Diskretne matematiqke strukture

Vladimir Balti�

Elementi Teorijegrafova

Grafovi su matematiqki objekti koje qestosre�emo u svakodnevnom жivotu:

• geografsku mapu sa mnoxtvom gradovakoji su povezani putevima;

• skup Ʃudi sa relacijom poznanstva;

• strukturna formula nekog molekula ilijediƬeƬa (npr. 2 alkana C6H14);

• xema nekog elektriqnog kola.

C C C C C CH H

H H H H

H H H H

H

H

H

H

C C C C

C

C

H H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

w w w w w w w w w w

w

w

R1 R3 R5 R7 R9

R2 R4 R6 R8E1 E2

+ +

E1 −E2

R11 R22

−R23 −R34 −R45

−R32 −R43 −R54

−R12

−R21

R33 R44 R55

0

1 2 3 4 5

Grafovi nalaze primenu i u rexavaƬu tzv.problema za razbibrigu:

• Na Slici su prikazani poloжaji 3 ku�ei 3 bunara. Povezati putem svaku ku�u(K) sa svakim bunarom (B), tako da sesvi ovi putevi me�usobno ne seku.

K K K

B B B

Grafovi nalaze primenu i u rexavaƬu tzv.problema za razbibrigu:

• Na Slici su prikazani poloжaji 3 ku�ei 3 bunara. Povezati putem svaku ku�u(K) sa svakim bunarom (B), tako da sesvi ovi putevi me�usobno ne seku.

K K K

B B B

• Obi�i skakaqem xahovsku tablu m × n,tako da skakaq pro�e sva poƩa i da nina jednom ne boravi vixe od jedan put.

• Obi�i skakaqem xahovsku tablu m × n,tako da skakaq pro�e sva poƩa i da nina jednom ne boravi vixe od jedan put.

30 21 50 9 32 19 52 7

49 10 31 20 51 8 33 18

22 29 48 61 42 27 6 53

11 60 41 28 45 62 17 34

40 23 64 47 26 43 54 5

59 12 25 44 63 46 35 16

24 39 2 57 14 37 4 55

1 58 13 38 3 56 15 36

• Moжe li se jednim potezom (bez dizaƬaolovke sa papira i bez prelaska prekove� nacrtanih linija) nacrtati figurasa Slike?

Xvajcarskom matematiqaru LeonarduOjleru su tokom boravka u Kenigsbergu(nem. Konigsberg; danaxƬi KaliƬingrad)mextani postavili problem da pre�e prekosvih 7 mostova (koji spajaju 2 obale rekePregel me�usobno i sa 2 ostrva) tako dapreko svakog mosta pre�e taqno jedanput.

Xvajcarskom matematiqaru LeonarduOjleru su tokom boravka u Kenigsbergu(nem. Konigsberg; danaxƬi KaliƬingrad)mextani postavili problem da pre�e prekosvih 7 mostova (koji spajaju 2 obale rekePregel me�usobno i sa 2 ostrva) tako dapreko svakog mosta pre�e taqno jedanput.

Xvajcarskom matematiqaru LeonarduOjleru su tokom boravka u Kenigsbergu(nem. Konigsberg; danaxƬi KaliƬingrad)mextani postavili problem da pre�e prekosvih 7 mostova (koji spajaju 2 obale rekePregel me�usobno i sa 2 ostrva) tako dapreko svakog mosta pre�e taqno jedanput.

26. avgusta 1735. godine, Ojler je svoj radna ovom problemu prezentovao Sant Peters-burgxkoj akademiji nauka dokazuju�i da jetakav obilazak mostova nemogu�, uz napomenuda se Ƭegov metod moжe proxiriti na proiz-voƩan raspored ostrva i mostova.

Ojler je qlanak o Problemu Kenigsbergxkihmostova napisao 1736. godine (i stoga se tagodina uzima za osnivaƬe teorije grafova).

Neke stranice iz ovog rada su prikazane nanarednim slikama.

Definicija 1. Graf G je ure�en par (V, ),gde je V neprazan skup i binarna relacijana V .

Elementi skupa V se zovu qvorovi,(eng. vertex, mn. vertices), a elementi skupa

grane (eng. edge) grafa G.

Primer 1. Graf G = (V, ) zadat relacijom

={

(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,3)}

na skupu V = {1, 2, 3, 4, 5}.

1

4

5

2 3

Definicija 2. Neorijentisani graf G jeure�en par (V, E), gde je V neprazan skup, aE ⊆

{

{u, v} | u, v ∈ V}

.

Elementi skupa V se zovu qvorovi, a elementiskupa E grane neorijentisanog grafa G.

Primer 2. Graf (V, ) zadat relacijom

={

(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(4,1),(4,4)}

na skupu V = {1, 2, 3, 4}.

1 2

34

⇄

1 2

34

Definicija 3. Dva qvora u i v neorijen-tisanog grafa (V, E), su susedna ako postojigrana e = {u, v} ∈ E. Za qvorove u i v kaжe-mo da su krajƬe taqke grane e. Za qvor u igranu e (odnosno qvor v i granu e) kaжemo dasu incidentni i da se grana e stiqe u qvoru u

(odnosno v). Dve grane su susedne ako se stiquu istom qvoru.

Definicija 4. Broj grana koje se stiqu uqvoru v zove se stepen qvora v (eng. degree) ioznaqava se sa d(v).

Qvor v koji nema susednih qvorova, tj. za kojije d(v) = 0, nazivamo izolovan qvor.

Graf G je regularan ako su stepeni svihƬegovih qvorova jednaki.

Primer 3. Odrediti stepene svih qvorovagrafa G. Da li je graf G regularan?

1 2

34

Primer 3. Odrediti stepene svih qvorovagrafa G. Da li je graf G regularan?

1 2

34

2 2

12

d(1) = 2, d(2) = 2, d(3) = 1 i d(4) = 2.

G NIJE regularan.

Teorema 1. U neor. grafu G = (V, E) bezpetƩi sa n > 2 qvorova postoje bar 2 qvoraistog stepena.

Teorema 2. U neor. grafu G = (V, E) bezpetƩi je zbir stepena svih qvorova jednakdvostrukom broju grana, tj. vaжi

d(v1) + d(v2) + . . . + d(vn) = 2m.

Teorema 3. U neor. grafu G = (V, E) bezpetƩi broj qvorova neparnog stepena je paran.

Definicija 5. Za granu e = (u, v) orij.grafa (V, ) kaжemo da vodi iz qvora u u qvorv (e izlazi iz qvora u, a ulazi u qvor v).

Ulazni stepen d−(v) qvora v je broj grana kojeulaze u v.

Izlazni stepen d+(v) qvora v je broj granakoje izlaze iz v.

Ulazni skup I(v) qvora v je skup qvorova izkojih vodi grana u v, tj. I(v) = {x | (x, v) ∈ }.

Izlazni skup O(v) qvora v je skup qvorova ukoje vodi grana iz v, tj. O(v) = {x | (v, x) ∈ E}.

PetƩa je grana koja i ulazi i izlazi izqvora.

Napomena. Vaжi

d−(v) = |I(v)| i d+(v) = |O(v)|.

Primer 4.

Odrediti d−(v) i d+(v), kao i I(v) i O(v)za svaki qvor v grafa:

1

4

5

2 3

Primer 4.

1

4

5

2 3

I(1) = {1, 2} ⇒ d−(1) = 2,

O(1) = {1, 2} ⇒ d+(1) = 2.

Primer 4.

1

4

5

2 3

I(2) = {1} ⇒ d−(2) = 1,

O(2) = {1, 3} ⇒ d+(2) = 2.

Primer 4.

1

4

5

2 3

I(3) = {2, 5} ⇒ d−(3) = 2,

O(3) = {4, 5} ⇒ d+(3) = 2.

Primer 4.

1

4

5

2 3

I(4) = {3, 4} ⇒ d−(4) = 2,

O(4) = {4, 5} ⇒ d+(4) = 2.

Primer 4.

1

4

5

2 3

I(5) = {3, 4} ⇒ d−(5) = 2,

O(5) = {3} ⇒ d+(5) = 1.

Teorema 4. U orij. grafu G = (V, E) vaжi

d−(v1)+d−(v2)+...+d−(vn)=m=d+(v1)+d+(v2)+...+d+(vn).

Teorema 4. U orij. grafu G = (V, E) vaжi

d−(v1)+d−(v2)+...+d−(vn)=m=d+(v1)+d+(v2)+...+d+(vn).

1

4

5

2 3

2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1

Da li su slede�i grafovi isti?

a

b

c d

e

1

2

3 4

5

Definicija 6. Dva grafa G1 = (V1, E1)i G2 = (V2, E2) su izomorfna, G1

∼= G2, akopostoji bijekcija f : V1 → V2 za koju je

• (u, v) ∈ E1 ⇔(

f(u), f(v))

∈ E2

(kod orijentisanih grafova);

• {u, v} ∈ E1 ⇔{

f(u), f(v)}

∈ E2

(kod neorijentisanih grafova).

Primer 5. Izomorfizam f grafova

a

b

c d

e

1

2

3 4

5

dat je bijekcijom

f =

(

a b c d e

1 2 3 4 5

)

.

Primer 6. Grafovi

nisu izomorfni. Zaxto?

Definicija 7. Graf G′ = (V ′, E′) je podgrafgrafa G = (V, E) ako vaжi V ′ ⊆ V i E′ ⊆ E.

Graf G je nadgraf grafa G′ ako je G′ podgrafgrafa G.

Primer 7. Graf G1 = (V1, E1) je podgrafgrafa G2 = (V2, E2)

f

a b

de

f c

a b

de

G1 G2

jer je V1 = {a, b, d, e, f} ⊆ V2 = {a, b, c, d, e, f}

E1 ={ab, de, df, ef} ⊆ E2 ={ab, ac, bc, cf, de, df, ef}.

Definicija 8. Put duжine k, k >1, u grafu(V, E) je niz grana iz E oblika

• (v0, v1), (v1, v2), . . . , (vk−1, vk)

(kod orijentisanih grafova);

• {v0, v1}, {v1, v2}, . . . , {vk−1, vk}

(kod neorijentisanih grafova).

Za ovaj put kaжemo da poqiƬe u qvoru v0, ada se zavrxava u qvoru vk. Qvorove v0 i vk sezovu krajƬi qvorovi puta.

Put se moжe zadati i kao niz uzastopnihqvorova spojenih granama:

v0 − v1 − v2 − . . . − vk−1 − vk.

Za put kaжemo da prolazi kroz qvorove

v0, v1, v2, . . . , vk−1, vk.

Definicija 9. Elementarni (prost) put jeput koji kroz svaki svoj qvor v1, v2, . . . , vk−1

prolazi taqno jedanput.

Kruжni (zatvoren) put je put koji se zavrxa-va u istom qvoru u kojem i poqiƬe, tj. v0 = vk.

Kontura (ciklus) je elementarni kruжni put.

Definicija 10. G = (V, E) neor. graf.Qvorovi u, v ∈ V su povezani ako u G posto-ji put qiji su krajƬi qvorovi u i v. GrafG je povezan ako su svaka dva Ƭegova qvo-ra povezana, a u suprotnom kaжemo da jenepovezan.

Komponenta povezanosti grafa G je nekiƬegov maksimalni povezani podgraf. Brojkomponeneti povezanosti grafa G oznaqava-mo sa c(G).

Qvor v je vezivni (artikulacioni) qvorukoliko se Ƭegovim uklaƬaƬem pove�ava brojkomponenti povezanosti ovoga grafa, tj. akovaжi c(G) < c(G − v).

Grana e je most u grafu G ako se Ƭenim uk-laƬaƬem pove�ava broj komponenti povezanos-ti ovog grafa, tj. ako vaжi c(G) < c(G − e).

Definicija 11. Prazan graf Nn (negde Kn)je graf koji nema nijednu granu.

12

3

4

56

7

8

9

10

N10

Kompletan (potpun) graf Kn je graf kod kogaje svaki qvor susedan sa svim ostalim.

12

3

4

56

7

8

9

10

K10

Kompletan bipartitan graf Km,n je graf kodkoga je skup qvorova razbijen na 2 klase (sa m

i n qvorova), tako da ne postoji grana izme�uqvorova iste klase, dok su svaka 2 qvora izrazliqitih klasa spojena granom.

4 5 6 7 8

1 2 3

K3,5

Bipartitan graf je bilo koji podgrafkompletnog bipartitnog grafa.

Da je graf bipartitan pokazujemo takoxto Ƭegove qvorove obojimo crveno i belo,tako da 2 susedna qvora obojimo razliqitimbojama. Ako nije bipartitan, onda trebada na�emo neku konturu neparne duжine iiskoristimo teoremu Keniga (Konig):

Teorema 5. Neor. graf G = (V, E) bez petƩije bipartitan akko su mu sve konture parneduжine.

Put Pn, n > 2, je povezan graf kome su sviqvorovi stepena 2, sem dva krajƬa koji sustepena 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P10

Kontura Cn, n > 3, je povezan graf koji imasve qvorove stepena 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C10

Toqak Wn, n > 4, je graf koji se sastoji odkonture Cn−1 i jednog qvora koji je povezansa svim qvorovima konture

2

3

4

5

6

7

1

W7

Zvezda Sn je kompletni bipartitni graf gdese jedna klasa sastoji samo od jednog qvora, adruga od svih ostalih, tj. Sn = K1,n−1.

2

3

4

5

6

7

1

S7

Definicija 12. Neor. graf G = (V ′, E′) jekomplement neor. grafa G = (V, E) ako vaжida je V ′ = V i da su 2 qvora susedna u G akkonisu susedna u G.

Graf je samokomplementaran ako jeizomorfan sa svojim komplementom.

Primer 8. C5 je samokomplementaran graf.

v1

v2

v3 v4

v5

C5

v1

v2

v3 v4

v5

C 5K5

Izomorfizam f : V (C5) → V (C 5) izme�u C5 i

C 5 je: f =

(

v1 v2 v3 v4 v5

v1 v3 v5 v2 v4

)

.

Definicija 13. Ojlerova kontura grafa G

je kontura koja sadrжi sve grane iz G. Grafkoji ima Ojlerovu konturu je Ojlerov graf.

Ojlerov put u grafu G je put koji sadrжi svegrane iz G. Graf koji ima Ojlerov put jepoluojlerov graf.

Teorema 6. Ojlerova teorema. Povezangraf sa bar jednom granom je Ojlerov ako isamo ako sadrжi sve qvorove parnog stepena.

Teorema 7. Povezan graf sa bar jednomgranom je poluojlerov ako i samo ako sadrжi0 ili 2 qvora neparnog stepena.

Definicija 14. Hamiltonova kontura grafaG je kontura koja sadrжi sve qvorove izG. Graf koji ima Hamiltonovu konturu jeHamiltonov graf.

Hamiltonov put u grafu G je elementaranput koji sadrжi sve qvorove iz G. Graf kojiima Hamiltonov put je poluhamiltonov graf.

Primer 9.

Cn je i Ojlerov i Hamiltonov graf.

K4 nije Ojlerov, a jeste Hamiltonov.

K2,4 jeste Ojlerov, a nije Hamiltonov.

S4 nije ni Ojlerov ni Hamiltonov graf.

C3 K4 K2,4 S4

PredstavƩaƬe grafova

• Matrica susedstva A

• Liste susedstva ℓv

• Matrica incidencije R (ili S)

• Matrica rastojaƬa D

Primene grafova

Primer 10. Gra�evinska firma koja trebada zavrxi n = 5 stanova raspolaжe 1 ekipomvodinstalatera i 1 ekipom molera. Molerine mogu poqeti sa radom u stanu u kojemvodoinstalateri nisu zavrxili svoj posao. Uk-tom stanu (k = 1, 2, . . . , n) vodoinstalateritreba da rade vk qasova, a moleri mk qasova:

v1 = 8, v2 = 20, v3 = 7, v4 = 18, v5 = 9;

m1 = 12, m2 = 12, m3 = 15, m4 = 10, m5 = 15.

Kojim redosledom treba da rade vodoinsta-lateri da bi sav posao bio zavrxen xto pre?

RexeƬe. Moжe se pokazati da vodoinstala-teri treba da rade u stanu i pre nego u stanuj samo ako je

min(vi, mj) 6 min(vj , mi).

U protivnom bi ekipa molera gubila vixevremena nego xto je potrebno.

RexeƬe. Formirajno or. graf sa qvorovima1, 2, 3, 4, 5 (to su stanovi) u kome od qvora i idegrana ka qvoru j ako je min(vi, mj)6min(vj, mi).

1

2

3 4

5

Jedini Hamiltonov put je 3, 1, 5, 2, 4. Timredosledom treba i majstori da rade stanove.

KRAJ