UNESP

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JLIO DE MESQUITA FILHO

Engenhocas: Catapulta

Docente: Prof. Dr. Maria Lcia Pereira Antunes

Angela Yuri Saito

Angelita de Cssia Roquetto

Beatriz Capelo Olimpio

Camila Cardoso Leite da Silva

Junho de 2016

Sorocaba

Objetivo

Por meio de uma catapulta, determinar a velocidade inicial de

lanamento de um corpo realizando movimento oblquo, lanamento esse

realizado com diferentes angulaes.

Introduo

H duas formas de se pensar em composio de movimento. Na

primeira, o movimento do objeto pensado como resultante de dois

movimentos, como quando dois sistemas de coordenadas esto em movimento

relativo (o primeiro movimento seria o deslocamento de um objeto observado

num determinado sistema de referncia, j o segundo movimento associado

ao deslocamento desse sistema de coordenadas. Um exemplo disso so

carrossis, os cavalos sobem e descem num eixo vertical, por outro lado o

carrossel gira em relao ao parque). J na segunda forma, o movimento do

objeto pensado como resultante de dois ou trs outros movimentos retilneos

ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, no estudo do lanamento de

projteis, Galileu introduziu a decomposio do movimento em duas

componentes, uma horizontal e outra vertical. O movimento de duas

componentes em eixos ortogonais complexo, assim sendo, a decomposio

de movimentos um artifcio para equacionar alguns problemas em duas (no

plano) ou trs (no espao) dimenses em termos de equaes de uma

dimenso em funo do tempo.

H muitos movimentos que ocorrem em duas dimenses, ou seja, em

um plano. Quando tratado o movimento dos projteis, considera-se a

superfcie da Terra como sendo plana.

Estudando o lanamento de um projtil de um ponto em um certo

instante (tempo t=0), este pode ser uma bala de canho por exemplo, dados

pelas coordenadas (x0, y0). Esse projtil ser lanado no espao com uma

velocidade inicial v0. O vetor velocidade formar um ngulo com a horizontal

(eixo x), sendo este conhecido como ngulo de tiro. Sendo as componentes do

vetor velocidade as seguintes:

possvel a partir destes dados, prever a posio da partcula, bem

como prever sua velocidade para qualquer instante de tempo. O maior

interesse ser em calcular a altura mxima atingida; o tempo de queda (o

tempo de durao do voo livre) e; o alcance do projtil na posio horizontal.

Para conseguir calcular tais objetivos, preciso determinar as equaes

bsicas do movimento.

Assim sendo, temos que como a acelerao da gravidade aponta na

direo perpendicular superfcie terrestre, o sistema de coordenadas

cartesianas mais indicado aquele no qual um dos eixos paralelo ao cho

(eixo x) e o outro eixo paralelo acelerao da gravidade.

Pode-se estudar o movimento do projtil com a composio de dois

movimentos: um na direo vertical (eixo y) e outro na direo horizontal (eixo

x).

Como no existe acelerao ao longo do eixo x, o movimento nessa

direo uniforme e escreve-se:

Sendo X0 a coordenada inicial (no tempo t=0) e V0x a componente da

velocidade inicial no eixo x.

A componente da velocidade no eixo x constante e dada por:

J ao longo do eixo y a acelerao constante e dada pela acelerao

da gravidade g. O movimento no eixo y , portanto, uniformemente variado e,

para a orientao de eixos consideradas, escreve-se:

Sendo y0 a coordenada inicial (eixo y) e V0y a componente da velocidade

inicial.

A componente da velocidade escreve-se:

Chega-se assim a concluso de que, dadas a posio inicial (x0, y0) e a

velocidade inicial (v0x, v0y) do projtil, pode-se determinar a sua posio e

velocidade em qualquer instante (t) depois do lanamento.

Para a posio, basta determinar x e y. Sendo essas coordenadas, para

um tempo qualquer, dadas pelas seguintes expresses:

J para a velocidade, a qualquer tempo, tem-se a seguinte expresso

para suas componentes:

Sendo, portanto, estas as equaes bsicas do movimento. A partir

delas pode-se obter informaes sobre esse movimento.

No entanto a partir da equao:

Tem-se:

Substituindo t pela expresso acima obtida na equao encontra-se:

Desta forma obtm-se para a trajetria a expresso:

Sendo, portanto, a equao da trajetria a equao de uma parbola.

A altura mxima do projtil ser atingida quando sua velocidade se

igualar a zero no eixo y, pois nesse momento ele deixar de subir. Isto ocorre

no tempo (tm) dado por:

Onde

Isto ,

A altura mxima (Ym) ser dada pela substituio de t por tm na

expresso:

Assim sendo,

Quando o projtil y=0, quer dizer que ele atingiu o cho no instante tq,

assim:

A soluo dessa equao dar:

Quando o projtil atinge o cho ele tambm atingi uma posio no eixo

x, a qual chamada de alcance. Para determina-lo basta substituir o tempo t,

pelo tempo de queda tq na equao x = x0 + v0xt, obtendo-se assim:

Especificamente, nesse experimento, o tema explorado ser a frmula

do Alcance (R), sendo esse a distncia mxima entre o ponto de lanamento e

o ponto de queda, ou seja, quando y=0, o que leva a relao ilustrada pela

Figura 1:

R = x(t) - x0

Figura 1: Esquema relativo ao plano de lanamento oblquo de um corpo qualquer.

Pode-se considerar x0 como origem do eixo x, ou seja, x0=0. Como x(t)

definido como produto da velocidade inicial pelo cosseno do ngulo de

lanamento em relao ao tempo, tem-se assim:

t = R/v0.cos0

Paralelamente a isso, tem-se tambm que y(t) y0 = 0 implicando na

relao:

v0.sen0.t gt2/2 = 0

Substituindo t se obtm:

v0.sen0.[R/v0.cos0] [R/v0.cos0]2.g/2 = 0

Aps algumas manipulaes,

v0.sen0.[R/v0.cos0] = [R/v0.cos0]2.g/2

v0.sen0 = ([R/v0.cos0]2.g/2)/ [R/v0.cos0]

v0.sen0 = [R/v0.cos0].g/2

2 v0.sen0/g = R/v0.cos0

R = 2 v0.sen0. v0.cos0/g

R = 2 v02 sen0.cos0/g

Chega-se formula final do alcance:

R = sen(2).v02/g

Que ser utilizada nesse experimento para determinar-se a velocidade

inicial na qual o corpo lanado da catapulta, ou seja:

[R.g/sen(2)]1/2

= v0

Nota-se que o alcance (R) no depende da massa do corpo, assim

sendo, utilizaremos corpos com massas diferentes, mas que possuem mesmo

padro de forma, para que a variao da resistncia do ar seja desprezvel.

Materiais e Mtodos

Materiais:

Cabo de vassoura

Pregos

Parafusos

Furadeira

2 ganchos de metal

4 discos de madeira

Vigas de madeira

Chave de fenda

Martelo

Alicate

Elsticos de dinheiro

Fita mtrica (0,1) cm

Lixa

Serrote

Lpis

Transferidor

Cilindro de madeira

Papel carto

Cmera

Fita adesiva

Pedras

Mtodos:

Primeiramente cortaram-se dois pedaos de viga com 24x4 cm (Corpo

1), outros dois pedaos com 4x7 cm (Corpo 2) e um de 10x4 cm (Corpo 3),

como podemos ver nas Figuras 2 e 3.

Figura 2: dimenses das peas esquematizadas apresentando cota em cm.

Figura 3: Apresentao das peas de madeira cortadas para a preparao da base da

catapulta, sendo elas da esquerda para a direita o Corpo 3, o Corpo 1 e j acoplado a

ele o Corpo 2.

Em seguida, serrou-se o cabo de uma vassoura em 4 pedaos com 10

cm cada (Corpo 4) e em um deles talhou-se uma concavidade com centro na

metade e profundidade de 1 cm. Com isso, adquiriu-se um pequeno cilindro de

madeira proveniente de mveis planejados, com aproximadamente 15 cm

(Corpo 5). Tambm foi serrado um pedao de vassoura com 20 cm (Corpo 6),

de acordo com a Figura 4.

Figura 4: Cabo de vassoura previamente cortado seguindo as medidas j

mencionadas, sendo apresentado da direita para a esquerda o Corpo 4 (quatro

primeiros cilindros proveniente de um mesmo cabo de vassoura possuindo a mesma

dimenso entre si), o Corpo 5 e o Corpo 6.

Em uma marcenaria encomendaram-se 4 moedas de madeira com 5 cm

de dimetro possuindo um furo central com o dimetro mdio de um parafuso

(Corpo 7), de acordo com a Figura 5.

Figura 5: Moedas de madeira apresentando 5 cm de dimetro (corpo 7).

Foram feitos furos na viga de 24x4 cm (Corpo 1) com uma furadeira

(sendo os furos feitos da seguinte forma, a partir da extremidade mais afastada

da alavanca: 2cm da ponta at o primeiro furo, do primeiro furo para o segundo

3cm, do segundo para o terceiro furo 4cm e do terceiro para o quarto furo

11cm) como apresentado pela Figuras 6.

Figura 6: Esquema da marcao dos furos na base da catapulta.

O esquema de montagem da catapulta seguir de acordo com a Figura

7, sendo j fixados ganchos na parte superior da catapulta.

Figura 7: Esquema de como a catapulta ser montada.

Com pregos, fixou-se a base da catapulta, ligando o Corpo 1 ao Corpo 2

a 7 centmetros da extremidade, como descrito pela Figura 6. O processo foi

realizado para os dois Corpos 1, de acordo com a Figura 8.

Figura 8: Base da catapulta j furada apresentando estrutura final seguindo a Figura 6.

Tambm, com a furadeira foram feitos furos no pedao de vassoura com

20 cm, no entanto neste foi feito apenas um furo. Com as laterais prontas,

encaixou-se o Corpo 5 em ambos os lados, e ele foi transpassado no furo do

Corpo 6 (pedao de vassoura com 20 cm), depois de fixar nele um gancho de

varal. Na prxima etapa, encaixou-se a viga com cncavo (Figura 9) ligando as

duas laterais e para liga-la na parte de cima, fixou-se a estaca de madeira nos

parafusos previamente colocados na viga com 4x7, terminando assim a

estrutura base da catapulta, como apresentado pelas Figuras 10, 11, 12 e 13.

Figura 9: Corpo 3 com cncavo em sua metade.

Figura 10: Incio da montagem da base da

catapulta, com um dos lados j fixados,

onde foi pregado o Corpo 3.

Figura 11: Preparao para parafusar os

dois ps da catapulta demonstrando

tambm seu brao ainda no fixado.

Figura 12: Fixando a base da catapulta

utilizando para isso um martelo e pregos j

fixados.

Figura 13: Base da catapulta totalmente

acoplada.

Sequencialmente, parafusaram-se os cilindros de vassoura nos furos

das extremidades com as moedas de madeira, de acordo com as Figuras 14,

15, 16, 17 18 e 19.

Figura 14: Incio da colocao das rodas

da catapulta.

Figura 15: Colocao das rodas da

catapulta, fixando tambm os cilindros

(Corpo 4) de sustentao.

Figura 16: Finalizao da colocao das

rodas de um lado da catapulta.

Figura 17: Mesmo procedimento de

colocao das rodas, agora com um par j

fixado.

Figura 18: Finalizando a colocao das

rodas.

Figura 19: Catapulta com as quatro rodas

j fixadas.

O mesmo foi feito para os outros dois cilindros, porm sem a moeda, de

acordo com as Figuras 20, 21, 22, 23, 24 e 25.

Figura 20: Incio da fixao dos Corpos 4

que possuem papel na sustentao da

estrutura da catapulta.

Figura 21: Representao da fixao dos

pedaos de cabo de vassoura sendo

acoplados catapulta.

Figura 22: Catapulta com todos os

Corpos 4 fixados, ainda sem os elsticos

enganchados vista de cima.

Figura 23: Catapulta pronta ainda sem os

elsticos enganchados vista lateral.

Figura 24: Catapulta pronta ainda sem os

elsticos enganchados vista de frente.

Figura 25: Catapulta pronta ainda sem os

elsticos enganchados vista de trs.

Passaram-se elsticos nos dois ganchos laterais, e sendo ele passado

tambm no gancho do brao da catapulta, finalizando assim a montagem do

prottipo, de acordo com as Figuras 26 e 27.

Figura 26: Catapulta finalizada com os

elsticos enganchados.

Figura 27: Catapulta finalizada com os

elsticos enganchados.

Com uma fita adesiva acoplou-se lateral da catapulta, de acordo com a

Figura 28, um transferidor de papel, para que fosse possvel medir o ngulo de

lanamento.

Figura 28: Transferidor de papel acoplado a catapulta.

/

Para realizar as medidas, primeiramente realizaram-se 5 lanamentos

de corpos com dimenses parecidas (Figura 29) submetidos angulao de

30 em uma superfcie plana, anotando a distncia percorrida por esses com

uma trena, e depois repetiu-se este procedimento para as angulaes de 45 e

60, anotando os valores obtidos, como representado genericamente pelas

Figuras 30, 31, 32 e 33.

Figura 29: Corpos que foram

arremessados pela catapulta durante o

experimento.

Figura 30: Incio do trajeto de um corpo

qualquer arremessado pela catapulta.

Figura 31: Incio do trajeto de um corpo

qualquer sendo lanado pela catapulta

construda visto de trs.

Figura 32: Objeto quase no fim de seu

trajeto.

Figura 33: Objeto ao fim da trajetria em duas dimenses, em contato com o cho.

Resultados

Ao realizarem-se as medies com os ngulos de 30, 45 e 60 em uma

superfcie plana obtiveram-se as 5 distncias que seguem nas Tabelas 1, 2 e 3.

Tabela 1: Distncias alcanada pelo corpo lanado quando submetido angulao de

30.

ngulo de 30

Distncia Alcanada (cm)

470

520

530

560

730

562100

Tabela 2: Distncias alcanada pelo corpo lanado quando submetido angulao de

45.

ngulo de 45

Distncia alcanada (cm)

340

370

360

360

410

36026

Tabela 3: Distncia alcanada pelo corpo lanado quando submetido angulao de

60 em lanamentos.

ngulo de 60

Distncia Alcanada (cm)

100

100

130

130

130

11816.4

Com as distncias mdias foi possvel calcular a velocidade inicial de

lanamento e seu erro, dados apresentados na Tabela 4.

Tabela 4: Velocidade inicial mdia de cada corpo de acordo com o ngulo de

lanamento.

ngulo () Velocidade (cm/s)

30 700100

45 60010

60 37030

Discusso

Embora se tenha chegado em um valor experimental da velocidade

inicial do corpo, esse contm erros que no puderam ser mensurados, tais

como a preciso do ngulo, a resistncia do ar, a inclinao da superfcie e o

fato de se ter desconsiderado a altura inicial de lanamento, pois as medidas

obtidas foram os valores horizontais percorridos pelos corpos quando tocam o

cho, sendo que esse no seria verdadeiramente o valor inicial na vertical (eixo

Y) de lanamento. Porm, utiliza-se o dado obtido para apenas se ter ideia da

velocidade que se pode lanar pequenos corpos com a catapulta construda.

Outro fato notrio se deu nesse experimento foi a comprovao de que a

massa do corpo no influencia em sua velocidade, pois mesmo alterando os

corpos o alcance obtidos por eles num dado ngulo condiz com a mdia.

Concluso

Pode-se concluir ao final do experimento e montagem, que

independente dos erros de medida, principalmente quanto se tange ao

referencial adotado, quanto maior for o ngulo de lanamento do objeto pela

catapulta, menor ser a distncia alcanada pelo corpo e consequentemente

menor ser a sua velocidade mdia, sendo este resultado independente da

massa e tamanho do objeto.

Referncias

E-FSICA. Mecnica: Composio do Movimento, Movimento em duas

direes. Disponvel em

. Acesso em 24

de abril de 2016.

S Fsica. Movimento Oblquo. Disponvel em

.

Acesso em 23 de abril de 2016.