EKSISTENSI MATRIKS PENGGANDA DAN

DEKOMPOSISI MATRIKS PENGGANDA PYATT DAN ROUND DARI SISTEM NERACA SOSIAL EKONOMI∗∗∗∗

Djoni Hartono Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi

Budy P. Resosudarmo

Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi dan

Pasca Sarjana Ekonomi – Universitas Indonesia

Abstracts In the last three decades, Social Accounting Matrix (SAM) has become a very

important data set and analytical tool to analyze the impact of economic policies on income distribution in various countries, particularly in the developing ones.

As an analytical tool, SAM provides a way to calculate the total and decompositional impact of an economic policy on income distribution. Particularly, through the multiplier matrix and its Pyatt and Round decomposition derived from a SAM, one is able to observe the impact of an economic policy on income distribution. Since the multiplier and its Pyatt and Round decomposition matrices are important for income distribution analysis, there is a need to show that from any SAM one should be able to find the multiplier matrix and Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix.

This paper proves that for any SAM there exists a multiplier matrix and a Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix.

∗ Dipublikasikan di Majalah Ekonomi dan Keuangan Indonesia sebagai: Hartono, D. and B.P. Resosudarmo. 1998. “Eksistansi Matriks Pengganda dan Pyatt dan Round Dekomposisi dari Sebuah Sistem Neraca Sosial Ekonomi (Existence of the Multiplier Matrix and the Pyatt and Round Decomposition Matrix for a Social Accounting Matrix).” Ekonomi dan Keuangan Indonesia, 46(4): 473-496.

1. Pendahuluan

Masalah kemiskinan dan pemerataan distribusi pendapatan merupakan

masalah yang teramat penting dalam pembangunan ekonomi di berbagai

negara, khususnya di negara-negara yang sedang berkembang. Sejak tiga dasa

warsa yang lalu berbagai analisa ekonomi dilakukan untuk mengamati apakah

sebuah kebijakan ekonomi dapat mengurangi kemiskinan dan membuat

distribusi pendapatan semakin merata di suatu negara. Social Accounting

Matrix (SAM) atau Sistem Neraca Sosial Ekonomi (SNSE) merupakan salah

satu sistem pendataan dan juga alat analisa penting yang dikembangkan untuk

memantau dan menganalisa berbagai masalah kemiskinan dan distribusi

pendapatan di berbagai negara.

SNSE adalah sebuah neraca ekonomi masukan ganda tradisional

berbentuk matriks partisi1 yang mencatat segala transaksi ekonomi antara agen,

terutama sekali antara sektor-sektor di dalam blok produksi, sektor-sektor di

dalam blok institusi (termasuk di dalamnya rumah tangga), dan sektor-sektor di

dalam blok faktor produksi, di suatu perekonomian.

SNSE merupakan suatu sistem pendataan yang baik karena (1) SNSE

merangkum seluruh kegiatan transaksi ekonomi yang terjadi di suatu

perekonomian untuk sebuah kurun waktu tertentu, dengan demikian SNSE

dapat dengan mudah memberikan gambaran umum mengenai perekonomian

suatu wilayah; (2) SNSE memotret struktur sosial-ekonomi di suatu

perekonomian, dengan demikian SNSE dapat memberikan gambaran tentang

kemiskinan dan distribusi pendapatan di perekonomian tersebut.

SNSE juga merupakan alat analisa yang penting karena (1) analisa dengan

menggunakan SNSE dapat menunjukkan dengan baik dampak dari

suatu kebijakan ekonomi terhadap pendapatan masyarakat, dengan demikian

dapat diketahui dampak dari suatu kebijakan ekonomi terhadap masalah

kemiskinan dan distribusi pendapatan; (2) analisa dengan SNSE relatif

1 Definisi matriks partisi dapat dilihat dalam Searle, S. R. 1982 : Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley

and Sons. New York.

sederhana, dengan demikian penerapannya dapat dilakukan dengan mudah di

berbagai negara2.

Dalam melakukan analisa menggunakan SNSE, perhitungan matriks

pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu SNSE merupakan

suatu teknik/langkah penting. Dengan mendapatkan matriks pengganda dari

suatu SNSE dapat dilihat dampak dari suatu kebijakan terhadap berbagai sektor

di dalam suatu perekonomian, termasuk di dalamnya dampak sebuah kebijakan

terhadap pendapatan masyarakat. Dekomposisi matriks pengganda suatu

SNSE dilakukan untuk memperjelas proses penggandaan dalam suatu

perekonomian; dengan kata lain dekomposisi matriks pengganda dapat

menunjukkan tahapan dampak yang terjadi akibat penerapan sebuah kebijakan

terhadap berbagai sektor di suatu perekonomian. Dari beberapa macam

dekomposisi matriks pengganda, dekomposisi matriks pengganda yang

dikembangkan oleh Pyatt dan Round (1979)3 yang relatif banyak digunakan.

Pada dekomposisi matriks pengganda ini, Pyatt dan Round memecah matriks

pengganda menjadi tiga buah matriks dekomposisi yang disebut matriks

pengganda transfer, matriks pengganda open loop, dan matriks pengganda

closed loop. Secara umum matriks pengganda transfer menunjukkan dampak

langsung aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam blok yang

sama. Matriks pengganda open loop menunjukkan dampak aktivitas sebuah

sektor terhadap sektor-sektor di blok lainnya. Sedangkan matriks closed loop

menunjukkan dampak aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam

blok yang sama setelah terlebih dahulu mempengaruhi sektor-sektor di blok

lain.

Pentingnya matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari

suatu SNSE menuntut kepastian bahwa dari setiap SNSE selalu dapat

diturunkan sebuah matriks pengganda dan beberapa matriks yang merupakan

dekomposisi matriks pengganda. Dengan demikian terjamin bahwa untuk

2 Sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup perekonomian yang lebih kecil dari negara, misalnya untuk

tingkat provinsi, kabupaten, dan bahkan kota. Sebaliknya, sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup yang lebih besar dari negara, misalnya tingkat continental atau bahkan sebuah SNSE dunia.

3 Dekomposisi matriks pengganda diperkenalkan oleh Pyatt dan Round, 1979 : Accounting and Fixed Price Multipliers in a Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850-873.

setiap SNSE, tidak peduli untuk wilayah perekonomian mana, dapat dilakukan

analisa matriks pengganda dan dekomposisinya untuk melihat dampak sebuah

kebijakan ekonomi terhadap aktivitas perekonomian di wilayah tersebut.

Tulisan ini bermaksud membuktikan bahwa dari setiap SNSE akan selalu

dapat diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks

pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini akan membuktikan

eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu

SNSE.

2. Teknik Analisa SNSE

Dalam bagian ini akan diperlihatkan bagaimana SNSE dituliskan dalam

bentuk matriks partisi, yang selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana matriks

pengganda diturunkan dari kerangka SNSE dan bentuk dekomposisi matriks

pengganda Pyatt dan Round.

Kerangka Dasar SNSE

SNSE merupakan sebuah matriks yang merangkum neraca sosial dan ekonomi

secara menyeluruh. Neraca-neraca (account) tersebut dikelompokkan menjadi

dua kelompok, yakni kelompok neraca-neraca endogen dan kelompok neraca-

neraca eksogen. Secara garis besar kelompok neraca-neraca endogen dibagi

dalam tiga blok: blok neraca faktor produksi, blok neraca institusi dan blok

neraca aktivitas (kegiatan) produksi. Untuk menyingkat penulisan, ketiga blok

tersebut selanjutnya akan disebut sebagai blok faktor poduksi, blok institusi

dan blok kegiatan produksi. Secara sederhana kerangka dasar SNSE diberikan

di bawah ini.

Gambar 2.1 Kerangka Dasar SNSE

P E N G E L U A R A N

Neraca Endogen Neraca Eksogen

Faktor

Produksi Institusi Kegiatan

Produksi TOTAL

P E

Faktor Produksi

0

0

T13

T14

y1

N E R

Neraca Endogen

Institusi

T21

T22

0

T24

y2

I M A

Kegiatan Produksi

0

T32

T33

T34

y3

A N

Neraca Eksogen

T41

T42

T43

T44

y4

TOTAL

y’1 y’2 y’3 y’4

Sumber: BPS (1993)

Kerangka dasar pembentukan SNSE ini adalah berbentuk matriks partisi

yang berukuran 4 x 4. Baris menunjukkan penerimaan, sedangkan kolom

menunjukkan pengeluaran. Pada gambar 1, submatriks Tij digunakan untuk

menunjukkan penerimaan neraca baris ke-i dari neraca kolom ke-j. Vektor yi

menunjukkan total penerimaan neraca baris ke-i, sebaliknya vektor y′′′′j

menunjukkan total pengeluaran neraca kolom ke-j. Sesuai dengan ketentuan

pada SNSE, vektor yi sama dengan vektor y′′′′j, dengan kata lain y′′′′j merupakan

transpose dari yi, untuk setiap i = j. Untuk dapat dengan mudah mengerti

transaksi-transaksi ekonomi yang dicatat oleh sebuah SNSE, perhatikan

gambar 2.1.

Gambar 2.2 Transaksi Ekonomi Antara Agen di dalam Sebuah Perekonomian

Sumber: Thorbecke (1988)

Gambar 2.2 menunjukkan transaksi ekonomi utama yang tercatat di dalam

sebuah SNSE (tanda panah menunjukkan arus uang). Submatriks T13

menunjukkan alokasi nilai tambah yang dihasilkan oleh berbagai sektor

produksi ke faktor-faktor produksi, sebagai balas jasa dari penggunaan faktor-

faktor produksi tersebut. Misalnya upah dan gaji sebagai balas jasa bagi

penggunaan faktor produksi tenaga kerja. Submatriks T21 menunjukkan

alokasi pendapatan faktor produksi ke berbagai institusi, yang umumnya terdiri

dari rumah tangga, pemerintah, dan perusahaan. Dengan perkataan lain,

matriks ini merupakan matriks yang merekam distribusi pendapatan dari faktor

produksi ke berbagai institusi. Sebagai contoh, sebagian pekerja di sektor

pertanian merupakan anggota dari kelompok masyarakat petani pemilik tanah

kecil. Dengan demikian ada uang yang mengalir dari sektor pekerja tani ke

kelompok masyarakat pemilik tanah pertanian kecil. Submatriks T22

menunjukkan transfer pembayaran antar institusi, misalnya pemberian subsidi

dari pemerintah kepada rumah tangga, pemberian subsidi dari perusahaan

AktivitasProduksi

T33

Institusi(termasukdistrbusi

pendapatanrumah-tangga)

T22

T32 T13

T21

Faktor(distribusi

pendapatan darifaktor produksi)

kepada rumah tangga, atau pembayaran transfer dari rumah tangga ke rumah

tangga yang lain. Submatriks T32 menunjukkan permintaan terhadap barang

dan jasa oleh institusi, dengan kata lain menunjukkan uang yang dibayarkan

pihak institusi ke sektor produksi untuk membeli barang dan jasa yang

dikonsumsi. Submatriks T33 menunjukkan permintaan barang dan jasa antar

industri atau transaksi antar sektor produksi. Selain submatriks-submatriks

tersebut, SNSE juga mencatat submatriks transaksi ekonomi di sektor

perbankan dan transaksi ekonomi dengan pihak luar negeri.

Matriks Pengganda

Matriks Pengganda dalam kerangka SNSE begitu penting, karena matriks

tersebut dapat menangkap seluruh dampak dari perubahan suatu sektor

terhadap sektor lainnya di dalam ekonomi; dan juga digunakan untuk

menjelaskan dampak yang terjadi pada neraca endogen akibat perubahan

neraca eksogen. Berdasarkan Gambar 1. dapat dituliskan suatu matriks partisi

yang berbentuk 4x3 sebagai berikut :

Berdasarkan (1) dapat dituliskan kembali suatu matriks partisi yang juga berbentuk 4x3 :

di mana semua elemen pada setiap submatriks Aij diperoleh dengan

menghitung nilai kecenderungan pengeluaran rata-rata (average expenditure

propensity) yang dinyatakan dalam proporsi (perbandingan). Nilai ini

diperoleh dengan cara membagi masing-masing elemen dari setiap submatriks

(1)

434241

3332

2221

13

���

�

�

���

�

�

=

TTTTT00TT

T00

C

(2)

434241

3332

2221

13

���

�

�

���

�

�

=

AAAAA0

0AAA00

E

Tij dengan nilai total kolom. Dengan perkataan lain dapat dinyatakan sebagai

bentuk :

di mana

Aij adalah submatriks dari E pada baris ke-i, kolom ke-j.

Tij adalah submatriks dari C pada baris ke-i, kolom ke-j.

Yj-1 adalah matriks diagonal yang dibentuk dari nilai-nilai total kolom

yang terdapat pada vektor kolom ke-j.

Selanjutnya, untuk menurunkan matriks pengganda dari kerangka dasar

SNSE, maka perlu didefinisikan terlebih dahulu dua buah vektor sebagai

berikut :

1. mij adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari

submatriks Tij untuk i = 1, 2, 3, 4. dan j = 1, 2, 3.

2. xi adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari

submatriks Ti4 untuk i = 1, 2, 3, 4.

Sehingga berdasarkan kerangka dasar SNSE, diperoleh bentuk persamaan

sebagai berikut :

Selanjutnya, berdasarkan nilai-nilai pada submatriks Aij dan vektor yj

diperoleh persamaan sebagai berikut :

Berdasarkan bentuk (4) dan (5) diperoleh bentuk persamaan sebagai berikut :

(3) ˆ 1jijij−= YTA

(4)

44342414

333323

222212

1131

��

�

��

+++=++=++=+=

xmmmyxmmyxmmyxmy

(5) ijjij myA =

Bentuk (6) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut :

Dengan memperhatikan bentuk (7) di atas, setiap Aij untuk i,j = 1, 2, 3;

merupakan matriks semi positif4. Selanjutnya bentuk (7) dapat ditulis kembali

sebagai :

Dari bentuk (9) dapat dilihat bahwa nilai y4 dapat diperoleh apabila y1, y2 dan

y3 diketahui. Neraca xi untuk i = 1, 2, 3 dan 4 merupakan neraca eksogen

dalam kerangka SNSE. Selanjutnya bentuk (8) dapat ditulis dalam bentuk :

4 Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second

edition. Cambridge University Press. New York.

(6)

43432421414

33332323

22221212

13131

��

�

��

+++=++=++=+=

xyAyAyAyxyAyAyxyAyAyxyAy

(7)

4

3

2

1

3

2

1

434241

3332

2221

13

4

3

2

1

���

�

�

���

�

�

��

�

�

��

�

�

���

�

�

���

�

�

���

�

�

���

�

�

+=

xxxx

yyy

AAAAA0

0AAA00

yyyy

(9)

(8)

43432421414

3

2

1

3332

2221

13

dan

xyAyAyAy

xxx

yyy

AA00AA

A00

yyy

3

2

1

3

2

1

+++=

��

�

�

��

�

�+

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�

Di dalam penerapan SNSE, diperoleh kenyataan bahwa matriks A22, A33 dan A

adalah matriks segi5, sedangkan matriks A13, A21 dan A32 tidak selalu matriks

segi6. Jika matriks (I – A) diasumsikan matriks tak singular agar matriks (I –

A) memiliki invers, maka bentuk (10) dapat ditulis kembali sebagai bentuk

dengan Ma = (I – A)-1 yang disebut sebagai matriks pengganda (multiplier

matrix). Bentuk (11) menjelaskan bahwa pendapatan neraca endogen (blok

faktor produksi, blok institusi dan blok kegiatan produksi) akan berubah

sebesar Ma akibat perubahan 1 unit neraca eksogen dengan asumsi bahwa

variabel harga diperlakukan secara tetap dan elastisitas pendapatan

(pengeluaran) dianggap sama dengan satu.

Selanjutnya, matriks pengganda Ma di atas dapat diuraikan menjadi

pengganda transfer, pengganda open loop, pengganda closed loop. Untuk

tujuan penguraian matriks pengganda, Pyatt dan Round (1979) melakukan

dekomposisi terhadap matriks pengganda yang hasilnya adalah :

5 Definisi mengenai matriks segi dapat dilihat dalam Ayres, 1962: Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill,

Inc. New York. 6 Di dalam penerapan SNSE, banyaknya jenis institusi, banyaknya kegiatan produksi, dan banyaknya jenis faktor

produksi tidak harus selalu sama.

(11) a

)(

1

xMyxAIy

xAyy

=⇔−=⇔

+=−

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�=

+=

3

2

1

3332

2221

13

3

2

1

dan

dengan

,

(10)

xxx

x

AA00AA

A00A

yyy

y

xAyy

(12) a 1 2 3 MMMM =

dengan

M1 adalah pengganda transfer, yang menunjukkan pengaruh dari satu

blok pada dirinya sendiri.

A1 adalah matriks diagonal dari A

sehingga dalam bentuk matriks:

Dengan pengganda transfer ini dapat diketahui pengaruh injeksi pada

sebuah sektor terhadap sektor lain dalam satu blok yang sama, setelah melalui

keseluruhan sistem di dalam blok tersebut, sebelum berpengaruh terhadap blok

yang lain. Dalam memahami pengganda ini, kita seolah-olah berasumsi

bahwa injeksi pada suatu sektor hanya berpengaruh terhadap sektor-sektor lain

dalam satu blok yang sama, dan tidak terhadap sektor-sektor yang berada pada

blok yang lain.

M2 adalah pengganda open loop atau cross-effect, yang merupakan

pengaruh dari suatu blok ke blok yang lain. Injeksi pada salah

satu sektor dalam sebuah blok tertentu akan berpengaruh

terhadap sektor lain di blok yang lain setelah melalui keseluruhan

sistem dalam blok yang lain tersebut.

Dengan demikian pengganda open loop adalah :

(13) )( 111

−−= AIM

(14) 33

221��

�

�

��

�

�=

A000A0000

A

(15) )(

)(1

33

1221

��

�

�

��

�

�

−−=

−

−

AI000AI000I

M

(16) 2 )AA(IM *2* ++=

(17) *32

**

***

***

2

���

�

�

���

�

�

=IAAAAAIA

AAAIM

2132

132121

133213

dengan

di mana

M3 adalah pengganda closed loop, merupakan pengaruh dari suatu

blok ke blok yang lain, untuk kemudian kembali pada blok

semula.

Dengan demikian pengganda closed loop adalah:

3. Eksistensi Matriks Pengganda dan Dekomposisi Matriks

Pengganda Pyatt dan Round

Pada bagian ini akan dibuktikan eksistensi matriks pengganda dan

memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round untuk setiap

SNSE. Untuk membuktikan bahwa matriks pengganda Ma selalu ada, akan

dibuktikan bahwa matriks (I–A) bukan matriks singular. Dengan berhasil

dibuktikannya eksistensi Ma, maka selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Ma

selalu dapat didekomposisi menjadi M3, M2 dan M1.

(22) )( 13*3

−−= AIM

(18) )()( *

*

*

11

1*

1

���

�

�

���

�

�

=−−== −

0A000A

A00AAAIAMA

32

21

13

2

(21) )(

(20) )(

(19)

321

33 *32

211

22 *21

13 *13

AAIA

AAIA

AA

−

−

−=

−=

=

(23) )(

)()(

1*13

*21

*32

1*32

*13

*21

1*21

*32

*13

3

���

�

�

���

�

�

−−

−=

−

−

−

AAAI000AAAI000AAAI

M

Eksistensi Matriks Pengganda

Matriks A yang terdiri dari submatriks A13, A21, A22, A32 dan A33 adalah

matriks semi positif7. Dengan demikian, jika matriks A tidak dituliskan dalam

bentuk (10), maka A dapat dituliskan sebagai A = [aij] ∈ ℜnxn di mana aij ≥ 0

untuk semua i dan j dan aij > 0 untuk beberapa i dan j.

Selanjutnya, dengan memperhatikan setiap submatriks dari A yang

dinyatakan dalam bentuk (3), maka elemen-elemen pada matriks A kurang dari

satu dan dengan adanya neraca eksogen, jumlah elemen dalam tiap kolom

matriks A juga kurang dari satu.

Dengan demikian diperoleh kesimpulan bahwa elemen-elemen pada

matriks A memenuhi dua kondisi di bawah ini,

Selanjutnya, karena matriks A berukuran nxn maka matriks (I–A) juga akan

berukuran nxn dan semua elemen matriks (I–A) yang tidak terletak pada

diagonal utama bernilai tak positif serta semua elemen matriks (I–A) yang

terletak pada diagonal utama bernilai positif, dengan kata lain bahwa (1–aii) >

0, untuk setiap i dan aij ≤ 0, untuk i ≠ j.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, matriks pengganda diperoleh

dari bentuk (11). Matriks pengganda dapat dijamin eksistensinya dengan

menggunakan dua teorema berikut :

Teorema 1 Jika matriks A = [aij] ∈ ℜnxn dengan elemen-elemennya memenuhi kondisi

(24), maka matriks M yang didefinisikan sebagai (I–A) adalah matriks

diagonal dominan8.

_____________________________________________________________

7. Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.

8. Definisi matriks diagonal dominan dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.

(24) 1 .2

, 10 .1

1��

�

∀<

∀<≤

�=

n

iij

ij

ja

jia

Bukti : Berdasarkan premis diperoleh n pertidaksamaan sebagai berikut,

Definisikan matriks M = (I–A), maka elemen-elemen matriks M dapat

dituliskan dalam bentuk,

Perhatikan bentuk (25), jika kedua ruas pada pertidaksamaan pertama

dikurangi dengan a11 kemudian kedua ruas pada pertidaksamaan kedua

dikurangi dengan a22, demikian seterusnya hingga pertidaksamaan ke-n,

maka diperoleh n pertidaksamaan yang baru sebagai berikut,

Dengan memperhatikan bentuk (26) dan matriks M, diperoleh kenyataan

bahwa setiap kolom pada matriks M, elemen-elemennya memenuhi kondisi

syarat cukup matriks diagonal dominan apabila dituliskan dalam bentuk,

Dengan demikian pertidaksamaan pertama hingga pertidaksamaan ke-n dalam

(27) tak lain menyatakan bahwa elemen matriks M memenuhi kondisi syarat

cukup matriks diagonal dominan, yaitu:

Sehingga berdasarkan (28), maka matriks M adalah matriks diagonal dominan.

n

(28) ,...,3,2,1 ,�≠

=>ji

ijjj njmm

�≠

=>−ji

ijjj njaa (27) ,...,2,1 ,1

(26) ,...,3,2,1 ; 1 njaa jjji

ij =−<�≠

(25) ,...,3,2,1 ; 11

njan

iij =<�

==

���

��

�

≠−

=−

==

jia

jia

m

ij

ij

ij

,

,1

][M

Teorema 2 Jika A ∈ ℜnxn merupakan matriks diagonal dominan, maka A tak singular. Bukti : Andaikan matriks A matriks singular. Diketahui matriks A adalah matriks

diagonal dominan sehingga ada bilangan positif d1, d2, …, dn yang

berimplikasi bahwa,

Jika bilangan positif d1, d2, …, dn di atas dituliskan sebagai elemen diagonal

utama dari matriks diagonal D yang berukuran nxn, kemudian pilih matriks B

= DA, maka akan diperoleh matriks B mempunyai diagonal dominan. Karena

matriks B mempunyai diagonal dominan maka diperoleh kenyataan bahwa,

Karena matriks A singular maka matriks BT juga matriks singular, sehingga

ada x ≠ 0 sedemikian sehingga BT x = 0. Dari BT x = 0 diperoleh,

atau,

Dengan mengambil J sebagai gugus indeks sedemikian sehingga | xj| ≥ |xi|,

∀ i = 1,2,…,n, j ∈ J, maka diperoleh,

Dari (33) akan diperoleh,

(30) ,...,2,1 ,�≠

=>ji

ijjj njbb

(31) ,...,2,1 ,0�≠

==+ji

ijijjj njbxbx

(32) ,...,2,1 , njbxbxbx ijji

iji

ijijjj =≤= ��≠≠

(33) , J∈≤≤ ��≠≠

jbxbxbx ijji

jijji

ijjj

(34) , J∈≤�≠

jbb ijji

jj

(29) ,...,2,1 ,�≠

=>ji

ijijjj njadad

Dengan demikian terdapat kontradiksi antara (30) dengan (34), maka haruslah

matriks A tak singular. n

Dengan demikian matriks pengganda yang dituliskan dalam bentuk (11) selalu

dapat dijamin eksistensinya dengan kedua teorema di atas.

Dekomposisi Matriks Pengganda Pyatt dan Round Bagian ini akan memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Ma. Dengan

kata lain, akan ditunjukkan bahwa setiap matriks pengganda Ma akan selalu

dapat didekomposisi dalam bentuk dekomposisi yang dijabarkan oleh Pyatt dan

Round atau seperti yang dituliskan dalam persamaan (12).

Perhatikan matriks A dalam (10) seperti yang dituliskan dalam bab

sebelumnya, dapat dituliskan kembali sebagai bentuk :

atau,

A = A1 + A2 (36) Penulisan bentuk matriks A dalam (10) menjadi bentuk (35) dimaksudkan

untuk dapat memisahkan elemen-elemen diagonal, yaitu matriks A22 dan A33

dari elemen-elemen lainnya yaitu A13, A21 dan A32.

Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa matriks pengganda dapat

didekomposisi dalam bentuk (12), perlu dituliskan beberapa definisi dan

teorema sebagai berikut :

1. Definisikan matriks M1 sebagai bentuk :

(35) 32

21

13

33

22

3332

2221

13

��

�

�

��

�

�+��

�

�

��

�

�=

��

�

�

��

�

�

0A000A

A00

A000A0000

AA00AA

A00

(37) )(

1

33

221

11

−

−

��

�

�

��

�

�

−−=−=

AI000AI000I

AIM

2. Definisikan matriks A* sebagai bentuk :

3. Berdasarkan (38), dapat didefinisikan matriks A*2 dan A*3 sebagai bentuk :

4. Definisikan matriks M2 dan M3 sebagai bentuk :

Teorema 3 Misalkan A = [aij] ∈ ℜnxn di mana

maka,

(40)

(39)

***

***

***

*

**

**

**

*

���

�

�

���

�

�

=

���

�

�

���

�

�

=

132132

321321

2132133

2132

1321

32132

AAA000AAA000AAA

A

00AAAA00

0AA0A

321

33 *32

211

22 *21

13 *13

*

*

*

*

)( )(

(38)

mana di

1

AAIA

AAIA

AA

0A000A

A00AMA

32

21

13

2

−

−

−=

−=

=

���

�

�

���

�

�

==

(42) )(

(41) )(

1*

**

3

2

dan−−=

++=

3

2

AIM

AAIM

besar) cukup yang Nuntuk (berlaku dengan

)()(

0

0

11

�

�

=

∞

=

−−

=

−→⇔−→

N

k

kN

kN

k

S

S

A

AIAIA

�=

∀<

∀<≤n

iij

ij

ja

jia

1

1

, 10

Bukti : Misalkan (I – A)-1 ada, maka akan dibuktikan: (�)

(⇐)

(penjelasan lengkap mengenai klaim di atas dapat dilihat dalam Taro Yamane,

1968 : Mathematics for Economists An Elementary Survey. Second Edition.

Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, halaman: 497-498)

n Teorema 4

Misalkan A suatu matriks segi dan juga matriks partisi yang berbentuk blok

diagonal, yang dituliskan dalam bentuk:

(jelas) )(

kekenvergen juga bahwa berarti )( kekonvergen

10

1

0−

=

−∞

=

−

=− ��

AI

AAIAN

k

kN

k

k S

1

0

1

0

1

0N

1

N

1

N

1

N

1

N

NN

)( bahwa terbuktijadi

)(

)( limit

)( limit

)( limit

)( limit )()(

limit )(

)( limit . limit

−∞

=

−∞

=

−

=∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

∞→∞→

−→

−=⇔

−=⇔

−=⇔

−=⇔

−=−−⇔

=−⇔

=−

�

�

�

AIA

AIA

AIA

AI

AII

IAIAIAI

IAI

IAI

k

k

k

k

N

k

k

N

N

N

N

N

S

S

S

S

S

limit :

))(...()(

...

N

0

0AKlaim

AI

AIAAAIAI

AAAIA

1N

1N

N2

N2

=

−=

−++++=−

++++==

+

∞→

+

=�

N

N

k

kN

S

S

Jika A11 dan A22 tak singular, maka A tak singular dan invers dari A dituliskan

dalam bentuk :

Bukti : Diketahui bahwa A11 dan A22 tak singular, maka A11 ≠ 0 dan A22 ≠ 0.

Berdasarkan kenyataan di atas, maka A= A11A22≠ 0 yang berimplikasi

bahwa A tak singular. Karena A tak singular, maka A memiliki invers.

Selanjutnya, misalkan B adalah invers matriks dari A sedemikian sehingga AB

= BA = I atau,

Karena A11 dan A22 tak singular, maka berdasarkan (45) diperoleh kenyataan

sebagai berikut,

A11-1A11 B11 + A11

-1 0 B21 = A11-1I

⇔ B11 = A11-1 (46)

A11-1A11 B12 + A11

-1 0 B22 = A11-10

⇔ B12 = 0 (47)

A22-10 B11 + A22

-1A22 B21 = A22-10

⇔ B21 = 0 (48)

A22-10 B12 + A22

-1A22 B22 = A22-1I

⇔ B22 = A22-1 (49)

(44) 122

1111

��

���

�= −

−−

A00AA

(43) 22

11��

���

�= A00AA

(45) ���

���=��

���

���

���

�I00I

BBBB

A00A

2221

1211

22

11

Berdasarkan (46), (47), (48) dan (49), diperoleh bentuk,

Berdasarkan (50), terbukti bahwa A tak singular dan invers dari A dituliskan

dalam bentuk (44). n

Teorema 5 Jika matriks B = [bij] adalah matriks nxn sedemikian sehingga bij ≤ 0 untuk i ≠

j, maka kondisi-kondisi berikut setara :

(a) Ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx > 0

(b) Untuk sembarang c ≥ 0, ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx = c

(c) Matriks B tak singular dan B-1 ≥ 0

(Bukti lengkap Teorema 5 dapat dilihat dalam Takayama, 1985 : Mathematical

Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York, hal.

383: Teorema 4.C.4) n

Teorema 6 Misalkan A ∈ ℜnxn adalah matriks partisi yang dituliskan dalam bentuk (35).

Jika matriks (I–A) tak singular, maka matriks Ma = (I–A)-1 dapat

didekomposisi menjadi bentuk Ma = M3 M2 M1.

Bukti : Misalkan matriks (I – A1)-1 dan matriks (I – A*3)-1 ada.

Akan diperlihatkan bahwa Ma = M3 M2 M1.

Dengan memperhatikan persaman (10) dan (35), maka persamaan (10) dapat

ditulis kembali sebagai bentuk :

(50) 122

111

��

���

�= −

−

A00AB

Jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan matriks A* dan

melakukan substitusi kembali A*y pada ruas kanan persamaan (51), maka akan

diperoleh bentuk,

Dengan cara yang sama, jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan

matriks A*2 dan melakukan substitusi kembali A*2y pada ruas kanan persamaan

(52), maka akan diperoleh bentuk,

Selanjutnya, berdasarkan (11) diketahui bahwa,

Dengan demikian berdasarkan kenyataan di atas, bentuk y = (I – A)-1 x = Ma x

dapat dituliskan juga dalam bentuk persamaan (53), sehingga diperoleh

kesimpulan bahwa,

y = Ma x = M3 M2 M1 x (55)

dengan

(52) )( ** xMAIyAy 12 ++=

(53) ))(()(

))(( )(

)(

11

2**13*

11

2**3*

12**3*

xAIAAIAIy

xAIAAIyAI

xMAAIyAy

−−

−

−++−=⇔

−++=−⇔

+++=

(51)

)()(

)(

*

11

xMyAy

xMyAMy

xAIyAAIyxyAyAI

xyAyAy

xAyy

1

121

121

21

21

+=⇔

+=⇔

−+−=⇔+=−⇔

++=⇔

+=

−−

(54) a

)(

1

xMyxAIy

xAyy

=⇔−=⇔

+=−

M3 = (I – A*3)-1

M2 = (I + A* + A*2)

M1 = (I – A1)-1

Jadi terbukti bahwa matriks Ma dapat didekomposisi, yang dituliskan

sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1. n

Untuk melengkapi bukti teorema di atas, maka harus ditunjukkan bahwa

matriks (I – A1)-1 dan (I – A*3)-1 ada. Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa

kedua matriks tersebut ada.

� Akan ditunjukkan matriks (I – A1)-1 ada.

Perhatikan semua elemen pada diagonal utama matriks (I – A1), di mana

matriks I, (I – A22) dan (I – A33) merupakan matriks segi dengan semua

elemen matriks A22 dan A33 memenuhi kondisi (24). Berdasarkan Teorema 1 (I

– A22) dan (I – A33) adalah matriks diagonal dominan. Selanjutnya,

berdasarkan Teorema 2 matriks diagonal dominan adalah matriks tak singular,

(I – A22)-1 ≥ 0 dan (I – A33)

-1 ≥ 0 (berdasarkan Teorema 3). Kemudian

berdasarkan Teorema 4, matriks (I – A1) tak singular dan inversnya dapat

dituliskan dalam bentuk ,

Bentuk (56) menyatakan bahwa matriks (I – A1)-1 ada. n

� Akan ditunjukkan matriks (I – A*3)-1 ada.

Perhatikan elemen-elemen matriks (I – A*3) yang telah didefinisikan dalam (42), dapat dituliskan dalam bentuk,

( )( )

(56) )(1

33

122

1

���

�

�

���

�

�

−−=−

−

−−

AI000AI000I

AI 1

(57) *13

*21

*32

*32

*13

*21

*21

*32

*13

)( *3

����

�

�

����

�

�

−

−

−

=−=

AAAI00

0AAAI0

00AAAI

AIM 3

Selanjutnya, definisikan matriks P = A*13A*

32A*21, matriks Q = A*

21A*13A*

32

dan matriks R = A*32A*

21A*13. Berdasarkan penjelasan sebelumnya, diketahui

A*13, A*

21 dan A*32 merupakan matriks semi positif, maka matriks P, Q dan R

juga merupakan matriks semi positif. Oleh karena itu matriks (I – P), (I – Q)

dan (I – R) merupakan matriks nxn dengan semua elemen yang tidak terletak

pada diagonal utama bernilai tak positif, sehingga matriks (I – P), (I – Q) dan

(I – R) tak singular, (I – P)-1 ≥ 0, (I – Q)-1 ≥ 0 dan (I – R)-1 ≥ 0 (berdasarkan

Teorema 5). Kemudian berdasarkan Teorema 4, maka matriks (I – A*3) tak

singular dan inversnya dapat dituliskan dalam bentuk,

Bentuk (58) menyatakan bahwa matriks (I – A*3)-1 ada. n

Dengan demikian, Teorema 6 telah membuktikan bahwa matriks

pengganda Ma dapat dinyatakan sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1.

4. Penutup

Tulisan ini telah membuktikan bahwa untuk setiap SNSE selalu dapat

diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks

pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini telah membuktikan

eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan

Round dari suatu SNSE.

Dengan terbuktinya eksistensi matriks pengganda dan dekomposisinya,

maka untuk wilayah perekonomian mana saja akan selalu dapat dilakukan

analisa matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan

Round untuk melihat dampak sebuah kebijakan ekonomi terhadap aktivitas

perekonomian di wilayah tersebut.

(58) )(

)()(

)(1

1

1

1*

���

�

�

���

�

�

−−

−=−

−

−

−

−

RI000QI000PI

AI 3

Kepustakaan Anton, Howard. 1993. Aljabar Linear Elementer. Terjemahan Pantur Silaban

dan I Nyoman Susila. Edisi kelima. Erlangga. Jakarta. Ayres, Jr., F. 1962. Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill, Inc.

New York. Ben-Israel, A. & Thomas N. E. Greville. 1974. Generalized Inverses :

Theory and Applications. John Wiley and Sons. New York. BPS. 1996. Sistem Neraca Sosial Ekonomi Indonesia Tahun 1993. BPS.

Jakarta. Golub, G. H. and C. Van Loan. 1989. Matrix Computations. Second

edition. The Johns Hopkins University Press. Baltimore and London. Householder, A. S. 1964. The Theory of Matrices in Numerical Analysis.

Blaisdell. New York. Lancaster, Peter & M. Tismenetsky. 1985. The Theory of Matrices with

Applications. Second edition. Academic Press. San Diego. California. Magnus, J. R. and H. Neudecker. 1988. Matrix Differential Calculus with

Applications in Statistics and Econometrics. John Wiley and Sons Ltd. New York.

Pyatt, G. and Round, J. 1979. Accounting and Fixed Price Multipliers in a

Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850–873. Searle, S. R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and

Sons. New York. Sutomo, Slamet. 1992. Matriks Pengganda (Multiplier Matrix) Dalam

Kerangka Sistem Neraca Sosial Ekonomi. Ekonomi dan Keuangan Indonesia. Nomor 1. Volume 39:19–50.

Takayama, Akira. 1985. Mathematical Economics. Second edition.

Cambridge University Press. New York. Yamane, Taro. 1968. Mathematics for Economists : An Elementary Survey.

Second edition. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.