elasticite lineaire anisotrope

1

Master MSE 2004-2005C. Berdin

ELASTICITE LINEAIRE ANISOTROPE

MATERIAUX COMPOSITES

• Introduction

• Généralisation de la loi de Hooke

• Stratifiés

– Homogénéisation –comportement du pli

– Comportement de l’empilement (quelques éléments)

2


INTRODUCTIONLes matériaux composites

• Rigidité orientée dans les directions sollicitées

• Renfort rigide discontinu dans une phase continue :

– Composites à particules (équiaxes ou non)

– Composites à fibres courtes

– Composites à fibres longues

– Composites à tissus

• matériaux à structure

(Pascal, 2002)

3


Anisotropie et hétérogénéité

Matériaux composites : plusieurs constituants

⇒ Anisotropie :

- anisotropie des constituants (fibres de C :E�/E�=10)

- Forme des renforts

- Structures des constituants

thermo-élasticité anisotrope

⇒ Hétérogénéité : définition d’un comportement homogène équivalent

homogénéisation

4


GENERALISATION DE LA LOI DE HOOKETenseur des raideurs

• Elasticité linéaire isotrope

– 2 paramètres E et ν (λ et µ, Κ) et α– Conditions énergétiques E>0 -1<ν<0.5

• Elasticité linéaire anisotrope

– C 81 => 21 composantes (symétries)σ ε= C11 11

2

3

4

5

6

1

22 22

33 33

32 32

31 31

21 21

2

2

2

.

.

.

.

σ εσ εσ εσ ε

σ

σ εσ

σσ

σσ ε

σ

= =

x x x x x x

x x

Notation de Voigt

CIJ=Cijkl

5


Tenseur des complaisances

σ ε= C

11 11

22 22

33 33

32 3

1

2

3

4 2

31 31

21 1

5

6 2

2

2

2

.

.

.

.

ε σε σε σε σε σε σ

εεεγγγ

= =

Notation de Voigt : CIJ=Cijkl matrice des raideurs

[SIJ] matrice de complaisance associée

2Sijkl

2Sijkl 4Sijkl

Sijkl

ε σ= S

6


Symétries matérielles

S � symétrie du matériau :

S invariant par l’opérateur de symétrie A : Sijkl=AipAiqAkrAlsSpqrs

• Symétrie / 1 plan : 13 composantes indépendantes

• Symétrie/2plans (=3plans) : orthotropie

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S S

S

S

S

Tenseur des souplesses

7


Matériau isotrope transverse

11

22

33

32

31

21

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

2

2

02

' '

''

σεσεσεσεσ

ε ν νε ν νε ν νγγε

ε γ σ

− − − − − −

= =

� � � �

�

�

��

�

�

� �

� �

t t t t

t t t

t

t t t

t t t t t

tt t

t t

t t

tt

t

t

E E E

E E E

E E E

G

G

G

1 2 1( )ν= +t t tG E

Symétrie de révolution dans 1 plan : Isotrope transverse

Ex: (2,3) : S22=S33 S12=S13

S55=S66 S44= 2(S22-S23)Directions privilégiées � et �

1 2,3

8


STRATIFIESDéfinition

Composant de base : pli = 1 nappe de fibre dans matrice

=> couche : empilement de plis1 orientation – 1 couple fibre/matrice

=> stratifié : empilement de couches

[0/45/90]s [0/45/90]s

9


Traction longitudinale (E�, ν��)

Comportement du pliHomogénéisation

• Cas du matériau isotrope transverse :

⇒ Matrice isotrope (Em et νm)

et Vf fibres unidirectionnelles (Ef et νf)

5 composantes indépendantes

Traction transverse (E� , ν�� , ν� )

��

��

�

Cisaillement G�

Cisaillement G��

10



��

��

Traction longitudinale (E�, ν��)

E�=Vf Ef + (1-Vf) Em

ν��=Vf νf + (1-Vf) νm

ε homogènes : Borne supérieure (Voigt)=> Loi des mélanges

11



��

�� σ homogènes : Borne inférieure (Reuss)

1( )m f

tf m f f

E EE

V E V E=

+ −

1( )f m

t t f ff m

E V VE E

ν νν

= + −

Traction transverse (E�, ν�� , ν�)

E E

ν ν=��

� �

12



��

��

cisaillement transverse (G��)

σ homogènes : Borne inférieure de Reuss

(1 )m f

f f f m

G GG

V G V G=

− +��

13



��

��

chargement thermique (α� et α�)

(1 )

(1 )f m m f f f

f m f f

V E V E

V E V E

α αα

− +=

− +�

( )(1 )

1

f m m ff m f f f m

fm

f f

E EV V

EE

V V

ν να α α α α

−= − + + −

+−

�

14



Ex : Fibres de verre /epoxy Vf=0.66

Verre Epoxy calcul expérience

E (GPa) 70 2.85 �� 47.16 49.4

��7.77 18

ν 0.17 0.33 �� 0.224 0.22

G (GPa) �� 2.95 7.8

15


Comportement du pli - Sollicitation plane

Sollicitations planes (��) matériau isotrope transverse

1 0

1 0

010 0

l

tl

l tl

ltt t

l t

lt

t

E E

TE E

G

νε σ α

νε σ αγ σ

− − = + ∆

�

��

�

't tε ε=

Pli : état de contraintes planes

16



Calcul des modules apparents

0,15

0,17

0,19

0,21

0,23

0,25

0 15 30 45 60 75 90

angle de désorientation

G12

/El

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 15 30 45 60 75 90

angle de désorientation

E1/

El

E�/E�=3 E�/G��=6 ν��=0.2

17



Hors axesθ

1

2

σ

2116

1 21 1

1226 2 2

1 2

6 616 26

2

1

1

21

SE E

S TE E

S S G

νε σ α

νε σ αγ σ α

− − = + ∆

�

�

�

3 0ε ≠

18


Comportement du stratifiéSection hétérogène - Homogénéisation

εii

h/20-h/2 σii

ω3

22 3 32

1 3 1

d u M d

dx EI dx

ω= =

Ε[ ] [ ] [ ]k

Cσ ε= Couche k

Bernouilli-EulerPour les poutres

Flexion simple : 311 2

1

dx

dx

ωε = −

M3

19


Comportement du stratifiéthéorie des plaques de Kirchoff Love

00 1 2 3

11 2 3

01 2 3 0 1 2 3

21 2 3

0 1 2

( , )

( , , )

( , , ) ( , )

( , , )( , )

wu x x x

xu x x x

wv x x x v x x x

xw x x x

w x x

∂ − ∂∂ = − ∂

KL (1er dégré et σ3i négligé) :

x3

Plan moyen0

1 1 30

2 2 30

01

6 6 30

02

62

x

x

x

κε

ε εκκ

ε εε

+= − − Courbures κ

x2 x1

[ ] 0 03xε ε κ = +

20


Comportement du stratifié

3

1 2

N22

N11 N12

Sollicitations en membrane

Éléments de réduction (/u. de longueur)

[ ]

11 11 3

22 22 3

12 12 3

h

h

h

N dx

N N dx

N dx

σ

σ

σ

=

= = =

∫

∫

∫

21



3

1 2

M12

M21M22

Sollicitations en flexion

M11

(T2) (T1)

Éléments de réduction (/u. de longueur)

[ ]

11 3 11 3

22 3 22 3

21 3 12 3

h

h

h

M x dx

M M x dx

M x dx

σ

σ

σ

=

= = − = −

∫

∫

∫

22



[ ] [ ] [ ]kCσ ε=

( )0 2 21 11 3 1 3( ) 3( 1)

1

2k

j j k j k kkcouches kcouches je

N dx C e x xσ ε κ − = = + −

∑ ∑ ∑∫

[ ] [ ] [ ]0 0N A Bε κ = +

[ ] k kk

A C e = ∑ [ ] ( )2 2

3( ) 3( 1)1

2 k k kk

B C x x − = −

∑

[ ] [ ] [ ]0 0M B Dε κ = + [ ] ( )3 33( ) 3( 1)

13 k k k

k

D C x x − = −

∑

3 0iσ ≈

23



kσ kε

kC =

N

M

0

0

k

k

εκ

A B

B D

=

local

global

Cas général : couplage membrane/courbureflexion/déformation dans le plan moyen

Pas de couplage : [B]=[0] <=> symétrie miroir

24


Comportement du stratifiéEffets de bord

• Traction [0/90]s selon 0

2

3

ν��ε1b

Si => σ22 non nulles

ν��ε1b

ν��ε1b ν��ε1b=

Incompatible avec les conditions aux limites

=> Cisaillement interlaminaire aux bords

σ22 σ23

σ33

+ contrainte d’ouverture

centre bord

liée à l’équilibre local

25


Bibliographie

• Gay Daniel, Matériaux composites, Traité des nouvelles Technologies, série mécanique, Hermès, 1991

• Berthelot J.M., Matériaux composites, Eds Tec&Doc,1999

• Callister W.D., Materials Science and Engineering – an introduction, Wiley, 1996

Documents

elasticite lineaire anisotrope