Das Jahr der Mathematik

Eine mathematische Sammlung - kinderleicht

Thomas FerberForschung und LehreSun Microsystems GmbH

4 Das unendliche Hotel

Die Themen

Die Eine Million $-Frage

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π-Day

1 Sind die Zahlen universell?

1 Sind die Zahlen universell?

Sind die Zahlen universell? Bis Mitte März 2008 waren 277 extrasolare Planeten in 234 Systemen bekannt. Der bisher erdähnlichste Exoplanet ist der im April 2007 von Astronomen der Europäischen Südsternwarte (ESO) entdeckte zweite Begleiter des Sterns Gliese 581, Gliese 581c mit schätzungsweise dem 1,5-fachen der Erdgröße und einer geschätzten Oberflächentemperatur zwischen 0 und 40 °C (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Exoplanet).

Bei der Frage nach außerirdischem Leben sind zumindest zwei wichtige Voraussetzungen schon erfüllt:● Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.● Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.

Wenn es also außerirdisches Leben gäbe, wie auch immer geartet, und dieses auch noch intelligent wäre, stellt sich die Frage wie außerirdische und Menschen miteinander kommunizieren könnten. Finden sich bei Sprache und Zeichen Möglichkeiten der Verständigung? Betreiben unsere hypothetischen intelligenten Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir? Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das die Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil der Galaxis “gesprochen” wird.

Natürliche Zahlen Wir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.

...N = { , , , . . .}Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich ob wir als Objekte Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c nehmen.

N = { 1, 2, 3, 4, . . . }

Rechnen mit natürlichen Zahlen Nachdem wir die natürlichen Zahlen gefunden haben, entdecken wir auch sehr schnell unsere erste Operation, die Addition.

...

+ =+ =

+ =Die Addition macht so richtig Spaß. Mit ihr können wir immer größere Zahlen konstruieren. Und jede noch so große Zahl ergibt durch die Addition mit Eins eine noch größere Zahl. Das geht immer so weiter und damit entdecken wir auch noch die Unendlichkeit. Doch das ist ein anderes Thema. Wir sehen, das die Addition zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt.

Rechnen mit natürlichen Zahlen Die Addition allein reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die Subtraktion, d.h. Wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab.

- =- =

=Die Subtraktion funktioniert damit auch. Wir sehen, das die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt. Oder?

- ?Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen Zahlen reicht nicht aus.

Von den natürlichen zu den Ganzen Zahlen Wir führen ein neues Zahlenelement ein, die NULL und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl Null.

- =Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.

?

N0 = N + { 0 }

Doch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs bei dem wir mehr abziehen als wir haben.

Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

Die Ganzen Zahlen

Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition oder Subtraktion jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert, ergibt wieder eine ganze Zahl.

Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

Damit könnten wir jetzt aufhören wenn nicht ....

... ein Apfel durch mehrere geteilt werden müßte.

Die rationalen Zahlen

Durch das Teilen kommen wir zu einem neuen Zahlbegriff den Bruchzahlen und damit zur Menge der rationalen Zahlen, also aller Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen.

Und mit diesen Zahlen können wir nun alles machen (außer durch Null teilen): addieren, subtrahieren, dividieren, multiplizieren (die Multiplikation habe ich stillschweigend eingeführt). Die Menge der rationalen Zahlen reicht aus. Durch keine dieser Operationen erhalten wir eine Zahl, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten wäre. Und die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet alle bisher von uns entdeckten Zahlenmengen. Denn jede ganze Zahl läßt sich als Bruch schreiben, z. B. 5 = 5/1.

: =

Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 }

Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen

NN0ZQ 1, 2, 3, 4, ...0 -1, -2, -3, ...

5/3 1/217/4

-3/2m/n

Das Wurzel von Zwei ProblemDamit könnten wir das Kapitel schließen, wenn nicht, ja wenn nicht die Äpfel in eine Kiste müssten, die Kiste eine quadratische Grundfläche hätte und wir die Diagonale der quadratischen Kiste berechnen möchten.

√2 1

1

√2 = p/q?

Ein Quadrat mit der Seitenlänge von Eins hat eine Diagonale von der Länge Quadratwurzel von Zwei.

Können wir Quadratwurzel von Zwei als rationale Zahl darstellen, also als Bruchzahl?

Mit Hilfe eines indirekten Beweises kann man sehr schön und sehr schnell zeigen, dass die Wurzel von zwei keine rationale Zahl ist und somit nicht als Bruch darstellbar ist. Dazu nimmt man an Wurzel Zwei wäre als nicht mehr teilbarer Bruch darstellbar und zeigt dann das dies zu einem Widerspruch führt. Damit ist dann die Annahme falsch. Die Wurzel von Zwei ist also nicht rational. Die neu gefundenen Zahlen nennen wir irrationale Zahlen.

Weitere irrationale Zahlen, Zahlen die sich nicht als Bruch darstellen lassen, sind z.B. Wurzel von Drei, Wurzel von Fünf, ....... und natürlich die Zahl Pi. Damit sind wir auch gleich bei unserem nächsten Kapitel.

Haben wir mit den irrationalen Zahlen den größtmöglichen Zahlenbegriff gefunden. Für dieses Kapitel und diesen Vortrag ja, in der Welt der Mathematik geht es aber weiter mit komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktonionen und hyperkomplexen Zahlen.

Und was nützt jetzt die Erkenntniss, das außerirdische Intelligenzen zu den gleichen mathematischen Erkenntnissen kommen? Wie kommunizieren wir miteinander. Wir verwenden eine konstruierte Sprache wie z. B. Lincos (lingua cosmica), die 1960 von dem Mathematiker Hans Freudenthal entwickelt wurde. Das Wörterbuch von Lincos, das am Anfang einer Kommunikation stehen soll, enthält zunächst einige sehr einfache Muster, um „Begriffe“ für die natürlichen Zahlen und einfache arithmetische Vorgänge (z. B. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) vorzustellen.(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Lincos)

Zurück zu unserer Eingangsfrage: Ist die Mathematik universell? Wir haben gesehen wie einfach Mathematik mit einem Apfelmodell aufbaubar ist. Auch wenn es auf Gliese 581c oder sonstwo im Universum keine Äpfel gibt, das Zählen, die Entdeckung der Zahlen, der Operationen, der Eigenschaften der Zahlen usw. Funktioniert auch mit anderen Objekten.Die Mathematik ist also überall im Universum die gleiche.

2 π-Day

Der 14. März ist Pi-Tag. Wieso der 14. März? In amerikanischer Schreibweise lautet dieses Datum 3/14. Und das sind die ersten Ziffern der berühmten Kreiszahl Pi.

Diese Zahl ist eine mathematische Konstante deren numerischer Wert π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ...beträgt. Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises.

Zur Zeit sind 1,2 Billionen Stellen von Pi bekannt.

Pi = 3,141592653589793...

Bestimmung von Pi

Die wichtigsten geometrischen Methoden zur Bestimmung von Pi basieren auf

● dem Verhältnis Kreis-Umfang zu -Durchmesser,

● dem Verhältnis Kreis-Durchmesser zu -Fläche,

● Dem Verhältniss Kreisfläche zu Quadratfläche

Die π-zza-Salami-Methode

Die π-zza-Salami-Methode

Pi = 3,141592653589793...Umfang = π * Durchmesser

π = UmfangDurchmesser

π = 22 Salamischeiben7 Salamischeiben = 3,142857.....

Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami = Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.

Pi = 3,141592653589793...Umfang = π * Durchmesser

π = UmfangDurchmesser

π = 355 Smarties113 Smarties = 3,1415929…

Mit Smarties, die wir auf einen Kreis mit Durchmesser von 170 cm legen, bekommen wir einen noch besseren Näherungswert für Pi.

Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der Smarties-Methode ein sehr gutes Ergebnis mit sechs richtigen Nachkommastellen.

3 Fortsetzung folgt ...

Thomas Ferber