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Einige Bemerkungen fiber den Begriff des lokalen Zusammenhanges. Von N. Aronszajn (Warschau). 1. Der Begriff des lokalen Zusammenhanges wurde yon Hahn1) und yon Mazurkiewicz~) eingeftihrt. Die ursprtingliche Definition dieses Begriffes kann auch folgendermal~en formuliert werdens): (1) Ein to_pologischer _Raum R ist im Punkte p E R lokal zu- sammenMingend, wen~ jede Umgebung U yon 19 eine zusammen- h?ingende Teilmenge N enth?ilt~ in deren lnnern I (N) der Punkt p liegt. Also: pEI(N) CN CU~ wo I(N):N--R---N. Eine davon etwas abweichende Definition des lokalen Zu- sammenhanges wurde yon Menger in seiner Dimensionstheorie ~) angegeben. Niimlich: (2) Ein topologischer Raum ist im Punkte p E R lokal zu- sammenh~ngend~ wenn jede Umgebung U von p eine den Punkt T enthaltende q]ene zusa~menMingende Teilmenge V entMilt; wo also p~r=l(V) cu. In den beiden Definitionen (1) und (2) kSnnen wit als Um~ gebungen yon p beliebige den Punkt _p enthaltende offene Mengen annehmen. Wir werden hier das Wort ,Umgebung" stets in diesem Sinne gebrauchen. Die Menge aller Punkte~ in welchen der Ranm _R nach (1) oder nach (2) ]okal zusammenh~tngend ist, wird dement- sprechend mit H(R) und mit M(R) bezeiehnet. Zwecks Untersuehung der Beziehungen, die zwischen den Mengen H(R) und M (R) bestehen~ werden zuerst (in den Abschnitten 2 und 3) einige allgemeine S~tze bewiesen, welehe den Mengersehen Betrachtungen fiber die E-Eigensehaften 5) analog sin& Im Ab- 1) Vgl. H. Hahn, Sitzungsberichte Wiener Akad. 1914. s) Vgl. 8. Mazurkiewiez, Comptes-Rendus de la 8oc. des Sc. de Var- sovie VI (1913) und IX (1916). 3) In einer ~hnllchenWeise hat sie zum ersten Male H. Tietze (Monats- hefte ffir Math. und Phys. XXXII, S. 15) formuliert. 4) K. Menger, Dimensionstheori?.Bei Teubner 1928, S. 227. s) Menger, Grundztige einer Theorie der Kurven, Mathem. Annalen 95.

Einige Bemerkungen über den Begriff des lokalen Zusammenhanges

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Einige Bemerkungen fiber den Begriff des lokalen Zusammenhanges.

Von N. Aronszajn (Warschau).

1. Der Begriff des lokalen Zusammenhanges wurde yon Hahn1) und yon Mazurkiewicz~) eingeftihrt. Die ursprtingliche Definition dieses Begriffes kann auch folgendermal~en formuliert werdens):

(1) Ein to_pologischer _Raum R ist im Punkte p E R lokal zu- sammenMingend, wen~ jede Umgebung U yon 19 eine zusammen- h?ingende Teilmenge N enth?ilt~ in deren lnnern I (N) der Punkt p liegt.

Also: p E I ( N ) C N CU~ wo I ( N ) : N - - R - - - N .

Eine davon etwas abweichende Definition des lokalen Zu- sammenhanges wurde yon Menger in seiner Dimensionstheorie ~) angegeben. Niimlich:

(2) Ein topologischer Raum ist im Punkte p E R lokal zu- sammenh~ngend~ wenn jede Umgebung U von p eine den Punkt T enthaltende q]ene zusa~menMingende Teilmenge V entMilt; wo also

p ~ r = l ( V ) cu.

In den beiden Definitionen (1) und (2) kSnnen wit als Um~ gebungen yon p beliebige den Punkt _p enthaltende offene Mengen annehmen. Wir werden hier das Wort ,Umgebung" stets in diesem Sinne gebrauchen. Die Menge aller Punkte~ in welchen der Ranm _R nach (1) oder nach (2) ]okal zusammenh~tngend ist, wird dement- sprechend mit H ( R ) und mit M(R) bezeiehnet.

Zwecks Untersuehung der Beziehungen, die zwischen den Mengen H(R) und M (R) bestehen~ werden zuerst (in den Abschnitten 2 und 3) einige allgemeine S~tze bewiesen, welehe den Mengersehen Betrachtungen fiber die E-Eigensehaften 5) analog sin& Im Ab-

1) Vgl. H. Hahn, Sitzungsberichte Wiener Akad. 1914. s) Vgl. 8. Mazurkiewiez, Comptes-Rendus de la 8oc. des Sc. de Var-

sovie VI (1913) und IX (1916). 3) In einer ~hnllchen Weise hat sie zum ersten Male H. Tietze (Monats-

hefte ffir Math. und Phys. XXXII, S. 15) formuliert. 4) K. Menger, Dimensionstheori?. Bei Teubner 1928, S. 227. s) Menger, Grundztige einer Theorie der Kurven, Mathem. Annalen 95.

242 N. Aronsza jn ,

sehnitte 4 beweise ieh auf Grund dieser S~ttze unter anderem, daft im Falle R - - H ( R ) stets R - = M ( R ) gilt, und daft, falls R ein Kontinuum 6) ist, jeder Punkt p yon R - - M (R) auf einem mehr- punktigen Teill~ontinuam yon R - - M (R) liegt, Im Absehnitte 6 wird sehlieftlieh an einem Beispiel (Beispiel 1) gezeigt, daft die Begriffe (1) and (2) nieht aquivalent sind, ufid zwar, daft man H (R) non C M (R) haben kann [die umgekehrte Inklusion M (R) C H (R) ist auf Grund der Definitionen (1) und (2) einleuehtend].

2. Sei 92 eine beliebige Klasse yon Teilmengen des topologi- sehen Raumes R und A (R) die folgendermailen definierte Menge:

(3) p E A (R) dann und nur dann~ wenn es fiir jede Umge- bung U yon p eine Menge N E 9.I gibt, derart, daft p E 1 (N) C N C U.

Besteht die Klasse 92 speziell aus lauter off~en Mengen~ so ist A (R) mit dem Mengersehen Gleiehwertigkeitsteil des Raumes hinsiehtlich des Systems 927) identisch. Es gilt nun vor allem flit beliebige (auch nieht-offene Mengen enthaltende) Klassen folgender

Satz Is). Ist der topologische Raum R metrisierbar, so ist fiir eine beliebige Klasse 92 die Menge A (R) ein G~.

Es ist in der Tat leieht festzustellen, daft A (R)---- I~ G~,

wo G. die Summe aller Mengen 1 (N) fiir N E 92 mit Durchmesser (N) < l/n bezeichnet, also selbst eine offene Menge ist.

Es sei nun flit eine beliebige Klasse 92 die Klasse siimtlicher of fenen Mengen NE92 mit 92~ und die der Klasse 92~ naeh (3) entspreehende Menge mit A~ (R) bezeichnet. Es folgt unmittelbar:

(4) p E A1 (R) dann und nut dann, wenn es fiir jede Umge- bung U yon p eine offene Menge VEgX gibt, derart, daft p E V - - : I (V) C U, woraus wegen (3):

(5) A, (R) c A (R).

Nan wird die Klasse 92 dutch folgende Eigensehaft (~) spe- zialisiert:

~) D. h. ein topologischer, metrisierbarer, in sich kompakter und zu- sammenhiingender Raum. Jedes Kontinuum erffillt das II. Abz~thlbarkeitsaxiom (Hausdorff , Grundztige der Mengenlehre, 1914). Ein Kontinuum~ welches nicht bloil aus einem Punkt besteht, nennen wir m e h r p u n k t i g .

7) Dimensionstheorie, S. 68. s) Dieser Satz wurde ffir die Klassen 9I oftener Mengen yon Menger

bewiesen. M enger hat die Untersuchung der Gleichwertigkeitsteile fiberhaupt nur auf den Fall yon Klassen oftener Mengen mit einer gewissen Eigenschaft E beschr~nkt. Infolgedessen sind die diesbeztiglichen Ergebnisse (ebenso wie die Untersuchungen yon H u r e w i c z fiber lgormalbereiehe) einer unmittelbaren An- wendung auf die Menge H (R) kaum fi~hig, da sich diese Menge im aUgemeinen nicht ohne weiteres als Gleichwertigkeitsteil einer Klasse oftener Mengen mit irgend einer unkomplizierten E-Eigenschaft darstellen li~iit. Insbesondere ist H (R) blolt ein Tell des Gleiehwertigkeitsteiles desjenigen E-Kfrpers, auf welehen sieh der Anfang des Mengerschen Beweises (GrundziSge einer Theorie der Kurven~ Math. Ann. 95, 1925, S. 295) stfitzt.

Einige Beme,rkurLg(~n tiber den Begriff etc. 243

(~) ~ i~ E 9.I fiir jede Klasse ~ C 91, wo H !~ # 0 ist (dabei bsdeuten die Zeichen Z und H die Vereinigungs- bzw. die Dursh' sehnittsoperation, die sich auf alle zu ~ gehSrends Mengen erstreekt).

Hat die Klasse 91 die Eigenschaft (:r so kommt diese Eigen- sshaft, wie leieht ersishtlich~ aush der Klasse 911 zu.

Satz I I . Fiir jede Klasse 91 yon der Eigenschaft (:r gilt die Behauptung: I [A (R)] C A1 (R).

Beweis. Wir setzen ftir eincn beliebigsn Punkt p E ] [A (R)] und elne beliebigs Umgebung U yon p:

(6) !~ -- Klasse aller Mengen ME 91, wo p E M C U. i [A (R)], und V-- Z !~.

Da U. I [A (R)], als offens und den Punkt p enthaltende Menge, zugleieh eine Umgebung yon p bildet, so ist wegen p E A (R) die Existenz solsher Mengen M yon 2 dureh (3) gesichert. Dem- hash ist !~ # 0 und ferner ist H !~ # O, da p laut (6) zu jeder Menge M geh~irt.

Folglish gilt p E V:~ 0 und wegen (:r ist VE 2. Ferner gilt naeh (6)

(7) v c u . [A (R)].

Zum Beweise yon Satz II ist also gsm~i~ (4) nur noeh zu zeigen, dag V eine offene Mengs ist.

Wegsn (6) gslten in der Tat ftir jeden Punkt q E V die Be- ziehungen q E U und ~ E I [A (R)] C A (R), woraus nach (3) folgt, da~ es zur Umgebung U. I [A (R)] yon ~ sine Menge N E O/ gibt, welche folgende Bedingung

(8) q E 1 (~V) c ;V c U. I [A (R)]

srftillt. Da also V und N dem System 91 angehiiren und ~ E V. N ~ 0 ist, so ki~nnen wir naeh (~) sehlislten, da~ V+ N E 91.

Wir folgern daraus auf Grnnd yon (7) und (8)~ da~ V + N c C U.1 [A (R)]. Also gilt wegen (6) die Bsziehlmg V + N E !~ daher V+ N C V~ NC Vund demnash 1 (N) C I (V). Mit Rticksisht auf (8) gilt g E I (V ) , also~ da ~ ein beliebiger Punkt yon V war~ schlielllieh dis Beziehung VC I (V), w. z. b. w.

Korollar I I I . Hat eine Klasse 91 die Eigenschaft (~) und ist A (R )= R, so gilt A1 (R)= R.

3. Ist 91 ein System yon offenen Mengcn mit folgender Eigsn- schaft (It*): Jede offene Menge U des Raumss geh~rt, wenn sie um endlish vide Msngen aus 91 vermehrt wird, in deren Summe dis Bsgrenzung yon U enthalten ist, dem System 91 an, - - dann hat dis Menge R - - A (R) bekanntlish 9) die Eigenschaft, da$ sie zu jedem ihrer Punkte sin ihn cnthaltendes mshrpunktiges Tsilkontinuum bs-

~) Menger, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 35, S. 133.

244: N. A r o n s z ~ i n ,

sitzt. Wir beweisen nun dieselbe Eigenschaft dsr Mengs R - - A (R)~ wenn 2 sin System yon irgsndwelshen (nisht notwendig offensn) Mengen bszeiehnst, das sine sogleich zu formuliersnds Eigenschaft (~) besitzt, die schwiicher als (~*) ist. Disse Abschwiichung bietet den Vor- teil, daI~ dsr so verschiirfte Satz nsue AnwendungsmSglichkeiten, ins- besonders auf das System der zusammenhiingenden Mengen besitzt (siehe unten) and dadurch alle heuts bekannten Aussagsn fiber Kontinuitiitseigenschaften yon Ungleichwertigkeitsteilen als Spszial- i'alle in sich entbiilt.

Die erwiihnts Eigenschaft yon 9/ lautst~ wenn wir mit B (U) die Begrenzung yon U~ also die Mengs U - - U bszeichnen:

(~) 1st f i ir einen Punkt p E R u n d f i ir eine Umgebung U von p:

B (U) c Z I (N,), wo N, E ~l fiir, i - - 11 2, 3 , . . , , n,

so gibt es eine Menge V E g.I derart, daft

p E I ( v ) c v c u + N,. i = 1

Es gilt dann:

Satz IV. Ist der Raum R ein Kontinuum und besitzt die Klasse ~l die Eigenschaft (~), so liegt jeder Punlct p E R - - A (R) auf einem mehrpunktigen Kontinuum C C R - - A (R).

Beweis. Laut (3) gibt es ffir jeden Punkt p E R - - A (R) eins Umgsbung U~ yon p mit der Eigensshaft:

(9) Fiir keine Menge N E ?I bestehen die Beziehungen p E 1 (N) und N C U 1.

Wir betrashten nun sine Menge K, die folgsnderma[~en deft- nisrt ist:

(10) x E K dann und nut dan% wenn xEU1 and wenn zu- gleich f i ir keine Menge N E 2 die Beziehungen x E I (N) und N C U1 bestehen.

:Nach (9) und (10) habsn wir wsgen (3):

(11) p K c u, . [R--A (R)].

Dis Msngs U~--K ist often; in dsr Tat gibt es nach (10) ftir jeden Pankt q E UI--Is eine Menge N E 9 / von der Eigenschaft

E I ( N ) C N C U1, woraus wir, ebenfalls auf Grand yon (10), sehlis~en, da~ 1 ( N ) C U~- -K gilt [denn andernfalls wiiren ftir dis Punkts x yon I ( N ) . K, die ja wegen I ( N ) c N r U1 zu U1 gshSren, die nach (10) nnm5glishen Bezishungen richtig]. Folglich gilt I ( N ) c I ( U ~ - - K ) , was q E I ( U ~ - - K ) und endlich

(12) U 1 - - g ----- I ( Ua ~ K ) ergibt.

Eii~ige Beme,rkangela iiber de~ Begr,iff etc. 245

Aus der Identitiit I ( R - - K ) ~-- ( R - - K ) - - K - - R - - K ergibt sich fsrner R - - I ( R - - K ) - - K , so da6

U1. K--- 1}1. [ R - - I (R - -K)] ---- U , - - UI . 1 ( R - - K ) ~-

--- U l - - 1 ( U 1 . - ~ - - ~ 1 �9 K ) "--" U 1 - - I ( U , - - K ) ,

woraus wegen (12) U~. K - - U1 ( U , - - K ) folgt. Da auf Grund yon (11) K c U~ ist, so erhalten wir endlich:

(13) U~. K : K.

Sei ferner U~ sins offens Menge yon der Eigensehaft

(14) u, = u cu ;

die Existenz solchsr U~ ist durch dis Regularitgt des Raumes R, als eines Kontinuums [vgl. die Fugnoteg], gesichert.

Aus (14) haben wir: U~ . K : U2.//1 .K, woraus wegen (13): U2. K - - ~ . K. Da allgsmein b~ . g r- ~ . ~ und U2. K r U~. K gilt~ so ergibt dis lstzts Gleiehheit:

(15) Us. K = U~. K.

Das Kontinuum C wird nun als Komponsnte der wsgsn (15) in R abgeschlossenen Menge U2. K konstruiert. Zu diesem Zwscke betrashten wir zuni~chst irgend sine nisht leere Mengs L, die in U~. K zugleich q~en und abgeschlossen ist; so dag also nach:

(16) O~L--LcU2.K

nnd

(17) U~ . K - - . L -- L ~ . K - - L

gilt, und zeigsn, dag

(18) L . B (U~) 4 0.

Andsrnfalls wtirds in der Tat : L . ~ -- L . Us + L . B (Us) -- L . U~ und wir hiitten folglish, da wegen (16) L : Us und somit L- ' -L .U~ gilt: L = L . U~, woraus sish L ~ U~ und sndlish L c U~ - - (Us. K - - L ) srgibt. Da hash (16) L abgssehlossen und nach (17) U~--(U~. K - - L ) often ist, so gabe es ferner, dsr Normalit~it yon R zufolgs~ eine offene Menge U, derart da6:

(19) Lc UcUcU~--( U~ . K--L).

246 N. A r o n s z a i n ,

Dies ergibt einerseits:

(20) B (U) = U,,

also B (U) --U~. B (U), und andererseits: B (U). (-ff~. K---L)--O. Auf Grund der ersten dieser Formeln erhielten wir also: K. B (U) = =K.U~. B (IT), woraus durch Identitiit: K . B ( U ) = [ L + (U~ .K--L)]. �9 B ( U ) - - L . B(U) + (U2 �9 K - - L ) . B (U), und daraus auf Grund tier zweiten Formel die Gleiehheit: K . B ( U ) - L . B (U) folgt, Da laut (19) L . B (U) : L . (U--U) = 0 ist, ergibt diese Gleiehheit: K . B ( U ) = 0 , so dag wegen (20): B (U)~U~--K und demnach wegen (14): B (U) ,-" U1--K ware.

Laut (10) mUgte infolgedessen fur jeden Funkt x E B (U) eine Menge N~ mit der Eigensehaft x E I ( N , ) c N ~ c U ~ existieren; in dieser Weise wtirde also B (U) durch die Mengen I (N~) tiberdeekt. Da R e i n Kontinuum ist, so wiirde: dem Bore l -Lebesguesehen t2berdeekungssatze zufolge, sehon eine endliche Folge yon Punkten x~, x2 , . . . : x. vorliegen: derart, dal~ ftir i - -1: 2 : . . . , n:

und

(21) B (U) = ~ 1 (N~), N~, E 2l i = 1

gilt. Hier wird die Eigenschaft (~) zur Verwendung herangezogen.

Da nach (21) ftir jeden Punkt yon U die Voraussetzung yon (~) erftillt ist~ so gibt es auf Grund dieser Eigenschaft ftir irgend einen dieser Punkte, insbesondere also~ wegen (16) und (19), fiir jeden Punkt

(23) e L

eine Menge VE~, derart~ dal~ ~/E I ( V ) c V c U + ~ N~ t. Demnaeh i ~ - 1

hiitten wir infolge yon (19), (14) und (22): q E I ( V ) , " V c U I und daraus, wegen (10), q E U~qK: den Formeln (16)und (23)zuwider.

Die Ungleiehheit (18) ist also bewiesen. Wir setzen nun: C : H~, we ~ die Klasse aller den Punkt p

enthaltenden Mengen L bezeichnet: die in U2. K sowohl o~en als abgeschlossen sind.

In dieser Weise ist C als die durch p bestimmte Quasikom- ponente 1~ der Menge ~ . K definiert~ die abet wegen (15) abge-

1o) Vgl. Hausdo r f f , loc. tit., S. 248 (unsere Definition ist mit der Hausdor f f schen gquivalent, nur in einer etwas anderen Form ausgedriiekt). In metrisierbaren kompakten R~iumen stimmen die Quasikomponenten mit den Komponenten liberein; vgl. dortselbst, S. 303.

Ein,ige Bem~kungen fiber den Begriff etc. 247

schlossen im Kontinuum R, also in sich kompakt ist. Demnach ist C zugleieh eine Komponente yon U~. K, folglich ein Kontinuum, welches nach (11) in R - - A (R) liegt.

Es bleibt also zu zeigen, da~

(24) C--(p) ~= 0

ist. Wird in der Tat die Klasse ~ wohlgeordnet, so bilden deren Teildurehsehnittsmengen eine abnehmende Folge yon im Konti- nuum /~ abgesehlossenen Mengen, welehe bekanntlich ~) hSehstens abzahlbar viele verschiedene Glieder enthalten kann. Demnaeh ist C die Durchschnittsmenge h~ehstens abziihlbar vieler Mengen L E ~. Ordnen wir nun die letzteren in eine einfache Folge (yore Typus ~ o)), so bilden deren konsekutive, also endliche Teildurehschnittsmengen eine einfache abnehmende Folge yon lauter in U2. K offenen und abgesehlossenen Mengen~ welche wir der Reihe nach folgendermal~en aufsebreiben kSnnen :

(25)

Es folgt:

LI m L.2 m. �9 �9 mL~m...

C-- [~ L~

und, da die ebenfalls in U~. K abgeschlossenen and nach (18) nicht leeren Mengen L~.B(U2)nach (25) aueh cine abnehmende Folge bilden~ so erhalten wir, dem Cantorschen Durchschnittssatz zufolge:

~I L n . B (U~):~ 0, woraus nach (26) C. B ( ~ ) ~ 0 und, da p

laut (14) in der offenen Menge U2, nicht abet in B(Us) liegt, die za beweisende Formel (24) folgt.

4. Vermiige geeigneter Interpretation der Klassen ~ and 921 sollen nun die allgemeinen Satze I - - IV ihre Anwendung u. a. auf die Mengen H(R) und M(R) finden.

Es werde zuniichst unter ~ die Klasse aller zusammenMingenden Mengen, also unter ~1 die Klasse aller ofl'enen zusammenMingenden Mengen eines topologischen Raumes R verstanden.

Dann ist nach (3) und (4):

(R) - - H (R) and A1 (R) = i (R),

und der Satz I ergibt fo]genden, fibrigens bekannten 12)

Satz F . Ist der topologische Raum R metrisierbar, so sind H (R) und M (R) G~-Mengen.

it) Vgl. Hausdorff, loc. cit. S. 275. 1~) Vgl. fiir H(R): Menger, GrundziSge einer Kurventheorie, S. 295, und

far M(R): Menger, Dimensionstheorie, S. 227. Monatsh. fiir Mathematik und Physik. Band XXXVII. 19

248 N. Aro~sza in ,

Da die Eigenschaff (:r dieser Klasse 9/offenbar zukommt, ergibt der Satz II auf Grund yon (5) folgenden

Satz II% Fiir jeden topologisehen Raum gilt:

I [H (R)] = M (R) r- H (R),

und das Korollar III folgendes

Korol lar III% Ist R :~ H (R), so gilt: R --- M (R).

Den Anwendungen des Satzes IV schieken wir noch folgende Betraehtungen voraus:

I-lilfssatzla). 1st der Raum R ein Kontinuum und U eine o~ene Menge mit der Eigenschaft B (U) =~ O, so gilt fiir jede Kom- ponente C yon U die Beziehung : C . B (U) =~ O.

Beweis. Als abgesehlossene Teilmenge des Kontinuums R ist U in sieh kompakt; infolgedessen sind die Komponenten C yon U mit dessen Quasikomponenten identisch. Mit Hilfe der bereits im Beweise des Satzes IV benutzten ~berlegung wird daraus die Existenz einer einfachen abnehmenden Folge L~ ~ L~ ~ . . . ~ L~ ~ . . . hergeleitet, wo L~ in U sowohl often als abgeschlossen, und

ist. Nehmen wir nun an, es ware ftir ein n:

(28) L . . • = o ;

es folgt sofort: L~=U. Einerseits wtirde also L~, als eine in U offene Menge, aueh in U often and dadureh, so wie U, in R often, Anderer- seits, als eine abgesehlossene Teilmenge yon U, wiirde L,~ in R abgeschlossen. Da R e i n Kontinuum ist, mU~te es daher entweder L,~-=O, oder L ~ - - R sein, was aber den Formela (27) und (28) widersprieht. Wir haben also L,~. B ( U ) # 0 fiir alle n und folglieh,

wegen (27): C . B ( U ) = H L ~ . . B ( U ) # O , w. z. b. w. r

Satz V. Ist der :Raum R ein Kontinuum, ~ die Klasse aller zusammenhdingenden Mengen und 9~ die Klasse aller oftenen zu- sammenhdingenden Mengcn, so hat sowohl 9X als ~ die Eigen-

Beweis. Wir nehmen an~ da~l die Voraussetzungen yon (~):

~3) Vgl. S. Janiszewski, Th~se, Journ. Ecole P01yt. Paris 1911, S. 45, Lemme.

Ei~igo Bernerkungen tiber den Begriff etc. 249

und

(29) p ~ u = i t (u)

(30) B ( U ) c ~, I(N~), 5~691, i - - 1 , 2 , . . . , n i = 1

erfiillt seien und unterscheiden zwei Fttlle:

1. B(U)--O. In diesem Falle ist U nach (29) nieht leer, in R often and abgesehlossen, woraus U--R folgt. Da abet R als Kontinuam den Klassen 2 and ?1~ angehtirt, so kann die Behauptung yon (~)einfaeh dadureh realisiert werden, daI3 wit V - - R setzen.

2: B (U)=~ 0. In diesem Falle zeigen wir zuniiehst, dal~ die Menge

p, -

(3~) M = U+ ~ N~ i - ~ - 1

aus hSchstens n Komponenten besteht. Da jedes N~ als Element yon ~ zusammenhi~ngend ist, also hi~ehstens mit einer einzigen Komponente yon M gemeinsame Punkte hat, so gentigt es, zu be- weisen, daft jede Komponente C yon M Pankte yon mindestens einem _N~ enth~tlt.

Angenommen in der Tat: es sei

(32) c . ~ ~ , = o. i ~ 1

Wit hKtten demnaeh C c U c U and, da U-- U + B (U) naeh (30) and (31) in M enthalten ist, so miigte C: a]s in U liegende Komponente die Obermenge M yon U, gleiehzeitig eine Komponente yon U sein. Dem Hilfssatz zufolge~ wtirde also C. B (U) ~ 0, was aber wegen (30) der Annahme (32) widerspricht.

Wir haben also ftir ein m ~_~ n:

(33) ~ = ~ c~., wo c~. ck = o ,f~r j ~= k.

Es sei:

(34) p ~ c .

Da jedes Q in M abgesehlossen ist, so ist die endliehe Summe

Q aueh abgeschlossen in 21/, folglieh C1 M - - ~ Q. in M often. j=2 J-=-~ Da laut (30) U c M, so ist ferner die Menge Q . U in U often, und sehliel~lieh: so wie U, in R often: C1 .U=I(C1 ,:U).

19"

250 N. A r o n s z a ~ n ,

bTaeh (29) und (34) erhalten wir daraus:

p c1. v = (c,),

Da wir andererseits naeh (31) und (33) C~ ~ U + ~2 A~ haben und f ~ l

C1 als Komponente zusammenhKngend, also Element yon 92 ist, so ist die Behauptung yon (9) bewiesen, indem wir Y--C~ setzen.

Die Beweisfiihrung fiir die Klasse 921 ist ganz analog: mit dem Untersehied, daft auf Grand von N~E 9.Ix ,die Menge M, and hiermit die Menge C1, often sein mug, woraus C1 E ~11 folgt.

Nun kommen wir wieder auf die Anwendungen zuriiek. Dem Satze V zufolge: ergibt der Satz IV, auSer dem bekannten ~4) Satz Iu Ist der Raum Rein Kontinuum, so liegt jeder Punkt

19 E R - - i t ( R ) auf einem mehrpunktigen Kontinuum Cr R - - H ( R ) noch den neuen

Satz 1u [st der Raum R ein Kontinuum, so liegt feder Punkt p E R ~ M ( R ) auf einem mehrpunktigen Kontinuum Cr R - - M (R).

5. Unter anderen Anwendungen, die sich aus den Si~tzen I bis IV ftir versehiedene andere Klassen 92, bzw. 9/1, ergeben, kann z. B. die Klasse der Semikontinuena~), bzw. die Klasse der offenen Semi- kontinuen, erwi~hnt werden. Sowohl die erste als die zweite dieser Klassen hat die Eigenschaft (~) in topologisehen Riiumen und die Eigenschaft (~) in den Kontinuen.

Wichtiger ist die Klasse aller ,bogenverkniipfbaren" (arcwise connected) Mengen, d.h. derjenigen, in denen je zwei Punkte auf einem einfachen Teilbogen der Menge liegen. Diese Klasse hat zwar in beliebigen topologischen Riiumen die Eigenschaft (~), dagegen aber fehlt ihr die Eigenschaft (~) sogar in den Kontinuen, wo sie iibrigens selbst den Satz IV nieht immer erftillt.

Ist jedoeh der Raum ein bogenverkniipfbares Kontinuum, so besitzt die Klasse seiner bogenverkniipfbaren Mengen die Eigen- sehaft (~) and der aus dem (in diesem Falle richtigen) Satz IV re- sultierende Satz kann folgendermafien formuliert werden:

Ist ein bogenverkniipfbares KontiJnuum R in einem Punkte p nicht lokal bogenverkni~pfbar, so liegt p auf einem mehrlounktigen Teilkontinuum C yon R~ welches aus lauter ebensolehen Punkten besteht.

6. Beispiel 1. Es seien auf der Ebene mit pp a., und b~ (m = 0, 1, 2, . . . , n -- l, 2, . . . )d ie Punkte mit kartesisehen Koor- dinaten (0, 0), (2 -~ , 0) und (2 -m-~, 2 -'~--) entspreehend bezeiehnet und R durch die Formel

~) Dioser Satz wurde yon C. Kura towsk i in Fundamenta Mathema- ticae III, S. 60, mit einem kurzen Beweis angegeben.

~) D. h. Vereinigungsmengen einer beliebigen Klasse yon Kontinuon mit nieht leerem Durchschnitt:

Eiaige Beme.rkungen tiber den Begriff e.~c. 251

(35) R -- [p ao] -4- Z [a,~ b,~] ~ m:0 detiniert, wobei [xy] allgemein die gerade abgeschlossene Strecke mit den Endpunkten x und y bedeutet.

Beispiel 1. Behiilt man in R 'den gewShnlichen Grenzbegriff der Zahlenebene, so ist R offenbar ein topologischer Raum, und zwar ein Kontinuum. Man stellt mtihelos fest, dal~

(36) p ~ lim am,

~gm--1 } (37) am -" lim ~= ~ fi~rjedes m - - l , 2, . . .

(38) am-1 trennt t~ zwischen p und b ~ m - - 1

Es ist ferner leicht einzusehen, da~ p E H(R), dagegen aber p E R - - M ( R ) ist, weil, wie man cs auf Grund yon (36)--(38) bc- weiscn kann, jede offcnc zusammenh~tngende Menge, die p enth~ilt, den Punkt ao enthalten mu~, so da~ es iiberhaupt keine hinliinglich klcinen zusammenhangendcn Umgebungen yon p gibt.

In der Tat, sei U often und zusammenhangend undp E U. Wegen (36) gibt es natiirliche, und folglich eine kleinste Zahl m, fiir welche am C U. Ware nun m~ 0, so mtigte U, als offene Menge, fast alle Pankte bin__ 1 wegen (37) enthalten und, als zusammenh~ingende Menge, auch den Punkt am--1 wegen (38) umfassen, gegen die Annahme, daft m die kleinste Zahl yon dieser Beschaffen- heit ist.

Dieses Beispiel zeigt also, dag H ( R ) - - M (R):~ 0 sein kann. Hier ist abet p d e r einzige Punkt yon H ( R ) - - M ( R ) u n d liegt daher auf einem solchen Teilkontimmm C yon R- -M(R) , datt C--(p) schon giinzlich in R - - H ( R ) cnthalten ist.

Da~ jedoch diese Erscheinung nicht allgemcin auftritt, so dag also die Behauptung des Satzes IV* nicht etwa durch die st~irkere Behauptung: C-- (~v) c R---H (R) ersetzt werden kann, soll an folgen- dem Beispiel gezeigt werden.

Beispiel 2, Seien jetzt mit pk ( k = 0 , 1, 2 , . . . ) die Punkte mit den Koordinaten (2 -k, 0) und mit q der Punkt (0,0) bezeichnet. Sei ferner auf jcder Strecke [pk, Pk-l] ftir k > 0 ein zum Kontinuum R aus dem Beispiel 1 homothetisches Kontinuum Rk konstruiert, und zwar derart, dag den Punkten p, resp. ao, yon R die Punkte pk, resp. Tk-1, entsprechen.

Wit setzen:

(39) R* = (q) + k=l

252 b~. A r o n s z a j n, Ein,ige Bemerkungen tiber d~n Begriff e4c.

Auf Grund der bereits bewiesenen Eigenschaft von R mug jede offene zusammenhiingende Teilmenge yon R*, die Tk enthlilt, den Punkt pk-1 enthalten. Man folgert leicht daraus, da ~- - lira Pk

k~---.oo

ist~ dag

(40) (q) + ~ (pk) = H (R)--M (R),

und wegen (39), dafl ein mehrpunktiges Kontinuum C c R den Punkt ~ nicht ohne die Punkte pk :enthalten kann. Nach (40) ist also die Formel C--(~)~R--H(R) unmiJglich.

W a r s c h a u , Dezember 1929.