48
Električni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potječe od rada koji čestica obavlja gibajući se u el. polju suprotno od djelovanja el. sile (slično kao kod gravitacijskog polja). Gledamo el. naboj Q’ koji se giba po putanji ab u el. Polju E. Rad pri gibanju nabijene čestice u el polju? Istovremeno, neka djeluju neka neelektrična sila F. Uvodimo koordinatni sistem, smjer tangente na krivulju i okomica na tangentu. Rastavljamo sile na komponente:

Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

  • Upload
    others

  • View
    18

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijalElektrostatska potencijalna energija

Energija potječe od rada koji čestica obavlja gibajući se u el. polju suprotno od djelovanja el. sile (slično kao kod gravitacijskog polja).

Gledamo el. naboj Q’ koji se giba po putanji abu el. Polju E.

Rad pri gibanju nabijene čestice u el polju?

Istovremeno, neka djeluju neka neelektrična sila F.

Uvodimo koordinatni sistem, smjer tangente na krivulju i okomica na tangentu.

Rastavljamo sile na komponente:

Page 2: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 2

t – smjer, smjer tangente na krivulju

Jer se čestica giba po tangenti, nema promjene brzine (po iznosu), tj. u y smjeru nema rada.

Rad obavlja samo tangencijalna komponenta .

ϑϕ cos'cos EQFFt +=∑n – smjer, okomica na tangentu (normala)

ϑϕ sin'sin EQFFn +=∑

t

n

0nW F d s= ⋅ =∫� �

Page 3: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 3

2. Newtoneov zakon povlači: maFt∑ =

uz:

ϑϕ cos'cos EQFma +=

ds

dvv

dt

ds

ds

dv

dt

dva ===

ϑϕ cos'cos EQFds

dvmv +=

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=

Fizikalno tumačenje?

Page 4: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 4

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=

putsiladsF ×= cosϕ diferencijal rada vanjskih sila

kdEmvdmvdv =

= 2

2

1diferencijal kinetičke energije

dsEQ ϑcos'− rad za svladavanje el. sile ili

promjena potencijalne energije naboja u el. polju

elpk dEdEdW +=

Page 5: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Ukupan rad

∫∫∫ −=b

a

b

a

b

a

dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos

Ukupan rad za pomicanje naboja po krivulji ab?

Specijalni slučajevi:

a) Nema el. polja (E=0).

Rad vanjskih sila ide samo na prirast kinetičke energije i ne ovisi o putu.

22

2

1

2

1 cos ab

b

a

mvmvdsF −=∫ ϕ )()( aEbE kk −=

Page 6: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Ukupan rad b

b) Nema promjene kinetičke energije.

Rad vanjskih sila je utrošen na svladavanje sile kojom el. polje djeluje na naboj, tj. rad promjeni potencijalnu energiju.

∫∫ −=b

a

b

a

sdEQdsF��

' cosϕ

)()(' aEbEsdEQ pp

b

a

−=− ∫��

Page 7: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Ukupan rad c)

c) Nema vanjskih sila (F=0).

0)()(cos' =−+− ∫ aEbEdsEQ kk

b

a

ϑ

0)()()()( =−+− aEbEaEbE kkpp

)()()()( aEaEbEbE kpkp +=+

Definiramo da je Ep u beskonačnosti jednaka nuli.

( ) 0

( ) cos

p

b b

p

E

E b QE ds QEdsϑ∞ ∞

∞ =

= − = −∫ ∫� �

Ep = rad potreban da se naboj Q prenese iz beskonačnosti u točku b

Z.O.E.

Page 8: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal

Ovisi li elektrostatska potencijalna energija o putu kojim se naboj gibao od beskonačnosti do točke b?

Promjena potencijalne energije kod točkastog naboja dana je samo radom po radijalnom dijelu putanje.

Promatramo polje točkastog naboja Q i gibanje u njemu izmeñu točaka a i b.

+a

ba’

Q

∫∫∫ −−=−b

a

a

a

b

a

sdEqsdEqsdF'

'������

090cos ' =⇒⊥⇒ ���sdEaalukza

∫∫∫ −=−=−⇒b

a

b

a

b

a r

drqQsdEqsdF

'2

0' 4πε����

10cos ' radijalno =⇒⇒ ���sdEba

−−=

ba rr

qQ 11

4 0πε

q

Page 9: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 2

Uzmimo proizvoljnu putanju od a do b?

Promjena potencijalne energije kod pomicanja naboja q u el. polju ne ovisi o putu nego samo o početnoj i krajnjoj točki pomaka.

Svaku putanju možemo aproksimirati infinitezimalnim pomacima po kružnim putanjama.

090cos =⇒⊥⇒ ���sdElukoveza

∫∫∫∫∫ −=−−−−=−⇒b

a

b

a

a

a

a

a

b

a r

drqQsdF

20''''

''

'

'

4...

πε��

10cos radijalno =⇒⇒ ���sdE

−−=

ba rr

qQ 11

4 0πε

+a

b

Q

a’q

Page 10: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Za slučaj kada imamo više točkastih naboja

0

1 1

4

b

jj a ba

qFds Q

r rπε

− = − −

∑∫� � Promjena potencijalne energije u el.

polju ne ovisi o izboru putanje, većsamo o početnoj i krajnjoj točki pomaka. (Coulombova sila je konzervativna sila)-početna točka a→∞

( )04

jp

j j

QqE r

rπε= ∑

Q1

Q2

Q3

Qj

A

Bq

r j

Potencijalna energija = skalarna funkcija koordinate točke u prostoru.

Električno polje možemo opisati skalarnom veličinom jednoznačno definiranom u svakoj točki polja.

0Fds− =∫� �

( ),j jr d Q B=

Page 11: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 3

Promatramo poseban slučaj:�Točka a je u beskonačnosti�Promatramo jedinični naboj (q = 1)

Električni potencijalu nekoj točki polja, jednak je radu koji se treba izvršiti da bi se jedinični naboj prenio iz beskonačnosti u tu točku.

0

1( )

4

QV r

rπε=�

( ) ( )b b b

p p

a a

E b E a Fds qEds Eds∞

− = − = − ⇒ −∫ ∫ ∫� � �� � � )(bV=

[ ] J JV

C As = =

( )( ) pE b

V bq

=Ako naboj nije jedinični: potencijal u točki b jednak je potencijalnoj energiji naboja q u točki b podijeljenoj s iznosom naboja q. (Rad po naboju.)

[ ] V NE

m C = =

Page 12: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal 4

Potencijal u polju točkastog naboja Q

0

1( )

4

QV r

rπε=�

Potencijal u polju više točkastih naboja Qj

0

1( )

4j

j j

QV r

rπε= ∑

Potencijal u polju prostorne raspodjele naboja ρ(r)= ρ(x,y,z)

( ) ( )0

', ', '1( ) , ,

4 '

x y zV r V x y z dV

r

ρπε

= = ∫�

Električni potencijal u ravnini oko točkastog pozitivnog naboja.

1( )V r

r

�∼

Page 13: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električna napetost / napon

Razlika potencijala izmeñu dvije točke u električnom polju zove se električna napetost (napon).

Razlika potencijala ili električna napetost Uba izmeñu dvije

točke b i a jednaka je radu koji treba izvršiti da se jedinični naboj prenese iz točke a u točku b.

∫∫∞∞

+−=−ab

ab sdEsdEVV����

∫−=b

a

sdE��

baU= [ ]V

1 eV = energija koju dobije nabijena čestica naboja e (elektron ili proton) ubrzana razlikom potencijala 1 V

- energetski nivoi atoma ~ 1 eV- energetski nivoi jezgre ~ 1 MeV- energija elektrona u katodnoj cijevi (televizor) ~5 keV

0ab baU U Eds= − ⇒ =∫� �

Page 14: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal i električno polje

Gledamo razliku potencijala izmeñu dvije točke na beskonačno maloj udaljenosti.

Komponenta vektora polja u danom smjeru je jednaka negativnoj vrijednosti gradijenta potencijala u tom smjeru.

sdEdUsdEUUb

a

ab

���� −=⇒−=− ∫ dsE ϑcos−= ⇒ : ds

ds

dUE −=ϑcos

zk

yj

xi

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

���

x

zyxUEx ∂

∂−= ),,( ( ) ( ), , , , y z

U x y z U x y zE E

y z

∂ ∂= − = −

∂ ∂

gradUUE −=−∇=�

gradijent, nabla operator

Page 15: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Coulombova sila:

1 202

0 12

1( )

4

q qF r r

rπε=

� � �

Električno polje:

Potencijal:Potencijalna energija:

2

0 12

1( )

4

qV r

rπε=�1 2

0 12

1( )

4p

q qE r

rπε=�

202

0 12

1( )

4

qE r r

rπε=

� � �

Potencijal je karakteristika polja (prostora u kojem polje djeluje), bez obzira na to postoji li testni/probni naboj u polju. Potencijalna energija je karakteristika sustava polje-naboj zbog meñudjelovanja polja i nabijene čestice smještene u to polje.

r0r0

( )( ) pF r E r= −∇� � � ( )( )E r V r= −∇

� � �

Page 16: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Potencijal dipola

Iz točke P povucimo kružnice kroz krajeve dipola (zeleno).

θθ cos2

),( cos2

),(d

rQPdd

rQPd +≈−≈ −++-

d+-

dQ Q

P

r

θ

Er

U slučaju da je r>>d , lukovi su praktički ravni i okomiti na r i spojnice točke P s nabojima.

+−

−=

θθπε cos2

cos2

4

1

0d

r

Qd

r

QV

−=

θ

θπε 2

220 cos

4

cos

4

1

dr

Qd

20

cos

4

1

r

dQV

θπε

=2

0

cos

4

1

r

pV

θπε

=

Page 17: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Potencijal dipola 2

+-d

+-d

Q Q

P

r

θ

Er

20

cos

4

1

r

pV

θπε

=

r

VEr ∂

∂−= 30

cos2

4

1

r

p θπε

=

1

θθ ∂∂−== V

rEEt 3

0

sin

4

1

r

p θπε

=

Page 18: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

1. Točke A i B smještene su u električnom polju. Razlika potencijala VB-VA jea) pozitivna,b) negativna,c) nula.

2. Negativan naboj premješten je iz točke A u B. Promjena potencijalne energije je >a) pozitivna,b) negativna,c) nula.

0b

b a

a

V V Eds− = − <∫� �

( ) ( ) ( )

( )

>0b b

p p

a a

p

E b E a Fds q Eds

E q V

− = − = − −

= −

∫ ∫� �� �

△ △

Page 19: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

3. Kolika je razlika potencijala izmeñu točaka A i B u homogenom električnom polju?

4. Kolika je promjena potencijalne energije pri premještanju naboja q0 iz točke A u B?

Page 20: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Ekvipotencijalne plohe

Novi način grafičkog prikaza električnog polja.

Ekvipotencijalna ploha je skup svih točaka prostora u kojima potencijal ima istu vrijednost.

Svojstva:

�Ekvipotencijalna ploha je u svakoj svojoj točki okomita na smjer električnog polja u toj točki.

�Potencijalna energija naboja je ista u svakoj točki ekvipotencijalne plohe.

�Relativna gustoća ekvipotencijalnih ploha je mjera jakosti električnog polja.

primjeri

Page 21: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

1. Na slici su dane ekvipotencijalne plohe. Poredaj po iznosu rad električnog polja pri premještanju pozitivnog naboj iz:a) A u B,b) B u C,c) C u D,d) D u E.

02q0

q0

-q0

E

2. Sferni balon ima u svom središtu pozitivni naboj. Ako se balon napuše na veći polumjer, a naboj ostane u središtu, potencijal na sferi / tok električnog polja kroz sferu:a) poraste,b) smanji se,c) ostane isti.

Page 22: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

-homogeno el. polje beskonačne nabijene ploče

Silnice el. polja i ekvipotencijalne plohe

-točkasti naboj

-dipol

Page 23: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

3. U nekom dijelu prostora električni potencijal duž x-osi jednak je nuli. Ex u tom dijelu prostora je:a) nulab) u smjeru +x,c) u smjeru –x.

4. U nekom drugom dijelu prostora električno polje je nula. Električni potencijal u tom dijelu prostora je:a) nula,b) konstantan,c) pozitivan,d) negativan.

Page 24: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Električni potencijal nabijenog vodiča

-sav naboj se nalazi na površini vodiča-el. polje unutar vodiča = 0, a na površini je okomito na vodič-u ravnoteži, sve točke na površini vodiča imaju isti potencijal (površina vodiča je ekvipotencijalna ploha)-buduću da je E=0 unutar vodiča, to znači da je potencijal unutar vodiča konstantan i jednak potencijalu na njegovoj površini-rad pri pomicanju testnog naboja iz unutrašnjosti na površinu vodiča =0

-za točke A i B vrijedi (integral uz površinu vodiča, E ┴ s):

Page 25: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Polje i potencijal homogeno nabijene sfere.

Page 26: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Prijelaz naboja s vodiča na vodič

-naboji prelaze dok se potencijali vodiča ne izjednače

AB

dQB QA

- vodič A nabijen je nabojem Q; nakon spajanja vodiča tankom vodljivom žicom, na A ostaje QA, a na B prijeñe naboj QB; Q=QA+QB;

A

B

B

A

BAA

B

A

B

BA

A

B

BB

B

A

AA

R

R

E

E

dRRuzR

R

Q

Q

VV

d

Q

R

QV

d

Q

R

QV

=

<<=

=

+=

+=

,

4

1

4

1

0

0

πε

πε

-količina naboja na kuglama proporcionalna je njihovim polumjerima

Page 27: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kapacitet

Vidjeli smo da je potencijal točkastog naboja:

Slično, potencijal kugle je:

r

QV

04

1

πε=

R

QV

04

1

πε= Q – ukupan naboj

R– polumjer kugle

QRV =⇒ 04πε tj. Q je proporcionalan s V.

Eksperimenti su pokazali da su naboj i potencijal svakog izoliranog vodiča meñusobno proporcionalni (više naboja ↔veći potencijal).

Konstanata proporcionalnosti se zove KAPACITET.

VCQ ⋅=V

QC =⇒

[ ] [ ][ ] [ ] farad FV

QC ==⇒

Kapacitet je omjer naboja i potencijala.

FpF

FnF

FµF

12

9

6

10

10

10

==

=Farad je velika veličina, pa se koriste:

Page 28: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Primjer:

Koliki je kapacitet Zemlje ako je njen polumjerR = 6370 km?

221120

6

1085,8

1037,6

CmN

mR−−−⋅=

⋅=ε

RC 04πε=

612 1037,61085,814,34 ⋅⋅⋅⋅⋅= −C

FC 610708 −⋅≈

FC µ708≈

-samo ako se u blizini ne nalazi nikakav drugi vodič

Page 29: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kondenzatori

Potencijal nabijenog vodiča ovisi o:- naboju na vodiču- količini i predznaku naboja na okolnim vodičima- rasporedu, obliku i dimenzijama okolnih vodiča

+Q -Q

V

QC =

potencijal se smanji

kapacitet se poveća (Q se ne mijenja)

⇒ kapacitet vodiča možemo povećati dovoñenjem suprotno nabijenog vodiča u njegovu blizinu⇒ kondenzator

Page 30: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kondenzatori

Page 31: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kondenzatori

Dva bliska, meñusobno izolirana vodiča nabijena jednakim količinama naboja suprotnog predznaka.

Primjena: pohrana elektrostatske energije, ispravljači, radio, TV, memorija za računala, …

-omogućuju uskladištenje relativno velikih količina naboja uz male razlike potencijala

Page 32: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Pločasti kondenzator

Dvije jednake paralelne ploče, meñusobno udaljene za udaljenost d (d<<dimenzija ploče).

Za električno polje izmeñu 2 paralelne ploče, izveli smo izraz:

σεε 00

11 ==S

QE

Jer je polje skoro homogeno, potencijal (rad za prijenos jediničnog naboja) je:

( )S

QddEdEsFUab

0

11

ε=⋅=⋅⋅=⋅= ��

abV

QC =Definicija kapaciteta daje:

d

SC 0ε=

Page 33: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Pločasti kondenzator 2

Permitivnost vakuuma, dielektrična konstanta

d

SC 0ε=

S

dC ⋅=⇒ 0ε [ ]

=⇒m

F0ε

1. Kondenzator je nabijen nabojem Q uz napon V. Ako se napon udvostruči:a) C se smanji na pola, a Q ostaje isti,b) C i Q se smanje upola,c) C i Q se udvostruče,d) C ostaje isti, Q se udvostruči

2. Tipka na tipkovnici radi na principu promjenjivog kondenzatora. Kada se tipka stisne, meki izolatorski sloj se stanji, a kapacitet se:a) poveća,b) smanji,c) promijeni na nepoznati način .

Page 34: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kuglasti kondenzator

- dvije vodljive koncentrične kugline ljuske

Jer kugle nemaju jednake površine, polje nije homogeno. Silnice su radijalni pravci (izlaze iz + nab. kugle i ulaze u – nabijenu kuglu.

2

1

1R

ab

R

U F s E dr= ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫� �

Npr. puna metalna kugla unutar šuplje

Električno polje izmeñu kugli jednako je kao i polje točkastog naboja Qkoji bi bio u središtu kugle:

204

QE

rπε=

2

1

204

R

ab

R

Q drU

rπε= ∫

0 1 2

1 1

4

Q

r rπε

= −

Page 35: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Kuglasti kondenzator 2

QC

U=Definicija kapaciteta daje:

Pretpostavka da je vanjska kugla beskonačno velikog polumjera �

0 1 2

1 1

4

QU

r rπε

= −

0 1 2

1 14

QC

Q

r rπε

=

1 20

2 1

4r r

Cr r

πε=−

04C rπε= Kapacitet usamljene kugle – ovisi samo o polumjeru.

Page 36: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Cilindrični kondenzator

Dvije koaksijalne valjkaste obloge polumjera R1 i R2 jednakih visina.

Kapacitet=?

Gaussov zakon

0εQ

SdES

=⋅∫∫��

) ( , rzakonstESdE =��

∫∫∫∫ ⇒⋅=⋅SS

dSESdE θcos��

02 επ

QdSE

lr

=∫∫

Page 37: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Cilindrični kondenzator 2

Rad?0

π QlrE =

02

1

επQ

lrE =⇒

∫ ⋅=2

1

R

R

drEU ∫=2

102

1R

R r

drQ

l επ

=

1

2

0

ln2

1

R

RQ

l επ

⇒=U

QC

=

1

2

0

ln

2

RR

lC πε Samo ovisnost o

geometriji kondenzatora

Page 38: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Vrste kondenzatora

Prema načinu izrade i načinu primjene:

- stalni i promjenljivi- papirni, keramički, elektrolitički

Lajdenska boca– najstariji tip kondenzatora

Lajdenska boca– Staklena boca (čaša) obložena metalnom folijom izvana i iznutra, s poklopcem od izolatora kroz koji je provučena metalna šipka koja je spojena s unutrašnjom oblogom.

Kapacitet– reda 1 nF (napon desetak tisuća volta!!!)

Page 39: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Vrste kondenzatora 2

Papirni kondenzatori – 2 dugačke, vrlo tanke metalne (alumijske) folije odvojene parafiniranim papirom. Folije se uviju u obliku valjka

Kapacitet– od nekoliko nF do nekoliko µµµµF

Keramički kondenzatori– koriste se razni keramički materijali velikih dielektričnih konstanti.

Prednost – vrlo male dimenzije

Elektrolitički kondenzatori– aluminijska elektroda, obložena elektrolitom.

Kapacitet– nekoliko stotinaµµµµF

Page 40: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Spajanje kondenzatora

Serijski spoj kondenzatora

21 QQ =

21 UUU +=

U

QC =

21 UUU +=

2

2

1

1

C

Q

C

Q

C

Q += Q:

21

111

CCC+=

∑=i iCC

11

Page 41: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Spajanje kondenzatora 2

Paralelni spoj kondenzatora

21 UU =

21 QQQ +=

U

QC =

21 QQQ +=

2211 UCUCCU += U:

21 CCC +=

∑=i

iCC

Page 42: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Primjer:

Kapaciteti kondenzatora na slici su: C1 = 4 µF, C2 = 6 µF i C3 = 2 µF. Neka je točka b uzemljena, a točka a na potencijalu Ua = 1200 V. Odredi naboje na svakom od kondenzatora te potencijal u točki c.

VU

FC

FC

FC

a 12000

2

6

4

3

2

1

====

µµµ

FCCC µ8263223 =+=+=

FCCCC u

u

µ3

8

8

1

4

1111

231

=⇒+=+=

Page 43: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Ukupni naboj:

abuUCQ = Cµ32001200103

8 6 =⋅⋅= −

Jer je C1 serijski s C2-C3, vrijedi:Q1 = Q23 = Q

VC

QUCQ ac 800

4

32003200

1

11 ===⇒= µ

VUUUUUU acaccaac 4008001200 =−=−=⇒−=

VUUU bccb 4000400 =−=−=

FUCQ cb µ2400400106 622 =⋅⋅=⋅= −

FUCQ cb µ800400102 633 =⋅⋅=⋅= −

FQQQ µ32008002400321 =+=+=

Page 44: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

2. Nañi ekvivalentni kapacitet izmeñu točaka a i b. Zadane vrijednosti su u mikrofaradima.

Page 45: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru

Nabijanje kondenzatora = prijenos naboja s obloge nižeg potencijala na oblogu višeg potencijala.

tj. treba uložiti rad, utrošiti energiju

C

QUab =

C

QQdQ

CdWW

Q 20

0 2

11 0

=== ∫∫

Primjer. Dodajemo malu količinu elektriciteta dQna prazan kondenzator, a konačni naboj neka bude Q0.

UQW ⋅=⇒ 02

1 energija pohranjena u kondenzatoru

21

2W C U= ⋅ - izrazi vrijede za svaki kondenzator,

neovisno o njegovom geometrijskom obliku

Page 46: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Energija električnog polja

prekidač→ E → gibanje elektrona s lijeve ploče kroz žicu na desnu ploču→ razdvajanje naboja na pločama→ povećanje električne potencijalne energije (na račun kemijske energije akumulatora)

Page 47: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Energija električnog polja

EdU = napon izmeñu ploča kondenzatora

d

SC 0ε= kapacitet kondenzatora

21

2W C U= ⋅ energija pohranjena u kondenzatoru

( ) ( )2 20 0

1 1

2 2

SW Ed Sd E

dε ε = =

volumen20

2Ew

ε= gustoća energije električnog polja

0

2 V

W E EdVε= ⋅∫� �

Page 48: Elektri čni potencijal - UNIOSfizika.unios.hr/~dstanic/Osnove_fizike_2/03... · Elektri čni potencijal Elektrostatska potencijalna energija Energija potje če od rada koji čestica

Domaća zadaća

1. Kako treba spojiti tri kondenzatora na bateriju da bi pohranili najviše energije?a) serijski,b) paralelnoc) oba načina spajanja pohranit će istu količinu energije

2. Pločasti kondenzator je nabijen i odspojen od baterije. Kada se ploče razdvoje na veliku udaljenost, objasni što će se dogoditi sa sljedećim veličinama:a) Cb) Qc) E izmeñu pločad) Ue) energijom pohranjenom u kondenzatoru, W?

3. Isto pitanje kao i prethodno, samo što ovoga puta kondenzator ostaje spojen na bateriju.