Jenis Bunga danPemajemukanKontinyuPresented By: Anggriani Profita, S.T., M.T.PendahuluanTingkat bunga efektif akan meningkat bila frekuensi pemajemukan per tahun bertambah.Transaksi moneter pada kenyataannya mungkin berlangsung setiap jam atau setiap saat, maka pemajemukan sebenarnya berlangsung dalam jumlah yang banyak sekali dalam setahun.Apabila kita ingin menghitung secara eksplisit efek pemajemukan yang seperti ini, maka kita harus menggunakan hubungan pemajemukan kontinyu.Pemajemukan KontinyuPemajemukan kontinyu berarti dalam setahun banyaknya periode pembungaan (periode pemajemukan) adalah tak terhingga. Secara matematis, tingkat bunga efektif dari pemajemukan kontinyu adalah:

Pemajemukan KontinyuSecara definitif dapat ditulis sebagai:

Dengan e adalah bilangan netral yang nilainya = 2,71828. Dengan demikian, dengan substitusi dapat diperoleh persamaan berikut ini:

Pemajemukan KontinyuJadi, bila bunga uang dimajemukkan secara kontinyu maka tingkat bunga efektifnya adalah er 1 dimana r adalah tingkat bunga nominal.Misalkan tingkat bunga 18% per tahun dimajemukkan secara kontinyu, maka tingkat bunga efektifnya adalah 19,7217%.Tingkat bunga efektif untuk frekuensi pemajemukan yang lebih dari 52 akan menunjukkan selisih yang sangat kecil dengan yang dimajemukkan secara kontinyu.Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretApabila bunga dimajemukkan secara kontinyu dan aliran kas terjadi secara diskret (pada awal atau akhir tiap periode), maka tingkat bunga pemajemukan kontinyu dikonversi menjadi tingkat bunga efektif (tahunan) melalui persamaan i eff = er 1. Dari sini, faktor-faktor bunga yang menghubungkan P, F, dan A akan bisa diturunkan.Dengan mensubstitusikan persamaan i eff = er 1 ke persamaan F = P(1 + i)N, maka diperoleh persamaan:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretPersamaan tersebut akan bisa digunakan untuk mengubah nilai P ke F bila besarnya P, r, dan N diketahui dan dibungakan secara kontinyu. Dengan demikian, maka persamaan dapat pula ditulis menjadi:

Dari hubungan di atas, kita juga bisa mendapatkan nilai P bila F, r, dan N diketahui dan dibungakan secara kontinyu. Persamaannya diperoleh dengan membalikkan hubungan P dan F, atau:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretPersamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

Selain itu, berlaku pula hubungan:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretUntuk mendapatkan hubungan dengan pembayaran uniform (A), melalui substitusi akan diperoleh persamaan berikut:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretUntuk mendapatkan nilai A apabila F, r%, dan N diketahui dapat diperoleh melalui penurunan rumus berikut:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretDengan cara serupa, maka hubungan antara P dan A dapat diperoleh melalui penurunan rumus berikut ini:

Pemajemukan Kontinyu untukAliran Kas DiskretUntuk mendapatkan nilai A dari P, bila P, r%, dan N diketahui dapat diperoleh melalui penurunan rumus berikut:

Ringkasan Hubungan Faktor-faktor Bunga KontinyuUntuk MendapatkanDiketahuiSimbolRumusPF(P/F,r%,N)FP(F/P,r%,N)PA(P/A,i%,N)AP(A/P,i%,N)FA(F/A,i%,N)AF(A/F,i%,N)

Contoh Soal 1Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun dengan jumlah Rp 60.000 per tahun selama 10 tahun. Bila tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan secara kontinyu, hitunglah:Tingkat bunga efektifNilai sekarang (P) dari semua tabungannyaPenyelesaianTingkat bunga efektif adalah

PenyelesaianUntuk mendapatkan nilai P, maka faktor (P/A,10,52%,10) harus dihitung terlebih dahulu

Kemudian dapat dhitung P sebagai berikut:

PenyelesaianDi samping itu, nilai P juga bisa diperoleh dengan menghitung langsung faktor (P/A,10%,10) dengan rumus:

Contoh Soal 2Sebuah kelompok arisan berbunga mengharuskan anggotanya membayar sejumlah Rp 100.000 tiap tahun selama 5 tahun pertama dan Rp 200.000 dalam 5 tahun berikutnya. Bila seorang anggota baru memperoleh giliran pengambilan pada saat dia membayar yang ke-10 kalinya, berapakah seharusnya dia mendapatkan bagian bila dihitung dengan dasar bunga kontinyu sebesar 10% per tahun? Pembayaran dilakukan setiap akhir tahun.PenyelesaianPersoalan ini dapat digambarkan dalam diagram aliran kas berikut ini:

Latihan SoalBerapa tingkat bunga efektif bila tingkat bunga nominal per tahun adalah 11% dan dimajemukkan setiap 3 bulan?Anda ditawari sepeda motor dengan 2 cara pembayaran yang bernilai ekuivalen. Pertama adalah membayar kontan dengan jumlah Rp 3,75 juta. Cara kedua adalah dengan membayar uang muka Rp 1 juta dan mengangsur sisanya selama 18 bulan sebesar Rp 200 ribu per bulan. Berapakah tingkat bunga efektif per tahun bila bunga dimajemukkan setiap bulan?

Latihan SoalSeorang kreditur sedang mempertimbangkan 2 alternatif institusi keuangan sebagai calon debiturnya. Yang pertama adalah bank pemerintah yang menawarkan bunga 1% per bulan dan kedua adalah perusahaan jasa keuangan yang menawarkan tingkat bunga nominal 13% per tahun yang dimajemukkan setiap 6 bulan. Mana yang seharusnya dipilih sebagai debitur?Bila tingkat bunga nominal tahunan adalah 12%, berapa lama tabungan yang jumlahnya Rp 1 juta yang dimajemukkan tiap 4 bulan akan berubah menjadi Rp 2 juta?