Electrotècnia - apunts segon batxillerat

Departament de Tecnologia de l'IES Pau Casesnoves

Apunts Electrotècnia

Curs 09/10

Índex

Índex de gures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Índex de taules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I. Conceptes i fenòmens elèctrics bàsics i mesures elèctriques

Capítol 1. Conceptes i fenòmens elèctrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. Partícules elementals. Càrrega elèctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Llei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. El camp elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Potencial elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Corrent elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. El circuit elèctric. Llei d'Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Resistència i resistivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Llei de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capítol 2. El condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1. Denició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Capacitat d'un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Càrrega i descàrrega d'un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Càrrega d'un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Desàrrega del condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Energia d'un condensador carregat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5. Associació de condensadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Associació sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Associació paral·lela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Associació mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II. Conceptes i fenòmens electromagnètics

Capítol 3. Conceptes i fenòmens electromagnètics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1. Inducció magnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Índex

3.2. Camps magnètics creats per corrents elèctrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Llei Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Camp magnètic creat per un corrent elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Camp magnètic creat per una espira circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Camp magnètic creat per un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Intensitat del camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Interacció entre corrents i camps magnètics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Força magnètica sobre una càrrega en moviment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Força sobre un conductor rectilini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Interacció entre dos conductors rectilinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Forces i moment sobre una espira rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4. El circuit magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Els materials i el camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Força magnetomotriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Reluctància . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5. Inducció electromagnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Llei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Fem induida en un conductor rectilini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Fem induïda per un espira traslladant-se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fem induïda per un espira rotant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6. L'autoinducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Energia enmagatzemada en una autoinducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III. Circuits elèctrics

Capítol 4. Circuits elèctrics en corrent continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1. Associació de resistències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Pas de triangle a estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Pas d'estrella a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Lleis de Kircho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Teorema de superposició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4. Teorema de Thevenin i Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Capítol 5. Nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1. Representació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Representació algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Representació polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2. Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Índex 5

Capítol 6. Circuits elèctrics en corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1. Paràmetres bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Representació de les ones sinusoidals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2. Circuits en sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Circuit amb una resistència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Circuit amb un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Circuit amb una bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Circuit RC sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Circuit RL sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Circuit RLC sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Freqüència de ressonància sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3. Circuits en paral·lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Circuit RL paral·lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Circuit RC paral·lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Circuit RLC paral·lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Ressonància paral·lela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4. Circuits mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5. Potència en els circuits en corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Factor de potència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capítol 7. Corrent trifàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1. Sistemes polifàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Seqüència directa i inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2. Connexionat de sistemes en trifàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3. Tensions i intensitats de fase i de línia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Fonts en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Fonts en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4. Connexió de receptors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Connexió en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Connexió entre dues fases (triangle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Estrella-triangle equivalents en receptors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.5. Resolució de circuits trifàsics equilibrats per reducció a un circuit monofàsic . . . . . . . . . . . 109

Connexió estrella-estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Connexió triangle-triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Connexions estrella-triangle i triangle-estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.6. Potència en els sistemes trifàsics equilibrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Índex

IV. Màquines elèctriques

Capítol 8. Transformadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Capítol 9. Màquines elèctriques en corrent continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Capítol 10. Màquines elèctriques en corrent altern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

V. Circuits electrònics i aplicacions elèctriques

Capítol 11. El diode. Circuits bàsics de recticació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Apèndix

Apèndix A. Currículum, criteris d'avaluació i altres consells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.1. Horari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.2. Objectiu de l'asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.3. Currículum (amb molt bona voluntat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.4. Com us avaluaré? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.4.1. Recuperació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.5. Bibliograa i material complementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Apèndix B. Solucions als exercicis dels temes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

B.1. Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Índex de gures

1.1. Línies de camp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2. Les blanques són les càrregues, el punt negre és el punt P on heu de calcular el camp elèctric . . . 21

2.1. Circuit de càrrega i descàrrega d'un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Circuit a analitzar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Circuit a analitzar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Camp magnètic obtingudes amb llimadures de ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. La famosa regla de la ma esquerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Trajectòria d'una càrrega positiva, el camp magnètic ens apunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Espira dins un camp magnètic. Un motor/generador bàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5. Generació d'un camp magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6. Circuits magnètic sèrie i paral·lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7. Per a la generació de camps elèctrics s'empra la regla de la ma dreta! . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.8. Fem induïda a un conductor elèctric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.9. Fem induïda per una espira en moviment de traslació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.10. Quina fem indueix el camp magnètic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Conguració estrella i triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Quina és la resistència equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3. Circuits amb conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4. Troba la resistència equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Calcular el següent circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52











8 Índex de gures



4.18. Calcular l'equivalent Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


4.20. Ponts de resistències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.21. Calcular el circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58



5.1. Representació gràca d'un nombre complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.1. Representació sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2. Tensió i corrent en un circuit resistiu sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3. Potència en un circuit resistiu sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Tensió, corrent i potència en un circuit capacitiu sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Tensió, corrent i potència en un circuit inductiu sèrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.6. Tensió d'entrada i corrent al circuit RC sèrie. Notar com la tensió i el corrent estàn desfasats, eldesfasament és d'avanç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.7. Tensions en el circuit RC sèrie. El corrent i la tensió a la resistència tenen la mateixa fase en canvila tensió al capacitor es retrassa π/2 respecte de la fase del corrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.8. Potències en el circuit RC sèrie. La potència en la resistència es totalment activa: la resistènciadissipa energia. La potència en el condensador té un semicicle positiu i un alte negatiu idèntics ila potència total és la combinació d'ambdues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.9. Potència, tensió i corrent en el circuit RC sèrie. Es mantenen les característiques de la potènciaenvers el corrent/tensió dobla la seva freqüència, però la seva mitjana ja no és zero. . . . . . . . . 76

6.10. Tensió d'entrada i corrent al circuit RL sèrie. Notar com la tensió i el corrent estàn desfasats, eldesfasament és de retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.11. Tensions en el circuit RL sèrie. El corrent i la tensió a la resistència tenen la mateixa fase en canvila tensió a la inductància s'adelanta π/2 respecte de la fase del corrent . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.12. Potències en el circuit RL sèrie. La potència en la resistència es totalment activa: la resistènciadissipa energia. La potència en la bobina té semicicles positius i negatius i la potència total és lacombinació d'ambdues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.13. Potència, tensió i corrent en el circuit RL sèrie. Es mantenen les característiques de la potènciaenvers el corrent/tensió dobla la seva freqüència, però la seva mitjana ja no és zero. . . . . . . . . 80

6.14. Tensió d'entrada, potència total i corrent al circuit RLC sèrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.15. Tensions al circuit RLC sèrie. Notau com la tensió a la bobina s'adelanta a la resta de tensions ila tensió més retrassada és la tensió al condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.16. Potències al circuit RLC sèrie. Les potències al condensador i a la bobina estan desfassades πradi ambdues tenen un semicicle positiu i un altre negatiu idèntics. La potència de la resistènciasempre és igual o major a zero (sempre dissipa energia) i la potència total és una combinació deles tres anterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.17. Tensions al circuit RLC sèrie en ressonància. Notar com la tensió d'entrada i la de la resistènciasón idèntiques i que les tensions al condensador i a la bobina també són iguals però de signecontrari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9

6.18. Potències al circuit RLC sèrie en ressonància. Notar com la potència d'entrada i la de la resistènciasón idèntiques i que les potències al condensador i a la bobina també són iguals però de signecontrari, l'energia que demanda el condensador la li dona la bobina i vice versa. . . . . . . . . . . 83

6.19. Corrents al circuit RLC paral·lel, notar com el corrent a la resistència està en fase, el corrent a labobina està retrassat 90 graus i el corrent al condensador està adelantat 90 graus. . . . . . . . . . 86

6.20. Potencies al circuit RLC paral·lel, notar com la potència a la resistència sempre és igual o major azero (recordau: sempre dissipa energia) i la potència al condensador i a la bobina estan desfassades180 graus i són simètriques respecte a l'eix Y (recordau: cedeixen i agafen energia de la xarxa). . 86

6.23. Exemple de circuit en CA mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.21. Corrents al circuit RLC paral·lel en ressonància, notar com el corrent a la resistència i el correnttotal són iguals. Els corrents a L i C són iguals en mòdul però de signe contrari. . . . . . . . . . . 88

6.22. Potències al circuit RLC paral·lel en ressonància, notar com les potències a L i C són iguals enmòdul però de signe contrari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.24. Potència dels elements de circuit (passius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.25. Triangle de potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.26. Potència mitjana i el cosϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.28. Calculau el circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



6.31. Trobau les intensitats a cada branca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.32. Trobau les intensitats a cada branca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.33. Trobau la intensitat a la branca AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.34. Aplicau Boucherot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.35. Quant val R2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.36. Quant valen les intensitats i potències? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.37. Quant valen les intensitats i potències? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.38. Quant val la potència activa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.27. Circuit amb voltímetres. Com s'anomena la sitaució on V3 = 0V ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1. Sistema trifàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.2. Seqüència positiva i negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3. Connexionats en trifàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4. Tensions de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.5. Tensions de línia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6. Intensitat de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.7. Intensitat de línia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.8. Diagrames de tensions de fonts connectades en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.9. Reducció d'un circuit trifàsic a tres en monofàsic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Índex de taules

1.1. Càrrega i massa de les particules elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Resistivitat d'alguns materials conductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.1. Unitats de les potències elèctriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1. Potències en els sistemes trifàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2. Resum del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Part I

Conceptes i fenòmens elèctrics bàsics i mesureselèctriques

Capítol 1

Conceptes i fenòmens elèctrics

1.1. Partícules elementals. Càrrega elèctrica

Àtom: part més petita d'un element que conserva les seves propietats. Tots els àtoms estan dividitsper partícules subatòmiques: Protons, càrrega positiva Electrons, càrrega negativa Neutrons, sense càrrega

Partícula Càrrega Massa

Electró −1′602 · 10−19C 9′109 · 10−31kgProtó +1′602 · 10−19C 1′627 · 10−27kgNeutró 0 1′675 · 10−27kg

Taula 1.1. Càrrega i massa de les particules elementals

Com ja sabeu les càrregues del mateix signe s'atreuen i les de distint signe es repel·leixen. Per tantentre aquestes partícules s'estableixen unes forces elèctriques.

La unitat de càrrega elèctrica és el Coulomb.

1.2. Llei de Coulomb

Llei de Coulomb: la força de repulsió o d'atracció de dues càrregues elèctriques puntuals es directa-ment proporcional al producte de les seves magnituds q1 i q2 i inversament proporcional al quadratde la distància que les separa. L'equació 1.1 mostra l'expressió matemàtica en forma vectorial il'equació 1.2 la forma escalar

−→F = K · q1 · q2

r2· −→ur (1.1)

F = K · q1q2

r2(1.2)

On la constant de proporcionalitat (K ) depén del medi on es trobin les càrregues elèctriques. En elcas de l'aire o del buit aquesta constant de proporcionalitat val K = 9 · 109N ·m2

C2 . q1 i q2es mesuren enCoulombs i r es mesura en metres.

16 Capítol 1. Conceptes i fenòmens elèctrics

Per a expressar la inuència del medi s'expressa aquesta constant com

K =1

4 · π · εr · ε0(1.3)

on ε0 és la constant dielèctrica al buit i εr és la constant dielèctrica relativa del medi material. Pertant emprant un poc el sentit comú tenim que:

ε0 =1

4 · π · 9 · 109(1.4)

Refenent l'equació 1.1, combinant-la amb l'equació 1.3 tenim que

−→F =

14 · π · εr · ε0

· q1 · q2

r2· −→ur (1.5)

i el seu mòdul serà

F =1

4 · π · εr · ε0· q1 · q2

r2(1.6)

1.3. El camp elèctric

Camp elèctric: Regió de l'espai en la qual es manifesten forces d'origen elèctric.

En un punt situat en un cap elèctric diem que existeix ua intensitat de camp E, si sobre una unitat decàrrega positiva q s'exerceix una força F, donada per l'expressió

−→F = −→E · q

per tant−→E =

−→F

q(1.7)

on E es mesura en NC , es pot dir que la unitat d'intensitat de camp elèctric és la que exerceix una força

d'un newton sobre un cos carregat amb un coulomb. Aquesta unitat també s'anomena volt/metre.

Una altra manera de representar el camp elèctric es mitjançant una representació gràca anomenadalínies de camp elèctric. Per dibuixar aquestes línies se suposa que la càrrega és positiva i de valor 1C.La gura 1.1 a la pàgina següent mostra exemples de línies de camp d'una càrrega, de dues càrreguesi de geometries emprades en electroctècnia.

1.4. Potencial elèctric

Potencial elèctric (UA): en un punt A situat en un camp elèctric és el treball realitzat per portaruna unitat de càrrega elèctrica positiva des de l'innit ns al dit punt.

UA =1

4 · π · εr · ε0

q

rA(1.8)

1.4. Potencial elèctric 17

(a) Línies de camp d'una càrrega

(b) Línies de camp de dues càrregues i geometries típiques

Figura 1.1. Línies de camp


La unitat del potencial elèctric és el volt, que resulta ser el potencial en un punt del camp en el quals'ha necessitat un Joule per a dur una càrrega d'1C des de l'innit ns a aquell punt.

Dit d'una altra manera: la càrrega d'1C té una energia potencial d'1 joule.

Diferencia de potencial: D'aquest concepte es deriva la diferència de potencial entre dos punts Ai B d'un camp elèctric com el treball necessari per portar una unitat de càrrega positiva des d'Ans B.

UB − UA =1

4 · π · εr · ε0· q · ( 1

rB− 1rA

) (1.9)

1.5. Corrent elèctric

Intensitat del corrent elèctric: és la quantitat de càrrega elèctrica que passen per unitat de temps,per un punt i en una direcció determinats

I =Q

t(1.10)

la unitat de la intensitat elèctrica és l'ampere (A).Densitat de corrent: és el quocient entre la intensitat i la secció transversal del conductor

J =I

S(1.11)

es mesura en ampere/m2 per se sol emprar la unitat ampere/mm2

Treball elèctric d'un corrent: quan circula un corrent elèctric dins un camp elèctric es produeixun treball

W = q · U (1.12)

si el corrent és constant llavors podem dir que

W = I · t · V (1.13)

la unitat del treball és el joule (J).Potència elèctrica: sabem que la potència és el treball entre unitat de temps per tant reformant

l'equació 1.13 tenim queP = I · V (1.14)

es mesura en watts (W), una unitat molt habitual és el watt-hora que es relaciona amb els joulescom

1W · h = 1W · s · 3600 = 3600J

1.6. El circuit elèctric. Llei d'Ohm

Circuit elèctric: conjunt d'elements conductors que formen un anell tancat pel qual circula un cor-rent elèctric. Les parts d'un circuit elèctric són:

1.7. Resistència i resistivitat 19

Font d'energia Receptors Conductors Elements de control

La causa que produeix el desplaçament d'electrons, o sia el corrent elèctric, és la foça electromotriu delgenerador. Aquesta força s'aplica als borns del receptor e forma de diferència de potencial o tensió.

Llei d'Ohm: la tensió i el corrent dins un circuit són directament proporcionals. Aquesta constantde proporcionalitat se li anomena resistència.

V = I ·R (1.15)

la unitat de resistència és ohm (Ω).

1.7. Resistència i resistivitat

Els conductors metàl·lics tenen una característica que és la resistència elèctrica. És la capacitatd'oposar-se al pas del corrent elèctric.

R = ρ · lS

(1.16)

on ρ és un coecient que depèn del material emprat anomenat resistivitat i les seves unitats són

ρ =R · Sl

=Ω ·m2

m= Ω ·m

la taula 1.2 mostra la resistivitat d'alguns materials conductors

Resistivitat a 200C

Material ρ(Ω ·mm2/m)Alumini 0,030Coure 0,01785Ferro 0,130Llautó 0,063Plata 0,016

Taula 1.2. Resistivitat d'alguns materials conductors

La resistivitat no és una constant, varia amb la temperatura. Quan més alta és la temperatura mésalta és la resistivitat en els metalls. En materials com el carboni disminueix a mesura que augmentala temperatura.

Una fòrmula que ens serveix per calcular la resistència d'un material donada una temperatura T és

R = R200C [1 + α(T − 20)] (1.17)

on R200C és la resistència del material a 200C i α és el coecient de temperatura que té unitats de1/0C. Aquesta expressió només és vàlida per temperatures entre −200C i 2000C.


1.8. Llei de Joule

Llei de Joule: La quantitat de calor despresa en un conductor pel qual circula un corrent és propor-cional al quadrat de la seva intenstitat i a la seva resistència. Per tant

Q = I2 ·R · t (1.18)

aquesta expressió té les següents unitats:

Q, calor o energia (joules, J) R: resistència (ohms, Ω) I: intenstitat (amperes, A) t: temps (segons, s)

Si volem l'expressió en calories només hem de multiplicar l'expressió 1.18 per 0'239 llavors tenim

Q = 0′239 ·R · I2 · t (1.19)

De la llei de Joule se'n desprén que la potència caloríca és

Pjoule = I2 ·R (1.20)

Exercicis

1. Dues càrregues elèctriques puntuals amb valors q1 = 11 · 10−7C i q2 = 32 · 10−8C estan situades a750mm en l'aire. Troba la força amb la qual es repel·leixen.

2. Troba el camp elèctric creat per una càrrega positiva puntual de 4 · 10−5C, en un punt P que dista44m

3. Demostrau que

E =9 · 109

εr· qr2

4. Troba la diferència de potencial creada per una càrrega de 66 · 10−7C entre dos punts que distend'aquesta càrrega 86 i 45mm.

5. Quina és la intensitat màxima que admet un conductor de coure nu de 2mm2 de radi i té unadensitat màxima de 6′35A/mm2

6. Troba la intensitat que circula per una resistència de 6kΩ en aplicar-li una tensió de 425V.7. Si aplicam 3mV de tensió a una resistència de 50µΩ. Que intensitat hi circularà?8. Un cable unilar de coure de 2′5mm2 i 950m de longitud, quina resistència té a 200C? I a 1000Csi

el seu coecient de temperatura és de 0'00393?9. Per una resistència de 12Ωse li aplica una tensió de 220V. Quant de temps ha d'estar connectada

per produir 180kcal?10. Troba la força de repulsió que hi ha entre dos electrons situats a 8 · 10−12m.11. TRoba la distància a què han d'estar un electró i un protó per a que la seva força d'atracció sigui

de 5 · 10−16N .12. La força d'atracció de dues partícules amb càrregues de signe oposat, situades a 8 micres de

distància es de 7′7 · 10−7N . Quin és el valor de les càrregues si tenen el mateix valor? I si el valord'una és el doble que l'altra?

Exercicis 21

Figura 1.2. Les blanques són les càrregues, el punt negre és el punt P on heu de calcular el camp elèctric

13. Troba el valor del camp elèctric creat per una càrrega de 14'8nC en un punt a 70mm de distància14. Troba el camp elèctric en el punt P, creat per dues càrregues positives de 10C en els casos de la

gura 1.215. Una càrrega puntual de 9′9 · 10−9C crea entre dos punts A i B en l'aire una ddp de 10'2V. Si el

punt A dista de la càrrega 88mm, troba la distància QB16. Un generador subministra un corrent continu de 12 A durant una setmana. Troba la càrrega

transferida.17. Un conductor de secció circular o diametre 5'6mm es travessat per una intensitat de 24A. Troba'n

la densitat de corrent.18. Dos conductors estan travessats per la mateixa intensitat de 6A. L'un té secció circular d'11mm de

diàmetre, i l'altre, secció quadrada. La densitat de corrent del primer és el triple que la del segon.Troba el costat del quadrat

19. Dos conductors suporten la mateixa densitat de corrent. El més petit té 14mm de diàmetre i estàtravessat per la quarta part de la intensitat del gran. Quin és diàmetre del conductor més gran?

20. Quant de temps ha d'estar connectada a un generador de 230V una resistència de 8Ω perquè elconsum sigui de 4 · 107joules? I per a que sigui de 19kWh?

21. Calcula la energia necessària en joules per a que 10 lampades incandescents de 100W llueixindurant 18hores seguides. I si el conjunt té una eciència del 60%?


22. Un motor de 6CV funciona durant 175 minuts. Durant quant de temps han de funcionar 20làmpades de 36W perquè el consum d'energia sigui igual en tots dos casos? (1CV=736W)

23. Quina intensitat consumeix una resistència de 800W/250V? Quina és la seva resistencia quan estaconnectada?

24. Una planxa elèctrica de 2kW i 25Ω de resistència. Quina tensió de funcionament té?25. Troba l'energia absorbida en Wh per a una resistència de 8mΩ, a la qual aplicam una tensió de

6kV durant 84 hores.26. Determina la calor produïda en tres quarts d'hora en aplicar una tensió de 660V a una resistència

de 2′2kΩ.27. Troba el valor d'una resistència que produeix 240.000 cal en connectar-la durant mig dia a una

tensió de 240V.28. Un conductor de coure té 85m de longitud i 6mm2 de secció. A quina temperatura duplica la seva

resistència respecte als 200C (α = 0′00393)29. Tres resistències de 20Ω, 1kΩ, 2MΩ poden dissipar una potència de 44W cadascuna, troba la

intensitat que hi pot circular30. Per a escalfar una massa m d'aigua ens cal una quantitat de calor

Q = m · (T2 − T1) kcal

volem escalfar 3 litres d'aigua introduint-hi una resistència de 8Ω, 220V, passant-la d'110C a 84oC.Troba el temps necessari per aconseguir-lo si suposem:a) No hi ha perduesb) Tenim una eciència del 80%

31. Disposem de dos conductors de secció circular, un de 10mm de diàmetre, de coure, i l'altre dediàmetre doble que aquest, d'alumini. Troba la longitud del conductor d'alumini, que té la mateixaresistència que 90m de conductor de coure.

32. Una bobina de l de coure d'1′5mm2està composta de 60 espires molt juntes, de 45mm de diàme-tre. Troba la intensitat que hi circula en aplicar-hi els extrems la tensió d'una bateria de 24V a20oC i a 75oC.

33. Per un línia d'alumini de 25mm2i 2′6km de longitud circula una intensitat de 44A. Troba l'energiacaloríca generada en aquesta línia en dos dies seguits, si durant 2 hores del migdia la intensitatdisminueix al 64%.

34. Dues resistències en sèrie de 5 i 7 Ω és connecten a 48V. Si es connecten en paral·lel durant elmateix temps el cost del consum és de 6 euros més. Quan de temps han estat connectades si elpreu del kWh és de 9 cèntims d'euro?

35. Un conductor de coure té forma de tub cilíndric de 18mm de diàmetre interior. Un tros de 140mdel qual té una resistència de 0,044Ω. Troba'n el diametre exterior.

36. Tres càrregues es troben situades en els vèrtex d'un triangle equilater d'1m de costat, q1 =1µC, q2 = 2µC i q3 = −1µC. S'us demana:a) Trobar el potencial elèctric en el punt mig que hi ha entre les càrregues 1 i 2b) Si en el punt mig es col·loca una càrrega de 3µC, calcular la força que pateix

37. Dues càrrgues puntuals de 25nC es troben en els punts (0,3)m i (-3,0)m. Calcula el camp elèctrical punt (0,4)m

38. En els punts (1,0) i (0,1) del sistema cartesià pla existeixen dues càrregues de 1/3µC i 1/9µC.Determinar:a) El valor del camp elèctric i el potencial elèctric a l'eix de coordenadesb) El potencial elèctric al punt (1,1)

Capítol 2

El condensador

2.1. Denició

Condensador: És un dispositiu format per dos conductors, molt pròxims entre ells, separats per unaïllant (dielèctric). Té com a funció emmagatzemar grans quantitats d'electricitat amb diferènciesde potencial relativament petites.

2.2. Capacitat d'un condensador

Capacitat: és la propietat d'enmagatzemar tensió i és la relació entre la càrrega emmagatzemada alcondensador per unitat de voltatge. Llavors tenim que

C =Q

V(2.1)

on:

Q, càrrega elèctrica (C) V, diferència de potencial o tensió (volts, V) C, és capacitat (C/V anomenada Faradi, F)

La capacitat depen dels elements amb que s'hagi construit, per tant una altra expressió de capacitat,vàlida per condensadors plans, és

C = εS

d(2.2)

on:

ε constant del dielèctric1 (F/m) S, superfície de les plaques del condensador (m2) d, distància entre les plaques (m)

Recordau que la constant del dièlectric al buit és

εo =1

4 · π · 9 · 109

C2

N ·m2

i que la relació entre la constant dielèctrica del material, la constant dielèctrica del buit i la constantdielèctrica relativa és

εr =ε

εo1 És la mateixa constant que vegerem al primer tema

24 Capítol 2. El condensador

Figura 2.1. Circuit de càrrega i descàrrega d'un condensador

2.3. Càrrega i descàrrega d'un condensador

Càrrega d'un condensador

La gura 2.1 mostra el circuit de càrrega/descàrrega d'un condensador. Aquest circuit consta de:

Una pila, que dóna energia al circuit Una resistència que ajuda a fer les mesures Un interruptor que està tancat i que a t=0 obrirem. El condensador, dispositiu que estudiarem

Tenim les següents condicions:

El condensador inicialment no te cap càrrega, per tant Q=0 A t=0 obrim l'interruptor

El que feim és plantejar mallesV = VR + VC

la tensió total és la suma de totes les tensions i sabem que2

ic = C · dVCdt

(2.3)

per tant tenim queV = iC ·R+ VC

2 No és evident però si partim de

Q = CV ⇒ dQ = CdVc ⇒dQ

dt= C

dVC

dt

2.4. Energia d'un condensador carregat 25

per tant

V = RCdVCdt

+ VC

aquesta equació té el nom d'equació diferencial i la seva solució és

VC = V (1− e−t/RC) (2.4)

es deneix la constant τ = RC, l'equació 2.4 ens diu que el condensador es carrega a t = ∞, com aaquest fet no es ajuda llavors es consiera que un condensador es carrega a t = 3τ

Desàrrega del condensador

Fent l'operació inversa tenim que el condensador es descarrega segons l'expressió

VC = V e−t/τ (2.5)

2.4. Energia d'un condensador carregat

Sabem que energia i treball són sinònims i que la potència elèctrica es deneix com

P = V · I ⇒W = V · I · t

tambe sabem que el corrent en un condensador carregat és zero però no la seva càrrega elèctrica, pertant

dW = V · I · dt = V · dqrecuperant l'equació 2.1 a la pàgina 23 tenim que C = Q/V ⇒ V = Q/C

dW =1C· q · dq

aquesta és una de les equacions que no sabem resoldre, altres ho fan per noltros

W =Q2

2C(2.6)

també es pot expressar comW = 1/2 ·Q · V (2.7)

o també comW = 1/2 · C · V 2 (2.8)

2.5. Associació de condensadors

Hi ha tres tipus d'associacions:

Sèrie Paral·lela o derivació Mixta


Associació sèrie

Resulta de connectar els condensadors un a continuació d'un altre: d'aquesta manera la càrrega delsdiferents condensadors és la mateixa. Per tant

Vi = VC1 + VC2 + ... = Q1/C1 + Q2/C2 + ... = Q[1/C1 + 1/C2 + ...] = Q ·∑i=1..n

1/Ci

així doncs1/C =

∑i=1..n

1/Ci (2.9)

Associació paral·lela

Els condensadors comparteixen terminals, d'aquesta manera la tensió als condensadors és la mateixaperò si algun condensador queda sense carregar llavors es carega. Així

Vi = V1 = V2 = ...

també sabem queQ1 = C1 · V1; Q2 = C2 · V2; ...

la càrrega elèctrica total és

Qtotal = Q1 +Q2 + ... = C1 · V1 + C2 · V2 + ... = Vi · (C1 + C2 + ...)

per tantCtotal = C1 + C2 + ... =

∑i=1..n

Ci (2.10)

Associació mixta

És aquella associació tal que no és ni serie ni paral·lela o és una combinació d'ambdues.

Exercicis

1. Amb l'ajuda d'un full de càlcul obteniu la forma de la càrrega i descàrrega d'un condensador2. Demostra que les unitats F/m coincideixen amb les de la constant dielèctrica del medi C2

N ·m2

3. Essent 628cm2 la superfície de cadascuna de les làmins d'un condensador pla, 5mm la distànciaque les separa i εr = 5 la constant relativa del medi que se'ls interposa. Calcular:a) La capacitat del condensadorb) La càrrega electrica que rep si es connecta a 50V

4. Un condensador pla està format per dues làmines paral·leles de 100cm2 de superfície amb unaseparació d'1mm. Si es carreguen amb 1000V. Quina serà la càrrega total? Si una vegada carregatintroduim un material amb εr = 4 quina sera la nova diferència de potencial?

5. Un condensador de 100µF es carrega a 2500V. Quina quantitat de gel a 0ºC (fusió del gel a 80cal/g)es pot fondre amb tota l'energia emmagatzemada pel condensador?

Exercicis 27

6. Tres condensadors de 2, 3 i 5µF es conecten en paral·lel i el conjunt es carrega a una tensió de1000V. Es demana:a) La capacitat equivalent i la càrrega emmagatzemada en l'associaciób) L'energia que poseeix l'associacióc) La càrrega a cada condensador

7. Tres condensadors de 20, 30 i 60µF s'associen en sèrie i el cojunt es carrega a 300V. Calcular:a) La capacitat equivalent i la càrrega emmagatzemada en l'associaciób) L'energia que poseeix l'associacióc) El voltatge a cada condensadord) La càrrega a cada condensador

8. Tres condensadors A, B i C de 20,40 i 60µF es connectes els dos primers en paral·lel i aquestaassociació en sèrie amb el condensador C. Als extrems de l'associació s'estableix una ddp de 200V.Calcular:a) La capacitat equivalentb) La càrrega i l'energia total emmagatzemadac) La càrrega i l'energia de cada condensador

9. Tens tres condensadors de 2, 4 i 6µF . Calcular la capacitat equivalent en els següents casos:a) Els tres en sèrieb) Els tres en paral·lelc) Els dos primers en sèrie i el tercer en paral·lel amb el conjuntd) El dos primers en paral·lel i el tercer en sèrie amb ells

10. Un condensador de 2µF es carrega a 100V i es connecta en paral·lel a un altre de 4µF carregat a200V. Calcular:a) La càrrega del condensador després de la uniób) La tensió de cada condensadorc) L'energia total emmagatzemada

11. Un condensador de 100pF es carrega a 50V, depre´s se separa de la bateria i es connecta enparl·lel amb un altre condensador inicialment descarregat, mesurant-se 20V de ddp entre les sevesaramdures. Quina és la capacitat d'aquest segon condensador?

12. Tres condensadors de 0'2, 0'3 i 0'5 µF estàn associats en paral·lel. En aquest conjunt s'unerix ensèrie un altre grup de tres condensadors de 0'1, 0'5 i 0'7µF muntats en sèrie. Calcular:a) La capacitat de tota l'associaciób) La càrrega total acumulada quan la tensió en els extres de l'associació sigui de 500V.

13. Un condensador pla format per plaques circulars de 20cm de radi adquireix una energia de 3·10−5Jquan es connecta a 1000V de ddp. Es demana:a) La separació de plaques si el dielèctric és l'aireb) Si es desconnecta del generador, calcular la ddp entre les seves plaques quan se les separa una

distància dues vegades l'originalc) Quina serà la càrrega nal de les plaques si es realitza l'anterior separació amb el condensador

connectat al generador de 1000V?14. Sigui un circuit com el de la gura 2.2 on CA = CB = CC = 1µF i CD = 2/3µF alimentat amb

1000V. Quina serà la càrrega emmagatzemada en cada condensador?15. Quina és la capacitat equivalent de l'associació representada en la gura 2.3 ? Quina càrrega

emmagatzema i quina tensió suporta el condensador de 6µF?16. Siguin tres condensadors 4µF , 6µF i 3µF connectats el dos darrers en paral·lel i en sèrie amb el

primer. Es demana:


Figura 2.2. Circuit a analitzar

Figura 2.3. Circuit a analitzar

a) Capacitat totalb) Si el conjunt s'alimenta amb una ddp de 13V. Quina càrrega adquireix cadascun d'ells?c) L'energia de l'associació

17. L'energia d'una associació en paral·lel de dos condensadors es de 9 · 10−4J quan la ddp es de5000V. Pel contrari si els dos condensadors s'associen en sèrie i s'aplica a les plaques la mateixaddp, l'energia de l'associació és de 2·10−9J . Troba els valors de les capacitats dels dos condensadors.

18. En un condensador pla de capacitat C connectat a una ddp V. Digues:a) Quan val la càrrega adquirida?b) Si es redueix la distància entre plaques a la meitat. Augmentaria la capacitat? I la càrrega?

Part II

Conceptes i fenòmens electromagnètics

Capítol 3

Conceptes i fenòmens electromagnètics

3.1. Inducció magnètica

Des de l'antiguitat es coneix el fenòmen pel qual certsmaterials, com la magnetita, atreuen objectesde ferro d'una mida reduïda.

Aquesta propietat s'anomena magnetisme i es justica per l'existència d'un camp magnètic entreels seus pols, as quals anomenam nord i sud. Aquest camp magnètic es gràca amb línies d'inducciómagnètica que surten del pol sud al pol nord. La gura 3.1 mostra un exemple d'aquest camp magnèticon es pot veure que aquestes línies de camp, a diferència del camp elèctric, són tancades.

Una major abundància de línies de camp posa en evidència un camp magnètic més potent. El campmagnètic és un vector que es designa amb la lletra

−→B i la seva unitat són els Tesla (T)

Per tant:

Les línies de camp són tancades, raó per la qual s'anomenen circuit magnètic Parteixen, per conveni, del pol nord al pol sud S'anomena ux magnètic al nombre de línies de camp que hi ha a una superfície

Inducció magnètica: nombre de línies de camp per unitat de superfícieFlux magnètic: És el nombre total de línies que travessen una superfície

La seva expressió general ésφ = B · S · cosα (3.1)

on:

Figura 3.1. Camp magnètic obtingudes amb llimadures de ferro

32 Capítol 3. Conceptes i fenòmens electromagnètics

φ, és el ux magnètic mesurat en weber (Wb) B, és la inducció magnètica es mesura en Tesla (T), saber que 1T = 1Wb/m2

α, és l'angle que forma la perpendicular de la superfície amb el vector B.

3.2. Camps magnètics creats per corrents elèctrics

Llei Biot-Savart

Aquesta llei relaciona el moviment de càrregues elèctriques i el magnetisme.

Llei Biot-Savart: Si una càrrega q es dirigeix frontalment cap a un punt O a una velocitat v, lainducció que crea en un altre punt P que està a una distància r d'aquest és

B =µ

4 · π · r2· q · v · sinϕ (3.2)

on:

B és la inducció magnètica o el camp magnètic al punt P (Tesla) µ és la pearmibilitat magnètica del medi. Quan estam al buit tenim µ0 = 4 ·10−7 ·πWb ·m−1 ·A−1

r, és la distància de la càrrega al punt P (metres) ϕ és l'angle format entre el vector de posició r i la direcció que segueix el desplaçament de la càrrega.

Camp magnètic creat per un corrent elèctric

Molt bé, ara hem vist els efectes d'una càrrega en moviment... però que passa si són moltes càrreguesles que es mouen per un conductor?

Aplicant la Llei Biot-Savart tenim s'arriba a la que el camp magnètic creat per un corrent és

B =µ · I

2 · π · r(3.3)

on r és la distància mínima del conductor al punt on volem calcular el camp magnètic

Camp magnètic creat per una espira circular

El camp magnètic creat per una espira circular és

B =µ · I2 · r

(3.4)

on r és el radi de l'espira.

3.3. Interacció entre corrents i camps magnètics 33

Camp magnètic creat per un solenoide

Un solenoide és una bobina, supossam que aquest solenoide té N voltes per tant

B = µ · N · Il

(3.5)

on:

N, és el nombre de voltes d'una bobina l, és la longitud de la bobina

L'expressió 3.5 només és vàlida si l r sinó l'expressió seria

B = µ · N · I2 · r

(3.6)

Intensitat del camp magnètic

La intensitat del camp magnètic indica quan intens és−→B d'una bobina, es deneix com

H =N · Il

(3.7)

on H és la intensitat del camp magnètic (Av/m). Per tant combinant les esxpressions 3.5 i 3.7 arribama

B = µH (3.8)

3.3. Interacció entre corrents i camps magnètics

La naturalesa electromagnètica és triple: per un costat tenim càrregues en moviment (corrent), peraltre costat tenim camp magnètics i a darrera instància tenim forces.

La inuència dels corrents i els camps magnètics l'hem vista al llarg de l'apartat 3.2, aquesta interac-tuació és recíproca com veurem més envant i es la que ens permeteix generar energia però necessitaun tercer component: forces.

En aquest apartat veurem com els corrents en presència d'un camp magnètic es poden veure afectatsper una força o com amb un simple electroimà podem generar un camp magnètic que sigui capaç degenerar una força d'atracció.

Força magnètica sobre una càrrega en moviment

Suposem que a una regió de l'espai hi ha un camp magnètic−→B i per aquesta regió passa una càrrega

en moviment que du una velocitat −→v . El valor de la força té la següent expressió−→F = q · (−→v ×−→B ) (3.9)

aquesta força escrita en forma escalar és

F = q · v ·B · sinα (3.10)

on:


Figura 3.2. La famosa regla de la ma esquerra

q, és la càrrega v, és la velocitat de la càrrega B, és el camp magnètic α és l'angle entre els vectors v i B

El sentit i la direcció dels vectors ve marcat per la regla de la mà esquerra1, gura 3.2:

El polze indica la força magnètica L'index el camp magnètic El cor és el moviment de la càrrega

Veurem que passa amb la força segons la trajectòria de la càrrega, veure gura 3.3 a la pàgina següent:

Si la càrrega entra paral·lelament al camp magnètic llavors α = 0 per tant sinα = 0, la càrrega noes veura afectada.

Si la carrega entra amb un angle de π/2, 3π/2, ... llavors sinα = 1, −1, ... és veurà afectada i patiràun força ascendent o descendent que provocarà una trajectòria circular.

F = q · v ·B

Si la càrrega entra amb un altre angle llavors donarà voltes en espiral. El radi de la curvatura seràigual a

r =m · vq ·B

(3.11)

Força sobre un conductor rectilini

Sabem que la velocitat és espai per unitat de temps, en aquest cas la veloctitat que du una càrrega ésla longitud que reccor aquesta càrrega cada segon, per tant

v =l

t(3.12)

1 Emprau-la amb modeació, pot provocar lesions al canell!

3.3. Interacció entre corrents i camps magnètics 35

Figura 3.3. Trajectòria d'una càrrega positiva, el camp magnètic ens apunta

si recuperam l'expressió 3.10 a la pàgina 33 amb l'anterior expressió podrem dir que

F = q · lt·B · sinα

si reagrupam els termes llavorsF = I · l ·B · sinα (3.13)

Interacció entre dos conductors rectilinis

En el cas que tenguem dos conductors rectilinis paral·lels, el camp magnètic d'un conductor afectaràl'altre i vice versa. Llavors tenim que el conductor 1 genera un camp B1 i el conductor 2 genera uncamp magnètic B2.

Per tant:

La força que afectarà al conductor 1 serà igual a

F1 = I1 · l1 ·B2sinα

com els conductors són paral·lels llavors

F1 = I1 · l1 ·B2

La força que afectarà al conductor 2 serà igual a

F2 = I2 · l2 ·B1

De tal manera que si tenen el mateix sentit és repel·liràn i si tenen sentit contrari s'atrauran. De totesmaneres la força en tot dos conductors, si tenen la mateixa longitud l, serà, en mòdul, la mateixa iigual a (sabent que el camp magnètic creat per un conductor és la que ens diu l'expressió 3.3 a lapàgina 32)

F = I1 · I2 ·µ · l

2 · π · don d, és la distància entre conductors.


Figura 3.4. Espira dins un camp magnètic. Un motor/generador bàsic

Forces i moment sobre una espira rectangular

Aquest càlculs es fan sobre una espira rectangular, plana de costats a i b. Aquesta espira està sotmessaa un camp magnètic

−→B que és uniforme i perpendicular a la posició de l'espira. Dins l'espira circula

un corrent I constant. Veure gura 3.4

En l'espira apareixen 4 forces que les podriem agrupar en dos grups:

1. Dues forces de sentit contrari que no fan moure l'espira provocades pel pas de corrent pels conduc-tors ortogonals a l'eix.

2. Dues forces que formen un parell de forces provocodes pels conductors que són paral·lels a l'eix degir. Si aquest conductors tenen una longitud b llavors el mòdul de la força serà

Fb = I · b ·B · sinα (3.14)

i tenen sentit contrari. El parell de forces es deneix com τ = longitud del brac×forca, la longituddel braç és la longitud del conductor ortogonal a l'eix de gir a llavors

τ = a · b · I ·B · sinα

si a · b és la superfície de l'espira tenim

τ = S · I ·B · sinα (3.15)

al producte S · I es li anomena el moment magnètic d'una espira

m = I · S (3.16)

per tant l'expressió 3.15 es pot escriure com

τ = m ·B · sinα (3.17)

Aquests resultats es poden extrapolar si tenim més d'una espira, en el cas de tenir N-espires

τN−espires = N · τ (3.18)

3.4. El circuit magnètic 37

3.4. El circuit magnètic

Els materials i el camp magnètic

Respecte a un camp magnètic els materials es poden classicar de tres maneres:

1. Els materials diamagnètics, aquests materials diculten el pas de les línies de camp magnètic.Aquesta propietat és pròpia del coure, el sodi, l'hidrògen,...

2. Els materials paramagnètics, aquests materials tendeixen a concentrar línies de camp magnètic itenen un comportament similar a l'aire. Quan cessa el camp magnètic no hi queda magnetisme.

3. Els materials ferromagnètics, aquests concentren línies de camp magnètic i quan el camp magnèticdesapareix hi queda magnetisme.

Força magnetomotriu

La gura 3.5 mostra com la bobina genera un camp magnètic en passar un corrent elèctric. Es deneixcom força magnetomotriu (FMM) a

FMM = N · I (3.19)

Figura 3.5. Generació d'un camp magnètic

Aquesta FMM s'expressa en SI en amperes-volta (A-v).

Reluctància

Un concepte similar a la de la resistència elèctrica traslladat al camp magnètic és la reluctància.

Reluctància: És la major o menor dicultat que ofereix un circuit magnètic per establir línies deforça.


El camp magnètic creat per una bobina és, recuperant l'expressió 3.5 a la pàgina 33

B = µN · Il

que es pot reescriure com

B = µFMM

l

i per altra banda sabem que el ux magnètic és φ = B · S per tant

φ = µ · S · FMM

l

s'anomena reluctància a

< =l

µ · S(3.20)

Per tant l'expressió del ux magnètic queda

φ = FMM/< (3.21)

aquesta expressió rep el nom de Llei de Hopkins o Llei d'Ohm per circuits magnètics.

Respecte la reluctància podem classicar els circuits magnètics en homogènis o heterogenis:

Circuits magnètics homogènis: tot el circuit està format pel mateix material Circuits magnètics heterogenis: no són homogenis.

Els circuits poden tenir reluctàncies en sèrie o en paral·lel, veure gura 3.6

(a) Paral·lel (b) Sèrie

Figura 3.6. Circuits magnètic sèrie i paral·lel

Tal i com passava amb les resistències elèctriques tenim:

Sèrie <total =∑i=1..n <i

Paral·lel 1/<total =∑i=1..n

1/<i

3.5. Inducció electromagnètica 39

3.5. Inducció electromagnètica

En aquesta secció respondrem a la pregunta: És possible generar un corrent amb el concurs d'un campelèctric i una força?2

Llei de Faraday

La llei de Faraday ens diu

ε = −dφdt

(3.22)

que la força electromotriu (ε) és igual a menys a la variació de uxe magnètic respecte del temps.D'aqui podem treure les següents conclusions:

1. La fem induida és més grossa quan més ràpid varia el uxe magnètic.2. Encara que hi hagi magnetisme, si aquest no varia, no genera corrent elèctric. La derivada d'una

constant és zero!3. La fem induida s'oposa a la causa que la provoca4. Les direccions de −→v , −→B, −→I són les mostrades a la 3.7

(a) Paral·lel

Figura 3.7. Per a la generació de camps elèctrics s'empra la regla de la ma dreta!

Fem induida en un conductor rectilini

Recuperam l'expressió 1.12 a la pàgina 18 i la reforman escrivint-la

ε =dW

dq(3.23)

i la gura 3.8 a la pàgina següent mostra la situació del nostre conductor.

2 Sí!!


Figura 3.8. Fem induïda a un conductor elèctric

Sabem que la força sobre el conductor és F = I ·B · l · sinα com el conductor fa 90o respecte el campmagnètic tenim

F = I ·B · l

i sabem que

v =ds

dt⇒ ds = v · dt

i també que

dW = F · ds = I ·B · l · v · dt = B · l · v · dqdt· dt = B · l · v · dq

per tant si ε = dW/dq llavorsε = B · l · v (3.24)

Fem induïda per un espira traslladant-se

La gura 3.9 a la pàgina següent mostra el moviment de l'espira. La variació de superfície exposadaal camp magnètic és

dS = l · da

i el seu ux magnètic és

φ = B · S ⇒ dφ

dt= −B · dS = −B · l · da

per tant, emprant Faraday tenim que

ε = −dφdt

= B · l · dadt

= B · l · v (3.25)

3.5. Inducció electromagnètica 41

Figura 3.9. Fem induïda per una espira en moviment de traslació

Fem induïda per un espira rotant

L'espira gira sobre un eix, mirar la gura 3.4 a la pàgina 36. Sabem que el ux magnètic és

φ = B · S · cos · ϕ

la nostra espira gira amb una velocitat angular

ω =ϕ

t⇒ ϕ = ω · t

per tant

φ = B · S · cos(ω · t)

tornam a aplicar Faraday ε = −dφdt i així ho feim

ε = B · S · ω · sin(ω · t) (3.26)

Si tenim N-espires llavors

ε = N ·B · S · ω · sin(ω · t) (3.27)

si es deneix

εmax = N ·B · S · ω

llavors

ε = εmax · sin(ω · t) (3.28)


3.6. L'autoinducció

Anteriorment hem vist com un corrent elèctric que recorr una bobina crea un camp magnètic (i unux) al seu interior. També hem vist que si el ux magnètic és variable respecte el temps es crea uncamp elèctric (una fem).

Si el corrent elèctric que provoca l'aparició del camp magnètic és variable es crearpa en els borns dela bobina una força contraelectromotriu (fcem) que s'oposarà al valor de dita variació

ε = −dφdt

Per altra banda aquesta variació de ux és proporcional a la velocitat de variació de la intensitat, demanera que

dφ

dt= L · dI

dt

on L és el coecient d'autoinducció, per tant combinant ambdes expressions tenim

ε = −L · didt

(3.29)

Fem autoïnduida és directament proporcional i de sentit contrari a la veloctiat de variació de laintensitat que la recorre

La constant L rep el nom de coecient d'autoinducció de la bobina i el seu valor depén de la seva formaconstructiva. Aquest coecient té unitats de Henry (H).

Henry: un henry és l'autoinducció d'un circuit en què un corrent la intensitat del qual varia 1 ampereper segon i produeix per autoinducció una força electromotriu d'1V.

El coecient d'autoinducció d'un solenoide de N-espires, amb cada espira amb secció S i longitud l téun coecient d'autoinducció3 de

L = µ · N2 · Sl

(3.30)

Energia enmagatzemada en una autoinducció

Si recordam l'expressió de l'energia enmagatzemada per un condensador era

W =Q2

2C3 Sabem que

ε = −N ·dφ

dt= −L ·

dI

dt

per tant N ·φ = L · I llavors L = N · φ/I i si sabem que el ux magnètic d'una bobina és φ = B ·S i B = µ · N·Il

tendrem

L = N · S · µN · II · l

= µ ·N2 · Sl

Exercicis 43

a una autoinducció succeix el mateix tenim que l'energia emmagatzemada és

W =L · I2

2(3.31)

això es demostra pensant que

P = vL · iL = L · diLdt· iL

sabem que

W = P · t⇒W =∫ t

0

L · diLdt· iL · dt = L · i

2L

2

Exercicis

1. Una bobina de 39 espires, de 0′5mm2 i radi 2 cm està travessada per un corrent de 3A. Troba elcamp magnètic en el centre

2. Un solenoide de l=80cm i d'1'5cm de diàmetre està format per 80 espires conductores. Si el recorreun corrent d'1A, troba la inducció magnètica al seu interior.

3. Troba el valor de la fem induïda al conductor de la gura 3.10 sabent que B=1'2T, l=10cm iv=5m/s

Figura 3.10. Quina fem indueix el camp magnètic?

4. Troba la fem autoinduïda en una bobina de L=20mH si la intensitat que la travessa varia 10A/s5. Troba el coecient d'autoinducció d'un solenoide de 200 espires, 60cm de longitud i un radi de 3cm6. Un solenoide té 20cm de longitud, 200 espires i un corrent de 2A. Troba el seu camp magnètic al

seu interior si el nucli té una permeabilitat µ = 8 · 10−5T · m/A7. Troba el ux magnètic que travessa una espira circular de 25cm de radi, el pla del qual forma 35o

amb el camp magnètic de 160mT8. Una càrrega q de 10C avança perpendicularment cap a un pla a una v=10m/s en el buit. Quan la

distància de la càrrega al pla és de ¯qO = 40cm, troba la inducció en un punt P situat a OP = 66cm9. Troba el corrent elèctric que haurà de circular per una espira de 30cm de diàmetre, per tal que al

seu centre és produeixi un camp magnètic de 1/15T . La prova té lloc a l'aire (µo = 12′57 ·10−7 T ·mA )

10. Troba la distància a la qual es troba un punt P exterior a un conductor rectilini, si en circular-hiun corrent de 4A es crea un camp magnètic de 2′2 · 10−2T


11. Quantes espires ha de tenir una bobina de 15cm de diàmetre i 0'5mm2 de secció per a crear al seucentre un camp de 10mT quan es travessat per un corrent de 3A?

12. Troba la inducció produïda en un punt interior d'un solenoide sense nucli, si té 120 espires, 40 cmde longitud i el travessa un corrent de 7A.

13. Un solenoide de 40cm de longitud, recorregut per una intensitat de 3A, crea al seu interior unainducció d'1mT. Quantes voltes de bobina cal treure-li per tal de reduir en un 25% aquesta inducció?

14. Troba la força que s'exerceix sobre un conductor rectilini de 32cm de longitud, col·locat perpen-dicularment a un camp magnètic de 1'2T, quan el travessa un corrent de 3'3A

15. Sobre un conductor rectilini de 80cm de longitud, travessat per una intensitat d'1'5A, s'exerceixuna força de 0'1N quan es troba col·locat en un camp magnètic de 120mT. Troba la forá exercidasobre dit conductor quan es redueix a la meitat l'angle que forma amb el camp

16. Quina fem apareix en els extrems d'un conductor rectilini de 45cm de longitud que es mou a 6m/sen direcció perpendicular a un camp magnètic de 26mT?

17. En un solenoide sense nucli apareix una tensió de 0'2V en llurs extrems, mentre que la intensitatcanvia uniformement de 0'2 a 1'1A en 9 segons. Troba'n la longitud, si saps que té 1200 espires iel radi de cada espira és de 70cm

18. Dos solenoides sense nucli tenen una longitud idèntica i un coecient d'autoinducció idèntics. Elradi d'un d'ells és d'11mm i l'altre és la meitat. Troba la relació entre el nombre d'espires delssolenoides.

19. Troba la inducció magnètica dins el nucli d'un solenoide de 140 espires, l=16cm, I=1'6A i µ =6 · 10−6 T ·m

A20. Un solenoide amb nucli té 340 espires i 14cm de longitud. Produeix una inducció de valor de

0'0077T quan el recorr una intensitat de 1'2A. Determina si el material és diamagnètic, ferromag-nètic o paramagnètic.(Pista heu de calcular µ i comparar-lo amb µo)

21. Un protó es mou amb una energia cinètica d'1MeV i es mou perpendicularment a un camp magnèticd'1'5T. Calculau:a) Força que actua damunt el protób) Radi de la trajectòria circular que describeixmproto = 1′67 · 10−27Kg i la seva càrrega q = 1′6 · 10−19C

22. Un camp de 80µT amb quina força actuarà damunt un conductor de 20cm de longitud, situadperpendicularment a la direcció del camp, pel que circula un corrent de 10A? I si el conductorforma 30o amb la direcció del camp?

23. Trobar la força (modul i sentit) que actua sobre un conductor rectilini de 10cm de longitud, perlqual circula un corrent de 15A d'est a oest i que es troba en una regió en el que la inducció delcamp magnètic terrestre té un valor de 25µT

24. Una bobina circular plana, de 20 espires, té un radi de 10cm. Quina intensitat de corrent ha decircular-hi per a que el camp magnètic al centre valgui 2 · 10−4T?

25. L'electró existent en l'escorça de l'àtom d'hidrògen descriu al seu voltant una òrbita de 5′3 ·10−11mamb una velocitat de 2′2 · 106m/s. Calculau el camp magnètic al centre de l'òrbita

26. Calcular la inducció magnètica a l'interior d'un solenoide de 0'16m de longitud format per 640espires, amb una resistència elèctrica de 6Ω quan se li aplica una ddp de 120V.

27. Per dos conductors paral·lels rectilínis, de 8m de longitud, situats a 2cm de distància passencorrents en el mateix sentitde 2A. Amb quina força s'atrauen mutuament?

28. Dos conductors rectilinis i paral·lels transporten corrents de 2 i 6A respectivament. Si estanseparats 4cm. Indica quina força per unitat de longitud actua sobre ells si:a) Els corrents són del mateix sentit

Exercicis 45

b) Els corrents tenen sentit contrari29. Un anell de Rowland amb nucli de ferro (µr = 2500) té una secció transversal de 5cm2 i una

circunferència mèdia de 50cm de longitud. L'anell compta amb N = 500 per les quals hi circularun corrent de 0'1A:a) Quina és la FMM de l'anell?b) Quina és la seva intensitat magnèticac) Quina és la < de l'anell?d) Quin és el ux total de l'anell?

30. Un anell de Rowland amb nucli de ferro (µr = 2500) té una secció transversal de 5cm2 i 40 cm dediàmetre. El seu enrotllament compta d'una bobina de 10cm per centímetre. Calculau:a) Quina és la < de l'anell?b) FMM que produeix un corrent de 0'2Ac) Quin és el ux total de l'anell?

31. Un nucli de ferro (µr = 600) de forma toroidal de 50cm de diàmetre i 5cm2 de secció du bobinades500 espires. Quin corrent ha de circular per les espires per a que el ux sigui de 5 · 10−5Wb, sabentque el nucli poseeix un entreferro d'1mm de longitud?

32. Una espira de forma quadrada de 400cm2 de secció i N=20 es troba situat en direcció normal aun camp magnètic de 0'12T i gira ns situar-se paral·lelament al camp, en 0,25s. Quin és el valorde la fem induida?

33. Una bobina de 200 espires i radi 0'10m es col·loca perpendicularment a un camp magnètic uniformede 0'2T. Trobar la fem induïda en la bobina si:a) Es duplica el camp magnèticb) El camp s'anulac) S'inverteix el sentit del campd) Es gira 90o la bobina a l'eix paral·lel del campe) Es gira 900 la bobina a l'eix perpendicular del campSolució:El problema 33, d'alguna manera, és el resum de la teoria que hem estudiat de generació de correntselèctrics (fem induida). La teoria ens explica que podem generar corrent elèctric quan comptamamb un camp magnètic sempre que es compleixi la següent expressió:

ε = −dφdt

això vol dir que es genera una tensió (fem induida) quan en el nostres conductors o espira hi hauna variació del uxe magnètic. Aquesta variació pot ser deguda a:a) Tenim un camp magnètic constant però varia la posició del conductor: bé per què rota, bé per

què es mou, ...b) El nostre conductor no es mou emperò varia el camp magnèticc) O la combinació dels dos anteriors puntsPer tant el problema 33 es resol de la següent manera: L'apartat a) ens diu que el camp magnètic es duplica. Això vol dir que en dos segons

−→B passa

de valer 0'2T a valer 0'4T. Primer calculam el ux magnètic:

φinicial = B · S = 0′2 · (0′10)2 · π = 2πmWb

iφfinal = B · S = 0′4 · (0′10)2 · π = 4πmWb


per tant si calculam la variació del ux magnètic

dφ

dt=

∆φ∆t

=4π · 10−3 − 2π · 10−3

2= π · 10−3Wb/s

per tant tenim que la tensió induïda serà

ε = −N · ∆φ∆t

= −200 · π · 10−3V = −0′2πV ' −0′63V

L'apartat b) es calcula de forma anàloga... per tant faré més via . Si el camp s'anul·la, lavariació de ux magnètic és

∆φ∆t

=0− 2π · 10−3

2= −π · 10−3Wb/s

per tant

ε = −N · dφdt

= −N · ∆φ∆t

= −200 · (−π · 10−3) = 0′2πV ' 0′63V

L'apartat c) també es fa igual que el a) i el b), així doncs

∆φ∆t

=−2π · 10−3 − 2π · 10−3

2= −2π · 10−3Wb/s

per tant

ε = −N · dφdt

= −N · ∆φ∆t

= −200 · (−2π · 10−3) = 0′4πV ' 1′26V

L'apartat d) canvia l'escenari, el camp magnètic es constant però variam la posició de lesespires. Si giram respecte a l'eix paral·lel al camp magnètic no tenim cap variació per que elux magnètic no varia... Ja que només donam voltes a l'espira de tal manera que sempre estàla mateixa superfície enfrontada al camp magnètic. Per tant

ε = 0

L'apartat e) es resol emprant l'equació

ε = N ·B ·S ·ω ·sin(ω ·t) = 200·0′2·(0′1)2 ·π ·π2

2·sin(

π2

2·t) = 0′4·π · π

4·sin(πt/4) = 0′1·π2 ·sin(πt/4)

per tant la tensió màxima que s'aconsegueix és

ε = 0′1 · π2V ' 1V

34. Quina energia poseeix una bobina de L=0'4H per la qual hi circula un corrent de 3A?

Part III

Circuits elèctrics

Capítol 4

Circuits elèctrics en corrent continu

4.1. Associació de resistències

A les ja conegudes associacions en sèrie i en paral·lel podem afegir les associacions en estrella i entriangle. La gura 4.1 mostra la conguració en triangle i en estrella

(a) Resistencies en estrella (b) Resistencies en triangle

Figura 4.1. Conguració estrella i triangle

Pas de triangle a estrella

Si anomenamR = R12 +R23 +R31

llavors les resistències estrella sónR1 = R12·R31

R

R2 = R23·R12R

R3 = R31·R23R

(4.1)

Per il·lustrar-ho farem l'exercici 1 a la pàgina 51

Pas d'estrella a triangle

Es deneixRp = R1 ·R2 +R2 ·R3 +R3 ·R1

50 Capítol 4. Circuits elèctrics en corrent continu

resultenR12 = Rp/R3

R23 = Rp/R1

R31 = Rp/R2

(4.2)

4.2. Lleis de Kircho

Nus: punt en el qual concorren tres o més conductorsBranca: conjunt d'elements compressos entre dos nusosMalla: conjunt de branques d'un circuit que formen un cami tancat i que no es pot dividir-se en altres

ni passar per la mateixa branca dues vegadesPrimera llei de Kircho (Llei dels corrents): La suma algebràica dels corrents que con-

corren en un nus és igual a zero

Segona llei de Kircho (Llei de les tensions): En una malla, la suma algebraica de les tensionsdels generadors és igual a la suma algebraica de les tensions dels elements passius.

Per il·lustrar les lleis de Kircho empraré l'exercici 5 a la pàgina 52.

4.3. Teorema de superposició

La intensitat en qualsevol branca és igual a la suma algebraica de les produides per cada generadorconsiderat individualment, quan la resta de generadors es reemplacen per les seves resistències internes.

Per il·lustrar el teorema de superposició empraré l'exercici 5 a la pàgina 52.

4.4. Teorema de Thevenin i Norton

Teorema de Thevenin: una xarxa amb dos terminals als quals està connectada una càrrega es potsubstituir per un generador electromotriu Vth i una resistència interna Rth essent:

Vth la ddp entre els terminals de la resistènica de càrrega, quan aquesta es suprimeix Rth la resistència equivalent en aquests terminals quan s'anulen totes les forces electromotrius de

la xarxa.

Teorema de Norton: una xarxa amb dos terminals als quals està connectada una càrrega es potsubstituir per una font d'intensitat IN en paral·lel amb una resistència interna RN essent:

IN el corrent que circula quan es curtcircuita els terminals de la resistènica de càrrega RN la resistència equivalent en aquests terminals quan s'anulen totes les forces electromotrius de

la xarxa.

Faré els càlculs de Thevenin i Norton amb l'exercici 5 a la pàgina 52.

Exercicis 51

Exercicis

1. Treure la resistència equivalent del circuit de la gura 4.2

(a) Enunciat (b) Segona passa

Figura 4.2. Quina és la resistència equivalent

Per resoldre-lo hem de tenir en compte que les resistències 2, 3 i 4 formen un triangle. Per tant leshem de convertir a estrella, com en la gura. Per tant tenim que R = 2 + 2 + 2 = 6Ω i també

R1 = 4/6 = 2/3Ω

R2 = 4/6 = 2/3Ω

R3 = 4/6 = 2/3Ω

Les agrupacions que podem fer són: Podem agrupar R2 amb R1 en sèrie 8/3Ω Podem agrupar R4 i R5 en sèrie 8/3Ω Podem agrupar R3 amb R6 en sèrie 8/3Ω Finalment les dues darreres resistències en paral·lel ⇒ 4/3Ω en sèrie amb la darrera de 8/3Ω. La

resistència equivalent és de 4Ω2. Calculau el corrent que travessa R2 de la gura 4.3 a la pàgina següent(a)


(a) Troba el corrent a R2 (b) Troba la potència a R2

Figura 4.3. Circuits amb conversions

3. Troba la potència dissipada per la resistència de 10Ω de la gura 4.3(b)4. Entre els nussos A i B de la xarxa de la gura 4.4, s'acoblen 12 resistències iguals de 2Ω formant

un cub. Quina és la resistència equivalent del circuit?

Figura 4.4. Troba la resistència equivalent

Figura 4.5. Calcular el següent circuit

5. Al circuit de la gura 4.5, calcular:a) El corrent a cada brancab) La tensió a la resistència de 2Ωc) La potència disipada a la resistència de 5Ω

Exercicis 53


6. Al circuit de la gura 4.6, calcular:a) El corrent a cada brancab) La tensió a la resistència de 8Ωc) El cost del manteniment del circuit durant un any si el kWh va a 12 cèntims d'euro

7. Amb sis conductors iguals amb R = 2Ω es construeix un teaedre, connectant dos dels seus vèrtex auna font de tensió de 1'5V. La resistència de les connexions i de la font són despreciables. Calcularla intensitat total que passa pel circuit i la que travessa cadascuna de les seves resistències.


8. Al circuit de la gura 4.7, si R = 20Ω i R1 = 30Ω calcular:a) Calcular la resistència equivalent entre els terminals A i B.b) Si s'aplica una tensió de 300V entre els terminals A i B, determinar la potència consumida per

la resistència R1

c) Si s'aplica una tensió de 500V entre els terminals A i C, determinar la potència consumida perla resistència R1



9. Al circuit de la gura 4.8 quines són les intensitats que recorren cada branca?


10. Al circuit de la gura 4.9, calculau el corrent de curtcircuit I


11. Al circuit de la gura 4.10, determinar la tensió entre els punts A i B i fer l'equivalent Thevenin iNorton.


12. Al circuit de la gura 4.11 indica quina corrent travessa els punts A i B

Exercicis 55

a) Aplicant superposiciób) Fent l'equivalent Thevenin entre A i Bc) Fent l'equivelent Norton entre A i B

13. L'equivalent Thevenin d'un circuit és Vth = 24V i Rth = 2Ω. Trobar el seu equivalent Norton.14. Dues piles amb forces electromotrius i resistències internes de ε1 = 21V, R1 = 2Ω ε2 = 23V, R1 =

2Ω es connecten en paral·lel. Si a aquest conjunt connectam un resistència R = 5Ωen sèrie. Calcularla intensitat que travessa la resistència de 5Ω.


15. Al circuit de la gura 4.12a) Troba les intensitats del circuitb) Fent l'equivalent Thevenin a la resistència de 3Ω








Exercicis 57


19. Al circuit de la gura 4.16 calcula el percentatge de potència consumida per la resistència de 10Ω


20. Al circuit de la gura 4.17 calcula:a) El corrent total quan S està obertb) El corrent total quan S està tancatc) La potència total consumida quan S està obertd) La potència total consumida quan S està tancat

Figura 4.18. Calcular l'equivalent Thevenin

21. Al circuit de la gura 4.18 calcula:a) L'equivalent Thevenin a la resistència de 4Ωb) La potència total del circuit



22. Al circuit de la gura 4.19 calcula R per a que la potència dissipada sigui igual a 1kW

(a) Pont no equilibrat (b) Pont equilibrat

Figura 4.20. Ponts de resistències

23. Al circuit de la gura 4.20 calcula:a) El corrent i la tensió a la resistència central de 5Ωb) La tensió entre els punts A i B

Figura 4.21. Calcular el circuit

24. Troba el corrent de la gura 4.21 abans i després de tancar S


Exercicis 59

25. Determina tots els corrents de les branques del circuit de la gura 4.22 a la pàgina anterior


26. Troba la potència que absorbeix el circuit de la gura 4.2327. Donat el circuit de la gura 4.23 calcular la tensió de sortida del circuit si substutim la resistència

d'1Ωper una altra resistència dea) 10Ωb) 2Ωc) 5Ω

Capítol 5

Nombres complexos

Aquest tema serveix d'introducció al següent. Farem un repàs als nombres complexos, eina impre-scindible per a analitzar els circuits elèctrics en corrent altern.

5.1. Representació

Dues maneres de representar-los:

1. Algebraicament2. En forma polar

De fet un nombre complex es pot pensar com si fos un vector amb dues components (veure gura 5.1a la pàgina següent)

Representació algebraica

Té la formaZ = a+ bj

on a és la part real i b la part imaginària

Representació polar

Es representa amb dues parts: el mòdul i l'argument (o angle)

Z = |Z|ϕZ

on:

|Z| és el mòdul i es calcula com |Z| =√a2 + b2

ϕZ és l'angle i es calcula com ϕZ = arctg(b/a)

Per passar de forma polar a forma algebraica es fa:

a = |Z| · cosϕZ

b = a = |Z| · sinϕZ

62 Capítol 5. Nombres complexos

Figura 5.1. Representació gràca d'un nombre complex

5.2. Operacions

Les diferents operacions:

1. Suma/resta:(a+ bj)± (c+ dj) = (a± c) + j · (b± d)

si es vol el resultat en forma polar llavors

|Z| =√

(a± c)2 + (b± d)2 ; ϕZ = arctg(b± d)(a± c)

2. Multiplicació:a) En forma algebraica:

(a+ bj) · (c+ dj) = (a · c− b · d) + j · (a · d+ b · c)

b) En forma polar donats dos nombres |Z|ϕZ i |Y |ϕY :

(|Z| · |Y |)ϕZ+ϕY

se multipliquen mòduls i se sumen exponents3. Divisió:

a) En forma algebraica: s'usen els conjugats

(a+ bj)(c+ dj)

=(a+ bj) · (c− dj)(c+ dj) · (c− dj)

=(a · c+ b · d) + j · (b · c− a · d)

c2 + d2

b) En forma polar:Z

Y= (|Z|/|Y |)ϕZ−ϕY

es divideixen els mòduls i se resten els arguments

Exercicis 63

Exercicis

1. Passau a forma polar:a) 4+4jb) 34-78jc) 2-5jd) -6je) 45f) 123+65jg) -5+6j

2. Passau a forma algebraicaa) 65−5o

b) 45−3

c) 32πd) 13−32o

e) 0′776o

f) 90900

g) 760o

3. Dividiu el noms del primer exercici entre si4. Multiplicau el noms del segon exercici entre si

Capítol 6

Circuits elèctrics en corrent altern

6.1. Paràmetres bàsics

En aquesta secció xerrarem de corrent altern, el corrent altern1 s'escriu com

vi = Vi,max · sin(ωt+ ϕ) (6.1)

Analitzam l'expressió 6.1:

vi, és la tensió instantània. Es mesura en volts (V) Vi,max és la tensió màxima. També és mesura en volts (V) ω és la freqüència angular. Es mesura en radians per segon (rad/s). Es deneix com:

ω = 2 · π · f (6.2)

f, és la freqüència. Es mesura en Hz (hertz) i és l'invers del periode

f = 1/T

T, és el periode. Es mesura en segons ϕ és el desfassament i es mesura en radians. Dues ones sinusoïdals estan desfassades quan els seus

màxims i mínims no coincideixen en el temps. Valor ecaç: equival al valor d'un corrent continu en passar per una resistència. Sabem que la

potència dissipada per una resistència és P = V 2/R, per calcular la potència en corrent altern feim

servir la següent expressió

Pca = 1/T

∫ T

0

v2i

R· dt

si desenvolupam la fòrmula tenim que

Pca =V 2i,max

2 ·R= Pcc =

V 2cc

R=V 2eficac

R

per tant

Veficac =Vi,max√

2(6.3)

1 El corrent altern es descriu amb ones sinusoidals però hi ha certes circumstàncies en que les ones electriques nosón completament sinusoidals: inversors xerecs, fenòmens d'ona embrutades, ... Que canvien sensiblement els càlculsque farem en aquesta secció.

Si voleu tenir més informació demanau-lo.

66 Capítol 6. Circuits elèctrics en corrent altern

aquesta expressió és vàlida pel corrent i per la tensió. Llavors

Ieficac =Ii,max√

2(6.4)

les expressions 6.3 a la pàgina anterior i 6.4 només són vàlides a en ones sinusoidals. Valor mig: És la mitjana algebraica de tots els valors que pot adquirir una ona en un cicle, per

calcular-la

Vmig =1T·∫ T

0

vi(t) · dt (6.5)

en el cas de l'ona de l'expressió 6.1 a la pàgina anterior el valor mig és zero.

Exemple: De la tensió sinusoïdal vi(t) = 80 · sin(100 · t) trobar: Freqüència i periode Amplitud Valor mig Valor ecaç Desfassament

Representació de les ones sinusoidals

Representació algebraica:

1. Podem emprar l'expressió matemàtica semblant a l'expressió 6.1 a la pàgina anterior

v = V · sin(ωt+ ϕ)

o bé2. El valor ecaç i l'angle

v = Vef , ϕ

Exemple: Representar el senyal v = 50√

2 · sin(100t+ π/4) en forma de valor ecaç i angle

Representació gràca:

1. Podem representar el senyal sinusoïdal, veure gura 6.1 a la pàgina següent2. Podem representar el seu diagrama i fase.

Exemple: Una determinada magnitud ve representada per una ona sinusoïdal amb una amplitud de250 i una freqüència de 100Hz, a aquesta ona se li afegeix una altra que comença 1ms després decomptar el temps, troba la fase de la segona ona.La primera magnitud té una fase de 0 rad. La segona fase la calcularem: Calculant ω, sabem que ω = 2 · π · f = 200πrad/s També sabem que

sin(ωt+ ϕ) = 0⇒ ωt+ ϕ = 0⇒ 200π(10−3) = −ϕ⇒ ϕ = −0′2πrad

que en graus és

0′2πrad · 180o

πrad≈ 36o

per tant el desfassament és de −36o. Aquest senyal es diu que està en retard.

6.2. Circuits en sèrie 67

Figura 6.1. Representació sinusoïdal

6.2. Circuits en sèrie

En aquesta subsecció veurem circuits en sèrie amb les següents conguracions:

1. Circuit amb una resistència2. Circuit amb un condensador3. Circuit amb una bobina4. Circuit R-C5. Circuit R-L6. Circuit L-C7. Circuit R-L-C

Circuit amb una resistència

Quan connectam una resistència a una font de corrent altern amb l'expressió

v = Vmax · sin(ωt) (6.6)

podem escriure el seu corrent com

i =v

R

per tant l'expressió del corrent instantani és

i =VmaxR· sin(ωt) (6.7)

o sia el corrent no introdueix cap desfassament, veure gura 6.2 a la pàgina següent.

Per tant podem dir que:

Un element resistiu no introdueix cap desfassament ϕ = 0 rad. Aquesta situació rep el nom detensió i corrent en fase.


Figura 6.2. Tensió i corrent en un circuit resistiu sèrie

El corrent ecaç és

Ief =VefR

=Vmax

R√

2

La potència ésp = i · v

si usam les expressions 6.6 a la pàgina anterior i 6.7 a la pàgina anterior a l'anterior expressió tenim

p =V 2max

R· sin2ωt (6.8)

que és equivalent a

p = Vmax · Imax ·(1− cos2ωt)

2(6.9)

per tant es pot armar que la potència disipada en una resistència té freqüència doble que les de correnti tensió i valors extrems 0 i 2 · Veff · Ieff .La gura 6.3 a la pàgina següent mostra com la potència és un sinus quadràtic això fa que el valor dela potència sigui sempre major o igual a zero. Una potència major o igual a zero implica que sempres'està consumint energia.

La potència màxima té el valorPmax = Vmax · Imax

i la potència mitjana és

Pmitjana =1T

∫ T

0

Vmax · Imax · sin2ωt · dt =Vmax · Imax

2= Vef · Ief (6.10)

Feis l'exercici 4 a la pàgina 93.


Figura 6.3. Potència en un circuit resistiu sèrie

Circuit amb un condensador

El condensador en corrent alterna es comporta com una impedància de valor

Zc = − j

Cω(6.11)

aquesta expressió tambe se sol representar juntament amb la reactància capacitiva Xc

Zc = −jXc

on

Xc =1Cω

el seu valor depén de la freqüència del senyal d'entrada:

Si el senyal d'entrada té una freqüència 0 llavors Zc =∞, o sia que a corrent continu el condensadorés un circuit obert.

Si el senyal d'entrada és de molt alta freqüència llavors Zc = 0, o si a altes freqüències el condensadorés un curtcircuit.

Si el circuit té una tensió d'entrada igual a

vi = Vmax · sinωt

el corrent serài =

viZc

(6.12)

notau com Zc és un nombre complexe que té com a mòdul |Zc| = Xc = 1/Cω i com a angle ϕc =−arctg1/0 = −π/2 per tant podem escriure

Zc = Xc,−π/2


Figura 6.4. Tensió, corrent i potència en un circuit capacitiu sèrie

i també podem escriurevi = Veff, 0o

substituïnt aquestes dues expressions a l'expressió 6.12 tenim

i =VeffXc π/2

el corrent té un desfassament de π/2 respecte la tensió.

La intensitat instantània es pot escriure com

i =VmaxXc

· sin(ωt+ π/2) (6.13)

o també comi = CωVmax · sin(ωt+ π/2) (6.14)

En quant a la potència feim

p = i · v = Vmax · Imax · sin(ωt) · sin(ωt+ π/2)

la qual cosa és igual que escriure

p = Vmax · Imax · sin(ωt) · cos(ωt)

que equival

p =12· Vmax · Imax · sin(2 · ωt) (6.15)


Altra manera d'expressar el resultat anterior és

P = Vef · Ief (6.16)

en aquest cas la potència no és activa ja que no es dissipa, l'anomenam potència reactiva i es mesuraen VAr.

Fixau-vos que la potència és un senyal de tipus sinus el valor mitja del qual és zero! Mirau la gura6.4 es pot veure com:

El corrent i la tensió estàn desfasades 90 graus. El corrent està adelantada 90o respecte la tensió. La potència té valor mig zero. A la gura 6.4 podeu veure com la potència té un semicicle positiu

i un altre de negatiu. El semicicle positiu és aquell on el condensador es carrega i per això agafaenergia de la font de tensió. El semicicle negatiu és aquell on el condensador dóna energia a la fontde tensió. Per tant el condensador no disipa energia sino que l'emmagatzema.

La freqüència del senyal de potència és el doble que el senyal de corrent/tensió


Circuit amb una bobina

Figura 6.5. Tensió, corrent i potència en un circuit inductiu sèrie

Una bobina ideal en corrent alterna es comporta com una impedància de valor

ZL = jLω (6.17)

aquesta expressió tambe se sol representar juntament amb la reactància inductiva:

ZL = jXL


onXL = Lω

el seu valor depén de la freqüència del senyal d'entrada:

Si el senyal d'entrada té una freqüència ∞ llavors ZL =∞, o sia que a a altes corrent és un circuitobert.

Si el senyal d'entrada és de corrent continua llavors ZL = 0, o si a altes freqüències la bobina és uncurtcircuit.

Si el circuit té una tensió d'entrada igual a

vi = Vmax · sinωt

el corrent serài =

viZL

(6.18)

notau com ZL és un nombre complexe que té com a mòdul |ZL| = XL = Lω i com a angle ϕL =arctg1/0 = π/2 per tant podem escriure

ZL = XL, π/2

i també podem escriurevi = Veff, 0o

substituïnt aquestes dues expressions a l'expressió 6.18 tenim

i =VeffXL −π/2

el corrent té un desfassament de −π/2 respecte la tensió, es retrassa respecte la tensió

La intensitat instantània es pot escriure com

i =VmaxXL

· sin(ωt− π/2) (6.19)

o també com

i =VmaxLω

· sin(ωt− π/2) (6.20)

llavors

Imax =VmaxLω

En quant a la potència feim

p = i · v = Vmax · Imax · sin(ωt) · sin(ωt− π/2)

la qual cosa és igual que escriure

p = −Vmax · Imax · sin(ωt) · cos(ωt)

que equival

p = −12· Vmax · Imax · sin(2 · ωt) (6.21)


Altra manera d'expressar el resultat anterior és

P = Vef · Ief (6.22)

en aquest cas la potència no és activa ja que no es dissipa, l'anomenam potència reactiva i es mesuraen VAr.

Fixau-vos que la potència és un senyal de tipus sinus el valor mitja del qual és zero! Mirau la gura6.5 es pot veure com:

El corrent i la tensió estàn desfasades 90 graus. El corrent està atrassat 90o respecte la tensió. La potència té valor mig zero. A la gura 6.5 podeu veure com la potència té un semicicle positiu

i un altre de negatiu. El semicicle positiu és aquell on la bobina emmagatzema energia en formade camp magnètic i per això agafa energia de la font de tensió. El semicicle negatiu és aquellon la bobina dóna energia a la font de tensió. Per tant la bobina no disipa energia sino quel'emmagatzema.

La freqüència del senyal de potència és el doble que el senyal de corrent/tensió


Circuit RC sèrie

Figura 6.6. Tensió d'entrada i corrent al circuit RC sèrie. Notar com la tensió i el corrent estàn desfasats, eldesfasament és d'avanç

La impedància total ésZtotal = R− jXC = R− j1/Cω

escrit d'altra maneraZtotal =

√R2 +X2

C−arctg 1RCω


per tant el corrent resultant tendrà:

Un mòdul igual a

Ief =Vef√

R2 +X2C

Un angle

ϕ = arctg1

RCω

Per tant el corrent s'escriura comi = Ief, arctg 1

RCω(6.23)

o algebraicament com

i = Imaxsin(ωt+ arctg1

RCω) (6.24)

on

Imax =Vmax√R2 +X2

C

i

Ief =Imax√

2

Figura 6.7. Tensions en el circuit RC sèrie. El corrent i la tensió a la resistència tenen la mateixa fase en canvila tensió al capacitor es retrassa π/2 respecte de la fase del corrent

Com en aquest cas tenim dos elements circuitals en sèrie llavors tendrem dues tensions:


1. Al condensador VC = i · ZC sabem ZC = 1Cω−π/2 tenim

VC =IefCω arctg( 1

RCω )−π/2(6.25)

que també es pot escriure com

vC =ImaxCω

· sin(ωt− π/2 + arctg(1

RCω)) (6.26)

on

VC,max =ImaxCω

2. A la resistència VR = R · i com R no introdueix cap desfassament respecte la intensitat

vR = Ief ·Rarctg( 1RCω ) (6.27)

o escrit de forma algebraica

vR = Imax ·R · sin(ωt+ arctg(1

RCω)) (6.28)

Figura 6.8. Potències en el circuit RC sèrie. La potència en la resistència es totalment activa: la resistènciadissipa energia. La potència en el condensador té un semicicle positiu i un alte negatiu idèntics i la potència

total és la combinació d'ambdues

En quant a la potència també en tenim tres, veure gura 6.8:

1. La potència total2. La potència dissipada per la resistència3. La potència dissipada pel condensador (hem vist que una bobina ideal no dissipa potència)


En la gura 6.8 a la pàgina anterior es mostren les característiques de la resistència i la bobina:

La resistència dissipa energia tot el temps. El seu gràc sempre és igual o major a 0 El condensador cedeix energia a la xarxa (semicicle negatiu) i agafa energia de la xarxa (semicicle

negatiu)

Figura 6.9. Potència, tensió i corrent en el circuit RC sèrie. Es mantenen les característiques de la potènciaenvers el corrent/tensió dobla la seva freqüència, però la seva mitjana ja no és zero.


Circuit RL sèrie

Ara complicarem més les coses posarem un circuit R-L sèrie. Per tant la impedància total és

Ztotal = R+ jXL = R+ jLω

escrit d'altra manera

Ztotal =√R2 +X2

Larctg LωR

per tant el corrent resultant tendrà:

Un mòdul igual a

Ief =Vef√

R2 +X2L

Un angle

ϕ = −arctgLωR


Figura 6.10. Tensió d'entrada i corrent al circuit RL sèrie. Notar com la tensió i el corrent estàn desfasats, eldesfasament és de retard

Per tant el corrent s'escriura comi = Ief,−arctg LωR

(6.29)

o algebraicament com

i = Imaxsin(ωt− arctgLωR

) (6.30)

on

Imax =Vmax√R2 +X2

L

i

Ief =Imax√

2

Com en aquest cas tenim dos elements circuitals en sèrie llavors tendrem dues tensions:

1. A la bobina VL = i · ZL sabem ZL = Lωπ/2 tenim

VL = Ief · Lωπ/2−arctg(LωR ) (6.31)

que també es pot escriure com

vL = Imax · Lω · sin(ωt+ π/2− arctg(Lω

R)) (6.32)

onVL,max = ImaxLω


Figura 6.11. Tensions en el circuit RL sèrie. El corrent i la tensió a la resistència tenen la mateixa fase encanvi la tensió a la inductància s'adelanta π/2 respecte de la fase del corrent

2. A la resistència VR = R · i com R no introdueix cap desfassament respecte la intensitat

VR = Ief ·R−arctg(LωR ) (6.33)

o escrit de forma algebraica

vR = Imax ·R · sin(ωt− arctg(Lω

R)) (6.34)

En quant a la potència també en tenim tres, veure gura 6.12 a la pàgina següent:

1. La potència total2. La potència dissipada per la resistència3. La potència dissipada per la bobina (hem vist que una bobina ideal no dissipa potència)

En la gura 6.12 a la pàgina següent es mostren les característiques de la resistència i la bobina:

La resistència dissipa energia tot el temps. El seu gràc sempre és igual o major a 0 La bobina cedeix energia a la xarxa (semicicle negatiu) i agafa energia de la xarxa (semicicle

negatiu)



Figura 6.12. Potències en el circuit RL sèrie. La potència en la resistència es totalment activa: la resistènciadissipa energia. La potència en la bobina té semicicles positius i negatius i la potència total és la combinació

d'ambdues

Circuit RLC sèrie

Aquest circuit té una particularitat especial: ens permet introduir el concepte de freqüència deressonància. La impedància total del circuit és

Ztotal = R+ j(XL −XC) (6.35)

per tantZtotal =

√R2 + (XL −XC)2

arctgXL−XC

R

(6.36)

així el corrent serà

i =V√

R2 + (XL −XC)2−arctgXL−XCR

(6.37)

que escrit de froma algebraica és

i =V√

R2 + (XL −XC)2· sin(ωt− arctgXL −XC

R) (6.38)

En quant a les tensions, en tenim tres:

1. Tensió a la resistència vR = i ·R per tant

vR =V ·R√

R2 + (XL −XC)2· sin(ωt− arctgXL −XC

R) (6.39)


Figura 6.13. Potència, tensió i corrent en el circuit RL sèrie. Es mantenen les característiques de la potènciaenvers el corrent/tensió dobla la seva freqüència, però la seva mitjana ja no és zero.

també es pot escriure com

vR =V ·R√

R2 + (XL −XC)2−arctgXL−XCR

(6.40)

2. Tensió al condensador VC = i · ZC per tant

vC = XC ·V√

R2 + (XL −XC)2· sin(ωt− π

2− arctgXL −XC

R) (6.41)


vC =V ·XC√

R2 + (XL −XC)2−π2−arctg

XL−XCR

(6.42)

3. Tensió a la inductància VL = i · ZL per tant

vL = XL ·V√

R2 + (XL −XC)2· sin(ωt+

π

2− arctgXL −XC

R) (6.43)


vL =V ·XL√

R2 + (XL −XC)2π2−arctg

XL−XCR

(6.44)

Al igual que passava amb els circuits RL i RC sèrie els condensadors i les bobines agafen i cedeixenenergia al circuit i les resistències només agafen energia del circuit.


Figura 6.14. Tensió d'entrada, potència total i corrent al circuit RLC sèrie.

Figura 6.15. Tensions al circuit RLC sèrie. Notau com la tensió a la bobina s'adelanta a la resta de tensions ila tensió més retrassada és la tensió al condensador


Figura 6.16. Potències al circuit RLC sèrie. Les potències al condensador i a la bobina estan desfassades πradi ambdues tenen un semicicle positiu i un altre negatiu idèntics. La potència de la resistència sempre és igual

o major a zero (sempre dissipa energia) i la potència total és una combinació de les tres anterior.

Figura 6.17. Tensions al circuit RLC sèrie en ressonància. Notar com la tensió d'entrada i la de la resistènciasón idèntiques i que les tensions al condensador i a la bobina també són iguals però de signe contrari.

6.3. Circuits en paral·lel 83

Freqüència de ressonància sèrie

Emperò hi ha una característica pròpia dels circuits RLC sèrie que és la freqüència de ressonànciasèrie. És aquella freqüència en la que XC = XL. Aquesta freqüència és

Lωr =1

Cωrper tant

ωr =

√1LC

(6.45)

Els efectes de la freqüència de ressonància són:

La impedància total del circuit és R, si repassam l'expressió 6.36 a la pàgina 79 veiem que el mòdulde Ztotal és R i el seu angle és zero

El corrent no desfasa respecte la tensió d'entrada. Veure gura 6.17 a la pàgina anterior La tensió al condensador i a la bobina estan desfasades πrad. Això fa que la tensió que cedeix el

condesador l'absorbeix la bobina i vice versa. Veure gura 6.18

Resumint un circuit RLC sèrie sota la condició de freqüència de ressonància es comporta com uncircuit resistiu pur.

Figura 6.18. Potències al circuit RLC sèrie en ressonància. Notar com la potència d'entrada i la de la resistènciasón idèntiques i que les potències al condensador i a la bobina també són iguals però de signe contrari, l'energia

que demanda el condensador la li dona la bobina i vice versa.

6.3. Circuits en paral·lel

En aquest apartat veurem tres circuits:


1. El circuit RL paral·lel2. El circuit RC paral·lel3. El circuit RLC paral·lel

Circuit RL paral·lel

El circuit RL paral·lel té una impedància

Ztotal = R||ZL

però és més pràctic fer el càlcul amb admitàncies

Ytotal = G− jBL

on:

Y és l'admitància total del circuit i té unitat de Siemens (Ω−1) G és la inversa de la resistència, s'anomena conductància G = 1/R i BL és la inversa de la reactància capacitiva, s'anomena susceptància BL = 1/Lω

Per calcular el corrent del circuit el que hem de fer és

i =v

Ztotal⇒ i = v · Ytotal

sabem que

Ytotal =√G2 +B2

L−arctgBLG=

√(1/R)2 + (1/Lω)2

−arctg RLω

(6.46)

per tant

i = Vef ·√G2 +B2

L−arctgBLG(6.47)

si volem escriure l'expressió de corrent en forma algebraica llavors

i = Vmax ·√

(1/R)2 + (1/Lω)2 · sin(ωt− arctg RLω

) (6.48)

En aquest cas tenim dues corrents:

1. El corrent a la resistència que serà

iR =v

R=VefR 0o

(6.49)

que no té cap desfassament respecte la tensió2. El corrent a la bobina que serà

iL =v

ZL=VefXL −π/2

(6.50)

que està retrassada π/2 respecte la tensió d'entrada a la xarxa

6.3. Circuits en paral·lel 85

Circuit RC paral·lel

El circuit RC paral·lel té una admitància

Ytotal = G+ jBC (6.51)

on:G = 1/R i BC = Cω

la seva forma en mòdul angle és

Ytotal =√G2 +B2

Carctg(RCω)(6.52)

per tant el corrent total serà

i = Vef ·√G2 +B2

Carctg(RCω)(6.53)

que escrit en forma algebraica és

i = Vmax ·√

(1/R)2 + (Cω)2 · sin(ωt+ arctg(RCω)) (6.54)

Al igual que l'anterior apartat, tendrem dos corrents:

1. El corrent a la resistència que és

iR =v

R

que no introdueix cap desfasament2. El corrent al condensador és

iC =v

ZC= V · Cωπ

2(6.55)

que s'adelanta a la tensió.

Circuit RLC paral·lel

Aquest circuit és una combinació dels dos anteriors circuits. La seva admitància és

Ytotal = G+ j(BC −BL) (6.56)

per tant el corrent total, veure gura 6.19 a la pàgina següent i 6.20 a la pàgina següent, és

i = V ·√G2 + (BC −BL)2 · sin(ωt+ arctg

BC −BLR

) (6.57)

i els corrents parcials són els que hem vist a cada apartat:

1. El corrent a la resistència és el mateix que el de l'expressió 6.49 a la pàgina anterior. El corrent ala resistència no té cap desfassament respecte la tensió.

2. El corrent al condensador és el mateix que el de l'expressió 6.55. El corrent adelanta en π/2 a latensió.

3. El corrent a la bobina és el mateix que el de l'expressió 6.50 a la pàgina anterior. El corrent retardaen π/2 a la tensió.


Figura 6.19. Corrents al circuit RLC paral·lel, notar com el corrent a la resistència està en fase, el corrent a labobina està retrassat 90 graus i el corrent al condensador està adelantat 90 graus.

Figura 6.20. Potencies al circuit RLC paral·lel, notar com la potència a la resistència sempre és igual o majora zero (recordau: sempre dissipa energia) i la potència al condensador i a la bobina estan desfassades 180 graus

i són simètriques respecte a l'eix Y (recordau: cedeixen i agafen energia de la xarxa).

6.4. Circuits mixtes 87

Ressonància paral·lela

La ressonància paral·lela ocorr a una freqüència ωr tal que

BL(ωr) = BC(ωr)

per tant

Cωr =1Lωr

⇒ ωr =

√1LC

(6.58)

els efectes que provoca la freqüència de ressonància paral·lela són els mateixos que els provocats en lasituació de ressonància sèrie, descrits a l'apartat 6.2 a la pàgina 83.


6.4. Circuits mixtes

S'anomena circuit mixte a aquell que no és purament paral·lel o purament sèrie. No existeix un mètodeper resoldre-lo, el camí més curt és calcular la impedància equivalent del circuit.

Figura 6.23. Exemple de circuit en CA mixte

Exemple En el circuit de la gura 6.23 esdesitja calcular:

La impedància equivalent del circuit El corrent total del circuit Les caigudes de tensió parcials Els corrents de cada branca

Solució

1. Primer calculam la reactàncies de la bobi-na i del condensador

ZL = Lωj = 1 · 50 · 2 · π · j = 100πjΩ

i el condensador

ZC =1

Cωj=

13′183 · 10−6 · 2 · π · 50j

= −103jΩ

2. Feim el paral·lel entre la resistència i elcondensador, calculam l'admitància

YCD = G+ jBC

en forma polar

YCD =√G2 +B2

CarctgBCG


Figura 6.21. Corrents al circuit RLC paral·lel en ressonància, notar com el corrent a la resistència i el correnttotal són iguals. Els corrents a L i C són iguals en mòdul però de signe contrari.

Figura 6.22. Potències al circuit RLC paral·lel en ressonància, notar com les potències a L i C són iguals enmòdul però de signe contrari.

6.5. Potència en els circuits en corrent altern 89

per tant la impedància serà

ZCD =1√

G2 +B2C −arctg R

Xc

= 447′2−26′67oΩ

que en forma binomial val

ZCD = 400− 200j Ω

3. Calculam Ztotal com

Ztotal = ZCD + ZL = 400 + 114j Ω

que en forma polar és

Ztotal = 415′915′9oΩ

4. La intensitat total és

i =v

Ztotal=

22045o

415′915′9o= 0′52929′1oA

5. Les caigudes parcials de tensió són

vAC = i · ZL = 166′2119′1oV

ivCD = i · ZCD = 236′62′5oV

6. Les intensitats parcials són

iL = itotal

iiR =

vCDR

= 0′4732′5oA

iC =vCDZC

= 0′27392′5oA

6.5. Potència en els circuits en corrent altern

Resistènciaϕ = 0o

Bobinaϕ = 90o

Condensadorϕ = −90o

P = I · V iQ=0

P=0 iQ = I · V

P=0 iQ = I · V

Figura 6.24. Potència dels elements de circuit (passius)

A l'hora d'analitzar qualsevol circuit en par-al·lel o sèrie sempre hem dedicat un comentaria la potència. Aquesta secció ens servirà pera resumir els conceptes que hem manejat nsara.

La potència instantània absorbida/cedida perun element de circuit és p = i · v,sabem que:


Quan p<0 el dispositiu cedeix energia a laxarxa.

Quan p>0 el dispositiu absorbeix energiade la xarxa.

Quan p=0 el dispositiu ni absorbeix nicedeix energia a la xarxa

Si per a qualsevol circuit tenim una entrada de tensió que respon a l'expressióv =√

2 · V · sinωt icircula un corrent i =

√2 · I · sin(ωt− ϕ), essent:

I =V

Z; Z =

√R2 +X2; ϕ = arctgX/R

per tant la potència instantània és p = i · v = 2 · V · I · sin(ωt) · sin(ωt− ϕ) si desenvolupam aquestaexpressió tenim que

p = V · I · cosϕ− V · I · sin(2ωt− ϕ) (6.59)

Figura 6.25. Triangle de potències

L'expressió 6.59 ens indica que la potènciageneral és un valor que té el valor mig en V ·I ·cosϕ. Per tant la potència mitjana absorbidapel circuit serà (veure gura 6.26 a la pàginasegüent)

P = I · V · cosϕ (6.60)

Es deneixen tres potències:

1. La potència aparent (S), que seria lapotència total

S = V · I (6.61)

2. La potència activa (P), que seria la potèn-cia que el circuit realment gasta

P = I · V · cosϕ (6.62)

3. La potència reactiva que és la potènciaque el circuit emmagatzema i és el resultatde l'intercanvi d'energia entre els conden-sadors i bobines (Q)

Q = I · V · sinϕ (6.63)

Les relacions entre S, P i Q, veure gura 6.25, són

S2 = P 2 +Q2 (6.64)

La taula de la gura 6.24 a la pàgina anterior mostra a mode de resum les potències activa i reactivadels dispositius.

6.5. Potència en els circuits en corrent altern 91

Figura 6.26. Potència mitjana i el cosϕ

Magnitut Unitat

Potència activa (−→P ) Watt (W)

Potència aparent (−→S ) Volts-Ampere (VA)

Potència reactiva (−→Q) Volts-Ampere reactius (VAr)

Taula 6.1. Unitats de les potències elèctriques

Cadascuna de les potències té les seves unitats, tal i com indica la taula 6.1.

L'expressió de la potència complexa es pot escriure com

S = V · I∗ (6.65)

on I∗ és el conjugat del corrent

Exemple: Un circuit RLC sèrie excitat per una intensitat de 590oA amb R = 10Ω, XL = 20Ω iXC =10Ω determinau la potència activa, aparent i reactiva subministrada pel generador i les potènciesactiva, aparent i reactiva de cada element de circuit.

Resolució: La impedància total és

Ztotal = R+ j(XL −XC) = 10 + 10j =√

102 + 102arctg1 = 10

√245oΩ

per tant la tensió al circuit és

V = I · Ztotal = 590o · 10√

245o = 50√

2135oV

o escrit de forma binòmicav = 5j(10 + 10j) = −50 + 50j V

la potència aparent serà

s = i · v = 5j · (−50 + 50j) = −250− 250j V A

per tant la potència activa serà la part real de la potència aparent

p = 250W


i la potència reactiva serà la part imaginària

q = 250V Ar

a la resistència tenim quev = i ·R = 10 · 5j = 50j = 5090oV

per tant la potència aparent és

s = i · v = 5j · 50j = 250180oV A⇒ 250V Ar

si ens xam només té component real per tant

pR = 250W

i la potència reactiva ésq = 0

la bobina éss = v · i = i2 · ZL = (5j)220j = −500jV A

per tant només té la part imaginària, llavors tenim que

q = s = 500V Ar

i per nalitzar el condensador

p = i2 · ZC = −25 · (−10j) = 250jV A

igual que passava en la bobina la potència activa és zero i la potència reactiva és igual a la potènciaaparent, per tant

q = s = 250V Ar

Teorema de Boucherot: En qualsevol xarxa elèctrica, per a una freqüència constant, es conservenper separat les potències actives i reactiva.

Factor de potència

Factor de potència: es denomina factor de potència a la relació entre la potència activa i l'aparent

k =P

S

que quan la tensió i el corrent són sinusoïdals aquest factor k és el cosϕ

Aquest factor de potència és importantíssim, hem vist que hi ha dos tipus de potència: l'activa i lareactiva. La potència activa és aquella que realment es transforma en treball útil i la potència reactiva,tot i que és necessaria per fer funcionar els diferents receptors (motors, uorescents, ...), és una energiaque no és transforma en treball útil.

Per corregir aquest factor de potència se sol posar en paral·lel a la instal·lació elèctrica una bateria decondensadors ja que la majoria de receptors pressents en una instal·lació de grans dimensions és detipus inductiva.

Exercicis 93

Exemple: En un circuit elèctric es connecten tres impedàncies connectades en paral·lel Z1, Z2, Z3

amb P1 = 4kW , Q1 = 7kV Ar, P2 = 1kW , Q2 = 5kV Ar, P3 = 5kW i Q3 = −2kV Ar i s'excitaamb una tensió 2200oV amb 50Hz. Es demana aplicant Boucherot trobar la intensitat iResolució: Si aplicam Boucherot tenim que en tot el circuit la potència aparent és

S =∑i=1..3

Pi + j∑i=1..3

Qi

per tantS = 10000 + j10000V A

emprant l'expressió 6.65 a la pàgina 91 de la potència aparent llavors

I∗ =S

V=

10000 + j10000220

= 50 + 50j A

per tant la intensitat ésI = 50− 50j A

Exercicis

1. Una tensió alterna té un valor ecaç de 220V i una freqüència de 50Hz. Trobau els valors màxim,així com el seu valor instantani als 4ms d'haver començat el cicle.

2. Una tensió alterna té un valor ecaç de 125V i una freqüència de 100Hz. Trobau el valor màxim ila seva si l'ona comença 2ms abans de comptar el temps.

3. Dues senyals de corrent tenen un valor ecaç de 8A i una freqüència de 50Hz. Sabent que unad'elles està adelantada 2ms de cicle respecte l'altra, trobar les seves expressions algebraiques.

4. Es connecta una tensió alterna de 120V, 50Hz als terminals d'una resistència de 100Ω:a) Quina potència mitjana es disipa en aquesta resistència?b) Quin és el valor de la potència instantània als 4ms?

5. Es connecta una bobina de 200µF de capacitat a una xarxa de 220V i 50Hz. Quina intensitatrecorr el circuit? Trobar els seus valors ecaç i instantàni als 5ms d'haver començat a comptar eltemps.

6. Es connecta una bobina de 200mH d'inducció a una xarxa de 220V i 50Hz. Quina intensitat recorrel circuit? Trobar els seus valors ecaç i instantàni als 3ms d'haver començat a comptar el temps.

7. Un corrent altern sinusoïdal té una freqüència de 60Hz. Si la intensitat és nula quan t=0, trobarel valor de la intensitat a t = T

16 ,T8 i

T4 més tard

8. Trobar la intensitat que travessa una resistència de 10Ω connectada a un generador de 220V i 50Hzde freqüència

9. Resoldre el problema anterior per en el cas de L = 0′1H.10. Ídem, si C = 20µF11. Indica quina és la reactància capacitiva d'un condensador de 2µF a

a) 1Hzb) 5kHzc) 2MHz

12. La potència reactiva d'una bobina a la qual se li aplica una tensió de 220V i 50Hz és de 500VAr.Quin és el seu coecient d'autoinducció?


13. Un condensador de 50µF es connecta a un generador amb tensió v = 220√

2sin(100πt)V. Calcular:a) Reactància capacitiva del condensadorb) Intensitat ecaçc) Expressió algebraica de la intensitat

14. Un condensador absorbeix una intensitat de 10mA a una tensió de 16V i una freqüència de 50Hz.Determinau:a) Reactànciab) Capacitatc) Potència

15. Un circuit RL sèrie constituit per una bobina de 100mH i una resistència de 25Ω es connecta auna tensió de 220V ecaços i 50Hz. Calcular:a) Caiguda de la tensió en la bobina i en la resistènciab) Angle de desfasament entre el corrent i la tensió

16. Un circuit té una resistència de 20Ω i un coecient d'autoinducció L = 0′1H. Quin és el valor dela seva impedància quan la tensió d'entrada és de 50Hz?

17. Un circuit en sèrie té L = 110πH i dues resistències de 5 i 11Ω. Si l'entrada és v = 1000oV amb

60Hz, calcular la tensió entre la impedància formada per la bobina i la resistència de 5Ω.18. Un circuit RC sèrie constituit per una capacitat de 25µF i una resistència de 100Ω es connecta a

una tensió de 220V ecaços i 50Hz. Calcular:a) Caiguda de la tensió en la capacitat i en la resistènciab) Angle de desfasament entre el corrent i la tensió

19. Un circuit RLC paral·lel està constituit per una capacitat de 25µF , una resistència de 50Ω i unaL=0'2H. Si l'entrada té 20V ecaços i una f = 60Hz troba:a) El corrent a Rb) El corrent a Lc) El corrent a Cd) El corrent totale) La freqüència de ressonància del circuit

20. Un circuit amb R = 500Ω en sèrie amb un condensador de 4′5µF es connecta a una tensió alternade 220V, 50Hz. Es demana:a) Reactànciab) Impedànciac) Intensitat

21. Una bobina de 30 mH, se somet a una tensió de 380 V i hi circula una intensidad i = 15sin(100ωt).Trobar la reactància de la bobina i l'angle de desfasament entre la tensió i la intensitat.

22. Una bobina de 0'7 H d'autoinducció un condensador de 10 microfarads de capacitat i una resistènciade 700 ohms formen un circuito en sèrie, als extrems de la qual s'aplica una tensió de 115 V a 60Hz.Calcular:a) La reactancia inductiva.b) La reactància capacitiva.c) La impedancia del circuit.d) La intensitat ecaç.

23. A un circuit RL sèrie es connecta un amperimetre i se sap que:a) Si la font de tensió està en corrent continu l'amperímetre marca 100A.b) Si la font de tensió està en alterna i té 100V i 50Hz l'amperímetre marca 50A.Si aplicam una tensió de 100V i 100Hz, quina serà la lectura de l'amperímetre?

Exercicis 95

24. Un circuit RLC sèrie està constituït per R = 10Ω, L = 30mH i C = 250µF . S'aplica una tensióde 220V i 50Hz. Trobau la intensitat i les tensions parcials del circuit.

25. Un circuit amb dues impedàncies en parl·lel Z1 = 6+6j Ω i Z2 = 3+4j Ω es connecta a una tensió220V45o , es demana:a) Admitància totalb) Impedància totalc) Intensitat totald) Intensitats parcials

26. Un circuit té dues branques en paral·lel. La primera branca és una resistència de 2Ω i una impedàn-cia inductiva de 4Ω, la segona branca esta formada per una resistència de 3Ω i una impedànciainductiva de 1Ω. Sabent que a aquesta associació es connecta una tensió 2200oV es demana:a) La impedància total del circuitb) Les intensitats que circulen per cada brancac) La intensitat total

27. El circuit de la gura 6.27 a la pàgina 99 la lectura del voltímetre és zero quan la pulsació de lafont sinusoïdal és ω = 100rad/s. Determinar:a) Els valors dels voltímetres 1 i 2b) El nom que rep aquesta situacióc) El valor de la impedància capacitivad) Els valors de L i CSi augmentam el valor de la pulsació a ω = 200rad/s. Quins valors marcaran els voltímetres?

Figura 6.28. Calculau el circuit

28. Al circuit de la gura 6.28 calcular:a) La impedància equivalentb) La intensitat totalc) Intensitat a cada branca



29. Al circuit de la gura 6.29 a la pàgina anterior calcular:a) La impedància equivalentb) La intensitat totalc) Intensitat a cada brancad) Tensions parcials


30. Al circuit de la gura 6.30 determinar quina tensió a 50Hz s'ha d'aplicar entre els punts A i B pera que pel condensador hi circuli un corrent de 20A.

Figura 6.31. Trobau les intensitats a cada branca

31. Al circuit de la gura 6.31 trobau les intensitats a cada branca

Exercicis 97

Figura 6.32. Trobau les intensitats a cada branca

32. Al circuit de la gura 6.32 trobau les intensitats a cada branca aplicant el teormea de la superposició

Figura 6.33. Trobau la intensitat a la branca AB

33. Al circuit de la gura 6.33 trobau la intensitat a la branca AB emprant Thevenin/Norton

Figura 6.34. Aplicau Boucherot

34. Al circuit de la gura 6.34 te I1 = 20√

20oA i I2 = 20√

290oA . Aplicant Boucherot trobau lespotències aparent, activa i reactiva subministrades pel generador.

35. Un circuit RL amb R = 10Ω i XL = 10Ω ve donanda per v = 100√

2sin(0′5πt). Trobau lespotències aparent, activa i reactiva subministrades pel generador i les parcials.

36. Un circuit format per una resistència R1 = 4Ω en paral·lel a una resistència R2 = 5Ω i uncondensador ZC = −3jΩ. Si per aquesta unió hi passen 30A ecaços trobau la potència aparent.


Figura 6.35. Quant val R2?

37. Si al circuit de la gura 6.35 cadascuna de les resistències consumeix una potència de 1'5W i sabentque R1 = 7′5kΩ, calcular el valor de R2

Figura 6.36. Quant valen les intensitats i potències?

38. Calcula del circuit de la 6.35:a) Valor ecaç de les intensitatsb) Potència consumidac) Factor de potència

Figura 6.37. Quant valen les intensitats i potències?

39. El circuit de la gura 6.37 té una tensió VAB = 200Va) Valor ecaç de la resta de tensionsb) Representau el diagrama fasorial tenint VAD com a ϕ = 0

Exercicis 99

c) Factor de potènciad) Si es lleva la resistència com funcionarà el circuit en aquestes condicions?

Figura 6.38. Quant val la potència activa?

40. El circuit de la gura 6.38 té uns corrents I1 = 2A i IT = 3A. Calcula la potència total activa.

Figura 6.27. Circuit amb voltímetres. Com s'anomena la sitaució onV3 = 0V ?

Capítol 7

Corrent trifàsic

7.1. Sistemes polifàsics

Fins ara hem estudiat sistemes monofàsics: una tensió/corrent amb la seva freqüència, valor ecaç, ...Els sistemes polifàsics es deneixen com un conjunt de dos o més corrents alterns monofàsiques d'igualfreqüència i amplitud però desfasades entre elles segons un ordre determinat.Cadascuna dels correntsmonofàsics que formen el sistema s'anomena fase.

Nosaltres estudiarem els corrents polifàsics equilibrats, la qual cosa pressuposa que:

1. Els receptors consten d'un nombre igual de fases d'idèntiques característiques.2. Es disposa d'un generador polifàsic que produeix un sistema de tensions equilibrades en nombre

igual a fases.

El nombre de fases d'un sistema polifàsic pot ser qualsevol fase i està ordenada segons la següentexpressió

ϕ =360o

n(7.1)

on n és el nombre de fases.

Nosaltres estudiarem els sistemes trifàsics (n=3, per tant ϕ = 120o) equilibrats.La producció de corrents trifàsics ve motivat per tres raons:

1. Els motors trifàsics són un 150% més potents que els monofàsics2. La mida dels conductors trifàsics és un 75% més petita que els conductors monofàsics.3. La potència d'un sistema monofàsic decau dues vegades per cicle i la d'un trifàsic mai

La generació de corrents trifàsics es produeix amb alternadors trifàsics que consten d'un electroimantmòbil anomenat rotor que indueix corrent en tres bobines decalades a 120o. El resultat es pot veurea la gura 7.1 a la pàgina següent

Seqüència directa i inversa

L'ordre que reben aquestes tensions rep el nom de seqüència de fases, que poden ser positives o directesi negatives o inverses (veure gura 7.2 a la pàgina següent):

La seqüència positiva té les següents expressions

v1(t) =√

2 · V · cos(ω · t)⇒ −→v1 = V0

v2(t) =√

2 · V · cos(ω · t− 2·π/3)⇒ −→v2 = V−2π/3

v3(t) =√

2 · V · cos(ω · t+ 2·π/3)⇒ −→v3 = V2π/3

102 Capítol 7. Corrent trifàsic

(a) Sinusoides (b) Fases

Figura 7.1. Sistema trifàsic

La seqüència negativa per tant és

v1(t) =√

2 · V · cos(ω · t)⇒ −→v1 = V0

v2(t) =√

2 · V · cos(ω · t− 2·π/3)⇒ −→v2 = V2π/3

v3(t) =√

2 · V · cos(ω · t+ 2·π/3)⇒ −→v3 = V−2π/3

(a) Positiva (b) Negativa

Figura 7.2. Seqüència positiva i negativa

7.2. Connexionat de sistemes en trifàsic

Les fonts de tensió no es connecten separadament, ja que necessitariem 6 conductors, les connexionsde les fonts de tensió (igual que els receptors) són en estrella o en triangle (veure gura 7.3 a la pàginasegüent):

7.3. Tensions i intensitats de fase i de línia 103

Les connexions en estrella necessiten de 4 conductors, 1 línia per cada fase i una altra pel neutre. Les connexions en triangle necessiten de 3 conductors.

Cadascuna de les línies pot rebre diferents noms:

Línia 1: 1, a, r Línia 2: 2, b, s Línia 3: 3, c, t

Figura 7.3. Connexionats en trifàsic

7.3. Tensions i intensitats de fase i de línia

Tensió de fase o tensió simple: (−→VF ) és la tensió que hi ha entre cadascuna de les branques monofàsiques

d'un sistema trifàsic. Les representarem com−→Va,−→Vb i−→Vc.

Tensió de línia (−→VL) és la tensió que existeixen entre dos fases, o sia, entre dos conductors de línia

o dos conductors de fase.

Mirant les gures 7.4 a la pàgina següent i 7.5 a la pàgina següent poden veure com les tensions delínia i de fase d'un sistema trifàsic connectat en triangle coincideixen.


(a) Tensió de fase en triangle (b) Tensió de fase en estrella

Figura 7.4. Tensions de fase

(a) Tensió de linia en triangle (b) Tensió de linia en estrella

Figura 7.5. Tensions de línia

Intensitat de fase (−→IF ) és la intensitat que circula per cadascuna de les branques monofàsiques del

sistema trifàsic.

Intensitat de línia (−→IL) és cadascuna de les intensitats que circulen pels conductors que uneixen

generador i càrrega.

Mirant les gures 7.6 a la pàgina següent i 7.7 a la pàgina següent es pot veure com les intensitats delínia i fase coincideixen en la connexió en estrella.

Fonts en estrella

Segons la denició de tensió de línia tenim les següents tensions de línia: V12, V31, V23.

Agafam per exemple la tensió de línia V12llavors

VL = V12 = V1 − V2 = V + 0j − (−V · cos(60)− j · V · sin(60)) = V + V/2 + j ·√

3/4V = 3V/2 + jV√

3/2

si el passam a mòdul-angle tenim

|V12| =√

(3/2)2 + 3/4V = V ·√

9/4 + 3/4 = V ·√

12/4 = V ·√

3 · 4/4 = V ·√

3 = VF ·√

3

7.3. Tensions i intensitats de fase i de línia 105

(a) Intensitat de fase en triangle (b) Intensitat de fase en estrella

Figura 7.6. Intensitat de fase

(a) Intensitat de línia en triangle (b) Intensitat de fase en estrella

Figura 7.7. Intensitat de línia

i l'angle

ϕV12 = arctg

√3

3= 30o

per tantV12 =

√3V 30o

Generalitzant aquest resultat tenim que

VL =√

3 · VF

i es compleix que:

Les tensions de línia són iguals i desfassades 120º Les tensions de fase són iguals i estan desfassades 120º Les tensions de línia estan adelantades 30º respecte de la tensió de fase corresponent.

Per altra banda les intensitats de línia i de fase són iguals

IL = IF


Figura 7.8. Diagrames de tensions de fonts connectades en estrella

Fonts en triangle

En aquest cas es compleix queVF = VL

la tensió de línia és igual a la tensió de fase, ja que no tenim cap neutre.

En quant a les intensitats tenim que en qualsevol nus es compleix que

Ia = Iab − Ica = Iab√

3−30o

Exemple: Cadascuna de les bobines d'un alternador trifàsic genera una tensió sinusoidal de 50Hz i311V de valor màxim. Calculau els valors de les tensions corresponents en les connexions d'estrellai triangle i construir els corresponents diagrames vectorials.Solució: Connexió en estrella, sabem que les tensions de fase són:

VF = Va = Vb = Vc =311√

2= 220V

i les tensions de líniaVL =

√3VF =

√3 · 220 = 381V

Connexió en triangleVL = VF = 220V

7.4. Connexió de receptors

Els receptors els podem connectar:

7.4. Connexió de receptors 107

Entre una fase i el neutre (estrella) Entre dues fases (triangle)

Connexió en estrella

Aquest tipus de connexió es realitza quan la tensió nominal dels receptors coincideix amb la tensió defase de la xarxa. Per a que el sistema estigui equilibrat els tres receptors han de ser idèntics (mateixaimpedància i factor de potència).

Les tensions de línia tenen la mateixa relació que existeix en la connexió de fonts en estrella:

VL =√

3VF

d'on resulta que

Va =Vab√

3, Vb =

Vbc√3, Vc =

Vca√3

les intensitats que circulen per cadascuna de les impedàncies són:

Ia =VaZ1, Ib =

VbZ2, Ic =

VcZ3

per a que un sistema sigui equilibrat tenim que

Va = Vb = Vc i Z1 = Z2 = Z3

resulta per tant que les intensitats de fase (i les de línia) són iguals entre si i a més a més es trobenigualment desfasades per tant la suma vectoria de les intensitats de fase serà nul·la

−→In = −→Ia +−→Ib +−→Ic = 0

la unió de de les tres fases, per tant, rep el nom de punt neutre articial.

Exemple: tres impedàncies iguals amb valor Z = 4 + 3j es connecten en estrella i se'ls aplica unsistema trifàsic equilibrat de tensions de 380V ecaços en tensió de línia. Trobau:1. Les intensitats de línia2. Les tensions que apareixen en els extrems de cada impedància3. Dibuixar un diagrama vectorial de tensions i intensitatsSolució:Les tensions de línia són VL = 380V i la tensió de fase (és la tensió que apareix als extrems de laimpedància) és

VF =380√

3= 220V

en quant a les intensitats tenim que

Z =√

42 + 32 = 5Ω

les intensitats de línia que són iguals a les de fase seran

Ia =2205

= 44A


i l'angle de desfasament entre tensió i intensitat és

ϕ = arctg34

= 37o

i la gura mostra el diagrama vectorial de tensions i intensitats

Connexió entre dues fases (triangle)

La connexió en triangle es produeix quan la tensió nominal dels receptors és igual a la tensió de líniade la xarxa.

En aquest cas les tensions de línia són iguals a les de fase

VL = VF

i les intensitats de líniaIL =

√3IF

i estan retrassades 30 graus respecte les intensitats de la fase. Cada impedància és

Ia = Ib = Ic =√

3VLZ

Exemple: Trobau les intensitats de línia i de fase en un circuit format per tres branques amb R = 100Ωi C = 200µF sabent que VF = 220V i f = 50Hz.Solució: La impedància de cada branca és

Z = (100− 16j)Ω ' 101′28−9′10oΩ

les intensitats que travessen les impedàncies (fase) són

Iab = Ibc = Ica =VLZ

=220

101′28= 2′179′10oA

el seu desfasament respecte a la tensió de línia és 9′10o, per altra banda les intensitats de líniasón

Ia =√

3Iab =√

32′17 = 3′76A

Estrella-triangle equivalents en receptors

Per a la resolució d'alguns circuits, a vegades resulta convenient treballar en la connexió en estrella ia vegades en triangle. Quan la càrrega produeix els mateixos efectes, es diu que el receptor connectaten estrella es equivalent al connectat en triangle.

Les expressions que permeteixen transformar un triangle de càrregues en una estrella de càrregues són:

−→Z1 =

−→Z12·−→Z31−→

Z12+−→Z23+

−→Z31

−→Z2 =

−→Z12·−→Z23−→

Z12+−→Z23+

−→Z31

−→Z3 =

−→Z23·−→Z31−→

Z12+−→Z23+

−→Z31

(7.2)

7.5. Resolució de circuits trifàsics equilibrats per reducció a un circuit monofàsic 109

anàlogament podem escriure pel cas invers

−→Z12 =

−→Z1·−→Z2+−→Z2·−→Z3+−→Z1·−→Z3−→

Z3−→Z23 =

−→Z2·−→Z3+−→Z1·−→Z2+−→Z1·−→Z3−→

Z1−→Z31 =

−→Z1·−→Z2+−→Z2·−→Z3+−→Z1·−→Z3−→

Z2

(7.3)

però com estam xerrant de càrregues equilibrades llavors tenim que

Z∆ = 3 · ZY (7.4)

7.5. Resolució de circuits trifàsics equilibrats per reducció a un circuitmonofàsic

Connexió estrella-estrella

(a) Circuit original

(b) Reduccio

Figura 7.9. Reducció d'un circuit trifàsic a tres enmonofàsic

Tenim un sistema de generadors i receptorsconnectats en estrella (sistema Y-Y pels am-ics). Suposam que cadacuna de les bobinesdel generador té una impedància interna ZG,que cada conductor té una impedància inter-na ZL i que la impedància del l que condueixel neutre és ZN llavors tenim que existeix unaimpedància equivalent que és igual a

−→ZY = −→Z +−→ZG +−→ZL

Per altra banda també sabem que el l neu-tre no du corrent (té potèncial zero) pertant es pot dividir el sistema en tres circuitsmonofàsics idèntics... execpte per la fase delsgeneradors.

Per tant tendrem un corrent a cada brancaque es pot expressar com

Ia =ε

ZY

Connexió triangle-triangle

Un circuit trifàsic amb conguració triangle-triangle(sistema ∆−∆pels amics) amb una impedàn-cia equivalent del generador ZG, una


impedància interna del conductor ZL i una impedància de càrrega Z és equivalent a tres circuitsmonofàsics amb el generador en sèrie amb les impedàncies

Z∆ = 3 · ZL + ZG + Z

per a aquest circuits es compleix que

Iab = V0o

ZG+Z+3·ZLIca = V−120o

ZG+Z+3·ZLIbc = V120o

ZG+Z+3·ZL

Exemple: Trobau les intensitats de fase en el receptor i les intensitats de línia en el circuit trifàsicequilibrat de la gura.Solució: Com el sistema és equilibrat llavors reduim el circuit a un monofàsic simple la resistència

equivalent del qual ésZ = 1245oΩ

per tant es compleix queIab = 2400o/1245o = 20−45oA

tenint en compte l'argument d'altres generadors tenim

Ibc = 2075oA

iIca = 20−165oA

les tensions de línia corresponents són

Ia = Iab ·√

330o = 20√

3−15oA

Ia = Ibc ·√

330o = 20√

3105oA

Ic = Ica ·√

330o = 20√

3−135oA

Connexions estrella-triangle i triangle-estrella

Els sistema Y −∆ i ∆− Y es redueixen a Y − Y o a ∆−∆ fàcilment

7.6. Potència en els sistemes trifàsics equilibrats

La potència en cadascuna de les fases d'un sistema trifàsic és calcula de la mateixa manera que en unsistema monofàsic. Es determinen per separat les potències activa, reactiva i aparent segons mostra lataula 7.1 a la pàgina següent

Com el sistema és equilibrat llavors tenim que

P = 3 · VF IF · cosϕ

Q = 3 · VF IF · sinϕS = 3 · VF IF

Si recordam les connexions en triangle i estrella tenim que:

7.6. Potència en els sistemes trifàsics equilibrats 111

Potència activa reactiva aparent

1ª fase P1 = VF1 · IF1 · cosϕ1 Q1 = VF1 · IF1 · sinϕ1 S1 = VF1 · IF1



Sistema trifàsic P = P1 + P2 + P3 Q = Q1 +Q2 +Q3 S =√P 2 +Q2

Taula 7.1. Potències en els sistemes trifàsics

En estrella

VF =1√3VL i IF = IL

En triangle

VF = VL i IF =1√3IL

En ambdós casos tenim que

P =√

3VL · IL · cosϕ

Q =√

3VL · IL · sinϕ

S =√

3VLIL

s'ha de tenir present:

L'angle ϕ és el desfasament entre VF i IF Es pot aplicar el Teorema de Boucherot

Exemple: Trobau la potència activa absorbida per la càrrega equilibrada formada per un sistema decàrregues en triangle que té tres branques amb L = 20mH i R = 5Ω. Quina seria la potència si lacàrrega es connectàs en estrella?Dades: VL = 380V i f = 50HzSolució: La impedància de cada branca és Z = 5 + 6′28jΩ⇒ Z ' 851′49oΩ. La intensitat de línia

és IL =√

3380/8 = 82A. El cosϕ = 0′623 llavors

P =√

3VLILcosϕ = 33623W

Si la càrrega està en estrella llavors IL = VLZ·√

3= 27′32A i en aquest cas tenim

P = P =√

3VLILcosϕ = 11203W

Corol·lari: La potència absorbida per una càrrega connectada en triangle és tres vegades majorque si estigués connectada en estrella a la mateixa tensió de xarxa.


Connexió en estrella Connexió en sèrieMagnitud Símbol Fòrmula Unitat Símbol Fòrmula Unitat

Tensió de fase VF VF = VL/√

3 V VF VF = VL VTensió de línia VL VL =

√3VF V VL VL = VF V

Intensitat de fase IF IF = IL A IF IF = IL/√

3 AIntensitat de línia IL IL = IF A IL IL =

√3IF A

Connexió en estrella i en triangle

Magnitud Símbol Fòrmula Relacions Unitat

Potència aparent de cada fase SF SF = VF · IF VA; kVA

Potència aparent trifàsica SS = 3SFS = 3VF IFS =

√3VLIL

S =√P 2 +Q2 VA; kVA

Potència activa trifàsica PP = 3PF

P = 3VF IF · cosϕP =

√3VLIL · cosϕ

P = S · cosϕP =

√S2 −Q2

W; kW

Potència reactiva trifàsica QQ = 3QF

Q = 3VF IF · sinϕQ =

√3VLIL · sinϕ

Q = S · sinϕQ =

√S2 − P 2 VAr; kVAr

Taula 7.2. Resum del tema

Exercicis

1. En una connexió en estrella, la tensió de línia és de 208V i la intensitat de fase és de 20A. Quinssón els valors de tensió de fase i corrent de línia? (VF = 120V ; IL = 20A)

2. A una xarxa trifàsica equilibrada de 380V de tensió de línia es connexten tres resistències de 50Ωcadascuna. Trobar les intensitats de línia corresponents, si les resistències es connectena) En estrella (4′4A)b) En triangle (13′16A)

3. Per què creieu que els motors de petitat potència s'arrenquen primer en estrella i després es passaa la connexió en triangle?

4. Tres resistències de 40Ω estàn connectades a una font trifàsica de 240V de tensió. altres tresresistències, iguals, es connecten en triangle de tal manera que consumeixen la mateixa corrent delínia. Quins són els valors de les darreres resistències? Quin és el valor del corrent que circula percadascuna d'elles? (120Ω, 2A)

5. Una càrrega equilibrada connectada en estrella està constituïda en cadascuna de les seves branquesper una resistència en sèrie amb una bobina ideal, a 50Hz de forma que la reactància de la bobinai la resistència tenen el mateix valor. Si s'aplica una tensió trifàsica de 220V i 50Hz, les intensitatsde línia que circulen són de 10A. Trobau:a) El coecient d'autoinducció de la bobina (28′6mH)b) Potències activa, reactiva i aparent (2694W, 2694V Ar, S = 3810V A)

6. Tres càrregues trifàsiques equilibrades, totes elles de caracter inductiu, les potències actives i factorsd potència corresponents són: 2kW i cosϕ = 0′707

Exercicis 113

3kW i cosϕ = 0′866 5kW i cosϕ = 0′500es connecten en paral·lel a una xarxa de 220V. Trobau la intensitat de línia i el factor de potènciatotal de la instal·lació. (41′8A, cosϕ = 0′628)

7. Un motor connectat en estrella, trifàsic i de 100CV està endollat a una font de 3kV de tensióde línia. El rendiment és de 0'92 i el factor de potència és de 0'9. Calcular el corrent de línia.(IL = 17′1A)

8. Trobau les intensitats de fase en el receptor i les intensitats de línia en el circuit trif`sic equilibratconnectat en ∆ − ∆ sabent que V1 = 2400oV, V2 = 240120oV, V3 = 240−120oV , ZG = 2 + 5j,ZL = 2 + 4j i Z = 4− 5j

9. Trobau:a) La potència activa absorbida per una càrrega equilibrada connectada en triangle, formada per

una resistència de 10Ω i una bobina de 10mH, que té com a tensió de línia 380Vb) Quin seria el valor de la potència si la càrrega es connectàs en estrella?

10. Troba les intensitats de línia i les de fase en un circuit equilibrat en forma de ∆, la branca decadascun està format per una resistència R = 100Ω i per un condensador de C = 100µF , al que seli aplica una tensió de línia VL = 220V i 50Hz. Fes el diagrama d'intensitats i corrents.

11. Troba la potència activa absorbida per un circuit trifàsic en ∆ on cada branca està formada perR = 1Ω i L = 10mH sabent que la tensió de línia és de 380V i 50Hz.

12. Feis el mateix que l'exercici anterior sabent que el circuit està en estrella, les càrregues són R =2Ω i C = 1mF i la tensió de línia es de 100V, 50Hz

13. Troba les intensitats de línia en un circuit connectat en Y si la tensió de línia és de 400V, 50Hzi cada branca està formada per R = 10Ω i L = 30mH. Calcula'n el desfasament i les potènciesactiva, reactiva i aparent.

14. Troba les intensitats de línia i la potència aparent d'una càrrega connectada en ∆ formada perL = 30mH iC = 60µF sabent que la tensió de línia es de 700V, 50Hz

Part IV

Màquines elèctriques

Capítol 8

Transformadors

Capítol 9

Màquines elèctriques en corrent continu

Capítol 10

Màquines elèctriques en corrent altern

Part V

Circuits electrònics i aplicacions elèctriques

Capítol 11

El diode. Circuits bàsics de recticació

Bibliograa

[Everest] Electrotècnia, José Antonio Fidalgo Sanchez, Manuel Fernández Pérez i altres, Ed. Everest[1] Electrotècnia, José Luis Valentín Labarta, Ed. Donostiarra.[2] Electrotècnia, Pablo Alcalde San Miguel, Ed. Paraninfo

Apèndix

Apèndix A

Currículum, criteris d'avaluació i altres consells

A.1. Horari

L'horari d'Electrotècnia és:

Dilluns de 9:50 a 10:45 a TES 1 Dimarts de 11:05 a 12:00 a TES 2 Dijous de 13:10 a 14:05 a l'aula 114 Divendres de 8:00 a 8:55 a l'aula 021

A.2. Objectiu de l'asignatura

L'objectiu d'aquesta asignatura és donar a l'alumnat les eines procedimentals i conceptuals bàsiquesper a que pugui desenvolupar posteriors etapes d'aprenentatge: Cicles de Grau Superior, Universitat.

Tant els Cicles com la Universitat exigeixen una certa habilitat en el càlcul de circuits i en la compressiódel funcionament de les diferents màquines elèctriques.

A.3. Currículum (amb molt bona voluntat)

La programació de l'àrea està dividida en cinc blocs:

1. Conceptes i fenòmens elèctrics bàsics, que inclou els temes:a) Conceptes i fenòmens elèctricsb) El condensador

2. Conceptes i fenòmens electromagnètics, que inclou el tema:a) Conceptes i fenòmens electromagnètics

3. Circuits elèctrics, que inclou els temes:a) Circuits elèctrics en corrent contínua.b) Nombres complexosc) Circuits elèctrics en corrent alternd) Corrent trifàsic

4. Màquines elèctriques, dividit en:a) Transformadorsb) Màquines elèctriques en corrent continuc) Màquines elèctriques en corrent altern

132 Apèndix A. Currículum, criteris d'avaluació i altres consells

5. Circuits electrònics i aplicacions electròniquesa) El diode: circuits bàsics de recticació.b) Instal·lacions elèctriques d'interior.c) Energia, societat i economia.

La temporització serà la següent:

Blocs 1 i 2 i principi del 3 (circuits en corrent continu) en la primera avaluació Blocs 3 i 4 en la segona Bloc 5 en la tercera.

A.4. Com us avaluaré?

Aquesta asignatura és purament teòrica llevat de la construcció d'un petit motor per demostrar lainteracció entre electricitat i magnetisme. Per tant l'avaluació es basarà en dos items:

90% de la nota de les proves escrites 10% de l'assistència a classe i l'actitud envers el professor i els companys

Per aprovar és necessari tenir un tres com a mínim en les tres apartats anteriors.

A.4.1. Recuperació

Si s'ha suspés una avaluació es recuperarà a l'anterior amb:

Una prova escrita del/s bloc/s

Hi ha una darrera oportunitat de recuperar-ho tot en el darrer exàmen nal de revalida.

A.5. Bibliograa i material complementari

Els apunts que utilitzo estaran penjats a la web http://jesusjaume.bravehost.com/principal.htm, allàtrobareu els diferents temes que conformen la matèria així com els examens que anirem fent i les sevescorreccions.

Altres llibres:

Electrotècnia, José Antonio Fidalgo Sanchez, Manuel Fernández Pérez i altres, Ed. Everest Electrotècnia, José Luis Valentín Labarta, Ed. Donostiarra. Electrotècnia, Pablo Alcalde San Miguel, Ed. Paraninfo.

De totes maneres qualsevol llibre d'Electrotècnia que caigui en les vostres mans estarà bé.

El material complementari que emprarem, i que estarà penjada a la web de l'assignatura és un fullde càlcul anomenat: CalculadoraCircuitsCA. Aquest full de càlcul l'emprarem al tema 6. Circuits encorrent alterna.

Apèndix B

Solucions als exercicis dels temes

B.1. Tema 1.

1. Dues càrregues elèctriques puntuals amb valors q1 = 11 · 10−7C i q2 = 32 · 10−8C estan situades a750mm en l'aire. Troba la força amb la qual es repel·leixen.Aplicam la fòrmula

F = K · Q1 ·Q2

r2= 9 · 109 11 · 10−7 · 32 · 10−8

0′752= 5′62 · 10−3N

2. Troba el camp elèctric creat per una càrrega positiva puntual de 4 · 10−5C, en un punt P que dista44mAplicam la fòrmula

E = K · Qr2

= 9 · 109 · 4 · 10−5

442= 185′95N/C

3. Demostrau que

E =9 · 109

εr· qr2

4. Troba la diferència de potencial creada per una càrrega de 66 · 10−7C entre dos punts que distend'aquesta càrrega 86 i 45mm.Tornam aplicar

V = K ·Q · (1/rB − 1/rA) = 9 · 109 · 66 · 10−7 · ( 145 · 10−3

− 186 · 10−3

) = 6′29 · 105V

5. Quina és la intensitat màxima que admet un conductor de coure nu de 2mm de radi i té unadensitat màxima de 6′35A/mm2

La superfície del conductor és de π · r2 = 2 · πmm2, la densitat màxima és

Jmax =ImaxS⇒ Imax = Jmax · S = 6′34 · 2 · π = 39′83A

6. Troba la intensitat que circula per una resistència de 6kΩ en aplicar-li una tensió de 425V.Llei d'Ohm

V = I ·R⇒ I = V/R = 425/6·103 = 70′83mA

7. Si aplicam 3mV de tensió a una resistència de 50µΩ. Que intensitat hi circularà?Idem que l'anterior

I = V/R =3 · 10−3

50 · 10−6= 60A

134 Apèndix B. Solucions als exercicis dels temes

8. Un cable unilar de coure de 2′5mm2 i 950m de longitud, quina resistència té a 200C? I a 1000Csiel seu coecient de temperatura és de 0'00393?Primerament calculam la resistència a 20oC, la resistivitat del coure la podem saber consultant lataula 1.2 a la pàgina 19, és 0,01785Ω ·mm2/m:

R = ρl

S= 0′01785 · 950/2′5 = 6′78Ω

i després calculam la seva resistència a 100oC tenim

R = R20oC · [1 + α(T − 20)] = 6′78 · (1 + 80 · 0′00393) = 8′92Ω

9. Per una resistència de 12Ωse li aplica una tensió de 220V. Quant de temps ha d'estar connectadaper produir 180kcal?Sabem que

Q = 0′239 · I2 ·R · t = 0′239 · V2

R· t = 1′8 · 105 ⇒ t =

1′8 · 105

2202 · 0′239· 12 = 186′72 segons

10. Troba la força de repulsió que hi ha entre dos electrons situats a 8 · 10−12m.La càrrega d'un electró la sabem mirant la taula 1.1 a la pàgina 15, qe = −1′602 · 10−19C per tant

F = K · Q2e

r2= 9 · 109 · (1′602 · 10−19)2

(8 · 10−12)2= 3′61 · 10−6N

11. Troba la distància a què han d'estar un electró i un protó per a que la seva força d'atracció siguide 5 · 10−16N .Aplicant la fòrmula de la llei de Coulomb tenim que

r =

√K · Q

2e

F=

√9 · 109 · (1′602 · 10−19)2

5 · 10−6= 6′8 · 10−12m

12. La força d'atracció de dues partícules amb càrregues de signe oposat, situades a 8 micres de dis-tància es de 7′7 · 10−7N . Quin és el valor de les càrregues si tenen el mateix valor? I si el valord'una és el doble que l'altra?Tornam a aplicar la Llei de Coulomb

q =

√F · r2

K=

√7′7 · 10−7 · 64 · 10−12

9 · 109= 7′40 · 10−14C

13. Troba el valor del camp elèctric creat per una càrrega de 14'8nC en un punt a 70mm de distància

E = K · qr2

= 9 · 109 14′8 · 10−9

(70 · 10−3)2= 2′72 · 104N/C

14. Troba el camp elèctric en el punt P, creat per dues càrregues positives de 10C en els casos de lagura 1.2 a la pàgina 21a) En el primer esquema tenim que −→r1 = −9−→j i −→r2 = −6−→j per tant els unitaris de −→r1 i−→r2 són el

vector −−→j . Per tant el camp elèctric és

−→E1 = K · Q1

|r1|2· −→ur1 = −9 · 109 · 10

(9 · 10−2)2· −→j = −1′11 · 1013−→j N/C

B.1. Tema 1. 135

i el camp a

−→E2 = K · Q1

|r2|2· −→ur2 = −9 · 109 · 10

(6 · 10−2)2· −→j = −2′5 · 1013−→j N/C

per tant el camp total és la suma d'ambdos camps−→ET = −→E1 +−→E2 = −2′61 · 1013−→j N/C

o dit d'una altra manera−→ET = −→E1 +−→E2 = (0,−2′61 · 1013)N/C

b) Els vectors de posició són −→r1 = (12,−8)cm i −→r2 = (12, 0)cm per tant tenim que

|r1| =√

122 + 82 =√

208cm = 14′42cm

i|r2| = 12cm

per tant els unitaris són

−→ur1 = (12

14′42,− 8

14′42) = (0′83,−0′55)

i−→ur2 = (1, 0)

per tant el camp elèctric és

−→E1 = K · Q

r21

· −→ur1 = 9 · 109 · 10208 · 10−4

· (0′83,−0′55) = (3′59 · 1012,−2′38 · 1012)N/C

i−→E2 = K · Q

r22

· −→ur2 = 9 · 109 · 10144 · 10−4

· (1, 0) = (6′25 · 1012, 0)N/C

per tant el camp total és la suma component a component−→ET = (9′84 · 1012,−2′38 · 1012)N/C

c) Finalment tenim que els vectors de posició

−→r1 = (12, 0)cm⇒ −→ur1 = (1, 0)

i−→r2 = (6,−

√144− 36) = (6, 10′39)cm⇒ −→ur2 = (0′5,−0′90)

es veu clarament (si no, ho pensau) que el mòdul d'ambdos vectors és 12cm per tant

−→E1 =

9 · 1010

144 · 10−4(1, 0) = (6′25 · 1012, 0)N/C

i−→E2 =

9 · 1010

144 · 10−4(0′5,−0′90) = (3′12 · 1012,−5′63 · 1012)N/C

per tant −→ET = −→E1 +−→E2 = (9′37 · 1012,−5′63 · 1012)N/C


15. Una càrrega puntual de 9′9 · 10−9C crea entre dos punts A i B en l'aire una ddp de 10'2V. Si elpunt A dista de la càrrega 88mm, troba la distància QBSabem que

VAB = K ·Q · (1/rA − 1/rB)⇒ 1/rB = 1/rA −VABK ·Q

= 11′36− 0′11 = 11′24⇒ rB = 88′92mm

16. Un generador subministra un corrent continu de 12 A durant una setmana. Troba la càrregatransferida.Sabem que I = Q/t per tant Q = I · t = 12 · 1 setmana · 7 dies

1 setmana ·24hores

1 dia · 3600s1hora = 7′26 · 106C

17. Un conductor de secció circular o diametre 5'6mm es travessat per una intensitat de 24A. Troba'nla densitat de corrent.

J = 0′24A/mm2

18. Dos conductors estan travessats per la mateixa intensitat de 6A. L'un té secció circular d'11mm dediàmetre, i l'altre, secció quadrada. La densitat de corrent del primer és el triple que la del segon.Troba el costat del quadrat

Jcircular =6

5′52 · π= 3 · 6

l2⇒ l =

√3 · 5′52 · π = 16′88mm

19. Dos conductors suporten la mateixa densitat de corrent. El més petit té 14mm de diàmetre i estàtravessat per la quarta part de la intensitat del gran. Quin és diàmetre del conductor més gran?

Jgran = Jpetit ⇒ Sgran =SpetitIpetit

· Igran = π ·R2 = 4 · π · r2 ⇒ R = 2 · r = 14mm⇒ D = 28mm

20. Quant de temps ha d'estar connectada a un generador de 230V una resistència de 8Ω perquè elconsum sigui de 4 · 107joules? I per a que sigui de 19kWh?

4 · 107 = 230 · 8 · t⇒ t w 6hores

i per a que siguin 19kWh tenim que

19 · 103 = 230 · 8 · t⇒ t ' 10′36hores

21. Calcula la energia necessària en joules per a que 10 lampades incandescents de 100W llueixindurant 18hores seguides. I si el conjunt té una eciència del 60%?

Etotal =1η· P · t =

10′6· 100 · 10 · 18 · 3600 = 108MJ

22. Un motor de 6CV funciona durant 175 minuts. Durant quant de temps han de funcionar 20làmpades de 36W perquè el consum d'energia sigui igual en tots dos casos? (1CV=736W)

6 · 736 · 175 = 20 · 36 · t⇒ t = 1073′333minuts

23. Quina intensitat consumeix una resistència de 800W/250V? Quina és la seva resistencia quan estaconnectada?

P = V · I ⇒ I = 800/250 = 3′2A⇒ R = 250/3′2 = 78′125Ω

B.1. Tema 1. 137

24. Una planxa elèctrica de 2kW i 25Ω de resistència. Quina tensió de funcionament té?Fàcil! Aplicam Joule modicat

P =V 2

R⇒ V =

√2000 · 25 = 224V

25. Troba l'energia absorbida en Wh per a una resistència de 8mΩ, a la qual aplicam una tensió de6kV durant 84 hores.

P =V 2

R= 36·106

/8·10−3 = 4′5kW

per tant la seva energia associada és

W = P · t = 4500 · 84 = 378kWh

26. Determina la calor produïda en tres quarts d'hora en aplicar una tensió de 660V a una resistènciade 2′2kΩ.

Q = 0′24 · V 2/R · t = 0′24 · 4′35 · 105

2′2 · 103· 3/4 · 3600 = 128′13kcal

27. Troba el valor d'una resistència que produeix 240.000 cal en connectar-la durant mig dia a unatensió de 240V.

Q = 0′24 · V 2/R · t⇒ R = 0′24 · V 2

/Q · t = 0′24 · 57600/240000 · 12 · 3600 ' 2′5kΩ

28. Un conductor de coure té 85m de longitud i 6mm2 de secció. A quina temperatura duplica la sevaresistència respecte als 200C (α = 0′00393)

R20oC = ρ · lS

= 0′0187 · 856

si duplica la seva resistència llavors el factor 1 + α(T − 20) ha de ser 2. Per tant tenim queα(T − 20) = 1 per tant

T =1α

+ 20 =' 274oC

Heu de saber que aquest resultat NO és realista, a aquesta temperatura poden passar dues coses:a) Que la resistència s'hagi crematb) Que l'expressió R = R20oC(1 +α(T − 200C)) no descrigui el que passa a aquestes temperatures

29. Tres resistències de 20Ω, 1kΩ, 2MΩ poden dissipar una potència de 44W cadascuna, troba laintensitat que hi pot circularL'expressió que feim servir sempre és la mateixa

P = I2 ·R⇒ I =

√P

R

per tant tenim les intensitats de 1'5A, 0'21A i 4'7mA30. Per a escalfar una massa m d'aigua ens cal una quantitat de calor

Q = m · (T2 − T1) kcal

volem escalfar 3 litres d'aigua introduint-hi una resistència de 8Ω, 220V, passant-la d'110C a 84oC.Troba el temps necessari per aconseguir-lo si suposem:


a) No hi ha perduesSabem que la densitat de l'aigua és aproximadament ρ = 1kg/l per tant necessitam Q = 3 ·73 =219kcal, llavors podem concloure que necessitam W = 219kcal · 4′18J/cal = 915′42kJ que esprecissament l'energia elèctrica que necessitam per tant

W = t · V 2/R⇒ t =

W ·RV 2

=915′42 · 103 · 8

2202' 2′51minuts

b) Tenim una eciència del 80%Necessitam aportar un 20% extra al treball que fa la resistència per tant

W = 915′42kJ · 1/η = 915′42kJ · 1/0′8 = 1144′28kJ

fent les mateixes operacions tenim que

t ' 3′14min

31. Disposem de dos conductors de secció circular, un de 10mm de diàmetre, de coure, i l'altre dediàmetre doble que aquest, d'alumini. Troba la longitud del conductor d'alumini, que té la mateixaresistència que 90m de conductor de coure.El conductor de coure té una resistència

R = ρ · lS

= 0, 01785mm2 · Ω

m· 90mπ · (5mm)2

= 20′54mΩ

R = ρAl ·l

S= 0′030 · l

π · (10)2= 0′01785 · 90

π · 25

per tant

l =0′01785 · 90 · 100

0′030 · 25= 214′2m

32. Una bobina de l de coure d'1′5mm2està composta de 60 espires molt juntes, de 45mm de diàme-tre. Troba la intensitat que hi circula en aplicar-hi els extrems la tensió d'una bateria de 24V a20oC i a 75oC.Cada espira té una longitud igual a

l = 2 · π · r = 45 · π = 141′37mm

si tenim 60 espires llavors tenimltotal = 60 · l = 8′48m

per tant la resistència a 20oC és

R = ρ · lS

= 0′01785 · 8′481′5

= 100mΩ

R100oC = R20oC [1 + α(T − 20)] = 0′1 · (1 + 0′00393 · 80) = 131′44mΩ

anem a calcular el corrent que passa per l'espira a 20oC

B.1. Tema 1. 139

33. Per un línia d'alumini de 25mm2i 2′6km de longitud circula una intensitat de 44A. Troba l'energiacaloríca generada en aquesta línia en dos dies seguits, si durant 2 hores del migdia la intensitatdisminueix al 64%.El primer que feim és calcular quina resistència té aquesta línia

R = ρAl ·l

S= 0′030 · 2600

252= 0′1248Ω

l'energia és

W = I2alta ·R · t1 +I2

baixa ·R · t2 = 44 ·0′1248 ·44+0′36 ·44 ·0′1248 ·4 = 241′6128+7′91 = 249′52W ·h

aquesta quantitat passada a calories és

Q = 249′52W · h · 3600s1h

· 1cal4′18J

= 214′897kcal

34. Dues resistències en sèrie de 5 i 7 Ω és connecten a 48V. Si es connecten en paral·lel durant elmateix temps el cost del consum és de 6 euros més. Quan de temps han estat connectades si elpreu del kWh és de 9 cèntims d'euro?La connexió en sèrie té una resistència equivalent de 12Ω per tant l'energia d'aquesta connexió és

Wserie =V 2

Rserie· 10−3 · t =

482

12· 10−3 · t

i el seu cost ésCserie = Wserie · 0′09

quan el treball (energia) ve donada en kW · h.En paral·lel tenim una resistència de R = 15/12 = 1′25Ω per tant

Wparalel =V 2

Rparalel· t =

482

1′25· 10−3 · t

el cost en paral·lel ésCparalel = Wparalel · 0′09 = Cserie + 6

per tant tenim les condicions idònies per plantejar una equació

482

1′25· t · 10−3 · 0′09 =

482

12· 10−3 · t · 0′09 + 6

aïllam t(165′88t− 17′28t)

1000= 0′148608t = 6⇒ t = 40′37hores

35. Un conductor de coure té forma de tub cilíndric de 18mm de diàmetre interior. Un tros de 140mdel qual té una resistència de 0,044Ω. Troba'n el diametre exterior.

R = ρcoure ·l

S= 0′01785 · 140

π(R2 − r2)=

0′79R2 − 81

= 0′044⇒ 0′790′044

+ 81 = R2


per tant √0′790′044

+ 81 = R = 9′95mm

per tantD = 19′91mm

36. Tres càrregues es troben situades en els vèrtex d'un triangle equilater d'1m de costat, q1 = 1µC, q2 =2µC i q3 = −1µC. S'us demana:a) Trobar el potencial elèctric en el punt mig que hi ha entre les càrregues 1 i 2

Per saber on està la càrrega 2 hem de fer el següent

cosα = 0′5⇒ α = 66′66o

La posició de les càrregues és: La càrrega q1 és (0,0) La càrrega q2 és (0′5,0′86) La càrrega q3 és (1,0)Els vectors de posició són: −→r1 = (0′25, 0′43)m , el seu unitari és −→ur1 = (0′125, 0′215) amb mòdul 0'5m −→r2 = (−0′25,−0′43)m, el seu unitari és −→ur2 = (−0′125,−0′215) amb mòdul 0'5m −→r3 = (−0′75, 0′43)m, el seu unitari és −→ur3 = (−0′872, 0′5) amb mòdul 0'86mEls camps elèctrics:−→E1 = 9 · 109 · 10−6

0′25 · (0′125, 0′215) = (4500, 7740)N/C

−→E2 = 9 · 109 · 2·10−6

0′25 · (−0′125,−0′215) = (−9000,−15480)N/C−→E3 = 9 · 109 · −2·10−6

0′7396 · (−0′872, 0′5) = (21222′28,−12168′74)N/CEl camp elèctric total és −−−→

Etotal = (16722′28,−199908′74)N/C

b) Si en el punt mig es col·loca una càrrega de 3µC, calcular la força que pateixLa única cosa que hem de fer és multiplicar el camp elèctric per la càrrega

−−−→Ftotal = 3 · 10−6 · −−−→Etotal = (0′0502, −0′6)N

37. Dues càrrgues puntuals de 25nC es troben en els punts (0,3)m i (-3,0)m. Calcula el camp elèctrical punt (0,4)mTendrem els següents vectors: −→r1 = (0, 1) per tant el seu unitari és −→ur1 = (0, 1) −→r2 = (3, 4) el seu mòdul és |−→r2 | =

√32 + 42 = 5m per tant el seu unitari és −→ur2 = (3/5, 4/5)

Per tant els seus camps seràn:−→E1 = 9 · 109 · 25·10−9

1 · (0, 1) = (0, 225)N/C−→E2 = 9 · 109 · 25·10−9

25 · (3/5, 4/5) = (5′4, 7′2)N/CSi sumam component a component obtendrem el resultat

−−−→Etotal = (5′4, 232′2)N/C

38. En els punts (1,0) i (0,1) del sistema cartesià pla existeixen dues càrregues de 1/3µC i 1/9µC.Determinar:

B.1. Tema 1. 141

a) El valor del camp elèctric i el potencial elèctric a l'eix de coordenadesEl camp elèctric és

−−−→Etotal = (−9 · 109 · 10−6

3,−9 · 109 · 10−6

9) = (−3 · 103,−103)N/C

a) El potencial elèctric al punt (1,1)El potèncial elèctric és V = K · Qr en aquest cas hem de considerar que les dues càrregues exerceixenun camp elèctric per tant el potencial elèctric dependrà d'aquestes dues càrregues

V = K · Q1

r1+K · Q2

r2= 9 · 103(

13

+19

) = 4 · 103V

Documents

Electrotècnia - apunts segon batxillerat