Technische Universitat DresdenFachrichtung Physik

Einfuhrung in dasPhysikalische Praktikumfur Studierende der Physik

Dr. Rainer SchwierzDr. Wolfgang F. Mader

Dipl.-Phys. Philipp Anger

3. November 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Zielstellung 2

2 Ablauf des Praktikums 2

3 Protokollfuhrung 2

4 Hinweise zur Versuchsauswertung 44.1 Gaußsche Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie 75.1 Physikalische Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.1.1 Allgemeine Definition der Momente einer Verteilung von Zufallsgroßen 85.1.2 Definition des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen (Erstes Mo-

ment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.3 Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.1.4 Gaußsche Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Schatzung von Parametern und deren Unsicherheiten . . . . . . . . . . . . 125.2.1 Abschatzung des Mittelwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.2 Abschatzung der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.3 Varianz eines Schatzers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.4 Gewichtete Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.1 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.2 Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.3 Lineare Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.4 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.5 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.6 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.7 Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Bestimmung von Parametern mittels Regressionsanalyse . . . . . . . . . . 18

6 Anhang 21

1

1 Zielstellung

Im physikalischen Praktikum sollen die Studenten ihre in Vorlesungen und Seminaren er-worbenen Kenntnisse durch eigene experimentelle Arbeiten vertiefen. Dabei werden derAufbau von Versuchen, der Umgang mit Messgeraten, die Auswertung von Messergebnissensowie deren kritische Analyse zur Genauigkeit und die wissenschaftliche Protokollfuhrungam praktischen Beispiel studiert.

2 Ablauf des Praktikums

Zu Beginn des Semesters werden alle eingeschriebenen Studenten uber den Praktikumsab-lauf, die von ihnen zu absolvierenden Versuche und ihre Praktikumstermine informiert, au-ßerdem erfolgt eine Belehrung zum Arbeits- und Brandschutz. Die fur das gesamte Semes-ter benotigten Versuchsanleitungen konnen kauflich erworben werden. Diese Anleitungenenthalten Informationen zum Versuchsinhalt sowie den grundlegenden Gesetzmaßigkeitenund Literaturhinweise zum vorbereitenden Selbststudium. Die Studenten werden in Grup-pen zu je acht Personen eingeteilt, die Versuchsdurchfuhrung selbst erfolgt in der Regel inZweiergruppen.

Der jeweilige Versuchstermin beginnt mit einer kurzen schriftlichen Kontrollarbeit, dieden Nachweis uber die in der Vorbereitung erarbeiteten Kenntnisse zum Versuch erbrin-gen soll. Bei nicht ausreichendem Wissensstand wird der Student von der Durchfuhrungder Experimente ausgeschlossen und muss den entsprechenden Versuch zu einem spaterenTermin nachholen.

Anschließend wird vom Betreuer die Aufgabenstellung ausgegeben und entsprechendseinen Hinweisen und Weisungen wird das Experiment durchgefuhrt.

Die Nachweisfuhrung zum Versuch erfolgt in einem gebundenen Protokollheft, in welchesalle Daten eingetragen und separate Blatter (Diagramme o.a.) fest eingefugt werden.

Zum Versuchsende legt der Student dem Betreuer das Protokoll zum Testat vor. Mitseiner Unterschrift bestatigt der Betreuer den Abschluss des Versuchs und gibt dem Studen-ten die Bewertung bekannt. Arbeiten am Protokoll uber den eigentlichen Versuchsterminhinaus sind nicht zulassig.

3 Protokollfuhrung

Das Protokoll soll alle zum Versuch notwendigen Informationen enthalten, die es erlauben,den Losungsweg der Aufgabe spater vollstandig rekonstruieren oder wiederholen zu konnen,oder die Ergebnisse weiterzuverwerten.

Jeder Praktikant hat ein gebundenes Protokollheft zu fuhren, dessen Seiten bereits imvoraus zu numerieren sind. Alle Eintragungen haben mit Tinte oder Kugelschreiber zuerfolgen. Das Heraustrennen von Seiten ist nicht zulassig. Falsche Eintragungen sind unterAngabe der Fehlerursache durchzustreichen.

2

Das fur jede Aufgabe wahrend des Praktikums anzufertigende Protokoll soll in der Re-gel folgenden Aufbau besitzen:

Titel: Kennzeichen und Thema der Aufgabe, Datum, Namen der Mitarbeiter, Name desBetreuers.

Einleitung: Angabe des Versuchsziels. Vom Betreuer gestellte Aufgaben. Kurze Beschrei-bung des Messprinzips, der Apparatur (evtl. schematische Skizze). Fur die Auswertungbenotigte Formeln. Sehr kurze Darstellung zur Physik des Versuches, z.B. uber die in derAnleitung umrissenen Fragenkomplexe.

Messungen: Alle im Verlauf der Experimente gemessenen physikalischen Großen mit de-ren Ablese- oder Einstellunsicherheit sind sofort ubersichtlich (z.B. in Tabellen) einzu-tragen, nicht erst die daraus berechneten Mittelwerte oder Zwischenresultate (Beispiel:Notieren der bei einer Wagung verwendeten Wagestucke). Keine Zettel verwenden!

Auswertung: Berechnen der geforderten Endergebnisse. Alle Zwischenrechnungen gehorenin das Protokollheft. Graphische Darstellungen, die auf Spezialpapier (z.B. Millimeterpa-pier) angefertigt werden, sind in das Protokollheft fest einzubringen.

Betrachtungen zu den Messunsicherheiten: Untersuchung moglicher Messunsicher-heiten. Die Auswirkung der notierten Messunsicherheiten sowie der systematischen Unsi-cherheiten auf die Endergebnisse ist zu ermitteln (vgl. Abschnitt 4).

Zusammenstellung und Diskussion: Resultate unter Beachtung der bestimmten Mes-sunsicherheiten zusammenstellen. Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Große Fist mit bestimmten Schatzer F fur diese Große, der statistischen Messunsicherheit ∆Fstat

und systematischen Messunsicherheit ∆Fsyst in der Form

F = F ±∆Fstat ±∆Fsyst (1)

anzugeben. Hierbei ist zu beachten, dass der Schatzer und die Messunsicherheiten in derRegel dimensionsbehaftet sind und zur besseren Ubersicht zweckmaßigerweise in den selbenEinheiten angegeben werden sollten. Aus den Messunsicherheiten ergibt sich ein Hinweisdarauf, auf wieviel Stellen der Zahlenwert von F zu runden ist. Es ist nur sinnvoll, einebis hochstens zwei fehlerbehaftete Dezimalstellen anzugeben. Sehr wichtig ist eine kritischeDiskussion der Ergebnisse, z.B.:

• Ubereinstimmung mit den theoretisch vorausgesagten Zusammenhangen,

• mogliche Ursachen fur Abweichungen,

• Maßnahmen zur Verringerung von Storeinflussen,

• Kritik am Messverfahren und an der Apparatur,

• Vergleich verschiedener Messverfahren,

3

• Anteile der einzelnen Messunsicherheiten an der Gesamtmessunsicherheit,

• Grunde, weshalb Teilaufgaben nicht gelost werden konnten (falls zutreffend)

4 Hinweise zur Versuchsauswertung

Das Ziel der einzelnen Versuche des Physikalischen Praktikums ist die Messung einer phy-sikalischen Große. Jede Messung ist jedoch mit Messunsicherheiten1 behaftet. Dies fuhrtdazu, dass das Ergebnis einer Messung nur uber die Angabe eines Schatzwertes und dendazugehorigen Messunsicherheiten definiert ist2. Das Messergebnis wird also immer eineWahrscheinlichkeitsaussage sein und erfordert eine passende Interpretation.

In diesem Kapitel sollen die fur das Physikalische Praktikum wichtigsten Grundlagender Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt werden. Eine vertiefende Einfuhrungist im folgenden Kapitel zu finden.

4.1 Gaußsche Fehlerfortpflanzung

Der Schatzwert y fur eine physikalische Große y ist oft nicht direkt aus Messwerten dieserGroße bestimmbar, sondern muss indirekt aus Schatzwerten x1, . . . , xN anderer Großenuber einen mathematischen Zusammenhang y(x1, . . . , xN) bestimmt werden. So kann zumBeispiel der Widerstand R mit dem Ohmschen Gesetz R = U/I aus den Schatzwerten derGroßen Spannung U und Stromstarke I abgeschatzt werden.

Der Messwert jeder Große xi wird jedoch mit Messunsicherheiten ∆xi behaftet sein,welche sich auf die zu bestimmende Große y fortpflanzen und deren Messunsicherheit ∆ybilden.Bei der Berechnung dieser Messunsicherheit ist besonders auf die Korrelation zwischen denGroßen zu achten. Sie kann mathematisch mit Hilfe der Kovarianz beschrieben werden(siehe Abschnitt 5.1.3).

• Im Falle von unkorrelierten Großen xi ergibt sich folgende Rechenvorschrift in ersterOrdnung Storungstheorie:

∆y =

√√√√∑i

(∂y

∂xi

)2

xi=xi

(∆xi)2. (2)

Unkorreliertheit bedeutet, dass die Große xi keinerlei Einfluss auf die Messung einerGroße xj hat, wie es zum Beispiel beim Stromstarke und Spannung im obigen Beispielder Fall sein sollte. Im diesem Spezialfall von zwei Großen x1 = U und x2 = I nimmt

1Fruher wurde hierfur der Begriff Fehler verwendet.2Siehe DIN 1319

”Grundlagen der Messtechnik“.

4

die obige Formel fur die Messunsicherheit von y = R folgende Form an:

∆y =

√(∂y

∂x1

)2

x1=x1

(∆x1)2 +

(∂y

∂x2

)2

x2=x2

(∆x2)2. (3)

• Bei 100% korrelierten Großen kann die Messunsicherheit der Große y im Falle vonzwei Großen x1 und x2 in erster Ordnung Storungstheorie wie folgt berechnet werden:

∆y =

∣∣∣∣∣(∂y

∂x1

)x1=x1

∆x1

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣(∂y

∂x2

)x2=x2

∆x2

∣∣∣∣∣ . (4)

• Allgemein ergibt sich in erster Ordnung Storungstheorie folgender Zusammenhang:

∆y2 =N∑

i,j=1

[∂y

∂xi

∂y

∂xj

]xi=xixj=xj

Vij. (5)

Hier bezeichnet Vij die Kovarianz zwischen den Großen xi und xj (siehe Gleichung 15),die fur i = j identisch zur quadrierten Messunsicherheit ∆x2

i ist.

4.2 Messunsicherheiten

Neben der Angabe eines Schatzwertes ist ein zweiseitiges Intervall (Vertrauensintervall)anzugeben, welches die Prazesion dieser Schatzung in Form einer Wahrscheinlichkeit, demVertrauensniveau, widerspiegelt. Das Vertrauensniveau gibt an, mit welcher Wahrschein-lichkeit bei wiederholter Durchfuhrung des Experimentes der dann erhaltene Schatzwertinnerhalb des ursprunglich angegebenen Vertrauensintervalls liegt.

Im Praktikum ist ein Vertrauensniveau von 68% zu verwenden.

Im Folgenden werden Messunsicherheiten in systematische und statistische Unsicher-heiten unterteilt und deren Bedeutung eingefuhrt.

Systematische Messunsicherheiten

Diese Messunsicherheiten entstehen durch

• Unvollkommenheit der verwendeten Messgerate und Messverfahren(Auflosungsgrenze),

• Unvollkommenheit des Messgegenstandes (z.B. Inhomogenitaten)

• Subjektive Einflusse des Beobachters und Einflusse der Umgebung, die messtechnischoder rechnerisch erfasst werden konnen.

5

Systematische Messunsicherheiten treten bei jeder Wiederholung der Messung in der glei-chen Weise wieder auf. Daher konnten sie im Prinzip korrigiert werden.

Bei unkorrelierten Messwerten xi ergibt sich der Zahlenwert fur die gesamte systemati-sche Messunsicherheit, ∆xsyst, aus der quadratischen Addition der aufgetretenen systema-tischen Unsicherheiten:

Die Annahme der Unkorreliertheit ist hierbei stets zu prufen und zu begrunden. Esist außerdem zu beachten, dass die Herstellerdaten der systematischen Unsicherheiten vonMessgeraten fur ein Vertrauensniveau von 100% angegeben sind. Um die im PhysikalischenPraktikum geforderten 68% nicht nach oben abzuschatzen ist hier ein Korrekturfaktor von1/√

12 zu verwenden (siehe Kapitel 5.3.2).

∆xsyst =

√√√√( 1√12

∆xMessgerat

)2

+∑i

(∆xisyst

)2. (6)

Statistische Messunsicherheiten

Diese zufalligen Messunsicherheiten haben eine Vielzahl von Ursachen und sind ihremCharakter nach vollig unregelmaßig. Sie beruhen auf

• Messtechnisch und rechnerisch nicht zu erfassenden und nicht zu beeinflussendenAnderungen der Messanordnung, der Messgerate oder des Messgegenstandes.

• Der begrenzten Scharfe der menschlichen Sinne (Ableseunsicherheit, Reaktionszeiten,...).

• Unkontrollierbare Veranderungen der Umwelt (Temperaturveranderungen, Druckanderungen,etc.).

Sie schwanken regellos nach Betrag und Vorzeichen. So wird beispielsweise eine Streckezu kurz oder zu lang gemessen, da man den Nullstrich des Maßstabes und den Anfangder zu messenden Strecke nie exakt zur Deckung bringen kann und da beim Schatzen derZwischenwerte am Ende der Strecke Unsicherheiten entstehen.

Eine Charakterisierung der statistischen Messunsicherheit ist durch die Standardabwei-chung σ moglich (siehe Kapitel 5.1.3). Um ein zuverlassiges Resultat zu erhalten, ist dieMessung moglichst oft unter identischen Bedingungen zu wiederholen. Aus den zufalliggestreuten Messwerten kann man mit Hilfe statistischer Betrachtungen geeignete Erwar-tungswerte fur die Messgroßen und die Standardabweichungen gewinnen.

Beispiel:

Nach N Einzelmessungen einer Zufallsvariablen x mit den Messwerten x1, . . . , xN ist einSchatzer fur den Erwartungswert gegeben durch das arithmetische Mittel aller Messwerte:

x =1

N

N∑i=1

xi. (7)

6

Damit kann die Standardabweichung einer Einzelmessung folgendermaßen abgeschatzt wer-den:

σx =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(xi − x)2. (8)

Das bedeutet, dass jeder Messwert xi mit einer Unsicherheit σxi = σx belegt ist. Die Stan-dardabweichung des Schatzers des Erwartungswertes kann ebenfalls abgeschatzt werdenund kann als statistische Unsicherheit der gesamten Messung interpretiert werden3:

∆xstat = σx =σx√N

=

√√√√ 1

N(N − 1)

N∑i=1

(xi − x)2. (9)

Damit ist auch erkennbar, dass sich die Messunsicherheit des Erwartungswertes durch eineVergroßerung der Zahl der Messungen N verkleinern lasst.

5 Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeits-

theorie

5.1 Physikalische Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitstheorie bildet zusammen mit der Statistik den Zweig der Stochastikin der Mathematik. Wie in jedem Gebiet der modernen Mathematik ist auch hier ein axio-matischer Ansatz entwickelt wurden. Dies kann uber Ereignismengen E = . . . , Ai, . . . mit sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen Ai und einer Wahrscheinlichkeit P(Ai) alsEigenschaft der Ai geschehen, wie es zuerst von Kolmogorov4 formuliert wurde.

Im Praktikum kann die Ereignismenge E die Menge aller moglichen Resultate einerwiederholbaren Messung sein. Eine physikalische Messung enthalt

• Objektive Informationen uber das System

• Einen zufalligen statistischen Anteil

und wird im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie interpretiert.

3Unter der Annahme einer großen Anzahl von Einzelmessungen N kann man mit Hilfe des Zentra-len Grenzwertsatzes zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung der Zufallsvariablen x in eineGaußverteilung ubergeht. Deren Standardabweichung σ legt einen Vertrauensbereich mit einer statisti-schen Unsicherheit von den im Praktikum geforderten 68% fest (2σ: 95%; 3σ: 99,7%).

4A. N. Kolmogorow, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Berlin, Springer 1933, 1973

7

Beispiel

Ein idealer Spielwurfel ist durch die Ereignismenge E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 mit P(Ai) = 16

definiert.Im Folgenden sollen Großen vorgestellt werden, die zur Charakterisierung von Wahr-

scheinlichkeitsdichteverteilungen im Physikalischen Praktikum verwendet werden sollen.

5.1.1 Allgemeine Definition der Momente einer Verteilung von Zufallsgroßen

Das k-te Moment einer kontinuierlichen Verteilung einer Zufallsvariablen x bezuglich a (akonstant) ist definiert als:

m(a)k = E

[(x− a)k

]=

∫ ∞−∞

(x− a)k · f(x)dx. (10)

Damit ergeben sich spezielle hohere Momente:

• bezuglich Null: mk = E[xk]

• zentrales Moment: µk = E[(x− E[x])k

].

5.1.2 Definition des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen (Erstes Moment)

Der Erwartungswert (oft und doppeldeutig auch Mittelwert) E[x] einer diskreten bzw.kontinuierlichen Zufallsvariablen x ist wie folgt definiert:

E[x] =∑i

xiPi (11)

E[x] =

∫ ∞−∞

x · f(x)dx. (12)

Im kontinuierlichen Fall wurde die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f(x) eingefuhrt.Mit deren Hilfe kann die Wahrscheinlichkeit, einen Wert x im Intervall [x, x+ δx] zu findenberechnet werden:

P (x ∈ [x, x+ δx]) =

∫ x+δx

x

f(x)dx. (13)

Beispiel

Idealer Spielwurfel: E[n] = 1 · 16

+ 2 · 16

+ 3 · 16

+ 4 · 16

+ 5 · 16

+ 6 · 16

= 72

→ asymptotisches arithmetisches Mittel

8

5.1.3 Varianz und Kovarianz

Die Varianz Vx einer kontinuierlichen Zufallsvariablen x ist definiert als zentrales Momentzweiter Ordnung:

Vx ≡ σ2x ≡ µ2 = E

[(x− E [x])2]

= E[x2 − 2xE [x] + (E [x])2]

= E[x2]− 2E [x]E [E [x]] + E

[(E [x])2]

= E[x2]− 2 (E [x])2 + (E [x])2

= E[x2]− (E [x])2 . (14)

Die Wurzel der Varianz, σx, wird Standardabweichung (oft auch Streuung oder Disper-sion) genannt und charakterisiert die mittlere zufallige Abweichung vom Mittelwert.

Beispiel

Varianz beim Spielwurfel:

• E [x2] =∑6

i=1 (xi)2 Pi = 1

6

∑6i=1 i

2 = 916

• (E [x])2 =(

72

)2

Vx = σ2x = E [x2]− (E [x])2 = 91

6− 49

4= 35

12≈ 2, 9

Zwischen zwei Zufallsvariablen x1 und x2 kann die Kovarianz wie folgt definiert werden:

V12 = E [(x1 − E [x1]) (x2 − E [x2])] = E [x1x2]− E [x1]E [x2] . (15)

Die passend normierte Kovarianz, V12, wird als Korrelationskoeffizient bezeichnet:

ρ12 =V12

σ1σ2

. (16)

Per Konstruktion ist die Kovarianz V12 symmetrisch in x1, x2 und die DiagonalelementeV11, V22 stimmen mit den Varianzen V1 = σ2

1, V2 = σ22 uberein.

5.1.4 Gaußsche Fehlerfortpflanzung

Sei x = (x1, . . . , xN) ein Vektor von Zufallsvariablen, dann ist der Erwartungswert einerdaraus transformierten Zufallsvariablen y(x) in erster Ordnung gegeben durch

E [y(x)] = y (E [x]) . (17)

9

Beweis:

Taylorentwicklung um x = E[x]:

y(x) ≈ y(x) +

N∑i=1

[∂y

∂xi

]xi=xi

(xi − xi) .

Mit E[xi − xi] = 0 folgt nun die Behauptung.

Die Varianz der transformierten Zufallsvariablen y(x) kann in erster Ordnung aus denVarianzen Vi ≡ Vxixi ≡ Vii und den Kovarianzen Vxixj ≡ Vij der Zufallsvariablen x berech-net werden:

Vy =N∑

i,j=1

[∂y

∂xi

∂y

∂xj

]x=E[x]

Vij. (18)

Fur den Fall zweier Zufallsvariablen x = (x1, x2) lautet der entsprechende Ausdruck inMatrix-Form: 5,

Vy =(∂y∂x1, ∂y

∂x2

)(V11 V12

V21 V22

)( ∂y∂x1∂y∂x2

), (19)

und ergibt sich ausmultipliziert zu

Vy = σ2y =

(∂y

∂x1

)2

σ21 +

(∂y

∂x2

)2

σ22 + 2

(∂y

∂x1

)(∂y

∂x2

)ρ12σx1σx2 . (20)

Hier bezeichnen σy/x1/x2 die Standardabweichungen der Zufallsvariablen y, x1, x2 undV12 die Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen x1 und x2.

Bemerkungen:

• Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz aus Formel 18 ist eine lineare Naherung.Diese Formel ist somit nur gultig wenn y hinreichend linear in xi um den Mittelwertist.

• Im Spezialfall unkorrelierter Zufallsvariablen, ρ12 = 0, ergibt sich:

σ2y =

(∂y

∂x1

)2

σ21 +

(∂y

∂x2

)2

σ22 . (21)

5Hier und im Folgenden wird die partielle Ableitung ebenfalls an der Stelle des jeweiligen Erwartungs-wertes gebildet, dies aber aus Platzgrunden nicht explizit als Index erwahnt

10

• Bei vollstandig korrelierten Zufallsvariablen (ρ12 = 1) addieren sich die individuellenUnsicherheiten linear:

σ2y =

(∂y

∂x1

)2

σ21 +

(∂y

∂x2

)2

σ22 + 2

(∂y

∂x1

)(∂y

∂x2

)· 1 · σ1σ2 (22)

=

[(∂y

∂x1

)σ1 +

(∂y

∂x2

)σ2

]2

(23)

σy =

∣∣∣∣( ∂y

∂x1

)σ1 +

(∂y

∂x2

)σ2

∣∣∣∣ . (24)

Dies kann nach oben abgeschatzt werden:

σy ≤∣∣∣∣ ∂y∂x1

∣∣∣∣σ1 +

∣∣∣∣ ∂y∂x2

∣∣∣∣σ2. (25)

• Bei einem Produkt zweier korrelierter Messwerte, y = x1 · x2, ergibt sich folgenderZusammenhang: (

σyy

)2

=

(σ1

x1

)2

+

(σ2

x2

)2

+ 2V12

x1x2

. (26)

• Die Unsicherheit auf den Quotient zweier korrelierter Messwerte, y = x1/x2 ergibtsich analog zu: (

σyy

)2

=

(σ1

x1

)2

+

(σ2

x2

)2

− 2V12

x1x2

. (27)

Beispiel: Berechnung des ohmschen Widerstandes aus gemessener Spannung U undStromstarke I.

Beide Messgroßen sollen N = 100 mal unter identischen Bedingungen (Temperaturund jeweils andere Große konstant) gemessen worden sein: Spannung U1, . . . , UN undStromstarke I1, . . . , IN . Das Messergebnis fur die Spannung (Stromstarke analog) kannnun wie folgt berechnet werden. Hierbei wird das arithmetische Mittel U als Schatzer (sieKapitel 5.2) fur den Erwartungswert der Spannung gewahlt und die folgende Formel alsSchatzer fur die Standardabweichung des Erwartungswertes verwendet:

U =1

N

N∑i=1

Ui (28)

σU =

√√√√ 1

N(N − 1)

N∑i=1

(Ui − U)2. (29)

11

Aufgrund der vorausgesetzten identischen Bedingungen werden die Zufallsvariablenx = (U, I) als unkorreliert angenommen, V12 = 0, und es kann der Spezialfall aus For-mel 21 fur die transformierte Variable y = R = U/I angewendet werden:

R =U

I(30)

∆Rstat = σR =

√(∂R

∂U

)2

σ2U

+

(∂R

∂I

)2

σ2I

(31)

=

√(1

I

)2

σ2U

+

(− UI2

)2

σ2I

(32)

= R

√(σUU

)2

+(σII

)2

. (33)

Bei angenommenen systematischen Unsicherheiten ∆Usyst und ∆Isyst der Messgerate furSpannungs- und Stromstarke ergibt sich analog die systematische Messunsicherheit zu

∆Rsyst = R

√(∆Usyst

U

)2

+

(∆Isyst

I

)2

(34)

und das Gesamtergebnis der Messung des Widerstandes R soll wie folgt angegen werden:

R = R±∆Rstat ±∆Rsyst. (35)

5.2 Schatzung von Parametern und deren Unsicherheiten

Beispiele

• Gegeben sei ein Eimer mit roten und weißen Kugeln. Ein mogliches Ziel ist dieSchatzung der Anzahl der roten bzw. weißen Kugeln im Eimer.

• Bei der wiederholten Messung der Spannung U mit den Messwerten U1, . . . , UN istein mogliches Ziel die Schatzung des Erwartungswertes E[U ] = f(U1, . . . , UN) oderder Varianz des Erwartungswertes VE[U ] = g(U1, . . . , UN).

Ein Schatzer A† einer Große ist eine Funktion des wahren, unbekannten Wertes A dieserGroße und der Messwerte A1, . . . , AN der Messung:

A = A(A;A1, . . . , AN). (36)

Die Schatzer von Großen sollten außerdem erwartungstreu sein, d.h. der Erwartungs-wert eines Schatzers einer Große sollte dem wahren Wert entsprechen:

E[A] = A. (37)

†Hier und im Folgenden werden die Schatzer einer Große mit einem Dach bezeichnet, A, um sie vomwahren A zu unterscheiden.

12

5.2.1 Abschatzung des Mittelwertes

Das arithmetische Stichprobenmittel x als Schatzer E[x] des Erwartungswertes E[x]

E[x] = x ≡ 1

N

N∑i=1

xi (38)

ist erwartungstreu.

Beweis:

E[E[x]] = E [x] = E

[1

N

N∑i=1

xi

]=

1

N

N∑i=1

E [xi] =1

NNE [x] = E [x] (39)

5.2.2 Abschatzung der Varianz

Die Varianz (siehe Formel 14) berechnet mit dem arithmetischen Mittelwert (siehe For-mel 38) ist kein erwartungstreuer Schatzer Vx der Varianz des arithmetischen MittelwertesVx. Es kann gezeigt werden, dass

E[Vx] = E

[1

N

N∑i=1

(xi − x)2

]N − 1

NVx. (40)

Der Bessel-Korrekturfaktor N/(N−1) fuhrt demnach zu einem erwartungstreuen Schatzerfur die Varianz des arithmetischen Mittelwertes:

Vx = s2 ≡ 1

N − 1

N∑i=1

(xi − x)2 . (41)

5.2.3 Varianz eines Schatzers

Hat man einen Schatzer A eines wahren Wertes A berechnet, kann man auch die VarianzVA = E[A2]− (E[A])2 berechnen. Es ist wichtig zu verstehen, dass VA ein Maß der Varianz

des Schatzers A ist und deshalb eine große Anzahl von gleichen Experimenten, jedes mitN Messwerten, erfordert. Dieser Wert wird deshalb oft als statistische Unsicherheit einesSchatzers A bezeichnet.

Zum Beispiel ergibt sich fur die Varianz des arithmetischen Stichprobenmittels (alsSchatzer fur den Erwartungswert) nach kurzer Rechnung

Vx =VxN. (42)

Dies spiegelt die wichtige Aussage wider, dass die Standardabweichung des arithmetischenMittelwertes von N Messungen einer Große x gleich der Standardabweichung der Einzel-messung geteilt durch

√N ist:

σx =σx√N. (43)

13

5.2.4 Gewichtete Mittelwerte

Ist ein Vektor von Messwerten x = x1, . . . , xN mit unterschiedlichen Standardabwei-chungen σ = σ1, . . . , σN gegeben (was zum Beispiel bei einer Spannungsmessung mitunterschiedlichen Geraten gegeben ist), dann ist der beste Schatzer fur den Mittelwert dasgewichtete Mittel

x =

∑Ni=1

xiσ2i∑N

i=11σ2i

(44)

mit der Varianz

Vx =1∑Ni=1

1σ2i

. (45)

5.3 Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen

5.3.1 Normalverteilung

Wie kann die in Kapitel 5.1.3 eingefuhrte Standardabweichung interpretiert werden? Wel-che Messwerte wird man mit welcher Wahrscheinlichkeit bei wiederholter Durchfuhrungdes Experiments unter identischen Bedingungen messen?

Als zentralen Grenzwertsatz bezeichnet man die Aussage, dass bei einem Vektorx = x1, . . . , xN von unabhangigen Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten E[xi] = µiund den Varianzen Vi die Summe X =

∑Ni=1 xi folgende Eigenschaften aufweist:

• Der Erwartungswert der Summe berechnet sich als Summe der Erwartungswerte:E[X] =

∑Ni=1 µi.

• Die Varianz der Summe berechnet sich als Summe der Varianzen: VX =∑N

i=1 Vi.

• Ist normalverteilt fur N →∞.

Eine Normalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung (siehe Gleichung 13)die bei gegebener Standardabweichung σ die Streuung der Messwerte um den Mittelwertµ mit folgender Gleichung beschreibt:

f(x;µ σ) =1√

2πσ2exp

(−(x− µ)2

2σ2

). (46)

Folgender Tabelle ist zu entnehmen mit welcher Wahrscheinlichkeit bei wiederholterMessung einer Zufallsvariablen x der neue Messwert xneu im entsprechenden Vertrauensin-tervall liegt:

Intervall Wahrscheinlichkeit[µ− σ, µ+ σ] 68, 3%[µ− 2σ, µ+ 2σ] 95, 5%[µ− 3σ, µ+ 3σ] 99, 7%[µ− 4σ, µ+ 4σ] (1− 6.3)× 10−5

[µ− 5σ, µ+ 5σ] (1− 5.7)× 10−7

14

5.3.2 Gleichverteilung

Die Gleichverteilung einer Zufallsvariablen x ist definiert als

f(x; a, b) =

1b−a fur a ≤ x ≤ b

0 sonst(47)

und hat die folgenden Momente:

E[x] =

∫ b

a

x

b− adx =

1

2(a+ b) (48)

σ2x =

∫ b

a

[x− 12(a+ b)]2

b− adx =

1

12(b− a)2. (49)

Das hier erhaltene Ergebnis fur die Standardabweichung einer Gleichverteilung erklartauch den Faktor 1/

√12 bei der Betrachtung systematischer Messunsicherheiten in Glei-

chung 6. Die Unsicherheiten von Messgeraten werden fur ein Vertrauensniveau von 100%einer Gleichverteilung vom Hersteller angegeben. Um das im Physikalischen Praktikumgeforderte Vertrauensniveau von 68% einzuhalten, ist somit diese Korrektur erforderlich.

5.3.3 Lineare Verteilung

Als lineare Verteilung wird folgende Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung bezeichnet:

f(x; a) =

2xa2 fur 0 ≤ x ≤ a

0 sonst.(50)

15

Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:

E[x] =2

3a (51)

σ2 =1

18a2. (52)

5.3.4 Exponentialverteilung

Beim radioaktiven Zerfall zerfallen in gleichen Zeitintervallen die gleiche Anzahl an Kernen:dN = −λNdt. Integriert man diese Gleichung,∫ N(t)

N(0)

dN

N= −λ

∫ t

0

dt, (53)

so erhalt man das sogenannte exponentielle Zerfallsgesetz:

N(t) = N(0)e−λt. (54)

Aquivalent dazu wird die Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen x eingefuhrt,

f(x;µ) =1

µe−

xµ , (55)

die durch einen einzelnen Parameter µ charakterisiert ist. Der Erwartungswert ergibt sichzu

E[x] =1

µ

∫ ∞0

xe−xµdx = µ (56)

und die Varianz als Quadrat der Standardabweichung zu

Vx = σ2x =

1

µ

∫ ∞0

(x− µ)2e−xµdx = µ2. (57)

5.3.5 Binomialverteilung

Sei N eine Anzahl unabhangiger Messungen mit zwei moglichen Ergebnissen (zum Beispiel

”Kopf“ oder

”Zahl“) und p die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintrifft

(im Beispiel p = pKopf = pZahl = 1/2). Dann folgt die Wahrscheinlichkeit fur n”erfolgreiche“

Ausgange eine Binomialverteilung:

f(n;N, p) =N !

n!(N − n)!pn(1− p)N−n. (58)

Fur den Erwartungswert und die Varianz erhalt man nach kurzer Rechnung

E[n] = Np (59)

Vn = Np(1− p). (60)

16

5.3.6 Poissonverteilung

Im Limit einer großen Anzahl von N unabhangigen Messungen und kleiner Wahrschein-lichkeiten p ergibt sich fur die Binomialverteilung (siehe Gleichung 58) folgende Form:

f(n; ν) =νn

n!e−ν . (61)

Diese Verteilung bezeichnet man als Poissonverteilung. Sie findet unter anderem Anwen-dung bei der Verteilung der Anzahl radioaktiver Zerfalle bei Proben mit geringer Aktivitat.

Der Parameter ν wurde als Produkt aus Messanzahl und Wahrscheinlichkeit, ν = Np,eingefuhrt. Es ergibt sich, dass Erwartungswert und Varianz identisch zu diesem Parametersind, was als Besonderheit der Poissonverteilung auffallt:

E[n] = ν (62)

Vn = ν. (63)

5.3.7 Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2k-Verteilung) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen x ist

definiert als

fk(x) =

1

2k/2Γ(k/2)xk/2−1e−x/2 fur x > 0

0 sonst.(64)

Der Parameter k = 1, 2, . . . wird als Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet und Γ(z)steht fur die Gammafunktion

Γ(z) =

∫ ∞0

e−ttz−1dt. (65)

17

Fur den Zweck der Chi-Quadrat-Verteilung wird nur benotigt dass Γ(n) = (n − 1)! furganzzahlige n, Γ(z + 1) = zΓ(z) und Γ(1/2) =

√π.

Erwartungswert und Varianz ergeben sich damit zu

E[x] = k (66)

Vx = 2k. (67)

Bemerkungen

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften oft verwendet.So ist unter anderem die Summe z der Quadrate von N unabhangigen, gaußverteiltenZufallsvariablen xi mit Mittelwerten µi und Standardabweichungen σi,

z =N∑i=1

(xi − µi)2

σ2i

, (68)

Chi-Quadrat-verteilt mit N − r Freiheitsgraden, wobei r die Anzahl der Fitparameterbezeichnet. Damit solle bei wiederholter Messung der N unabhangigen, gaußverteiltenZufallsvariablen xi und Bestimmung von z dessen Werte Chi-Quadrat-verteilt mit N − rFreiheitsgraden sein.

Ist dies nicht der Fall, sind entweder die gemessenen Zufallsvariablen nicht normal-verteilt, die angenommenen Messunsicherheiten sind falsch (z N : angenommene Mes-sunsicherheiten zu klein, z N : angenommene Messunsicherheiten zu groß) oder diezugrundeliegende Hypothese der Unabhangigkeit ist unzutreffend.

Je großer der Wert z, umso großer ist die Abweichung zwischen gemessenen und erwar-teten Werten. Dies wird auch bei der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate verwen-det, wo µi einen parameterabhangigen erwarteten Zusammenhang darstellt und durch eineMinimierung von z diese Parameter bestimmt werden konnen.

5.4 Bestimmung von Parametern mittels Regressionsanalyse

Gegenstand dieses Kapitels sind Messwerte deren Zusammenhang von außeren Parameternabhangt. Der einfachste Fall ist die lineare Abhangigkeit zweier Messwerte x, y von denaußeren Parametern A und B:

y = A+Bx. (69)

Eine praktische Aufgabe konnte die N -fache Messung des Messwertepaares (xi, yi) sein, umdaraus die außeren Parameter A und B zu bestimmen. Ein Beispiel dafur ist die Bestim-mung des Widerstandes B = R aus gemessener Spannung y = U = R · I und Stromstarkex = I mit A = 0.

18

Aufgrund zufalliger Messunsicherheiten werden die Messpunkte jedoch streuen. Es existie-ren mehrere Moglichkeiten zur Ermittlung der Ausgleichsgeraden und die Bestimmung deraußeren Parameter A und B und der dazugehorigen Unsicherheiten ∆A und ∆B.Im Praktikum ist eine subjektive graphische Methode oft nicht zu vermeiden. Es soll dabeiwie folgt vorgegangen werden:

1. Nach Augenmaß wird eine ausgleichende Gerade (rote Linie) durch die Messpunktegezeichnet.

2. Damit ist die Bestimmung des Ordinatenschnittpunktes (0, A) und der Steigung Bdieser Geraden moglich.

3. Um die Unsicherheiten der Parameter A und B zu bestimmen, werden zwei zurAusgleichsgeraden parallele Grenzgeraden so eingezeichnet, dass das damit gebildeteRechteck etwa 68% aller Messpunkte enthalt.

4. Einzeichnen der Grenzgeraden als Diagonalen des Rechtecks.

5. Mit Hilfe der Grenzgeraden konnen die Unsicherheiten der Parameter A (Ordina-tenschnittpunktsbereich) und B (Ausgleichsgeradensteigung) bestimmt werden. Dadiese Unsicherheiten in der Regel nicht symmetrisch sein werden sollte hier der ma-ximale Abweichung als Unsicherheit angegeben werden.

Mathematisch kann hier die Methode der kleinsten Abweichungsquadrate aus Ab-schnitt 5.3.7 angewendet werden, wenn man annimmt dass die Unsicherheiten der Großen

19

xi, σxi klein gegenuber den Unsicherheiten der Großen yi, σyi sind. Dabei ist die Große

χ2 =N∑i=1

(yi − (A+Bxi))2

σyi(70)

im Bezug auf die Parameter A und B zu minimieren. Mit der Definition

Si ≡1

σ2yi

(71)

ergeben sich folgende Zusammenhange:

B =

N∑i,k=1

SiSk (yi − yk)xi

N∑i,k=1

SiSk (xi − xk)xi(72)

A =

N∑i=1

Si (yi − bxi)

N∑i=1

Si

(73)

∆B =

N∑i,k=1

SiSk (xi − xk)σyiN∑

i,k=1

SiSk (xi − xk)xi(74)

∆A =

N∑i,k,l=1

SiSkSl(xk − xi)xkσyiN∑

i,k,l=1

SiSkSl (xi − xk)xi(75)

Im Spezialfall von gleichen Unsicherheiten σyi = σy vereinfacht sich dies zu

B =VxyVx

(76)

A = y −Bx (77)

∆B =σyVx

(78)

∆A =σyVxx2 (79)

mit den Mittelwerten x ≡ 1N

∑Ni=1 xi, y ≡

1N

∑Ni=1 yi, der Varianz Vx = 1

N

∑Ni=1(xi − x)2

und der Kovarianz Vxy = 1N

∑Ni=1(xi − x)(yi − y).

20

6 Anhang

Gesundheits-, Arbeits- und Brandschutz

In den Laborraumen sind durch aufmerksames und rucksichtsvolles Verhalten Gefahrdungenfur Personen und Gerate zu vermeiden. Rauchen sowie die Einnahme von Speisen oder Ge-tranken sind nicht statthaft. Die experimentellen Arbeiten sind entsprechend den vom Be-treuer ausgegebenen Weisungen auszufuhren. Verletzungen, Brande, Beschadigungen desVersuchsinventars u.a.m. sind dem Betreuer unverzuglich anzuzeigen.

Exemplarisch soll auf folgende mogliche Gefahrenquellen hingewiesen werden:

Brande: Brennbare Gegenstande und Flussigkeiten durfen nicht in der Nahe offener Flam-men oder Heizkorper abgelegt werden. Uber den Ausbruch eines Brandes sind alle inder Nahe befindlichen, gefahrdeten Personen sowie die Feuerwehr umgehend zu informie-ren. Bis zum Eintreffen der Feuerwehr ist der Brand mit den zur Verfugung stehendenLoschmitteln (Brandschutzdecken, Feuerloscher – kein Nassloscher an elektrischen Anla-gen) zu bekampfen. Fenster und Turen sind geschlossen zu halten.

Gesundheitsgefahrdende Stoffe:

• Quecksilber: Da Quecksilberdampfe zu Vergiftungserscheinungen fuhren konnen,sind freie Quecksilbertropfen schnellstmoglich zu beseitigen.

• Atzgifte (Sauren, Laugen, ...): Veratzungen der Haut, Schleimhaute oder Augensind sofort mit Wasser zu spulen, anschließend muss ein Arztbesuch erfolgen.

Elektrische Anlagen, Rontgen- und Laserstrahlen, radioaktive Praparate: Die-se Anlagen durfen nur nach arbeitsplatzspezifischer Einweisung und Abnahme durch denBetreuer in Betrieb genommen werden. Jedwede eigenmachtige Veranderung oder Inbe-triebnahme durch den Studenten kann zu Gefahrdungen fuhren und ist deshalb striktuntersagt.

Sonstige Verletzungen: Verletzungen jeder Art wie z.B. Schnittwunden o.a. sind unbe-dingt arztlich behandeln zu lassen.

Angaben zu systematischen Messunsicherheiten ausgewahlter Meß-gerate

Wie in Kapitel 4.2 beschrieben, werden Herstellerangaben von systematischen Messunsi-cherheiten fur eine Gleichverteilung und einem Vertrauensniveau von 100% angegeben. Umdie im Physikalischen Praktikum geforderten 68% nicht nach oben abzuschatzen ist hierein Korrekturfaktor von 1/

√12 zu verwenden.

21

Langenmaße mit Teilung

l = gemessene Lange, ∆l = Betrag der Unsicherheit

Stahlmaßstabe: ∆l = 50 µm + 5× l × 10−5

Bankmaßstabe, Schulmaßstabe: ∆l = 200µm + 5× l × 10−4

Buromaßstabe: ∆l = 200µm + 1× l × 10−3

Messschieber

l = gemessene Lange, ∆l = 50µm + 5× l × 10−4

Digitaler Messschieber

Messbereich l = 0 . . . 200 mm ∆l = 0, 03 mmMessbereich l > 200 mm ∆l = 0, 04 mm

Messuhren

Tabelle enthalt Gesamtunsicherheit fur Langendifferenzen ∆l in µm

Messbereich 0 mm . . . 3 mm 0 mm . . . 10 mm 0 mm . . . 25 mmGenauigkeitsgrad I 10 15 22Genauigkeitsgrad II 15 25 40

Massstabprufokulare

Messunsicherheit fur Langendifferenzen: ∆l = 20µm

Massstabmessplatten

Messunsicherheit fur Langendifferenzen: ∆l = 2µm

Winkelmesser

Skalenwert = 1, x = α×π/180 = gemessener Winkel (Bogenmaß), ∆α= Messunsicherheit

Durchmesser: 100 mm ∆α = 10′ + 0, 1′ × α/1Durchmesser: 150 mm, 200 mm ∆α = 10′ + 0, 05′ × α/1

Messzylinder

Nicht eichfahig. VN = Nenninhalt

22

VN/ml 10 25 50 100 250 500 1000 2000∆V/ml 0,1 0,5 0,5 1 2 5 10 20

Pyknometer

Vi= angegebener Istinhalt, VN = Nenninhalt

Genauigkeitsklasse A (amtlich geeicht)Vi/ml bis 10 uber 10 bis 50 uber 50∆V/ml 0,001 0,002 0,003

Genauigkeitsklasse BVN/ml 1 5 10 25 50∆V/ml 0,003 0,003 0,005 0,010 0,020

Stoppuhren

t = gemessene Zeit

Halbschwingungsdauer Dauer eines Zeigerumlaufs ∆t0, 1 s 30 s 0, 2 s + 5× t× 10−4

0, 2 s 60 s 0, 4 s + 5× t× 10−4

Digitale Stoppuhren

Wird vom Hersteller keine Unsicherheit angegeben: ∆t = 0, 01 s = 1 Digit

Feinwaagen

Einfache, gleicharmige Balkenwaagen mit Einspielungslage:E = Empfindlichkeit, m = gemessene Masse, mm = Hochstbelastung

∆m ist gleich dem jeweils großten der drei Ausdrucke ∆1m, ∆2m, ∆3m:∆m = Max (∆1m,∆2m,∆3m)

fur alle Belastungen gilt ∆1m = 1 Skt/E

fur mm =

0 kg . . . 0, 5 kg

0, 5 kg . . . 1 kg

1 kg . . . 25 kg

gilt ∆2m =

4×mm × 10−6

2 mg

2×mm × 10−6

fur m =

0 g . . . 100 g

100 g . . . 200g

200 g . . . 5000 g

gilt ∆3m =

2×m× 10−5

2 mg

1×m× 10−5

23

Wagestucke

Tabelle enthalt Messunsicherheiten ∆m in mg

Nennmasse 2 kg 1 kg 500 g 200 g 100 g 50 g 20 gHandelsgewichtstucke 1200 800 500 200 120 100 60Feingewichtstucke Klasse F - 7,50 3,00 1,50 0,75 0,45 0,30

Nennmasse 10 g + 5 g 2 g + 1 gHandelsgewichtstucke 40 40Feingewichtstucke Klasse F 0,23 0,15

Nennmasse 500 mg ... 100 mg 50 mg ... 20 mg 10 mg ... 0,5 mgHandelsgewichtstucke - - -Feingewichtstucke Klasse F 0,075 0,045 0,030

Feingewichtstucke von 0,5 mg bis 500 mg werden als Plattchen ausgefuhrt:

Form A (ohne Angabe des Massewertes und der Maßeinheit)Sollwert der Masse in mg Gestalt (eine Kante aufgebogen)1 10 100 gleichseitiges Dreieck2 20 200 Quadrat0,5 5 50 500 regelmaßiges Sechseck

Sollwert der Masse in mg Gestalt0,5 bis 5 Rechteck mit abgeschragten Ecken und aufgebogener Schmalkante10 bis 500 Rechteck mit abgeschragten Ecken und aufgebogener Ecke

Feinwaage Mettler (digital)Typ AE 260 DeltaRange PM 3000Ablesbarkeit 1 mg 0,1 gWagebereich 0 g ... 205 g 0 g ... 3100 gTarierbereich (subtraktiv) 0 g ... 205 g 0 g ... 3100 gStandardabweichung 0,5 mg 0,03 gLinearitat ± 1 mg ± 0,1 g

Manometer mit elastischem Messglied

Verkehrsfehlergrenzen =(Skalenendwert)× (Klasse)

100

24

Laborthermometer

Tabelle enthalt ∆θ in K, θ = gemessene Temperatur

Skalenwert / K 1 0,5 0,2 0,1θ = −5C . . . 60C 0,7 0,5 0,2 0,15θ = 60C . . . 110C 1 - 0,3 0,25θ = 110C . . . 210C 1,5 1,0 0,5 -θ = 210C . . . 310C 2,0 1,5 - -θ = 310C . . . 400C 2,5 - - -

Kalorimeterthermometer

∆T = 0, 02 K

Elektrische Messgerate

Angabe der Genauigkeitsklasse (zulassige Messunsicherheit in Prozenten des Messberei-chendwertes) auf dem Skalentrager.

Beispiel: Ein Strommesser der Genauigkeitsklasse 1,5 mit 400 mA Vollausschlag besitztunabhangig von der Hohe der gemessenen Stromstarke eine, unter anderem durch dieHerstellung bedingte, maximale Unsicherheit der Anzeige von 1, 5×10−2×400 mA = 6 mA.Hinzu tritt noch der Ableseunsicherheit!

Liegt der Skalennullpunkt innerhalb der Skale, so gilt als Messbereichendwert die Sum-me beider Skalenendwerte.

Ist das Zeichen fur die Genauigkeitsklasse in einem Kreis angegeben, so ist der Anzeige-fehler auf den Sollwert bezogen (Frequenzmesser mit Vibrationszungen). Außerdem kanndurch Einflussgroßen, z.B. Temperatur, Frequenz, Fremdfelder und Lage, die Anzeige desMessinstrumentes verandert werden.

Beispiel: Ist auf dem Skalentrager nichts anderes festgelegt, dann kann eine Abweichungum 50 von der Nennlage zu einer zusatzlichen Messunsicherheit von der Große der oben an-gegebenen zulassigen Messunsicherheit fuhren (ebenso eine Abweichung von der normalenNenntemperatur von 20C um 10 K).

25

Digital - Multimeter

Altere Multimeter: gemessene Großen: U , I, R

Betriebsart Messbereich GenauigkeitHGL 2000 N M 3610 B 91

Gleichspannung 200 mV . . . 200 V ±0, 5% + 1 Digit ±0, 3% + 1 Digit ±0, 5% + 1 DigitGleichspannung 1000 V ±0, 8% + 1 Digit alle Bereiche alle BereicheWechselspannung 200 mV ±1, 2% + 3 Digits ±1, 2% + 3 Digits ±1, 2% + 1 DigitWechselspannung 2 V . . . 200 V ±0, 8% + 3 Digits ±0, 8% + 3 Digits alle BereicheWechselspannung 200 mV ±1, 2% + 3 Digits ±1, 2% + 3 DigitsGleichstrom 200µA . . . 20µA ±0, 8% + 1 Digit ±0, 5% + 1 Digit ±1, 0% + 1 DigitGleichstrom 200 mA . . . 2 A ±1, 2% + 1 Digit ±1, 2% + 1 Digit ±1, 0% + 1 DigitGleichstrom 10 A ±2, 0% + 5 Digits ±2, 0% + 5 Digits ±2, 0% + 3 DigitsWechselstrom 200µA ±1, 8% + 3 DigitsWechselstrom 2 mA . . . 20 mA ±1, 0% + 3 DigitsWechselstrom 200 mA . . . 2 AWechselstrom 10 AWiderstand 200 ΩWiderstand 2 kΩ . . . 2 MΩWiderstand 20 MΩWiderstand 200 MΩ - -

PeakTech R© 2015: gemessene Großen: U , I, R

Betriebsart Messbereich GenauigkeitGleichspannung 400 mV . . . 400 V ±0, 5% + 4 DigitGleichspannung 1000 V ±1, 0% + 4 DigitWechselspannung 4 V . . . 400 V ±0, 8% + 6 DigitsWechselspannung 750 V ±1, 0% + 8 DigitsGleichstrom 400µA . . . 400 mA ±1, 0% + 10 DigitGleichstrom 20 A ±1, 2% + 10 DigitsWechselstrom 400µA . . . 400 mA ±1, 5% + 5 DigitsWechselstrom 20 A ±2, 0% + 15 DigitsWiderstand 400 Ω ±0, 8% + 5 DigitsWiderstand 4 kΩ . . . 4 MΩ ±0, 8% + 4 DigitsWiderstand 40 MΩ ±1, 2% + 5 Digits

26

PeakTech R© 2010 und PeakTech R© 3725: gemessene Großen: U , I, R, f

Betriebsart Messbereich GenauigkeitPeakTech R© 2010 PeakTech R© 3725

Gleichspannung 200 mV . . . 200 V ±0, 5% + 3 Digits ±0, 5% + 1 DigitGleichspannung 1000 V ±1, 0% + 5 DigitGleichspannung 600 V ±0, 8% + 2 DigitWechselspannung 200 mV ±1, 2% + 3 Digits ±1, 2% + 3 DigitsWechselspannung 2 V . . . 200 V ±1, 0% + 3 Digits ±0, 8% + 3 DigitsWechselspannung 750 V ±1, 0% + 8 DigitsWechselspannung 600 V ±1, 2% + 3 DigitsGleichstrom 20µA . . . 2 mA ±0, 8% + 1 DigitGleichstrom 2 mA . . . 20 mA ±0, 8% + 3 DigitsGleichstrom 200 mA ±1, 2% + 4 Digits ±1, 5% + 1 DigitGleichstrom 10 A ±2, 0% + 5 DigitsGleichstrom 20 A ±2, 0% + 5 DigitsWechselstrom 20µA . . . 2 mA ±1, 0% + 3 DigitsWechselstrom 2 mA . . . 20 mA ±1, 0% + 5 DigitsWechselstrom 200 mA ±2, 0% + 5 Digits ±1, 8% + 3 DigitsWechselstrom 10 A ±3, 0% + 7 DigitsWechselstrom 20 A ±3, 0% + 10 DigitsWiderstand 200 Ω ±0, 8% + 3 DigitsWiderstand 200 Ω . . . 2 kΩ ±0, 8% + 5 DigitsWiderstand 2 kΩ . . . 2 MΩ ±0, 8% + 1 DigitsWiderstand 20 kΩ . . . 2 MΩ ±0, 8% + 3 DigitsWiderstand 20 MΩ ±1, 0% + 15 Digits ±1, 0% + 5 DigitsWiderstand 2000 MΩ ±5, 0% + 20 Digits ±5, 0% + 10 DigitsFrequenz 2 kHz . . . 10 MHz ±0, 5% + 4 Digits ±0, 1% + 3 Digits

Normalwiderstande

Bei 15C . . . 25C und geringer Belastung.

Widerstandssatze

Bei 20C und geringer Belastung. R = eingeschalteter Widerstand.

Fur

R < 0, 1 Ω

0, 1 Ω ≤ R < 10 Ω

R ≥ 10 Ω

gilt ∆R =

0, 02 Ω + 1× 10−2 ×R0, 02 Ω + 1× 10−3 ×R0, 02 Ω + 1× 10−4 ×R

.

27