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EL PENTAGRAMA
LA CONSTRUCCIÓN DE UN SÍMBOLO
¿Qué es el pentagrama?¿Qué es el pentagrama?
El pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa y pentángulo, es el polígono estrellado regular de cinco puntas.
La palabra pentagrama proviene del griego πεντάγραμμον (pentagrammon), forma sustantiva de πεντάγραμμος (pentagrammos) o πεντέγραμμος
(pentegrammos), adjetivo que significa "cinco líneas" o "de cinco líneas". También se le denomina pentalfa porque su dibujo posee cinco letras
A (alfa en griego) y pentáculo por poseer cinco ángulos agudos.
HistoriaHistoria
Era conocido por los antiguos mesopotámicos (por ejemplo los sumerios), y fue santo y seña de la Escuela Pitagórica,
quien observó su relación con el número Ф (Fi) (Número de oro)Desde entonces se le ha dado un uso SIMBÓLICO.
En la magia la pentalfa o pentáculo con su punta hacia arriba suele representar al ser humano (de hecho: durante la Edad Media se esbozaban
alargadas pentalfas para luego sobre ellas dibujar las figuras humanas, y esto puede verse en el célebre grabado de Leonardo Da Vinci para el libro
"La Divina Proporción" de Luca Pacioli):La magia blanca o benigna tiene a la pentalfa o pentagrama como uno de sus símbolos principales con su vértice medianero superior hacia arriba.
Por el contrario una pentalfa invertida (con el vértice medianero hacia abajo) es considerado como parte de un ritual de magia negra.
La estrella pentagrama es un interesante SÍMBOLO que evoca varias leyes matemáticas: se le encuentra como representante en logaritmos,
la sucesión de Fibonacci, la espiral logarítmica y por esto también en los fractales (el paradigma de la autosemejanza)
¿Cómo se construye?¿Cómo se construye?
Un pentagrama es un polígono regular estrellado {5/2}. Se dibuja sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las
esquinas alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También pueden extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo
un pentagrama más grande.
Para construir el pentágono regular a partir del lado:
PRIMERO
calcular el valor de su diagonal a partir del lado
1
x
Calculando diagonalesCalculando diagonales
Empezamos demostrando que
el triángulo azúl y el triángulo verde
SON SEMEJANTES
Figuras semejantesFiguras semejantes
α
α
α
La clave está en el cincoLa clave está en el cincoA
BC
Teniendo en cuenta que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia
son iguales tenemos que la diagonal en rojo es bisectriz del ángulo B. Es decir, los ángulos del triángulo isósceles ABC están en proporción de 1:2:2.
ABC BCD
Luego ABC y BCD tienen dos ángulos homólogos iguales, y, por tanto, SON SEMEJANTES.
D
2α2α
α
2α
2α
α
¿Cuánto vale α?
2α α
Triángulo isósceles sublime
Teorema de TalesTeorema de Tales
Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales:
“Los tiángulos semejantes tienen los lados proporcionales”
1
X
1
X-1
1
1
1 x
x
Y, para finalizar, un poco de
álgebra nos conduce a que2
51xX2 – X – 1 = 0
Lado igual del grande
Lado desigual del grande=
Lado igual del pequeño
Lado desigual del pequeño
1
Un número con nombre propioUn número con nombre propio
SECCIÓN AÚREASECCIÓN AÚREAEl punto C divide al
segmento AB“en media y extrema razón”
Es decir
El total es a la parte mayor, como la parte mayor es la
parte menor.
A
B
CElEl NÚMERO NÚMERO DE ORODE ORO
2
51
CB
AC
AC
AB
……que desvela la irracionalidadque desvela la irracionalidad
LA DIVINA PROPORCIÓNLA DIVINA PROPORCIÓN
SECCIÓN AÚREASECCIÓN AÚREA
La copa sagradaLa copa sagrada
1
ФФ
1
1/1/ФФ
El triángulo isósceles sublimeEl triángulo isósceles sublime
2α
α α
α α
2α
TIENE SUS LADOS EN PROPORCIÓN AÚREATIENE SUS LADOS EN PROPORCIÓN AÚREA
La razón de semejanza entre los dos triángulos es ФФ
con “regla y compás”con “regla y compás”
2
1 22
2
11
1
2
51
4
14
2
1
2
11
2
12
2
Contrucción de Ф mediante
regla y compás
Y del rectángulo aúreo ABCD
A B
D C
b
a
a
ba
Acabamos de ver que, en un pentágono regular, la diagonal y el lado están en proporción aúrea. También hemos visto la manera
de construir un rectángulo aúreo.
Si disponemos ahora del lado del pentágono, la diagonal coincidirá con lado mayor de un rectángulo aúreo de lado menor igual al lado
del pentágono.
Una vez tenemos ambas medidas, la construcción del pentágono
partiendo del lado es inmediata y, éste es el método de construcción usado en los ejercicios de Dibujo.
El pentágono regularEl pentágono regular
Tu diploma: “PITAGÓRICO”Tu diploma: “PITAGÓRICO”
El poder
El poder
del SÍM
BO
LOdel SÍM
BO
LO
El hombre El hombre de Vitruviode Vitruvio
“Eadem mutata resurgo”
El Símbolo es una FORMA que exterioriza un pensamiento o una idea.
En nuestra cultura el Símbolo tiene el poder de una intensa evocación.
Su fuerza radica en su capacidad de recordarnos propiedades profundas del Concepto al hacerlas explícitas en la Forma.
¿Qué Símbolo le corresponde a la Vida? La Vida parece decirnos: mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo la misma; y lo hago mediante un ritmo cíclico, abarcando cada vez un campo de experiencia más amplio.
EPÍLOGO
