ELEMENTARNE FUNKCIJE

Kotne in

ločne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in

logaritmske funkcije

3 2( ) 7 1p x x x

2

3

3 5( )

1

x xQ x

x x

3 2

25

1 1( )

x xA x

x x x

2( ) 2x xf x e e

2( ) ln( 1 )g x x x

2( ) sin(2 1) 3cos( )u x x x

1( ) arcsin

1

xv x

x

2( ) arctg(1 )w x x

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

1

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskihoperacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.

Osnovne funkcije:

potence ,nx n

koreni ,n x n

eksponentna ex

logaritemska ln x

sinus sinx

arkus sinus arcsinx

arkus tangens arctg x

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

2

Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.

Krivulja v ravnini je graf neke funkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat.

Funkcije podane z grafom

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

3

OBRATNE FUNKCIJE

Praslika f -1(b)={a∈A| f(a)=b} (množica rešitev enačbe f(a)=b)

Predpis b↦ f -1(b) določa funkcijo, če imajo množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.

Tedaj je f bijektivna, predpis

f -1:BA, b↦ f -1(b)

pa je obratna (inverzna) funkcija za f.

Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna.

f je surjektivna, če imajo f -1(b) vsaj en element.

f je injektivna, če imajo f -1(b) največ en element.

f :AB

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

4

EKSPONENTNA FUNKCIJA

injektivna

surjektivna

Zožimo kodomeno na (0,+).

Obratna funkcija je

exp-1=ln: (0,+)

exp: (0,+) je bijektivna.

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

5

TANGENS

injektivna

surjektivna

Zožitev

je bijektivna.

2 2tg : ,

je strogo naraščajoča, ima

vodoravni asimptoti y= π/2

1

2 2arc tg tg : ,

Obratna funkcija

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

6

2 2

1

1

1

2 2arcsin sin :[ 1,1] ,Obratna funkcija je

2

2

1 1

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

7

SINUSinjektivna

surjektivna

Zožitev

je bijektivna.

2 2sin : , [ 1,1]

xexy

yeyx

( ) xf x x e

: je bijekcijaf

Obratna funkcija

ni elementarna funkcija.

1 :f

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

8

FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE

Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.

F(x,y)=0

f : AB je rešitev funkcijske enačbe, če je F(x,y)

definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.

2 2 3x xy y

1 2, :[ 2, 2]f f

2

312)(

2

1

xxxf

2

2

12 3( )

2

x xf x

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

9

4 2 2 43 3 1x x y y

2 4

1

3 12 3( )

6

x xf x

2 4

2

3 12 3( )

6

x xf x

2 4

3

3 12 3( )

6

x xf x

2 4

4

3 12 3( )

6

x xf x

1

2a 2b

3a 3b

4

Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

10

)arctg()( xxf

xxf )(1

3)(

3

2

xxxf

53)(

53

3

xxxxf

753)(

753

4

xxxxxf

ZAPOREDJA FUNKCIJ

Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x)

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

11

)sin(19.1)(1 xxf

xxxxf 3sin29.02sin38.0sin19.1)(2

xx

xxxxf

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(3

xx

xx

xxxxf

7sin12.06sin13.0

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(4

)arctg()( xxf

Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x)

MATEMATIKA 1

FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ

12