten wir die Wirkung von 27 und der Scherungs- gruppe auf L~o:

2.2. Lemma. Die Gruppe der Scherungen mit Achse S besitzt genau eine zu ~3 isomorphe abgeschlossene Untergruppe N, die von S normalisiert wird; Z induziert auf N eine zu SO3 (R) isomorphe Gruppe von Automorphismen.

Z ldJ3t die Bahnen von N in Loo \ {s} invariant undhat aufjeder dieser (ZU N = ~3 hom6omorphen) Bahnen genau einen Fixpunkt, wirkt also auf ihr wie auf N als SO3 (R).

Beweis: Wir behandeln zun/ichst den Fall, dag die Scherungs- gruppe Gl~,sl genau dreidimensional ist. N ist dann ihre Zusammen- hangskomponente. Nach 1.3 ist N ~ N3, und Loo \ {s} 1/igt sich so mit ~4 identifizieren, dag die N-Bahnen das System der Nebenklassen eines dreidimensionalen Untervektorraums yon ~4 werden.

Der Bahnenraum M der Wirkung von N auf Loo \ {s} ist also zu hom6omorph, und Z wirkt auf diesem Bahnenraum, da N von 27 normalisiert wird. Die Bahnen yon 27 auf N ~ R sind kompakte zusammenhfingende homogene Teilmengen und daher einelementig, d.h. Z lfigt jede N-Bahn in Loo invariant.

N wird von S nicht zentralisiert, da sonst N die Kreislinie der Fixpunkte von 22 in Loo invariant liege, was angesichts der zu N3 hom6omorphen N-Bahnen nicht geht. Folglich operiert 27 als SO3 (N) auf N ~ R 3 und auf jeder N-Bahn in L~o \ {s}.

28 H. HLrII~

Da die S-Bahnen in Loo Punkte oder 2-Sph/iren sind, hat S in jeder N-Bahn 3~ ~ R 3 in Loo \ {s} genau einen Fixpunkt. Dies entspricht einem viel allgemeineren Sachverhalt bezfiglich der Wirkung kompakter zusammenh/ingender Liegruppen auf euklidischen R/iumen mit Bahnen der Kodimension 1 (vgl. [14]), kann aber hier etwa durch folgende elementare Llberlegungen gewonnen werden: Die Innenge- biete von zur 2-Sph/ire hom6omorphen S-Bahnen in 3; ~ •3 sind invariant unter S, und ihre Abschlfisse bilden nach dem Zerlegungs- satz von JORDAN--BROUWER eine durch Inklusion teilweise geordnete Menge derart, dab zwei Elemente vergleichbar oder disjunkt sind. Der Durchschnitt einer maximalen Kette in dieser geordneten Menge ist aus Kompaktheitsgrfinden nicht leer und enth~lt keine zur 2-Sph/ire hom6omorphe S-Bahn mehr, besteht also aus Fixpunkten von S. Ausgehend von einem Punkt f~ 3; kann man N mit 3C verm6ge der Abbildung ~ - -~00 identifizieren, und diese Identifikation ist S- fiquivariant, wennfein Fixpunkt von 2;ist. Also ist die Wirkung von S auf 3;/iquivalent zur linearen Wirkung auf N ~_ ~3 und hat insbesondere genau einen Fixpunkt. Damit sind ffir den Fall dim G[s, sl = 3 alle Aussagen bewiesen.

Eine h6here Dimension ffir Gis, s 1 ergibt sich nur, falls Gt~,s ] scharf transitiv auf L~ \ {s} operiert (siehe 1.3). Man kann dann ganz L~ \ {s} in S-~iquivarianter Weise mit der Gruppe G[~, s] - ~ 4 identifizieren, in der Seine zu SO3 (R) isomorphe Gruppe von Automorphis- men induziert und insbesondere genau eine dreidimensionale Vektor- untergruppe N ~ R 3 invariant ffiBt. An dieser Identifikation liest man auch alle weiteren Aussagen ffir diesen Fall unmittelbar ab.

2.3. Satz (Voraussetzungen von 2.1). Die Zusammenhangskompo- nente F der Gruppe aller stetigen affinen Kollineationen lit'fit das Scherungszentrum s fest. Die yon S normalisierte Scherungsgruppe N ~- R 3 (siehe 2.2) ist ein Normalteiler yon ~ , und es liegt eine der folgenden alternativen Situationen vor:

O) F lit'fit jede N-Bahn in Loo \ {s} invariant. Dann ist

Fo = N-Z-(Gto, L4) 1 .

(ii) F liiflt genau eine N-Bahn 3~ in Lo~ \ {s} invariant. 3~ besteht dann genau aus den Punkten w6Lo~ \ {s}, ffir die eine nichttriviale Kompressionsuntergruppe Y bezfiglich w und s (im Sinne des Lemmas fiber Achsenstandgruppen 1.4) existiert. Au f den beiden zu ~4 hom6o- morphen Zusammenhangskomponenten von Lo~ \ (3~ u {s}) wirkt P


transitiv, und es ist

To = N" Z- Y. (Gto, L~])'.

Ist speziell w der Fixpunkt von Z in Y~, so kann dabei Y im Zentralisator von Z gewiihlt werden.

(iii) P ist transitiv auf Loo \ {s}. Dann ist die Zusammenhangskom- ponente Z des Zentratisators yon 2 in SFo isornorph zu ~ oder L2 und enthgilt einen zu ff~ isomorphen Normalteiler O, der scharf transitiv auf dem zu • hom6omorphen Bahnenraum yon N in Loo \ {s} operiert. Ist Z ~- ~, also Z = O, so gilt

F o = N" O'Z'(G[o, Co~]) 1 .

lm Fall Z ~- L2 besteht 0 aus Scherungen, so daft die Ebene vom Lenz- Typ V (mit der vierdimensionalen auf L , \ {s} transitiven Scherungs- gruppe Gv, s] = N" O) ist, und man hat

['o = N" Z" S" (G[o,L~I) 1"

Bemerkung: Jede dieser Alternativen ist in geeigneten Ebenen tatsfichlich verwirklicht (siehe 3.3 und [13]).

Beweis: (a) DaB N ein Normalteiler von Found s ein Fixpunkt von /~ ist, ergibt sich aus den Aussagen des SO3 (~)-Satzes von [12; 1.4], von dem die hier behandelte Problemstellung ihren Ausgang nimmt.

Sei nun w ~ Loo \ {s} ein Fixpunkt von Z. Da s ein Fixpunkt von F ist, hat nach dem Lemma fiber Achsenstandgruppen (1.4) die Zusammenhangskomponente (Aw) 1 des Stabilisators von A = (SPo) 1 (siehe 1.2) in w eine gr613te kompakte Untergruppe K der Kodimen- sion h6chstens 1. Wegen Z _ Kist aufgrund der M6glichkeiten ffir die Wirkung kompakter Liegruppen auf der 4-Sph/ire (RICHARDSON [18]) entweder KI Lo~ ~ SO3 (R) (woraus aus Dimensionsgrfinden K = S folgt), oder abet es w~re KI Lo~ = SO4 (R). Im zweiten Fall 1/ige eine sogenannte SO4 (N)-Ebene oder Spin(4)-Ebene im Sinne von [9], [8] vor; dann w/ire abet auch w ein Fixpunkt yon F ([8; 2.4, 2.2], [9; 3.3]), was sich nicht mit der Scherungsgruppe N vertr/igt. Also ist Z die gr613te kompakte Untergruppe yon (Aw)1. Insbesondere ist nach dem Lemma fiber Achsenstandgruppen

d i m A w ~ 3 + l = 4 und

dimA = d i m A ( w ) + d i m A w < . 4 + 4 = 8 .

30 H. H~L

(b) F o permutiert die Bahnen des Normalteilers N und operiert also als Transformationsgruppe auf dem Bahnenraum ~ der Wirkung von N in L~ \ {s}. Nach 1.3 ist ~ hom6omorph zum Faktorraum ~4/~3 ~ ~. Die zusammenhfingende Gruppe 1'o wirkt also entweder transitiv auf ~ (und dann transitiv auf L~ \ {s}), oder sie lfiBt ein Element von ~ fest, d.h. eine N-Bahn in L~ \ {s} invariant. Wir behandeln die beiden Ffille getrennt:

(b 1) Fo lasse eine N-Bahn in L~ \ {s} invariant, d.h. ffir ein w ~ L~ \ {s} sei Fo (w) = N(w). Dann ist Fo = N. Po, w und aus Zusam- menhangsgrfinden mit 1.2 also

Fo = N" (Aw)l'(G[o,L~]) t

Nach 2.2 hat s auf N (w) genau einen Fixpunkt; o. B. d. A. k6nnen wir also annehmen, dab w ein solcher ist. Nach (a) und nach dem Lemma fiber Achsenstandgruppen ist entweder (Aw) 1 = S oder (Aw) 1 : 27" Y,

wo Y ~ R eine (S zentralisierende) Kompressionsuntergruppe ist. Im ersten Fall ist Fo = N. 27. (~3to, r~l) 1 das Erzeugnis von Gruppen,

die s/imtliche N-Bahnen invariant lassen. Insgesamt liegt damit Situation (i) vor.

Im zweiten Fall ist Fo = N. 27. Y. (Gto, Lo~l) 1. Ist w' irgendein Punkt von Loo \ {s}, dessen Stabilisator Aw, eine Kompressionsuntergruppe Y' beziiglich w' und s im Sinne von 1.4 enth~ilt, so ist w' ein Hfiufungspunkt von Y' (w) und damit auch von Po (w) = N(w). Wegen der Abgeschlossenheit von N(w) in Loo \ {s} folgt w'~ N(w), so dab N(w) genau aus den Punkten mit Kompressionsuntergruppe besteht. Aus demselben Grunde bleibt neben N(w) keine weitere N-Bahn in Loo \ {s} invariant; im Raum ~ ~ ~ der N-Bahnen in L~ \ {s} hat 1"o also auger N (w) keine weiteren Fixpunkte und wirkt folglich transitiv auf den beiden Zusammenhangskomponenten von N \ {N(w)}. Nach der Beschreibung 1.3 yon Scherungsbahnen sind die beiden entsprechenden Zusammenhangskomponenten von ( L ~ \ { s } ) \ N ( w ) ~ -

~4 \ ~3 hom6omorph zu ~4, und F wirkt transitiv aufihnen. Somit liegt die in Alternative (ii) der Behauptung beschriebene Situation vor.

(b 2) Fo wirke transitiv a u f ~ (und damit auf L~ \ {s}). Nach 2.2 hat 27in jeder N-Bahn in L~ einen Fixpunkt. Modulo N kann also jede Kollineation aus A zu einer Kollineation ~ modifiziert werden, die den Fixpunkt w ~ L ~ \ {s} von S wieder in einen Fixpunkt w ' v o n Z fiberffihrt. Da S nach (a) die gr6Bte kompakte Untergruppe yon (A w) 1


und (Aw,) 1 ist, liegt dann ~ im Normalisator Y ( Z ) von s in A, so dab A = JV(X)-N.

Die zu SO3 (R) lokal isomorphe Gruppe 2; besitzt bekanntlich nur innere Automorphismen; folglich ist weiter JV(Z) Produkt von Z und dem Zentralisator von S, also aus Zusammenhangsgrfinden

A = Z ' X ' N ,

wo Z die Zusammenhangskomponente des Zentralisators von S in A ist.

Wir bestimmen nun die Zusammenhangskomponente z- des Trfigheitsnormalteilers der Wirkung von A auf ~ . Wegen N ~ = ist

= Ew" N. In ~w k6nnen keine Kompressionsuntergruppen im Sinne von 1.4 liegen, da ~w alle N-Bahnen in L~ invariant lfiBt. Also ist Zw nach 1.4 kompakt , und wegen S ___ Sw und nach (a) folglich gleich 2;, so dab

3 = S . N .

Der Normalisator JV(Z) permutiert die Fixpunkte von Z in Loo, von denen jeweils genau einer in jeder N-Bahn liegt (2.2) und hat daher trivialen Schnitt mit N; folglich ist Z c~ 3 im diskreten Zentrum von Z enthalten. Z wirkt also mit diskretem Tr/igheitsnormalteiler auf ~ , und zwar transitiv, da nach Voraussetzung A = Z . Z - N transitiv wirkt. Wegen dim A ~< 8 (siehe (a)) ist ferner dim Z ~< 2; nach dem Satz von Brouwer fiber die transitiven Wirkungen von lokalkompakten Gruppen auf 1-Mannigfaltigkeiten (siehe [19; 3.18]) ist die von Z auf

~ ~ induzierte Transformationsgruppe also isomorph zur affinen Gruppe L2 oder zur Translationsgruppe N. Da diese beiden Gruppen einfach zusammenhfingend sind und folglich nicht echt von Z fiberlagert werden k6nnen, ist insbesondere die Wirkung von Z auf sogar effektiv. Man erh/ilt somit die in Teil (iii) der Behauptung geschilderte Situation. Ergfinzend ist allerdings noch zu zeigen, dab im Fall Z ~ L2 die Kommutatorgruppe O yon Z, die auf N ~ N wie der Normalteiler der Translationen in L2 wirkt, aus Scherungen besteht.

Hierzu betrachte man die lineare Wirkung von s und Z auf der zu s geh6rigen affinen Ursprungsgeraden S ~ R 4. Zungchst kann s nicht trivial auf S wirken, da sonst X aus Streckungen mit Achse S und Zentrum w bestfinde und also auBer w keine weiteren Fixpunkte in Lo~ \ {s} haben dfirfte. Somit induziert 2; auf Se ine zu SO3 (N) oder deren universelle Oberlagerungsgruppe Spin3 (N) isomorphe Unter- gruppe von GL4 (N). Der Zentralisator einer solchen Untergruppe ist

32 H. HLrtL

isomorph zu (~,)2 bzw. zur multiplikativen Gruppe des Quaternio- nenk6rpers; insbesondere sind Untergruppen der Dimension ~< 2 dieses Zentralisators kommutativ. Die Kommutatorgruppe O ~ von Z ~ L2 wirkt also identisch auf S, und angesichts der scharf transitiven Wirkung von O auf ~ handelt es sich um eine Gruppe von Scherungen mit Achse S. Die Scherungsgruppe O.N ist dann transitiv auf Lo~\ {s); es liegt also eine Ebene vom Lenz-Typ V vor, wie behauptet.

3. SO3 (•)-Ebenen mit groBen Scherungsgruppen

3.1. In diesem Abschnitt soil nun der Fall 27 -~ SO3 (~) abschlie- Bend behandelt werden. Wir betrachten also achtdimensionale lokalkompakte Translationsebenen, in denen bezfiglich einer affinen Geraden S die Gruppe der Scherungen mit Achse S mindestens dreidimensional ist, und in denen G~ eine zu SO3 (~) isomorphe Untergruppe S besitzt, welche S invariant l~iBt. Solche Ebenen nennen wit kurz SO3 (R)-Ebenen mit mindestens dreidimensionaler Scherungs- gruppe. Sie lassen sich shmtlich explizit bestimmen. Wir werden sie als Koordinatenebenen fiber geeigneten lokalkompakten Quasik6rpern angeben, die nun zun/ichst beschrieben werden sollen:

3.2. Die additive Gruppe des Quaternionenk6rpers N sei in der Weise mit ~4 identifiziert, dab dem Element a = al + ia2 + ja3 +

+ k a n E H das 4-Tupel der Koeffizienten an ~ R entspricht. Ffir einen festen Hom6omorphismus

: R ~ E m i t ~(0) = 0 und ~(1) = 1

sowie einen festen Parameter ~ > 0

betrachten wir nun auf dieser additiven Gruppe eine Modifikation o der Quaternionenmultiplikation, die in Matrizenschreibweise wie folgt definiert ist:

a o x = lal a2 a3 a4ttx t a2 ~ (a0 - a4 a3 x2 a3 a4 9 (al) -- a2 x3 " a4 -- a3 a2 Q (a0 X4

Die algebraische Struktur bestehend aus der Vektoraddition + und dieser Multiplikation o nennen wir D H . Wir zeigen: c%Q


D H = (~4 _~_ o) ist ein topologischer Quasik6rper. Die Automor- phismengruppe

A : = {H --* H" x~--~axa-l ; a ~ H , lal = 1}

des Quaternionenk6rpers besteht aus Automorphismen auch von D H . Genau fiir 9 = id ist D H beidseitig distributiv, und genau fiir 9 = id und ~ = 1 ein K6rper (der Quaternionenk6rper).

Beweis: Zunfichst beweisen wir die Behauptung beziiglich Auto- morphismen. Indem man a ~ H in seinen Realteil Re a = al und seinen reinen Teil Pu a = i a 2 + j a3 + k a4 aufspaltet, kann man die Multipli- kation o auch wie folgt mittels der gew6hnlichen Quaternionenmulti- plikation �9 beschreiben:

a o x = R e a . R e x + ~ . R e ( P u a ' P u x ) + P u a . R e x + (*) + ~ (Re a)- Pu x + Pu (Pu a. Pu x).

Daran liest man sofort ab, dab die Elemente von A auch Automor- phismen bezfiglich dieser neuen Multiplikation sind, da sie die Zerlegung in Realteil und reinen Teil respektieren; genauer gesagt l/il3t ja A die Realteile fest und wirkt als SO3 (R) auf dem Raum Pu H = ~3 der reinen Quaternionen (mit verschwindendem Realteil), siehe etwa [17; S. 179ff.].

D H erffillt weiter die Planaritfitsbedingung, wonach ffir a # b die lineare Abbildung x ~ a o x - b o x stets nichtsingulfir ist. Um dies zu beweisen, kann man sich durch Anwendung eines geeigneten Auto- morphismus aus A auf den Spezialfall a3 = a4 = 0, b4 = 0 zurfickzie- hen; die Matrix der fraglichen linearen Abbildung ist dann

a i -b l -~'(a2-b2) ~b3 0 \ a 2 - b 2 o ( a 0 - 9 ( b ~ ) 0 - b 3 ) --b3 0 9 (a0 - ~ (bl) - (a2 - b2)

O b3 a2 - b2 ~ (al) - ~ (bl)

und hat Determinante

[(~ (al) -- Q (bl)) 2 + (a2 - b2) 2 + b32] �9

" [ ( a l - b l ) ( O ( a l ) - o (bl)) + ~ ' ( a 2 - b2) 2 + ~b32] ;

diese ist ffir a # b stets > 0, da ~ > 0 und da al - bl und e ( a l ) - 9 (bl) wegen der Monotonie von e stets dasselbe Vorzeichen haben. - -

3 Monatshefte ffir Mathematik, Bd. 97[1

34 H.H.LHL

Mit diesen Informationen zeigen wir zun/ichst, daB die von 1 �9 R und i erzeugte Unterstruktur E2 • {0} ein topologischer Quasik6rper D c ist. Nach dem Kriterium 2.3 von [11] genfigt hierzu die Verifikation der rein algebraischen Aufl6sungsbedingung, dab ffir a = am + i a 2 ~ 0 und c = c~ + ic2 die Gleichung y o a = c stets nach y = y~ + i y 2 aufgel6st werden kann. In Koordinaten hat man hierzu das Gleichungssystem

a l y I - - o ~ a 2 y 2 = c 1

a2" 9 (Yl) + al Y2 = c2

zu 16sen. Multipliziert man die erste Gleichung mit al, die zweite mit a2 und addiert, so erh~ilt man

aa 2 Yl + ~ a2" ~ (Yl) = cl al + ~ c2 a2.

Links steht eine monotone und unbeschr/inkte Funkt ion von y~, so dab diese Gleichung eine L6sung y~ hat; Y2 ergibt sich dann nach einer der Ausgangsgleichungen.

Zum AbschluB des Beweises, dab ganz D H ein topologischer Quasik6rper ist, verwenden wir schlieBlich eine Kombinat ion der Kriterien 2.1 und 2.4 aus [11], wonach ein topologischer Quasik6rper genau dann vorliegt, wenn fiber die Planarit~itsbedingung hinaus die folgende Stetigkeitsbedingung im Unendlichen erffillt ist: Ffir jede bestimmt divergente Folge von Elementen a(~)~ R 4 und ffir jede in ~ 4 \ { 0 } konvergente Folge von Elementen x ( O ~ 4 ist die Folge a (~ o x (~) ebenfalls bestimmt divergent. Durch Anwendung von Auto- morphismen aus A und Obergang zu geeigneten Teilfolgen kann man o. B. d. A. annehmen, dab die a ~~ in der Unterstruktur D c = R 2 • {0) liegen. Die Matrix der Linksmultiplikation in D~ 'Omit a ~0 = = a~ ~) + ia(2 0 ~ D c hat dann die Gestalt

A (~) 0 )

wo A~')eGL2(N) die Matrix der Linksmultiplikation mit a (~ im Unterquasik6rper D c = N2x {0} und A(2 ") die Matrix der Multipli- kation mit

~ (a~')) + ia(2 ")

im K6rper C der komplexen Zahlen ist. Damit ergibt sich die Gfiltigkeit der zu beweisenden Stetigkeitsbedingung im Unendlichen aus ihrer Gfiltigkeit in den topologischen Quasik6rpern D c und C.


Die Mul t ip l ika t ion von D n ist genau d a n n beidseitig distributiv, wenn q : R - - , ~ ein addit iver H o m o m o r p h i s m u s u n d folglich (aus Stetigkeitsgrfinden) l inear ist, wegen q (1) = 1 also genau ffir q = id. Angesichts (j o i) o i = - j u n d j o (i o i) = - j ~ ist schliel31ich die Mult i - p l ikat ion von D n genau ffir ~ = 1 assoziativ (D~i d ist der Quater- ~, id

nionenk6rper) .

3.3. Klassifikationssatz. Die SO3 (N)-Ebenen mit mindestens dreidimensionaler Scherungsgruppe sind genau die Ebenen, die sieh iiber den Quasik6rpern D H aus 3.2 koordinatisieren lassen.

ct, 0

Genau fiir q = id und ~ = 1 erhiilt man dabei die Ebene iiber dem Quaternionenk6rper.

In allen anderen Fallen ist der uneigentliehe Punkt s der zweiten (,senkrechten') Koordinatenachse S der einzige Fixpunkt der Zusam- menhangskomponente F der Gruppe der stetigen affinen Kollineationen. In Koordinaten fiber D H ist

oq 0

Z = { ( x , y ) ~ + ( a x a - l , aya-1) ; a e H , lal = 1}

eine zu SO3 (N) isomorphe Kollineationsgruppe und

N = {(x,y) ~-+ (x ,y + pox); p e P u ~} ~ ~3

ein NormalteiIer yon No, der aus Seherungen mit Aehse S besteht. Der Kern der Ebene ist isomorph zu ~, so daft

G[o,L~I = {(x,y)~--~(xr, yr); re ~ \ {0}}.

Beziiglich P-Bahnen in Loo und der Dimension von F bestehen folgende M6glichkeiten:

(i) Ftir alle w' e Lo~ \ {s} ist die Gruppe F[w, ' Slder Streckungen in 1" mit Achse S und Zentrum w' trivial, F liifitjede N-Bahn in L~ invariant, man hat

G i r o= N.S-( lo, Ld)

und infolgedessen (zusammen mit der Translationsgruppe)

d i m F = 15.

(ii) Die uneigentliehen Punkte w' e Loo \ {s}, f i ir die ~,/,al nichttri- vial ist, bilden eine N-Bahn Y~. Fiir diese Punkte ist dann qw,,s] ~- ~. A u f den beiden Zusammenhangskomponenten yon Loo \ (3i u {s}) wirkt I ~ transitiv, und es ist

G 1 Po = N " S " Ftw', Sl " ( to, L~l) ,

36 H. H~tL

also dim F = 16.

Dies ist genau dann der Fall, wenn fiir ein f e ~ die Einschrdnkungen von q a u f ( - oo, f] und [~, oo)jeweils linear mit verschiedener Steigung sind. (Dabei ist ~ bestimmt als der konstante Realteil der Steigungen der Geraden dureh die Punkte aus Y~).

Bis au f Isomorphie kann man f = 0 annehmen (was bedeutet, daft in der Koordinatisierung der uneigentliehe Punkt w der ersten Koordina- tenachse zu Y. geh6rt) undo au f die Form

(r) = r f i ir r >>. O

e ( r ) = x - r f i ir r ~ O

mit einer Knickkonstanten

~ > 1 normieren; es ist dann

rtw, s 1 = y) ; t > o}.

Man erhiilt so eine dureh zwei Parameter ~ > 0 und u > 1 besehriebene Familie yon Ebenen.

(iii) Fiir alle w 'e Lo~ \ {s} ist ~ ; sl ~ ~. Die Ebene hat dann den Lenz-Typ V, d.h. die Gruppe P[s.sl der Scherungen mit Achse S ist vierdimensional und wirkt transitiv au f Loo \ {s}, und es ist

Co = rts, , x . also

dim F = 17.

Dieser Fall tritt genau fiir 0 = id ein (er lit'fit sich als Grenzfall der Ebenen aus (ii) auffassen, indem man ~ = 1 zuldJ3t).

Bemerkungen. 1) Man kann zeigen, dab die Ebenen, die sich in Situation (ii) durch die beschriebene Normierung ergeben, fiir verschiedene Parameterwerte ~, ~ untereinander nicht i somorph sind.

2) Die sich in Situation (iii) ergebenden nichtassoziativen Divi- sionsalgebren D H und die von ihnen koordinat is ier ten Ebenen

~, id

sind in [4] und [5; w bereits eingehend behandelt worden. Ffir verschiedene Parameterwerte ~ > 0 ergeben sich nicht i somorphe Ebenen.


Beweis: (a) Sei Seine zu SO3 (R) isomorphe Untergruppe von G ~, welche die Ursprungsgerade S invariant lfil3t. Da S einfach ist, und da die Streckungsgruppe GIo, L~1 zur multiplikativen Gruppe yon R, C oder H isomorph ist (1.2) und folglich keine zu SO3 (R) isomorphe Untergruppe enthalten kann, wirkt S treu auf Lo~, und hat (siehe 2.1) eine Kreislinie von Fixpunkten in L~. Insbesondere kann S keine nichtidentischen Kollineationen mit Achse S enthalten (da eine solche h6chstens zwei Fixpunkte in L~ hitte) und wirkt also auch auf S treu. Entsprechend der bereits benutzten Darstellung von SO3 (~) mittels Quaternionen lfilt sich demnach S als Untervektorraum von A = ~8 so mit dem •-Vektorraum H identifizieren, dal3

S I S = {H ~ H :yw-~aya-1; a~H, lal = 1}.

Wir betrachten nun zwei weitere unter 2; invariante Ursprungs- geraden W und E. Unter Wahrung der bereits vorgenommenen Identifikation von S mit • identifizieren wir A so mit ~ • b~, dal3

s=H• w={0)•

Wegen der Invarianz von E und W schreibt sich Z in diesen quaternalen Koordinaten, die im folgenden stets zugrunde gelegt seien, als

2;= {(x,y)~--~(axa-l,aya-1); a~H, ]a] = 1}.

Sei nun Q der topologische Quasik6rper, der die Ebene bez/iglich Wund S als Koordinatenachsen und (1, 1)e H x H = / ~ als Einheits- punkt koordinatisiert. Die zugrunde liegende additive Gruppe von Q ist nach dem Gesagten bereits mit der additiven Gruppe von H identifiziert. Zur Unterscheidung von der Quaternionenmultiplika- tion, die wir wie bisher notieren, schreiben wit die Quasik6rpermulti- plikation in Q mit dem Zeichen o.

Der gew/ihlte Einheitspunkt ist ein Fixpunkt von 2, was sich bekanntlich in die Aussage tibersetzen l i l t , dab die von X auf S = Q = ~ induzierte Gruppe

A : = {H ~ H :xw-~axa-1;a~H, lal = 1} ~ SO3(R)

aus Automorphismen des Quasik6rpers Q besteht ([2; Satz 11, S. 153], siehe auch [15; 8.3 Satz 9, S. 209]). Die einzigen A-invarianten N- Untervektorrfiume von Q = H sind 1 �9 ~ = ~ ___ H und der Unter-

raum P ' = Pu H ___ Q

38 H. H~HL

der reinen Elemente. - - Aufgrund dieser Tatsachen zeigen wir nun:

(b) Ist Q kein K6rper, so besteht der Kern yon Q genau aus den reellen Vielfachen der 1:

K e r Q = I . N = N .

Fiir alle r e R ~ Q und alle x e Q gilt

x o r = x r . (1)

Fiir r e ~ und p e P gilt andererseits

r op -- p- q (r), (2) wo

~ : ~

ein Hom6omorphismus mit

0 ( 0 ) = 0 und ~(1)=1 ist.

Die Beziehung (1) drfickt dabei nur aus, wie bei unseren Identifika- tionen die ~-Vektorraumstruktur mit der Vektorraumstruktur fiber dem Kern zusammenh/ingt und dab Ker Q _~ ~, vgl. 1.2. Insbesondere ist Ker Q ein A-invarianter ~-Untervektor raum yon Q, der 1 enthglt, und daher entweder gleich 1 �9 ~ oder ganz Q; im zweiten Fall ist Q ein K6rper.

Der Stabilisator Ap v o n p e P \ {0} in der Automorphismengruppe A 1/iBt auch r op ffir r e ~ \ {0} _c Q fest. Da der 3-dimensionale Unter raum r o P invariant unter A und daher gleich P ist, und da Ap in P die Rotat ionen um die durch p bestimmte Achse induziert und folglich in P nur die reellen Vielfachen yon p festl/iBt, ist somit

r op = p" q (r) mit ~ (r) e ~ ,

wobei 0 (1) = 1. Dabei ist 0 (r) unabh/ingig yon p, well A g SO3 (R) transitiv auf den Richtungen yon P = N3 operiert. Ffir r = 0 ist (2) trivialerweise mit ~ (0) = 0 erffillt. Da Q ~ Q: x ~ x op wegen p r 0 ein Hom6omorphismus ist, muf3 ffir r --+ __ oc auch 0 (r) divergieren und r ~-~ q (r) ein Hom6omorphismus von R auf sich sein.

(c) Entsprechend den Voraussetzungen 3.1 und gem/iB 2.1 sei nun Neine zu N3 isomorphe Gruppe yon Scherungen mit Achse S, die von 27 normalisiert wird. N stammt nach der Beschreibung 1.3 der Scherungen durch den Distributor DQ von einem 3-dimensionalen


U n t e r v e k t o r r a u m Vvon Q = R4 mit V _ DQ in der Weise, dab sich N in K o o r d i n a t e n fiber Q als

N = {(x,y)~--~(x,y + p o x ) ; p e V}

schreibt. D a N y o n S normal is ier t wird, m u g V invar iant unter der 27 entsprechenden A u t o m o r p h i s m e n g r u p p e A - - S O 3 ( N ) von Q und daher

V = P = P u H

sein. Die Bedingung P -- V __ DQ lautet nun ausgeschrieben

A p e p A a , x e Q : (p + a)ox = p o x + aox . (3)

Mi t a = - p erhfilt m a n daraus 0 = p o x + ( - p) o x, also ( - p) o x = = - (p o x). F fir m, n e N ist ferner (p n) o x = (p + p + . . . + p) o x = = p o x + p o x + . . . + p o x = (p o x) n und folglich [(p. re~n) o x] n = = (p m) o x = (p o x) m, also (p- m/n) o x = (p o x). m/n. D a m i t ist die Aussage

/ ~ r e ~ / ~ p ~ p A x e Q : ( p r ) o x = ( p o x ) r (4)

jedenfal ls ffir ra t ionale r gezeigt; die volle Aussage ergibt sich d a n n aus Stetigkeitsgrfinden.

Ffir p e P ist p op fest unter Ap und liegt also in R + p . ~. N u n existiert ein A u t o m o r p h i s m u s Z e A ~ SO3 (~) mit ~ (p) = - p; nach (4) u n d (1) ist ,1 (pop) = ( - p ) o ( - p ) = (p o ( - p ) ) . ( - 1) = = (pop o ( - 1)) o ( - 1) = p o p u n d daher sogar p o p e R. Wegen (1 + p r) o (1 - p r) = 1 - (pop) r 2 (r e ~) u n d der Nulltei lerfreiheit von Q muB dabei

p o p < 0

sein. Diese In fo rma t ionen genfigen nun, u m ebenso wie fiir die Divisionsalgebren in [4; w 2, insbesondere 2.1, 2.3] zu schliel3en, dab eine Or thogonalbas is el, e2, e3 von P = R 3 existiert mi t ] e l l = [e21 = = [e3[ und el o e 2 = e3 = - (el o e2). Un te r allf/illiger Ab/ inderung der Ident i f ika t ion von Q mi t H durch eine geeignete skalare Streckung der Elemente von P k a n n m a n annehmen , dab el, e2, e3 eine Or thonorma l - basis posit iver Orient ierung von P ist. D u r c h A n w e n d u n g eines geeigneten A u t o m o r p h i s m u s aus A ergibt sich d a n n

i o j = k = - j o i .

Da i,j, k durch einen A u t o m o r p h i s m u s aus A zyklisch ver tauscht werden k6nnen , ist d a n n auch

40 H.H.~d-IL

j o k = i = - k o j , k o i = j = - i o k .

Ferner gilt nach dem Gesagten

i o i = j o j = k o k = -

ffir eine Konstante ~ mit 0 < ~ ~ ~. Da nach (3) bei Multiplikation von Summen von reinen Elementen auch das zweite Distributivgesetz gilt und nach (4) somit m-linear gerechnet werden kann, folgt hieraus im Vergleich zur Quaternionenmultiplikation

A p , q~IZ: Pu(poq) = P u ( p . q ) ; Re (poq ) - - ~ . R e ( p . q ) . (5)

Mit den Beziehungen (1)--(5) l~il3t sich dann die Multiplikation in Q durch Zerlegung der Elemente in ihren Realteil und ihren reinen Teil vollst~indig bestimmen; es ergibt sich

aox = (Rea + Pua) o(Rex + Pux) =

= Re a. Re x + Pu x. q (Re a) + Pu a. Re x +

+ ~. Re (Pu a" Pu x) + Pu (Pu a" Pu x).

Dies ist die Multiplikation des Quasik6rpers D . in der Beschreibung ct, O

(*) aus 3.2; es liegt also die Ebene fiber diesem Quasik6rper vor. Die Ebene ist desarguessch genau dann, wenn D ~ ein K6rper ist;

nach 3.2 ist dies genau ffir q = id und ~ = 1 der Fall. Im folgenden soll dieser Fall auBer Betracht gelassen werden. - -

Die im Satz behaupteten Alternativen (i)--(iii) ergeben sich nun durch Pr~izisierung der entsprechenden Aussagen von Satz 2.3. Die Pr/izisierungen werden dabei anhand des folgenden Hilfssatzes her- geleitet werden:

(d) I-Iilfssatz. Die betrachtete Ebene sei nicht vom Lenz-Typ V. Dann hat jede zu ~ isomorphe Untergruppe Y yon Fo, die Z zentralisiert und effektiv auf Loo wirkt, in L~o neben s noch genau einen zweiten Fixpunkt ff~. Die Steigung F der affinen Geraden durch ff~ (in der Koordinatisierung iiber D ~ ) ist reell (d. h. liegt in dem Unterk6rper

= 1" ~ yon D ~ ) . Eine solehe Untergruppe existiert genau dann, wenn die Einschrginkung yon q auf ( - ~ , ~] und [~, ~ ) linear ist. Das Erzeugnis Y" (Gto, L~I ) 1 enthi~it dann eine zu ~ isomorphe Untergruppe Y', die aus Aehsenstreckungen mit Aehse S und Zentrum vF besteht.

Beweis: Nach 2.3 bleibt unter F o der uneigentliche Punkt s von S fest und also S invariant. Die Elemente von Y haben daher in Koordinaten fiber Q = D H die Gestalt


v : (x, y) ~ (A (x), C (x) + D (y)),

wobei A, C und D lineare Abbi ldungen von ~4 = Q in sich sind; A und D sind dabei invertierbar. Da Y im Zentralisator von Z liegt, mfissen A und D mit den Automorphismen aus A ~ SO3 (N) vertauschbar sein; wegen der Transitivitfit yon X auf den reinen Elementen vom Be- trag 1 ist also

A (x) = Re x. rl + Pu x- r2

D (y) = Re y" tl + Pu y . t2,

wobei die reellen Koeffizienten r~, t~ wegen des Zusammenhangs von Y positiv sind. N u n ber/icksichtigen wir noch, daB N ein Normalteiler von 17o ist. Die Elemente von N sind die Abbildungen

~p: (x,y)F--~(x,y + p o x ) m i t p ~ P ;

aus der Normalisierungsbedingung, dab speziell v ~ /v- 1 = ~p ffir ein geeignetes p 6 P sein muB, ergibt sich ffir A und D durch Einsetzen und kurze Rechnung D (i o A - 1 (x)) = p o x ffir alle x e Q. Mit x = 1 folgt i . t 2 = p . rl, also p = i. t 2 r { J, mit x = j dann k . t2 = k. r 2 t 2 r 11, d. h.

r 2 ~ ?'1

und mit x = i schlieBlich - ~ tl = - ~ r2 t2 r ~-1 = _ ~ t2 ' also

t 2 = t 1 .

Somit hat v die Gestalt

v: (x, y) ~ (x" r, C (x) + y" t)

wobei 0 < r, t ~ ~. Durch Komposi t ion mit der reellen zentrischen Streckung

((x,y)~--~(x. t - l , y �9 t - l ) ) ~ ((3[o,L~]) 1

lfiBt sich v zu der Kollineation (x, y) ~ (x. r t - 1 C (x)- t - 1 + y) modi- fizieren, welche ersichtlich die Achse S punktweise festlfiBt. Indem man eine solche Modif ikat ion auf alle Elemente yon Y anwendet, erhfilt man eine zu ~ isomorphe Untergruppe Y' von Y- (G[o,L~]) 1, die aus Kollineationen mit Achse S besteht und auf Loo wirkt wie Y selbst. Wegen der Kommutativi t / i t haben alle Kollineationen aus Y' dasselbe Zentrum k, das auf der Fixgeraden L~ liegt. Da Y' aus axialen Kollineationen mit Achse S besteht, hat Y' auf L~ auBer s und ~ keine weiteren Fixpunkte. Somit ist ~ ein Fixpunkt von Z, denn mit Y liegt auch Y'noch im Zentralisator von Z. Damit folgt auch Y' c~ N = {id),

42 H. H~.HL

da 2 auf jeder N-Bahn in L| genau einen F ixpunkt hat (2.2) und N als Scherungsgruppe frei auf L~ \ {s} operiert. Ferner ist ~ ~ s: denn sonst w/ire auch Y' eine Scherungsgruppe und w/irde zusammen mit der komplement / i ren Gruppe N eine vierdimensionale Gruppe von Scherungen erzeugen, die dann transitiv auf Loo\ {s} ~ R 4 wirken wfirde; es lgge also eine Ebene vom Lenz-Typ V vor, entgegen den Voraussetzungen.

N u n soll Y' in Koord ina ten fiber D H genau angegeben werden; das liefert dann Aufschlfisse hinsichtlich der besonderen Gestalt von ~. Da Z" zentralisiert wird, permutier t Y' das System der von S verschiedenen unter Z invar ian ten Ursprungsgeraden. Es handel t sich dabei genau um die Ursprungsgeraden, deren Steigung unter der von S induzierten Au tomorph i smengruppe A von D H festbleibt, also im Unterk6rper R = 1. R von D H liegt, mit anderen Wor ten um die Geraden

W~= {(x, R e x . r + Pux.~(r)); xeD2o} m i t r e N .

Da # ein F ixpunkt sowohl von z als auch von Y'ist, erh/ilt m a n ffir ein bestimmtes f e ~ insbesondere die Ursprungsgerade durch ~, und diese ist invariant unter Y'. N u n haben wir schon ermittelt, dab Y' aus Koll ineat ionen

v;: (x, y) ~ (x, t, C;(x) + y) (6)

besteht, wobei Ct' eine E-lineare Abbi ldung von D~e in sich und t > 0 ist. Die Invarianz von ~ unter vt' bedeutet

C[(x) = R e x . f ( t - 1) + P u x . Q ( f ) . ( t - 1); (6')

damit ist v; und Y ' = {v;; t > 0} vollst/indig bestimmt. - - Die Ursprungsgerade We_l geht nun unter vt' fiber in den Un te r r aum {(xt, R e x - ( f t - 1) + P u x . ( Q ( f ) . ( t - 1) + O(f-- 1))}. Dabei m u g sich wie gesagt wieder eine der Ursprungsgeraden W~ ergeben. Der Vergleich zeigt, dab ffir t > 0 und r = f - 1/t, d.h . ffir r e ( - o o , ? ] und t = ( f - r ) - 1, die Beziehung

e(r) = ( e ( f ) . ( t - - 1) + O(f-- 1)) . t - j =

= O (f) " (1 - - (f -- r)) + e (r - -1 ) " (f -- r) =

--- ~ (10 + (~ (f) -- ~ (Y -- 1))- (r -- F)

gilt; sie besagt, dab die Einschr/ inkung yon e auf ( - oo, f] linear ist. Ebenso ergibt sich durch Abbi ldung der Ursprungsgeraden W~+ 1 die


Linearit/it von q auf [f, oo). Umgekehrt verifiziert man direkt, dab unter diesen Linearit/itsbedingungen die durch (6) und (6') definierten Abbildungen vt' eine zu 'R isomorphe Gruppe von affinen Streckungen der Ebene fiber D H mit Achse S bilden, welche von Z' zentralisiert cL~

wird. Damit ist Hilfssatz (d) bewiesen.

(e) Nunmehr konkretisieren wir die Fallunterscheidungen des Satzes 2.3.

Fall (i) : Jede N-Bahn in L~ ist invariant unter F. Nach 2.3 ist dann 1'o = N" S . (G|o,r~ol)1. Daran liest man unmittelbar ab, dab die Gruppe der axialen Kollineationen aus F mit Achse S sich in diesem Fall mit der Scherungsgruppe N deckt und also keine Achsenstreckungen enth/ilt.

Fall ( ii) : F lit'fit genau eine N-Bahn Y. in L~ \ {s} invariant. Sei # der eindeutig bestimmte Fixpunkt von S in t (2.2). Nach 2.3 existiert eine nichttriviale Kompressionsuntergruppe Y bezfiglich ~ und s im Sinne des Lemmas fiber Achsenstandgruppen 1.4, also eine zu ~ isomorphe,

und s festlassende Untergruppe yon SFo, die die kompakte Gruppe 2: zentralisiert (um dies zu erreichen, wurde ~ als Fixpunkt von 2; gewfihlt). Nach Hilfssatz (d) hat das Erzeugnis Y-(G[o, LM) 1 e i n e zu isomorphe Ufftergruppe Y', die aus Streckungen mit Achse S und Zentrum v~ besteht. Es ist dann Y'(G[o, L~I) ~ = Y" (~3Eo, L~I) 1 und nach 2.3 also

Fo = N ' S " Y'- (Gto, L~l) 1 .

Die Gruppe der axialen Kollineationen aus Fruit Achse Sist somit das semidirekte Produkt N" Y', so dab sich ffir die Untergruppe ~ , s] der Streckungen mit Achse S und Zentrum

Ft,,Sl = Y ' ~ R

ergibt. Nach [10; Corollary 1.5 (iii)] ist insgesamt die Menge aller uneigentlichen Punkte w ' ~ L , \ { s } , ffir die ~w,,Sl nicht trivial ist, genau die Bahn yon ~ unter der Scherungsgruppe N, also 3;.

Die in der Behauptung zu Fall (ii) angegebene Linearit/itsaussage fiber O wurde in Hilfssatz (d) bewiesen. Dabei kann man erreichen, dal3 die Steigung ~ der zu # geh6rigen Ursprungsgeraden 0 wird, indem man diese als Koordinatenachse W ffir die Koordinatisierung w/ihlt (in der Koordinatisierung der betrachteten Ebenen, wie wir sie in (a) bis (c) durchgeffihrt haben, warja Wunter den von S verschiedenen 2;- invarianten Ursprungsgeraden beliebig w/ihlbar). 0 ist dann linear auf

44 H.H.KFIL

( - o % 0] und [0, oo), d.h. die Einschrfinkung auf [0, ~ ) ist wegen (1) = 1 die Identit/it, und ffir r ~< 0 ist q (r) = ~- r mit 0 < n r 1. Bis

auf Isomorphie der Ebene kann dabei erreicht werden, dab der Knickfaktor x > 1 ist: die Abbildung (x, y) ~ (x, - Rey- n - Puy) ist nfimlich ein Isomorphismus der Ebene zum Knickfaktor n auf die Ebene zum Knickfaktor 1/~, wie man unmittelbar verifiziert. In einer solchen Koordinatisierung (mit f = 0) erhfilt man schlieBlich aus (6) und (6') ffir die Gruppe der Achsenstreckungen mit Achse S und Zentrum k = w die Beschreibung

F[~,,Sl = Y ' = {(x,y)~-+(xt, y); t > 0}. (7)

Damit sind alle zu Fall (ii) behaupteten Aussagen bewiesen.

Fall (iii): F i s t transitiv auf Loo \ {s}. Nach 2.3 enth/ilt dann der Zentralisator von 2' in Po eine zu ~ isomorphe Untergruppe, die frei auf L~ \ {s} wirkt. Nach der ersten Aussage von Hilfssatz (d) ist dies nur m6glich, wenn die Ebene Lenz-Typ V hat; nach (c) ist dann ~ = id.

In der Ebene fiber D H hat man nun die folgenden beiden ~,id Gruppen von Kollineationen: eine zus/itzliche Einparametergruppe von Scherungen

T = {(x,y)~-~(x,y + rx); r ~ c_ D~id}

und die Gruppe

Y " = {(x,y)~--,(xt, y t -1) ; t > 0},

die aus Achsenstreckungen mit Achse S und Zentrum w durch Modifikation mit geeigneten skalaren Streckungen entsteht; diese Modifikation wurde gerade so vorgenommen, dab die Elernente von Y" ebenso wie die yon T Determinante 1 haben, also in SFo liegen. T und Y" zentralisieren Z, wie man unmittelbar verifiziert, und erzeugen also die nach 2.3 (iii) zu L2 isomorphe Zusammenhangskomponente Z des Zentralisators von Z in SFo. Mit N als Komplement erzeugt T die vierdimensionale auf Loo \ {s} scharf transitive Scherungsgruppe ~s, Sl- Nach 2.3 (iii) ist

17o = N'Z'Z'(G[o,L~I) 1 = N" T" Y'" Z'(G[o,L=I) l = ~s, sl.Z" Y'"({;[o, L j l

Daraus gewinnt man ffir die Streckungsgruppe ~w, Sl auch in diesem Fall wiederum die Beschreibung (7) und wegen Y" _~ ~w, sl" (G[o, L=I) ~ insgesamt Po = ~,sl" Z. ~w, sl" (G[o,L~]) l, wie behauptet.


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H. HAHL Mathematisehes Seminar der Universitfit Kiel Olshausenstrage 40 D-2300 Kiel, Bundesrepublik Deutschland

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Eine Klasse von achtdimensionalen lokalkompakten Translationsebenen mit großen Scherungsgruppen