Eserciziario FDA

7/25/2019 Eserciziario FDA

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3. Si considerino i seguenti prodotti fra le matrici precedentemente introdotte:

) QZ ) ZQ ) QQ Z (dove M indica la trasposta della matrice M ).

Si dica in quali casi ce compatibilit`a fra le dimensioni delle matrici (ossia, il prodotto indicatoha senso) e, nei casi in cui e possibile eseguire il prodotto, indicare le dimensioni della matrice risultante.

Esercizio 3 Si considerino le seguenti matrici:

A1 = 1 10 2

, A2 = 1 21 2

, A3 = 3 00 3

, A4 = 1 41 3

, A5 = 1 5

2 3.

1. Calcolare la traccia, il determinante, il polinomio caratteristico e gli autovalori di ognuna delle matrici date.

2. Si dica quali delle matrici date sono invertibili e, di quelle invertibili, si calcoli la matrice inversa.

3. Si dica quali delle matrici A i , i = 1 , . . . , 4, sono diagonalizzabili. Effettuare poi la diagonalizza-zione di ognuna delle matrici Ai diagonalizzabili (ossia, calcolare una matrice T i invertibile ed una matrice D i diagonale tali che T 1i Ai T i = D i ).

4. Calcolare due matrici T 5 C 22 e D5 C 22 , D 5 matrice diagonale, tali che T 15 A5 T 5 = D5 .Esercizio 4 Sia data la matrice

M =0 1 00 0 1

18 3 6e sia s C un parametro.

1. Calcolare il polinomio caratteristico di M .

2. Calcolare (sI M )1 .

1.3 Numeri C omplessi

Esercizio 5 Si considerino i seguenti numeri C omplessi:

z1 = 3 + j z2 = 3 j z3 = 1 3 j z4 = 4z5 = 2 2ej/ 4 z6 = 2ej/ 2 z7 = 3ej 0 z8 = ej 2/ 3 .1. Rappresentare zi , i = 1, . . . , 8, sul piano C omplesso (disegnare un solo piano C omplesso su cui

rappresentare tutti i numeri dati).

2. Determinare z9 = z1 , z10 = z2 , z11 = z4 e rappresentarli sul medesimo piano C omplessoimpiegato per il punto precedente.

3. Calcolare: z1 + z3 , z1 + z4z3 , z1 z3 , z12 = 2 z1 , z13 = z1 , z1 z1 , z3/z 1 e z3 /z 2 . Rappresentare inoltre i numeri z12 e z13 sul piano C omplesso impiegato nei punti precedenti.

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4. Scrivere lespressione di z14 = z5 e rappresentare anchesso sul piano C omplesso. Calcolare poi z5

z6 e z5/z 6 .

5. Scrivere i numeri C omplessi zi , i = 1, . . . , 4, in forma polare.

6. Scrivere i numeri C omplessi zi , i = 5, . . . , 8, in forma cartesiana.

7. Calcolare z1 + z5 e z1 z 3 z 8z 5 .

2 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo continuo

Esercizio 6 Si considerino i seguenti sistemi dinamici:

S 1 :x1(t) =

x1(t) + 2 x3(t)

x2(t) = x1(t) + x2 (t) + x3 (t) u(t)x3(t) = 2x1(t) + x3(t) + 2 u(t)y(t) = x2(t) + 4 x3(t)

S 2 :

x1(t) = x22 (t) + u(t)

x2(t) = 0x3(t) = x1 (t) + x2 (t) x3(t) + 2 u(t)y1(t) = x1(t)y2(t) = x2(t) + u(t)

S 3 : x(t) = 5x(t)y(t) = x(t) S 4 :

x1(t) = 2 x2(t) + u1(t)x2(t) = x1(t) + 3 x2 (t)y(t) = x1(t) + u2(t)

1. Classicare ognuno dei sistemi dati specicandone lordine e compilando la seguente tabella (alle domande 3. e 4. si risponda solo se il sistema non e autonomo):

1. Il sistema e lineare? S I NO

2. Il sistema e autonomo? S I NO

3. Il sistema e strettamente proprio? S I NO

4. Il sistema e SISO? S I NO

(2)

2. Fra i sistemi dati, si considerino adesso quelli lineari: si specichino le matrici A, B , C e D.

Esercizio 7 Si consideri un veicolo elettrico rappresentato per mezzo del seguente modello che de-scrive come la sua velocit a v e lo stato di carica della batteria variano nel tempo e sono inuenzati dallangolo di apertura della manopola dellacceleratore:

(t) = 1 (t), v(t)v(t) = 2 v(t), (t) ,

dove si suppone che le funzioni 1 e 2 siano note. Si vuole impiegare tale modello per lo studio di come luso della manopola inuenzi lo stato di carica della batteria.

1. Scrivere una rappresentazione in forma di stato per il modello del sistema considerato (dunque,in particolare, si specichino le variabili di stato x , le variabili dingresso u e di uscita y).

2. Classicare il sistema specicandone lordine e compilando la Tabella (2).

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Esercizio 8 Si consideri lequazione differenziale di ordine 2 che descrive la dinamica di un pendolodi lunghezza l e massa m in presenza di attrito e in assenza di sollecitazioni esterne:

(t) = kml 2

(t) gl sin (t) ,

dove k > 0 e il coefficiente di attrito e e langolo compreso fra lasta del pendolo e la verticale. Si supponga di essere interessati a studiare landamento nel tempo sia della posizione del pendolo che della sua energia cinetica.

1. Scrivere una rappresentazione in forma di stato per il modello del sistema considerato (in particolare, si specichino le variabili di stato x , le variabili dingresso u e di uscita y).

2. Classicare il sistema ottenuto specicandone lordine, compilando la Tabella (2) e indicando la dimensione della variabile di uscita.

3. Sulla base della propria esperienza (quindi, senza fare conti ) tracciare un disegno qualitativodella traiettoria dello stato nei due casi seguenti:

) A partire dalla condizione iniziale (0) = / 2 e (0) = 0 ;

) A partire dalla condizione iniziale (0) = e (0) = 0 .

In entrambi i casi, sulla base del disegno tracciato, si dica poi quanto valgono

limt+

x(t) e limt+

y(t).

4. Si risponda nuovamente alla domanda precedente nel caso in cui k = 0 (cioe, in assenza di attrito).

Esercizio 9 Sulla base della propria conoscenza, esperienza ed intuizione, si dica quali dei seguenti esempi sono sistemi statici e quali sono sistemi dinamici:

A. Un conto in banca (ingresso: u = versamenti/prelievi; uscita: y = il saldo del conto);

B. Un rubinetto ( u = posizione della manopola; y = portata dacqua);

C. Il prezzo di un bene ( u = tasso di produzione del bene stesso; y = prezzo del bene);

D. Un ghiacciaio ( u = accumuli di neve; y = posizione della fronte del ghiacciaio);

E. Il sistema che descrive la relazione che esiste fra la forza agente su un corpo di massa m e laccelerazione del corpo stesso ( u = la forza; y = laccelerazione).

Esercizio 10 Con riferimento ad uno stato di equilibrio x R n per un sistema dinamico autonomo

x(t) = f x(t) , x R n ,

si diano le denizioni di: stato di equilibrio stabile, stato di equilibrio instabile, stato di equilibrioasintoticamente stabile e stato di equilibrio semplicemente stabile.

Esercizio 11 Si consideri il seguente sistema dinamico:

x(t) = x(t)u(t)y(t) = x2 (t).

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Si supponga che x(0) = 1 e u(t) = sca( t).

1. Calcolare il movimento dello stato e delluscita.2. Calcolare i movimenti libero e forzato dello stato e delluscita corrispondenti, rispettivamente,

a x(0) = 1 e a u(t) = sca( t). Quindi vericare che non e vero che la loro somma fornisce il movimento complessivo dello stato e delluscita (e dunque, per tale sistema, non e valido il principio di sovrapposizione degli effetti ).

3. Analizzare le propriet`a di stabilit a del movimento dello stato calcolato al punto 1 (specicare,cioe, se si tratta di un movimento asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile).

Esercizio 12 Sia dato il sistema lineare

x(t) = Ax(t), x R n

x(0) = x0.

1. Vericare che se x0 e tale che Ax0 = x 0 , R (ossia, x0 e un autovettore per la matrice Arelativo allautovalore ), allora il corrispondente movimento dello stato del sistema e dato da

x(t) = et x0 .

2. Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema:

x(t) = 2 2

2 3x(t)

x(0) = 21

.

e rappresentare la corrispondente traiettoria nello spazio di stato.

Esercizio 13 Si consideri il sistema dinamico

x(t) = ax (t) + bu(t), x R , u R . (3)

1. Calcolare il movimento forzato dello stato corrispondente al segnale dingresso

u(t) = u per 0 t < t0 per t t.

(4)

2. Landamento nel tempo del numero di impiegati in una grossa azienda in funzione del tasso di assunzioni e modellizzato dalla seguente equazione differenziale:

(t) = (t) + (t), > 0, > 0.Supponendo che (0) = 0 e

(t) = per 0 t < 100 per t 10,

calcolare (t) per t 0.3. Con riferimento al serbatoio rappresentato in Figura 1, landamento nel tempo del livello h di

liquido allinterno di esso in funzione della portata dingresso p e modellizzato attraverso la

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Figura 1: Il sistema serbatoio considerato nellEsercizio 13.3.

seguente equazione differenziale:

h(t) = h (t) + p(t), > 0, > 0.Supponendo che h(0) = h0 e

p(t) = p per 0 t < 20 per t 2,

calcolare h(t) per t 0.4. Per valori non troppo elevati della velocit`a v, la dinamica del moto di un grave di massa m

in un mezzo viscoso sotto leffetto di una forza F parallela alla direzione del moto pu`o essere descritta dalla seguente equazione differenziale:

v(t) = m

v(t) + 1m

F (t),

dove > 0 e il coefficiente di attrito. Supponendo che v(0) = v0 e

F (t) = F per 0 t < 30 per t 3,

calcolare v(t) per t 0.5. Si consideri nuovamente il movimento forzato dello stato calcolato in 1 e si considerino i par-

ticolari segnali dingresso (4) in cui u = 1 / t. Si noti che, al variare di t > 0, e cos denito un insieme innito di segnali dingresso.

Si disegni il graco di u(t) nei tre casi in cui t = 2 , t = 1 e t = 1/ 2.

Si scriva lespressione del movimento forzato dello stato corrispondente al generico segnale dingresso nellinsieme considerato. Si indichi tale movimento con xF, t (t) (dove la presenza dellindice t richiama il valore del parametro t che individua il segnale dingresso che ha generato tale movimento forzato) e, nel caso in cui a < 0, si tracci un graco qualitativodella funzione x F, t (t).

Per ogni ssato t > 0, si calcoli il seguente limite 1 :lim

t0+xF, t (t)

1 Questa domanda sottintende difficolt` a signicativamente superiori a quelle che ci si aspetta che gli studenti delcorso siano in grado di affrontare. Vale comunque la pena di provare a rispondere in quanto e pi` u difficile comprenderela domanda ed il suo signicato sico che non risolverla.

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quindi, posto gx (t) = lim t0+ xF, t (t), si tracci il graco di gx (t) nei tre casi a > 0, a = 0 e a < 0 (la funzione gx (t) rappresenta la risposta forzata del sistema ad un ingresso del tipoconsiderato in (4) nel limite per t 0+ [ ]).

Esercizio 14 Analizzare la stabilità del sistema lineare scalare x(t) = ax (t) al variare di a R .

Esercizio 15 Siano Ai , i = 1, . . . , 5, le matrici denite nellEsercizio 3, si ponga inoltre:

A6 = A2 ; A7 =1 0 21 1 12 0 1

; A8 =2 17 01 6 00 0 3

.

Per ognuno dei diversi casi in cui A = A i , i = 1, . . . , 8, si consideri il sistema dinamico

x = Ax + Buy = Cx + Du

e si risponda alle seguenti domande:

1. Analizzare la stabilità del sistema.

2. Scrivere lespressione dei modi naturali del sitema.

Esercizio 16 Si considerino i sistemi dinamici lineari i , i = 1 , . . . , 4. Si supponga che:

il sistema 1 abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: 1(t) = e2t , 2 (t) = e10 t , t 0; il sistema 2 abbia tra i suoi modi la funzione (t) = et , t 0, e che tale modo abbia

molteplicit a pari a 2.

il sistema 3 abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: 1(t) = e5t , 2(t) = et cos(4t), t 0; il sistema 4 abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: 1(t) 1, 2(t) = t2e3t , t 0.

Si supponga inoltre che i sia di ordine il pi u piccolo possibile compatibilmente con lesistenza dei modi sopra specicati.

1. Stabilire qual e lordine di ognuno dei sistemi i ed elencarne tutti i modi naturali.

2. Analizzare la stabilità di ognuno dei sistemi i .

3. Nei casi i = 1, 2, 3, scrivere un esempio numerico di matrice A compatibile con le informazioni sul sistema i .

Esercizio 17 Scrivere un esempio numerico di sistema dinamico avente tutte le seguenti caratte-ristiche: il sistema e lineare, stabile ma non asintoticamente stabile, abbia almeno un modo naturale convergente a 0 per t + , abbia 1 ingresso e 2 uscite, non sia strettamente proprio, sia di ordine minimo possibile.

Esercizio 18 Per valori positivi ed elevati della velocit a, lequazione differenziale che descrive la dinamica del moto verticale di un grave di massa m in un mezzo viscoso sotto leffetto della forza di gravit a e

v(t) = m

v2 (t) + g,

dove > 0 e il coefficiente di attrito viscoso e g = 9.8 m/ s2 e laccelerazione di gravità.

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1. Classicare il sistema specicandone lordine e compilando la tabella (2).

2. Posto m = 100 Kg e supponendo che v(0) > 0, calcolare limt+ v(t). Determinare poi i valori di che garantiscono che tale limite sia maggiore di 330 m/s (cioe, circa la velocit` a del suono).


x(t) = x3 (t) x(t)u(t)y(t) = sin x(t) + u2(t).

1. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti allingresso costante u(t) 1.Scivere lespressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri.

2. Valutare le propriet` a di stabilit a degli equilibri determinati.

Esercizio 20 Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione differenziale:

(t) + (t)sin (t) 2(t) + (t)u(t) = 0 .1. Supponendo che sia la variabile di uscita, si dia una rappresentazione in forma di stato del

sistema dato.

2. Calcolare i valori di equilibrio delluscita in corrispondenza dellingresso costante u(t) 4 e si analizzi la stabilit a dei corrispondenti stati di equilibrio.


x1(t) =

x1(t)

x2 (t) + 8 u1(t)

x2(t) = x2(t)u21(t) + 2 x1(t) + u2(t)y(t) = x1 (t) + x2(t).

(5)

1. Classicare il sistema specicandone lordine e compilando la tabella (2).

2. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti a u(t) u = 20

.

3. Scrivere lespressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio (x, u) determinata e valutarne le propriet`a di stabilit a. Si dica poi se la seguente affermazione e vera o falsa: inpresenza del segnale dingresso u(t) u, qualunque sia la condizione iniziale x(0) R 2 , ilcorrispondente movimento dello stato x(t) per il sistema (5) e tale che lim t

+

x(t) = x.

Esercizio 22 Un braccio robotico elementare di lunghezza l e massa m puo essere modellizzato come un pendolo (vedi Esercizio 8, useremo qui la stessa notazione). Supponiamo che la posizione di tale braccio robotico possa essere controllata mediante lapplicazione di una coppia u. Il sistema dinamicoche descrive la dinamica di tale braccio robotico e dunque dato da:

x1(t) = x2(t)x2(t) = kml 2 x2(t) gl sin x1(t) + 1ml 2 u(t)y(t) = x1(t),

dove k > 0 e il coefficiente di attrito.

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1. Determinare un valore di coppia u che permetta di mantenere il braccio robotico in equilibrioalla posizione x1 =

4.

2. Vericare che, in presenza della coppia costante determinata al punto precedente, il braccio robo-tico tende a riportarsi nella sua posizione di equilibrio anche nel caso in cui piccole perturbazioni transitorie dovessero eventualmente spostare il braccio dalla sua posizione di equilibrio.

Esercizio 23 Si consideri nuovamente il serbatoio rappresentato in Figura 1 e si supponga che essosia cilindrico con sezione di area . Se il moto del liquido che fuoriesce dal serbatoio e turbolento,lequazione differenziale che descrive la dinamica del livello h di liquido presente nel serbatoio in funzione della portata dingresso p e data da:

h(t) = h(t) + p(t), > 0, = 1 > 0.Siamo interessati a studiare landamento nel tempo del volume di liquido presente nel serbatoio.

1. Scrivere un modello in forma di stato per tale sistema.

Si supponga da ora in avanti che = 5/ 12, = 1/ 2 (ossia, = 2).

2. Determinare il valore u della portata p tale che la corrispondente uscita di equilibrio sia y = 8 .

3. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale equilibrio e si valutino le propriet` a di stabilit a dellequilibrio.

4. Si supponga che h(0) = 4 e che p(t) = u + 110 sca(t): impiegare il modello linearizzato trovatonel punto precedente per determinare limt+ h(t). Calcolare poi limt+ h(t) impiegando il modello non lineare. Perche i due risultati sono differenti? Quale dei due risultati e da ritenersi piu attendibile?

Esercizio 24 Si consideri il sistema lineare che appare nella soluzione dellEsercizio 17.

1. Calcolare il movimento dello stato a partire dalla condizione iniziale

x(0) = 1

2ed in corrispondenza del segnale dingresso u(t) = e2t sca(t).

2. Calcolare la funzione (matrice) di trasferimento del sistema.

3. Calcolare il movimento delluscita a partire dalla stessa condizione iniziale del punto 1 ed in corrispondenza del segnale dingresso u(t) = sca(t) .

Esercizio 25 Si risolva nuovamente lEsercizio 13.1 impiegando i metodi basati sulla trasformata di

Laplace ed osservando che il segnale dingresso specicato nellequazione (4) puo essere riscritto nella seguente forma

u(t) = u sca(t) u sca( t t ).Esercizio 26 Si consideri il seguente sistema dinamico:

x1 (t) = x1(t) x2(t) + 1 + x2 (t)

x2 (t) = x1(t) + x22 (t) x2(t).

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1. Determinare gli stati di equilibrio del sistema e lespressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri.

2. Sia x(t) = Ax(t) il sistema linearizzato determinato in 1: calcolare la matrice eAt e valutare le propriet a di stabilit a del sistema. Dire se da tale analisi e possibile trarre conclusioni circa le propriet a di stabilit a del corrispondente equilibrio del sistema nonlineare.

3. Impiegando il modello linearizzato, calcolare il movimento dello stato e rappresentarne la cor-rispondente traiettoria nello spazio di stato nei due casi corrispondenti alle seguenti condizioni iniziali:

) x(0) = 22

;

) x(0) = 1

0.

Esercizio 27

1. Scrivere un esempio numerico di sistema lineare di ordine pi` u piccolo possibile in modo tale che tutti i seguenti requisiti siano soddisfatti: il sistema sia SISO, in corrispondenza dellingressocostante u(t) 0 esso ammetta inniti stati di equilibrio, tutti i movimenti dello stato del sistema siano instabili e la sua funzione di trasferimento sia strettamente propria.

2. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema prescelto e se ne specichi lordine, i poli, gli zeri e il grado relativo. Si dica inoltre se il sistema prescelto ha parti nascoste.

3. Per il sistema prescelto, si ssi poi una condizione iniziale x(0) e si scriva il codice Matlab che

permette di tracciare il graco del movimento libero della prima componente dello stato a partire da tale condizione iniziale.

Esercizio 28 Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema dinamico:

x(t) = 3 12 1

x(t)

x(0) = 1

1.

Esercizio 29 Si consideri il seguente sistema lineare:

x(t) = Ax(t) + B1u(t) + B2w(t), xR n

, uR m

, w R q

,dove A e una matrice i cui autovalori sono tali che e() < 0. Sia x,

x : R + R nt x(t),

il movimento dello stato determinato da una data condizione iniziale x(0) = x0 , da un dato segnale dingresso u ,

u : R + R mt u(t),

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

t

y F

( t )

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

t

y F

( t )

(b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

t

y F

( t )

(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

t

y F

( t )

(d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 42

1

0

1

2

3

t

y F

( t )

(e)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

12

3

4

t

y F ( t )

(f)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

t

y F

( t )

(g)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

t

y F

( t )

(h)

Figura 2: Con riferimento allEsercizio 32.3, graci ipotetici della risposta allo scalino.

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Esercizio 32 (Variazione dellEsercizio 2 del compito del 7-9-2012) Sia dato il seguente si-stema dinamico:

x1 (t) = 2 x1 (t) 4x2(t) + u(t)x2 (t) = 7 x1 (t) 9x2(t) + 2 u(t)y(t) = 2 x1(t).

1. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema e dire se il sistema e asintoticamente stabile,semplicemente stabile oppure instabile.

2. Calcolare limt+ y(t) in corrispondenza dei seguenti segnali dingresso:

u1(t) = 5 sca( t); u2(t) = (t);

u3(t) = 5 sca( t 1); u4(t) = 2 u1(t) + u2(t) u3(t).3. Sia yF (t) la risposta allo scalino del sistema ossia, luscita forzata corrispondente allingresso

u(t) = sca( t) . Calcolare limt0+ yF (t), limt0+ yF (t) e dire quale tra quelli riportati in Figura 2 e il graco corretto di yF (t).

4. Sia g(t) la risposta allimpulso del sistema: determinare limt0+ g(t) e limt+ g(t). Inoltre,sfruttando opportunamente la conoscenza del graco della risposta allo scalino determinata al punto precedente, si tracci un graco qualitativo dellandamento di g(t).

Esercizio 33 Sia dato il sistema lineare

x1(t) = 2 x1(t) + u(t)x2(t) = x1(t) x2(t) 2u(t)y(t) = x1(t) 2x2(t).

(6)(7)

1. Calcolare la funzione di trasferimento T yu (s) del sistema e specicarne i valori dei poli e degli zeri; calcolare il guadagno statico del sistema.

2. Considerare il sistema come linterconnessione di due sottosistemi, il primo di equazione (6)(con variabile di uscita y1 = x1), il secondo di equazione (7) (con variabile di uscita y2 = x2).Rappresentare i due sottosistemi mediante uno schema a blocchi, quindi rappresentare il sistema complessivo mediante lo schema a blocchi ottenuto interconnettendo i due schemi relativi ai sottosistemi. Inne, impiegare tale schema per il calcolo della funzione di trasferimento T yu (s).

3. Calcolare luscita forzata del sistema nei seguenti casi e tracciarne un graco qualitativo che ne evidenzi landamento per t + e per t 0+ :

u1(t) = (t); u2(t) = et sca(t); u3(t) = u1(t) u2(t).

4. Analizzare le propriet`a di stabilit a dei tre movimenti forzati dello stato corrispondenti ai tre ingressi considerati sopra.

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Figura 4: Rappresentazione mediante schema a blocchi del sistema considerato nellEsercizio 35.

Figura 5: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nellEsercizio 35.1.

3. Tra i sistemi R(s) determinati al punto precedente, si consideri quello in cui = 5 : sapendoche in tal caso il polinomio caratteristico del sistema retroazionato si fattorizza nella forma

pcl (s) (s + 10 .05)(s2 + 0 .95s + 0 .50), (8)

tracciare landamento qualitativo delluscita yF (t) nei seguenti casi:

yo(t) = sca( t) e w(t) 0; yo(t) 0 e w(t) = sca( t).

Inne, calcolare limt+ yF (t) quando yo(t) = sca( t) e w(t) = sca( t).

Esercizio 36 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento:

G1 (s) = 100(s + 5)

(s + 1 / 2)(s + 10); G2(s) =

90s(s 2)5s2 + 12 s + 180

; G3(s) = 2s 1

(s 15 )2(s + 1) 2;

G4 (s) = 1

(s + 1)( s 1); G5(s) = 20

s + 2s2 + s + 4

; G6(s) = 100(s2 + 1)

(s + 0 .1)(s2 + 2 s + 100).

1. Per ognuna di esse, scrivere lespressione della risposta in frequenza.

2. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali).

3. Si consideri il sistema G6(s) e si supponga che esso non abbia parti nascoste: si dica se per tale sistema e possibile applicare il Teorema della risposta armonica e, in caso affermativo, si calcoli luscita di regime yR (t) in corrispondenza dei due seguenti segnali dingresso:

-

Figura 6: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nellEsercizio 35.2-3.

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Esercizio 39 In Figura 9.(a), e rappresentato il graco di un segnale w(t).

1. Osservando il graco di w(t) si nota che, specialmente per t 5 s, il segnale ha un andamentorapidamente variabile dovuto alla presenza di armoniche ad alta frequenza. Si stimi intorno a quale pulsazione si trovano le armoniche costituenti il segnale e che originano landamentoosservato. A tal ne si proceda nel modo seguente: si stimi il periodo delle rapide oscillazioni presenti nel segnale w(t) e si impieghi la formula T = 2/ il periodo puo essere stimato a partire dal conto del numero di oscillazioni presenti in un dato intervallo di tempo .

2. In Figura 9.(bd), sono riportati gli spettri di tre segnali. Si dica quale di questi spettri e quellodel segnale w(t).

3. Si considerino i seguenti ltri:

G1 (s) = 5s + 5 , G2(s) =

10s + 5 , G3(s) =

50s(s + 5)( s + 50) e G4(s) =

3s(s + 10)(s + 50) 2 .

Per ognuno di essi si tracci il diagramma di Bode del modulo, si dica di che tipo di ltro si tratta e se ne calcoli la banda passante.

4. Si consideri il sistema rappresentato in Figura 10 nei 4 casi in cui G(s) = G i (s), i = 1 , . . . , 4:per ognuno di essi, landamento delluscita forzata corrispondente al segnale dingresso w(t) e rappresentato in Figura 11 con una linea rossa. Si determini la giusta associazione fra i sistemi G i (s) e i 4 graci in Figura 11.

Esercizio 40 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento:

L1(s) = 100(s + 5)(s + 1 / 2)(s + 10); L2(s) = 100(s + 1 / 2)(s + 5)( s + 10)

; L3(s) = s + 1002(s + 5)( s + 10);

L4(s) = 12(1 s)(s + 2)( s + 3)

; L5(s) = 10 10.5s

(1 10s)(1 + 0 .01s)2; L6(s) =

2s 1(s 15 )2 (s + 1) 2

;

L7(s) = 1

(s + 1)( s 1); L8(s) =

3s(s + 10)(s + 50) 2

; L9(s) = 1

s(s + 1) 2;

L10 (s) = 10

s(s + 1) 2; L11 (s) =

0.1(1 2s)s(1 + 10 s)(1 + 0 .1s)

; L12 (s) = 3(s + 1)

s .

1. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali).

2. Si considerino adesso le 5 funzioni Li (s) corrispondenti a i = 4 , 5, 9, 10, 11. Si indichi con il valore della pulsazione in corrispondenza della quale L i ( j ) = 180. Nei 5 casi considerati, determinare approssimativamente il valore di e si calcoli |L i ( j )|.Al ne di stimare , si puo procedere nel modo seguente:

I. A partire dai diagrammi della fase tracciati al punto precedente, si compia una prima stima ad occhio di (indichiamo tale stima con 1);

II. Si calcoli il valore effettivo di L i ( j1) e, se signicativamente diverso da 180, si compia una nuova stima 2 basandosi sullandamento del diagramma di Bode della fase;

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

0

10

20

30

t

w ( t )

(a)

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

Frequenza [rad/s]

M o

d u

l o ( s p e

t t r o

d i a m p

i e z z a

)

(b)

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

Frequenza [rad/s]

M o

d u

l o ( s p e

t t r o

d i a m p

i e z z a

)

(c)

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

Frequenza [rad/s]

M o

d u

l o ( s p e

t t r o

d i a m p

i e z z a

)

(d)

Figura 9: Con riferimento allEsercizio 39.1-2, graco del segnale w(t) (a) e graci ipotetici delcorrispondente spettro di ampiezza (bd).

Figura 10: Sistema considerato nellEsercizio 39.4.

18


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1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

0

10

20

30

t

y F

( t )

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10020

10

0

10

20

30

40

t

y F

( t )

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

0

10

20

30

t

y F

( t )

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

0

10

20

30

t

y F (

t )

(d)

Figura 11: Con riferimento allEsercizio 39.4, graco dei segnali yF (t) (linea rossa) in corrispondenzadel segnale dingresso w(t) (linea blu tratteggiata) e dei ltri G i (s), i = 1, . . . , 4.

19


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21/153


22/153


23/153

102

101

100

101

10220

1510

505

101520

253035

d B

Pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode Modulo

(a)

102

101

100

101

102

270180

900

90180

270

d e g

Pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode Fase

(b)

Figura 15: Diagrammi di Bode di G6(s) =

100(s2 + 1) / (s + 0 .1)(s2 + 2 s + 100) .

23


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-

Figura 16: Sistema considerato nellEsercizio 42.

Esercizio 42 Si consideri il sistema retroazionato in Figura 16 e le funzioni di trasferimento Li (s),i = 1, . . . , 12, denite nellEsercizio 40.

1. Nei due casi in cui L(s) = L9(s) e L(s) = L11 (s), si calcoli il margine di guadagno km del sistema.

2. Per i = 1 , . . . , 12, si dica in quali casi e possibile analizzare lasintotica stabilit` a del sistema retroazionato mediante il Criterio di Bode e, quando possibile, compiere tale analisi.

3. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire lasintotica stabilit` a del sistema retroazionato, si calcoli la pulsazione critica e il margine di fase.

4. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire lasintotica stabilit` a del sistema retroazionato, si calcoli yR (t) quando yo(t) = sca( t) e, solo nel caso L(s) = L11 (s), si tracci anche landamento qualitativo di yF (t).

5. Nel caso L(s) = L11 (s), determinare yR (t) nei due casi seguenti:

) yo(t) = e0.5t ;

) yo(t) = et .

Esercizio 43 Si consideri nuovamente il sistema retroazionato in Figura 6 dove, come nellEserci-zio 35.3,

R(s) = 5s

.

Si supponga per o di non conoscere la fattorizzazione data in equazione (8) del polinomio caratteristicodel sistema retroazionato.Vericare lasintotica stabilit` a del sistema retroazionato mediante il Criterio di Bode e, servendo-si della regola empirica per lapprossimazione dei poli dominanti del sistema retroazionato, trac-ciare landamento qualitativo di yF (t) quando yo(t) = sca( t) e w(t) 0. Confrontare il risultato(approssimato) ottenuto con quello (esatto) trovato nella risoluzione dellEsercizio 35.3.

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26/153


27/153

103

102

101

100

101

10280

604020

02040

6080

100

d B

Pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode Modulo

(a)

103

102

101

100

101

102190

180170160150140130120110100

9080

d e g

Pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode Fase

(b)

Figura 20: Diagrammi di Bode reali (linea blu tratteggiata) e asintotici (linea verde continua) della

funzione danello L(s) dellEsercizio 47.

27


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2 1 0 1 2 3 4 5 6 72101234567

8

x (k )

x ( k + 1 )

= f

x

( k ) ,

1

Figura 21: Con riferimento allEsercizio 49.5-6, graco di f (x, 1) (linea continua) e della bisettricedel I III quadrante (linea tratteggiata).

3 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo discreto

Esercizio 49 (Variazione dellEsercizio 4 del compito del 7-9-2012) Sia dato il seguente si-stema dinamico a tempo discreto:

x(k + 1) = 2u(k) + 3 x2(k)

u(k)x(k)

y(k) = x(k). (9)

1. Determinare il valore dellingresso costante u(k) u in corrispondenza del quale x = 1 e unostato di equilibrio per il sistema.

2. Scrivere lespressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio (x = 1, u) deter-minata al punto precedente e dire se, per il sistema non lineare, tale coppia e asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile.

3. Tracciare il graco della risposta allo scalino per il sistema linearizzato determinato al punto 2.

4. Posto x(0) = 1 e u(k) 1, impiegare il sistema linearizzato determinato al punto 2 per calcolare limk

+

x(k).

Dora in avanti, si consideri nuovamente il sistema non lineare x(k + 1) = f x(k), u(k) dato nel-lequazione (9) e si supponga che u(k) 1. In Figura 21 e tracciato il graco della funzione f (x, 1).

5. Posto x(0) = 1 , calcolare x(1) e x(2) . Vericare gracamente il risultato ottenuto (a tal ne,disegnare ci o che occorre sul graco in Figura 21). Inne, per mezzo del medesimo procedimentograco (quindi, senza fare conti ), determinare limk+ x(k) e confrontare in modo critico il risultato ottenuto con quello trovato nello svolgimento del punto 4.

6. Sulla base del graco in Figura 21 (quindi, senza fare conti ), si risponda alle seguenti domande:

28


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determinare lo stato di equilibrio x corrispondente allingresso costante u(k) 1;

dire quanto vale la matrice A del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio( x, u = 1) ed analizzare le propriet`a di stabilit a di tale sistema linearizzato; dire se lo studio del sistema linearizzato permette di concludere lanalisi di stabilit` a della

coppia di equilibrio (x, u = 1) per il sistema non lineare; si dica se la coppia di equilibrio (x, u = 1) del sistema non lineare e asintoticamente

stabile, semplicemente stabile oppure instabile.

29


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SOLUZIONI

Soluzione degli esercizi sui prerequisiti

SOLUZIONE ESERCIZIO 1.1.1- La funzione x(t) che risolve il problema di Cauchy dato deve essere tale che sia soddisfatta lacondizione iniziale x(0) = 2 e lequazione differenziale x = 3/ (2x).Calcoliamo dapprima il valore per t = 0 delle tre funzioni candidate a risolvere il problema.

Caso (a) : x(0) = 3

0 + 3 / 2 = 2; caso (b) : x(0) = 0 + 4 = 2; caso ( c) : x(0) = 0 + 1 = 1 .

Possiamo dunque affermare che la funzione data in ( c) non risolve il problema.Per discriminare quale sia la soluzione fra le funzioni date in ( a) e in (b), calcoliamo la derivata rispetto

al tempo di tali funzioni e vediamo quale delle due soddisfa la relazione x = 32x . Caso (a):

x(t) = 3 ddt

12t + 32

= 3 1

2t + 322

ddt

2t + 32

= 6

2t + 322 . (10)

A questo punto vediamo se lespressione trovata per x(t) e uguale a 32x ( t ) : si ha

32x(t)

= 3

2 32t +3 / 2=

2t + 322

e tale funzione e differente dalla funzione x(t) calcolata nellequazione (10) (ad esempio, esse assumonovalori differenti per t = 0). Ci o signica che la funzione data in ( a) non risolve il problema in quantonon soddisfa lequazione differenziale.

Caso (b):x(t) =

12 3t + 4

ddt

(3t + 4) = 3

2 3t + 4 . (11)In questo caso risulta evidente il fatto che lespressione trovata per x(t) coincide con la funzione 32x ( t ) ,dunque la funzione che risolve il problema di Cauchy (1) e quella data in ( b).In alternativa, e possibile risolvere direttamente lequazione (1) e confrontare la soluzione trovata con le tre funzioni proposte. Mostriamo, per completezza, anche tale procedimento, si osservi per` o che lesercizio non richiede di risolvere lequazione differenziale e che, in generale, e molto pi` u semplice vericare se una certa funzione risolva una data equazione differenziale piuttosto che risolvere tale equazione. Si ha

x(t) = 32x ( t ) x(t)x(t) = 32 t0 x(t)x(t)dt = t0 32 dt x ( t )x (0) xdx = 32 t x 22

x ( t )x (0) =

32 t x2 (t) = 3 t + x(0)2

da cui x(t) = 3t + x(0)2 e, essendo x(0) = 2 , la soluzione risulta x(t) = 3t + 4 .1.2- Ponendo t = 0 nellequazione (1), risulta x(0) = 32x (0) e, essendo x(0) = 2, si hax(0) =

34

.

30


31/153

In alternativa, abbiamo calcolato nellequazione (11) lespressione della funzione x(t): valutandola per t = 0 si ottiene x(0) = 3

2 0+4 = 3

4.

1.3- Supponiamo che x(t) x0 sia una soluzione del problema (1) con condizione iniziale x(0) = x0 .Poiche per tale ipotetica soluzione si ha x(t) 0, allora, affinche lequazione differenziale x(t) = 32x ( t )sia soddisfatta, deve valere che

0 = 32x0

.

Tale equazione, tuttavia, non e risolta per nessun valore di x0 R e dunque non esiste nessunacondizione iniziale che dia origine ad una soluzione costante.

SOLUZIONE ESERCIZIO 2.Si ricordino, preliminarmente, i seguenti fatti:

Prodotto righe colonne: dimensioni e compatibilitaDate due matrici A R a 1 a 2 e B R b1 b2 , e possibile eseguire il prodotto ABse e solo se il numero di colonne di A e uguale al numero di righe di B , ossia

a2 = b1 .

Se tale condizione di compatibilit`a fra le dimensioni delle matrici e soddisfatta,la matrice C = AB e tale che

C R a 1 b2 .

Da una diretta applicazione di tali regole, si ottengono i seguenti risultati:

2.1- N R ki e Q R h j .2.2- V R n h e Z R m h .2.3- ) Il prodotto QZ non ha senso, in generale, perche il numero di colonne di Q e pari a j e differiscedal numero di righe di Z che e pari a m (ha senso solo nel caso particolare in cui j = m ed in tal casosi ha QZ R hh ).) Il prodotto ZQ ha senso perche il numero di colonne di Z e pari ad h cos come il numero di righedi Q. Si ha che Z Q R m j . ) Si noti che Q Z = ( ZQ ) , quindi, in virt u dei risultati trovati in ), il prodotto Q Z ha sensoe, posto S = Q Z , si ha S = ( ZQ ) R j m . Ne consegue che QQ Z = QS e tale prodotto hasenso in quanto il numero di colonne di Q, pari a j , coincide con il numero di righe di S . Si ha inneQQ Z = QS R h m .SOLUZIONE ESERCIZIO 3.3.1- La traccia di una matrice A, che indichiamo con tr( A), e la somma dei suoi elementi sulladiagonale, quindi:

tr( A1 ) = 1 2 = 1; tr( A2 ) = 1 + 2 = 3; tr( A3) = 3 + 3 = 6;tr( A4 ) = 1 3 = 2; tr( A5 ) = 1 + 3 = 4 .

31


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Indichiamo con det( A) il determinante di una matrice A. Si ha:

det( A1 ) = 1 (2) 0 1 = 2; det( A2) = 1 2 1 2 = 0; det( A3) = 3 3 0 0 = 9;det( A4 ) = 1 (3) 1 (4) = 1; det( A5) = 1 3 (2) 5 = 13.

In generale, il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A e dato da

pA (s) = det( sI A),dove I e la matrice identit` a di dimensioni uguali a quelle di A.

Polinomio caratteristico per matrici di dimensione 2

Nel caso particolare di matrici A di dimensione 2, si ha

pA (s) = s2 tr( A)s + det( A).

Quindi, nei cinque casi considerati, si ha:

pA 1 (s) = s2 + s 2; pA 2 (s) = s2 3s; pA 3 (s) = s2 6s + 9; pA 4 (s) = s2 + 2 s + 1; pA 5 (s) = s2 4s + 13 .

Gli autovalori di una matrice A sono le radici del suo polinomio caratteristico, quindi:

pA 1 (s) = s2 + s 2 = ( s 1)(s + 2) 1 = 1, 2 = 2 pA 2 (s) = s2 3s = s(s 3) 1 = 0, 2 = 3 pA 3 (s) = s2 6s + 9 = ( s 3)2 1 = 2 = 3 pA 4 (s) = s2 + 2 s + 1 = ( s + 1) 2 1 = 2 = 1.

Nel caso A5 , il discriminante del polinomio pA 5 (s) e dato da 4 = 9. Tale matrice ha quindi unacoppia di radici C omplesse coniugate date da 1,2 = 2 3 j . In denitiva:

pA 5 (s) = s2 4s + 13 = ( s 2 3 j )(s 2 + 3 j ) 1 = 2 + 3 j, 2 = 2 3 j.

Osservazione: come immediatamente vericabile dai conti appena svolti, si ricorda che:1. la traccia di una matrice e uguale alla somma degli autovalori della matrice stessa, il determi-

nante e uguale al prodotto degli autovalori;

2. tranne casi particolari, gli autovalori di una matrice non sono gli elementi sulla diagonale della matrice stessa (vedi le matrici A2 , A4 e A5);

3. un caso particolare in cui gli elementi sul la diagonale di una matrice coincidono con gli autovalori della matrice stessa e rappresentato dalle matrici triangolari (vedi le matrici A1 e A3 , nel casodi A3 si tratta di una matrice diagonale, cioe un caso particolare di matrice triangolare).

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3.2- Una matrice e invertibile se e solo se i l suo determinante non e nullo. Equivalentemente, unamatrice e invertibile se e solo se essa non ha 0 tra i suoi autovalori. In conseguenza di ci` o, tutte lematrici date, tranne A2 , sono invertibili.

Inversione delle matrici di dimensione 2

Nel caso particolare di matrici

A = a bc d

, det( A) = 0 ,

di dimensione 2, si ha

A1 = 1

det( A) d

b

c a .Ossia, si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale, gli elementi fuori dalla diagonale si lasciano dove sono ma si cambiano di segno, si divide il tutto per il determinante di A det( A) = a d c b .

Di conseguenza

A11 = 12 2 1

0 1 =

1 1/ 20 1/ 2

; A13 = 1/ 3 0

0 1/ 3;

A1

4 = 3 4

1 1 ; A1

5 = 113

3

5

2 1 = 3/ 13

5/ 13

2/ 13 1/ 13 .

3.3- Richiamiamo i fatti principali relativi al problema della diagonalizzazione di matrici.

Diagonalizzabilit` a e diagonalizzazione di matrici

Autovalori: molteplicita algebrica e geometrica. Data una matrice A R n n , il suo polinomio caratteristico pA (s) e un polinomio di grado n e a coefficienti R eali le cui radici sono gli autovalori della matrice A .In virt u del Teorema Fondamentale dellAlgebra , e sempre possibile fattorizzare un polinomio pA (s) di grado n e a coefficienti R eali nella seguente forma:

pA (s) = ( s 1 )n 1 (s 2)n 2 (s r )n r (12)con i C ( i = 1, . . . , r ), ri =1 n i = n e i = j . In altre parole, un polinomio di grado n a coefficienti R eali ha esattamente n radici in C (purche si tenga conto del la loro molteplicit` a).Di conseguenza, una matrice A R n n ha esattamente n autovalori (contati con la loro molteplicit a). Con riferimento alla fattorizzazione (12), il numero ni si dice molteplicit a algebrica dellautovalore i e si indica con

a ( i ).

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dettaglio il caso A4 : essendo 1 = 2 = 1, il sistema (13) prende la forma

(A4 + I )v = 0 ossia 2 41 2 v1v2

= 00

le cui soluzioni sono i vettori v della forma

v = 2v2v2

,

al variare di v2 R . Poiche vi e un solo parametro libero, cioe v2 , lo spazio delle soluzioni hadimensione 1, cioe g (1) = 1. Dunque, 1 = g (1) = a (1) = 2 cosicche la matrice A4 non ediagonalizzabile.

In alternativa, e possibile mostrare che la matrice A4 non e diagonalizzabile ragionando per assurdo

nel modo seguente: poiche A4 e di dimensione due ed ha due autovalori coincidenti pari a 1, allora,se fosse diagonalizzabile sarebbe DA 4 = I e T 14 A4T 4 = I ; daltra parte, T 14 A4T 4 = I A4 = T 4IT 14 A4 = I , il che e assurdo in quanto A4 = I .Osservazione: la condizione di avere autovalori distinti e solo sufficiente per la diagonalizzabilit` a.In presenza di autovalori coincidenti, una matrice pu` o essere sia diagonalizzabile, come A3 , che non diagonalizzabile, come A4 .

Diagonalizzazione della matrice A1 : calcoliamo T 1 e DA 1 .In corrispondenza dellautovalore 1 = 1, il sistema (13) prende la forma

(A1 I )v = 0 ossia 0 10 3

v1v2

= 00


v = v1

0,

al variare di v1 R . Fissiamo, ad esempio, v1 = 1: in tal modo otteniamo il vettore

v = 10

che costituir`a la prima colonna della matrice T 1 .In corrispondenza dellautovalore 2 = 2, il sistema (13) prende la forma

(A1 + 2 I )v = 0 ossia 3 10 0

v1v2

= 00


v = v1

3v1,

al variare di v1 R . Fissiamo, ad esempio, v1 = 1: in tal modo otteniamo il vettore

v = 1

3

35


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ossia

1

3 j + 5( v21 + jv 22 ) = 0

2 + (1 3 j )(v21 + jv22 ) = 0 . (16)Le prima delle due equazioni si riscrive come

(1 + 5v21 ) + (5 v22 3) j = 0e, uguagliando a zero la parte eale e la parte mmaginaria del primo membro, si ottiene

v21 = 15

e v22 = 35

le due equazioni che deniscono il sistema (15) sono equivalenti la seconda si ottiene dalla primamoltiplicando ambo i membri per unopportuna costante c C in quanto il sistema (15) deve avere

innite soluzioni non nulle corrispondenti agli autovettori per A5 relativi a 1 ; di conseguenza, comeperaltro facilmente vericabile, i valori trovati per v21 e v22 risolvendo la prima delle due equazioni (16)risolvono anche la seconda equazione del sistema (16) .Possiamo quindi porre la prima colonna di T 5 uguale al vettore

v = 115 +

35 j

.

Per determinare la seconda colonna di T 5 si puo ripetere il conto considerando 2 = 2 3 j oppure,piu semplicemente, basta ricordarsi che gli autovettori relativi allautovalore C omplesso coniugatodi 1 non sono altro che i vettori che hanno per componenti il numero C omplesso coniugato dellecomponenti degli autovettori relativi a 1 . Possiamo quindi direttamente scrivere che

T 5 = 1 115 +

35 j

15 35 j

ed ottenere

T 15 A5 T 5 = DA 5 = 2 + 3 j 0

0 23 j.

SOLUZIONE ESERCIZIO 4.4.1- Si ha:

pM (s) = det( sI M ) = dets 1 00 s 118 3 s + 6

=

(a)= s det s 13 s + 6 (1) det 0 118 s + 6 == s(s2 + 6 s + 3) + 18 = s3 + 6 s2 + 3 s + 18 ,

dove nelluguaglianza (a) abbiamo usato lo sviluppo di det( sI M ) rispetto alla prima riga.

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SOLUZIONE ESERCIZIO 5.

Numeri C omplessi

Un numero z C e rappresentato nella cosiddetta forma cartesiana se z = a + bj o, indifferentemente, z = a + jb,

dove a R si dice parte eale di z a = e(z) , e b R si dice parte mmaginaria di zb = m(z) . La rappresentazione in forma polare di z C , z = 0 , e

z = ej ,dove > 0 e il modulo di z = |z| ed e uguale alla distanza di z dallorigine, e R e la fase (o argomento ) di z = (z) e rappresenta langolo compreso fra il semiasse R eale positivo e il segmento che congiunge z allorigine.

Conversione da forma polare a forma cartesiana. ej = cos() + j sin() = cos() + j sin().

Conversione da forma cartesiana a forma polare.z = a + jb = |z| ej (z ) ,

dove:

|z| = a2 + b2 e (z) =arctan( b/a ) se a > 0arctan( b/a ) se a < 0/ 2 se a = 0 e b > 0

/ 2 se a = 0 e b < 0;nel caso a < 0 e indifferente aggiungere o togliere in virt u della periodicit a di periodo2 delle funzioni sin e cos ossia, le scritture ej (+2 k ) , k Z , sono innite differenti rappresentazioni del medesimo numero C omplesso .Con z si indica il numero C omplesso coniugato di z denito come segue:

In forma cartesiana: z = a + jb

z = a

jb

In forma polare: z = ej z = ej .E utile ricordare che:

j 2 = 1; z z = |z|2 dunque, in particolare, z z R + ; se z1 = 1 ej 1 e z2 = 2 ej 2 , allora z1 z2 = ( 1 2) ej (1 + 2 ) e z1 /z 2 = 12 ej (1 2 ) .In altre parole, il modulo del prodotto di due numeri C omplessi e il prodotto dei moduli dei due numeri, il modulo del quoziente e il quoziente dei moduli, la fase del prodotto e la somma delle fasi, la fase del quoziente e la differenza del le fasi.

39


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1

2

z 4 z 11

122/32/32/32/3 /4/4/4/4

m

5

8

3

9

10

6

z 13 e

14

/4/4/4/4

Figura 22: Con riferimento allEsercizio 5, rappresentazione sul piano C omplesso dei numeri zi , i =1, . . . , 14.

5.6- Si ha:z5 = 2 2 cos(/ 4) + j sin(/ 4) = 2 + 2 jz6 = 2 cos(/ 2) + j sin(/ 2) = 2 jz7 = 3 cos(0) + j sin(0) = 3

z8 = cos(2/ 3) + j sin(2/ 3) = 12

+ 32

j.

5.7- Al ne di eseguire la somma fra numeri C omplessi, e utile esprimerli in forma cartesiana, quindi:

z1 + z5 = ( 3 + j ) + (2 + 2 j ) = ( 3 + 2) + 3 j.Al ne di eseguire prodotti e divisioni fra numeri C omplessi, e utile esprimerli in forma polare, quindi:

z1 z3 z8z5 (2 ej/ 6

) ( 10 ej

4.39

) (ej 2/ 3

)2 2 ej/ 4 =

= 2 10

2 2 ej ( 6 4.39+ 2 3 + 4 )

5ej 0.99 .Se si preferisce, si puo convertire il risultato in forma cartesiana ed ottenere

z1 z3 z8z5

5ej 0.99 = 5 cos(0.99) + j sin(0.99) 1.23 1.87 j.

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Soluzione degli esercizi sui sistemi dinamici a tempo continuo

SOLUZIONE ESERCIZIO 6.6.1- Il sistema S 1 e di ordine 3, lineare, non autonomo, strettamente proprio, SISO.Il sistema S 2 e di ordine 3, nonlineare, non autonomo, proprio (non strettamente), MIMO.Il sistema S 3 e di ordine 1 (scalare), nonlineare, autonomo.Il sistema S 4 e di ordine 2, lineare, non autonomo, proprio (non strettamente), MIMO.6.2- Per il sistema S 1 :

A =1 0 21 1 1

2 0 1, B =

0

12

, C = 0 1 4 , D = 0.

Per il sistema S 4 :A =

0 2

1 3, B =

1 00 0

, C = 1 0 , D = 0 1 .

SOLUZIONE ESERCIZIO 7.7.1- Le incognite dellequazione differenziale sono e v, possiamo quindi porre

x = x1x2

= v

;

la variabile indipendente e , quindi

u = ;la grandezza di cui si vuole studiare landamento e , quindi

y = .

Di conseguenza, un modello in forma di stato del sistema dinamico considerato e:

x1(t) = 1 x1(t), x2(t)x2(t) = 2 x2(t), u(t)

y(t) = x1 (t).

7.2- Si tratta di un sistema di ordine 2, il sistema e lineare se e solo se sia 1 che 2 sono funzionilineari (ma, non essendo specicata lespressione di tali funzioni, non e possibile rispondere a tale

domanda), non autonomo, strettamente proprio, SISO.

SOLUZIONE ESERCIZIO 8.8.1- Un modo standard per trasformare unequazione differenziale di ordine n in un sistema di equa-zioni differenziali di ordine 1 consiste nel considerare un vettore di stato che colleziona la funzioneincognita dellequazione differenziale e le sue derivate no allordine n 1. Nel caso particolaredellequazione considerata, possiamo quindi porre

x = x1x2

=

;

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o x(t0) e v(t0) nel caso in cui si studi landamento della posizione: in questo caso il sistema e di ordine 2 mx(t) = F (t) e dunque occorrono 2 condizioni iniziali .


Lo stato di equilibrio x si dice essere stabile se e solo se > 0, ( ) > 0 tale che x0 conx0 x ( ) il corrispondente movimento x (t) e tale che x (t) x t 0.

Lo stato di equilibrio x si dice essere instabile se e solo se non e stabile. Lo stato di equilibrio x si dice essere asintoticamente stabile se e solo se e stabile e inoltre > 0tale che x0 con x0 x il corrispondente movimento x (t) e tale che lim t+ x (t) x = 0. Lo stato di equilibrio x si dice essere semplicemente stabile se e solo se e stabile ma non asintotica-mente stabile.

SOLUZIONE ESERCIZIO 11.11.1- Poiche per t 0, u(t) 1, basta risolvere il sistema

x(t) = x(t)y(t) = x2(t)x(0) = 1 .

(18)

Quindi,per t 0, x(t) = et e y(t) = e2t .

11.2- Il movimento libero dello stato e delluscita si ottiene, per denizione, risolvendo il seguentesistema ponendo cioe u(t) 0 :

x(t) = 0

y(t) = x2

(t)x(0) = 1

e dunquexL (t) 1 e yL (t) 1.

Il movimento forzato dello stato e delluscita si ottiene, per denizione, risolvendo il seguente sistemaponendo cioe x(0) = 0 e u(t) = sca( t) :

x(t) = x(t)y(t) = x2(t)x(0) = 0

dunque, xF (t) 0 e yF (t) 0.Confrontando con il risultato ottenuto ottenuto al punto 1, si osserva inne che

x(t) = xL (t) + xF (t) e y(t) = yL (t) + yF (t),

cio a causa della nonlinearit`a del sistema.

11.3- Applichiamo la denizione di stabilit` a del movimento: perturbando lo stato iniziale, conside-rando cioe x (0) = 1 + , si ha il movimento perturbato x (t) = (1 + )et e

x (t) x(t) = (1 + )et et = et

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SOLUZIONE ESERCIZIO 13.13.1- Impiegando la Formula di Lagrange, si ha

xF (t) = t0 ea ( t )bu( ) d = t

0ea ( t )bu d se 0 t < t

t0 ea ( t )bu d se t t,dove si noti soltanto che, nel caso t t , lintegrale e calcolato solo fra 0 e t in quanto, per t t , ilsegnale dingresso e nullo e quindi e nulla la funzione integranda. Calcolando tali integrali, si ottiene

xF (t) =

bua

(eat 1) se 0 t < t(1

ea t )bua eat se t t,

(19)

se a = 0, e

xF (t) = but se 0 t < tbut se t t,

(20)

se a = 0.

13.2- Si osservi innanzitutto che il sistema consideratoe modellizzato per mezzo di un sistema dinami-co della stessa forma del sistema (3) considerato nel punto 1 e che il segnale dingresso e anchessodella forma considerata in (4). Il movimento forzato dello stato si ottiene dunque dallequazione (19)semplicemente sostituendo a = , b = , u = e t = 10. Quindi, senza dover rifare alcun conto ,posto x = , si ha:

xF (t) =

1 et se 0 t < 10e10 1

et se t 10;

il movimento libero dello stato e dato da xL (t) = 0et ed inne, x(t) = xL (t) + xF (t).13.3- Esattamente come nel caso precedente, il movimento forzato dello stato si ottiene dallequazio-ne (19) semplicemente sostituendo a = , b = , u = p e t = 2. Quindi, senza dover rifare alcun conto , posto x = h, si ha:

xF (t) =

p

1 et se 0 t < 2e2 1 p

et se t 2;

il movimento libero dello stato e dato da xL (t) = h0et ed inne, x(t) = xL (t) + xF (t).13.4- Esattamente come nei due casi precedenti, il movimento forzato dello stato si ottiene dalle-quazione (19) semplicemente sostituendo a = m , b = 1m , u = F e t = 3. Quindi, senza dover rifare

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Figura 25: Con riferimento allEsercizio 13.5, graco di u(t) nei tre casi in cui t = 2 (linea blu), t = 1(linea rossa) e t = 1/ 2 (linea verde).

alcun conto , posto x = v, si ha:

xF (t) =

F

1 em t se 0 t < 3

F

e3 m 1 e

m t se t 3;

il movimento libero dello stato e dato da xL (t) = v0em t ed inne, x(t) = xL (t) + xF (t).

Osservazione: le prime quattro domande di questo esercizio permettono di toccare con mano il signicato ed apprezzare i vantaggi del fatto che

i sistemi dinamici sono modelli matematici in grado di astrarre e di fornire una

medesima descrizione per fenomeni di natura completamente differente .

13.5- I graci dei tre segnali dingresso considerati sono riportati in Figura 25.Osservazione: si noti che tutti i segnali considerati sono accomunati dal fatto di avere integrale unitario:

+ 0 u(t)dt = 1.Il movimento forzato dello stato corrispondente al generico segnale dingresso del tipo in equazione (4)si ottiene dalle equazioni (19) e (20) semplicemente sostituendo u = 1/ t. Quindi,

xF, t (t) =

bat

eat 1 se 0 t < tb 1 ea t

at eat se t t,

se a = 0, e

xF, t (t) =bt t se 0 t < tb se t t,

se a = 0.Nel caso in cui a = 1 e b = 1, il graco richiesto e riportato in Figura 26 per tre diversi valori di t .Osservazione: il tratto crescente iniziale del graco di xF, t (t) e la sua prosecuzione (linea blu tratteggiata) costituiscono il graco della risposta forzata corrispondente allingresso costante u(t) u

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(la cosiddetta risposta allo scalino ), a partire dallistante t = t lingresso si annulla e lo stato tende a 0 con la dinamica del movimento libero (tende cioe a 0 come il modo naturale del sistema, ossia lesponenziale (t) = eat ; piu precisamente, per t t, xF, t (t) = xF, t (t ) ea ( tt ) ).Per calcolare il limite richiesto, poiche t 0+ e t > 0 e ssato, e sufficiente considerare lespressionedi xF, t (t) per t t , dunque

limt0+

xF, t (t) =lim t0+

b 1e a t

a t eat (a)= beat se a = 0

b se a = 0,

dove, luguaglianza (a) segue dallapprossimazione lineare dellesponenziale, ossia ea t .= 1 at .Il graco di gx (t) = beat e riportato in Figura 26 (linea rossa) nel caso in cui a < 0 e b = 1; per a = 0,gx (t) e costante uguale a b, per a > 0 e un esponenziale divergente a + se b > 0, a se b < 0.Osservazione: la funzione gx (t) e la cosiddetta risposta allimpulso del sistema. Come si vede anche dai graci in Figura 25, al diminuire del periodo di tempo t durante il quale agisce il segnale dingresso u, lintensit a dellingresso aumenta e, al limite per t 0+ , tale intensità diverge a +.Ossia, al limite per t 0+ , il segnale dingresso agisce istantaneamente con intensit` a innita, e cioe un impulso . Naturalmente tutto ci` o rappresenta unastrazione della realt` a e, per una corretta descrizione in termini matematici, occorrono strumenti teorici piuttosto sosticati (la Teoria delle distribuzioni) di cui nel corso non faremo alcun cenno.

SOLUZIONE ESERCIZIO 14.Il sistema e:

asintoticamente stabile, se a < 0; semplicemente stabile, se a = 0; instabile, se a > 0.

Oltre che per mezzo del metodo graco, tale analisi di stabilit` a segue anche dallanalisi dei modinaturali del sistema: il sistema ha infatti lunico modo (t) = eat , t 0, che e

convergente a 0, se a < 0; limitato e non convergente a 0, se a = 0; illimitato, se a > 0.

Equivalentemente, tale analisi di stabilit` a segue anche dallo studio degli autovalori del sistema: ilsistema e di ordine 1 e dunque la matrice A = a coincide con lunico autovalore del sistema. Lunicocaso che potrebbe far nascere dei dubbi e il caso a = 0: occorre solo osservare che, essendo in ipotesidi diagonalizzabilità (la matrice A = a e diagonale!), si ha ovviamnete a (0) = g (0) = 1 e dunque lasemplice stabilità.


Caso A1 : Sistema instabile (ha un autovalore = 1 > 0).Modi naturali: 1(t) = et , 2 (t) = e2t , t 0.

Caso A2 : Sistema instabile (ha un autovalore = 3 > 0).Modi naturali: 1(t) = e0t = sca( t), 2 (t) = e3t , t 0.

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det( A) = 17 (si ricordi la forma del polinomio caratteristico per matrici di dimensione 2riportata nella soluzione dellEsercizio 3.1) e dunque, ad esempio,

A = 0 1

17 2cosicche

A =5 0 00 0 10 17 2

.

Caso 4 : Sistema di ordine 4 in quanto, avendo il modo 2(t) = t2e3t , esso ha anche i modi3 (t) = te3t e 4(t) = e3t , t 0.Sistema semplicemente stabile tutti i modi sono limitati e 1(t) non converge a 0 .

SOLUZIONE ESERCIZIO 17.Il sistema e lineare e le uniche richieste che riguardano la matrice A sono quelle circa la stabilit`a, lapresenza di un modo convergente a 0 e lordine minimo possibile. Tale matrice A deve dunque avereordine 2 (poiche si chiede che il sistema sia semplicemente stabile, oltre al modo convergente a 0, videve essere anche un modo limitato ma non convergente a 0). Tali richieste sono soddisfatte da unamatrice A avente un autovalore nullo e uno minore di zero, ad esempio:

A = 0 00 1

.

Il sistema ha 1 ingresso e 2 uscite, quindi B R 21 , C R 22 , D R 21 . Lunico vincolo su talimatrici e che D

= 0 in modo tale che il sistema non sia strettamente proprio. In conlcusione, una

possibile soluzione e:

x(t) = 0 00 1

x(t) + 1

3u(t)

y(t) = 0 1

1 4x(t) + 2

0u(t).

SOLUZIONE ESERCIZIO 18.18.1- Si tratta di un sistema di ordine 1, nonlineare e autonomo.

18.2- Gli equilibri v del sistema v(t) = f v(t) sono deniti dallequazione f (v) = 0, ossia

m v

2

+ g = 0.

Per v > 0, lunico equilibrio del sistema e quindi

v = mg .Dallo studio del segno di f (v) = m v2 + g, si ha che

per 0 < v < v, f (v) > 0, per v > v, f (v) < 0.

Se ne deduce quindi che lequilibrio v e asintoticamente stabile e che, se v(0) > 0, allora

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0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50015

10

5

05

10

v

f ( v )

=

m v

2

+ g

v

Figura 27: Con riferimento allEsercizio 18.2, graco di f (v) per m = 100 Kg e = 0.008 Kg/m.

limt+

v(t) = v

(vedi la Figura 27). Inne, per determinare i valori di richiesti, basta imporre che v > 330 ossia

mg > 330, da cui0 < 0per ipotesi), ci o garantisce lasintotica stabilit` a sia del sistema linearizzato che della corrispondentecoppia di equilibrio per il sistema nonlineare dato.

SOLUZIONE ESERCIZIO 23.23.1- Posto x = h e u = p, il volume V di liquido presente nel serbatoio e dato da V = h, quindiy = x e la corrispondente forma di stato del sistema e

x(t) = x(t) + u (t)y(t) = x(t).23.2- Con i valori specicati per i parametri, il sistema prende la forma

x(t) = 512 x(t) + 12 u(t)y(t) = 2 x(t).Allequilibrio,

512 x + 12 u = 0y = 2x :

(24)

essendo y = 8, si ottiene x = 4 e dunque

u = 53

.

23.3- Si haf x

(x, u ) = 5

24 x ,

57


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0 1 2 3 4 5 6 7 80.5

0

0.5

1

x f ( x )

=

5 1 2

x +

1 2

5 3

3 0

x

Figura 28: Con riferimento allEsercizio 23.4, graco di f (x) per u = 53 + 110 =

5330 .

da cui f x (x, u) = f x 4,

53 = 548 . Quindi, posto

x(t) = x(t) x = x(t) 4, u(t) = u(t) u = u(t) 53

e y(t) = y(t) y(t) = y(t) 8, (25)il sistema linearizzato e dato da

x(t) = 548 x(t) + 12 u(t)y(t) = 2 x(t)

e ne consegue che la coppia di equilibrio x = 4, u = 53 e asintoticamente stabile per il sistema

nonlineare dato.23.4- Al ne di impiegare il modello linearizzato, occorre innanzitutto tradurre i dati del problema(cioe, la condizione iniziale e la legge di controllo) in funzione delle variabili che compaiono nelsistema linearizzato. Ricordando che h(t) = x(t), p(t) = u(t) e la denizione delle variabili x e udata nellequazione (25), si ha:

x(0) = x(0) x = h(0) x = 4 4 = 0u(t) = u(t) u = u + 110 u = 110 , t 0.

In presenza dellingresso costante u(t) u = 110 , poiche il sistema linearizzato e asintoticamentestabile, si ha

limt+ x(t) = BA 1u = 12

485

110 =

1225

e quindi, essendo h(t) = x(t) = x(t) + x,

limt+

h(t) = limt+

x(t) + x = 1225

+ 4 = 112

25 = 4 .48.

Impiegando il modello nonlineare, ricaviamo dallequazione (24) lequilibrio x corrispondente allin-gresso u = u + 110 = 53 + 110 = 5330 : si ha x = 65 u e dunque x = 3625 u2 = 3625 53

2

30 2 =5325

2 4.49.Mediante limpiego del metodo graco si vede che tale eqilibrio e asintoticamente stabile e che ogni

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condizione iniziale x(0) > 0 appartiene al suo bacino di attrazione (vedi 11 Figura 28). Di conseguenza,

limt+ h(t) = limt+

x(t) = x 4.49.I due risultati sono differenti in quanto il sistema linearizzato non e equivalente al sistema nonlinearedato ma ne e solo un approssimazione . Dei due risultati e quindi da considerare pi` u attendibile quellobasato sullo studio diretto del sistema nonlineare.

SOLUZIONE ESERCIZIO 24.24.1- Avvalendosi dei metodi basati sulla Trasformata di Laplace, si ha:

X (s) = ( sI A)1 x(0) + ( sI A)1BU (s).Poiche

(sI A)1 = 1s 00 1s +1

e U (s) = 1s + 2

,

si ottiene

X (s) = 1

s 00 1s +1

1

2+

1s 00 1s +1

1

3 1s +2 =

= 1

s

2s +1+

1s (s +2)

3(s +1)( s +2) =

1s

2s +1+

1/ 2s

1/ 2s +2

3s +1 + 3s +2 =

=

3/ 2s

1/ 2s + 2

5s + 1 + 3s + 2.

Inne,

x(t) = L1 X (s) =32

12

e2t

5et + 3 e2tsca(t).

In alternativa, e comunque possibile risolvere lesercizio direttamente nel dominio del tempo (impie-gando la Formula di Lagrange): in questo caso, essendo la matrice A diagonale, non vi e difficolt a nel calcolo dellesponenziale di matrice e risulta direttamente

eAt = 1 0

0 et .

11 Nota bene: si ricordi che per limpiego del metodo graco, e sufficiente studiare il segno della funzione f (x), nonoccorre eseguire uno studio pi` u approfondito della funzione f (x) ne occorre disegnarne il graco.

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eseguendo lanti-trasformata di Laplace di ambo i membri dellequazione (26), si ottiene chexF (t) = x1(t) x1 (t t ).

Calcoliamo dunque x1 (t): se a = 0, si ha

bu(s a)s

=bua

s a buas

,

cosicchex1 (t) =

bua

(eat 1)sca( t).Conseguentemente,

x1(t t ) = bu

a (ea ( tt ) 1) sca( t t )

exF (t) = x1 (t) x1(t t ) =

= bu

a(eat 1) sca( t) (ea ( tt ) 1) sca( t t ) =

( )=

bua (e

at 1) se 0 t < tbua (1 ea t ) eat se t t,

dove nellugiaglianza ( ) si usa il fatto che sca( t t ) e nullo per t < t (e uguale a 1 per t t) ed ilfatto che ea ( tt ) = eat ea t .Se invece a = 0, si ha

bu

(s a)s =

bu

s2,

cosicchex1(t) = bu t sca( t)

exF (t) = x1(t) x1 (t t ) =

= bu t sca(t) (t t ) sca( t t ) =( )=

bu t se 0 t < tbu t se t t,

dove, come sopra, nellugiaglianza ( ) si usa il fatto che sca( t

t ) e nullo per t < t .

Osservazione: le uguaglianze ( ) e ( ) sono state scritte solo per mostrare esplicitamente che il risultato ottenuto in questo esercizio e identico a quello trovato nel la soluzione dellEsercizio 13.1. Ai ni della risoluzione di questo esercizio, e sufficiente fornire le due espressioni di xF (t) poste a monte delle uguaglianze ( ) e ( ).

SOLUZIONE ESERCIZIO 26.26.1- Il sistema di equazioni che denisce gli stati x di equilibrio prende la forma

x1(x2 + 1) + x2 = 0

x1 + x22 x2 = 0.(27)

(28)

61


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Dallequazione (28) si ricava x1 = x22 x2 , sostituendo tale espressione di x1 nellequazione (27), siottiene ( x22

x2 )(x2 + 1) + x2 = 0 ossia, x32 = 0. Quindi, x2 = 0 e x1 = 0, vi e cioe un solo stato di

equilibrio dato da

x = 00

.

Per il calcolo del sistema linearizzato, impiegando lusuale notazione, si ha:

f 1x 1

(x) = x2 + 1 f 1

x 2(x) = x1 + 1

f 2x 1

(x) = 1 f 2

x 2(x) = 2 x2 1.

Quindi, essendo x(t) = x(t) x = x(t) e valutando le espressioni delle derivate in corrispondenza delvalore di equilibrio x = x = 0, si ottiene il seguente sistema linearizzato:

x(t) = Ax(t) = 1 1

1 1x(t).

26.2- Impiegando i metodi basati sulla Trasformata di Laplace, la matrice eAt puo essere determinatanel modo seguente:

eAt = L1 (sI A)1 = L1 s 1 1

1 s + 1

1 =

=

L1 1s 2

s + 1 1

1 s 1 =

L1

1s

+ 1s2

1s2

1s2 1s 1s2 =

= 1 + t t

t 1t, t 0.

Il sistema linearizzato e instabile in quanto, dallespressione trovata per la matrice eAt , si deduce chei modi naturali associati al sistema sono 1(t) = 1 e 2 (t) = t, t 0, e 2 e un modo illimitato.Il sistema linearizzato ha due autovalori nulli il polinomio caratteristico della matrice Ae pA (s) = s2 ,non e quindi possibile applicare ne il Teorema 3.9 ne il Teorema 3.10 in [FdA] paragrafo 3.5.2.Dunque, dalla sola analisi di stabilit` a del sistema linearizzato, non e possibile trarre alcuna conclusionecirca le proprietà di stabilità dellequilibrio x per il sistema nonlineare dato.In alternativa, lanalisi di stabilit a del sistema linearizzato può essere condotta come segue: poiche

la matrice A ha due autovalori nulli, il sistema linearizzato e semplicemente stabile se la matrice Ae diagonalizzabile oppure instabile se la matrice A non e diagonalizzabile. Poiche e facile vedere che la molteplicit a geometrica dellautovalore 0 e pari a 1, ne consegue che A non e diagonalizzabile e il sistema linearizzato e instabile.Osservazione: poiche la matrice A non e diagonalizzabile, lunico metodo che permette di calcolare eAt e che impieghi solo la teoria svolta nel corso, e quello basato sulluguaglianza

eAt = L1 (sI A)1 .26.3- Impiegando i metodi basati sulla Trasformata di Laplace, i movimenti dello stato richiesti

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Figura 29: Traiettorie in spazio di stato relative ai movimenti x(t) calcolati nellEsercizio 26.3.

possono essere calcolati nel modo seguente:

x(t) = L1 (sI A)1x(0) .Avendo gi a trovato nel punto precedente che

(sI A)1 = s+1

s 21s 2

1s 2 s1s 2,

nel caso x(0) = x(0) = 2 2 si ha

x(t) = L1 s+1

s 21s 2

1

s2

s1s

2 2

2

= L1

2s

2

s

= 2

2

, t 0.

Osservazione: il movimento trovato e costante, ci` o signica che x(0) = 2 2 e una condi-zione di equilibrio. In effetti, si riscontra che Ax (0) = 0 : chi si accorge di questo fatto n dallinizio,risolve lesercizio indicando direttamente la soluzione x(t) x(0) , t 0, senza fare alcun conto.Nel caso x(0) = x(0) = 1 0 si ha invece

x(t) = L1 s+1

s 21

s 2

1s 2 s1s 2 10 = L1 s+1s 2 1s 2 = 1 + tt , t 0.

Le traiettorie richeste sono rappresentate in Figura 29. La traiettoria associata al movimento costantex(t)

x(0) e costituita da un punto posto in x(0). La traiettoria associata al movimento che si origina

dalla condizione iniziale x(0) si determina invece nel modo seguente: le equazioni che denisconotale movimento sono

x1(t) = 1 + tx2(t) = t ;eliminando t da tali equazioni, si ottiene x2 = x1 + 1 che denisce la retta su cui giace la traiettoriadello stato; per t 0, x2(t) = t 0, quindi la traiettoria e la semi-retta che parte da x(0) eattraversa il quarto quadrante del piano ( x1 , x2 ).

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SOLUZIONE ESERCIZIO 27.27.1- Tra le richieste, quelle che coinvolgono la matrice A della dinamica sono:

a. la presenza di inniti stati di equilibrio in corrispondenza dellingresso costante u(t) 0;b. il fatto che tutti i movimenti dello stato del sistema siano instabili;

c. avere ordine pi u piccolo possibile.

Per soddisfare la richiesta a. e necessario e sufficiente che la matrice A abbia almeno un autovalore in 0(infatti, lequazione che denisce gli equilibri in corrispondenza di u(t) 0 e Ax = 0 ed essa ha innitesoluzioni se e solo se A ha almeno un autovalore nullo). Daltra parte, la richiesta b. corrispondea chiedere che il sistema sia instabile: questa richiesta, insieme alla richiesta a. , comporta che ilsistema debba avere almeno ordine 2. Quindi, la scelta di una matrice A con un autovalore in 0 edun autovalore positivo e sufficiente 12 a soddifare le tre richieste a. -b. -c. , ad esempio:

A = 0 00 1

.

Inne, affinche il sistema sia SISO occorre che B R 21 e che C R 12 ; la funzione di trasferimentodel sistema e strettamente propria se e solo se il sistema e strattamente proprio, ossia D = 0. Inconclusione, un esempio di sistema con le propriet` a richieste e

x(t) = 0 00 1

x(t) + 10

u(t)

y(t) = 1 2 .(29)

27.2- Per il sistema scelto nel punto precedente, si ha

G(s) = 1 2 1

s 00 1s1

10

= 1s

.

Quindi, indicati con P e con Z linsieme dei poli e degli zeri del sistema, rispettivamente, e con ilsistema in forma di stato dato nellequazione (29), si ha:

ord( G) = 1 < ord() = 2 , P = {0}, Z = e reldeg(G) = 1 .Lautovalore = 1 e un autovalore nascosto per tale sistema.

Osservazione: la presenza di parti nascoste nel sistema considerato dipende dalla particolare scelta

fatta per le matrici B e C . Se ad esempio avessimo scelto di porre

B = 11

,

12 Unaltra matrice A con le propriet` a richieste e quella trovata ed analizzata nella risoluzione dellEsercizio 26:

A = 1 1

1 1.

Tale matrice ha due autovalori nulli ed il corrispondente sistema l ineare e instabile: ci` o mostra che, per soddisfare lerichieste dellesercizio corrente, non e necessario che la matrice A abbia un autovalore positivo. Naturalmente, la sceltadi una matrice A con un autovalore positivo rende pi` u semplice la soluzione del problema.

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avremmo ottenuto

G(s) = 1 2

1s 00 1s1

11 =

s + 1s(s 1) .

Quindi,ord( G) = 2 = ord() , P = {0 , 1}, Z = {1}, reldeg(G) = 1

e si tratta di un sistema senza parti nascoste.

27.3- Posto, ad esempio,

x(0) = 12

,

una scrittura in codice Matlab che risponde a quanto richiesto e la seguente:

>> A=[0 0; 0 1];

>> B=[1; 0];>> C=[1 0];>> D=0;>> sistema=ss(A,B,C,D);>> x0=[1; 2];>> initial(sistema,x0)

Si noti che, avendo posto C = [1 0], la variabile di uscita del sistema denito in Matlab e proprio laprima componente dello stato x: in effetti, in questa domanda dellesercizio, la cosiddetta variabile dinteresse e x1 e dunque dovrebbe essere naturale denire la variabile di uscita come y = x1 .


Il movimento dello stato richiesto pu` o essere calcolato nel modo seguente:

x(t) = L1 X (s) .Si ha:

X (s) = ( sI A)1x(0) = s 3 12 s 1

1

1

1 =

= 1s 2 4s +5 s 1 1

2 s 3 1

1 =

=

ss2 4s + 5

s + 5s2 4s + 5.

Occorre, a questo punto, anti-trasformare le due componenti di X (s). Le radici di s2 4s + 5 sonoC omplesse e pari a = 2 j , si richiamano allora i due fatti seguenti:

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Polinomi di grado 2 con radici C omplesse

Un polinomio p(s) = s2 + as + b avente una coppia di radici C omplesse coniugate pari a 1,2 = j si puo riscrivere nella seguente forma:

p(s) = ( s )2 + 2 ,infatti: p(s) = ( s 1)(s 2) = ( s j )(s + j ) = ( s )2 + 2 .

Anti-trasformata di

Laplace di funzioni razionali:

coppia di poli C omplessi

Si ha:

L1 s +

(s )2 + 2 = cos(t) +

+

sin(t) et sca( t). (30)

Il polinomio s2 4s + 5 si puo dunque riscrivere nella forma ( s 2)2 + 1. Dunque,X 1(s) =

ss2 4s + 5

= s

(s 2)2 + 1e, applicando la formula (30) con = 1, = 0, = 2 e = 1, si ottiene

x1(t) = cos(t) + 2 sin( t) e2t , t 0.Inoltre,

X 2(s) = s + 5s2 4s + 5 = s + 5

(s 2)2 + 1e, applicando la formula (30) con = 1, = 5, = 2 e = 1, si ottiene

x2(t) = cos(t) + 3 sin( t) e2t , t 0.Riassumendo,

x(t) = L1 (sI A)1x(0) = L1s

s2 4s + 5s + 5s2 4s + 5

= cos(t) + 2 sin( t)

cos(t) + 3 sin( t) e2t sca( t).

In alternativa, si puo procedere nel modo seguente: poiche gli autovalori di A sono pari a = 2 j ,allora i modi naturali del sistema sono

1(t) = e2t cos(t) e 2 (t) = e2t sin(t), t 0.Dal Teorema fondamentale dei modi naturali , sappiamo che le componenti del movimento dello stato

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SOLUZIONE ESERCIZIO 30.Si ricordino, preliminarmente, i seguenti fatti utili alla risoluzione dellesercizio:

Per t > 0, la risposta allimpulso di un sistema lineare e combinazione lineare dei modi naturali del sistema.

Se la funzione di trasferimento G(s) ha lo stesso ordine del sistema , allora: linsieme dei poli e quello degli autovalori del sistema sono coincidenti; dallo studio del denominatore della funzione di trasferimento G(s) e possibile individuare

tutti i modi naturali del sistema e dunque concludere lanalisi di stabilit`a del sistema.

30.1- In virt u dellipotesi ord( G i ) = ord( i ), possiamo concludere lanalisi di stabilit` a dei sistemidati cos come riassunto nella seguente tabella:

Sistema Stabilita Motivazione 1 Instabile Ha un polo a parte eale positiva (posto in +3). 2 Semplicemente stabile E un sistema di ordine 1 con lunico autovalore posto in 0. 3 Asintoticamente stabile Lunico polo del sistema e a parte eale negativa (posto in

1). 4 Instabile Si ha s2 2s 3 = ( s + 1)( s 3), vi e quindi un polo a

parte eale positiva (posto in +3). 5 Instabile Ha un polo a parte eale positiva (posto in +1). 6 Asintoticamente stabile Via criterio di Routh-Hurwitz (vedi sotto i dettagli). 7 Instabile Ha un modo naturale illimitato, infatti g7(t) = L1 s +1s 2 =

1 + t, t 0 : i modi naturali sono quindi 1 e t, t 0, equestultimo e illimitato.

8 Semplicemente stabile Le radici di s2 + s + 1 sono a parte eale negativa (e unpolinomio di grado 2, posso usare la regola di Cartesio),quelle di s2 +4 sono 2 j , dunque a parte eale nulla, e adesse sono associati i modi limitati (e non convergenti a 0)1(t) = cos(2 t) e 2 (t) = sin(2 t), t 0.

Per quanto riguarda il sistema 6 , non essendo disponibili (in questa domanda) informazioni chepermettano di calcolare i poli di G6(s), conviene applicare il Criterio di Routh-Hurwitz. Cos facendosi ottiene la seguente tabella:

1 73/ 47 25

734

257

25

Poiche 734 257 = 77310028 > 0, allora la prima colonna della tabella e ben denita e con elementitutti dello stesso segno, quindi tutte le radici di s3 + 7 s2 + 734 s + 25 hanno parte eale negativa e ilsistema 6 e asintoticamente stabile.

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Ad esempio, 2 = (0 , 1, 1, 0). In generale, 2 = (0 ,b,c, 0) con b e c tali che bc = 1;

Poiche G3(s) e una funzione razionale propria (non strettamente), occorre innanzitutto riscriver-la come una funzione razionale strettamente propria sommata ad una costante: G3(s) = 2s +1 +1.Quindi, ad esempio, 3 = (1, 1, 2, 1). In generale, 3 = (1,b,c, 1) con b e c tali che bc = 2.

SOLUZIONE ESERCIZIO 31.31.1- Il sistema e SISO perche la risposta allimpulso data e una singola funzione (in generale, larisposta allimpulso e una matrice di p m di funzioni). Dal confronto diretto con lespressionegenerale della risposta allimpulso, cioe

g(t) = CeAt B + D (t), t 0,segue che il sistema e proprio (non strettamente) e D = 1.

31.2-3- Per t > 0,g(t) = e2t + tet

e sappiamo che tale espressione e una combinazione lineare dei modi naturali del sistema. Il sistema( A,B,C,D ) ha quindi certamente i modi 1 (t) = e2t e 2(t) = tet ; daltra parte, se il sistemaha il modo 2 (t) = tet , allora necessariamente ha anche il modo 3(t) = et . Da cio segue, inparticolare, che ord() = 3 e dunque A R 33 . Il sistema ( A,B,C,D ) e asintoticamente stabileperche tutti i suoi 3 modi naturali sono convergenti a 0. Inoltre,

G(s) = Lg(t) = 1s + 2

+ 1

(s + 1) 2 + 1 =

s3 + 5 s2 + 8 s + 5(s + 2)( s + 1) 2

:

il polinomio caratteristico di A e dunque dato dal denominatore di G(s), ossia

pA (s) = ( s + 2)( s + 1) 2 .

31.4- Si haU 1(s) =

1s

e U 2(s) = 1s + 3

.

Dunque:Y F 1 (s) = G(s) U 1(s) = s

3 +5 s 2 +8 s +5s (s +2)( s +1) 2 =

= s + s +2 +

s +1 +

(s +1) 2 =

(a)= 5/ 2s

1/ 2s +2 +

s +1

1

(s +1) 2 =

(b)=

5/ 2s

1/ 2s + 2

1s + 1

1(s + 1) 2

,

dove in (a) abbiamo usato la formula dei residui ed in (b) abbiamo eseguito il match dei coefficienti.Quindi,

yF 1 (t) =52

12

e2t et tet sca( t).Analogamente,

Y F 2 (s) = G(s) U 2(s) = s3 + 5 s2 + 8 s + 5(s + 3)( s + 2)( s + 1) 2

= 1/ 4s + 3

+ 1s + 2

1/ 4s + 1

+ 1/ 2(s + 1) 2

,

70


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quindi

yF 2 (t) =14e

3t

+ e2t

14e

t

+ 12te

t

sca(t).Inne, usando il principio di sovrapposizione degli effetti e le propriet` a del ritardo di tempo, si ha:

yF 3 (t) = yF 1 (t) yF 2 (t)yF 4 (t) = yF 1 (t 1) + 2 yF 2 (t 2).

SOLUZIONE ESERCIZIO 32.32.1- Il sistema si riscrive nella seguente forma matriciale:

x(t) = 2 47 9

x(t) + 12

u(t)

y(t) = 2 0 x(t).

Si ha dunque

G(s) = 2 0 s 2 47 s + 9

1 12

= 2 0

s + 9 47 s 2

12

s2 + 7 s + 10 =

= 2 s + 1

(s + 2)( s + 5).

Il sistema e asintoticamente stabile perche i suoi autovalori, 1 = 2 e 2 = 5, sono entrambinegativi.

32.2- Poiche il sistema e asintoticamente stabile, si ha

limt+

yL (t) = 0 e dunque limt+

y(t) = limt+

yF (t) :

ci limitiamo quindi a calcolare il limite delle corrispondenti uscite forzate.

In corrispondenza di u1(t),lim

t+ yF 1 (t) = 5 G(0) = 5

15

= 1;

In corrispondenza di u2(t), yF 2 (t) = g(t) e, essendo il sistema asintoticamente stabile,lim

t+ g(t) = 0;

In corrispondenza di u3(t), yF 3 (t) = yF 1 (t 1) elim

t+ yF 1 (t 1) = limt+ yF 1 (t) = 1;

In corrispondenza di u4(t), per il principio di sovrapposizione degli effetti, si ha yF 4 (t) = 2 yF 1 (t)+yF 2 (t) yF 3 (t) e

limt+

2yF 1 (t) + yF 2 (t) yF 3 (t) = 2 + 0 1 = 1.

71


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.5

0

0.5

1

1.52

2.5

t

g ( t )

Figura 30: Graco della risposta allimpulso del sistema considerato nellEsercizio 32.

32.3- La trasformata di Laplace della risposta allo scalino e data da

Y F (s) = G(s) 1s

= 2(s + 1)

(s + 2)( s + 5) s =

2s + 2s3 + 7 s2 + 10 s

.

Poiche si tratta di una funzione razionale strettamente propria, e possibile applicare il Teorema delvalore iniziale ed ottenere

limt0+

yF (t) = lims

sY F (s) = lims

2s + 2s2 + 7 s + 10

= 0.

Inoltre,

LyF (t) = sY F (s) yF (0) = sY F (s) 0 = 2s + 2s2 + 7 s + 10 :poiche si tratta di una funzione razionale strettamente propria, e possibile applicare il Teorema delvalore iniziale ed ottenere

limt0+

yF (t) = lims

s LyF (t) = lims2s2 + 2 s

s2 + 7 s + 10 = 2.

Con riferimento ai graci riportati in Figura 2, al ne di individuare quello che effettivamenterappresenta la risposta allo scalino del sistema, possiamo procedere per esclusione nel modo seguente:

Poiche abbiamo trovato che lim t0+ yF (t) = 2, possiamo senzaltro escludere i graci in Figu-ra 2.(a-e-h) nei casi (a-e), yF (0+ ) < 0; nel caso (h), yF (0+ ) = 0 .

Il valore di regime della risposta allo scalino e dato dalim

t+ yF (t) = G(0) =

15

= 0.2,

possiamo quindi escludere anche i graci in Figura 2.(b-f-g).

Inne, per discriminare fra il caso (c) e (d), valutiamo il tempo T a di assestamento della rispostaallo scalino: poiche

T a = 5

| e(dom )| =

52

= 2 .5 s,

possiamo concludere che lunico graco compatibile e quello in Figura 2.(d).

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32.4- Per la risoluzione dellesercizio, e utile ricordare il seguente fatto:

La risposta della derivata e la derivata della risposta

Sia u(t) un ingresso nullo per t < 0 e sia y(t) la risposta forzata corrispondente a tale ingresso y(t) = 0 per t < 0 . Consideriamo adesso u1(t) = u(t) e sia y1(t) la corrispondente uscita forzata, allora

y1(t) = y(t).

Infatti: Y (s) = G(s)U (s), U 1(s) = sU (s), quindi

Ly1(t) = G(s) sU (s) = s G(s) U (s) = sY (s) = Ly(t)e Ly1(t) = Ly(t) y1(t) = y(t) (iniettivit`a della trasformata di Laplace).Esempi (visti a lezione, esercitazione ed in laboratorio): la risposta allo scalinoe la derivata della risposta al la rampa; la risposta al limpulso e la derivata della risposta allo scalino.

Poiche la risposta allimpulso g(t) e la derivata della risposta allo scalino y[u ( t )=sca( t )]F (t), si ha

limt0+

g(t) = limt0+

y[u ( t )=sca( t )]F (t)

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