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Ejercicios de álgebra (Resueltos) 1. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetro recorrido. Un cliente pagó 160 euros por 3 días y 400 km. Otro cliente pagó 175 euros por 5 días y 300 km. ¿Cuánto cobra la empresa por día y kilómetro? Incógnitas: x=cantidad que se cobra por día, y=cantidad que se cobra por kilómetro. 3 + 400 = 160 5 + 300 = 175 1100 = 275 ⇒ = 0 25 3 + 400 · 0′25 = 160 = 20 Solución: Se cobran 20 euros por día más 0’25 euros por kilómetro 2. En un examen tipo test se obtienen 5 puntos por cada acierto y se restan 3 puntos por cada fallo. Una persona que respondió a 20 preguntas obtuvo una puntuación de 12. ¿Cuántas fueron sus respuestas acertadas? Incógnitas: x=número de respuestas acertadas, y=número de respuestas falladas. 5 − 3 = 12 +=20 ó =20− 520 − − 3 = 12 ⇒ 100 − 5 − 3 = 12 ⇒ = 11 =20−=20−11=9 Solución: Acertó 9 preguntas y falló 11 3. Un trabajador eventual gana 85 € al día cuando trabaja en turno diurno y 120 € cuando lo hace en turno nocturno. Sabiendo que en una semana (cinco días) ha ganado 495 €, ¿qué turnos hizo? Incógnitas: x=nº de días que trabaja en turno diurno, y= nº de días que trabaja en turno nocturno. 85 + 120 = 495 +=5 ó =5− 855 − + 120 = 495 ⇒ 425 − 85 + 120 = 495 ⇒ =2 =5−=5−2=3 Solución: Trabajó dos noches y tres días. 4. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca pagamos 69 euros. Cual es el precio del kilo de pintura blanca y de pintura verde, sabiendo que, si las mezclamos a partes iguales, el precio de la mezcla es de 7’5 euros por kilo. Incógnitas: x=precio del kilo de pintura verde, y= precio del kilo de pintura blanca. 5 + 3 = 69 +=15 ó =15− 515 − + 3 = 69 ⇒ 75 − 5 + 3 = 69 ⇒ =3

EJERCICIOS ÁLGEBRA - soluciones

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  • Ejercicios de lgebra (Resueltos)

    1. Una empresa de alquiler de coches cobra por da y por kilmetro recorrido. Un cliente pag 160 euros por 3 das y 400 km. Otro cliente pag 175 euros por 5 das y 300 km. Cunto cobra la empresa por da y kilmetro?

    Incgnitas: x=cantidad que se cobra por da, y=cantidad que se cobra por kilmetro.

    3 + 400 = 1605 + 300 = 175 1100 = 275 = 025 3 + 400 025 = 160 = 20

    Solucin: Se cobran 20 euros por da ms 025 euros por kilmetro

    2. En un examen tipo test se obtienen 5 puntos por cada acierto y se restan 3 puntos por cada fallo. Una persona que respondi a 20 preguntas obtuvo una puntuacin de 12. Cuntas fueron sus respuestas acertadas? Incgnitas: x=nmero de respuestas acertadas, y=nmero de respuestas falladas.

    5 3 = 12 + = 20 ! "!$ = 20 5%20 & 3 = 12100 5 3 = 12 = 11

    = 20 = 20 11 = 9

    Solucin: Acert 9 preguntas y fall 11

    3. Un trabajador eventual gana 85 al da cuando trabaja en turno diurno y 120 cuando lo hace en turno nocturno. Sabiendo que en una semana (cinco das) ha ganado 495 , qu turnos hizo?

    Incgnitas: x=n de das que trabaja en turno diurno, y= n de das que trabaja en turno nocturno.

    85 + 120 = 495 + = 5 ! "!$ = 5 85%5 & + 120 = 495425 85 + 120 = 495 = 2

    = 5 = 5 2 = 3 Solucin: Trabaj dos noches y tres das.

    4. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca pagamos 69 euros. Cual es el precio del kilo de pintura blanca y de pintura verde, sabiendo que, si las mezclamos a partes iguales, el precio de la mezcla es de 75 euros por kilo.

    Incgnitas: x=precio del kilo de pintura verde, y= precio del kilo de pintura blanca.

    5 + 3 = 69 + = 15 ! "!$ = 15 5%15 & + 3 = 6975 5 + 3 = 69 = 3

  • = 15 = 15 3 = 12 Solucin: La pintura verde cuesta 12 /k y la blanca cuesta 3 /k

    5. Un cateto de un tringulo rectngulo mide 28 cm y la hipotenusa 14 cm menos que la suma de ambos catetos. Calcula la medida otro cateto.

    Incgnita: x=lo que mide el cateto desconocido.

    Teorema de Pitgoras. ) + 28) = % + 14&) ) + 784 = ) + 196 + 28784 = 196 + 28 = 21+, 6. En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 5 metros ms que el mayor cateto, y la suma de

    ambos catetos es 35 m. Cunto mide cada uno de los tres lados? Incgnita: x=lo que mide el cateto mayor.

    Teorema de Pitgoras.

    ) + %35 &) = % + 5&) ) + ) + 1225 70 = ) + 25 + 10 ) 80 + 1200 = 0 = --012)1 =3450440344) =346544) = 3404) = 734804) = 603404) = 20 La primera solucin se descarta, no es vlida porque si un cateto mide 60 m, la suma de los

    dos catetos no puede ser 35 m.

    Solucin: Los catetos miden 15 m y 20 m, respectivamente, y la hipotenusa mide 25 m.

    7. Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 490 euros para hacer un viaje. A ltima hora se apuntan dos ms y as devuelven 28 euros a cada uno de los otros. Cuntos amigos fueron de excursin y cunto pag cada uno?

    Incgnitas: x=n de amigos que fueron finalmente a la excursin,

    y= precio que pago cada uno de ellos.

    = 490% 2&% + 28& = 490 Quitando parntesis en la segunda ecuacin resulta: + 28 2 56 = 490 Sustituyendo por490 y despejando y en la ecuacin resultante, queda: = 14 28 Sustituyendo y en la primera ecuacin, queda:%14 28& = 490 14) 28 490 = 0 Ecuacin de segundo grado. Para que sea ms sencilla, antes de resolverla la dividimos por 14 ) 2 35 = 0

    = --012)1 =)08604) =)600) = )6)) = 7)6)) = 5)86)) = 7 La primera solucin se descarta, ya que al ser negativa no es vlida para el problema planteado.

    Solucin: A la excursin fueron 7 amigos, cada uno de ellos pag 70

    8. Un comerciante quiere vender por 60 000 euros una partida de ordenadores que tiene en su almacn. Pero, al descubrir que dos de ellos estn rotos, decide subir 50 euros el precio de los restantes, para obtener los mismos ingresos. Cuntos ordenadores tena y cul era su precio?

    x

    28 cm

    28+x-14

    x

    35-x

    x+5

  • Incgnitas: x=n de ordenadores que tena al principio, y= precio inicial de cada uno de ellos.

    = 60000% 2&% + 50& = 60000 Quitando parntesis en la segunda ecuacin resulta: + 50 2 100 = 60000 Sustituyendo por60000 y despejando y en la ecuacin resultante, queda: = 25 50 Sustituyendo y en la primera ecuacin,

    queda:%25 50& = 60000 25) 50 60000 = 0 Ecuacin de segundo grado. Para que sea ms sencilla, antes de resolverla la dividimos por 25 ) 2 2400 = 0

    = --012)1 =)08

  • 3 = 54 = 543 = 18 Solucin: La edad del mayor es 18 aos y la del menor es 8 aos

    12. Calcula cuntos litros de vino hay en dos toneles, sabiendo que los 3/ 4 de la capacidad del primer tonel es igual a la capacidad del segundo, y los 3/ 2 de la capacidad del segundo contienen 50 litros ms que el primero.

    A 34 = 32 = + 50

    32 34 = + 50 98 = + 50 9 = 8 + 400 = 400 = 34 400 = 300

    Solucin: En el primer tonel hay 400 l y en el segundo 300 l.

    13. Averigua las edades de dos hermanos que suman 42 aos, sabiendo que duplicando la edad del menor, el resultado excede en 12 aos a la edad del mayor.

    Incgnita: x = Edad del menor.

    Como suman 42 aos, sus edades sernx y 42 2 = 12 + 42 3 = 54 = 18

    Solucin: La edad del menor es 18 aos y la del mayor es 24 aos

    14. Halla dos nmeros tales que si se multiplica por 3 el primero y por 2 el segundo, la suma de tales productos es 150, mientras que si se divide el primero entre 3 y el segundo entre 2 la suma de los cocientes es 30.

    B3 + 2 = 1503 + 2 = 30 3 + 2 = 1502 + 3 = 180 6 + 4 = 3006 9 = 540 5 = 240 = 48 3 + 2 48 = 150 = 150 963 = 118 Solucin: El primer nmero es 18 y el segundo 48

    15. Una caja llena de manzanas pesa 15 kg. Quitando un tercio de las manzanas el peso se reduce a 11 kg. Cunto pesan la caja y las manzanas que contiene?

    Incgnita: x = peso de la caja, y=peso de las manzanas que contiene.

  • B + = 15 + 23 = 11 13 = 4 = 12 + 12 = 15 = 3 Solucin: Las manzanas pesan 12 kg y la caja 3 kg.

    16. Un estudiante quiere alquilar una habitacin durante 9 meses. Pero se da cuenta de que por el mismo dinero puede alquilar otra habitacin 50 euros ms barata durante 12 meses. Cunto cuesta el alquiler mensual de cada habitacin?

    Incgnita: x = precio de la primera habitacin.

    9 = 12% 50& 9 = 12 600 = 200 Solucin: El alquiler de la primera habitacin es 200

    mensuales y el de la segunda 150 mensuales.

    17. Para llenar un depsito de 220 litros que ya contiene 11 litros, echo 17 cubos y an faltan 5 litros para acabar de llenarlo. Cuntos litros de agua caben en el cubo? 11 + 17 + 5 = 220 = 220 1617 = 12

    Solucin: En el cubo caben 12 l.

    18. Cuntos adoquines de 25 cm y de 30 cm se necesitan para construir una acera de 35 m de largo, si en total usamos 13 adoquines? 25 + 30%13 & = 350 25 + 390 30 = 350 = 350 39025 30 = 8

    Solucin: Se usan 8 adoquines de 25 cm y 5 adoquines de 30 cm.

    19. Varios pintores deben realizar un trabajo de pintura. El presupuesto, repartido a partes iguales da un sueldo de 150 euros a cada pintor. Pero uno de ellos abandona el proyecto, con lo que ahora cada pintor toca a 1875 euros. Cul era el presupuesto total de la pintura y cuntos pintores la llevaron a cabo?

    Incgnita: x = numero de pintores que intervenan inicialmente. El presupuesto total ser 150 150 = 1875% 1& = 18751875 150 = 5

    Solucin: Intervienen 4 pintores y el presupuesto total es 600 .

    20. En un restaurante preparan las mesas para una celebracin. Al darse cuenta de que disponen de dos mesas menos de las previstas, necesitan colocar a 10 personas por mesa, en lugar de 8 como estaba previsto inicialmente. Cuntas personas asistirn a la celebracin?

    Incgnita: x = nmero de mesas disponibles inicialmente. El total de asistentes ser 8 8 = 10% 2& 8 10 = 20 = 10

    Solucin: Asisten 80 personas

  • 21. En un restaurante se compran barras de pan de cuarto kilo a 075 euros y de medio kilo a 15 euros. En total se han gastado 255 euros, comprando 4 barras ms de las pequeas. Cuntas barras se han comprado de cada clase?

    Incgnita: x = nmero de barras de 025 kg. El nmero de barras de 05 kg ser x-4

    075 + 15% 4& = 255 = 255 + 15 4075 + 15 = 14 Solucin: Se compran 14 barras de 250gr y 10 barras de 500 gr.

    22. En una fiesta de disfraces se venden entradas a 35 euros para los que no vayan disfrazados y a 2 euros para los que vayan disfrazados. Se recaudan 805 euros. Sabiendo que haba 10 personas ms sin disfraz que con disfraz, cuntas personas llevaban disfraz?

    Incgnita: x = nmero de personas disfrazadas. El nmero de personas sin disfraz ser x-10

    2 + 35% + 10& = 805 = 805 3535 + 2 = 140 Solucin: 140 personas llevaban disfraz.

    23. Un tren llega a una estacin. Bajan de l 32 personas. Y suben tantas como las que haba antes de bajarse los 32. Ahora quedan en el tren 80 personas, cuntas personas iban en el tren antes de que llegase a la estacin?

    Incgnita: x = nmero de personas que iban en el tren antes de llegar a la estacin.

    32 + = 80 = 56 Solucin: 56 Personas iban en el tren

    PROBLEMAS DE EXMENES

    24. (Aragn 2003) Los amigos de una pea van a disfrazarse con pelucas. Las pelucas son de pelo rubio, moreno o castao. En total hay 203 pelucas. Entre las de pelo moreno y las de pelo castao hay 127 pelucas y hay 105 pelucas contando las de pelo rubio y castao. Cuntas pelucas que hay de cada tipo?

    Incgnitas: x = n de pelucas rubias, .y = n de pelucas morenas, z = n de pelucas castaas

    B + + C = 203 + C = 127 = 127 C + C = 105 = 105 C

    105z+127z+z=203z=29 x=10529=76

    y=12726=98

    Solucin: Tienen: 76 pelucas rubias, 98 pelucas morenas y 29 pelucas castaas

    25. (Aragn 2008) En la empresa Plsticos Plasta se producen tres tipos de productos: botellas, garrafas y bidones. Se utilizan como materia prima 10 kg de granza de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos de granza, para cada garrafa 100

  • gramos y para cada bidn 1 kg. El gerente tambin nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por ltimo, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo en las mquinas, se producen en total 52 productos cada hora. Cuntas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

    Incgnitas: x = n de botellas, .y = n de garrafas, z = n de bidones

    B50 + 100 + 1000C = 10000 = 2 + + C = 52 2y+y+z=52z=523y 502y+100y +1000(523y)=10000 100y+100y+52000-3000y=10000

    2800y=42000 = 15 = 2 = 2 15 = 30 z=523y=52-315=7

    Solucin: Se producen cada hora 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones.

    26. (Asturias 2003) Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas el cuadrado mayor posible, sobran 87 baldosas. Para formar el cuadrado con una baldosa ms por cada lado, faltaran 40 baldosas. Cuntas baldosas hay en el lote? Incgnitas: x = N de baldosas, y=N de baldosas en cada lado del mayor cuadrado que podemos formar.

    En el primer cuadrado el nmero de baldosas es ) y en el segundo % + 1&) B = 2+87 = %+1&240Por igualacin: ) + 87 = % + 1&) 40 ) + 87 = ) + 2 + 1 40 87 = 2 + 1 40 = 63 = 63) + 87 = 4056

    Solucin: El lote tiene 4056 baldosas

    27. (Castilla y Len, Septiembre 2009) Un jardn rectangular tiene un rea de 900 m2 y est rodeado por un paseo de 5 m de ancho cuya rea es de 850 m2 . Cules son las dimensiones del jardn? Incgnitas: x e y = dimensiones del jardn.

    = 900% + 10&% + 10& = 1750 Quitando parntesis en la segunda ecuacin resulta: + 10 + 10 + 100 = 1750 Sustituyendo por900 y despejando y en la ecuacin resultante, queda: = 6=4

  • = =5)544) ==)4)) = =0) = 76 = =0) = 156 = 75 15 = 60) = =80) = 606 = 75 60 = 15

    Aunque aparecen dos soluciones, en esencia las dos corresponden al mismo rectngulo, de dimensiones 60

    x 15 metros.

    28. (Castilla la Mancha 2002) Con una plancha rectangular de acero queremos hacer una lata de horno de 9 dm3 de capacidad. Para ello cortamos un cuadrado de 5 cm de lado en cada esquina y doblamos la plancha por dichos cortes. Halle la dimensin de la plancha si es 14 cm ms larga que ancha.

    Incgnitas: x e y , dimensiones de la plancha.

    Las dimensiones de la lata sern: (x-10), (y-10) y 5 cm.

    La capacidad de la lata es el volumen del prisma resultante, 5% 10&% 10& = 9000 cm3 (Antes hemos tenido que pasar de dm

    3 a cm

    3 para tener todas las medidas en la misma unidad)

    y como la plancha es 14 cm ms larga que ancha: = 14 Sistema de ecuaciones: 5% 10&% 10& = 9000 = 14 Despejando y en la segunda ecuacin = 14,y sustituyndola en la primera tenemos una ecuacin de segundo grado: 5% 10&% 14 10& = 9000 5% 10&% 24& = 9000 5%) 10 24 + 240& = 9000 ) 34 + 240 = 1800 ) 34 1560 = 0

    = 066585)04) =0=

  • Resultando un sistema de tres ecuaciones con 3 incgnitas:

    7 C = 1 + + C = 11 = 2C La ya est despejada en la tercera ecuacin, podemos despejar en la primera ecuacin y queda: = C 1 Sustituyendo en la segunda, resulta: C 1 + 2z + C = 11 z = 3 = 2 3 = 6 = 3 1 = 2

    Solucin: el nmero buscado es: N=263

    30. (Castilla la Mancha 2003) Con un listn de madera quiero construir un marco rectangular en el que los lados estn en proporcin de tres a cuatro. Si el listn mide 3 metros, Cunto medirn los lados del marco? Incgnitas: x e y, las dimensiones del marco.

    La primera ecuacin sale de la expresin de la proporcin entre los lados y la segunda sale de sumar los 4

    trozos que forman el marco

    B 3 = 42 + 2 = 3 para resolverlo despejamos x en la primera ecuacin y sustituimos en la primera: = J0 2KJ0 L + 2 = 3 6 + 8 = 12 14 = 12 = 6)60 = 5= 086,x=

    0 = 0 5= =

  • 32. (Castilla la Mancha 2005) Para montar un negocio, tres amigos A, B y C han de reunir 30.000 . A pone el doble que B y este la tercera parte que C Cunto pone cada uno? Incgnitas: A, B, y C, lo que pone cada amigo para montar el negocio.

    7Y + Z + [ = 30000Y = 2ZZ = \ C=3B;2B+B+3B=300006B=30000B=5000A=10000;C=15000

    Solucin: A pone 10 000 , B pone 5 000 y C pone 15 000

    33. (Castilla la Mancha 2006) Un financiero invirti en bolsa 18000 en acciones de tres empresas, A, B y C, y obtuvo un beneficio de 975 . Si sabemos que invirti en A tanto como en B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron de un 5 % en A, un 4 % en B y un 10 % en C, cunto invirti en cada una?

    A Y + Z + [ = 18000Y = Z + [5100Y + 4100Z + 10100 [ = 975

    2A=18000A=9000 B=9000C 450 + 360 004[ + 01[ = 975 [ = 975 450 360014 = 2750 Z = 9000 2750= 6250

    Solucin: En la primera pone 9000 , en la segunda 6250 y en la tercera 2750

    34. (Castilla la Mancha 2007) En una exposicin canina hay 290 perros de tres razas distintas: caniche, pastor alemn y labrador. El doble del nmero de caniches menos el nmero de pastores alemanes es igual a 40. El 30 % de la diferencia entre el nmero de labradores y caniches excede en 7 a la cuarta parte del nmero de pastores alemanes. Calcule cuntos perros hay de cada raza.

    Incgnitas: x= n de caniches, y=n de pastores alemanes, z=n de labradores.

    A + + C = 2902 = 4030100 %C & = 4 + 7

    Para eliminar los denominadores en la tercera ecuacin, simplificamos y multiplicamos ambos miembros

    por 20, que es el mcm, resultando: 6%C & = 5 + 140 El sistema ms simplificado es:

    B + + C = 2902 = 406 5 + 6C = 140 Lo resolvemos por sustitucin:

    B + + C = 2902 = 406 5 + 6z = 140 = 2 40 + 2 40 + C = 2906 5%2 40& + 6C = 140] 3 + C = 33016 + 6C = 60

    C = 330 316 + 6%330 3& = 60 = 60 = 2 60 40 = 80

  • C = 330 3 60 = 150 Solucin: En la exposicin hay 60 caniches, 80 pastores alemanes y 150 labradores.

    35. (Castilla la Mancha 2008) La madre, el padre y el hijo de una familia suman 80 aos de edad en la actualidad. Dentro de 22 aos, la edad del hijo ser la mitad de la edad que tendr la madre, que a su vez tiene un ao menos que el padre. Determine la edad actual de cada uno. Incgnitas: x= edad del padre, y =edad de la madre, z=edad del hijo

    Dentro de 22 aos estas edades sern + 22, + 22C + 22. La edad del hijo ser la mitad de la edad de la madre: + 22 = 2% + 22& La madre tiene un ao menos que el padre: = + 1 Las edades suman 80: + + C = 80

    B + + C = 80 + 22 = 2%C + 22& = + 1 + 22 = 2%C + 22& + 22 = 2%C + 22& = 2C + 22 = + 1 = 2C + 22 + 1 = 2C + 232C + 23 + 2C + 22 + C = 80 5C = 80 23 22 C = 7 = 2 7 + 23 = 37 = 2 7 + 22 = 36Solucin: La edad del padre es 37, la de la madre 36 y la del hijo 7 aos.

    36. (Castilla la Mancha 2008) En unas elecciones municipales con dos candidatos se emitieron un total de 7500 votos, de los cuales fueron declarados no vlidos 80 votos. El candidato ganador super a su adversario en 220 votos. Qu cantidad de votos recibi cada candidato?

    Incgnitas: x= n de votos del candidato ganador, y=n de votos del otro candidato.

    + = 7500 80 = 220 + 220 + + = 74202 = 7200 = 3600x=220+3600=3820 El ganador obtuvo 3820 votos y el perdedor 3600 votos.

    37. (Castilla la Mancha 2008) Tres socios invierten juntos en bolsa las cantidades de 10000 , 12000 y 14000 respectivamente para repartirse los beneficios de forma directamente proporcional a las cantidades invertidas. Establezca las cantidades correspondientes a cada uno si al cabo de 6 meses han obtenido un beneficio de 12600 . 10000 = 12000 = C14000 = 1260036000 = 035 Socio 1: = 035 10000 = 3500Socio 2: = 035 12000 = 4200 Socio 3: C = 035 14000 = 4900

    38. (Castilla la Mancha, Junio 2009) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 162'5 por 10 litros de leche, 7 kg de jamn y 15 litros de aceite. Calcular el precio de cada artculo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kg de jamn cuesta igual que tres litros de aceite ms un litro de leche. Incgnitas: x= precio del litro de leche, y = precio del kg de jamn, z= precio de un litro de aceite.

    B10 + 7 + 15C = 1625C = 3 = 3C + = 3%3& + = 1010 + 7%10& + 15%3& = 1625

  • 125x=1625 = 65)^6) = 13 = 10 13 = 13 C = 3 13 = 39

    Solucin: Leche: 1'3 por litro. Jamn: 13 por kg. Aceite: 3'9 por litro.

    39. (Asturias 2010) Necesitamos enviar un total de 120 paquetes de dos tipos, unos pesan 250 gramos y otros 500 gramos. Todos los paquetes se colocan dentro de una nica caja que pesa en total 49 kilogramos. Cuntos paquetes de cada tipo se han enviado?

    Incgnitas: x=n de paquetes de 250 gr. y= N de paquetes de 500 gr.

    250 + 500 = 49000 + 2 = 196 + 2 = 196 + = 120 = 76 = 120 76 = 44

    Solucin: 76 paquetes de 500 gr y 44 paquetes de 250 gr.

    40. (Castilla la Mancha, Sept. 2009) Queremos invertir 2 millones de Euros en bonos, fondos y acciones. La rentabilidad media de cada caso es el 6 % para los bonos, del 10% para los fondos y del12 % para las acciones. El inversor quiere que un 30 % del total del capital se invierta en acciones y que la rentabilidad total final sea del 9 %. Cunto debemos invertir en cada producto? Incgnitas: x=cantidad invertida en bonos, y=cantidad invertida en fondos, z=cantidad invertida en

    acciones.

    _`a`b C = 30100 26100 + 10100 + 12100 C = 9100 2 + + C = 2

    C = 30100 2 = 06 6 + 10 + 12 06 = 186 + 10 = 108 + + 06 = 2 + = 14 = 14 6 + 10%14 & = 1084 = 32 = 08 = 14 = 14 08 = 06

    Solucin: Invertir 08 millones en bonos, 06 millones en fondos y 06 millones en acciones.

    41. (Extremadura 2004) Hicimos una compra de 3 clases de marisco, cuyos precios eran 10, 12 y 15 /kg., respectivamente. La suma total a pagar fue de 116 euros. Por otra parte, el peso total de la compra fue de 9 kg. Adems compramos un kg. ms del marisco de 15 euros que del de 12 euros. Averige cuantos kg hemos comprado de cada clase de marisco.

    B10 + 12 + 15C = 116 + + C = 9 + 1 = C x+y+y+1=9x+2y=8x=82y 10(82y)+12y+15(y+1)=1168020y+12y+15y+15=1167y=21y=3 x=82yx=823=2 z=y+1z=3+1=4

    Solucin: Del primer tipo compra 2 kg, de segundo 3 kg y del tercero 4 kg.

    42. (Extremadura 2004) Un conductor parte del punto A hacia el punto B a las 9 de la maana con una velocidad de 100 km/h, debiendo realizar una parada para recoger un paquete a 40 km del punto de partida. Como olvida la parada que tena que hacer, a las 10 de la maana otro conductor sale en su persecucin del kilmetro 40 a una velocidad constante de 120 km/h.

  • a. A qu hora alcanzar el segundo al primer conductor? b. Qu espacio han recorrido ambos?

    Incgnita: =Distancia que recorre el segundo conductor hasta que alcanza al primero. d= Tiempo que tarda el segundo conductor en alcanzar al primero (en horas). Como su velocidad es 120 efg , los kilmetros que recorre son = 120d El tiempo durante el que circula el primer conductor es d + 1 ya que sali una hora antes. Como su velocidad es 100 efg el espacio que recorre hasta ser alcanzado es100%d + 1& En total, la distancia recorrida por el primer conductor hasta ser alcanzado es 40 km ms que la

    recorrida por el segundo, ya que sali 40 km ms atrs. De aqu la ecuacin: 100%d + 1& = 40 + 120d 100d + 100 = 40 + 120d 20d = 60d = 3

    Solucin: El segundo conductor tarda tres horas en alcanzar al primero y

    la distancia que ha recorrido son 1203 = 360 km. Mientras que el primero

    ha recorrido 400 km.

    43. (Castilla la Mancha, Junio 2009) Una persona compr cierto nmero de objetos por 450 euros. Con este mismo dinero podra haber comprado 5 objetos ms, si cada uno hubiese costado 3 euros menos. Cuntos objetos compr? Cunto cost cada objeto? = 450% + 5&% 3& = 450 3 + 5 15 = 450 = 15 + 35 h15 + 35 i = 450 15 + 3) = 2250 3) + 15 2250 = 0 ) + 5 750 = 05 25 + 30002 = 5 552 = = 25 = 1830

    Solucin: Compr 25 objetos y le costaron 18 euros cada uno.

    44. (Extremadura junio 2008) Una empresa ha gastado 1500 en comprar un mvil a cada uno de sus 25 empleados. Su compaa telefnica ofert dos modelos diferentes, uno a 75 y otro a 50 . Cuntos mviles de cada modelo compr? + = 2575 + 50 = 1500 75 + 50%25 & = 1500 = 1500 125075 50 = 10; = 25 = 15

    Solucin: Compr 10 telfonos del primer modelo y 15 del segundo.

    45. (Madrid 2009) Unos amigos fueron dos das a un bar, donde hicieron consumiciones que pagaron con un fondo comn. Ahora quieren saber el gasto que hizo cada uno, pero no recuerdan los precios de los artculos. Recuerdan que el primer da pagaron 21' 60 por 5

    A B

    40 Km + 40

  • bocadillos y 8 bebidas, y que el segundo da pagaron 13'20 por 3 bocadillos y 5 bebidas. Todos los bocadillos tenan el mismo precio, al igual que todas las bebidas. a. Plantee un sistema de ecuaciones que permita determinar los precios que buscamos. b. Calcule el precio de cada bocadillo y de cada bebida.

    Incgnitas: x= precio de cada bocadillo, y= precio de cada bebida.

    5 + 8 = 21603 + 5 = 1320 3%5 + 8 = 2160&5%3 + 5 = 1320& = 12 = 12 5 + 8 12 = 2160 = 24

    Solucin: El precio de los bocadillos es 240 y el de las bebidas es 120.

    46. (C. Valenciana 2001) Una persona tiene 10.000 euros en dos cuentas que producen inters del 5 % y del 7,2 % anual, respectivamente. Si los intereses totales de un ao son 676 euros, cul es el saldo en cada cuenta?

    7 + = 100005100 + 72100 = 676 5 + 72%10000 & = 67600 = 67600 720005 72 = 2000 Solucin: El saldo en la primera cuenta es 2000 y en la segunda 8000

    47. (C. Valenciana 2003) Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en la ciudad. El nmero total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son tan slo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Adems, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. a. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el nmero de alumnos matriculados en

    cada sucursal. b. Resulvelo.

    A + + C = 352C = 4 = 2C 2 = 4C4C + + C = 3524C = 2 C 2 + 5C = 352 + 2C = 2 7C = 350 C = 3507 = 50; = 4 50 = 200; = 352 5 50 = 102 Solucin: hay 200, 102 y 50 matriculados respectivamente.

    48. (C. Valenciana 2004) Al ordenar mi habitacin observo que el nmero de libros, revistas y CDs es 60. El triple del nmero de CDs es igual a la suma del nmero de libros y el doble del nmero de revistas. El cudruple del nmero de CDs es igual a la suma del nmero de libros y el triple del nmero de revistas. Cuntos, CDs, libros y revistas tengo en mi habitacin?

  • B + + C = 603C = + 24C = + 3 Resolucin: Si restamos la segunda ecuacin de la tercera , nos queda C = , con lo cual podemos sustituir C por en la segunda ecuacin, con lo que nos queda = , Sustituyendo en la primera nos queda: 3C = 60 , luego = = C = 20

    Solucin: hay 20 CDs , 20 libros y 20 revistas.

    49. (C. Valenciana 2009) Una empresa de transportes dispone de camiones y furgonetas para distribuir mercanca. El coste de usar cada camin es de 145 al da, mientras que el de cada furgoneta es de 85 . Si un cliente dispone de 2000 para realizar una distribucin, indica el modelo matemtico que permite saber cuntos camiones y cuntas furgonetas podr utilizar. Cuntos vehculos de cada clase necesitar para gastarse exactamente el dinero disponible? x=nmero de camiones, y= nmero de furgonetas. 145 + 85 = 2000 29 + 17 = 400 Como slo tenemos una ecuacin no se puede resolver como un sistema, ya que el nmero de

    soluciones es infinito. Pero de estas soluciones slo son vlidas las que sean enteras y positivas, y

    la nica posible es = 5, = 15. Veremos esto en el tema de la recta. Solucin: 5 camiones y 15 furgonetas.

    (Extremadura 2009 junio) En un almacn hay botellas de aceite de 5 litros y 2 litros. En total hay 1000 litros de aceite y 323 botellas. Se pide:

    a. Plantear un sistema de ecuaciones que nos permita calcular el nmero de botellas de cada tipo.

    b. Calcular el nmero de botellas de 5 litros y de 2 litros. + = 3235 + 2 = 1000 = 323 5 + 2%323 & = 1000 5 + 646 2 = 10003 = 354 = 118 = 323 118 = 205 Solucin: 118 botellas de cinco litros y 205 de dos litros.

    50. (Navarra 2009) Un grupo de personas contrata un autobs por 900 para realizar una excursin. En el ltimo momento, cinco personas cayeron enfermas con la gripe y no pudieron llevarla a cabo, por lo que cada uno de los dems tuvo que poner 2 ms. Cuntas personas fueron a la excursin? Incgnitas: x= nmero de personas que fueron a la excursin, y= cantidad que paga cada una. = 900% 5&% + 2& = 900 5 + 2 10 = 900 5 + 2 10 = 0 = 10 + 52 h10 + 52 i = 900 10 + 5) = 1800 ) + 2 360 = 0

    = 2 4 + 14402 = 2 382 = A2 + 382 = 18 = 10 + 5 182 = 502 382 = 20

  • La segunda solucin no es vlida por ser negativa.

    Solucin: Fueron 45 personas a la excursin (las 50 iniciales menos cinco que se pusieron enfermas)

    51. (Navarra 2009) Alberto compr 3 bolgrafos y 2 cuadernos, pagando un total de 29 . Una semana despus, los bolgrafos tenan un 20 % de descuento y los cuadernos, un 15 %. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habra tenido que pagar 2,42 . Cunto le cost a Alberto cada bolgrafo y cunto cada cuaderno? Incgnitas: x=precio de cada bolgrafo, y=precio de cada cuaderno.

    7 3 + 2 = 293 80100 + 2 85100 = 242 3 + 2 = 29240 + 170 = 242 80%3 + 2 = 29&%240 + 170 = 242&10 = 10 = 1 3 + 2 1 = 29 = 03

    Solucin: Cada cuaderno le cost un euro y cada bolgrafo 030 euros.

    52. (Pas Vasco 2009) Andoni le dice a Koldo: el dinero que yo tengo es el doble del que t tienes, y Koldo le responde: si me das 6 euros los dos tendremos la misma cantidad. Cunto dinero tena cada uno al principio? = 2 6 = + 6

    2 6 = + 6 = 12 = 2 12 = 24

    Solucin: Antonio tiene 24 euros y Luis tiene 12.

    53. (Canarias 2008) Se reparti una herencia de 16 millones y medio de euros entre una viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibi la mitad de lo que recibi su hermana, y sta el triple de lo que recibi su madre. Cunto recibi cada uno?

    A + + C = 165 = C2C = 3 + 32 + 3 = 165 2 + 3 + 6 = 33 = 3 Solucin: La madre recibe 3 millones de euros. La hija recibe 9 millones y el hijo recibe 45.

    54. (Castilla La Mancha Junio 2010) Un grupo de alumnos ha comprado todos los ingredientes para hacer unas migas con un coste total de 60 . En el momento de empezar a hacerlas, aparecen 4 alumnos ms, y esto hace que cada uno de los anteriores pague 50 cntimos menos. Hallar el nmero de alumnos que particip en las migas y lo que pag cada uno.

  • Incgnitas: x= nmero de amigos, y=cantidad (euros) que debe pagar cada uno. = 60% + 4&% 05& = 60 + 4 05 2 = 60 4 05 2 = 0 8 4 = 0 = 8 4 %8 4& = 60 8) 4 = 60 2) 15 = 0 = 1 1 + 1204 = 1 114 = A

    124 = 3 = 8 3 4 = 201 112 = 5

    Solucin: Participaron 24 alumnos y cada uno tuvo que pagar 25 euros

    55. (Madrid Junio 2010) En una tienda de alimentacin han vendido paquetes de queso a 9 euros la unidad y sobres de salmn ahumado. Un sobre de salmn cuesta 6 euros ms que un paquete de queso. Han vendido el doble de paquetes de queso que de sobres de salmn y han obtenido por la venta de estos productos 858 euros. Averige cuntas unidades de cada producto han vendido. Incgnitas: x=nmero de paquetes de queso, y=nmero de sobres de salmn. 9 + 15 = 858 = 2 9 2 + 15 = 858 33 = 858 = 26 = 2 26 = 52

    Solucin: Vendieron 26 paquetes de queso y 52 sobres de salmn.

    56. (Madrid Junio 2010) La habitacin 400 de un hotel tiene forma rectangular; mide el doble de largo que de ancho. La habitacin 401 tambin es rectangular; mide de ancho lo mismo que la habitacin 400 y de largo un metro ms que de ancho. El rea de la habitacin 401 es 6 m2 menor que la de la habitacin 400. Calcule las dimensiones de la habitacin 400. 2 % + 1& = 6 2) ) = 6 ) 6 = 0 = k k) 4V+2V = 1 1 + 242 = 1 52 = ] 32

    Solucin: Las dimensiones de la habitacin 400 son 3 m de ancho y 6 m de largo

    57. (Extremadura Junio 2010) En una cartera tenemos billetes de 5, de 10 y de 20 euros. Sabiendo que hay un total de 18 billetes, que de 20 tenemos el doble que de 10 y que en total importan 265 euros, Hallar cuntos billetes de cada valor hay. Incgnitas: x,y,z= nmero de billetes de 5, 10 y 15 respectivamente

    B + + C = 185 + 10 + 20C = 265C = 2 + + C = 18 lm)J + + 2 = 18 + 3 = 18 5 + 10 + 20C = 265 lm)J 5 + 10 + 20 2 = 265 5 + 50 = 265 + 10 = 53 + 3 = 18 + 10 = 53

  • Q) Q6:7 = 35 = 5 + 3 5 = 18 + 15 = 18 = 3 C = 2 5 = 10 Solucin: Hay 3 billetes de 5, 5 billetes de 10 y 10 billetes de 20

    58. (Extremadura Septiembre 2010) Se dispone de 187 litros de aceite en envases de 5 litros y de 2 litros llenos totalmente. Se sabe que el nmero de envases de 5 litros es el triple del de 2 litros. Se pide: a. Escribir un sistema de ecuaciones que permita calcular el nmero de envases de cada tipo

    que se tiene. b. Mediante la resolucin del sistema obtener el nmero de envases de cada tipo que se tiene. c. Cuntos litros de aceite hay en total en los envases de 5 litros?

    Incgnitas: x, y=nmero de botellas de 5 y 2 litros respectivamente.

    5 + 2 = 187 = 3 5 3 + 2 = 187 17 = 187 = 11 = 3 11 = 33

    Solucin: Hay 33 envases de 5 litros y 11 de 2 litros. En los envases de

    5 litros hay 165 litros de aceite en total.

    59. (Madrid 2011) Un comerciante ha comprado un ordenador y una impresora y ha pagado en total por ambos artculos 470 . Despus los ha vendido aumentando el precio del ordenador en un 20 % y el precio de la impresora en un 30 %. De esta forma, ha obtenido por la venta de los dos artculos un total de 570 . Averige cunto pag el comerciante por cada uno de los artculos. Incgnitas: x=precio del ordenador, y=precio de la impresora + = 47012 + 13 = 570 = 470 12%470 & + 13 = 570564 12 + 13 = 570 01 = 6 = 601 = 60 = 470 60 = 410

    Solucin: Pag 410 euros por el ordenador y 60 euros por la impresora. 60. (Castilla la Mancha Junio 2011) Para un concierto se vendieron tres tipos de entradas: A, B y C

    cuyos precios son 5, 10 y 20 euros respectivamente. La recaudacin ha sido de 1.100 euros. Sabemos que de la clase A se han vendido tantas como de la B y la C juntas y que de la B se vendieron el doble que de la C. Cuntas entradas de cada tipo se vendieron para ese concierto?

    Incgnitas: A, B y C, nmero de entradas vendidas de cada tipo

    B5Y + 10Z + 20[ = 1100Y = Z + [Z = 2[ sustitucin: Y = 2[ + [Y = 3[

    5 3[ + 10 2[ + 20[ = 110015[ + 20[ + 20[ = 110055[ = 1100[ = 20 Y = 3 20 = 60; Z = 2 20 = 40

  • Solucin: Se vendieron 60 entradas de tipo A, 40 de tipo B y 20 de tipo C.

    61. (Castilla la Mancha Junio 2011) En una confitera envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto da envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas ms del tamao pequeo que del mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones es de 24 y que el importe de los bombones envasados ese da fue de 750 . Cuntas cajas se envasaron de cada tamao?

    Incgnitas: x=n de cajas de 250g , y=n de cajas de 500g, z= nmero de cajas de 1kg

    Los precios de las cajas son: 6 , 12 y 24 respetivamente. 6 + 12 + 24C = 750 :5 + 2 + 4C = 125 B + + C = 60 = + 5 + 2 + 4C = 125

    Mtodo de Gauss:

    B + + C = 60 = 5 + 2 + 4C = 125 ooopo7 + + C = 602 C = 55 + 3C = 65 )op8o B

    + + C = 602 C = 555C = 75 C = 755 = 15 2 15 = 55 = 55 + 152 = 20 + 20 + 15 = 60 = 25 Solucin: Se vendieron 25 cajas de 250 g, 20 cajas de 500 g y 15 cajas de 1 kg.

    62. (Cantabria 2010) Tres amigos van a un centro comercial. El primero adquiere un libro, un CD y un DVD y paga 37 euros. El segundo compra tres libros, dos CD y un DVD y paga 72 euros. Por ltimo, el tercero compra un libro, tres CD y dos DVD y paga 79 euros. Cul es el precio de cada libro, CD y DVD? Resuelve el sistema por el mtodo de Gauss. (Se supone que todos los libros tienen el mismo precio, todos los CD tienen el mismo precio y todos los DVD tambin). Incgnitas: x=precio del libro, y=precio del CD, z=precio del DVD

    B + + C = 373 + 2 + C = 72 + 3 + 2C = 79 B + + C = 373 + 2 + C = 72 + 3 + 2C = 79 ooopo B

    + + C = 37 2C = 392 + C = 42 op8)o B + + C = 37 2C = 393C = 36

    3C = 36C = 12 2 12 = 39 = 39 + 24 = 15 + 15 + 12 = 37 = 10

    Solucin: 10 el libro, 15 el CD y 12 el DVD

    63. (Valencia junio 2012) Resuelve la siguiente ecuacin qrrs = tr8uvqr

    2 2 = % 3&%7 + 15& 4) = 7) + 15 21 45

  • 3) 6 45 = 0 ) 2 15 = 0 = 2 4 + 602 = 2 82 = A

    2 + 82 = 52 82 = 3

    64. (Valencia sept 2012) El propietario de un solar decide dividirlo en tres parcelas. La primera ocupa los 3/8 del solar, la segunda la mitad del resto y la tercera tiene una superficie de 245 m2. Calcula: a. La superficie del solar. b. La superficie de cada una de las parcelas.

    Incgnita: x=superficie del solar 38 + 12 58 + 245 = 6 + 5 + 3920 = 16 6 + 5 16 = 3920 5 = 3920 = 39205 = 784 El solar mide 784,). La primera parcela mide:

    3 784 = 294,) La segunda parcela mide:

    65 784 = 245,) 65. (Valencia sept 2011) Una fbrica de automviles produce al ao 4504 coches de un

    determinado modelo con tres niveles de acabado: bsico, sport y lujo. Los coches fabricados con el acabado bsico son el triple que los del acabado de lujo y los fabricados con el acabado sport son tantos como los del acabado bsico y los del acabado lujo juntos. Cuntos coches se fabricaron de cada uno de los tres acabados? Incgnitas: x,y,z=n de coches producidos con acabado bsico, sport y lujo respectivamente.

    B + + C = 4504 = 3C = + C = 3C + C = 4C 3C + 4C + C = 45048C = 4504C = 563 = 4 563 = 2249 = 3 563 = 1686

    Solucin: Se producen 1686 de bsico, 2249 de sport y 563 de lujo.

    66. (Valencia sept 2011) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7 r8us + wuq = xr8qws r8w8qy = x 2% + 1& + 3% 1& = 0 2 + 3 = 1 4% + 2& 3% + + 2& = 0 + 5 = 6

    2Q) Q6: 7 = 11 = 66=

  • 5Q6 3Q): 7 = 13 = 6= 67. (Valencia sept 2010) Resuelve esta ecuacin bicuadrada:ry qxrq + zy = x

    Cambio de variable: ) = d; 0 = d) d) 20d + 64 = 0 d = 20 400 2562 = 20 122 = At6 =

    322 = 16 ) = 16 6 = 4) = 4t) = 82 = 4) = 4 = 20 = 2

    68. (Valencia junio 2010).- Las ventas de tres comerciantes ascienden a 36 millones de euros. El primero de ellos vende de lo que hace un segundo y ste, el doble que el tercero. Calcula el volumen de ventas de cada uno de ellos. Incgnitas: x,y,z ventas del primero, del segundo y del tercero respectivamente.

    A + + C = 36 = 34 = 2C = 34 Jm)l = 34 2C = 3C2 + + C = 36

    Jm)lEml)3C2 + 2C + C = 36 3z + 4z + 2z = 72 9z = 72 z = 08 = 3 082 = 12 = 2 08 = 1669. (Valencia junio 2012) Resuelve la ecuacin: : qr | r = y

    }2 8~) = % 4&) 2 8 = ) + 16 8 ) 10 + 24 = 0

    = 10 100 962 = ]64 Comprobacin (6): q z | z = yy z = yq z = y%& Comprobacin (4): q y | y = yx y = yx y = y%&

    70. (Valencia junio 2012). Tres amigos A, B y C tienen que repartirse un premio de 26.000 que les ha tocado en la lotera. Calcula cunto le corresponde a cada uno sabiendo que A debe cobrar cuatro veces ms que C, y B la diferencia entre lo que han de cobrar A y C.

    BV + k + + = 26000V = 4+k = V + k = V + = 4+ + = 3+ 4+ + 3+ + + = 260008c = 26000c = 3250

  • k = 3 3250 = 9750 V = 4 3250 = 13000 71. (Valencia junio 2011) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

    7%r u&%s + r& = s%vw + y& + rqsr + wq = qr w + vs Q6: % 1&%3 + & = 3%5 + 4& + 23 + ) 3 = 15 12 + )2 + 15 = 9 Q): 3%3 + & = 2%2 + 5&9 + 3 = 4 2 + 105 + 5 = 10 + = 2 2 + 15 = 9 + = 2 Q6 2Q): 13 = 13 = 1 + %1& = 2 = 2 + 1 = 372. (Valencia junio 2010) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

    yr w = uuwq + sr + vw u = w q Q): 2 + 3 + 5 1 = 2 2 + 3 + 5 = % 2&% 1& 2 + 3 + 5 = 2 2 + 2 3 + 3 = 3 + = 1 4 = 11 + = 1 Q6 + Q): 5 = 10 = 2 2 + = 1 = 1 2 = 3

    73. (Madrid Mayo 2012) En un almacn de productos deportivos haba un da 70 bicicletas, entre bicicletas plegables y normales. Una semana despus, tenan el doble de bicicletas plegables y 12 bicicletas normales ms que la semana anterior, con lo que haba 100 bicicletas en el almacn. Calcule cuntas bicicletas de cada tipo haba el primer da en el almacn. Incgnitas: x=nmero de bicicletas plegables el primer da. y=nmero de bicicletas normales. + = 702 + + 12 = 100 + = 702 + = 88 Q) Q6: = 18 2 18 + = 70 = 70 36 = 52

    74. (Extremadura septiembre 2011) La diferencia de las edades actuales de un padre y su hijo es de 34 aos. Dentro de 15 aos la suma de sus edades ser de 88 aos. a. Plantear un sistema de ecuaciones que nos permita calcular la edad actual del cada uno. b. Resolver el sistema planteado e indicar la edad actual del padre y del hijo. c. Indicar la edad del padre y del hijo cuando hayan pasado 15 aos.

    Incgnitas: x=edad del padre, y=edad del hijo (actualmente).

    Dentro de quince aos las edades sern: x+15 (padre), y +15 (hijo)

    = 34 + 15 + + 15 = 88 = 34 + = 58 Q) + Q6: 2 = 92 = 46 46 + = 58 = 58 46 = 12

  • 75. (Extremadura junio 2012) En un garaje de una comunidad de vecinos hay un total de 31 vehculos entre coches y motos. Contando el nmero de ruedas que tocan el suelo del garaje resultan 98.

    a. Identificar las incgnitas y plantear un sistema de ecuaciones o ecuacin que permita calcular el nmero de vehculos de cada tipo que hay en el garaje.

    b. Resolver el sistema planteado (o ecuacin planteada). c. Indicar el nmero de vehculos de cada tipo que hay en el garaje.

    Incgnitas: x=nmero de coches, y=nmero de motos.

    + = 314 + 2 = 98 Q) 2Q6: 2 = 36 = 18 18 + = 31 = 13

    76. (Aragn 2011) Un hotel dispone de 65 habitaciones de tres categoras: Estndar, Premium y Luxe. La noche para dos personas en la estndar cuesta 50 euros, en la Premium 100 euros y la noche en las de categora Luxe 150 euros. Se sabe que hay el triple de habitaciones de categora estndar que de categora Premium. Si en un da en que estn todas las habitaciones del hotel ocupadas se recauda el mismo dinero con las habitaciones de categora estndar que con todas las otras juntas, cuntas habitaciones hay de cada categora?

    Incgnitas: x=n de habitaciones estndar, y=n de habitaciones Premium, z= n de habitaciones luxe.

    B + + C = 65 = 350 = 100 + 150C 50 = 100 + 150C :4 = 2 + 3C EmJ3 = 2 + 3C = 3C + + C = 65 EmJ3 + + C = 654 + C = 65 Jml4 3C + C = 6513C = 65C = 5 = 3 5 = 15 = 3 15 = 45

    77. (Castilla la Mancha, junio 2012) Sabemos que 2 kg de manzanas y 1 kg de peras cuestan 55 . Adems, 1 kg de manzanas y 3 kg. de patatas cuestan 44 . Por ltimo, 2 kg de cada artculo cuestan 86 . Halla el precio de cada artculo. Incgnitas: x=precio por kilo de manzanas, y=precio por kg de peras, z=precio por kg de patatas.

    7 2 + = 55 + 3C = 442 + 2 + 2C = 86 Resolvemos por el mtodo de Gauss:

    7 2 + = 55 + 3C = 442 + 2 + 2C = 86 )ooopo 72 + = 55 + 6C = 33 + 2C = 31 op8o B

    2 + = 55 + 6C = 338C = 64 C = 648 = 08 + 6 08 = 33 = 48 33 = 15 2 + 15 = 55 = 55 152 = 2

  • 78. (Asturias 2002) En un centro hay dos equipos de ftbol A y B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo nmero. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en este un nmero que es el cuadrado de los de aquel. Cuntos deportistas hay en cada equipo? Y 3 = Z + 3%Z 7&) = Y + 7 Por sustitucin, despejando A en la primera y sustituyendo en la segunda: Y = Z + 6%Z 7&) = Z + 6 + 7Z) 14Z + 49 = Z + 13Z) 15Z + 36 = 0

    Z = 15 225 1442 = 15 92 = AB6 =15 + 92 = 12Y6 = 12 + 6 = 18B) = 15 92 = 3Y) = 3 + 6 = 9

    Hay dos soluciones vlidas: 18 en el equipo A y 12 en el equipo B, o 9 en el equipo A y 3 en el equipo B

    79. (Asturias 2011) Una nave est iluminada por veinte lmparas de dos modelos: un modelo tiene cinco bombillas y el otro tiene tres bombillas. Si encendemos todas las lmparas a la vez hay ochenta y seis bombillas encendidas.

    a. Cuntas lmparas hay del modelo de 5 bombillas? b. Cuntas lmparas hay del modelo de 3 bombillas?

    Incgnitas: x=n de lmparas de 5 bombillas, y=n de lmparas de 3 bombillas + = 205 + 3 = 86 Q) 5Q6: 2 = 14 = 7 + 7 = 20 = 13 V

    Solucin: Hay 13 lmparas de cinco bombillas y 7 lmparas de 3 bombillas

    80. (Baleares 2009) Una convocatoria de pruebas de acceso a ciclos formativos examina a 210 alumnos; el nmero de alumnos de Mallorca es el doble que el de Menorca y la mitad que el de Ibiza. Calcula cuntos alumnos hay de cada isla.

    Incgnitas: x,y,z=n de alumnos de Mallorca, Menorca e Ibiza, respectivamente.

    = C2 C = 2 B + + C = 210 = 2C = 2

    Sustitucin: C = 2 Em)J C = 2 2 = 4 + + C = 210 Em)Jlm0J2 + + 4 = 2107 = 210 = 30

    = 2 30 = 60 = 2 60 = 120

    Solucin: 60 de Mallorca, 30 de Menorca y 120 de Ibiza.

  • 81. (Baleares 2009) La suma de las edades de Juan y su padre es 40 aos. La edad del padre es 7 veces la del hijo Qu edad tiene cada uno? Incgnitas: x=edad de Juan, y=edad de su hijo. + = 40 = 7 Sustitucin: 7 + = 408 = 40 = 5; = 7 5 = 35

    La edad de Juan es 35 y la del hijo 5

    82. (Baleares mayo 2011) Los televisores de plasma de una tienda de electrodomsticos cuestan 1200 . Se han vendido 60 televisores en rebajas, unos en enero, rebajados el 20% y el resto en febrero con un descuento del 25%, recaudando en total 56.400.

    a. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular a cuantos televisores se les ha aplicado cada descuento.

    b. Resuelve el sistema de ecuaciones planteado en el anterior apartado.

    Incgnitas: x=televisores vendidos en enero, y=televisores vendidos en febrero.

    Los de enero se han vendido con descuento del 20%, por lo que su precio ha sido: 120008=960

    Los de febrero se han vendido con descuento del 25%, por lo que su precio ha sido: 1200075=900

    + = 60960 + 900 = 56400 La segunda ecuacin se puede simplificar dividindola entre 30: 32 + 30 = 1880

    + = 6032 + 30 = 1880 Q) 30Q6: 2 = 80 = 40 40 + = 60 = 20

    Solucin: 40 en enero y 20 en febrero.

    83. (Baleares septiembre 2010) Un triatln consta de una prueba de natacin, una carrera a pie y un recorrido en bicicleta. El recorrido de la carrera a pie es 8 veces ms grande que el que se hace nadando. En bicicleta se hacen 4 km ms que el triple de la distancia que se hace a pie. El recorrido total es de 45 km y 250 m.

    a. Plantea una ecuacin que represente la situacin descrita. b. Qu distancia corresponde a cada disciplina?

    Incgnitas: x=km recorridos nadando, y= km recorridos a pie, z= km recorridos en bicicleta.

    7 = 8C = 3 + 4 + + C = 4525 C = 3 + 4 Jm3E C = 24 + 4

    + + C = 4525 Jm3E)0E80 + 8 + 24 + 4 = 452533 = 4125 = 125

  • = 8 125 = 10 C = 3 10 + 4 = 34

    Solucin: 125 km nadando, 10 km a pie y 34 km en bicicleta.

    84. (Baleares septiembre 2011) Un seor ha acertado cuatro nmeros en la Bonoloto. Uno de los nmeros era el 13. Ha propuesto a su hijo que si adivinaba los otros tres nmeros que haba acertado, le regalara el premio. Le dice: La suma del primero y el segundo ms 3 es igual al tercero; el tercero ms el doble del primero es igual a 8 ms el triple del segundo, y la suma de los tres nmeros es 73

    a. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar los tres nmeros que acert. b. Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior

    Incgnitas: x,y,z= el primero, le segundo y el tercer nmero, respectivamente.

    B + + 3 = CC + 2 = 8 + 3 + + C = 73 Resolvemos por el mtodo de Gauss, pero previamente hay que poner las ecuaciones en forma

    ordenada:

    B + C = 32 3 + C = 8 + + C = 73 o)oopo B + C = 35 + 3C = 142C = 76

    2C = 76C = 38 5 + 3 38 = 14 = 20 + 20 38 = 3 = 15

    Solucin: Los tres nmeros que faltan son:, 15, 20 y 38.

    85. Resuelve la siguiente ecuacin y comprueba los resultados: zr r8qrs = t 6% 3& % + 2& = 7% 3& 6 18 ) 2 = 7) 218) 25 + 18 = 0 = 25 625 57616 = 25 716 = A6 =

    3216 = 2) = 1816 = 98

    Comprobacin: 6 = 2: zq q8qqs = t s yu = t s + y = t (S es vlida) Comprobacin: ) =

  • B + + C = 95 = 210 + 20 + 50C = 2000 La tercera ecuacin podemos dividirla entre 10 para simplificar: 10 + 20 + 50C = 2000 + 2 + 5C = 200 Resolvemos por sustitucin: + + C = 95 Em)J3 + C = 95 + 2 + 5C = 200 Em)J4 + 5C = 200 Queda un sistema de 2 ecuaciones, lo resolvemos por reduccin: Q) 5Q6: 11 = 275 = 25 3 25 + C = 95C = 20 = 2 25 = 50

    Solucin: Hay 50 billetes de 10, 25 billetes de 20 y 20 billetes de 50

    87. (Canarias 2009) Resuelve la siguiente ecuacin: %r8q&q| rqy = %r8s&%rq&q + u En primer lugar quitamos los denominadores, multiplicando por el mcm que es 8: % + 2&) 2) = 4% + 3&% 2& + 8 En segundo lugar desarrollamos para quitar los parntesis: ) + 2 + 4 2) = 4) 8 + 12 24 + 8 5) 20 = 0 ) = 205 ) = 4 = 2

    88. (Canarias 2009) Resuelve la siguiente ecuacin: qr = v log%2E& = log 5 log 2 = WS5 log 2 = log 5 = log 5log 2 = 232

    89. (Canarias 2009) Factoriza el siguiente polinomio. ry + rs rq + uur y Por Ruffini, los posibles candidatos son: 1,2 4 1 1 -9 11 -4

    1 1 2 -7 4

    1 2 -7 4 0

    1 1 3 -4

    1 3 -4 0

    k k) 4V+2V = 3 9 + 162 = 3 52 = A3 52 = 82 = 43 + 52 = 22 = 1

    Factorizacin: O%& = % 1& % + 4&

    90. (Canarias 2009) Expresa como un nico radical: qs qy 2p 2 = 26 260 = 26860 = 2 =6) = 2=

  • 91. (Canarias 2011) Obtn el cociente y el resto de la divisin del polinomio %r& = vry + szrs +yrq qsr qu Entre %r& = r + t Por divisin normal: 50 + 36 + 4) 23 21 + 7 50 35 5 + ) 3 2 + 4) 23 21 7) 3) 23 21 3) + 21 2 21 2 + 14 7

    Cociente: 5 + ) 3 2 Resto: -7

    Otra forma de hacerlo, por el mtodo de Ruffini: 5 36 4 -23 -21

    -7 -35 -7 21 14

    5 1 -3 -2 -7

    Cociente: 5 + ) 3 2 Resto: -7

    92. (Canarias 2011) Sean los polinomios: %r& = rs srq qr + u y %r& = rs + qrq r + s a. Calcula el valor numrico para r = s del polinomio %r& b. Halla s %r& q %r&

    a) O%3& = 3 3 3) 2 3 + 1 = 27 27 6 + 1 = 5

    b) 3 O%& 2 %& = 3% 3) 2 + 1& 2% + 2) + 3& = 9) 6 + 3 2 4) + 2 6 = 13) 4 3

    93. (Canarias 2010) a. Factoriza el polinomio: %r& = rs rq |r + uq b. Halla las races del polinomio %r& = rs + qrq vr z c. Simplifica la expresin:

    rsrq|r8uqrs8qrqvrz

    a) Por Ruffini, los posibles candidatos son: 1,2,3,4,6 12 1 -1 -8 12

    2 2 2 -12

    1 1 -6 0

    2 2 6

    1 3 0

  • Factorizacin: O%& = % 2&) % + 3& b) %& = + 2) 5 6

    Las races posibles son: 1,2,3, 6 1 2 -5 -6

    -1 -1 -1 6

    1 1 -6 0

    2 2 6

    1 3 0

    Races del polinomio: -1, 2 y -3

    c& EpE3E86)Ep8)EE5 = %E)&%E8&%E86&%E)&%E8& = E)E8694. (Canarias 2010) Resuelve la siguiente ecuacin:uzrv qr + u vr8uxv = sr zr8qq

    Quitamos los denominadores multiplicando toda la ecuacin por 10, que es el mcm: 2 16 10 2 + 10 1 2%5 + 10& = 10.3 5%6 + 2& 32 20 + 10 10 20 = 30 30 10 2 = 0 = 095. (Canarias 2010) Resuelve la siguiente ecuacin: qx + r + s = r + ut

    Antes de elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuacin, hay que despejar la raz dejndola

    sola en un miembro: + 3 = 3 } + 3~) = % 3&) + 3 = ) + 9 6 ) 7 + 6 = 0 = 7 49 242 = 7 52 = ]61

    De las dos soluciones la primera es vlida, ya que : 6 + 3 = 6 3 , pero la segunda no lo es, ya que: 1 + 3 1 3

    96. (Canarias 2010) Un grupo de 50 jubilados estn preparando un viaje a uno de estos destinos: Barcelona, Galicia o Mallorca. Para elegir el destino hacen una votacin; el nmero de los que prefieren Barcelona duplica al de los que prefieren Galicia y los que prefieren Mallorca constituyen la novena parte de la suma de los que prefieren los otros dos destinos. Halla el nmero de votos que tuvo cada destino.

    A + + C = 50 = 2C = + 9

    _`a`b 2 + + C = 50 Em)J 3 + C = 50 = 2C = + 9 Em)J C = 2 + 9 = 39 = 3

  • 3 + C = 50 lmJ3 + 3 = 509 + = 15010 = 150 = 15 = 2 Jm6 = 2 15 = 30 C = 3 Jm6C = 153 = 5 Solucin: 30 personas prefieren Barcelona, 15 prefieren Galicia y 5 prefieren Mallorca.

    97. (Canarias 2011) Un supermercado vende garrafas de 3 y 6 litros de agua. En un da de mucho calor vende 1998 botellas que suponen 7659 litros de agua. Cuntas botellas de 3 y 6 litros se han vendido? Incgnitas: x=nmero de garrafas de 3 l, y= nmero de garrafas de 6 l + = 19983 + 6 = 7659 En primer lugar, como vemos que en la segunda ecuacin todos los coeficientes son mltiplos de

    3, la simplificamos, quedando: + 2 = 2553 + = 1998 + 2 = 2553 El sistema resultante lo resolvemos por reduccin: Q) Q6: = 555 + 555 = 1998 = 1443

    Solucin: 1443 botellas de 3 litros y 555 de 6 litros.

    98. (Canarias 2011) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incgnitas

    sr + qw + = uvr + sw + y = qr + w = u Q6Q)Q B

    3 + 2 + C = 15 + 3 + 4C = 2 + C = 1 Q63Q) 5Q63Q + Q6 B

    3 + 2 + C = 1 + 7C = 11 + 4C = 2 Q6Q)Q Q) B

    3 + 2 + C = 1 + 7C = 113C = 9

    3C = 9 C = 3 + 7 %3& = 11 21 = 11 = 11 21 = 10 3 + 2%10& + %3& = 1 3 20 3 = 1 3 = 24 = 8 99. (Cantabria 2011) Tres amigos acuden a pasar un da a un centro comercial en el que hay una

    sala de cine, un teatro y otra de conciertos. El primero asiste a una sesin de cine, otra de teatro y a un concierto y paga 12 euros. El segundo asiste a dos sesiones de cine, una de teatro y a un concierto, pagando 16 euros. Por ltimo, el tercero asiste a una sesin de cine, tres de teatro y a dos conciertos, pagando en total 23 euros. Cul es el precio de entrada al cine, al teatro y al concierto? Resuelve el sistema por el mtodo de Gauss. Incgnitas: x= precio del cine, y=precio de teatro, z=precio del concierto.

    B + + C = 122 + + C = 16 + 3 + 2C = 23 Q6Q)Q B + + C = 122 + + C = 16 + 3 + 2C = 23

    Q6Q) 2Q6Q Q6 B + + C = 12 C = 82 + C = 11

    Q6Q)Q + 2Q) B + + C = 12 C = 8C = 5

    C = 5 C = 5 5 = 8 = 3 + 3 + 5 = 12 = 4

  • Solucin: 4 euros el cine, 3 euros el teatro y 5 euros el concierto.

    100. (Castilla len septiembre 2010) En una empresa trabajan 160 personas y todas ellas deben someterse a un reconocimiento mdico en el plazo de tres das. El primer da lo hacen la tercera parte de los que lo hacen durante los otros dos das. El segundo da y el tercero lo hacen el mismo nmero de personas. Calcule el nmero de trabajadores que acuden al reconocimiento cada da.

    Incgnitas: x, y, z = nmero de personas que se someten a reconocimiento el primero, el

    segundo y el tercer da respectivamente.

    A + + C = 160 = + C3 = C Sustitucin: + C + C = 160 + 2C = 160 = C + C3 = 2C3 2C3 + 2C = 1602C + 6C = 4808C = 480C = 60 = 2 603 = 40 = 60

    Solucin: 40 personas el primer da, 60 personas el segundo da y 60 personas el tercer da.

    101. (Rioja junio 2010) Resuelve las siguientes ecuaciones: a.

    rs ruq = rusy b. %r y&%qr + s& = z

    . s uq = usy mcm=12mcm=12mcm=12mcm=12 4 6% 1& = 3% 13&4 6 + 6 = 3 39 5 = 45 = 9

    .%r y&%qr + s& = z 2) + 3 8 12 = 6

    2) 5 18 = 0 = 5 25 + 1444 = 5 134 = A 6 =

    184 = 92) = 84 = 2

    102. (Rioja junio 2010) Tres sastres compran un lote de piezas iguales, que valen 770 euros. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 5 piezas y el tercero con 7.

    a. cunto ha de pagar cada uno? b. Si les hacen un descuento del 10% por pronto pago y tienen que pagar el IVA del

    16%, cul sera el total de la factura antes de repartirse las piezas?

  • a) E) = J = l= = ==460 B = 110 = 275C = 385 b& 665644