Ejercicios de formulacion de problemas

Programacion MatematicaLADE

Curso 07/08 - 12/3/08

1. Una companıa petrolera produce un tipo de gasolina a partir de petroleo. Puede comprarcuatro tipos de petroleo y dispone de los siguientes datos:

Crudo A B C Precio/litro1 0.8 0.1 0.1 432 0.3 0.3 0.4 313 0.7 0.1 0.2 474 0.4 0.5 0.1 37

A, B y C denotan los elementos a partir de los cuales se puede producir cada tipo de crudo.La tabla muestra los porcentajes de cada elemento en cada crudo producido.

Las exigencias del mercado imponen que el crudo de base para la obtencion de gasolinadebe tener al menos el 60 % del elemento A y no mas del 30 % de C.

Obten el crudo base mezclando de los cuatro tipos de forma tal que el coste sea mınimo.

Solucion. Las variables del problema se escogen como las cantidades xi de cada tipo depetroleo que la companıa desea adquirir y que definiran el crudo base para la produccionde gasolina. Dichas cantidades se miden en tantos por uno (por ejemplo).

La funcion objetivo sera el coste (por unidad) de la mezcla a utilizar, y las restriccionesseran las condiciones sobre la composicion de la mezcla respecto de los componentes A yC (que en la formulacion mas abajo se presenta medida en tanto por ciento). Por ultimo,nos hace falta indicar que al estar las variables medidas como tantos por uno, deben sumaruno.

El problema resultante tiene la forma:

minimizar 43x1 + 31x2 + 47x3 + 37x4

sujeto a 80x1 + 30x2 + 70x3 + 40x4 ≥ 6010x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 30x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

2. Una companıa de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras yde 5 camiones con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste detransporte de 30 centimos/milla, y los pequenos de 25 centimos/milla. En una semana lacompanıa debe transportar 400000 libras en un recorrido de 800 millas. La posibilidad deotros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequenos mantenidos en reservadebe quedarse por lo menos uno de los grandes.

¿Cual es el numero de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transportede forma optima y teniendo en cuenta las restricciones?

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Solucion. Las variables en este caso corresponden a los numeros de camiones a emplearde cada tipo, x1 y x2.

La funcion objetivo es el coste total de los camiones asignados, multiplicando el coste porrecorrido (coste por milla multiplicado por las 800 millas) por las variables.

Las restricciones vienen dadas por los numeros maximos de camiones disponibles de cadatipo, la necesidad de transportar una carga y los numeros de camiones mantenidos enreserva.

El modelo resultante es

minimizar 30× 800x1 + 25× 800x2

sujeto a x1 ≤ 10x2 ≤ 540000x1 + 30000x2 ≥ 4000002(10− x1) ≥ 5− x2

x1, x2 ≥ 0 , enteras.

3. Se pide que formules el siguiente problema de programacion lineal: Tienes 2200 eurosdisponibles para invertirlos durante los proximos cinco anos. Al inicio de cada ano puedesinvertir parte del dinero en depositos a un ano o a dos anos. Los depositos a un ano paganun interes del 5 %, mientras que los depositos a dos anos pagan un 11 % al final de los dosanos. Ademas, al inicio del segundo ano es posible invertir dinero en obligaciones a tresanos de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea el problemalineal correspondiente a conseguir que al cabo de los cinco anos tu capital sea lo mayorposible.

Solucion. Para plantear el problema seleccionamos como variables las cantidades a invertiren cada activo (depositos u obligaciones), xti, donde t indica el ano al que corresponde lainversion e i denota el vencimiento de la inversion. Tendremos un total de 10 variables,x11, x12, x21, x22, x23, x31, . . . , x51.

Para facilitar la formulacion, anadiremos tambien variables xt0, que denoten la posiblecantidad de dinero no invertida al inicio de cada ano, aunque estas variables no son estric-tamente necesarias.

La funcion objetivo a minimizar sera el capital total disponible al final del quinto ano, oal comienzo del sexto, que podemos denotar por x60 para simplificar el planteamiento.

mın x60.

Las restricciones del problema seran:

Las cantidades disponibles para invertir al inicio de cada periodo (resultado de lasinversiones realizadas en periodos anteriores) deben ser iguales a las inversiones en elperiodo (incluyendo el posible dinero no invertido):

2200 = x10 + x11 + x21

x10 + 1, 05x11 = x20 + x21 + x22 + x23

x20 + 1, 05x21 + 1, 11x12 = x30 + x31 + x32

x30 + 1, 05x31 + 1, 11x22 = x40 + x41 + x42

x40 + 1, 05x41 + 1, 11x32 + 1, 17x23 = x50 + x51

x50 + 1, 05x51 + 1, 11x42 = x60

En las expresiones anteriores, los lados izquierdos son las cantidades de dinero dispo-nibles, y los lados derechos las inversiones al comienzo de cada ano.

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No negatividad de las inversiones:

xti ≥ 0.

En la formulacion anterior se podrıan haber eliminado las variables xt0, que no son masque variables de holgura asociadas a restricciones de desigualdad.

4. Plantea el siguiente problema entero:

Una empresa fabrica un determinado producto en m centros diferentes, para satisfacer lademanda de n clientes. La demanda de cada cliente es Dj . Si una de las fabricas esta fun-cionando, eso supone un coste fijo de Ki y un coste por unidad fabricada de hi; en estecaso, debe producir al menos Mi > 0 unidades de producto. El coste por unidad de enviaruna unidad del producto de la fabrica i al cliente j es gij .

Cada fabrica pertenece a una de k regiones. En cada region deben tenerse al menos lkfabricas abiertas.

Solucion. Las variables del problema seran las cantidades fabricadas del producto en cadauna de las fabricas para satisfacer la demanda de cada cliente, xij . Ademas, necesitaremosvariables auxiliares que nos indiquen si cada una de las fabricas esta abierta o no. Sea zi

una variable 0− 1, que toma el valor cero si la fabrica no esta produciendo, y el valor unosi produce algo.

La funcion objetivo del problema correspondera a la minimizacion de los costes de pro-duccion, dados por ∑

i,j

gijxij +∑

i

hi

∑j

xij +∑

i

Kizi.

Para introducir las restricciones debemos empezar por definir unos conjuntos auxiliares.A los ındices i ∈ {1, . . . ,m} correspondientes a las fabricas pertenecientes a la regionk los agruparemos en el conjunto Ck. Las restricciones corresponderan a las siguientescondiciones sobre la solucion:

Satisfaccion de la demanda: ∑i

xij ≥ Dj j = 1, . . . , n.

Produccion mınima en cada fabrica:∑j

xij ≥Mizi i = 1, . . . ,m.

Numero mınimo de fabricas abiertas en cada region:∑i∈Ck

zi ≥ lk ∀k.

Relaciones entre xij y zi: ∑j

xij ≤ Nzi i = 1, ...,m,

donde N es una constante suficientemente grande, por ejemplo N =∑

j Dj .

No negatividad:xij ≥ 0, zi ∈ {0, 1} .

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Estas restricciones completan la formulacion del problema.

5. Tu empresa suministra laminas de acero que obtiene del corte de dichas laminas a partirde bobinas de acero de 200 cm de ancho y de 20 m de largo. La demanda en metros de losdiferentes anchos que fabrica la empresa es la siguiente:

Ancho (cm) 30 35 50 70Demanda (m) 1500 1000 3000 1000

El equipo de corte de que se dispone se puede ajustar para realizar uno de cuatro tiposde cortes en una bobina. cada bobina solo puede cortarse de una manera. Dichos tipos decortes generan los anchos que se indican en la tabla siguiente:

A 35 35 50 70B 30 30 70 70C 50 50 50 50D 30 30 50 70

Como resultado de los cortes se desaprovechan partes del material en las bobinas. Enparticular, existen dos tipos de material no aprovechado: material de los laterales de lasbobinas (en los cortes de tipo A y D) y material del final de la bobina. El coste del materialdesaprovechado es de 1.5 euros por cm de ancho y metro de largo para el correspondienteal final de la bobina y de 1 euro por cm de ancho y metro de largo para el correspondientea un lateral.

Se pide que plantees un problema de optimizacion para determinar el numero de bobinasa cortar con cada tipo de corte de manera que se satisfaga la demanda con coste mınimo.

Solucion. Escogeremos como variables los numeros de bobinas sobre los que realizar cadauno de los tipos de cortes, que denotaremos como xA, xB, xC y xD respectivamente.

La funcion objetivo correspondera al coste del material no utilizado. Para plantearla intro-duciremos variables adicionales que midan la longitud de material que queda sin utilizarde cada uno de los anchos, que denotaremos como s30, s35, s50 y s70. La funcion objetivotendra la forma

mın 1,5(30s30 + 35s35 + 50s50 + 70s70) + (200xA + 400xD)

Las restricciones corresponderan a la satisfaccion de la demanda, de manera que la pro-duccion exceda o iguale a dicha demanda. Para tener en cuenta los sobrantes de material,introducimos las variables si, y convertimos las restricciones en restricciones de igualdad(el exceso sobre la demanda son los sobrantes).

El problema resultante tendra la forma siguiente:

minimizar 1,5(30s30 + 35s35 + 50s50 + 70s70)+ (200xA + 400xD)

sujeto a 40xB + 40xD − s30 = 150040xA − s35 = 100020xA + 80xC + 20xD − s50 = 300020xA + 40xB + 20xD − s70 = 1000xi, sj ≥ 0xi enteras.

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