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Inhalte Organisatorisches Einf¨ uhrung Aufbereitung der erhobenen Daten Einf¨ uhrung in Quantitative Methoden Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides & Mag. Dr. Karin Waldherr SS 2013 Waldherr / Christodoulides Einf¨ uhrung in Quantitative Methoden- 1.VO 1/53

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Einfuhrung in Quantitative Methoden

Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides&

Mag. Dr. Karin Waldherr

SS 2013

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Inhalte

I Bedeutung der Psychologischen Methodenlehre und Statistikfur Psychologie

I Grundbegriffe

I VersuchsplanungI Beschreibende Statistik (Deskriptivstatistik):

I Aufbereitung von Daten mittels Tabellen, Grafiken,statistischen Kennzahlen.

I Zusammenhangsmaße.

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und wichtigeWahrscheinlichkeitsverteilungen

I Statistische Schlusse (Inferenzstatistik)I ParameterschatzungI Logik des Hypothesentestens (ausgewahlte statistische

Testverfahren)

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begleitende UbungenUnterlagen und HilfsmittelErganzende LiteraturPrufung

begleitende Ubungen

I mehrere Parallelveranstaltungen

I Anwesenheitspflicht, Anmeldung in Univis

I Beispiele sind vorzubereiten

I Ubungsbeispiele werden auf der Homepage jeweils amMittwoch nachmittag zum Download bereitgestellt.

I Berechnungen handisch und mit Statistik-Programm ”SPSS”

I SPSS: erhaltlich im Rechenzentrum der Universitat Wien,www.univie.ac.at/zid/software-shop

I Tutorien zur Vorlesung und zu den Ubungen: s. Homepage(http://meth-psy.univie.ac.at/studium/)

I Kontakt: alle Anfragen betreffend Ubungen ausschließlich andas Sekretariat Forschungsmethoden([email protected])

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begleitende UbungenUnterlagen und HilfsmittelErganzende LiteraturPrufung

Unterlagen und Hilfsmittel

I Vorlesungsunterlagen: Folien werden zum Download zurVerfugung gestellt. Die Folien ersetzen nicht denVorlesungsbesuch! Prufungsrelevant sind die Inhalte, die inder Vorlesung gebracht werden. Die Folien unterliegen einemCopyright.

I Homepage:http://meth-psy.univie.ac.at/studium/

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begleitende UbungenUnterlagen und HilfsmittelErganzende LiteraturPrufung

Bucher (nicht verpflichtend!):Bortz, J. & Doring, N. (2006). Forschungsmethoden undEvaluation fur Human- und Sozialwissenschaftler. (4. Auflage).Berlin: Springer.Buhner, M. & Ziegler, M. (2009). Statistik fur Psychologen undSozialwissenschaftler. Munchen: Pearson Studium.Eid, M., Gollwitzer, M, & Schmitt, M. (2010). Statistik undForschungsmethoden. Mit Online-Materialien. Weinheim: Beltz.Kubinger, K.D., Rasch, D. & Yanagida, T. (2011). Statistik in derPsychologie: Vom Einfuhrungskurs bis zur Dissertation. Gottingen:Hogrefe.Sedlmeier, P. & Renkewitz, F. (2008). Forschungsmethoden undStatistik in der Psychologie. Pearson Studium.Zusatzliche Materialienwww.neuestatistik.dewww.mathe-online.at

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begleitende UbungenUnterlagen und HilfsmittelErganzende LiteraturPrufung

Prufung

I schriftliche Prufung

I 4 Prufungstermine (Juni, Oktober, November/Dezember,Janner), s. Homepage fur genaue Termine

I Sprechstunde: nach Vereinbarung ausschließlich uberSekretariat Forschungsmethoden Psychologie(e-mail: [email protected])

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Psychologische Methodenlehre und Statistik - Wozu?Randomized Controlled TrialGutekriterien einer quantitativen empirischen UntersuchungGrundbegriffe

Psychologische Methodenlehre und Statistik - Wozu?

I Psychologie = empirische Wissenschaft(auf Erfahrung beruhend):

I Bortz & Doring: ”Empirische Forschung sucht nachErkenntnissen durch systematische Auswertung vonErfahrungen.”

I Psychologische Methodenlehre beschaftigt sich mit Fragen derPlanung und Auswertung empirischer Untersuchungen

I Gute Untersuchungsplanung entscheidend furAussagekraft der Ergebnisse einer empirischenUntersuchung!

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Psychologische Methodenlehre und Statistik - Wozu?Randomized Controlled TrialGutekriterien einer quantitativen empirischen UntersuchungGrundbegriffe

I Warum benotigt eine Klinische Psychologin undGesundheitspsychologin in freier Praxis, die nicht selbstempirische Untersuchungen durchfuhren mochte, Kenntnisseder Psychologischen Methodenlehre und Statistik?

I Psychologisches Gutachten:Zur Auswahl geeigneter psychologischer Testverfahren und derInterpretation der Ergebnisse (Umgang mit Normtabellen)Kenntnisse der Statistik notwendig.

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Psychologische Methodenlehre und Statistik - Wozu?Randomized Controlled TrialGutekriterien einer quantitativen empirischen UntersuchungGrundbegriffe

I Behandlung:Ethischer Grundsatz: Anwendung evidenzbasierterBehandlungsmethoden. Behandlungsmethoden, derenEffektivitat in Studien mit entsprechendem Studiendesigngezeigt werden konnte. ⇒ Notwendigkeit, die Qualitat einerStudie, Untersuchungsdesign, statistische Auswertung undInterpretation, nachzuvollziehen und kritisch zu bewerten.

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Psychologische Methodenlehre und Statistik - Wozu?Randomized Controlled TrialGutekriterien einer quantitativen empirischen UntersuchungGrundbegriffe

RCT

”Goldstandard” in der medizinischen und psychologischenForschung sind randomisiert kontrollierte Studien (”randomizedcontrolled trials”, RCT’s) = klassisches experimentelles Design.Kontrolliert, weil die Ergebnisse in der Studiengruppe mit deneneiner Kontrollgruppe ohne Intervention oder einerKontrollintervention verglichen werden. Kontrollintervention:bisher wirksamste Maßnahme oder eine Scheinintervention (beiMedikamenten Placebo).Die Studiengruppe wird auch als Pruf-, Interventions-,Behandlungs- oder Verumgruppe (lateinisch Verum, ”das Wahre”;im Gegensatz zum Placebo die echte Behandlungsform, z. B. daswirkstoffhaltige Medikament) bezeichnet.Die Kontrollgruppe wird auch als Vergleichs- oder Placebogruppe(sofern Placebos eingesetzt werden) bezeichnet.

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Randomisierung: Zuordnung der Teilnehmer/innen zurBehandlungsgruppe oder Vergleichsgruppe nach dem Zufallsprinzip.Beispiel: Mobilitatsintervention fur Bewohner/innen vonPensionistenwohnhausern.

I Behandlungsgruppe: von Ergotherapeutin entwickeltesProgramm zur Verbesserung bzw. Erhaltung derBeweglichkeit und v.a. Sicherheit (Sturzprophylaxe).

I Vergleichsgruppe: Teilnahme am bisher ublichenAnimationsprogramm der Pensionistenwohnhauser.

I Frage: Ist Mobilitatsintervention effektiv, d.h. sind dieTeilnehmer/innen am Ende des Programms im Vergleich zurVergleichsgruppe beweglicher bzw. sicherer?

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randomisierte ZuteilungEs wird eine Liste aller Bewohner/innen erstellt. DieBewohner/innen werden mittels eines Computerprogramms zufalligauf die Behandlungs- und die Vergleichsgruppe aufgeteilt.

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Zweck der Randomisierung:

1. Ausschluss der Einflussnahme des Untersuchers(Befangenheit) auf die Zuordnung einer Behandlung unddadurch auf die Studienergebnisse.

2. Gleichmaßige Verteilung von bekannten und nicht bekanntenEinflussfaktoren auf alle Gruppen.

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Blind-, Doppelblind-, Dreifachblind-Studie:

I Blindstudie: Teilnehmer/innen wissen nicht, welcher Gruppesie zugeordnet sind (Teilnehmer/innen sind ”blind”): z.B. beiMedikamentenstudie: Teilnehmer/innen wissen nicht, ob sieMedikament oder Placebo erhalten

I Doppelblindstudie: auch Behandler/in weiß nicht, welcherGruppe die einzelnen Personen zugeordnet sind (Behandler/inund Teilnehmer/innen sind ”blind”), z.B.Medikamentenstudie: Teilnehmer/innen und behandelnderArzt weiß nicht, wer Medikament und wer Placebo erhalt

I Dreifachblindstudie: auch die auswertende Person weiß nicht,welcher Gruppe die einzelnen Personen zugeordnet sind(Behandler/in, Teilnehmer/in und Auswerter/in sind ”blind”),die Person, die abschließende Untersuchung derTeilnehmer/innen durchfuhrt weiß nicht, wer Medikament undwer Placebo erhalten hat.

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Form und Durchfuhrung der Randomisierung mussen in der Studieangefuhrt werden. Zuordnung muss dokumentiert werden undunter Verschluss gehalten werden.

Quelle: Bortz,J. & Doring,N. Forschungsmethoden und Evaluation.

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Gutekriterien einer quantitativen empirischen Untersuchung

I Objektivitat: Ergebnisse sollen unabhangig vonUntersucher/in sein.

I Validitat = Gultigkeit, Aussagekraft (Campbell & Stanley,1963):

1. Interne Validitat = Interpretationseindeutigkeit (keinealternativen Erklarungen moglich): hochste interne Validitatbesitzt ein RCT (am besten Dreifachblind-Studie).

2. Externe (okologische) Validitat = Verallgemeinerbarkeit derErgebnisse auf andere Personen, Situationen und/oderZeitpunkte.Man unterscheidet auch zwischen efficacy (= Wirksamkeiteiner Intervention gezeigt in einem RCT) und effectiveness (=Wirksamkeit im Alltag)

I Reliabilitat = Zuverlassigkeit, Genauigkeit.

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Deskriptivstatistik und Inferenzstatistik

I Deskriptivstatistik oder Beschreibende Statistik:zusammenfassende Beschreibung der Daten, explorativeDatenanalyse (Suchen von Strukturen und Zusammenhangen)

I Inferenzstatistik oder Schließende Statistik:Vollstandige Befragung der interessierenden Grundgesamtheitmeist nicht moglich ⇒ mit Hilfe der Inferenzstatistik werdenaufgrund von Beobachtungen in einer Teilmenge von PersonenRuckschlusse auf Gegebenheiten in der interessierendenGrundgesamtheit gezogen.Ruckschlusse sind mit gewisser Fehlerwahrscheinlichkeitbehaftet = Wahrscheinlichkeitsaussagen.

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Population und Stichprobe (1)Aus Grundgesamtheit aller interessierenden Personen = Populationwird eine Teilmenge von Personen ausgewahlt = Stichprobe undaufgrund der Beobachtungen in dieser Stichprobe auf dieGrundgesamtheit geschlossen.

Quelle: www.neuestatistik.de

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Population und Stichprobe (2)

I Beispiel aus dem Alltag: Wenn Sie Spaghetti kochen, werdenSie vielleicht zunachst einige davon aus dem Wasser nehmenum zu uberprufen, ob sie bereits ”al dente” sind. Trifft diesfur diese Stichprobe zu, werden Sie daraus schließen, dass dasmit hoher Wahrscheinlichkeit auch fur die Grundgesamtheitaller von Ihnen ins Wasser gelegten Spaghetti zutrifft.

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Population und Stichprobe (3)

I Verallgemeinerung auf Population ist nur mitinferenzstatistischen Verfahren zulassig, Deskriptivstatistikmacht nur Aussagen uber die erhobene Stichprobe.

I Inferenzschluss nur bei Zufallsauswahl gultig. (Chance, in dieStichprobe zu kommen, muss fur alle gleich sein.)

I Population muss eindeutig definiert sein.

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Population und Stichprobe (4)

I Beispiel: Epidemiologische Studie zur Pravalenzrate vonEssstorungen bei 10-15 Jahrigen in Wien: Liste aller WienerSchulen, Zufallsauswahl von Schulen, Testung von zufalliggewahlten Schulerinnen und Schulern in diesen Schulen.Schluss auf Pravalenzrate in der Grundgesamtheit.

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Merkmale und Variablen (1)

I Die Psychologie interessiert sich fur Variation vonEigenschaften in der Population bzw. fur gemeinsameVariation mehrerer Merkmale (die Veranderung einesMerkmales in Abhangigkeit von einem anderen).

I In Experimenten wird Veranderung eines Merkmales durchaktive Manipulation eines anderen Merkmales untersucht

I Beispiel: In einem verkehrspsychologischen Experiment wirduntersucht wie sich die Konzentrationsfahigkeit und dieReaktionsgeschwindigkeit von Personen unter verschiedenstarkem Alkoholeinfluss verandern.

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Merkmale und Variablen (2)

I Interessierende Merkmale (Eigenschaften) der Personen,welche verschiedene Auspragungen annehmen konnen, werdenals Variablen bezeichnet.

I Eine Variable ist ein Symbol fur eine Menge vonMerkmalsauspragungen. (Bortz & Doring)

I Variablen werden ublicherweise mit lateinischenGroßbuchstaben gekennzeichnet, die konkreten Auspragungen(Realisierungen) mit Kleinbuchstaben.

I Beispiel: Variable X , Geschlecht, steht fur die moglichenMerkmalsauspragungen x ′

1, weiblich, oder x ′2, mannlich

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Funktionale Bedeutung von Variablen (1)

I Unabhangige Variablen (UV): Variablen, deren Einfluss aufeine oder mehrere andere Variablen untersucht wird (auchFaktoren genannt).

I Abhangige Variablen (AV): Variablen, auf die ein Einfluss derVeranderung der unabhangigen Variablen vermutet wird.

I Beispiel: Im verkehrspsychologischen Experiment wareAlkoholeinfluss die unabhangige Variable,Konzentrationsfahigkeit und Reaktionsgeschwindigkeit dieabhangigen Variablen.

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Funktionale Bedeutung von Variablen (2)

I Moderierende Variablen oder Moderatorvariablen sindVariablen, die das Ergebnis beeinflussen, indem sie dieWirkung einer unabhangigen Variablen auf die abhangigeVariable verandern (sie beeinflussen Richtung und Starke desZusammenhanges zwischen UV und AV).

I Mediierende Variablen oder Mediatorvariablen sind Variablen,die den Zusammenhang zwischen zwei Variablen vermitteln(erklaren).

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Funktionale Bedeutung von Variablen (3)

Quelle: Faller, H. & Lang, H. (2006). Medizinische Psychologie und

Soziologie (2. Auflage, S.51). Heidelberg: Springer Medizin Verlag.

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Funktionale Bedeutung von Variablen (4)

I Storvariablen sind Variablen, die das Untersuchungsergebnisbeeinflussen konnen, aber nicht berucksichtigt wurden.Moglichkeiten zur Ausschaltung von Storvariablen (vgl. Bortz& Doring):

I Randomisierung.I Paarbildung (matched samples): Bei zwei

Untersuchungsgruppen werden aufgrund der Auspragung(en)der moglichen Storvariable(n) ”Paare” vonUntersuchungsteilnehmerInnen gebildet; je eine Person derKontrollgruppe wird einer Person der Studiengruppezugeordnet.

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Funktionale Bedeutung von Variablen (5)

I Mogliche Storvariable als zusatzliche Variable erheben und beider statistischen Auswertung als Kontrollvariableberucksichtigen.

I Nur Personen mit einer bestimmten Auspragung dieser Variableuntersuchen (z.B. nur Personen, die keine Medikamenteeingenommen haben); d.h. die Variable konstant halten.

I Außerdem sollte man dafur sorgen, dass die Untersuchung inallen Vergleichsgruppen storungsfrei verlauft (= Ausschaltenvon Storfaktoren).

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Empirische Zuganglichkeit von Variablen

I Manifeste Variablen sind direkt beobachtbar. Z.B.Alkoholmenge, Gewicht, Geschlecht, usw.

I Latente Variablen sind nicht beobachtbar (sichtbar). Z.B.Konzentrationsfahigkeit, Intelligenz, etc. Hierbei handelt essich um sog. hypothetische Konstrukte, welche nur indirektgemessen werden konnen. Aufgrund der Auspragungen vonmanifesten Variablen wird auf die latente Eigenschaftgeschlossen.

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Arten von MerkmalsauspragungenI Numerische oder Quantitative Variablen: Auspragungen sind

Zahlenwerte. Z.B. Gewicht, Alter, etc.

I Kategoriale oder Qualitative Variablen: Auspragungen sindZustande oder Kategorien. Z.B. Geschlecht, Familienstand,Staatsburgerschaft.

I Auspragungen quantitativer Variablen lassen sich durchMessen, Zahlen, Wiegen erfassen und unterscheiden sichdurch ihre Große.Auspragungen qualitativer Variablen unterscheiden sich durchihre Art und lassen sich nicht durch Messen, Zahlen, Wiegenerfassen.

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Arten qualitativer und quantitativer Variablen

Weiters unterscheidet man:

I Bei quantitativen Variablen zwischen diskreten Variablen,welche nur ganzzahlige Auspragungen haben (1,2,3,. . . ) undstetigen oder kontinuierlichen Variablen, die beliebig feinabstufbar sind.

I Bei qualitativen Variablen zwischen dichotomen Variablen =Variablen mit nur zwei Auspragungen (z.B. Geschlecht) undpolytomen Variablen = Variablen mit mehr als zweiAuspragungen.

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Skalenniveau (1)

I Um ein Merkmal zu messen werden den einzelnenAuspragungen Messwerte (Zahlen) auf einer Skala zugeordnet.

I Eine Skala ist eine Vorschrift, die jeder Person der Stichprobeeinen Beobachtungswert zuordnet, der die Auspragung desinteressierenden Merkmales angibt.

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Messen = homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs inein numerisches Relativ

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Skalenniveau (2)

In diesem Sinne lassen sich auch qualitative Merkmale ”messen”;man nennt diese Zuordnung von Zahlen zu denMerkmalsauspragungen auch Kodierung.Bei der Zuordnung der Zahlen ist zu beachten, dassunterschiedlichen Merkmalsauspragungen unterschiedliche Zahlenzugeordnet werden und jeder moglichen Merkmalsauspragungeindeutig eine Zahl zuordenbar ist.

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Skalenniveau (3)

I Nominalskala: Die Skala mit dem niedrigsten Niveau.Rangordnung der Auspragungen nicht moglich oder sinnvoll,auch wenn ihnen Zahlen zugeordnet werden. Beurteilt nurGleichheit und Verschiedenheit von Merkmalsauspragungen.Beispiele: Geschlecht, Familienstand, Staatsburgerschaft.Nominalskalierte Variablen heissen nominale Merkmale.

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Skalenniveau (4)

I Ordinalskala oder Rangskala: Auspragungen weisen naturlicheRangordnung auf. Macht Großer-Kleiner-Aussagen. DieAbstande zwischen den verschiedenen Werten einerordinalskalierten Variablen lassen sich jedoch nichtinterpretieren; die Ordinalskala macht keine Aussage uber dieGroße der Unterschiede zwischen den Auspragungen. Solangedie Großer-Kleiner-Relationen erhalten bleiben sind die Zahlenbeliebig wahlbar.

I Typisches Beispiel einer Ordinalskala: Platzierungen beisportlichen Wettkampfen. Platzierung gibt nur Auskunftdaruber wer z.B. am schnellsten war, nicht uber Zeitabstandezwischen den einzelnen Rangplatzen.

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Skalenniveau (5)

I Metrische Variablen: Auspragungen unterliegen nicht nurRangordnung, sondern Differenzen sind sinnvollinterpretierbar. Gleich große Zahlendifferenzen entsprechenauch gleich großen Unterschieden zwischen denAuspragungen. Beispiele sind: Gewicht, Große, Alter.

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Skalenniveau (7)

I Metrische Skalen konnen weiters noch unterteilt werden inI Intervallskala: kein naturlicher Nullpunkt (z.B. Kalender,

Temperatur in Grad Celsius); Verhaltnisse konnen nichtinterpretiert werden. In der Psychologie wird furPsychologische Tests angenommen, dass die Messwerteintervallskaliert sind.

I Rationalskala: absoluter (naturlicher) Nullpunkt, Verhaltnissekonnen interpretiert werden (Gewicht, Alter, Große, Anzahl derKinder, Temperatur in Kelvin, usw.)

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Univariat, Bivariat, Multivariat

I Univariat: nur eine Variable wird betrachtet.

I Bivariat: zwei Variablen werden gemeinsam betrachtet.

I Multivariat: mehr als zwei Variablen werden gemeinsambetrachtet.

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Hypothesengenerierende und HypothesenprufendeUntersuchungen

I Hypothesenprufende Untersuchungen: aufgrund vonVorinformationen aus bisherigen Untersuchungen konnenwissenschaftliche Hypothesen formuliert und statistischgepruft werden.

I Hypothesengenerierende Untersuchungen: bei neuenForschungsgebieten, fur welche zu wenige Informationenvorliegen um Hypothesen zu formulieren, werden zunachsthypothesenerkundende Untersuchungen durchgefuhrt. Ziel istdie Formulierung wissenschaftlicher Hypothesen, die in eineranschließenden hypothesenprufenden Untersuchung statistischgepruft werden.

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Wissenschaftliche Hypothesen (1)

I Eine wissenschaftliche Hypothese behauptet eine mehr oderweniger prazise Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen,die fur eine bestimmte Population vergleichbarer Objekte oderEreignisse gelten soll. (Bortz & Doring)

I Die Hypothesen mussen im Rahmen derUntersuchungsplanung vor der Datenerhebung formuliertwerden!

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Wissenschaftliche Hypothesen (2)

I Wissenschaftliche Hypothesen (im Gegensatz zuAlltagsvermutungen)

I beziehen sich auf reale Sachverhalte, die empirisch uberprufbarsind,

I sind allgemeingultige, uber den Einzelfall hinausgehendeBehauptungen,

I mussen durch Erfahrung widerlegbar (falsifizierbar) sein,I mussen widerspruchsfrei sein,I sollen moglichst prazise formuliert sein,I mussen theoriegeleitet sein.

(vgl. Bortz & Doring)

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NotationSummenzeichen

Notation

I Die Anzahl der Personen in der Stichprobe =Stichprobenumfang wird mit n bzw. N bezeichnet.

I Die Merkmalsauspragungen der einzelnen Personen in derStichprobe bei Variable X (beobachtete Werte, Messwerte)werden mit x1, . . . , xi , . . . , xn (oder in anderer Schreibweise xi ,i = 1, . . . , n) bezeichnet.

I Die moglichen Auspragungen eines Merkmales X werden mitx ′

1, . . . , x′j , . . . , x

′k (oder in anderer Schreibweise: x ′

j ,j = 1, . . . , k) bezeichnet.

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NotationSummenzeichen

I Hat man nur ein Merkmal erhoben und notiert dieBefragungsergebnisse in der Reihenfolge der Befragung oderzufallig, bezeichnet man die entstehende Liste als Urliste oderBeobachtungsreihe.

I Beispiel: Erhobene Variable X : Anzahl der Kinder,Stichprobenumfang n = 15.

I Urliste:x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

0 1 2 3 2 1 2 2 4 3 1 2 3 1 0

x2 = 1 bedeutet, dass die in die Urliste an zweiter Stelleeingetragene Person ein Kind hat.

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NotationSummenzeichen

Hat man mehrere Merkmale (Variablen) erhoben, fasst man diesein Form einer Datenmatrix zusammen. Die Matrix besteht aus nZeilen fur die Personen und p Spalten fur die erhobenen Variablen(n × p−Matrix).Beispiel einer Datenmatrix fur n = 50 Personen und erhobeneVariablen Geschlecht (1=weiblich, 2=mannlich), Kinderanzahl,Alter

VariableGeschlecht Kinder Alter

Person 1 1 2 402 2 0 25...

......

......

......

...50 2 1 45

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NotationSummenzeichen

Beispiel einer Datenmatrix in allgemeiner Notation:

Variable1 2 . . . k . . . p

Person 1 x11 x12 . . . x1k . . . x1p

2 x21 x22 . . . x2k . . . x2p

......

. . ....

i xi1 xi2 . . . xik . . . xip

......

. . ....

n xn1 xn2 . . . xnk . . . xnp

Zeile i enthalt die beobachteten Merkmalsauspragungen der i−tenPerson, Spalte k enthalt die bei den n Personen beobachtetenAuspragungen des Merkmales K .Die Eintragungen x11, . . . , xnp bezeichnen die Auspragungen dereinzelnen Merkmale bei den einzelnen Personen: x11 steht fur dieMerkmalsauspragung der ersten Person beim ersten Merkmal.

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NotationSummenzeichen

SummenzeichenIn der Statistik benotigt man sehr oft die Summe von Messwerten,z.B. in der Gesamtstichprobe oder einer Teilstichprobe.Zum Beispiel: Summe aller Messwerte xi fur i = 1 bis n.

x1 + x2 + x3 + . . . + xn

Hat eine Summe sehr viele Summanden, ist es zweckmaßig dasSummenzeichen

∑(griech. Sigma) zu verwenden.

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NotationSummenzeichen

Zusatzmaterial:

http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Summen/summenzeichen.pdf

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NotationSummenzeichen

I Beispiel 1: Summe der Kinder aller Personen aus unsererUrliste

n∑i=1

xi = 0+1+2+3+2+1+2+2+4+3+1+2+3+1+0 = 27

I Beispiel 2: Summe der Kinder der ersten 5 Personen aus derUrliste

5∑i=1

xi = 0 + 1 + 2 + 3 + 2 = 8

I Beispiel 3: Summe der Kinder der letzten 5 Personen aus derUrliste (also Personen 11 bis 15)

15∑i=11

= 1 + 2 + 3 + 1 + 0 = 7

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NotationSummenzeichen

I Laufindex ist beliebig wahlbar

n∑i=1

xi =n∑

j=1

xj =n∑

l=1

xl

I Aber!n∑

i=1

xi 6=n∑

j=1

xi

I

n∑i=1

(xi+yi ) = (x1+y1)+(x2+y2)+. . .+(xn+yn) =n∑

i=1

xi+n∑

i=1

yi

6=n∑

i=1

xi + yi = (x1 + x2 + . . . + xn) + yi

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NotationSummenzeichen

In∑

i=1

a = a + a + a + ... = na

(a ist eine Konstante)

I

n∑i=1

axi = (ax1+ax2+. . .+axn) = a(x1+x2+. . .+xn) = an∑

i=1

xi

I Es gelten die allgemeinen Rechenregeln fur AdditionenZusatzmaterial:http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Summen/regenregelnsummen.pdf

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