Elektrotechnisches Grundlagen-Labor II

Ortskurve, Resonanz, Filter

Versuch Nr.

1 Erforderliche Geräte Anzahl Bezeichnung, Daten GL-Nr.

1 NF-Generator 10V; 600Ω 142 1 NF-Millivoltmeter 162 2 NF-Voltmeter, erdfrei 134/135 1 Reaktanzhochpass 84 1 Abschlusswiderstand 600Ω 1 Spule 75/300mH 1 Widerstand 1kΩ 1 Widerstand 10kΩ 1 Kondensator 100nF 1 Umschalter, abgeschirmt 1 Steckbrett 2 Kurzschlussstecker 6 Verbindungsleitungen 0,5m, BNC-BNC 1 Koaxialkabel 0,5m, BNC/2 Bananenstecker 4 Koaxialkabel Datum: Name: Versuch durchgeführt:

2

1 Theoretische Grundlagen 1.1 Ortskurven Der Betriebszustand von passiven linearen Schaltungen für sinusförmigen Wechsel-strom und sinusförmige Wechselspannung kann beschrieben werden durch die kom-plexen Effektivwerte der Ströme und Spannungen in der Schaltung. Die komplexen Effektivwerte werden im Folgenden durch große unterstrichene Buchstaben symboli-siert. In der komplexen Ebene werden sie durch sog. Zeiger dargestellt. Aus dem komplexen Effektivwert A einer sinusförmigen Wechselgröße mit der Kreisfrequenz ω erhält man ihren von der Zeit t abhängigen Momentanwert zu

tjeARe2)t(a ω⋅⋅= . (1) Den Quotienten jXRI/UZ +== (2) der komplexen Effektivwerte U und I von Eingangsspannung und Eingangsstrom eines passiven Zweipols bezeichnet man als dessen komplexen Widerstand. Hierbei ist vorausgesetzt, dass für U und I das Verbraucherzählpfeilsystem eingeführt ist. Die Größen R und X in (2) heißen Wirk- und Blindwiderstand. Der Reziprokwert

jBGZ1Y +== (3)

heißt komplexer Leitwert des Zweipols, wobei G als Wirkleitwert, B als Blindleitwert bezeichnet wird. Jeder Wert Z und Y entspricht einem Punkt in der komplexen Wi-derstands- bzw. Leitwertsebene. Der komplexe Widerstand eines passiven linearen Zweipols hängt ab von 1. der Schaltungsstruktur und der Art der verwendeten Bauelemente (Widerstand,

Kondensator, Spule, Übertrager), 2. der Dimensionierung der Bauelemente, 3. der Frequenz. Ändert man bei einem passiven linearen Zweipol die Frequenz oder die Dimensionie-rung eines einzigen Bauelements stetig, so kann man die hierbei von Z angenom-menen Werte in der komplexen Widerstandsebene durch eine Kurve verbinden. Die-se heißt Ortskurve. An der Ortskurve kann man als Parameter die Frequenz bzw. die Dimensionierung des veränderlichen Bauelements angeben. Auch der komplexe Leitwert Z/1Y = kann als Ortskurve dargestellt werden. Bild 1 zeigt einen passiven linearen Zweipol, dessen Dimensionierung sich im Fol-genden nicht ändern soll. Für diesen Zweipol ist in Bild (2a) der Eingangswiderstand Z , in Bild (2b) der Eingangsleitwert Y abhängig von der Frequenz f als Ortskurve dargestellt.

3

Bild 1 Passiver linearer Zweipol

Bild 2a Ortskurve des Eingangswiderstands Z der Schaltung nach Bild 1 mit

der Frequenz f als Parameter

Bild 2b Ortskurve des Eingangsleitwerts Y der Schaltung nach Bild 1 mit der Frequenz f als Parameter

RCR = 100 Ω

C = 159 pF

1Y

Z =

Re(Z)/ 100Ω

-100

Im(Z)Ω

23

46

1016

26 fMHz

Re(Y)/mS

10

Im(Y)mS

234

6

10

fMHz

10

4

Die Anwendungsmöglichkeit von Ortskurven ist nicht auf die Darstellung komplexer Widerstände und Leitwerte beschränkt. Sie können immer dann angewandt werden, wenn die Abhängigkeit einer komplexen Größe von einem reellen Parameter darge-stellt werden soll. Als Beispiel werde der Zweipol nach Bild 3 betrachtet. Dieser wer-de mit konstanter Spannung und Frequenz betrieben. Die Induktivität L soll von sehr kleinen bis zu sehr großen Werten einstellbar sein.

Bild 3 Passiver linearer Zweipol mit einstellbarer Induktivität In Bild 4 ist die Ortskurve des Quotienten

LjRR

UUR

ω+= (4)

mit der Induktivität L als Parameter dargestellt.

Bild 4 Ortskurve des Verhältnisses UR/U mit der Induktivität L als Parameter

für die Schaltung nach Bild 3

RL

U

UL UR

U = 10 VR = 100 Ωω = 106 s-1

0 < L < 8

Re1

- 0,5

Im UR

U 5

50100

200

LµH

UR

U

5

2 Resonanzschaltungen Die Prinzipien der Resonanzschaltungen werden im Folgenden anhand des Serien-schwingkreises nach Bild 5 erläutert.

Bild 5 Serienschwingkreis Der Eingangswiderstand dieser Schaltung ist

ω−ω+=

C1LjRZ S (5)

Bei der Kreisfrequenz

CL

1R ⋅

=ω=ω (6)

verschwindet der Imaginärteil von Z und Z wird minimal. ωR heißt Resonanzkreis-frequenz, )2/(f RR πω= Resonanzfrequenz. Mit dem sog. Resonanzblindwiderstand

CLXR = (7)

und dem Gütefaktor

SR/CLQ= (8)

des Resonanzkreises lässt sich dessen Eingangswiderstand auch ausdrücken in der Form

ω

ω−

ωω

⋅+⋅=

ω

ω−

ωω

⋅+= R

RS

R

RRS jQ1RjXRZ . (9)

RS

L C

6

In Bild 6 ist die Ortskurve von

jF1RZ

S

+= (10)

mit dem Frequenzfaktor

ω

ω−

ωω

⋅= R

R

QF (11)

als Parameter für 1F8,0 ≤≤− gezeichnet. Neben dem Gütefaktor Q ist dessen Reziprokwert

CL/RQ/1d S== (12)

der sog. Dämpfungsfaktor, eine wichtige Beschreibungsgröße des Schwingkreises.

Bild 6 Ortskurve des normierten Eingangswiderstands mit F als Parameter für

den Serienschwingkreis nach Bild 5

F

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,2 0,4 0,6 0,8

- 0,8

- 0,6

- 0,4

- 0,2

- 0,8

- 0,6

- 0,4

- 0,2

ImRS

Z

RS

ZRe

7

Im Folgenden wird angenommen, dass die Amplitude U)

der Spannung am Schwing-kreis unabhängig von der Frequenz stets den gleichen Wert hat. Dann wird der Strom durch den Resonanzkreis maximal mit der Amplitude

Smax R/UII))

== (13) bei der Resonanzfrequenz. Allgemein erhält man für die Stromamplitude mit (9) und (13)

jF1I

jQ1

II max

R

R

max

+=

ω

ω−

ωω

⋅+= (14a)

2max

2

R

R

2

max

F1I

Q1

II+

=

ω

ω−

ωω

⋅+

= (14b)

In Bild 7 ist die Ortskurve von I/Imax nach (14a) mit F nach (11) als Parameter darge-stellt. Bild 8 zeigt maxI/I nach (14b) abhängig von F.

Bild 7 Ortskurve von I/Imax nach (14a) mit F als Parameter

Re1

- 0,07

- 0,5

- 1

- 2

F

0,07

0,5

1

2

0,2 0,4 0,6 0,8

- 0,6

- 0,4

- 0,2

0,2

0,4

0,6

Im Imax

I

Imax

I

F = 0

8

Bild 8 I/Imax nach (14b) und P/Pmax nach (16) als Funktion von F Die vom Schwingkreis aufgenommene Wirkleistung erreicht bei konstanter Span-nung U ihren Maximalwert

S2maxS

2max RIR/UPP ⋅=== (15)

bei Resonanz. Allgemein erhält man für die Leistung mit (14b)

2max

2

R

R

2

max2

R

R

2

S2max

F1P

Q1

P

Q1

RIP+

=

ω

ω−

ωω

⋅+

=

ω

ω−

ωω

⋅+

⋅= (16)

P/Pmax nach (16) ist abhängig von F ebenfalls in Bild 8 dargestellt. 1.3 Reaktanzfilter Ein Generator mit der Leerlaufspannung U0 (Effektivwert), mit dem Innenwiderstand Ri und mit einstellbarer Frequenz f speise den ohmschen Verbraucherwiderstand R1 = Ri, siehe Bild 9.

Bild 9 Belasteter Generator bei Anpassung

F1 2 3-1-2-3

1

Imax

I

Pmax

P

Ri

U0 G PR1 = Ri

~

9

In diesem Fall wird dem Generator unabhängig von der Frequenz f stets die maximal mögliche Wirkleistung

i

20

max R4U

P⋅

= (17)

entnommen. Es herrscht Leistungsanpassung. Insbesondere in der Nachrichten-technik besteht nun häufig die Forderung, dass ein Verbraucherwiderstand R1 einem Generator lediglich in gewissen Frequenzbereichen möglichst hohe Leistung P ent-nimmt. In anderen Frequenzbereichen soll R1 dagegen möglichst geringe Leistung erhalten. Diese Forderung lässt sich dadurch erfüllen, dass man zwischen den Gene-rator und den Verbraucher einen Vierpol aus Blindelementen schaltet. Ein solcher Vierpol wird allgemein als Filter bezeichnet. Je nach der Frequenzlage der Durch-lass- und Sperrbereiche ist ein solches Filter ein Tief-, Band- oder Hochpass oder eine Bandsperre. Bild 10 zeigt als Beispiel eine Tiefpassschaltung.

Bild 10 Tiefpassschaltung Durch die Filterschaltung wird der Verbraucherwiderstand R1 in den komplexen Wi-derstand jXRZ += transformiert. Die in diesem Fall vom Generator abgegebene Wirkleistung ist mit Pmax nach (17)

max2i

2i

i P)R/X()R/R1(

R/R4P ⋅++

= (18)

Setzt man voraus, dass die Blindelemente des Filters verlustfrei sind, ist die vom Fil-ter aufgenommene Wirkleistung P nach (18) gleich der in R1 verbrauchten Wirkleis-tung. Für iRR ≠ und/oder 0X ≠ ist maxPP< ; es herrscht Fehlanpassung. Da der Blindwiderstand der Blindelemente und damit das Transformationsverhalten des Fil-ters frequenzabhängig sind, ist auch P nach (18) eine Funktion der Frequenz. Dieser kann man durch die Struktur und Dimensionierung des Filters einen geforderten Ver-lauf geben. Die aus (18) zu ermittelnde Größe

Ri

U0 G R1 = Ri

L

Filter

CZ

R1 = Ri = 50 Ω ; L = 15,9 µH ; C = 1,59 nF

∼

10

i

2i

2imax

R/R4)R/X()R/R1(lg10

PPlg10dB/a ++

=

= (19)

heißt Betriebsdämpfungsmaß des Filters. Bei dem Beispiel nach Bild 10 ist

CRj1LjCLRRZ

1

12

1

ω+ω+ω−

= (20)

21

12

12

1

1

)CR(1R)CL1()CR(Lj

)CR(1RZ

ω+⋅ω−⋅ω−ω

+ω+

=

Bei sehr tiefen Frequenzen ist 1RZ = und somit P = Pmax, bei sehr hohen Frequenzen geht ∞→Z und damit P → 0. Wählt man die in Bild 10 angegebene Dimensionierung, so erhält man aus (19) mit Z nach (20) das in Bild 11 abhängig von der Frequenz f dargestellte Betriebsdämpfungsmaß a.

Bild 11 Betriebsdämpfungsmaß a des Tiefpasses nach Bild 10 abhängig von

der Frequenz f (logarithmische Frequenzskala)

0

5

10

0,1 1 10

adB

fMHz

11

2 Weiterführende Literatur [1] Meinke, Hans:

Einführung in die Elektrotechnik höherer Frequenzen, Band 1 Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. Fachbereichsbibliothek: ELT 705/005-1 [2] Steinbuch, Karl; Rupprecht, Werner:

Nachrichtentechnik Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. Fachbereichsbibliothek: ELT 804/005

3 Fragen und Aufgaben 1. Leiten Sie die Formel (18) ab! 2. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.3 aus den Größen )UR/(UY R ⋅= und

)UR/(UC ⋅ der komplexe Leitwert Y konstruiert werden kann! 3. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.4 aus den Größen )UR/(UY R ⋅= und

)UR/(ULC ⋅ der komplexe Leitwert Y konstruiert werden kann! 4. Berechnen Sie für den Serienschwingkreis des Versuchs 4.4 Resonanzfrequenz

fR, Resonanzblindwiderstand XR, Gütefaktor Q und Dämpfungsfaktor d! 5. Ermitteln Sie für den Serienschwingkreis des Versuchs 4.4 bei der Resonanzfre-

quenz die Spannungsverhältnisse UL/UR und UC/UR sowie die Winkel ϕi = arc tan (I/U), ϕL = arc tan (UL/UR) und ϕC = arc tan (UC/UR)!

6. Überlegen Sie, wie beim Versuch 4.5 aus den Größen Re U/RUZ ⋅= und

RU/RU ⋅ der komplexe Widerstand Z konstruiert werden kann! 4 Versuchsanleitung 4.1 Hinweise zu den Geräten Die im Versuch verwendeten elektronischen Vielfachmessinstrumente GL 134 und GL 135 können bis 25kHz zur erdfreien Messung von Wechselspannungen verwen-det werden. Überprüfen Sie vor Beginn der Messungen Batteriespannungen, elektri-schen Nullpunkt und Eichung!

12

Das mV-Meter GL 162 ist nicht erdfrei. Der Netzstecker muss so gepolt werden, dass bei offenem Eingang im 1mV-Bereich ein Ausschlag von weniger als 100µV entsteht. Zur wechselweisen Messung von zwei verschiedenen Spannungen steht ein abge-schirmter Umschalter zur Verfügung. Vermeiden Sie durch Wahl geeigneter Messbereiche eine Überlastung der Instru-mente! Die im Folgenden beschriebenen Arbeiten sollen für jede der in den Tabellen angegebenen Frequenzen durchgeführt werden. 4.2 Komplexer Widerstand Z einer RL-Reihenschaltung • Aufbau der dargestellten Schaltung • Einstellen der Spannung UR = 1V und damit des Stroms I = 100µA und Messung

von UL und U • Berechnen von I/UZ = und I/UX L= • Konstruieren der Ortskurve Z(f) aus Z und X mit Hilfe eines Zirkels

Bild 12 Tabelle 1

f/Hz 20 50 100 200 500

UL/mV

U/mV

Ωk/Z

X/kΩ

UR

U 75 mHZQuelle

GL142

10 kΩ

UL

GL 134

GL 135 GL 162

I

13

Tabelle 2

f/kHz 1 2 5 10 20

UL/mV

U/mV

Ωk/Z

X/kΩ

Bild 13

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10Re(Z)

kΩ

Im(Z)kΩ

14

4.3 Komplexer Leitwert Y einer RC-Reihenschaltung • Aufbau der dargestellten Schaltung • Einstellen der Spannung U = 5V und Messen der Spannungen UR und UC • Berechnen von )UR/(UU/IY R ⋅== und )UR/(UC ⋅ • Konstruieren der Ortskurve Y(f) aus Y und )UR/(UC ⋅ mit Hilfe eines Zirkels

Bild 14 Tabelle 3

f/Hz 20 50 100 200 500

UR/mV

UC/mV

mS/Y

mS/UR

UC

⋅

UR

U 100 nFYQuelle

GL142

R = 1 kΩ

UC

GL 134

GL 135 GL 162

I

15

Tabelle 4

f/kHz 1 2 5 10 20

UR/mV

UC/mV

mS/Y

mS/UR

UC

⋅

Bild 15

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Re(Y)

mS

Im(Y)mS

16

4.4 Komplexer Leitwert Y eines Serienschwingkreises • Aufbau der dargestellten Schaltung • Einstellen von U = 5V • Messen der Spannungen UC und ULC (nacheinander mit dem Instrument GL 162)

sowie der Spannungen UR und UL (nacheinander mit dem Instrument GL 134) • Berechnen von )UR/(UU/IY R ⋅== und )UR/(ULC ⋅ • Konstruieren der Ortskurve Y(f) in der dargestellten Y-Ebene aus Y und

)UR/(ULC ⋅ mit Hilfe eines Zirkels. Es ist zu beachten, dass Y unterhalb der Re-sonanzfrequenz im ersten, oberhalb der Resonanzfrequenz im vierten Quadran-ten der Y-Ebene liegt.

• Auftragen der Verläufe von UR, UL und UC über der Frequenz f

Bild 16 Tabelle 5

f/Hz 20 50 100 200 500

UC/mV

ULC/mV

UR/mV

UL/mV

mS/Y

mS/UR

U LC

⋅

UL

U100 nF

YQuelle

GL142

300 mH

UC

GL 134

GL 162 GL 162

I UR

R = 1 kΩ

ULC

GL 134

GL 135

17

Tabelle 6

f/kHz 1 2 5 10 20

UC/mV

ULC/mV

UR/mV

UL/mV

mS/Y

mS/UR

U LC

⋅

Bild 17

Re(Y)mSIm(Y)

mS

- 0,4

- 0,6

0

0,2

- 0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1

18

Bild 18 4.5 Komplexer Eingangswiderstand Z eines Reaktanzhochpasses • Aufbau der dargestellten Schaltung • Einstellen von UR = 2V und Messen von U und Ue • Berechnen von Re U/RUZ ⋅= und RU/RU ⋅ • Konstruieren der Ortskurve Z(f) aus Z und RU/RU ⋅ mit Hilfe eines Zirkels

Bild 19

UZ+RQuelle

GL142 GL 162

I UR = 2V

R = 1 kΩ

Ue

GL 134

GL 162

ZHoch- paßGL 84

600 Ω

0

5

10

10 100 1000 10000 100000

UR, UL, UC,V

fHz

19

Tabelle 7

f/kHz 8 10 12,5 15 17,5 20

Ue/V

U/V

Ωk/Z

Ω⋅ k/

URU

R

Tabelle 8

f/kHz 25 30 40 50 75 100

Ue/V

U/V

Ωk/Z

Ω⋅ k/

URU

R

20

Bild 20

- 0,5

- 1,5

Re(Z)

kΩ

Im(Z)kΩ

- 1,0 - 0,5 0 0,5 1

- 0,5

- 1

- 1,5

21

4.6 Betriebsdämpfungsmaß a des Reaktanzhochpasses • Einstellen der Leerlaufspannung des Generators auf dBm6ˆV55,1U0 +== . Diese

Einstellung bleibt für alle folgenden Messungen bestehen. 1dBm entspricht der Leistung von 1mW in einem Widerstand von 600Ω.

• Aufbau der dargestellten Schaltung • Messung von Ausgangsspannung Ua bzw. Pegel sa bei den angegebenen Fre-

quenzen • Auftragen von a = - sa über der Frequenz

Bild 21 Tabelle 9

f/kHz 0,2 0,5 1 2 2,5 3

sa/dB

Tabelle 10

f/kHz 3,5 4 5 10 15 20

sa/dB

GL 162

Ri = 600 Ω

Ua

GL 142

Hoch- paßGL 84

600 ΩU0 G∼

22

Anmerkung: Für U0 = 1,55V und Ri = 600Ω ist die in (19) auftretende Maximalleistung Pmax = 1mW. Die Pegelskala des Instruments GL 162 ist so geeicht, dass in diesem Fall unmittel-bar sa = - a in dB abgelesen werden kann.

Bild 22

0

10

20

30

40

50

10 100 1000 10000 100000

adB

fHz