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Erg anzungen zu speziellen Funktionen: Besselfunktionenschnizer/AnalyticalMethods/AnMe26.pdf · Abbildung 26.5: Relief des Integranden der Sommerfeldschen Integraldarstellung der

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Kapitel 26

Erganzungen zu speziellenFunktionen: Besselfunktionen

In diesem Kapitel werden Gegenstande behandelt, die eine Weiterfuhrung der Vorlesung Speziel-le Funktionen beinhalten. Insbesondere werden die Eigenschaften der Besselfunktionen ausfuhr-lich behandelt und in Kurze die Eigenschaften der Besselfunktionen zusammengefasst, die in die-ser Vorlesung benotigt werden. Diese finden sich auch im Buch von Abramowitz und Stegun [26.1]bzw. in der uberarbeiteten Neuausgabe[26.2]; die ausfuhrlichste Abhandlung uber Besselfunktio-nen ist das Buch von Watson [26.3]. Eine erste Einfuhrung in die Theorie der Besselfunktionengibt Sommerfeld [26.4].

26.1 Die Besselsche Differentialgleichung

Die Separation der Helmholtzgleichung in ebenen Polarkoordinaten ergibt die folgende Differen-tialgleichung fur den Radialanteil der Wellenfunktion (s. Gl.(6.84)):

d2Z(x)dx2

+1x

dZ(x)dx

+(

1 2

x2

)Z(x) = 0. (26.1)

x heit das Argument, die Ordnung (oder der Index) der Bessel- oder Zylinderfunktion Z(x).Im allgemeinsten Fall konnen beide komplex sein. In den meisten Anwendungen, inbesondere indieser LV, ist reell, meist sogar ganzzahlig, = m. Ebenso ist x reell und positiv, meist x = kr;fur die volle Einsicht in das Verhalten der Besselfunktionen ist es zweckmassig auch komplexeZahlen fur x zu nehmen. Dann hat die obige Differentialgleichung eine Stelle der Bestimmheitan x = 0, eine wesentliche Singularitat an x = . Das impliziert: Die Losungen haben an derStelle x = 0 nur Pole oder Verzweigungspunkte. An der Stelle x = haben alle Losungen einewesentliche Singularitat. Die Losungen haben keine Singularitaten fur andere Werte von z.

26.2 Die Besselschen Funktionen als Losungen

Geht man mit einem verallgemeinerten Potenzreihenansatz x

n an xn in die Differentialglei-

chung (26.1), ergibt sich folgende ganze Funktion als Losung:

J(x) =(x

2

) k=0

(1)k

k! (+ k + 1)

(x2

)2k. (26.2)

Diese Losung heit Besselfunktion im engeren Sinne; sie hat an der Stelle z = 0 eine Nullstelleder Ordnung m, wenn = m ganzzahlig ist. In diesem Fall sind Jm(x) und Jm(x) linear

1

abhangig, eine zweite unabhangige Losung ist dann die Neumannfunktion Ym(x). Fur unganzes sind J(x) und J(x) linear unabhangig, die beiden Funktionen stellen dann ein vollstandigesLosungssystem dar. Beide haben an z = 0 einen Verzweigungspunkt; die eine verschwindet dort,die andere ist singular. Abb.26.1 zeigt die Besselfunktionen als Funktionen von x und .

Abbildung 26.1: Die Besselfunktionen J(x). Aus: E. Jahnke, F.Emde: Tables of functions. Dover1945

Die Neumannfunktion ist auch fur alle Ordnungen definiert. Sie wird hier nur fur ganzzahlige,also = m, angegeben:

Ym(x) = 1

(x2

)m m1k=0

(m k 1)!k!

(x2

)2k+

2

lnx

2Jm(x)

1

(x2

)m k=0

[(k + 1) + (m+ k + 1)]1

k! (m+ k)!

(x2

)2k. (26.3)

(n) ist die Psi- oder Digammafunktion, die logarithmische Ableitung der -funktion:

(z) :=d

dzln((z)) =

(z)(z)

. (26.4)

Die Neumannfunktion hat fur m = 1, 2, 3, ... an z = 0 einen Pol m-ter Ordnung und einenlogarithmischen Verzweigungspunkt; fur m = 0 nur einen logarithmischen Verzweigungspunkt.

In Mathematica berechnet man die Bessel- und Nfunktionen mittels der folgenden Befehle:

J(x) = BesselJ[.x], Y(x) = BesselY[.x],

Die unten definierten Hankelfunktionen muss man sich aus den obigen beiden selbst zusammen-setzen.

Fur reelle Argumente haben J(x) und Y(x) oszillierenden Charakter, s.Abb.26.2. Sie besitzenunendlich viele Nullstellen. Die von J(x) heien j,n, n = 1, 2, ...; sie werden in ansteigenderGroe numeriert. Sie konnen in Mathematica bis zur Version 6 mittels des folgenden Packagesberechnet werden: NumericalMathBesselZeros.

2

5 10 15 20x

!1

!0.75

!0.5

!0.25

0.25

0.5

0.75

1

Yn!x" Neumannfunktionen Yn!x"n " 0 1 2 3 4 5

5 10 15 20x

!1

!0.5

0.5

1

Jn!x" Besselfunktionen Jn!x"n " 0 1 2 3 4 5

Abbildung 26.2: Die Besselfunktionen Jn(x) und die Neumannfunktionen Jn(x) fur n =0, 1, 2, 3, 4, 5. Die schwarzen Einhullenden zeigen den asymptotischen Faktor

2/x.

Die Hankelfunktionen erster und zweiter Art werden aus den beiden vorhergehenden Funktionendefiniert:

H(1,2) (x) := J(x) i Y(x). (26.5)

Sie werden zur Darstellung auslaufender Zylinderwellen bei imaginarer Zeitabangigkeit eit

benotigt.

Fur ganzzahlige Ordnung sind alle Zylinderfunktionen mit negativem Index m proportional derentsprechenden mit gleichem positiven m:

Zm(x) = (1)m Zm(x), Zm {Jm, Ym, H(1,2)m }; m Z. (26.6)

Fur unganze Ordnung bilden die beiden Besselfunktionen J und J ein vollstandiges Losungs-system der Besselschen Differentialgleichung. Daher lassen sich alle anderen Losungen durch diese

3

beiden ausdrucken:

Y =cos() J J

sin(),

(26.7)H(1,2) =

ei J J i sin()

.

In allen Zylinderfunktionen steht das gleiche Argument.

26.3 Das asymptotische Verhalten der Besselfunktionen

Fur groe Argumente x lassen sich Naherungsformeln fur die aufgefuhrten Zylinderfunktionenangeben:

J(x)

2x

cos(x 1

2

4

), | arg x| < ; (26.8)

Y(x)

2x

sin(x 1

2

4

), | arg x| < ; (26.9)

H(1) (x)

2x

ei(x 12

4 ), < arg x < 2;(26.10)

H(2) (x)

2x

ei(x 12

4 ), 2 < arg x < ;

|x| 1 und |x| .Das asymptotische abklingende Verhalten der Zylinderfunktionen 1/

x ist in Abb.26.2 bereits

sichtbar. Diese asymptotischen Formeln gelten nur, wenn das (gegebenfalls komplexe) x der Groenach die eben angegebenen Ungleichungen erfullt, und wenn das Argument in dem Bereich liegt,der bei der jeweiligen asymptotischen Formel angegeben ist. Sie gelten nicht, wenn |x| und ||ungefahr gleich gro sind oder |x| || ist. Die obigen asymptotischen Formeln kann man ausden Integraldarstellungen (s.u.) der Zylinderfunktionen mittels der Sattelpunktsmethode ableiten.

2 4 6 8 10n

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

JnHxL Besselfunktionen JnHxL

x = 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8 10n

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

YnHxL Neumannfunktionen YnHxL

x = 1 2 3 4 5 6

K25Besself.nb 1

Abbildung 26.3: Exponentieller Abfall der Besselfunktionen J(x), x = 1, 2, 3, 4, 5, exponentiellesAnwachsen der Neumannfunktion Y(x) mit wachsender Ordnung .

Das Verhalten der Zylinderffuntionen J(x) und Y(x) mit wachsender Ordnung bei fixemArgument x , wie in Abb.26.3 gezeigt, kann durch die gerade angefuhrten asymptotischen Formelnnicht wiedergegeben werden, weil diese nur unter der Voraussetzung x gelten. Im Fall x kann J(x) mit wachsendem sogar abnehmen; dies ist wichtig fur die Konvergenz von Reihen,deren Glieder aus Besselfunktionen bestehen.

4

26.4 Separation der Helmholtzgleichung in Polarkoordinaten

Die Helmholtzgleichung + k2 = 0

wird in ebenen Polarkoordinaten r, durch den Ansatz (r, ) = R(r) ei separiert, Dieresultierende Differentialgleichung fur die Radialfunktion lat sich mittels des Operators

L(k, ). :=d2.

d2+

1

d.

d+(k2

2

2

). (26.11)

folgendermaen schreiben:

L(k, r) R(r) =d2R

dr2+

1r

dR

dr+(k2

2

r2

)R = 0 (26.12)

x := kr, R(r) = Z(x) (26.13)

k2 L(1, x) Z(x) = k2[d2

dx2+

1x

dR

dx+(

1 2

x2

)]Z(x) = 0, (26.14)

26.5 Integraldarstellungen der Besselfunktionen

u

v

w-plane

W1 W2

W0

w=0 w=p

Abbildung 26.4: Integrationswege fur die Integraldarstellungen der verschiedenen Zylinderfunk-tionen: W0 : Besselfunktion J(x); W1,2 : Hankelfunktionen 1, 2. Art H

1,2 (x).

Mindestens ebenso wichtig wie die Reihendarstellungen sind die Integraldarstellungen der Bes-selfunktionen. Die Sommerfeldschen Integraldarstellungen lauten:

Z(x) :=1

2i

Wi

eix cos(w) ei(w/2) dw. (26.15)

Alle drei eben angegebenen Integrale haben den gleichen Integranden, unterscheiden sich aberim Integrationsweg, s. Abb.26.4. In den Bereichen, in denen die Integrationswege eingezeichnetsind, geht der Integrand gegen Null, wenn die Enden der Integrationswege gegen i streben.Dies ist aus den in Abb.26.5 gezeigten Reliefs zu ersehen.

Neben den Sommerfeldschen Integraldarstellungen gibt es noch weitere, z.B. die von Poisson u.a.

Dass das Integral (26.15) eine Losung der Besselschen Differentialgleichung darstellt, beweist mandurch partielle Integration; die integrierten Terme sind Null an den Grenzen w1 und w2.

5

0

5

10u

-2

-1

0

1

2

v

0

1

2

3

fHwL

0

5

10u

0

2

4

6

u

-2

-1

0

1

2

v

0123

fHwL

0

2

4

6

u

0123

fHwL

Abbildung 26.5: Relief des Integranden der Sommerfeldschen Integraldarstellung der Zylinder-funktionen der Ordnung m = 0 fur x = 1 (links) und fur x = 10 (rechts), In letzterem Falleist der Sattel nur mehr ein schmaler Grat und die Sattelpunktsmethode kann gut angewendetwerden.

L(1, x) Z(x) ei/2 = L(1, x) w2w1

dw eix cosw eiw =

= w2w1

dw

[d2

dx2+

1x

d

dx+(

1 2

x2

)]eix cosw eiw =

= w2w1

dw

cos2w sin2 w 1

+i

xcosw +

(1

2

x2

) eix cosw eiw ==

i

x

w2w1

dw eix cosw (ix sinw) u

eiw sinw v

+ w2w1

dw

[i

xcosw

2

x2

]eix cosw eiw =

=i

x

[eix cosw

u

eiw sinw v

]w2w1

(= 0)

ix

w2w1

dw eix cosw u

(i sinw + cosw) eiw v

+ w2w1

dw eix cosw(i

xcosw

2

x2

)=

=2

x2

w2w1

dw

eix cosw (ix sinw) u1

i

eiwv1

+ eix cosw eiw

==

2

x2

[eiw

i

eiw

]w2w1

= 0

2

x2

w2w1

dw eiw[i

i eiw + eiw

]

= 0

= 0. 2

Mittels der Integraldarstellungen berechnet man unter Benutzung der Sattelpunktsmethode dieoben aufgelisteten asymptotischen Formeln. Dies wird hier fur x 1 fur die beiden Hankelfunk-tionen vorgefuhrt. Bei solchen Werten von x sinkt der Integrand in (26.15) vom Wert |ei x| = 1,den er bei den Sattelpunkten auf der Passhohen

d coswdw

= sinw != 0 w = w1,2 = 0,

6

annimmt, sehr schnell zu den kleinen Werten im Tal ab. Es sind daher nur kleine Werte von wim cosw, die zum Integral langs des Weges W1 bzw. W2 beitragen.

W1 : w = s ei , i cosw i(

1 12s2 e

i2

)=

12s2 sin 2 + i

(1 1

2s2 cos 2

).

Dieser Effekt ist besonders wirksam, wenn der Integrationsweg moglichst schnell ins Tal abfallt.Dies ist am wirksamsten langs der Falllinien des Realteils von ix cosw. Diese ist identisch mitder Niveaulinie des Imaginarteils, also mit

1 12s2 cos 2 = const. = 1.

Der Wert der Konstante folgt daraus, dass die Kurve mit s = 0 durch den Sattelpunkt gehen soll.Auf der Niveaulinie muss cos 2 = 0, also = /4 fur W1,2 sein. Damit ist also der optimaleIntegrationsweg W1:

W1 : w = s ei/4, dw = ds ei/4.

In dem langsam veranderlichen Faktor ei(w/2) wird sofort s = 0 gesetzt. Damit ergibt sich furdie Integraldarstellung folgender Naherungsausdruck:

H1(x) 1ei[x (n+1/2)/2]

ex2s2 ds =

2x

ei[x (n+1/2)/2]. (26.16)

Analog geht man fur H2(x) vor. Daraus ergeben sich gema (26.5) die Formeln fur J(x) undY(x).

26.5.1 Rekursionsformeln

Die Integraldarstellungen dienen auch zur Berechnung der Rekursionsformeln. Letztere verknupfenZylinderfunktionen verschiedener Ordnungen:

2xZ(x) = Z+1(x) + Z1(x); (26.17)

dZ(x)dx

=12

(Z1(x) Z+1(x)

); (26.18)

=

xZ(x) Z+1(x) = Z1(x)

xZ(x); (26.19)

dZ0(x)dx

= Z1(x). (26.20)

Sie gelten fur alle vier Typen von Zylinderfunktionen und auch fur beliege Linearkombinationenderselben mit konstanten Koeffizienten; dies gilt auch fur die nachfolgenden Relationen. Multi-pliziert man dZ(x)/dx und den ersten Teil bzw. zweiten Teil von (26.19) mit x bzw. x ergibtsich mit einer beliebigen Konstanten :

d

dx

(x Z(x)

)= x Z1(x), (26.21)

d

dx

(x Z(x)

)= x Z+1(x). (26.22)

7

26.5.2 Unbestimmte Integrale uber Besselfunktionen

Unbestimmte Integration der eben angegebenen Formeln bezuglich x gibt:x+1 Z(x) =

1x+1 Z+1(x), (26.23)

x+1 Z(x) = 1x+1 Z1(x). (26.24)

Eine wichtige Formel ergibt sich aus (der Besseloperator L(, x) ist in (26.11) definiert) :

Z(x) x L(, x) Z(x) Z(x) x L(, x)Z(x) =

=d

dx

[Z(x) x

d

dxZ(x) Z(x) x

d

dxZ(x)

]=

= (2 2) x Z(x) Z(x) 2 2

xZ(x) Z(x).

Integration der beiden letzten Zeilen gibt: [(2 2) x

2 2

x

]Z(x) Z(x) dx = (26.25)

= x Z(x) Z (x) x Z (x) Z(x), (26.26)

= x Z+1(x) Z(x) x Z(x) Z+1(x) + ( ) Z(x) Z(x), (26.27)

= x Z1(x) Z(x) + x Z(x) Z1(x) ( ) Z(x) Z(x).

(26.28)

Die zwei letzten Zeilen ergeben sich aus der zweiten durch Benutzung von Formeln (26.17) bis(26.19).

Man setzt nun = und dividiert durch (2 2). Das gibt:Z(x) Z(x) x dx =

12 2

[ x Z(x) Z (x) x Z (x) Z(x)

]. (26.29)

Man macht den Grenzubergang und wendet auf der rechten Seite die Regel von delHospital an, sowie wieder die Formeln (26.17) bis (26.19). Damit erhalt man :

Z(x) Z(x) x dx = (26.30)

=x2

4

[2 Z(x) Z(x) Z1(x) Z+1(x) Z+1(x) Z1(x)

].

Sind die beiden Besselfunktionen gleich, Z(x) = Z(x), dann wird weiter:Z(x)2 x dx =

x2

2

[Z(x)2 Z+1(x) Z1(x)

](26.31)

=x2

2

[(1

2

2x2

)Z(x)2 + Z (x)

2]. (26.32)

Obige Integralrelationen werden herangezogen zur Auswertung von Orthogonalitats- und Nor-mierungsrelationen, wie diese z.B. bei der Aufstellung von Vollstandigkeitsrelationen benotigt

8

werden. S. die Gleichungen zwischen (10.29) und (10.30). Z.B. betrachtet man die Helmholtzglei-chung in einerm Kreisbereich 0 r a oder einem Kreissektor (Offnungswinkel ). Dann sinddie Eigenwerte und Eigenfunktionen bei Dirichletscher Randgbedingung:

k,n = j,n/a, ,n = N,n J(j,n(r/a).

Setzt man in (26.29) Z(x) = J(r/a), Z(x) = J(j,i(r/a) ergibt sich die Orthogonalitat;aus (26.32) die Normierungsrelation.

26.5.3 Wronskische Determinanten

Z(x) x L(1, x) Z(x) Z(x) x L(1, x)Z(x) = 0 =

x Z Z x Z Z + Z Z Z Z =

d

dx

[x(Z Z

Z Z

)]= 0.

Daraus folgt:

Z Z Z Z = Z1 Z Z Z1 = Z Z+1 Z+1 Z =C

x. (26.33)

Das Argument aller dieser Zylinderfunktionen ist x. Zur Elimination der Ableitungen wurdenwieder die Formeln (26.17) bis (26.19) herangezogen. Der Wert der Konstanten hangt von derWahl der spezifischen Funktionen ab Er kann mittels der asymptotischen Formeln bestimmtwerden. So erhalt man:

Y J Y J = Y1 J Y J1 = Y J+1 Y+1 J =2x,

(26.34)

J H(1) J H(1)

= J1 H

(1) J H

(1)1 = J H

(1)+1 J+1 H

(1) =

2ix

,

(26.35)

H(2)

J H(2) J = H(2)1 J H

(2) J1 = H

(2) J+1 H

(2)+1 J =

2ix

,

(26.36)

H(1)

H(2) H(1) H(2)

= H

(1)1 H

(2) H(1) H

(2)1 = H

(1) H

(2)+1 H

(1)+1 H

(2) =

4ix.

(26.37)

In den obigen Relationen ist das Argument aller Zylinderfunktionen gleich x.

26.5.4 Umlaufsrelationen

Fur unganze Ordnung hat the Besselfunktion J(z) wegen des Vorfaktors (z/2) in der Rei-hendarstellung (26.2) an der Stelle z einen Verzweigungspunkt. Eine gleichartige Verzweigunghaben damit auch die Neumannfunktion Y(z) und die beiden Hankelfunktionen. Fur ganzzahli-ge Ordnung m haben die Neumannfunktion Ym(z) und die beiden Hankelfunktionen logarithmi-sche Verzweigungspunkte an z = 0. Wenn man eine analytische Fortsetzung dieser Funktionendurchfuhrt, indem man von einem reellen Punkt x > 0 ausgehend das Argument z auf einem Kreisvom Radius |z| = x um den Ursprung wieder zum Ausgangspunkt laufen lat, dann bekommendiese mehrdeutigen Funktion dort einen anderen Wert. Dieser lat sich durch die Ausgangswertender Zylinderfunktionen ausdrucken. Diese Relationen heissen Umlaufsrelationen. Naturlich istes nicht notig, dass diese Fortsetzung auf einem Kreis erfolgt. Es kann auch eine beliebige andere

9

Kurve sein, die um den Verzweigungspunkt, also den Ursprung, herumlauft. Wesentlich ist nur,dass die Phase des Arguments z um 2 zu- bzw. abnimmt. Der geschilderte Sachverhalt er-gibt sich bereits, wenn man nur von der positiven zur negativen rellen Halbachse fortsetzt, bzw.allgemeiner die Phase sich um andert; das gibt dann die Halbumlaufsrelationen.Wir betrachten ganz allgemein einen Zuwachs des Arguments um ein mit ganzzahligem n, alsoeinen halben Umlauf. Aus Gl.(26.2) ersieht man, dass J(z)/z eine ganze eindeutige Funktionist. Damit ergibt sich sofort fur beliebige Ordnung , bzw. fur ganzzahliges m:

J(einz) = ein J(z), Jm(einz) = (1)nm Jm(z). (26.38)

In den Gleichungen (26.7) werden alle drei anderen Zylinderfunktionen durch die Besselfunktionenausgedruckt. Damit gewinnt man die Umlaufsrelationen fur diese anderen aus der obigen:

Y(einz) = ein Y(z) + 2i sin(n) cot() J(z); (26.39)

H(1) (einz) =

i

sin()

[ei(n1) J(z) ein J(z)

]; (26.40)

= sin[(n 1)]sin()

H(1) (z) eisin(n)sin()

H(2) (z); (26.41)

H2(einz) = ei

sin(n)sin()

H(1) (z) +sin[(n+ 1)]

sin()H(2) (z). (26.42)

Fur ganzzahling Ordnung = m wird daraus:

Ym(einz) = (1)mn[Ym(z) + i 2n Jm(z)

], (26.43)

H(1)m (einz) = (1)mn

[H(1)m (z) 2n Jm(z)

], (26.44)

H(2)m (einz) = (1)mn

[H(2)m (z) + 2n Jm(z)

]. (26.45)

Die hinzutretende Besselfunktion ist eine Folge des logarithmischen Verzweigungspunkts der Neu-mannfunktion. Insbesondere ergeben sich die Halbumlaufsrelationen:

H(1) ( eiz) = ei H(2) (z), H(1)m ( eiz) = (1)m H(2)m (z); (26.46)

H(2) (eiz) = ei H(1) (z), H(2)m (eiz) = (1)m H(1)m (z).

26.6 Modifizierte Besselfunktionen

Die modifizierten Besselfunktionen werden herangezogen, um die Losungen der zeitfreien Diffu-sionsgleichung durch reelle Losungen mit reellen Argumenten darzustellen. Sie sind Besselfunk-tionen mit rein imaginarem Argument.

26.6.1 Die Differentialgleichung der modifizierten Besselfunktionen

Die zeitfreie Diffusionsgleichung 2 = 0

wird in ebenen Polarkoordinaten r, durch den Ansatz (r, ) = R(r) ei separiert, Dieresultierende Differentialgleichung fur die Radialfunktion lat sich mittels des Operators

L(i, ). :=d2.

d2+

1

d.

d+( 2

2

2

). (26.47)

10

folgendermaen schreiben:

L(i, r) R(r) =d2R

dr2+

1r

dR

dr+(2

2

r2

)R = 0 (26.48)

x := r = iy, R(r) = C(x) = Z(iy) (26.49)

2 L(i, x) C(x) = 2[d2

dx2+

1x

dR

dx+(1

2

x2

)]C(x) = 0, (26.50)

[d2

dy2+

1x

d

dy(

1 +2

y2

)]Z(iy) = 0. (26.51)

Also die Zylinderfunktionen Z(iy) mit imaginarem Argument erfullen die selbe Differentialglei-chung wie die Radiallosungen C(x) der zeitfreien Diffusionsgleichung.

26.6.2 Die modifizierten Zylinderfunktionen

Die modifizierten Zylinderfunktionen, das sind die Zylinderfunktionen mit rein imaginarem Ar-gument, werden zweckmaigerweise so definiert, dass man fur reelle Argumente reelle Funktionenerhalt. Es werden zwei Funktionen definiert:

I(x) = ei/2 J(ei/2 x), K(x) =

2i ei/2 H(1) (e

i/2 x). (26.52)

I(x) und K(x) sind reell fur reelles Argument x und reelle Ordnung ; sie sind Losungender folgenden Differentialgleichung, die sich von der Besselschen Differentialgleichung um dasVorzeichen der 1 unterscheidet:[ d2

dx2+

1x

d

dx 1

2

x2

]C(x) = 0. (26.53)

C(x) reprasentiert jede Linearkombination der beiden modifizierten Besselfunktionen mit kon-stanten Koeffizienten. K(x) wird manchmal Macdonald Funktion genannt. Fur nicht ganzzahli-ges bilden I(x) und I(x) ein vollstandiges Losungssystem; fur ganzzahliges m benotigt manIm(x) und Km(x). Aus (26.2) und (26.52) ergibt sich die Reihendarstellung der Funktion Im(x).

I(x) =(x

2

) k=0

1k! (+ k + 1)

(x2

)2k. (26.54)

Man sieht, diese Funktion ist positiv und mononton steigend fur positive x. Dies ist auch aus derasymptotischen Formel ersichtlich. Fur kleine |z| gelten folgende Formeln:

I(z) (z

2

) 1(+ 1)

+ O(z+1); (26.55)

|z| 1 : K(z) 12

(z2

)() + O(z+1); (26.56)

K0(z) ln(z/2) + O(1). (26.57)

26.6.3 Das asymptotische Verhalten der modifizierten Besselfunktionen

Ihr asymptotisches Verhalten fur groe x ist:

|x| 1, |x| : I(x) ex2x

, |arg(x)| < 2

; K(x)

2xex, |arg(x)| < 3

2.

(26.58)Die eben aufgezahlten Eigenschaften ersieht man auch aus den Graphen der Funktionen inAbb.26.6.

11

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

0.5

1

1.5

2

2.5

3ImHxL, KmHxL Modifizierte Besselfunktionen

K0

I0

K0

I1

K1

I2

K2

K13Besself.nb 1

Abbildung 26.6: Die modifizierten Besselfunktionen I0(x), I1(x), I2(x), K0(x), K1(x), K2(x).

26.6.4 Die Integraldarstellung der Funktion K(x).

Die modifizierte Besselfunktion K(z) wird durch folgendes Integral dargestellt:

K(z) =12

dt e z cosh t + t, 0. (26.59)

Aus dieser Integraldarstellung (26.59) wird auch die asymptotische Formel (26.58) von K0(z) furgroe z abgeleitet. Der Integrand hat sein Maximum an t = 0. Fur groe |z| klingt er sehr schnellab, d.h. nur eine kleine Umgebung von t = 0 tragt wesentlich zum Integral bei. Fur diese kleinenWerte von t reichen die ersten zwei Terme der Taylorreihe des cosh t, d.h.:

cosh t 1 + t2

2+ . . .

Das so genaherte Integral gibt mit der Substitution u := t

z2 :

K0(z) 12

dt e z [1+t2/2] =

e z

2

dt e z t2/2 =

e z

2

2z

du eu2

=

K(z) e z

2z, |z| , arg(z) < /2. (26.60)

Diese Formel gilt auch fur K(x) fur reelles . Denn dann steht im obigen vorletzten Integrandene z t

2/2+ t statt e z t2/2. Der zweite Term kann durch eine Translation in der Integrationsva-

riablen entfernt werden, ohne dass sich der Wert des Integrals andert.

Die entsprechende asymptotische Formel fur I(z) lautet:

I(z) ez

12 z

, |z| , arg(z) < /2.

12

26.6.5 Rekursionsformeln fur Ableitungen

Wegen einer ungluckliche Definition der MacDonalfunktion K haben I und K unterschiedlicheRekursionsrelationen:

2zI(z) = I1(z) I+1(z),

2zK(z) = K+1(z) K1(z); (26.61)

I (z) =12

(I+1(z) + I1(z)

), K (z) =

12

(K+1(z) + K1(z)

)(26.62)

= I+1(z) +

zI(z) = K+1(z) +

zK(z) (26.63)

= I1(z)

zI(z) = K1(z)

zK(z) (26.64)

Wir benotigen auch die folgenden Ableitung:d

dz

[z K(z)

]= z K+1(z),

d

dz

[z I(z)

]= z I+1(z), = const.

(26.65)

26.6.6 Die Wronskische Determinante der modifizierten Besselfunktionen

Die Wronskische Determinante ist:

I(z) K (z) I (z) K(z) = 1z. (26.66)

Diese Resultat erhalt man aus Gl.(26.33) und aus (26.58).

psi

Abbildung 26.7: Winkel und Seiten fur die Variablen im Additionstheorem (26.67).< = Min[, ], > = Max[, ].

26.6.7 Ein Additionstheorem

Fur die in der Zeichnung angegebenen Winkel und Seiten eines Dreiecks gilt das folgende Addi-tionstheorem:

K(P ) ei =

m=eim(

) K+m(>) Im(

26.7 Spharische Besselfunktionen

Die Radialfunktion der Helmholtzgleichung in spharischen Koordinaten lat sich ebenfalls durchBesselfunktionen ausdrucken.

26.7.1 Die Separation der Helmholtzgleichung in Kugelkoordinaten

Die Helmholtzgleichung des dreidimensionnalen Raumes mit den Kugelkoordinaten r, , :

+ k2 =[2

r2+

2r

r+

1r2

2 + k2] = 0 (26.68)

wird durch den Ansatz = R(r) Y`,m(, ) separiert. Die Kugelflachenfunktionen Y`,m(, ) sindEigenfunktionen des Operators 2 zum Eigenwert `(`+ 1):

2Y`,m(, ) =[

1sin

(sin

)+

1sin2

2

2

]Y`,m(, ) = `(`+1) Y`,m(, ). (26.69)

Mit x := kr und R(r); = z`(x) erhalt man folgende Differentialgleichung fur die Radialfunktion:[d2

dx2+

2x

d

dx `(`+ 1)

x2+ 1

]z`(x) = 0. (26.70)

Diese Differentialgleichung kann in eine Besselsche transformiert werden. Dazu soll in dem Ansatzz`(x) := w(x) Z(x) die Funktion w(x) geeignet bestimmt werden.

z`(x) := w(x) Z(x),

z`(x) = w Z + w Z ;

z` (x) = w Z + 2 w Z (x) + w Z

2xz`(x) =

2w

xZ +

2xw Z

`(`+ 1)x2

= `(`+ 1)x2

w Z

z`(x) = w(x) Z(x)

0 = ... s. nachste Gl.

0 = w Z + 2(w + 1x w

)Z +

(w + 2x w

`(`+1)x2

w)Z + w Z =

= w[Z + 2

(w

w +1x

)Z +

(w

w +2xw

w `(`+1)x2

)Z + Z

]=

!= w[Z +

1x Z

2

x2Z + Z

]Die letzten zwei Zeilen der zweiten Kolonne der rechten Seite liefern eine Differentialgleichungfur w(x):

2w

w+ 2

1x

=1x

:w

w= 1

2x, lnw = 1

2lnx, w(x) =

1x.

Daraus folgt:w

w= 1

2x,

w

w=

34x2

.

Damit liefern die letzten zwei Zeilen der dritten Kolonne der rechten Seite des obigen Schemas:

w

w+

2x

w

w `(`+ 1)

x2=

2

x2:

34x2

1x2 `(`+ 1)

x2=

2

x2

`(`+ 1) + 1 34

= `2 + ` +14

=(` +

12

)2= 2.

14

Daraus ergibt sich: Die Transfomationsfaktor w(x) verwandelt die Differentialgleichung (26.70),die die Radialfunktionen bestimmt, in eine Besselsche Differentialgleichung mit der Ordnung = `+ 1/2.

26.7.2 Die Differentialgleichung der spharischen Besselfunktionen

Diese lautet also:

1x

[ d2dx2

(x z`(x)

)+

(1 `(`+ 1)

x2

)(x z`(x)

)]= 0,

(26.71)d2

dx2z`(x) +

2x

d

dxz`(x) +

(1 `(`+ 1)

x2

)z`(x) = 0.

Aus der ersten Gleichung ersieht man, dass mit z`(x) auch z`1(x) eine Losung ist.

26.7.3 Die spharischen Besselfunktionen

Der noch unbestimmte konstante Faktor wird so festgelegt, dass sich eine besonders einfacheForm der sparischen Besselfunktionen ergibt:

z`(x) :=

2xZ`+1/2(x), (26.72)

Fur Z kann man J, Y, H(1) oder H(2) wahlen, demensprechend schreibt man auf der linken Seitedie entsprechenden Kleinbuchstaben. In den meisten Anwendungen ist ` ganzzahlig. Dann sindalle j`(x) mit ` Z voneinander unabhangig. Fur ein gegebenes ` bilden j`(x) und j`1(x) einvollstandiges Losungssystem; die n`(x) werden gar nicht benotigt; wohl aber h

(1)` (x) und h

(2)` (x)

wegen des unterschiedlichen Ausstrahlungsverhaltens.

Mit (3/2 + ) = 1 3 5...(2 + 1)/2+1 wird aus (26.72) und (26.2:

j0(x) =

2x

x

2

n=0

(1)n x2n 2n+1

22nn! 1 3 5...(2n+ 1)

=1x

n=0

(1)n x2n+1

(2n+ 1)!=

sinxx

. (26.73)

Eine analoge Rechnung fuhrt fur ` = 1 auf j1(x) = cosxx . Das gibt dann auch die spharischenHankelfunktionen:

j0(x) =sinxx

= y1(x) =1

2ix(eix eix

)=

12

(h

(1)0 + h

(2)0

), (26.74)

j1(x) =cosxx

= y0(x) =1

2x(eix + eix

)=

12

(h

(1)1 + h

(2)1

); (26.75)

y`(x) = (1)`1 j`1(x). (26.76)

Die entsprechenden Funktionen fur alle anderen ganzzahligen Ordnungen berechnet man aus derRekursionsformel (26.81). Alle sind sie trigonometrische Funktionen oder imaginare e-Potenzendividiert durch ganzahlige Potenzen von x, s.Tabelle unten. Die obigen Formeln zeigen, dassdie spharischen Neumannfunktionen y`(x) bereits unter den j`(x) vorkommen; dies ist klar: Furunganzes sind die gewohnlichen Besselfunktionen J(x) und J(x) voneinander linear un-abhangig.

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Tabelle 26.1: Tabelle einiger spharischer Besselfunktionen

` j`(x) = ()`y`1(x) h(1,2)` (x)

2 cosxx2 sinxx e

ix ( 1x2 ix

)1 cosxx e

ix 1x

0 sinxx eix ( 1ix)

1 sinxx2 cosxx e

ix ( ix 1x2 )2 3 sinx

x3 3 cosx

x2 sinxx e

ix ( 3ix3 3

x2 ix

)

Fur ganzzahliges ` konnen z`(x) und z`(x) durch Differentiation aus z0(x) abgeleitet werden:

z`(x) = (x)`(

1x

d

dx

)`z0(x), (a) z`(x) = x`1

(1x

d

dx

)` (xz0(x)

). (b) (26.77)

Der Beweis der ersten Relation wird fur j`(x) gefuhrt:

j`(x)/(x

2

)`=

2

k=0

(1)k

k! (`+ k + 3/2)

(x2/2

2

)k dnd(x2/2)nDie rechte Seite des resultierende Ausdrucks gibt dann mit s = k n :

k=0

(1)k k(k 1)...(k n+ 1)k! 2k (`+ k + 3/2)

(x2

2

)kn=

(1)n

2n

s=0

(1)s

s! (`+ n+ s+ 3/2)

(x2

)2s=

=(1)n

2nJ`+n+1/2

(x/2)`+n+1/2

d(x2/2) = x dx. Im obigdn Resultat setzen wir ` = 0; danach ersetzen wir n durch ` undbekommen Gl.(26.77)(a). Differenziert man J(x)(x/2) nmal nach x2/2 ergibt sich

Jn+(x) = xn(

1x

d

dx

)n (J x

).

Damit ist Gl.(26.77)(b) bewiesen.

26.7.4 Rekursionsformeln der spharischen Besselfunktionen

Aus den Rekursionsformeln (26.17) bis (26.19 )und der Definition (26.72) ergeben sich folgendeRekusionsformeln:

d

dxz`(x) =

`

xz`(x) z`+1(x) =

`+ 1x

z`(x) + z`1(x) = (26.78)

= `+ 12`+ 1

z`+1(x) +`

2`+ 1z`1(x); (26.79)

d

dxz`(x) =

` 1x

z`(x) + z`1(x); (26.80)

(2`+ 1)1xz`(x) = z`+1(x) + z`1(x). (26.81)

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26.7.5 Das asymptotische Verhalten der spharischen Besselfunktionen

Dies folgt aus (26.8) bis (26.10) und der Definition (26.72):

h(1,2)` (x) =

1xei[x(2+1)/2], < arg x < 2, 2 < arg x < . (26.82)

j`(x) =1x

cos[x (2`+ 1)/2], < arg x < ; (26.83)

n`(x) =1x

sin[x (2`+ 1)/2], < arg x < ; (26.84)

26.7.6 Wronskische Determinanten der spharischen Besselfunktionen

Die Wronskischen Determinanten der spharischen Besselfunktionen findet man nach der gleichenVorgangsweise wie sie bei Gln.(26.37) angewendet worden ist. Damit erhalt man:

z(x) z`(x) z(x) z`(x) = C/x2.

Die Konstante C bestimmt man, indem man die asymptotischen Formeln fur die z` einsetzt. Dasgibt folgende Resultate:

j(x) j`(x) j(x) j`(x) = sin[(` )/2]/x2, (26.85)

j`(x) j`(x) j`(x) j`(x) = sin(`)/x2, (26.86)

n`(x) j`(x) n`(x) j`(x) = 1/x2, (26.87)

h(1)

` (x) h(2)` (x) h

(1)` (x) h

(2)

` (x) = 2i/x2, (26.88)

h(1)

` (x) j`(x) h(1)` (x) j`(x) = i/x

2, (26.89)

h(2)

` (x) j`(x) h(2)` (x) j`(x) = i/x

2. (26.90)

26.8 Literatur

[26.1] Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, 1965.Milton Abramowitz, Irene A. Stegun und Michael Danos: Pocketbook of MathematicalFunctions. Harri Deutsch, 1984.

[26.2] Frank W. J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert and Charles W. Clark:NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press, 2010.

[26.3] G.N. Watson: A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press,1995.

[26.4] A. Sommerfeld: Vorlesungen ber Theoretische Physik, Bd.6, Partielle Differentialgleichun-gen in der Physik. Harri Deutsch, 1992.

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