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Einführung in die Technische AkustikInhalt1 Grundbegriffe der Schwingungslehre2 Schallfeldgrößen und Wellengleichung für fluide Medien3 Ebene Schallwellen in fluiden Medien4 Kugelwellen5 Synthese von Schallquellen6 Reflexion, Brechung und Beugung7 Akustische Leitungen8 Geometrische Akustik

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2. Schallfeldgrößen und Wellengleichung für fluide Medien

Schall ist eine mechanische Wellenerscheinung in fluiden (gasförmigen und flüssigen) oder festen Stoffen. Demzufolge lässt sich mit Hilfe der dynamischen Gesetze des Mediums eine partielle Differentialgleichung, die sogenannte Wellen-gleichung, herleiten, die die Grundlage zur Beschreibung aller linearen Schallvorgänge darstellt.

2.1 Die SchallfeldgrößenIn einer Schallwelle erfahren die Teilchen des Mediums eine orts- und zeitabhängige Verschiebung um

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aus ihrer Ruhelage.

Die Verschiebung wird auch als Schall-ausschlag bezeichnet.

Aus der Verschiebung ergibt sich die Geschwindigkeit der Verschiebung, d.h. die Schallschnelle, zu

!s(x , y ,z ,t)=s1

s2

s3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

mit

s1= s

1(x , y ,z ,t)

s2= s

2(x , y ,z ,t)

s3= s

3(x , y ,z ,t)

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x1 x2 x

y1

y !s(x2, y

2)

!s(x1, y

1)

s2(x

1, y

1)

s1(x

1, y

1)

y2s1(x

2, y

2)

s2(x

2, y

2)

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4

Da die Verschiebung (Auslenkung) nicht überall gleich ist, kommt es zu Verdichtungen bzw. Verdünnungen des Medi-ums. Es gilt

wobeidie Ruhedichtedie Wechseldichte, die schallbedingte Dichteänderung

und

!v(x , y ,z ,t)= d!sdt

≅ ∂!s

∂t=

∂s1(x , y ,z ,t)/∂t

∂s2(x , y ,z ,t)/∂t

∂s3(x , y ,z ,t)/∂t

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

ρg(x , y ,z ,t)= ρ0(x , y ,z ,t)+ ρ(x , y ,z ,t),

ρ0

ρ

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die Gesamtdichte

bezeichnet. Entsprechend erhält man für den Druck

mit dem Gleichdruckdem Wechseldruck/Schalldruckdem Gesamtdruck

Druck und Dichte sind in idealen Gasen durch die thermody-namischen Zustandsgleichungen adiabatisch ablaufender Zu-standsänderungen, d.h. über

pg(x , y ,z ,t)= p0(x , y ,z ,t)+ p(x , y ,z ,t)

ρg

pg

p0

p

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gemäß

miteinander verknüpft, wobei

den Adiabatenexponent (= 1,4 für Luft)

bezeichnet.

Anmerkung:Bei adiabatischen Zustandsänderungen geht man davon aus, dass die Zustandsänderungen so schnell ablaufen, dass zwischen benachbarten Volumenelementen näherungsweise kein Wärmeaustausch stattfindet.

pV κ = const. und ρV = const.

pgp0

=V0

Vg

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

κ

=ρgρ0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

κ

κ

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2.2 WellengleichungIn idealen Gasen kann die Wellengleichung mit Hilfe der nachfolgenden Abbildung durch Ausnutzen der EulerschenGleichung, der Gleichung zur Massenerhaltung und der adiabatischen Zustandsgleichung hergeleitet werden.

Nach dem 2ten Newtonschen Axiom F=m ·a gilt für das be-trachtete Volumenelement

x

pg(x,t)

v(x,t)

x

x+dx

pg(x+ dx,t)

v(x+dx,t)A

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Umformen

sowie Ausnutzen von

liefert die Eulersche Gleichung

pg(x ,t)AFl ,W

!"# $#− pg(x +dx ,t)A

Fr ,W

! "## $##

F! "#### $####

= ρg AdxV!

m!"# $#

dvdta!.

pg(x ,t)− pg(x +dx ,t)dx

= −pg(x +dx ,t)− pg(x ,t)

dx= −

∂pg∂x

= ρgdvdt

∂pg∂x

=∂(p

0+ p)

∂x= ∂p∂x

unddvdt

1)

= ∂v∂t

+ v ∂v∂x

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1) Totales Differential (einfacher)

Totale Ableitung (mathematisch sauberer)

9

dv = ∂v∂tdt + ∂v

∂xdx ⇒ dv

dt= ∂v∂t

+ ∂v∂tdxdt

= ∂v∂t

+ v ∂v∂x

v x(t),t( ) ≅ v(x0 ,t0) + ∂v∂tx=x0 ,t=t0

(t −t0) + ∂v

∂xx=x0 ,t=t0

(x − x0)

⇒ ddtv x(t),t( )= ∂v∂t +

∂v∂xdxdt

= ∂v∂t

+ v ∂v∂x

− ∂p∂x

= ρg∂v∂t

+ v ∂v∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

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Außerdem erhält man wegen des Massenerhaltungsgesetzes

sowie nach Umformen

die Kontinuitätsgleichung

ρg(x +dx ,t)Av(x +dx ,t)austretenderVolumenstrom

! "## $##

austretenderMassenstrom

! "#### $####

− ρg(x ,t) Av(x ,t)eintretenderVolumenstrom

!"# $#

eintretenderMassenstrom

! "## $##

resultierenderMassenstrom

! "######## $########

= − AdxV!

∂ρg∂t

Dichteänderung!

Massenänderung! "## $##

ρg(x+dx ,t)v(x+dx ,t)− ρg(x ,t)v(x ,t)dx

= −∂ρg∂t

= −∂(ρ

0+ρ)

∂t= − ∂ρ

∂t

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Als dritte Gleichung benötigt man noch eine Beziehung zwi-schen dem Wechseldruck p und der Wechseldichte ρ.

Diese ergibt sich bei idealen Gasen aus der adiabatischen Zustandsgleichung

nach Umstellen

∂(ρgv)∂x

= − ∂ρ∂t.

p= p0

ρg ρ0( )κ −1⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = p(ρg) mit p(ρ0)=0Kapitel 2 / Einführung in die Technische Akustik / Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus

pgp0

=p0+ pp0

=ρgρ0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

κ

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und Taylor-Reihenentwicklung um

für näherungsweise zu

wobei

wie später noch ersichtlich wird die Schallgeschwindigkeit,

p(ρg)= p(ρ0) +dpdρg ρg=ρ0

(ρg − ρ0) +12d2pdρg

2

ρg=ρ0

(ρg − ρ0)2 + …

ρ = ρg− ρ0≪ ρ0

c = κp0ρ0= κRT M

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ρ0

p= c2ρ ,p= dpdρg ρg=ρ0

ρ =κp0

ρ0

ρgρ0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

κ−1

ρg=ρ0

ρ =κp0

ρ0

ρ ⇒

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die universelle Gaskonstante,

die molare Masse und

die absolute Temperaturbezeichnen.

Beispiel: (Schallgeschwindigkeit in Luft)Mit und gilt

bzw. mit der Temperatur

!!R =8,3145J

molK

M in [kg/mol]

!!T in [K]

c = κRT M ≅ 1,4 ⋅8,3145 JmolK ⋅T 0,02896kgmol ≅20,05

ms T K

κ =1,4 M =0,02896 kgmol

ϑ = (T/K−273,15) in [C°]

c ≅20,05ms ϑ C°+273,15

≅331,5ms 1+(ϑ C°) 273,15 ≅ (331,5+0,6ϑ C°)ms

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Um nun zur Wellengleichung zu gelangen, wendet man auf die Eulersche Gleichung eine partielle Differentiation nach x und auf die Kontinuitätsgleichung eine partielle Differentiation nach t an, d.h.

und

Für kleine Geschwindigkeiten v kann der konvektive Term

− ∂2p

∂x2= ∂∂x

ρg∂v∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂x

ρgv∂v∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂t

∂(ρgv)∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

∂∂x

∂ρg∂t

v⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

∂∂x

ρg∂v∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − ∂

2ρ∂t2

= − 1c2

∂2p∂t2

.

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in der ersten und für der Term

in der zweiten Gleichung vernachlässigt werden. Also gilt

Zusammenfassen liefert schließlich die lineare 1dimensionale

∂∂x

ρgv∂v∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂x

∂ρg∂t

v⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− ∂2p

∂x2= ∂∂x

ρg∂v∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟bzw.

∂∂x

ρg∂v∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − 1

c2∂2p∂t2

.

r r0≪

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Wellengleichung

Verallgemeinerung auf 3dimesionale Schallfelder liefert die lineare 3dimensionale Wellengleichung

wobei

∂2p∂x2

= 1c2

∂2p∂t2

.

Δp= ∂2p

∂x2+ ∂

2p∂ y2

+ ∂2p∂z2

= 1c2

∂2p∂t2

,

Δ = div grad(⋅)( )=∇T∇ = ∂

∂x,∂∂ y

,∂∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂x,∂∂ y

,∂∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

T

= ∂2

∂x2+ ∂

2

∂ y2+ ∂

2

∂z2.

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Literatur zu Kapitel 2[1] D.T. Blackstock, Fundamentals of Physical Acoustics,

Wiley, 2000 [2] L. Cremer und M. Möser, Technische Akustik, Springer, 2003 [3] H. Henn, Ingenieurakustik, Vieweg, 2001 [4] H. Kuttruff, Akustik: Eine Einführung, Hirzel Verlag, 2004[5] R. Lerch, G. Sessler und D. Wolf, Technische Akustik:

Grundlagen und Anwendungen, Springer, 2009 [6] I. Veit, Technische Akustik, Vogel, 1996

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