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UNESP “UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”” Engenhocas: Catapulta Docente: Profª. Drª. Maria Lúcia Pereira Antunes Angela Yuri Saito Angelita de Cássia Roquetto Beatriz Capelo Olimpio Camila Cardoso Leite da Silva Junho de 2016 Sorocaba

Engenhocas: Catapulta - sorocaba.unesp.br · Por exemplo, no estudo do lançamento de projéteis, Galileu introduziu a decomposição do movimento em duas componentes, uma horizontal

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UNESP

“UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO””

Engenhocas: Catapulta

Docente: Profª. Drª. Maria Lúcia Pereira Antunes

Angela Yuri Saito

Angelita de Cássia Roquetto

Beatriz Capelo Olimpio

Camila Cardoso Leite da Silva

Junho de 2016

Sorocaba

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Objetivo

Por meio de uma catapulta, determinar a velocidade inicial de

lançamento de um corpo realizando movimento oblíquo, lançamento esse

realizado com diferentes angulações.

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Introdução

Há duas formas de se pensar em composição de movimento. Na

primeira, o movimento do objeto é pensado como resultante de dois

movimentos, como quando dois sistemas de coordenadas estão em movimento

relativo (o primeiro movimento seria o deslocamento de um objeto observado

num determinado sistema de referência, já o segundo movimento é associado

ao deslocamento desse sistema de coordenadas. Um exemplo disso são

carrosséis, os cavalos sobem e descem num eixo vertical, por outro lado o

carrossel gira em relação ao parque). Já na segunda forma, o movimento do

objeto é pensado como resultante de dois ou três outros movimentos retilíneos

ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, no estudo do lançamento de

projéteis, Galileu introduziu a decomposição do movimento em duas

componentes, uma horizontal e outra vertical. O movimento de duas

componentes em eixos ortogonais é complexo, assim sendo, a decomposição

de movimentos é um artifício para equacionar alguns problemas em duas (no

plano) ou três (no espaço) dimensões em termos de equações de uma

dimensão em função do tempo.

Há muitos movimentos que ocorrem em duas dimensões, ou seja, em

um plano. Quando é tratado o movimento dos projéteis, considera-se a

superfície da Terra como sendo plana.

Estudando o lançamento de um projétil de um ponto em um certo

instante (tempo t=0), este pode ser uma bala de canhão por exemplo, dados

pelas coordenadas (x0, y0). Esse projétil será lançado no espaço com uma

velocidade inicial v0. O vetor velocidade formará um ângulo θ com a horizontal

(eixo x), sendo este conhecido como ângulo de tiro. Sendo as componentes do

vetor velocidade as seguintes:

É possível a partir destes dados, prever a posição da partícula, bem

como prever sua velocidade para qualquer instante de tempo. O maior

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interesse será em calcular a altura máxima atingida; o tempo de queda (o

tempo de duração do voo livre) e; o alcance do projétil na posição horizontal.

Para conseguir calcular tais objetivos, é preciso determinar as equações

básicas do movimento.

Assim sendo, temos que como a aceleração da gravidade aponta na

direção perpendicular à superfície terrestre, o sistema de coordenadas

cartesianas mais indicado é aquele no qual um dos eixos é paralelo ao chão

(eixo x) e o outro eixo é paralelo à aceleração da gravidade.

Pode-se estudar o movimento do projétil com a composição de dois

movimentos: um na direção vertical (eixo y) e outro na direção horizontal (eixo

x).

Como não existe aceleração ao longo do eixo x, o movimento nessa

direção é uniforme e escreve-se:

Sendo X0 a coordenada inicial (no tempo t=0) e V0x a componente da

velocidade inicial no eixo x.

A componente da velocidade no eixo x é constante e dada por:

Já ao longo do eixo y a aceleração é constante e dada pela aceleração

da gravidade g. O movimento no eixo y é, portanto, uniformemente variado e,

para a orientação de eixos consideradas, escreve-se:

Sendo y0 a coordenada inicial (eixo y) e V0y a componente da velocidade

inicial.

A componente da velocidade escreve-se:

Chega-se assim a conclusão de que, dadas a posição inicial (x0, y0) e a

velocidade inicial (v0x, v0y) do projétil, pode-se determinar a sua posição e

velocidade em qualquer instante (t) depois do lançamento.

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Para a posição, basta determinar x e y. Sendo essas coordenadas, para

um tempo qualquer, dadas pelas seguintes expressões:

Já para a velocidade, a qualquer tempo, tem-se a seguinte expressão

para suas componentes:

Sendo, portanto, estas as equações básicas do movimento. A partir

delas pode-se obter informações sobre esse movimento.

No entanto a partir da equação:

Tem-se:

Substituindo t pela expressão acima obtida na equação encontra-se:

Desta forma obtém-se para a trajetória a expressão:

Sendo, portanto, a equação da trajetória a equação de uma parábola.

A altura máxima do projétil será atingida quando sua velocidade se

igualar a zero no eixo y, pois nesse momento ele deixará de subir. Isto ocorre

no tempo (tm) dado por:

Onde

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Isto é,

A altura máxima (Ym) será dada pela substituição de t por tm na

expressão:

Assim sendo,

Quando o projétil y=0, quer dizer que ele atingiu o chão no instante tq,

assim:

A solução dessa equação dará:

Quando o projétil atinge o chão ele também atingi uma posição no eixo

x, a qual é chamada de alcance. Para determina-lo basta substituir o tempo t,

pelo tempo de queda tq na equação x = x0 + v0xt, obtendo-se assim:

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Especificamente, nesse experimento, o tema explorado será a fórmula

do Alcance (R), sendo esse a distância máxima entre o ponto de lançamento e

o ponto de queda, ou seja, quando y=0, o que leva a relação ilustrada pela

Figura 1:

R = x(t) - x0

Figura 1: Esquema relativo ao plano de lançamento oblíquo de um corpo qualquer.

Pode-se considerar x0 como origem do eixo x, ou seja, x0=0. Como x(t) é

definido como produto da velocidade inicial pelo cosseno do ângulo de

lançamento em relação ao tempo, tem-se assim:

t = R/v0.cosƟ0

Paralelamente a isso, tem-se também que y(t) – y0 = 0 implicando na

relação:

v0.senƟ0.t – gt2/2 = 0

Substituindo t se obtém:

v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] – [R/v0.cosƟ0]2.g/2 = 0

Após algumas manipulações,

v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] = [R/v0.cosƟ0]2.g/2

v0.senƟ0 = ([R/v0.cosƟ0]2.g/2)/ [R/v0.cosƟ0]

v0.senƟ0 = [R/v0.cosƟ0].g/2

2 v0.senƟ0/g = R/v0.cosƟ0

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R = 2 v0.senƟ0. v0.cosƟ0/g

R = 2 v02 senƟ0.cosƟ0/g

Chega-se à formula final do alcance:

R = sen(2Ɵ).v02/g

Que será utilizada nesse experimento para determinar-se a velocidade

inicial na qual o corpo é lançado da catapulta, ou seja:

[R.g/sen(2Ɵ)]1/2

= v0

Nota-se que o alcance (R) não depende da massa do corpo, assim

sendo, utilizaremos corpos com massas diferentes, mas que possuem mesmo

padrão de forma, para que a variação da resistência do ar seja desprezível.

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Materiais e Métodos

Materiais:

Cabo de vassoura

Pregos

Parafusos

Furadeira

2 ganchos de metal

4 discos de madeira

Vigas de madeira

Chave de fenda

Martelo

Alicate

Elásticos de dinheiro

Fita métrica (±0,1) cm

Lixa

Serrote

Lápis

Transferidor

Cilindro de madeira

Papel cartão

Câmera

Fita adesiva

Pedras

Métodos:

Primeiramente cortaram-se dois pedaços de viga com 24x4 cm (Corpo

1), outros dois pedaços com 4x7 cm (Corpo 2) e um de 10x4 cm (Corpo 3),

como podemos ver nas Figuras 2 e 3.

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Figura 2: dimensões das peças esquematizadas apresentando cota em cm.

Figura 3: Apresentação das peças de madeira cortadas para a preparação da base da

catapulta, sendo elas da esquerda para a direita o Corpo 3, o Corpo 1 e já acoplado a

ele o Corpo 2.

Em seguida, serrou-se o cabo de uma vassoura em 4 pedaços com 10

cm cada (Corpo 4) e em um deles talhou-se uma concavidade com centro na

metade e profundidade de 1 cm. Com isso, adquiriu-se um pequeno cilindro de

madeira proveniente de móveis planejados, com aproximadamente 15 cm

(Corpo 5). Também foi serrado um pedaço de vassoura com 20 cm (Corpo 6),

de acordo com a Figura 4.

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Figura 4: Cabo de vassoura previamente cortado seguindo as medidas já

mencionadas, sendo apresentado da direita para a esquerda o Corpo 4 (quatro

primeiros cilindros proveniente de um mesmo cabo de vassoura possuindo a mesma

dimensão entre si), o Corpo 5 e o Corpo 6.

Em uma marcenaria encomendaram-se 4 moedas de madeira com 5 cm

de diâmetro possuindo um furo central com o diâmetro médio de um parafuso

(Corpo 7), de acordo com a Figura 5.

Figura 5: Moedas de madeira apresentando 5 cm de diâmetro (corpo 7).

Foram feitos furos na viga de 24x4 cm (Corpo 1) com uma furadeira

(sendo os furos feitos da seguinte forma, a partir da extremidade mais afastada

da alavanca: 2cm da ponta até o primeiro furo, do primeiro furo para o segundo

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3cm, do segundo para o terceiro furo 4cm e do terceiro para o quarto furo

11cm) como apresentado pela Figuras 6.

Figura 6: Esquema da marcação dos furos na base da catapulta.

O esquema de montagem da catapulta seguirá de acordo com a Figura

7, sendo já fixados ganchos na parte superior da catapulta.

Figura 7: Esquema de como a catapulta será montada.

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Com pregos, fixou-se a base da catapulta, ligando o Corpo 1 ao Corpo 2

a 7 centímetros da extremidade, como descrito pela Figura 6. O processo foi

realizado para os dois Corpos 1, de acordo com a Figura 8.

Figura 8: Base da catapulta já furada apresentando estrutura final seguindo a Figura 6.

Também, com a furadeira foram feitos furos no pedaço de vassoura com

20 cm, no entanto neste foi feito apenas um furo. Com as laterais prontas,

encaixou-se o Corpo 5 em ambos os lados, e ele foi transpassado no furo do

Corpo 6 (pedaço de vassoura com 20 cm), depois de fixar nele um gancho de

varal. Na próxima etapa, encaixou-se a viga com côncavo (Figura 9) ligando as

duas laterais e para liga-la na parte de cima, fixou-se a estaca de madeira nos

parafusos previamente colocados na viga com 4x7, terminando assim a

estrutura base da catapulta, como apresentado pelas Figuras 10, 11, 12 e 13.

Figura 9: Corpo 3 com côncavo em sua metade.

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Figura 10: Início da montagem da base da

catapulta, com um dos lados já fixados,

onde foi pregado o Corpo 3.

Figura 11: Preparação para parafusar os

dois “pés” da catapulta demonstrando

também seu braço ainda não fixado.

Figura 12: Fixando a base da catapulta

utilizando para isso um martelo e pregos já

fixados.

Figura 13: Base da catapulta totalmente

acoplada.

Sequencialmente, parafusaram-se os cilindros de vassoura nos furos

das extremidades com as moedas de madeira, de acordo com as Figuras 14,

15, 16, 17 18 e 19.

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Figura 14: Início da colocação das rodas

da catapulta.

Figura 15: Colocação das rodas da

catapulta, fixando também os cilindros

(Corpo 4) de sustentação.

Figura 16: Finalização da colocação das

rodas de um lado da catapulta.

Figura 17: Mesmo procedimento de

colocação das rodas, agora com um par já

fixado.

Figura 18: Finalizando a colocação das

rodas.

Figura 19: Catapulta com as quatro rodas

já fixadas.

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O mesmo foi feito para os outros dois cilindros, porém sem a moeda, de

acordo com as Figuras 20, 21, 22, 23, 24 e 25.

Figura 20: Início da fixação dos Corpos 4

que possuem papel na sustentação da

estrutura da catapulta.

Figura 21: Representação da fixação dos

pedaços de cabo de vassoura sendo

acoplados à catapulta.

Figura 22: Catapulta com todos os

Corpos 4 fixados, ainda sem os elásticos

enganchados vista de cima.

Figura 23: Catapulta pronta ainda sem os

elásticos enganchados vista lateral.

Figura 24: Catapulta pronta ainda sem os

elásticos enganchados vista de frente.

Figura 25: Catapulta pronta ainda sem os

elásticos enganchados vista de trás.

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Passaram-se elásticos nos dois ganchos laterais, e sendo ele passado

também no gancho do braço da catapulta, finalizando assim a montagem do

protótipo, de acordo com as Figuras 26 e 27.

Figura 26: Catapulta finalizada com os

elásticos enganchados.

Figura 27: Catapulta finalizada com os

elásticos enganchados.

Com uma fita adesiva acoplou-se à lateral da catapulta, de acordo com a

Figura 28, um transferidor de papel, para que fosse possível medir o ângulo de

lançamento.

Figura 28: Transferidor de papel acoplado a catapulta.

/

Para realizar as medidas, primeiramente realizaram-se 5 lançamentos

de corpos com dimensões parecidas (Figura 29) submetidos à angulação de

30º em uma superfície plana, anotando a distância percorrida por esses com

uma trena, e depois repetiu-se este procedimento para as angulações de 45º e

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60º, anotando os valores obtidos, como representado genericamente pelas

Figuras 30, 31, 32 e 33.

Figura 29: Corpos que foram

arremessados pela catapulta durante o

experimento.

Figura 30: Início do trajeto de um corpo

qualquer arremessado pela catapulta.

Figura 31: Início do trajeto de um corpo

qualquer sendo lançado pela catapulta

construída visto de trás.

Figura 32: Objeto quase no fim de seu

trajeto.

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Figura 33: Objeto ao fim da trajetória em duas dimensões, em contato com o chão.

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Resultados

Ao realizarem-se as medições com os ângulos de 30, 45 e 60º em uma

superfície plana obtiveram-se as 5 distâncias que seguem nas Tabelas 1, 2 e 3.

Tabela 1: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de

30º.

Ângulo de 30°

Distância Alcançada (cm)

470

520

530

560

730

562±100

Tabela 2: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de

45º.

Ângulo de 45°

Distância alcançada (cm)

340

370

360

360

410

360±26

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Tabela 3: Distância alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de

60º em lançamentos.

Ângulo de 60°

Distância Alcançada (cm)

100

100

130

130

130

118±16.4

Com as distâncias médias foi possível calcular a velocidade inicial de

lançamento e seu erro, dados apresentados na Tabela 4.

Tabela 4: Velocidade inicial média de cada corpo de acordo com o ângulo de

lançamento.

Ângulo (°) Velocidade (cm/s)

30 700±100

45 600±10

60 370±30

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Discussão

Embora se tenha chegado em um valor experimental da velocidade

inicial do corpo, esse contém erros que não puderam ser mensurados, tais

como a precisão do ângulo, a resistência do ar, a inclinação da superfície e o

fato de se ter desconsiderado a altura inicial de lançamento, pois as medidas

obtidas foram os valores horizontais percorridos pelos corpos quando tocam o

chão, sendo que esse não seria verdadeiramente o valor inicial na vertical (eixo

Y) de lançamento. Porém, utiliza-se o dado obtido para apenas se ter ideia da

velocidade que se pode lançar pequenos corpos com a catapulta construída.

Outro fato notório se deu nesse experimento foi a comprovação de que a

massa do corpo não influencia em sua velocidade, pois mesmo alterando os

corpos o alcance obtidos por eles num dado ângulo condiz com a média.

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Conclusão

Pode-se concluir ao final do experimento e montagem, que

independente dos erros de medida, principalmente quanto se tange ao

referencial adotado, quanto maior for o ângulo de lançamento do objeto pela

catapulta, menor será a distância alcançada pelo corpo e consequentemente

menor será a sua velocidade média, sendo este resultado independente da

massa e tamanho do objeto.

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Referências

E-FÍSICA. Mecânica: Composição do Movimento, Movimento em duas

direções. Disponível em

<http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/composicao/intro/>. Acesso em 24

de abril de 2016.

Só Física. Movimento Oblíquo. Disponível em

<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/movobl.php>.

Acesso em 23 de abril de 2016.