178
ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

  • Upload
    lily

  • View
    56

  • Download
    9

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL. Rectes, semirectes, segments, arcs i segments d'arc: Tots estan formats per punts corresponents a nombres reals. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

ELEMENTS DE GEOMETRIA

MÈTRICA ELEMENTAL

Page 2: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Rectes, semirectes, segments, arcs i segments d'arc: Tots estan formats per punts corresponents

a nombres reals.

Page 3: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si no fos així, el punt B de la figura no existiria o, millor dit, la recta AB no tallaria la recta BC sinó que passaria "per entremig" dels seus punts sense

tocar-la (malgrat que de nombres racionals ja n'hi ha infinits).

Page 4: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Instruments vàlids per a la construcció gràfica:

Exclusivament regle i compàs.

No es permet l’ús d’escaires, regles graduats, transportadors,

cordills flexibles, etc.

Page 5: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Però en la pràctica del dibuix lineal es pot acceptar l'ús de

regles i esquadres, perquè tot el que es pot fer amb regles i esquadres, també es pot fer només amb regle i compàs.

Page 6: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Hipòtesis que fem respecte a les eines i procediments de dibuixar:

a) Que els llapis fan línies sense gruix i que els nostres ulls són

tan potents que les poden arribar a veure. Tampoc no hi ha

limitacions en la mida del paper.

Page 7: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

b) Que amb un regle i un llapis som capaços de fer passar

exactament una línia per un punt o dos punts.

c) Que amb un compàs som capaços de prendre exactament la

distància entre dos punts.

Page 8: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Les 7 operacions bàsiques amb regle i compàs són les següents:

Page 9: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

1. Traçat d'una recta que passa per dos punts (determinació d'una recta).

2. Intersecció de dues rectes (determinació d'un punt).

Page 10: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

3. Traçat d'una circumferència de centre i radi donats (determinació d'una

circumferència).

4. Intersecció d'una recta i una

circumferència.

Page 11: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

5. Intersecció de dues

circumferències.

6. Transport d'un

segment.

Page 12: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

7. Transport d'un angle.

Page 13: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles aguts, rectes, obtusos i angle pla.

Page 14: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles complementaris i suplementaris: Els complementaris sumen 90º i els suplementaris

180º.

Complementaris Suplementaris

Page 15: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles amb costats paral·lels:

són iguals o suplementaris.

Page 16: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles amb costats perpendiculars: són iguals o suplementaris.

Page 17: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles adjacents: són suplementaris.

Angles oposats pel vèrtex: són iguals

dos a dos.

Page 18: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles centrals en

una circum-ferència:

valen igual que l'arc

abastat pels seus costats.

Page 19: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles inscrits i semiinscrits en

una circumferència: valen la meitat de l'arc abastat

pels seus costats.

Page 20: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angles interiors i exteriors a una circumferència: valen respectivament la semisuma i la semidiferència

dels arcs abastats pels seus costats.

Interior Exterior

Page 21: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Algunes construccions gràfiques elementals:

Page 22: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Trobar el centre d’una circumferència donada.

Coneixent el radi Sense conèixer el radi

Page 23: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt de la pròpia recta, segons dos procediments

diferents.

Page 24: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt exterior = Determinació de la distància d'un

punt a una recta.

Page 25: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la recta paral·lela a una recta des d'un punt exterior (postulat d'Euclides).

Page 26: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una altra construcció a base de traçar una perpendicular a la perpendicular.

Page 27: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Determinació de la distància entre dues rectes paral·leles.

Page 28: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Mediatriu i divisió d'un segment en

dues parts iguals.

Page 29: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Divisió d'un segment en n parts iguals.

Page 30: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica de la

mitjana proporcional

de dos segments.

Page 31: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una altra construcció de

la mitjana proporcional, i més endavant

encara en veurem una 3ª.

Page 32: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la bisectriu d'un angle.

Page 33: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la recta obliqua a una altra, amb un angle donat i des d'un punt donat.

Page 34: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica de valors irracionals.

Page 35: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El triangle i les seves principals propietats:

Page 36: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Base i altura d’un triangle.Àrea del triangle = base*altura/2

(qualsevol base i qualsevol altura).

Page 37: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Triangles rectangles.

Teorema de

Pitàgores.

Page 38: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Triangles acutangles, rectangles i obtusangles.

Acutangle Rectangle Obtusangle

Page 39: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Triangles isòsceles (acutangles o obtusangles).

Isòsceles acutangle Isòsceles obtusangle

Page 40: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Triangles isòsceles i rectangles alhora.

Page 41: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Escaire i cartabó: Quin és quin?

Page 42: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Solució: Tots dos són escaires.

Però aquest també és un cartabó i l’altre no.

Page 43: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Conveni de denominació dels costats i angles d'un triangle: Tres lletres majúscules als tres angles i la

mateixa lletra en minúscula al costat oposat.

Page 44: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Suma dels angles (interiors) d'un triangle: La suma dels angles interiors d'un triangle sempre

és igual a dos rectes = 180º = π radiants.

Page 45: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angle exterior d'un triangle (format per un costat i la prolongació del costat adjacent) = a la suma

dels dos angles interiors no adjacents.

Page 46: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Igualtat de triangles: Dos triangles iguals tenen els tres angles i els tres costats respectivament

iguals.

Page 47: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Criteris d'igualtat de triangles: Són les condicions suficients per assegurar que dos triangles són

iguals, o bé iguals i girats de mà:

Page 48: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

a) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats i l'angle que formen aquests costats.

Page 49: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

b) Dos triangles són iguals si ténen iguals un costat i els dos angles adjacents.

Page 50: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

c) Dos triangles són iguals si tenen els tres costats iguals.

Page 51: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

i d) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats desiguals entre si i l'angle oposat al més

gran dels dos.

Page 52: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si es tracta de l'angle oposat al costat més petit dels dos, aleshores la igualtat ja no es pot assegurar. P.

ex. el triangle A’B’C’ sí que és igual a l’ABC, però el triangle A”B”D” és diferent.

Page 53: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Mètodes de construcció gràfica de triangles.

Page 54: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció d'un triangle donats els seus tres costats.

El costat més gran no pot ser més gran que la suma dels altres dos.

Page 55: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle comprès entre ells.

Page 56: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle oposat a un d'ells.

Aquest problema pot tenir dues solucions, una, o cap.

Page 57: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció d'un triangle donats un costat i els dos angles adjacents.

Page 58: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció d'un triangle donats un costat, un angle adjacent i l'angle oposat.

Page 59: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Més propietats dels triangles:

En un triangle es pot considerar quatre centres: Circumcentre, incentre,

ortocentre i baricentre (cdg).

Page 60: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Les mediatrius dels tres costats d'un triangle es

troben en un punt anomenat

circumcentre. El circumcentre

equidista dels tres vèrtexs i, per tant,

és el centre de la circumferència

circumscrita.

Page 61: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Les tres altures d'un triangle es troben en un punt anomenat ortocentre.

Page 62: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Les bisectrius dels tres angles d'un triangle es troben en un punt anomenat incentre.

L'incentre equidista dels tres costats i , per tant, és el centre de la circumferència inscrita.

Page 63: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Les tres medianes d'un triangle es troben en un punt anomenat baricentre.

El baricentre és el centre de gravetat del triangle.

Page 64: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En les figures

anteriors hem vist

que en un triangle

acutangle aquests 4 punts són

tots interiors al

triangle.

Page 65: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En un triangle obtusangle el circumcentre i l'ortocentre són exteriors al triangle.

Page 66: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

L'incentre i el baricentre sempre són interiors al triangle, encara que sigui obtusangle.

Page 67: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En un triangle rectangle el

circumcentre és el punt mitjà de la

hipotenusa.

I l'ortocentre és el mateix vèrtex de l'angle recte.

Page 68: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

L'incentre i el baricentre en un

triangle rectangle no tenen res d'especial a

remarcar. El cas és semblant al dels triangles

acutangles.

Page 69: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçant pels vèrtexs rectes paral·leles al

costat oposat, resulta un

triangle de costats dobles

als del triangle original i de

superfície quàdruple.

Page 70: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

L'ortocentre del triangle

original és el circumcentre

del triangle de costats dobles.

Page 71: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Triangle òrtic: En un triangle acutangle, és aquell que està format pels peus de les altures.

Fixem-nos que les altures del triangle original són les bisectrius del triangle òrtic.

Page 72: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites: A més de la circumferència inscrita a un triangle hi ha tres circumferències més, cada una tangent a un costat

i a les prolongacions dels altres dos.

Page 73: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Els costats del triangle format pels tres exincentres són

les bisectrius exteriors dels

angles del triangle original i les

bisectrius del triangle original

són les altures del triangle format pels

tres exincentres.

Page 74: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferència de Feuerbach (o d'Euler): Passa pels peus de les

altures d'un triangle, pels punts mitjos dels

costats i pels punts mitjos dels segments

d'altura compresos entre el vèrtex i

l'ortocentre. Té la meitat del radi de la

circumferència circumscrita.

Page 75: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Recta d'Euler: En qualsevol triangle el baricentre, l'ortocentre i el circumcentre sempre estan alineats.

Sempre es verifica que la distància del baricentre a l’ortocentre és el doble de la distància del baricentre

al circumcentre.

Page 76: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Recta de Simson: Si des d'un punt qualsevol de la circumferència

circumscrita a un triangle tracem perpendiculars

als seus costats, els peus

d'aquestes perpendiculars

sempre estan alineats.

Page 77: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Semblança de triangles: Dos triangles semblants tenen els tres angles iguals i els tres costats proporcionals.

Page 78: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

a) Dos triangles són semblants si A = A' i proporcionals els costats que el formen b/b' =

c/c'

Page 79: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

b) Dos triangles són semblants si A = A' i B = B'. Aleshores ja resulta C = C'

Page 80: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

c) Dos triangles són semblants si són proporcionals els costats a/a' = a/b' = c/c'

Page 81: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Algunes propietats dels polígons: La suma dels angles interiors d'un polígon val (nº de costats -

2)*180º.

Page 82: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

La suma dels angles exteriors d'un polígon sempre val 360º.

Page 83: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Polígons regulars i irregulars: Són polígons regulars els que tenen tots els costats i tots els angles iguals.

Page 84: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Quadrilàters inscriptibles en una

circumferència: Tenen els angles oposats

suplementaris.

Quadrilàters circumscriptibles a una

circumferència: La suma de parells de

costats oposats és igual.

Page 85: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

S’anomena lloc geomètric (respecte a una determinada propietat) a la figura formada per tots els punts que compleixen aquella propietat, p. ex: La circumferència és el lloc geomètric dels punts que estan a una distància donada (radi) d'un punt

donat (centre).

Page 86: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

La mediatriu d'un segment és

el lloc geomètric dels

punts equidistants de

dos punts donats.

Page 87: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El lloc geomètric dels punts equidistants de dues rectes donades és la bisectriu de l’angle que

formen les dues rectes.

Page 88: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Arc capaç d'un angle sobre un segment: És el lloc geomètric dels punts que

veuen el segment amb un

angle donat.

Page 89: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

La paràbola és el lloc

geomètric dels punts

equidistants d'un punt i una

recta donats, anomenats

respectivament focus i

directriu.

Page 90: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

L’el·lipse és el lloc geomètric dels punts la suma de distàncies dels quals a dos punts donats

(focus) és constant (eix major).

Page 91: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Teorema de Thales: Si dues rectes (no paral·leles) es tallen per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats pels punts d’intersecció

sobre una d’elles són proporcionals als segments respectius determinats sobre l’altra recta.

Page 92: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Ja es veu que si les dues rectes són paral·leles, en ser tallades per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats en una i altra recta seran

respectivament iguals.

Page 93: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica de la quarta proporcional a tres segments donats, a, b i c: a/b = c/x

Page 94: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Divisió d’un segment en parts proporcionals a diversos segments donats.

Page 95: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Determinació de punts d’una recta per la seva raó de distàncies a dos punts donats de la mateixa recta.

Page 96: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Quaterna harmònica: Donats dos punts A i B d’una recta, es diu que formen quaterna harmònica amb

altres dos punts X i X’, un interior al segment AB i un altre exterior, quan les raons de les distàncies dels punts X i X’ als punts A i B són iguals (i de signe contrari si es té en compte l’orientació dels

segments).

Això s’expressa mitjançant la relació

(XA:XB) / (X’A:X’B) = -1

Page 97: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Com que si (XA:XB) = - (X’A:X’B) també (XA:X’A) = - (XB:X’B), resulta que si els dos punts A i B separen harmònicament els punts X

i X’, també els punts X i X’ separen harmònicament els punts A i B. És a dir que la separació harmònica de dues parelles de punts

és recíproca.

Page 98: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica de la

quaterna harmònica.

Page 99: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

La qualitat de quaterna harmònica entre 4 punts d’una recta és una propietat invariant en qualsevol

sèrie de projeccions i seccions.

Page 100: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una propietat de les quaternes

harmòniques: Si 4 punts AXBX'

formen una QH i des d'un punt O es

veu el segment AB sota un angle recte,

la recta OB és bisectriu de l'angle XOX' i la recta OA

n'és la bisectriu exterior.

Page 101: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Dit d'altra manera,

qualsevol recta talla dues rectes i

les bisectrius dels angles que

formen, formant una QA.

Page 102: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Per tant, per trobar X' també podem

traçar la circumferència de diàmetre AB, des

d'un punt qualsevol (O) tracem OX i

després OX' formant el mateix angle XOB però a

l'altra banda.

Page 103: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu que totes tenen el centre en la mediatriu del segment

format pels dos punts.

Page 104: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la circumferència que passa per 3 punts. Ja es veu que es tracta de

traçar la circumferència circumscrita a

un triangle.

Page 105: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Concepte de recta (i línia)

secant o tangent a una corba. Tal

com mostra la figura, la

tangent, igual com la secant,

té dos punts de contacte amb la

corba.

Page 106: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angle de dues corbes secants: Es

defineix com a l'angle que

formen les respectives

tangents en el punt

d'intersecció.

Page 107: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les

respectives tangents són perpendiculars.

Page 108: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.

Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna

harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Page 109: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Page 110: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Page 111: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Page 112: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Page 113: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Page 114: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una

altra circumferència.

Page 115: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.

Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels

quals ja els hem vistos i resolts anteriorment:

3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1

circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1

recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).

Page 116: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:

ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).

No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a

la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que

encara no hem estudiat.

Page 117: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències

circumscrita i inscrita a un triangle.

Page 118: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous

mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests

casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),

ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).

Page 119: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de

la següent propietat:

Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte

dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és

constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la

circumferència.

Page 120: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos

segments donats.

Page 121: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

De més a més, resulta que el lloc

geomètric dels punts de tangència

de les tangents traçades des d'un punt A a totes les

circumferències que passen per dos

punts B i C, alineats amb A, és

una circumferència amb centre a A i

radi AD.

Page 122: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Tornant a la potència i tenint en

compte l'orientació dels

segments resulta:

Si el punt és exterior, P > 0

Si el punt és interior, P < 0

Si el punt pertany a la

circumfèrència, P = 0

Page 123: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la

circumferència)2.

Page 124: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts

A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una

altra circumferència de radi A' D '.

Aquesta nova circumferència

també és ortogonal a totes

les circumferències que passen pels

punts A i B.

Page 125: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà

ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.

Per tant, es tracta de dos

feixos d'infinites circumferències

cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències

d'un feix són ortogonals a

totes i cada una de les

circumferències de l'altre feix.

Page 126: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En un d'aquests dos feixos, totes les circumferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les

circumferències de l'altre feix no són secants entre si.

Page 127: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Ara ja podem resoldre el

problema de traçar una

circumferència que passi per

dos punts i que sigui tangent a

una recta.

Page 128: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

I també resolem el

traçat de la circum-ferència

que passa per dos

punts i que és tangent a una altra

circum-ferència.

Page 129: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.

Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical

passa pel punt mitjà de les tangents comunes.

Page 130: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si les dues circumferències són

tangents, l'eix radical és la tangent comuna.

Si les dues circumferències

són secants, l'eix radical és

la recta que passa pels dos

punts d'intersecció.

Page 131: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes

dues.

Page 132: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit

abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències

es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.

Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot

venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una

circumferència i una recta (eix radical).

Page 133: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de

circumferències.

Page 134: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana

proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB. Però primer

recordem (en dos exemples) una de

les tres construccions de la

mitjana proporcional de dos

segments que hem vist anteriorment i

vegem què passa segons la situació

del punt X.

Page 135: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment

petit sigui igual al segment gran.

Page 136: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).

Page 137: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.

Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0

Page 138: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2

Page 139: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.

Page 140: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

A constinuació resoldrem alguns problemes amb circumferències i

estudiarem algunes de les seves propietats.

Un primer problema seria, com trobar el centre d'una circumferència, si aquest centre

se'ns ha esborrat i no sabem on és?

a/ sabent el seu radi.

b/ sense saber el seu radi.

Page 141: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

(tot i que primer ens hauríem de preguntar si és possible tenir una circumferència sense saber on és

el seu centre). Què us sembla?

Page 142: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu

que totes tenen el centre en la mediatriu del segment format pels dos punts.

Page 143: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la circumferència que passa per 3

punts.Ja es veu que es

tracta de la circumferència

circumscrita a un triangle.

Page 144: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Concepte de recta (i línia)

secant o tangent a una corba.

Tal com mostra la figura, la

tangent, igual com la secant, té

dos punts de contacte amb la

corba.

Page 145: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Angle de dues corbes secants: Es

defineix com a l'angle que

formen les respectives

tangents en el punt

d'intersecció.

Page 146: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les

respectives tangents són perpendiculars.

Page 147: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.

Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna

harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Page 148: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Page 149: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Page 150: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Page 151: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Page 152: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Page 153: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una

altra circumferència.

Page 154: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.

Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels

quals ja els hem vistos i resolts ara fa un moment:

3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1

circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1

recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).

Page 155: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:

ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).

No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a

la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que

encara no hem estudiat.

Page 156: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències

circumscrita i inscrita a un triangle.

Page 157: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous

mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests

casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),

ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).

Page 158: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de

la següent propietat:

Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte

dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és

constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la

circumferència.

Page 159: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos

segments donats.

Page 160: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

De més a més, resulta que el lloc

geomètric dels punts de tangència

de les tangents traçades des d'un punt A a totes les

circumferències que passen per dos

punts B i C, alineats amb A, és

una circumferència amb centre a A i

radi AD.

Page 161: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Tornant a la potència i tenint en

compte l'orientació dels

segments resulta:

Si el punt és exterior, P > 0

Si el punt és interior, P < 0

Si el punt pertany a la

circumfèrència, P = 0

Page 162: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la

circumferència)2.

Page 163: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts

A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una

altra circumferència de radi A' D '.

Aquesta nova circumferència

també és ortogonal a totes

les circumferències que passen pels

punts A i B.

Page 164: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà

ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.

Per tant, es tracta de dos

feixos d'infinites circumferències

cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències

d'un feix són ortogonals a

totes i cada una de les

circumferències de l'altre feix.

Page 165: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

En un d'aquests dos feixos, totes les circum-ferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les

circumferències de l'altre feix no són secants entre si.

Page 166: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Ara ja podem resoldre el

problema de traçar una

circumferència que passi per 2

punts i que sigui tangent a

una recta.

Page 167: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

I també resolem el

traçat de la circum-ferència

que passa per dos

punts i que és tangent a una altra

circum-ferència.

Page 168: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.

Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical

passa pel punt mitjà de les tangents comunes.

Page 169: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si les dues circumferències són

tangents, l'eix radical és la tangent comuna.

Si les dues circumferències

són secants, l'eix radical és

la recta que passa pels dos

punts d'intersecció.

Page 170: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes

dues.

Page 171: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit

abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències

es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.

Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot

venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una

circumferència i una recta (eix radical).

Page 172: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de

circumferències.

Page 173: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana

proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB.

Però primer recordem (en 2

exemples) una de les 3 construccions

de la mitjana proporcional de 2

segments que hem vist anteriorment i

vegem què passa segons la situació

del punt X.

Page 174: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment

petit sigui igual al segment gran.

Page 175: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).

Page 176: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.

Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0

Page 177: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2

Page 178: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.