Ejemplos Matemáticas NS 2008

8/20/2019 Ejemplos Matemáticas NS 2008

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IB DIPLOMA PROGRAMME

PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI

PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

MatemáticasNivel Medio

Ejemplos de preguntas: prueba 1 y prueba 2

Primeros exámenes: 2008

© IBO 2007


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ÍNDICE

Introducción

Instrucciones para el esquema de calificación

Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1

Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1

Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2

Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2


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Introducción

El modelo de evaluación cambiará a partir de la convocatoria de mayo de 2008:

• Las pruebas 1 y 2 constarán de una sección A con preguntas de respuesta corta para contestar en la hojade la prueba de examen (similar a la prueba 1 actual), y una sección B con preguntas de respuesta larga

para contestar en las hojas de respuesta (similar a la prueba 2 actual).

• No se permitirá el uso de calculadoras en la prueba 1.

• Para la prueba 2 se requerirán calculadoras de pantalla gráfica.

Puede encontrarse más información sobre el modelo de evaluación revisado de los componentes externos enla segunda edición de la guía de Matemáticas NM que se envió a los colegios en septiembre de 2006 y quetambién está disponible en el Centro pedagógico en línea (CPEL).

¿A qué se deben estos cambios?

La experiencia ha demostrado que algunas pruebas se pueden realizar utilizando apenas la calculadora de pantalla gráfica, aunque algunos alumnos la usan para casi todas las preguntas de esas mismas pruebas.Hemos observado algunos enfoques muy interesantes e innovadores utilizados por alumnos y profesores; sinembargo, en algunas ocasiones lo que pretendían los responsables de elaborar las pruebas era evaluar unahabilidad o enfoque en particular. El hecho de que los alumnos contaran con una calculadora de pantallagráfica a menudo hacía difícil lograr este objetivo (si no imposible). El problema se acentuaba por lavariedad de calculadoras de pantalla gráfica que usaban los alumnos en distintos países del mundo. El equipode examinadores cree que es necesario no permitir su uso para poder evaluar mejor algunos conocimientos yhabilidades.

¿Cómo afectarán estos cambios al modo de enseñar la asignatura?

La mayor parte de los profesores no necesitará modificar su método de enseñanza para poder adaptarse a estecambio en el modelo de evaluación. Antes bien, les dará libertad para hacer hincapié en el enfoque analíticode ciertas áreas del curso que pudieran haber descuidado en alguna medida, no porque no las consideraran pertinentes o incluso esenciales, sino por resultar evidente que la importancia de la tecnología es cada vezmayor y elimina la necesidad de adquirir ciertas habilidades.

¿Hay cambios en el contenido del programa de estudios?

No, hay que recalcar que lo único que cambia es el modelo de evaluación. No tenemos intención de cambiarel contenido del programa de estudios ni es nuestro propósito restar importancia a las calculadoras de pantalla gráfica en la enseñanza o en los exámenes.

Las referencias al uso de la calculadora de pantalla gráfica que aparecen en la guía de la asignatura (porejemplo, “obtención de la inversa de una matriz de orden 3 x 3 utilizando la calculadora de pantalla gráfica”u “obtención de la desviación típica mediante la calculadora de pantalla gráfica”) siguen siendo válidas, porlo que no aparecerán preguntas de este tipo en la prueba 1. Tampoco habrá en dicha prueba preguntas deálgebra en las que haya que calcular los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio ni preguntasde estadística que requieran el uso de tablas. Con respecto a la trigonometría, se espera que los alumnos esténfamiliarizados con las características de las curvas del seno, del coseno y de la tangente y que conozcan lasrazones de 0 ,90 ,180! ! ! , etc.


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– 2 –

¿Qué tipo de preguntas habrá en la prueba 1?

En las preguntas de la prueba 1 se pedirá principalmente a los alumnos que adopten un enfoque analítico para llegar a las soluciones, en lugar de que usen calculadoras de pantalla gráfica. La prueba no requerirácálculos complicados que puedan llevar a cometer errores por descuido. No obstante, las preguntasimplicarán realizar operaciones aritméticas cuando éstas sean esenciales para su desarrollo.

¿Qué tipo de preguntas habrá en la prueba 2?

Estas preguntas serán similares a las de las pruebas actuales. Los alumnos deben disponer de una calculadorade pantalla gráfica en todo momento; no obstante, no todas las preguntas requerirán necesariamente el uso dela calculadora. Habrá preguntas en las que no será necesario utilizarla y otras en las que su uso será opcional.Algunas preguntas no se podrán responder sin utilizar una calculadora de pantalla gráfica que reúna losrequisitos mínimos.

¿Cuál es el propósito de este documento?

Este documento combina los exámenes de muestra originales (publicados en noviembre de 2004) y losnuevos ejemplos de preguntas (publicados en línea en octubre de 2006). Téngase en cuenta que no se trata dedos exámenes de muestra completos, sino de un conjunto de preguntas del tipo de las que podrían apareceren cada prueba. Por tanto, no cubrirán necesariamente todos los temas del programa de estudios de formaequilibrada ni reflejarán la importancia relativa de dichos temas.

A continuación se ofrecen las instrucciones para cada prueba y sección a fin de proporcionar información alos profesores sobre los exámenes. Las preguntas de la sección A se deben contestar en los espacios provistos y las preguntas de la sección B en las hojas de respuestas provistas por IBO. Si es necesario, debeutilizarse papel milimetrado. Las dos primeras preguntas de la sección A de cada prueba incluyen espacios para escribir las respuestas.

Prueba 1

No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada deun procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. Auncuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.

Sección AConteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollandola respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas.

Sección BConteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cada

respuesta.


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Prueba 2 No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada deun procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. En

particular, junto a los resultados obtenidos con calculadora de pantalla gráfica, deberá reflejarse porescrito el procedimiento seguido para su obtención; por ejemplo, si se utiliza una gráfica para hallar una

solución, se deberá dibujar aproximadamente la misma como parte de la respuesta. Aun cuando unarespuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que

aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.

Sección AConteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollandola respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas.

Sección BConteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cadarespuesta.


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INSTRUCCIONES PARA EL ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

A. Abreviaturas

M Puntos otorgados por la tentativa de utilizar un Método correcto; el procedimiento debe aparecer por escrito.

(M) Puntos otorgados por el Método; puede estar implícito en un procedimiento posterior correcto.

A Puntos otorgados por una respuesta ( Answer ) o una Aproximación, que en general dependen de los puntos de tipo M precedentes.

(A) Puntos otorgados por una respuesta ( Answer ) o una Aproximación; puede estar implícita en un procedimiento posterior correcto.

R Puntos otorgados por un Razonamiento claro.

N Puntos otorgados por respuestas correctas, cuando el procedimiento no se muestra.

AG Respuesta dada en la pregunta por la cual no se otorgan puntos.

B. Cómo usar el esquema de calificación

Puntos de arrastre de error (FT- follow through): Otorgue puntos de este tipo solamente cuando el alumnoutiliza una respuesta errónea en un apartado posterior. Cualquier excepción a esta regla será aclarada en elesquema de calificación. Los puntos por arrastre de error son la excepción y ya no la norma dentro de una pregunta o apartado de una pregunta, y sólo pueden otorgarse cuando el procedimiento aparece por escrito.No otorgue puntos de tipo N (FT ). Si la pregunta se torna mucho más simple, utilice su criterio y otorgueuna puntuación menor.

Aplique arrastre de error si el alumno se equivoca al tomar la información de la pregunta.

Puntos discrecionales (d): habrá contadas ocasiones en las que el esquema de calificación no cubra el procedimiento que se está evaluando. En esos casos, se ha de indicar por medio de una (d) que el examinadorha usado su criterio. Debe ir acompañada de una breve nota donde se explique la decisión tomada.

Es importante comprender la diferencia entre puntos “implícitos”, identificados por los paréntesis, y puntosque se pueden otorgar solamente si el procedimiento aparece por escrito (sin paréntesis). Los puntosimplícitos solamente pueden ser otorgados si hay evidencia escrita o implícita de un procedimiento correctoen un desarrollo posterior, que normalmente se encuentra en la línea siguiente.

Cuando se otorga M1 A1 en la misma línea, generalmente significa M1 por la tentativa de utilizar la fórmula

apropiada y A1 por sustituir correctamente.

Puesto que los puntos de tipo A dependen normalmente de los puntos de tipo M que se han adjudicadoantes, no se puede otorgar M0 A1.

Puesto que los puntos de tipo N sólo se otorgan cuando no aparece el procedimiento, no se puede otorgar unacombinación de puntos de tipo N con puntos de otro tipo.


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Se debe aceptar cualquier método correcto diferente, aun cuando no esté especificado en el esquema decalificación. Cuando se incluyen otros métodos para toda una pregunta, se indican como MÉTODO 1,MÉTODO 2, etc. Las soluciones diferentes (a apartados), se indican como VÁLIDO TANTO …COMO.. Siempre que sea posible, se apelará a la alineación como recurso para ayudar al examinador aidentificar dónde comienzan y terminan las distintas opciones.

A menos que la pregunta especifique lo contrario, acepte formas equivalentes. En el esquema de

calificación, estas formas numéricas o algebraicas equivalentes aparecerán generalmente entre paréntesis acontinuación de la respuesta pedida, que vendrá indicada por medio de la puntuación total situada en ese punto. Una vez localizada la respuesta correcta, ignore cualquier procedimiento posterior, a menos quecontradiga la respuesta.

También se utilizarán paréntesis para lo que podría describirse como la respuesta correctamente expresada, pero que quizás el alumno no escriba en el examen. Los examinadores han de ser conscientes de que los puntos asignados a la pregunta se han de otorgar aun si la respuesta se da en la forma que precede a los paréntesis. Por ejemplo, al derivar f ( x) =2sen(5 x!3) el esquema de calificación dice

f "( x) = (2cos(5 x!3))5 (=10cos(5 x ! 3)) A1

Esto significa que se otorga A1 aun si la respuesta se da en la forma (2cos(5 x !3)) 5, aunque normalmente seescribiría la respuesta como 10cos(5 x ! 3).

Por tratarse de un examen internacional, se deben aceptar todas las distintas formas de notación.

Cuando el esquema de calificación especifique M2, A3, etc., para una respuesta, NO subdivida estos puntossalvo que se dé otra indicación al respecto.

No otorgue la puntuación total por una respuesta correcta, todo el procedimiento debe ser revisado.

Los alumnos deben ser penalizados una vez EN TODO EL EXAMEN por un error de aproximación ( AP ).

Existen dos tipos de error de aproximación:

• Errores de redondeo: se aplica sólo a la respuesta final, no a los pasos intermedios. • Grado de aproximación: cuando no se especifica en la pregunta, la regla general es que salvo que se dé

otra indicación en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán darse como valores exactos oaproximando a tres cifras significativas.

.


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Prueba 1

Preguntas de la Sección A

1. [Puntuación máxima: 7]

En una progresión aritmética 21 37u = ! y 4 3u = ! .

(a) Halle

(i) la diferencia común;

(ii) el primer término. [4 puntos]

(b) Halle 10S . [3 puntos]

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

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..............................................................................................................................

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..............................................................................................................................

..............................................................................................................................


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– 7 –


Sea 3 2n

u n= ! .

(a) Escriba el valor de 1 2 3, , yu u u . [3 puntos]

(b) Halle20

1

(3 2 )n

n=

!" . [3 puntos]

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

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..............................................................................................................................


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– 9 –


El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función de la formacos y p qx= .

(a) Escriba el valor de p . [2 puntos]

(b) Calcule el valor de q . [4 puntos]


Sabiendo que 2

# $

% % $ y que 12

cos13

# = ! , halle

(a) sen# ; [3 puntos]

(b) cos2# ; [3 puntos]

(c) sen ( )# + $ . [1 punto]


(a) Sabiendo que 22sen sen 1 0# # + ! = , halle los dos valores de sen# . [4 puntos]

(b) Sabiendo que 0 360# % %! ! y que una de las soluciones para # es 30! ,halle los otros dos valores posibles de # . [2 puntos]


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– 10 –


Sea1 2

0 3

!& '= ( )

* + A .

(a) Halle

2

A . [2 puntos]

(b) Sea3 4

2 1

!& '= ( )

* + B . Resuelva la ecuación matricial 3 + = X A B . [3 puntos]


Sea2 1

3 4

!& '= ( )

!* +

M , y0 0

0 0

& '= ( )

* +

O . Sabiendo que 2 6 k ! + = M M I O , halle k .


(a) Dada la matriz7 8

2 3

& '= ( )

* + A , halle 1! A . [2 puntos]

(b) A partir de lo anterior, resuelva el sistema de ecuaciones.

7 8 1 x y+ = 2 3 1 x y+ = [4 puntos]


Considere los puntos A(5, 8), B(3, 5) y C(8, 6) .

(a) Halle

(i) AB, ;

(ii) AC,

. [3 puntos]

(b) (i) Halle AB AC, ,

i .

(ii) Halle el seno del ángulo entre AB,

y AC,

. [3 puntos]


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– 11 –


Un grupo de 800 estudiantes realizó un examen que se calificó sobre unmáximo de 100 puntos. La gráfica de frecuencias acumuladas de losresultados obtenidos es la siguiente.

(a) Escriba el número de estudiantes que obtuvieron 40 puntos o menos en elexamen. [2 puntos]

(b) El 50 % central de los resultados se ubica entre las notas a y b, dondea b< . Halle el valor de a y de b. [4 puntos]


Una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 100 yvarianza 100.

(a) Halle el valor de X igual a 1,12 veces la desviación típica por encimade la media. [4 puntos]

(b) Halle el valor de X igual a 1,12 veces la desviación típica por debajo dela media. [2 puntos]

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100

200

300

400

500

600

700

800

umber

of

candidates

Mark

Númerode

estudiantes

Puntos


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– 12 –


Un jugador tira un dado no equilibrado de cuatro caras. La probabilidad deobtener cada una de las puntuaciones se muestra a continuación.

Puntuación 1 2 3 4

Probabilidad 15

25

110

x

(a) Halle el valor de x. [2 puntos]

(b) Halle E( ) X . [3 puntos]

(c) El dado se tira dos veces. Halle la probabilidad de obtener dos veces 3. [2 puntos]


Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 2e x y = en el punto donde

1 x = . Exprese la respuesta en función de 2e .


(a) Halle

2 2

1 (3 2) d x x!- . [4 puntos]

(b) Halle1 2

02e d x- . [3 puntos]


La velocidad v 1ms! de un cuerpo en movimiento en el instante t segundos viene

dada por 50 10v t = ! .

(a) Halle la aceleración del cuerpo en 2ms! . [2 puntos]

(b) El desplazamiento inicial del cuerpo, s, es de 40 metros. Halle unaexpresión para s en función de t . [4 puntos]


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Preguntas de la Sección B


Resuelva las siguientes ecuaciones.

(a) log 49 2 x = [3 puntos]

(b) 2log 8 x= [2 puntos]

(c) 251

log2

x = ! [3 puntos]

(d) 2 2log log ( 7) 3 x x+ ! = [5 puntos]


Sabiendo que 2( ) 2 12 5 f x x x= ! + .

(a) Exprese ( ) f x en la forma 2( ) 2 ( ) f x x h k = ! ! . [3 puntos]

(b) Escriba las coordenadas del vértice de la gráfica de f . [2 puntos]

(c) Escriba la ecuación del eje de simetría de la gráfica de f . [1 punto]

(d) Halle la intersección de la gráfica de f con el eje y . [2 puntos]

(e) Las intersecciones de f con el eje x se pueden escribir como p q

r

±,

donde , , p q r . " . Halle el valor de p, de q, y de r . [7 puntos]


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Sea1

( ) , 0 f x x x

= / .

(a) Dibuje aproximadamente la gráfica de f . [2 puntos]

La gráfica de f se transforma en la gráfica de g por medio de una traslación

de )) +

'((*

&

3

2.

(b) Halle una expresión de ( ) x . [2 puntos]

(c) (i) Halle las intersecciones de g con los ejes.

(ii) Escriba las ecuaciones de las asíntotas de g .

(iii) Dibuje aproximadamente la gráfica de g . [10 puntos]


Un muelle está suspendido del techo. Se tira de él hacia abajo, después sesuelta y entonces oscila hacia arriba y hacia abajo. Su longitud, l centímetros,

está modelada por la función ( )33 5cos (720 )l t = + ! , donde t es el tiempo en

segundos después de soltarlo.

(a) Halle la longitud del muelle después de 1 segundo. [2 puntos]

(b) Halle la longitud mínima del muelle. [3 puntos]

(c) Halle el tiempo en el cual la longitud es por primera vez 33 cm. [3 puntos]

(d) ¿Cuál es el período del movimiento? [2 puntos]


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– 15 –


Dos rectas 1 L y 2 L están dadas por 1

9 2

4 6

6 10

s

!& ' & '( ) ( )

= +( ) ( )( ) ( )!* + * +

r y por 2

1 6

20 10

2 2

t

!& ' & '( ) ( )

= +( ) ( )( ) ( )!* + * +

r .

(a) Sea # el ángulo agudo entre 1 L y 2 L . Compruebe que 52

cos140

# = . [5 puntos]

(b) (i) Sea P el punto de 1 L cuando 1 s = . Halle el vector de posición

de P.

(ii) Compruebe que P también está en 2 L . [8 puntos]

(c) Una tercera recta 3

L tiene por vector de dirección

6

30

& '( )

( )( )!* +

. Sabiendo que

1 L y 3 L son paralelas, halle el valor de x. [3 puntos]


La altura de los árboles de un bosque sigue una distribución normal con alturamedia 17 metros. Se selecciona un árbol al azar. La probabilidad de que la

altura del árbol seleccionado sea mayor que 24 metros es 0,06.(a) Halle la probabilidad de que el árbol seleccionado tenga una altura menor

que 24 metros. [2 puntos]

(b) La probabilidad de que el árbol tenga una altura menor que D metros es0,06. Halle el valor de D. [3 puntos]

(c) Un leñador selecciona al azar 200 árboles. Halle el número esperado deárboles cuyas alturas varían entre 17 metros y 24 metros. [4 puntos]


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La probabilidad de obtener cara con una moneda no equilibrada es1

3.

(a) Sammy lanza la moneda tres veces. Halle la probabilidad de obtener

(i) tres caras;

(ii) dos caras y una cruz. [5 puntos]

(b) Amir juega a un juego que consiste en lanzar la moneda 12 veces.

(i) Halle el número esperado de caras.

(ii) Amir gana $ 10 cada vez que sale cara, y pierde $ 6 cada vez quesale cruz. Halle el valor esperado de sus ganancias. [5 puntos]


Sea 3 2( ) 3 9 5 x x x x= ! ! + .

(a) Halle los dos valores de x en los cuales la tangente a la gráfica de g eshorizontal. [8 puntos]

(b) Para cada uno de estos valores, determine si es un máximo o un mínimo. [6 puntos]


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La siguiente figura es una parte de la gráfica de sen2 y x= . La regiónsombreada está entre 0 x = y x m= .

(a) Escriba el período de esta función. [2 puntos]

(b) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, escriba el valor de m. [2 puntos]

(c) Halle el área de la región sombreada. [6 puntos]


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Esquema de calificación: prueba 1

Sección A

1. (a) (i) Tentativa de establecer ecuaciones (M1)

137 20u d ! = + y 13 3u d ! = + A1

34 17d ! = 2d = ! A1 N2

(ii) 1 13 6 3u u! = ! 0 = A1 N1

(b) 10 3 9 2 15u = + × ! = ! (A1)

( )1010

3 ( 15)2

S = + ! M1

60= ! A1 N2 [7 puntos]

2. (a) 1 2 31, 1, 3u u u= = ! = ! A1A1A1 N3

(b) Evidencia del uso de la fórmula adecuada M1

valores correctos ( )2020

(2 1 19 2) 10(2 38)2

S = × + × ! = ! A1

20 360S = ! A1 N1

[6 puntos]

3. (a) (i) 6 A1 N1

(ii) 9 A1 N1

(iii) 0 A1 N1

(b) 5 x < A2 N2

(c) ( )2

( )( ) 5 g f x x= !! (M1)

5 x= ! A1 N2 [7 puntos]


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– 19 –

4. (a) Por un intento razonable de completar el cuadrado(o de expandir) (M1)

p.ej. 2 23 12 11 3( 4 4) 11 12 x x x x! + = ! + + ! 2( ) 3( 2) 1 f x x= ! ! (acepte 2 , 1)h k = = A1A1 N3

(b) MÉTODO 1

Vértice desplazado a (2 3, 1 5) (5, 4)+ ! + = M1

con lo que la nueva función es 23( 5) 4 x ! + (acepte 5, 4) p q= = A1A1 N2

MÉTODO 2

( )2

( ) 3 ( 3) 5 g x x h k = ! ! + + ( )2

3 ( 3) 2 1 5 x= ! ! ! + M123( 5) 4 x= ! + (acepte 5, 4 p q= = ) A1A1 N2

[6 puntos]

5. (a) 30 p = A2 N2

(b) MÉTODO 1

Período2

q

$= (M2)

2

$= (A1)

4q0 = A1 N4

MÉTODO 2

Estiramiento horizontal de razón 1q

= (M2)

razón1

4= (A1)

4q0 = A1 N4

[6 puntos]


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– 20 –

6. (a) Evidencia del uso del teorema de Pitágoras (M1) p.ej. diagrama, 2 2sen cos 1 x x+ = Cálculo correcto (A1)

p.ej.144

5 ; 1169

!

5

sen 13# =

A1 N3

(b) Evidencia del uso de la fórmula para cos2# (M1)

p.ej. 2cos2 2cos 1# # = ! Sustitución/cálculo correcto A1

p.ej.2

122 1

13& '

! !( )* +

119cos2

169# = A1 N2

(c) 5sen ( ) sen13

# # + $ = ! = ! A1 N1

[7 puntos]

7. (a) Tentativa de factorizar (M1)factores correctos (2sen 1)(sen 1) 0# # ! + = A1

1sen , sen 1

2# # = = ! A1A1 N2

(b) otras soluciones son 150 ; 270! ! A1A1 N1N1

[6 puntos]

8. (a) Tentativa de multiplicar p.ej. 1 0 2 6

0 0 0 9

+ ! !& '( )

+ +* + (M1)

2 1 8

0 9

!& '= ( )

* + A A1 N2

(b)1 2 3 4

3 0 3 2 1

! !& ' & '+ =( ) ( )* + * +

X (M1)

4 63

2 2

!& '= ( )!* +

X (A1)

4 61

2 23

!& '= ( )!* +

X A1 N2

[5 puntos]


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– 21 –

9.2 1 2 1 2 1 1 0 0 0

63 4 3 4 3 4 0 1 0 0

k ! ! !& '& ' & ' & ' & '

! + =( )( ) ( ) ( ) ( )! ! !* +* + * + * + * + (A1)

2 7 6

18 19

!& '= ( )!* +

M A2

12 66

18 24

!& '=

( )!* + M A1

5 0 0 0 0

0 5 0 0 0

k

k

!& ' & ' & '+ =( ) ( ) ( )!* + * + * +

A1

5k = A1 N2 [6 puntos]

10. (a) det 5= A (A1)

1 3 81

2 75

! !& '=

( )!* + A A1 N2

(b) Establece la ecuación matricial7 8 1

2 3 1

x

y

& '& ' & '=( )( ) ( )

* +* + * + (M1)

premultiplica por 1! A M1

1 17 8 1

2 3 1

x

y

! !& '& ' & '=( )( ) ( )

* +* + * + A A

51

55

x

y

!& ' & '=( ) ( )

* + * +

1

1

x

y

& '!& ' & '=( )( ) ( )

* + * +* + A1

1 x = ! , 1= A1 N0 [6 puntos]

11. (a) (i) evidencia de combinación de vectores (M1)

p.ej. AB OB OA, , ,

= !

2AB

3

, !& '= ( )!* +

A1 N2

(ii) 3AC 2

,

& '= ( )!* + A1 N1

(b) (i) AB AC ( 2)(3) ( 3)( 2) 0, ,

= ! + ! ! =i A1 N1

(ii) producto escalar 0= 0 perpendicular, 90# = ! (R1)

sen 1# = A1 N2 [6 puntos]


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– 22 –

12.

(a) Por trazar las líneas que aparecen en la gráfica (M1)100 alumnos obtuvieron una puntuación igual o inferior a 40 puntos. A1 N2

(b) Por identificar 200 y 600 A1Por trazar las líneas que aparecen en la gráfica (M1)

55, 75a b= = A1A1 N1N1

[6 puntos]

Númerodeestudiantes

Puntos


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– 23 –

13. MÉTODO 1

(a) 101 = (A1) 1,12 10 11, 2=× A1

11,2 100+ (M1)

111,2 x = A1 N2

(b) 100 11,2! (M1) 88,8= A1 N2

[6 puntos]

MÉTODO 2

(a) 101 = (A1)Evidencia del uso de la fórmula de estandarización (M1)

1001,12

10

x != A1

111,2 x = A1 N2

(b)100

1,1210

x!= A1

88,8 x = A1 N2 [6 puntos]

14. (a) Por sumar para obtener 1 (M1)

p.ej.1 2 1

15 5 10

+ + + =

310 x = A1 N2

(b) Por la evidencia de usar E ( ) ( ) X x f x= " (M1)Cálculo correcto A1

p.ej.1 2 1 3

1 2 3 45 5 10 10

× + × + × + ×

25E ( ) ( 2,5)

10 X = = A1 N2

(c)1 1

10 10× (M1)

1

100 A1 N2

[7 puntos]


26/52

– 24 –

15. Tentativa de derivar (M1)

2d 2ed

x y

x= A1

En 2d

1 2ed

y x

x= = A1

2e y = A1

La ecuación de la tangente es 2 2e 2e ( 1) y x! = ! ( )2 22e e y x= ! M1A1 N2 [6 puntos]

16. (a)2 2

1(3 2)d x x!- =

23

12 x x2 3!4 5 A1A1

(8 4) (1 2)= ! ! ! (A1)

5= A1 N2

(b)

1 12 2

00 2e d e x x

x 2 3= 4 5- A12 0e e= ! (A1)2e 1= ! A1 N2

[7 puntos]

17. (a)d

d

va

t = (M1)

210 (m s )!= ! A1 N2

(b) d s v t = - (M1)250 5t t c= ! + A1

40 50(0) 5(0) 40c c= ! + 0 = A1250 5 40 s t t = ! + A1 N2

Nota: Si falta c, otorgue (M1) y el primer A1 de la parte (b), pero NO otorgue los últimos dos A1.

[6 puntos]


27/52

– 25 –

Sección B

18. (a) 2 49 x = (M1)7 x = ± (A1)

7 x = A1 N3

(b) 2 8 x

=

(M1) 3 x = A1 N2

(c)1

225 x!

= (M1) 1

25 x = (A1)

1

5 x = A1 N3

(d) ( )2log ( 7) 3 x x ! = (M1)

22log ( 7 ) 3 x x! = 32 8= 2(8 7 ) x x= ! (A1)2 7 8 0 x x! ! = A1

( 8) ( 1) 0 ( 8, 1) x x x x! + = = = ! (A1)

8 x = A1 N3 [13 puntos]


28/52

– 26 –

19. (a) Evidencia de haber completado el cuadrado (M1)2( ) 2( 6 9) 5 18 f x x x= ! + + ! (A1)

22( 3) 13 x= ! ! (acepte 3, 13h k = = ) A1 N3

(b) El vértice es (3, 13)! A1A1 N2

(c) 3 x = (debe escribirse una ecuación) A1 N1

(d) evidencia del uso de 0 x = para hallar la intersección con el eje y (M1)la intersección con el eje y es (0, 5) (acepte 5) A1 N2

(e) MÉTODO 1

evidencia del uso de 0 y = para hallar la intersección con el eje x (M1)

p.ej. 22( 3) 13 0 x ! ! =

evidencia de la resolución de esta ecuación (M1)

p.ej. 213

( 3)2

x ! = A1

13( 3)

2 x ! = ±

13 263 3

2 2 x = ± = ± A1

6 26

2 x

±=

6, 26, 2 p q r = = = A1A1A1 N4

MÉTODO 2

evidencia del uso de 0 y = en la intersección con el eje x (M1)

p.ej. 22 12 5 0 x x! + =

evidencia del uso de la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado (M1)

212 12 4 2 5

2 2 x

± ! × ×=

× A1

12 104 6 26

4 2 x

& '± ±= =

( )( )* + A1

12 , 104, 4 (o 6, 26, 2) p q r p q r = = = = = = A1A1A1 N4

[15 puntos]


29/52

– 27 –

20. (a)

A1A1 N2

Nota: Otorgue A1 por la rama izquierda y A1 por la rama derecha.

(b)1

( ) 32

g x x

= +!

A1A1 N2

(c) (i) Evidencia del uso de 0 x = 1(0) 32

g & '= ! +( )* +

(M1)

( )5

2,52

y = = A1

evidencia de la resolución de ( )0 1 3 ( 2) 0 y x= + ! = M11 3 6 0 x+ ! = (A1)

3 5=

5

3 x = A1

Las intersecciones son5

3 x = ,5

2 y = (acepte5 5

, 0 0,3 2& ' & '( ) ( )* + * + ) N3

(ii) 2 x = A1 N13 y = A1 N1

continúa en la página siguiente...


30/52

– 28 –

Continuación de la pregunta 20 (c)

(iii)

A1A1A1 N3

Nota: Otorgue A1 por la forma (ambas ramas), A1 por el comportamientocorrecto cercano a las asíntotas, y A1 por las intersecciones con los

ejes aproximadamente en5 5

, 0 0,3 2

& ' & '

( ) ( )* + * +.

[14 puntos]

21. (a) Cuando 1, 33 5cos 720t l = = + (M1)33 5 38l = + = A1 N2

(b) El mínimo se obtiene cuando cos 1= ! (M1)

min 33 5l = ! (M1)

28= A1 N3

(c) ( )33 33 5cos720 0 5cos720t t = + = M1720 90t = A1

90 1

720 8t

& '= =( )

* + A1 N1

(d) Evidencia de la división por 360 (M1)

período360 1

720 2& '

= =( )* +

A1 N2

[10 puntos]


31/52

– 29 –

22. (a) Uso de los vectores de dirección u =

2

6

10

!& '( )( )( )* +

y v =

6

10

2

!& '( )( )( )!* +

(M1)

4 36 100 140= + + =u , 36 100 4 140= + + =v A1A1

• 12 60 20 52= + ! =u v A1

52cos140 140

# = A1

52

140= AG N0

(b) (i) Por sustituir 1 s = (M1)Cálculos correctos (A1) 9 1( 2) 7, 4 1(6) 10, 6 1(10) 4+ ! = + = ! + =

El vector de posición de P es

7

10

4

& '( )( )

( )* +

A1 N3

(ii) Por sustituir en la ecuación

7 1 6

10 20 10

4 2 2

t

!& ' & ' & '( ) ( ) ( )

= +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )!* + * + * +

(M1)

Por una ecuación correcta A1 p.ej. 7 1 6t = ! la solución da 1t = ! A1verificación para la segunda coordenada, 10 20 ( 1)(10)= + ! A1

verificación para la tercera coordenada, 4 2 ( 1)( 2)= + ! ! A1

Por lo tanto, P está también en 2 L . AG N0

(c)

2 6

6

10 30

k x

!& ' & '( ) ( )

=( ) ( )( ) ( )!* + * +

(M1)

2 6k ! = 3k = ! A13 6 18 x = ! × = ! A1 N2

[16 puntos]


32/52

– 30 –

23 (a) Evidencia del uso del complemento p.ej. 1 0,06! (M1)0,94 p = A1 N2

(b) Por la evidencia del uso de la simetría (M1)La distancia desde la media es 7 (A1) p.ej. diagrama, media 7 D = !

10 D =

A1 N2

(c) P(17 24) 0,5 0,06 H < < = ! (M1)

0,44= A1

E(árboles) 200 0,44= × (M1)

88= A1 N2 [9 puntos]

24. (a) (i) Tentativa de hallar3

1P(3 )

3 H

& '=

( )* + (M1)

1

27= A1 N2

(ii) Tentativa de hallar P (2 , 1 ) H T (M1) 2

1 23

3 3& '

= ( )* +

A1

2

9= A1 N2

(b) (i) Evidencia del uso de np 1 123

& '×( )* +

(M1)

número esperado de caras 4= A1 N2

(ii) 4 caras, por lo tanto, 8 cruces (A1) E (ganancias) ( )4 10 8 6 40 48= × ! × = ! (M1)

$ 8= ! A1 N1

[10 puntos]


33/52

– 31 –

25. (a) Tentativa de derivar (M1)2( ) 3 6 9 g x x x6 = ! ! A1A1A1

por establecer la derivada igual a cero M123 6 9 0 x x! ! =

Por resolver A1

p.ej. 3( 3)( 1) 0 x x! + = 3 1 x x= = ! A1A1 N3

(b) MÉTODO 1

( 1) g x6 < ! es positivo, ( 1) g x6 > ! es negativo A1A1

( 3) g x6 < es negativo, ( 3) g x6 > es positivo A1A1

mínimo cuando 3 x = , máximo cuando 1 x = ! A1A1 N2

MÉTODO 2

Evidencia del uso de la derivada segunda (M1)( ) 6 6 g x x66 = ! A1

(3) 12 g 66 = (o positiva), ( 1) 12 g 66 ! = ! (o negativa) A1A1

mínimo cuando 3 x = , máximo cuando 1 x = ! A1A1 N2 [14 puntos]

26. (a) 2

período2

$= =$ M1A1 N2

(b)

#

2m = A2 N2

(c) Uso de 20

sen 2 d A x x$

= - (M1)

Integración correcta,2

0

1cos2

2 A x

$

2 3= !7 84 5

A1

Sustitución,1 1

cos ( cos0)2 2

A = ! $ ! ! (M1)

Valores correctos, 1 1 1 1

( 1) ( (1))

2 2 2 2

A & '

= ! ! ! ! = +( )* +

A1A1

1 A = A1 N2

[10 puntos]


34/52

– 32 –

Prueba 2

Preguntas de la Sección A


Un teatro tiene 20 filas de butacas. En la fila 1 hay 15 butacas, en la fila 2 hay17 butacas, y cada fila sucesiva tiene dos butacas más que la anterior.

(a) Calcule el número de butacas que hay en la fila 20. [4 puntos]

(b) Calcule el número total de butacas. [2 puntos]

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– 33 –


Se invierte una suma de $ 5000 a una tasa de interés (tipo de interés) compuestodel 6,3 % anual.

(a) Escriba una expresión para el valor de la inversión después de n años

completos. [1 punto]

(b) ¿Cuál será el valor de la inversión al cabo de cinco años? [1 punto]

(c) El valor de la inversión superará los $ 10 000 después de n añoscompletos.

(i) Escriba una inecuación que represente esta información.

(ii) Calcule el valor mínimo de n. [4 puntos]

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36/52

– 34 –


La función f está definida por2

3( ) , para 3 3

9 f x x

x= ! < <

!.

(a) Dibuje aproximadamente la gráfica de f , en la cuadrícula provista acontinuación.

[2 puntos]

(b) Escriba la ecuación de cada asíntota vertical. [2 puntos]

(c) Escriba el recorrido de la función f . [2 puntos]


Las funciones f y quedan definidas por : 3 , : 2 f x x g x x +# # .

(a) Halle una expresión para ( )( ) f g x! . [2 puntos]

(b) Halle 1 1(18) (18) f g ! !+ . [4 puntos]


Un triángulo tiene sus vértices en A(–1, 3) , B(3, 6) y C(–4, 4).

(a) Compruebe que AB AC 9, ,

= !i . [3 puntos]

(b) Halle ˆBAC. [4 puntos]


37/52

– 35 –


(a) Escriba la inversa de la matriz

1 3 1

2 2 1

1 5 3

!& '( )

= !( )( )!* +

A . [2 puntos]

(b) A partir de lo anterior, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

3 1

2 2 2

5 3 3

x y z

x y z

x y z

! + =

+ ! =

! + =

[4 puntos]


Una fábrica produce calculadoras. Luego de un período prolongado, seencuentra que el 2 % de las calculadoras producidas son defectuosas. Se pruebauna muestra aleatoria de 100 calculadoras.

(a) Escriba el número esperado de calculadoras defectuosas en la muestra. [1 punto]

(b) Halle la probabilidad de que tres calculadoras sean defectuosas. [2 puntos]

(c) Halle la probabilidad de que más de una calculadora sea defectuosa. [3 puntos]


Las velocidades de los vehículos que pasan por determinado punto de uncamino recto siguen una distribución normal con media µ y desviación típica1 . El 15 % de los vehículos viaja a velocidades mayores de 90 1kmh! y el

12 % a velocidades menores de 40 1kmh! . Halle µ y 1 .


La función f se define por ( ) 2sen (5 3) f x x= ! .

(a) Halle ( ) f x66 . [4 puntos]

(b) Escriba ( )d f x x- . [2 puntos]


38/52

– 36 –

Preguntas de la Sección B


Un granjero posee un campo triangular ABC. Un lado del triángulo, [AC],mide 104 m, el segundo lado, [AB], mide 65 m y el ángulo comprendido entre

estos dos lados es de 60!

.

(a) Utilice el teorema del coseno para calcular la longitud del tercer lado delcampo. [3 puntos]

(b) Sabiendo que3

sen602

=! , halle el área del campo en la forma 3 p

siendo p un número entero. [3 puntos]

Sea D un punto de [BC] tal que [AD] es la bisectriz del ángulo de 60! . El

granjero construye un cerco recto [AD] de longitud x metros, dividiendo así elcampo en dos partes 1 A y 2 A , como se muestra en la siguiente figura.

(c) (i) Compruebe que el área de 1 A está dada por65

4.

(ii) Halle una expresión similar para el área de 2 A .

(iii) A partir de lo anterior, halle el valor de x en la forma 3q ,siendo q un número entero. [7 puntos]

(d) (i) Explique por qué ˆ ˆsenADC senADB= .

(ii) Use el resultado del apartado (i) y el teorema del seno para

comprobar que BD 5DC 8

= . [5 puntos]


39/52

– 37 –


En esta pregunta, la distancia se mide en kilómetros y el tiempo en horas.

Un globo se desplaza, manteniendo su altura constante, a una velocidad de

118kmh! , en la dirección del vector34

0

& '( )( )( )* +

.

Cuando 0t = , el globo se encuentra en el punto B de coordenadas (0, 0, 5) .

(a) Compruebe que el vector de posición b del globo en tiempo t viene dado por

0 10,8

0 14, 4

5 0

x

y t

z

& ' & ' & '( ) ( ) ( )

= = +( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )* + * + * +

b . [6 puntos]

Cuando 0t = , un helicóptero se dirige hacia el globo para entregar unmensaje. El vector de posición h del helicóptero en tiempo t viene dado

por49 48

32 24

0 6

x

y t

z

!& ' & ' & '( ) ( ) ( )

= = + !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )* + * + * +

h .

(b) (i) Escriba las coordenadas de la posición inicial del helicóptero.

(ii) Halle la velocidad del helicóptero. [4 puntos]

(c) El helicóptero alcanza al globo en el punto R.

(i) Halle el tiempo que tarda el helicóptero en alcanzar al globo.

(ii) Halle las coordenadas de R. [5 puntos]


40/52

– 38 –


La bolsa A contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se extraen dos bolas alazar, sin reposición. Sea X el número de bolas rojas extraídas. La siguientetabla muestra la distribución de probabilidad de X .

X 0 1 2

P( ) X x= 3

10

6

10

1

10

(a) Calcule E( ) X , la media del número de bolas rojas extraídas. [3 puntos]

Otra bolsa B, contiene 4 bolas rojas y 2 bolas verdes. Se extraen dos bolas alazar de la bolsa B.

(b) (i) Dibuje un diagrama de árbol que represente esta información,

incluyendo las probabilidades de cada suceso.

(ii) A partir de lo anterior halle la distribución de probabilidad de Y ,siendo Y el número de bolas rojas extraídas. [8 puntos]

Se tira un dado equilibrado de seis caras. Si se obtiene un 1 o un 6, se extraendos bolas de la bolsa A, en caso contrario, se extraen dos bolas de la bolsa B.

(c) Calcule la probabilidad de que se extraigan dos bolas rojas. [5 puntos]

(d) Sabiendo que se han extraído dos bolas rojas, halle la probabilidadcondicionada de que haya salido un 1 o un 6 al tirar el dado. [3 puntos]


La función f se define por 2: 0,5 2 2,5 f x x x! + +# .

Sea N la normal a la curva en el punto donde la gráfica corta el eje y.

(a) Compruebe que la ecuación de N puede escribirse como 0,5 2,5 y x= ! + . [4 puntos]

(b) Halle las coordenadas del otro punto de intersección entre la normal y lacurva. [5 puntos]

(c) Sea R la región encerrada entre la curva y N . Halle el área de R. [4 puntos]


41/52

– 39 –

Esquema de calificación: prueba 2

Sección A

1. (a) Por darse cuenta de que se trata de una progresión aritmética (M1)

1 15 2 20u d n= = = (A1)

por sustituir en 20 15 (20 1) 2u = + ! × M153= (esto es, 53 asientos en la fila número 20) A1 N2

(b) Por sustituir en ( ) ( )2020 20

2(15) (20 1)2 o en (15 53)2 2

S = + ! + M1

680= (esto es, 680 asientos en total) A1 N2 [6 puntos]

2 . (a) 5000(1,063)n A1 N1

(b) El valor 5$ 5000(1,063)= ( $ 6786,3511 )= …

$ 6790= redondeado a 3 cifras significativas (acepte $ 6786, o $ 6786,35 ) A1 N1

(c) (i) 5000(1,063) 10 000n > o (1,063) 2n > A1 N1

(ii) Por tratar de resolver la inecuación log(1,063) log2n > (M1)

11,345...n > (A1)12 años A1 N3

Nota: Es probable que los alumnos utilicen las funciones TABLE o LISTde su calculadora gráfica para hallar n. A continuación se sugiere una buena forma de comunicar esto.

Sea 1,063 x y = (M1)

Para 11 1,9582 x y= ! > = , para 12 2,0816 x y= ! > = (A1)

12 x = es decir , 12 años A1 N3 [6 puntos]


42/52

– 40 –

3 (a)

A1A1 N2

Nota: Otorgue A1 para la forma genérica y A1 si se dibuja la intersección conel eje y en el valor 1.

(b) 3 x = , 3 x = ! A1A1 N1N1

(c) 1 y 9 A2 N2

[6 puntos]

4. (a) ( ) : 3( 2) ( 3 6) f g x x x+ = +! # A2 N2

(b) MÉTODO 1

Evidencia de haber hallado funciones inversas M1 p.ej.

1( )3

f x! = 1( ) 2 g x x! = !

1 18(18)3

( 6) f ! = = (A1)

1(18) 18 2 ( 16) g ! = ! = (A1)1 1(18) (18) 6 16 22 f g ! !+ = + = A1 N3

MÉTODO 2

Evidencia de haber resuelto las ecuaciones M1

p.ej. 3 18 x = , 2 18 x + = 6 x = , 16 x = (A1)(A1)

1 1(18) (18) 6 16 22 f g ! !+ = + = A1 N3 [6 puntos]


43/52

– 41 –

5. (a) Por obtener los dos vectores correctos 4 3

AB AC3 1

, , !& ' & '= =( ) ( )

* + * + A1A1

Por sustituir apropiadamente en la expresión del producto escalar

AB AC 4( 3) 3(1), ,

: = ! + A1

9= ! AG N0

(b) AB 5 AC 10, ,

= = (A1)(A1)

Evidencia de haber usado la fórmula del producto escalar M1

p.ej.9ˆcosBAC

5 10

!= 0,569 (3 cifras significativas)= !

ˆBAC 2, 47= (radianes), 125! A1 N3 [7 puntos]

6. (a) 10,1 0,4 0,1

0,7 0,2 0,3

1,2 0,2 0,8

!

& '( )

= !

( )( )!* +

A A2 N2

(b) Por darse cuenta de que las ecuaciones pueden escribirse como

1

2

3

x

y

z

& ' & '( ) ( )

=( ) ( )( ) ( )* + * +

A (M1)

por tratar de calcular 11 1,2

2 0,6

3 1,6

!

& '& ' & ' & '( )( ) ( ) ( )

=( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )* + * + * +* +

x

y = A

z

M1

1,2 ; 0,6 ; 1,6 x y z = = = (acepte tanto vectores fila como vectores columna) A2 N3

[6 puntos]


44/52

– 42 –

7. (a) B(100 ; 0,02) X $

E ( ) 100 0,02 2 X = × = A1 N1

(b) 3 97100

P( 3) (0,02) (0,98)3

X & '

= = ( )* +

(M1)

0,182= A1 N2

(c) MÉTODO 1

( )P( 1) 1 P( 1) 1 P( 0) P( 1) X X X X > = ! % = ! = + = M1

( )100 991 (0,98) 100(0, 02) (0,98)= ! + (M1)0,597= A1 N2

MÉTODO 2

P( 1) 1 P( 1) X X > = ! % (M1)

1 0, 40327= ! (A1)

0,597= A1 N2Nota: Otorgue la puntuación que se muestra a continuación si se obtiene

P( 1) X 9 , si se incluye el desarrollo del proceso.

P( 1) X 9 A0

1 P( 2) 1 0,67668 X = ! % = ! M1(FT )

0,323= A1(FT ) N0 [6 puntos]

8. 2 N( , ) X µ 1 $

P( 90) 0,15 X > = y P( 40) 0,12 X < = (M1)Por hallar los valores estandarizados 1, 036 ; 1,175! A1A1

Por plantear las ecuaciones90 40

1,036 ; 1,175µ µ

1 1

! != ! = (M1)

66,6 ; 22,6µ 1 = = A1A1 N2N2

[6 puntos]

9. (a) Por utilizar la regla de la cadena (M1)( ) f x6 ( )2cos(5 3) 5 x= ! ( )10cos(5 3) x= ! A1

( ) f x66 ( )10sen (5 3) 5 x= ! ! 50sen (5 3) x= ! ! A1A1 N2

Nota: Otorgue A1 por sen (5 3) x ! , y A1 por –50.

(b)2

( )d cos(5 3)5

f x x x c= ! ! +- A1A1 N2

Nota: Otorgue A1 por cos(5 3) x ! , y A1 por 2

5! .

[6 puntos]


45/52

– 43 –

Sección B

10. (a) por aplicar la regla del coseno 2 2 2 ˆ2 cosa b c bc A= + ! (M1)

por sustituir correctamente 2 2 2BC 65 104 2(65)(104)cos60= + ! ! A1 4225 10 816 6760 8281= + ! =

BC 91 m0 = A1 N2

(b) por hallar el área por medio de la relación1 ˆsen2

bc A (M1)

por sustituir correctamente y obtener un área1

(65)(104)sen602

= ! A1

1690 3= (acepte 1690 p = ) A1 N2

(c) (i) 11

(65)( )sen302

A x& '

= ( )* +

! A1

65

4= AG N0

(ii) 21

(104)( )sen302

A x& '

= ( )* +

! M1

26 x= A1 N1

(iii) por plantear 1 2 A A A+ = o por sustituir65

26 1690 34

x x+ = (M1)

por simplificar169

1690 34

x= A1

4 1690 3169

x ×

= A1

40 3 x0 = (acepte 40q = ) A1 N2

(d) (i) Por darse cuenta de que los ángulos suplementarios tienen el mismo seno

p.ej. ˆ ˆADC 180 ADB= !! ˆ ˆsenADC senADB0 = R1

(ii) por hacer uso de la regla del seno para los triángulos ADB; y ACD; (M1)

por sustituir correctamenteBD 65 BD sen30

ˆ ˆsen30 65sen ADB sen ADB= 0 =

!

! A1

y DC 104 DC sen30ˆ ˆsen30 104sen ADC sen ADC

= 0 =!

! M1

dado que ˆ ˆsenADB senADC= BD DC BD 65

65 104 DC 104= 0 = A1

BD 5

DC 80 = AG N0

[18 puntos]


46/52

– 44 –

11. (a) Por tratar de obtener el vector unitario ( )be en la dirección de b (M1)

Valores correctos2 2 2

31

43 4 0 0

& '( )

= ( )+ + ( )

* +

A1

0,6

0,80

& '( )

= ( )( )* +

A1

Por obtener la dirección del vector para b, 18= ×b bv e (M1)

10,8

14,4

0

& '( )

= ( )( )* +

b A1

Por utilizar la representación vectorial 0 t = + bb b v (M1)

0 10,8

0 14,4

5 0

t

& ' & '( ) ( )

= +( ) ( )

( ) ( )* + * +

AG N0

(b) (i) 0 (49, 32, 0)t = 0 A1 N1

(ii) Por obtener el módulo del vector velocidad (M1)

Por sustituir correctamente 2 2 2( 48) ( 24) 6hv = ! + ! + A1154 (kmh )!= A1 N2

(c) (i) En R,

10,8 49 48

14,4 32 24

5 6

t t

t t

t

!& ' & '( ) ( )

= !

( ) ( )( ) ( )* + * +

A1

5( 0,833)(horas)

6t = = A1 N1

(ii) Por sustituir 5

6t = en la expresión de b o de h (M1)

(9,12,5) A2 N3

[15 puntos]


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– 45 –

12. (a) Por hacer uso de la relación2

0

E( ) P( ) X x X x= =" (M1)

Por sustituir correctamente3 6 1

E( ) 0 1 210 10 10

X = × + × + × A1

0,8= A1 N2

(b) (i)

A1A1A1 N3

Nota: Otorgue A1 por cada par de probabilidades complementario,

es decir,4

6 y

2

6,

3

5 y

2

5,

4

5 y

1

5.

(ii)2 1 2

P( 0)5 5 30

Y = = × = A1

P( 1) P( ) P( )Y RG GR= = + 4 2 2 4

6 5 6 5& '

= × + ×( )* + M1

16

30= A1

4 3 12P( 2)

6 5 30Y = = × = (A1)

Por formar una distribución M1

y 0 1 2

P( )Y y= 2

30

16

30

12

30

N4

continúa en la página siguiente...

R

R

R

G

G

G


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– 46 –

Continuación de la pregunta 12

(c)2 1

P(Bolsa A)6 3

& '= =( )

* + (A1)

4 2P(Bolsa B)

6 3& '

= =( )* +

(A1)

Por sumar P( ) A RR< y P ( ) B RR< (M1)

Por sustituir correctamente1 1 2 12

P( )3 10 3 30

RR = × + × A1

0,3= A1 N3

(d) Por darse cuenta de queP( )

P(1 o 6 ) P( )P( )

A RR RR A RR

RR

<= = (M1)

1 27

30 90= ÷ A1

0,111= A1 N2

[19 puntos]


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– 47 –

13. (a) La curva corta el eje y cuando 0 x = (A1)La pendiente de la tangente en su intersección con el eje y es 2= A1

0 con lo que la pendiente de N es1

( 0,5)2

= ! = ! A1

Por deducir que la intersección con el eje y ocurre para el valor 2,5 A1

Por lo tanto, la ecuación de N es 0,5 2,5 y x= ! + (AG) N0

(b) N corta la curva cuando 20,5 2 2,5 0,5 2,5 x x x! + + = ! + A1

Por resolver la ecuación (M1)

p.ej. dibujo aproximado, factorización

0 o 5 x x0 = = A1

Otro de los puntos buscados es aquel para el cual 5 x = (R1) 5 0 x y= 0 = (así, el otro punto es el (5, 0) ) A1 N2

(c)

Por usar un método adecuado, con sustracción/expresión correcta, límites correctos M1A1 p.ej. ( )

5 5 5 2

0 0 0( )d ( )d , 0,5 +2,5 d f x x g x x x x x! !- - -

Área 10,4= A2 N2 [13 puntos]


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Ejemplos Matemáticas NS 2008