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v5_2009 DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas Francisco Virtuoso 2009/10

Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

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v5_2009

DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS

Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas

Francisco Virtuoso

2009/10

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v5_2009

Nota Introdutória

Este documento foi escrito como texto de apoio à disciplina de Estruturas Metálicas do Mestrado em

Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico, sendo uma versão revista da versão inicial apresentada no

ano lectivo de 2007/08, ano em que a disciplina de Estruturas Metálicas foi introduzida no currículo do curso.

Algumas partes deste documento basearam-se em textos escritos em colaboração com o Prof. António Reis

e que serviram de apoio a outras disciplinas da Licenciatura e do Mestrado em Engenharia Civil.

Embora este texto seja resultado de um esforço individual não posso deixar de agradecer aos meus amigos e

colegas Eduardo Pereira e Luis Guerreiro pelas sugestões que fizeram e pela colaboração na revisão do

texto.

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas i

INDÍCE

1. Conceito de estabilidade de equilíbrio ............. ...................................................................................... 1

2. Estabilidade de estruturas constituídas por barras r ígidas............................................. ..................... 3 2.1. Equilíbrio na posição deformada. Trajectória fundamental e trajectória de pós-encurvadura. Carga

crítica .......................................................................................................................................................... 3 2.2. Critérios energéticos .......................................................................................................................... 9 2.3. Análise dos efeitos das imperfeições geométricas iniciais............................................................... 13

3. Colunas............................................ ........................................................................................................ 16 3.1. Introdução ........................................................................................................................................ 16 3.2. Carga crítica de uma coluna ............................................................................................................ 17 3.3. Comprimento de encurvadura.......................................................................................................... 21 3.4. Comprimento de encurvadura de barras em estruturas trianguladas .............................................. 29 3.5. Esbelteza de uma coluna................................................................................................................. 31 3.6. Curva de dimensionamento de uma coluna ideal ............................................................................ 32 3.7. Esbelteza normalizada..................................................................................................................... 33 3.8. Efeito das imperfeições geométricas ............................................................................................... 34 3.9. Efeito das tensões residuais ............................................................................................................ 40 3.10. Verificação da segurança de colunas segundo o Eurocódigo 3....................................................... 42

4. Vigas-colunas ....................................... .................................................................................................. 48 4.1. Introdução ........................................................................................................................................ 48 4.2. Análise de vigas-colunas em regime elástico................................................................................... 49 4.3. Dimensionamento elástico de vigas-colunas ................................................................................... 52 4.4. Verificação da segurança de vigas-colunas segundo o Eurocódigo 3 ............................................. 57

5. Referências ........................................ ..................................................................................................... 61

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 1

1. CONCEITO DE ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIO

O conceito de estabilidade de uma estrutura está relacionado com a capacidade de uma

estrutura após atingir uma posição de equilíbrio permanecer ou afastar-se dessa posição

de equilíbrio.

Para ilustrar este conceito considere-se uma esfera que se move sem atrito sobre

superfícies côncavas, convexas e planas conforme se representa na figura 1.1a.

Figura 1.1 – Ilustração de situações de equilíbrio estável, instável e neutro e da correspondente variação da

energia potencial

Em qualquer um dos casos a esfera encontra-se em equilíbrio. No entanto as situações

de equilíbrio não são todas idênticas uma vez que se a esfera for ligeiramente afastada

relativamente à sua posição inicial de equilíbrio vai deslocar-se de forma diferente em

função da curvatura da superfície.

No caso da superfície côncava a esfera após ser afastada da sua posição de equilíbrio

volta para a posição de equilíbrio inicial - diz-se nesta situação que o equilíbrio é estável.

Pelo contrário, no caso da superfície convexa a esfera após ser afastada da sua posição

de equilíbrio vai afastar-se cada vez mais da posição de equilíbrio inicial - diz-se nesta

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situação que o equilíbrio é instável. Finalmente, no caso da superfície plana a esfera

após ser afastada da equilíbrio inicial não vai ter tendência para se afastar nem para se

aproximar da posição de equilíbrio inicial - diz-se neste caso que o equilíbrio é neutro ou

indiferente.

A avaliação do equilíbrio e da sua estabilidade pode ser efectuada através da análise das

variações da energia potencial. No caso da esfera a deslocar-se sobre uma superfície a

energia potencial total coincide com a energia potencial gravítica, tendo-se

V = m g h (1.1)

em que V representa a energia potencial total, m a massa da esfera, g a aceleração da

gravidade e h a posição da esfera relativamente a uma coordenada de referência.

Para as três situações referidas representa-se também a energia potencial em função de

uma coordenada x, que representa o deslocamento horizontal da esfera em relação à

posição de equilíbrio inicial.

O equilíbrio da estrutura corresponde a um ponto de estacionaridade da energia potencial.

Com efeito verifica-se para as três situações que a derivada da energia potencial em

relação ao deslocamento é nula na posição de equilíbrio (x=0), ou seja

dV

dx x=0=0, o que

confirma que as posições iniciais da esfera constituem funções de equilíbrio. A análise da

segunda derivada da energia potencial permite avaliar a estabilidade do equilíbrio. No

caso da superfície côncava a segunda derivada da energia potencial é positiva, ou seja a

posição de equilíbrio corresponde a um mínimo daquela energia, estando-se por isso

perante uma situação de equilíbrio estável. Pelo contrário, na situação em que a

superfície é convexa a segunda derivada da energia potencial é negativa, indicando

assim que a posição inicial corresponde a um máximo da energia potencial, ou seja, a

uma posição de equilíbrio instável. Finalmente, no caso da superfície plana a segunda

derivada da energia potencial é nula, não sendo possível classificar o equilíbrio como

estável ou instável, sendo por isso neutro.

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 3

2. ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS CONSTITUÍDAS POR BARR AS

RÍGIDAS

2.1. Equilíbrio na posição deformada. Trajectória f undamental e trajectória

de pós-encurvadura. Carga crítica

Na análise linear de estruturas admite-se que o equilíbrio se verifica na posição

indeformada da própria estrutura. Quando se analisam problemas de encurvadura, ou de

uma forma mais geral, problemas de estabilidade de estruturas, aquela hipótese deixa de

ser admissível sendo necessário efectuar o equilíbrio na posição deformada da estrutura.

Embora o objectivo final seja estudar os problemas de encurvadura em peças lineares

deformáveis ao longo do seu eixo apresenta-se em seguida, através de alguns exemplos,

a análise dos fenómenos de encurvadura em estruturas constituídas por barras rígidas e

molas associadas às rotações e aos deslocamentos das estruturas. Estes exemplos para

além de servirem para introduzir alguns conceitos fundamentais, como por exemplo o

estabelecimento do equilíbrio na posição deformada, a análise de trajectórias de

equilíbrio e o conceito de carga crítica, permitem a análise do problema recorrendo a

conceitos de matemática muito mais simples do que no caso das barras deformáveis.

Considere-se a coluna, indicada na figura 2.1, constituída por duas barras rígidas de

comprimento L, ligadas por uma rótula e por uma mola com rotação de rigidez k e sujeita

a uma força P aplicada segundo o eixo das barras.

Figura 2.1 – Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 4

A análise linear da estrutura, em que o equilíbrio é efectuado na posição indeformada,

conduz a que os deslocamentos transversais, assim como o momento na mola, sejam

nulos, estando as barras da estrutura sujeitas apenas a um esforço axial de compressão

com o mesmo valor da carga aplicada.

Analise-se agora o equilíbrio da estrutura numa posição deformada genérica,

representada na figura 2.1c, caracterizada pela rotação θ ou pelo deslocamento

transversal u do nó de ligação das barras. Na figura 2.1d representa-se um diagrama de

corpo livre de uma das barras na posição deformada, sendo possível analisar o problema

a partir das seguintes equações:

Equilíbrio (na posição deformada) P u = M (2.1)

Compatibilidade u = L senθ (2.2)

Relação constitutiva M = 2 k θ (2.3)

Neste caso a relação de compatibilidade estabelece a relação entre o deslocamento

transversal a 1/2 vão e a rotação das barras. Tratando-se de um modelo de barras rígidas

a relação constitutiva refere-se apenas aos elementos deformáveis que, neste caso, é

apenas a mola de rotação na ligação entre as barras.

Introduzindo na equação (2.1) os valores de u e M definidos nas equações (2.2) e (2.3)

obtém-se:

2 k θ – P L senθ = 0 (2.4)

Esta equação tem duas soluções

1ª solução θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.5a)

2ª solução θ ≠ 0 ⇒ P = 2 kL

θsenθ (2.5b)

No gráfico apresentado na figura 2.2, em que o eixo das abcissas corresponde à rotação

θ e o eixo das ordenadas à carga aplicada, representam-se as duas soluções obtidas nas

equações 2.5a e 2.5b.

A trajectória para a qual a rotação é nula (θ = 0) e a carga (P) indeterminada, coincidente

portanto com o eixo das ordenadas, designa-se por trajectória fundamental (TF). A

trajectória que corresponde a uma solução equilibrada, mas com rotações θ não nulas,

designa-se por trajectória de pós-encurvadura (TPE).

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 5

Figura 2.2 – Relação carga (P) rotação (θ). Trajectória fundamental (TF) e trajectória de pós-encurvadura

(TPE)

Os problemas em que, como no exemplo analisado, existem duas trajectórias de

equilíbrio designam-se por problemas de instabilidade bifurcacional uma vez que para

cargas crescentes o ponto de cruzamento das duas trajectórias corresponde a uma

bifurcação da trajectória de equilíbrio. O valor de carga para o qual se dá a intersecção

das duas trajectórias designa-se por carga crítica de instabilidade elástica e que, por

simplicidade de apresentação, será neste texto designada apenas por carga crítica.

Para a estrutura em análise tem-se

Pcr = 2 kL (2.6)

valor este que se obtém da equação 2.5b determinando o limite de P quando θ tende

para zero.

No caso de se pretender obter apenas a carga crítica, a equação (2.4) pode ser

linearizada na vizinhança do ponto de bifurcação, ou seja de θ = 0, admitindo que θ é

pequeno, o que permite admitir senθ ≈ θ, obtendo-se

2 k θ – P L θ = 0 ⇒ (2 k – P L) θ = 0 (2.7)

Esta equação tem novamente duas soluções

1ª solução θ = 0 ⇒ P indeterminado (TF) (2.8a)

2ª solução θ ≠ 0 ⇒ P = 2 kL = Pcr (2.8b)

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 6

Saliente-se que esta última solução, obtida da linearização da equação 2.4, corresponde

à tangente à trajectória fundamental no ponto de bifurcação, o que permite determinar a

carga crítica, mas não permitindo definir a trajectória de pós-encurvadura.

Refira-se finalmente que a hipótese de os deslocamentos e rotações serem pequenos

pode ser admitida logo desde o início da análise, obtendo-se para este problema que a

equação 2.2, que representa a equação de compatibilidade, pode ser escrita na forma

u = L θ, o que em conjunto com as equações 2.1 e 2.3 permite obter directamente a

equação 2.7.

Considere-se agora uma outra estrutura, representada na figura 2.3, constituída por uma

barra rígida de comprimento L com um apoio fixo numa extremidade e com um apoio

elástico de rigidez k na outra extremidade.

Figura 2.3 - Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico

À semelhança do exemplo anterior a análise linear da estrutura, efectuando o equilíbrio

na posição indeformada, conduz a deslocamentos transversais e forças nas molas nulos,

ficando a barra sujeita apenas a esforços axiais.

Se o equilíbrio for efectuado na posição deformada, conforme se representa no diagrama

de corpo livre da figura 2.3c, definida em função da rotação θ ou pelo deslocamento

transversal u na extremidade superior da barra, obtêm-se as seguintes equações:

Equilíbrio (na posição deformada) P u = F d (2.9)

Compatibilidade d = L cosθ (2.10)

u = L senθ (2.11)

Relação constitutiva F = k u (2.12)

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 7

Substituindo os valores de d, u e F na equação 2.9 obtém-se

P L senθ = k L2 senθ cosθ ⇒ (k L cosθ - P) L senθ = 0 (2.13)

Esta equação tem duas soluções

Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.14a)

Trajectória de pós-encurvadura(TPE) θ ≠ 0 ⇒ P = k L cosθ (2.14b)

Na figura 2.3d representam-se as duas trajectórias correspondentes às equações 2.14a e

2.14b. A carga crítica corresponde ao valor da carga na intersecção dessas duas

trajectórias, obtendo-se da equação 2.14b para θ = 0

Pcr = k L (2.15)

À semelhança do exemplo anterior a equação 2.13 pode ser linearizada na vizinhança de

θ = 0, podendo admitir-se cosθ ≈ 1 e senθ ≈ 0, obtendo-se

(k L – P) Lθ = 0 (2.16)

Esta equação tem também duas soluções:

Trajectória fundamental θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.17a)

Aproximação da trajectória de pós-encurvadura θ ≠ 0 ⇒ P = kL = Pcr (2.17b)

Como se pode verificar da figura 2.3.e a linearização da equação 2.13 permite obter a

tangente à trajectória de pós-encurvadura na vizinhança de θ = 0, permitindo assim

determinar o valor da carga crítica, mas não a trajectória de pós-encurvadura.

Da mesma forma que no exemplo anterior a hipótese de os deslocamentos e rotações

serem pequenos pode ser admitida logo de início, permitindo reescrever as equações

2.10 e 2.11 (equações de compatibilidade) na forma d = L e u = L θ, respectivamente.

Estas duas equações juntamente com as equações 2.9 e 2.12 permitem obter

directamente a equação 2.16.

Nos dois exemplos apresentados ilustrou-se como é possível obter a trajectória

fundamental, a trajectória de pós-encurvadura e a carga crítica. Mostrou-se ainda que

através da linearização da solução na vizinhança do ponto de bifurcação se pode

determinar a carga crítica e a tangente à trajectória de pós-encurvadura.

Analise-se agora a estabilidade das trajectórias, começando pelas trajectórias

fundamentais. Para cargas inferiores às cargas críticas as trajectórias fundamentais são

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 8

estáveis pois se for introduzida uma pequena perturbação na configuração da estrutura

esta volta à sua configuração original.

Para cargas superiores à carga crítica a trajectória fundamental é instável em ambos os

exemplos; no segundo exemplo não existe mesmo qualquer configuração alternativa à

trajectória fundamental; no primeiro exemplo existem trajectórias de pós-encurvadura

com solução para o mesmo nível de carga, pelo que introduzindo uma pequena

perturbação na configuração da estrutura esta vai mudar da trajectória fundamental para

a trajectória de pós-encurvadura. Neste caso, para o primeiro exemplo, verifica-se que a

trajectória fundamental não é estável para valores de carga superiores à carga crítica.

Analise-se agora de forma qualitativa a estabilidade das trajectórias de pós-encurvadura.

No primeiro exemplo a trajectória de pós-encurvadura é estável uma vez que a

incrementos da rotação θ correspondem aumentos de carga. No segundo exemplo a

trajectória de pós-encurvadura é instável uma vez que a incrementos da rotação θ

correspondem variações negativas de cargas.

Refira-se finalmente que a metodologia apresentada para a determinação das cargas

críticas e as trajectórias de equilíbrio se baseia em efectuar o equilíbrio da estrutura numa

posição deformada adjacente à posição indeformada inicial.

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 9

2.2. Critérios energéticos

Conforme se referiu na introdução deste texto o equilíbrio e a análise de estabilidade de

uma estrutura podem ser determinados através da análise de energia potencial.

Considere-se novamente a estrutura do 1º exemplo analisado anteriormente e que se

reproduz na figura 2.4a.

Figura 2.4 - Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola

Neste caso a energia potencial total V é a soma da energia potencial Ve da força exterior

aplicada com a energia de deformação U da mola que liga as duas barras, ou seja

V = U + Ve (2.18)

A energia de deformação de uma mola de rotação é dada por

U = 12 M α =

12 k α2 (2.19)

em que M, α e K representam o momento, a rotação e a rigidez da mola, respectivamente.

Tomando como referencial a posição indeformada da estrutura a energia potencial das

forças exteriores, Ve, tem o valor simétrico do trabalho, W, realizado por essas forças ao

longo da deformação da estrutura, tendo-se

Ve = – W (2.20)

Para o problema em análise tem-se

U = 12 k (2θ)2 = 2kθ2 (2.21)

Ve = -W = - P∆ = - 2 PL (1 - cosθ) (2.22)

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 10

V = U + Ve = 2kθ2 - 2 PL (1 - cosθ) (2.23)

salientando-se que P é a única força exterior, a qual sofre um deslocamento ∆ colinear

com a sua direcção.

As configurações de equilíbrio correspondem a situações de estacionaridade de energia

potencial ou seja

Equilíbrio ⇒ ∂V∂θ = 0 ⇒ 4 k θ - 2 P L senθ = 0 (2.24)

Note-se que esta equação obtida através de um critério energético é idêntica à equação

2.4, a qual foi obtida através do equilíbrio da estrutura na posição deformada.

A trajectória fundamental e a trajectória de pós-encurvadura correspondem às duas

soluções desta equação, tendo-se:

Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.25)

Trajectória de pós-encurvadura (TPE) P = 2 kL

θsenθ (2.26)

Como seria de esperar estas trajectórias coincidem com as trajectórias determinadas

directamente a partir do equilíbrio da estrutura na posição deformada, permitindo obter o

valor da carga crítica

Pcr = 2 kL (2.27)

Conhecidas as trajectórias de equilíbrio da estrutura pode avaliar-se se são estáveis ou

instáveis. Conforme já se referiu, uma trajectória é estável ou instável consoante a

segunda derivada de energia potencial seja positiva ou negativa. Para a estrutura em

análise tem-se:

∂2V∂θ2 = 4 k - 2 P L cosθ (2.28)

A trajectória fundamental (TF) é definida por θ = 0, pelo que ao longo desta trajectória se

tem

∂2V∂θ2

TF = 4k - 2PL > 0 se P < Pcr ⇒ TF estável (2.29a)

< 0 se P > Pcr ⇒ TF instável (2.29b)

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 11

permitindo assim concluir que a trajectória fundamental é estável enquanto P < Pcr é

instável se P > Pcr.

Analisando agora a estabilidade do equilíbrio ao longo da trajectória de pós-encurvadura

(TPE), definida por P = 2 kL

θsenθ , tem-se

∂2V∂θ2

TPE = 4 k

1 -

θtgθ > 0 ∀θ ⇒ TPE é estável (2.30)

Conclui-se assim que para este problema a trajectória de pós-encurvadura é sempre

estável.

Considere-se agora o 2º exemplo analisado anteriormente e representado na figura 2.5a)

Figura 2.5 - Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico

Analise-se o equilíbrio e a sua estabilidade de forma semelhante ao efectuado para o 1º

exemplo. Tem-se neste caso

Energia de deformação U = 12 k u2 (2.31)

Energia potencial das forças exteriores Ve = – P∆ (2.32)

Relação de compatibilidade u = L senθ (2.33)

∆ = L (1 - cosθ) (2.34)

Energia potencial total V = U + Ve = 12 k L2 sen2θ - PL (1 - cosθ) (2.35)

As configurações de equilíbrio correspondem a

∂V∂θ = 0 ⇒ k L2 senθ cosθ - P L senθ = 0 (2.36)

Da solução desta equação obtém-se

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 12

Trajectória fundamental (TF) θ = 0 ⇒ P indeterminado (2.37a)

Trajectória de pós-encurvadura (TPE) P = k L cosθ (2.37b)

Carga crítica Pcr = k L (2.38)

Para a análise da estabilidade de equilíbrio tem-se

∂2V∂θ2 = k L2 cos2θ - k L2 sen2θ - P L cosθ = k L2 (2 cos2θ - 1) - P L cosθ (2.39)

A trajectória fundamental (TF) é definida por θ = 0, pelo que ao longo desta trajectória se

tem

∂2V∂θ2

TF = kL2 - PL > 0 se P < Pcr ⇒ TF estável (2.40a)

< 0 se P > Pcr ⇒ TF instável (2.40b)

permitindo assim concluir que a trajectória fundamental é estável enquanto P<Pcr e

instável se P>Pcr.

Analisando agora a estabilidade do equilíbrio ao longo da trajectória de pós-encurvadura

(TPE), definida por P = k L cosθ, tem-se

∂2V∂θ2

TPE = k L2 (cos2θ - 1) < 0 ∀θ ⇒ TPE instável (2.41)

Face aos resultados obtidos conclui-se que a trajectória fundamental é estável enquanto

P < Pcr e instável quando P > Pcr, e que a trajectória de pós-encurvadura é sempre

instável.

Dos dois exemplos apresentados da aplicação dos métodos energéticos, e por

comparação com a primeira abordagem em que se efectuou o equilíbrio na configuração

deformada, pode verificar-se que a utilização dos métodos energéticos permite

determinar as configurações de equilíbrio de uma forma mais sistematizável, embora de

maior dificuldade de interpretação do seu significado físico. Para além disso a aplicação

dos métodos energéticos apresenta como enorme vantagem o facto de permitir avaliar de

uma forma explicita a estabilidade das configurações de equilíbrio através da análise do

sinal da 2ª derivada da energia potencial ao longo das trajectórias de equilíbrio.

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 13

2.3. Análise dos efeitos das imperfeições geométric as iniciais

Na análise dos problemas de encurvadura as imperfeições geométricas podem ter uma

influência significativa, sendo importante saber avaliar a sua influência no comportamento

das estruturas. Apresenta-se de seguida a análise dos efeitos das imperfeições

geométricas iniciais para os dois exemplos com um grau de liberdade apresentados no

§2.2. Realça-se que a análise destes problemas é de tratamento matemático

relativamente simples permitindo extrapolar conclusões, ainda que apenas de forma

qualitativa, para outros tipos de estruturas, nomeadamente para as barras deformáveis.

Na figura 2.6a) representa-se a estrutura do primeiro exemplo anteriormente analisado,

mas considerando-se agora a existência de uma imperfeição geométrica inicial com uma

amplitude definida pelo ângulo θ0.

Figura 2.6 – Coluna simplesmente apoiada composta por duas barras rígidas ligadas por uma mola. Análise

do efeito das imperfeições geométricas iniciais

A determinação das trajectórias de equilíbrio pode ser efectuada através da análise da

energia potencial total, e em particular, dos seus pontos de estacionaridade, tendo-se:

Energia de deformação: U = 12 k (2θ - 2θ0)

2 = 2k (θ - θ0)2 (2.42)

Energia potencial das forças exteriores: Ve = – P x ∆ (2.43)

Tendo em consideração que a relação de compatibilidade permite escrever que

∆ = 2 L (cosθo - cosθ) obtém-se

Energia potencial total: V = U + Ve = 2k (θ – θ0)2 – 2 P L (cosθ0 - cosθ) (2.44)

Equilíbrio: ∂V∂θ = 0 ⇒ 4k (θ – θ0) - 2 P L senθ = 0 ⇒ P =

2kL

θsenθ -

θ0

senθ (2.45)

Page 18: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 14

Na figura 2.6c representa-se graficamente esta equação para diferentes valores de θ0,

verificando-se que o valor de θ na intersecção com os eixos das abcissas é o valor da

imperfeição inicial e que as trajectórias são assimptóticas relativamente à trajectória de

pós-encurvadura da estrutura perfeita (sem imperfeições). O facto de as imperfeições

geométricas iniciais serem positivas ou negativas não tem qualquer consequência na

resposta da estrutura a não ser definir desde logo que as deformações da estrutura terão

o mesmo sinal da imperfeição.

Considere-se agora o 2º exemplo já analisado, mas introduzindo uma imperfeição inicial

definida pelo ângulo θ0 conforme se representa na figura 2.7.

Figura 2.7- Coluna composta por uma barra rígida com um apoio fixo e um apoio elástico. Análise do efeito

das imperfeições geométricas iniciais

À semelhança do caso anterior podem determinar-se as trajectórias de equilíbrio em

função da imperfeição inicial θ0, tendo-se:

Energia de deformação: U = 12 k (u - u0)

2 (2.46)

Energia potencial das forças exteriores: Ve = – P x ∆ (2.47)

Relação compatibilidade: u0 = L senθ0 (2.48)

u = L senθ (2.49)

∆ = L (cosθ0 - cosθ) (2.50)

Energia Potencial total: V = U + Ve = 12 kL2 (senθ – senθ0)

2 - PL (cosθ0 - cosθ) (2.51)

Equilíbrio:

∂V∂θ = 0 ⇒ k L2 (senθ – senθ0) cosθ - P L senθ = 0 ⇒ P = k L ( )senθ - senθ0

1tgθ (2.52)

Page 19: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 15

Na figura 2.7c) representam-se as trajectórias correspondentes a esta solução para

diferentes valores de imperfeição geométrica inicial θ0. Da análise das curvas verifica-se

que para P = 0 se tem θ = θ0, que as curvas são inicialmente crescentes com P, atingindo

um valor máximo tanto menor quanto maior o valor absoluto da imperfeição geométrica, e

que quando θ aumenta tendem assimptoticamente para a trajectória de pós-encurvadura.

Da análise comparativa das figuras 2.6c) e 2.7c) verifica-se que a trajectória da estrutura

com imperfeições iniciais tende em ambos os casos assimptoticamente para a trajectória

de pós-encurvadura da estrutura perfeita. No entanto, o facto de esta trajectória ser

estável para a primeira estrutura e instável para a segunda estrutura, traduz-se num

comportamento significativamente diferente quando se consideram as imperfeições

geométricas. No primeiro caso, em que a trajectória de pós-encurvadura da estrutura

perfeita é estável, a consideração das imperfeições geométricas não impede que a

relação carga rotação seja sempre crescente, verificando-se ser possível atingir cargas

superiores à carga crítica. No segundo caso, em que a trajectória de pós-encurvadura da

estrutura perfeita é instável, a consideração do efeito das imperfeições geométricas

conduz a que os valores máximos da carga sejam sempre inferiores ao valor da carga

crítica, sendo o valor da carga máxima tanto menor quanto maior for a amplitude da

imperfeição. Esta conclusão pode ser generalizada para qualquer tipo de estruturas

dizendo-se que quando as trajectórias de pós-encurvadura são estáveis as estruturas são

pouco sensíveis ao efeito das imperfeições iniciais; pelo contrário, quando as trajectórias

de pós-encurvadura são instáveis, as estruturas são muito sensíveis ao efeito das

imperfeições iniciais.

Page 20: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 16

3. COLUNAS

3.1. Introdução

Neste capítulo aborda-se a encurvadura de colunas, desde os problemas de encurvadura

elástica de colunas perfeitas até às curvas de dimensionamento de colunas, e a sua

consideração na regulamentação actual de verificação da segurança de estruturas

metálicas.

No contexto da análise e verificação da segurança de elementos de estruturas metálicas

entende-se por colunas as peças lineares sujeitas apenas a esforços de compressão,

distinguindo-se das vigas – elementos sujeitos apenas a momentos flectores e a esforços

transversos, sendo nulo o esforço axial – e de vigas-colunas – elementos sujeitos

simultaneamente a esforços axiais, momentos flectores e, em geral, esforços transversos.

De uma forma geral adopta-se neste texto a convenção usual de considerar positivos os

esforços axiais de tracção assim como as tensões de tracção. No entanto, e de forma a

facilitar a apresentação, estando-se a abordar problemas de encurvadura, associados a

esforços e tensões de compressão, optou-se em algumas situações por se fazer

referência ao valor absoluto dos esforço ou tensões, deixando-se ao cuidado do leitor a

interpretação do respectivo sinal.

Na análise mais corrente de estruturas as equações de equilíbrio são estabelecidas na

configuração inicial da estrutura, ou seja, na sua configuração indeformada,

designando-se por análises geometricamente lineares. A análise da estabilidade de

estruturas obriga à consideração do equilíbrio na sua posição deformada, designando-se

este tipo de análises por geometricamente não lineares.

Na figura 3.1 ilustra-se a diferença entre uma análise geometricamente linear e uma

análise geometricamente não linear para o caso de uma coluna simplesmente apoiada,

sujeita a uma carga concentrada aplicada na extremidade móvel e com a direcção do

eixo da peça.

No caso da análise geometricamente linear, e uma vez que o equilíbrio é estabelecido na

configuração indeformada, a coluna fica sujeita apenas a esforços axiais sendo nulos os

momentos flectores ao longo do seu eixo.

Page 21: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 17

Figura 3.1 – Coluna simplesmente apoiada sujeita a uma carga axial. Ilustração da diferença entre análises

geometricamente lineares e não lineares

No caso da análise geometricamente não linear o equilíbrio da estrutura é estabelecido

na sua configuração deformada. Assim, e considerando uma situação genérica, admite-

se que a estrutura vai ter deslocamentos perpendiculares ao seu eixo que não são nulos,

conduzindo a que para se garantir o equilíbrio, e como se ilustra na figura 3.1, os

momentos flectores também não sejam nulos.

3.2. Carga crítica de uma coluna

Considere-se a coluna, simplesmente apoiada e sujeita a um esforço axial de

compressão P, representada na figura 3.2.

Admitam-se as seguintes hipóteses:

• o material é elástico linear;

• as secções transversais têm dois eixos de simetria, sendo portanto eixos

principais de inércia, e que a análise se efectua num plano definido pelo eixo da

peça e por um dos eixos principais de inércia da secção;

• desprezam-se as deformações por esforço transverso.

Page 22: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 18

De acordo com uma análise geometricamente linear, também designada por análise de

1ª ordem, a coluna apenas está sujeita a esforços e deformações axiais pelo que os

deslocamentos perpendiculares ao eixo são nulos.

Figura 3.2 - Coluna simplesmente apoiada. Equilíbrio na posição deformada.

Considere-se agora a possibilidade de aqueles deslocamentos serem não nulos, ou seja

w(x) ≠ 0 (figura 3.2b). Do equilíbrio do troço do elemento representado na figura 3.2c

obtém-se

M(x) = P w(x) (3.1)

O raio de curvatura da peça deformada relaciona-se com o deslocamento transversal w(x)

por

1R = -

d2wdx2

1 -

dw

dx

2 3/2 ≈ -

d2wdx2 (3.2)

Como se admite que o material tem um comportamento elástico linear o momento flector

M numa secção relaciona-se com o raio de curvatura R por

M = EΙR (3.3)

em que E e Ι representam o módulo de elasticidade do material e o momento de inércia

da secção transversal, respectivamente.

Tendo em consideração as equações 3.2 e 3.3 a relação entre o momento flector e o

deslocamento transversal pode ser dada por

Page 23: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 19

M = -EΙ d2w

dx2 (3.4)

pelo que a equação 3.1 pode ser escrita na forma

- EΙ d2w

dx2 = P w ⇒ d2wdx2 + k2 w = 0 com k =

PEΙ (3.5)

A equação 3.5 é uma equação diferencial homogénea que tem como solução

w = A sen(kx) + B cos(kx) (3.6)

sendo as constantes A e B definidas em função das condições de fronteira.

Para o caso da coluna simplesmente apoiada em análise as condições de fronteira são

as correspondentes a impôr que os deslocamentos são nulos nas extremidades do

elemento, ou seja w(0)=0 e w(L)=0. Destas condições obtém-se

w(0) = 0 ⇒ B= 0 ⇒ w(x) = A sen(kx) (3.7)

w(L) = 0 ⇒ A sen(kL) = 0 (3.8)

A primeira condição define a forma dos deslocamentos transversais. A segunda equação

tem duas soluções:

A sen(kL) = 0 ⇒ 1ª solução A = 0 (3.9a)

⇒ 2ª solução A ≠ 0 ⇒ sen(kL) = 0 (3.9b)

No caso da 1ª solução tem-se A=0, pelo que os deslocamentos transversais de coluna

são nulos, ou seja w(x)=0. Para a 2ª solução tem-se A≠0, sendo assim necessário que

sen(kL)=0. Tendo em consideração a periodicidade da função seno tem-se

sen(kL) = 0 ⇒ k L = n π (com n inteiro) (3.10)

A partir da definição de k (k= P/EΙ) obtém-se para cada valor de n um valor da carga, o

qual é designado por carga crítica do modo n, e é dado por

Pcr(n)

= n2π2EΙ

L2 (3.11)

A menor das cargas críticas de uma coluna simplesmente apoiada designa-se por carga

de Euler (PE), sendo dada por

PE = Pcr(1)

= π2EΙL2 (3.12)

Page 24: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 20

A cada valor de n está também associado um modo de deformação, obtido a partir da

equação 3.7 e designado por modo de encurvadura, o qual é definido por

w(n) = A sennπxL (3.13)

Na figura 3.3 indicam-se as cargas críticas e representam-se os modos de encurvadura

em função de n e a relação entre a carga P e o deslocamento transversal w.

Figura 3.3- Cargas críticas e modos de encurvadura de uma coluna simplesmente apoiada

Para A=0 a relação entre a carga e o deslocamento transversal é coincidente com o eixo

das cargas (ordenadas) e designa-se por trajectória fundamental (TF). Quando a coluna

encurva (A≠0), a relação entre a carga e os deslocamentos transversais, representada a

tracejado na figura 3.3, designa-se por trajectória de pós-encurvadura (TPE) e pode ser

obtida se não se introduzir a aproximação indicada na equação 3.2.

A análise da coluna anteriormente apresentada, e em consequência da simplificação

introduzida na equação 3.2, apenas permite determinar as cargas críticas, não definindo

a trajectória de pós-encurvadura. No entanto para as colunas, e ao contrário do que

acontece com outros elementos estruturais, como por exemplo as placas, ao longo da

trajectória de pós encurvadura os aumentos de carga são muito pequenos, pelo que se

pode adoptar como aproximação que para a carga crítica os deslocamentos aumentam

indefinidamente. Esta hipótese é ilustrada na figura 3.3, representando-se a trajectória de

pós-encurvadura a tracejado e a aproximação referida a cheio.

Page 25: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 21

3.3. Comprimento de encurvadura

Analisou-se anteriormente o caso de uma coluna simplesmente apoiada. No caso mais

geral de uma coluna com quaisquer condições de apoio nas suas extremidades a

determinação das cargas críticas e dos modos de encurvadura pode ser efectuada a

partir da análise do modelo representado na figura 3.4. Este modelo representa uma

barra genérica de comprimento L com quaisquer condições de fronteira estáticas ou

cinemáticas.

Figura 3.4- Caso geral de uma coluna. Equilíbrio na posição deformada.

Do equilíbrio do troço da coluna representado na figura 3.4b) pode concluir-se que

M(x) - P w(x) = MA + Vx (3.14)

Tendo em consideração a relação entre o momento e os deslocamentos transversais

(equação 3.4), a equação de equilíbrio pode escrever-se na forma

EΙ d2w

dx2 + P w = - MA - Vx (3.15)

Derivando esta equação duas vezes em ordem a x obtém-se a seguinte equação

diferencial homogénea com coeficientes constantes

d4wdx4 + k2

d2wdx2 = 0 com k=

PEΙ (3.16)

Page 26: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 22

Esta equação diferencial tem como solução

w(x) = C1 sen(kx)+ C2 cos(kx) + C3 x + C4 (3.17)

A introdução das condições de fronteira nas extremidades de colunas permite, à

semelhança do caso de coluna simplesmente apoiada, determinar a carga crítica e definir

o modo de encurvadura.

Exemplo 3.1: Considere-se a coluna encastrada-apoiada representada na figura 3.5. Determinar a menor carga

crítica e o respectivo modo de encurvadura.

Figura 3.5 - Coluna encastrada apoiada

Solução:

w(x) = C1 sen(kx)+ C2 cos(kx) + C3 x + C4

dwdx = w'(x) = C1 k cos(kx) - C2 k sen(kx) + C3

d2wdx2 = w''(x) = - C1 k

2 sen(kx) - C2 k2 cos(kx)

Condições de fronteira:

w(0) = 0 ⇒ C2 + C4 =0

w'(0) = 0 ⇒ C1 k + C3 =0

w(L) = 0 ⇒ C1 sen(k L) + C2 cos(k L) + C3 L + C4 = 0

M(L) = 0 ⇒ w''(L) = 0 ⇒ -C1 k2 sen(k L) - C2 k

2 cos(k L) = 0

A introdução das quatro condições de fronteira conduz a um sistema de equações cuja solução é dada por

C1 [ ](tg(k L) - k L) = 0 C2 = - C1tg(k L)

Page 27: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 23

C3 = -C1 k C4 = C1 tg(k L)

Da análise da solução do sistema de equações pode concluir-se que para satisfazer a primeira equação é

necessário que

C1 [ ](tg(k L) - k L) = 0 ⇒ 1ª solução C1 = 0 Trajectória fundamental

⇒ 2ª solução C1 ≠ 0 ⇒ tg(k L) – k L = 0 ⇒ k L = 4.493... ≈ π

0,70 + nπ

Refira-se que a equação [ ](tg(k L) - k L) é uma equação transcendente cuja solução só pode ser obtida numérica

ou graficamente. Esta equação tem várias soluções sendo o valor de k L = π/0,70 a menor das soluções,

correspondendo à menor das cargas críticas.

Tendo em consideração o menor valor obtido para kL e a definição de k obtém-se para o caso da coluna

encastrada-apoiada

Carga crítica Pcr = π2EΙ

(0,70L)2

Modo de encurvadura w(x) = C1

sen

πx0,70L - tg

π0,70 cos

πx0,70L -

πx0,70L + tg

π0,70

O valor obtido para a carga crítica no caso da coluna encastrada-apoiada analisada no

exemplo 3.1 permite introduzir o conceito de comprimento de encurvadura. Com efeito, a

carga crítica da coluna encastrada-apoiada pode ser escrita na forma

Pcr = π2EΙLe

2 com Le = 0,70L (coluna encastrada-apoiada) (3.18)

designando-se o comprimento Le por comprimento de encurvadura. Comparando a

equação 3.18 com a equação 3.12, que define a carga de Euler, pode dizer-se que o

comprimento de encurvadura de uma coluna é o comprimento da coluna simplesmente

apoiada que tem a mesma carga crítica. Na figura 3.6 ilustra-se o conceito de

comprimento de encurvadura para o caso da coluna encastrada apoiada.

Definido o conceito de comprimento de encurvadura pode escrever-se, com toda a

generalidade, que a carga crítica de uma coluna é dada por

Pcr = π2EΙLe

2 (3.19)

Na figura 3.7 representam-se os comprimentos de encurvadura de colunas com diversas

condições de apoio, os quais podem ser determinados adoptando o mesmo

Page 28: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 24

procedimentos que foi apresentado no exemplo 3.1. Note-se que o comprimento de

encurvadura corresponde à distância entre pontos de inflexão do modo de encurvadura.

Figura 3.6 - Comprimento de encurvadura de uma coluna encastrada apoiada

Figura 3.7 - Comprimento de encurvadura de colunas

Refira-se ainda que, conforme também se ilustra na figura 3.7, para a maior parte das

situações analisadas é possível determinar o comprimento de encurvadura com base em

condições geométricas tendo em conta as características dos apoios nas extremidades

das barras.

Page 29: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 25

Na maior parte das estruturas as condições de fronteira das colunas dependem da rigidez

dos elementos adjacentes, pelo que os valores do comprimento de encurvadura

indicados na figura 3.7 não representam mais do que situações limites da rigidez de

rotação dos apoios, correspondentes a uma rigidez nula (apoios simples) ou uma rigidez

infinita (encastramentos ou encastramentos deslizantes). As situações intermédias

podem ser analisadas a partir dos modelos representados na figura 3.8, distinguindo-se

os casos em que se impede o deslocamento transversal em ambas as extremidades

(figura 3.8a) e os casos em que aquele deslocamento apenas é impedido numa

extremidade (figura 3.8b).

Figura 3.8- Modelos para a determinação do comportamento de encurvadura no caso geral.

O comprimento de encurvadura de uma coluna é função da relação entre a rigidez da

coluna, Kc, e a rigidez dos elementos adjacentes considerada através da rigidez das

molas nas extremidades das barras, K1 e K2, a qual pode ser considerada a partir dos

seguintes parâmetros

η1 = Kc

Kc + K1 η2 =

Kc

Kc + K2 (3.20)

Para a determinação destes parâmetros a rigidez da coluna, Kc, corresponde ao valor da

rigidez associado à rotação numa extremidade quando estão impedidos a rotação na

outra extremidade e os deslocamentos transversais em ambas as extremidades, sendo

definida por

Kc = 4EΙc

Lc (3.21)

Page 30: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 26

em que Ic e Lc representam respectivamente o momento de inércia e o comprimento da

coluna.

Na figura 3.9 apresentam-se dois ábacos que permitem calcular o comprimento de

encurvadura de uma coluna com base nos modelos representados na figura 3.8 e no

valor dos parâmetros η1 e η2.

Figura 3.9a - Ábaco para a determinação do comprimento de encurvadura de colunas com apoios elásticos

no caso em que os deslocamentos transversais estão impedidos nas duas extremidades.

(valores das curvas - αe; comprimento de encurvadura Le = αe L)

η1

0.500

0.525

0.550

0.575

0.600

0.625

0.650

0.675

0.700

0.750

0.800

0.850

0.900

0.950

1.000

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

2222

η2

Page 31: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 27

Figura 3.9b - Ábaco para a determinação do comprimento de encurvadura de colunas com apoios elásticos

no caso em que o deslocamento transversal está impedido apenas numa extremidade.

(valores das curvas - αe; comprimento de encurvadura Le = αe L)

η1

η2

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.40

1.50

1.60

1.80

2.00

2.202.40

2.60

3.004.00

5.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Page 32: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 28

Exemplo 3.2: Considerem-se os pórticos representados na figura 3.10. Admitindo apenas a instabilidade no

plano da estrutura pretende determinar-se o comprimento de encurvadura para a situação do pórtico travado

transversalmente (figura 3.10a) e não travado (figura 3.10b).

Dados: E = 210 GPa

Travessa Perfil HEA300 Ιt = 18260 cm4 Lt = 12,00 m

Montantes Perfil HEA400 Ιc = 45070 cm4 Lc = 5,00 m

Figura 3.10a - Pórtico travado transversalmente

Kc = 4EΙc

Lc = 75718 kNm

K1 = EΙt

0.5Lt = 6391 kNm η1 = 0,922

K2 = ∞ η2 = 0

Figura 3.9a → α ≈ 0,68 Le = αeLc = 3,40 m

Figura 3.10b - Pórtico não travado transversalmente

Kc = 4EΙc

Lc = 75718 kNm

K1 = 3EΙt

0.5Lt = 19173 kNm η1 = 0,798

K2 = ∞ η2 = 0

Figura 3.9b → α ≈ 1,55 Le = αeLc = 7,75 m

Page 33: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 29

3.4. Comprimento de encurvadura de barras em estrut uras trianguladas

De uma forma geral as estruturas trianguladas são calculadas admitindo que os seus nós

funcionam como articulados pelo que os únicos esforços a considerar na verificação da

segurança são esforços axiais. Os esforços podem ser calculados de forma aproximada

recorrendo apenas a equações de equilíbrio ou por aplicação dos métodos de análise de

estruturas.

Em algumas situações a materialização das ligações entre as barras introduz algumas

excentricidades entre os eixos das barras e os nós, as quais dão origem a momentos

flectores que devem também ser tidos em consideração na verificação da segurança das

barras embora não sejam explicitamente obtidos na análise de esforços das estruturas.

Saliente-se que o facto de se calcular uma estrutura triangulada como articulada nos nós

não exige que exista uma rótula nesse nó. Com efeito, a consideração apenas do esforço

axial quando não existe nenhuma rótula nos nós resulta da hipótese de se desprezar a

contribuição da rigidez de flexão das barras quando comparada com a sua rigidez axial.

A determinação do comprimento de encurvadura de uma barra de uma estrutura

triangulada depende das características da própria barra assim como das características

das barras que lhe estão adjacentes. No caso de estruturas trianguladas planas o

comprimento de encurvadura das barras no plano da estrutura é aproximadamente igual

ao comprimento da própria barra L, medido entre nós, como se exemplifica na figura 3.11

para os casos de uma corda comprimida e de uma diagonal de uma estrutura triangulada.

Na realidade a rigidez das barras adjacentes à barra em análise contribui para que o

comprimento de encurvadura da barra seja menor do que o comprimento entre nós. Este

cálculo pode ser efectuado de forma semelhante ao apresentado no §3.3, sendo no

entanto necessário ter em consideração o efeito do esforço axial na rigidez efectiva das

barras, o que introduz alguma complexidade nos cálculos [2,3]. De forma a ter em

consideração o efeito do encastramento elástico nas extremidades das barras alguns

regulamentos permitem que, desde que se verifiquem algumas condições relativas às

características das barras e ligações, se adoptem comprimentos de encurvadura de 0,9L.

Na direcção perpendicular ao plano da estrutura a triangulação deixa de influenciar o

comprimento de encurvadura das barras sendo este comprimento dependente dos

travamentos transversais. Neste contexto entendem-se por travamentos os sistemas

estruturais adicionais que vão impedir ou restringir os deslocamentos de alguns dos nós

na direcção perpendicular ao plano da estrutura.

Page 34: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 30

Figura 3.11 – Estruturas trianguladas. Comprimentos de encurvadura no plano da estrutura

Se os nós da estrutura triangular fossem todos verdadeiramente articulados então todos

esses nós teriam de ser travados na direcção perpendicular ao plano da estrutura. Nos

casos mais correntes as cordas são constituídas por barras contínuas, admitindo-se que,

como se exemplifica na figura 3.12, o seu comprimento de encurvadura é igual à

distância entre travamentos.

Figura 3.12 – Estruturas trianguladas. Comprimentos de encurvadura na perpendicular ao plano da estrutura

Page 35: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 31

Nalgumas situações adoptam-se estruturas triangulares tridimensionais como a que se

apresenta a título de exemplo na figura 3.13. Nestes casos não existe um comportamento

diferenciado entre a encurvadura das barras no plano ou perpendicularmente ao plano da

estrutura. Com efeito, neste caso, o carácter tridimensional da estrutura permite

assegurar, com as mesmas aproximações já referidas, que o comprimento de

encurvadura das barras será no máximo igual ao seu próprio comprimento.

Figura 3.13 – Estrutura triangulada tridimensional

3.5. Esbelteza de uma coluna

Como se apresentou anteriormente qualquer coluna pode ser analisada através de uma

coluna simplesmente apoiada equivalente com um comprimento igual ao comprimento de

encurvadura Le. Para esta coluna equivalente define-se a carga crítica, designada por

carga de Euler, PE = π2EΙ / Le2 (equação 3.12).

A avaliação da resistência de uma estrutura pode ser efectuada através da análise das

tensões aplicadas as quais podem ser obtidas dos esforços tendo em consideração as

características das secções transversais. À carga de Euler de uma coluna corresponde

uma tensão σE, designada por tensão de Euler, dada por

σE = PE

A = π2 E ΙA Le

2 (3.22)

Tendo em consideração a definição do raio de giração duma secção

i = ΙA (3.23)

Page 36: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 32

e introduzindo o parâmetro adimenional

λ = Le

i (3.24)

a tensão crítica passa a ser dada por

σE = π2 E i2

Le2 =

π2 Eλ2 (3.25)

O parâmetro λ é adimensional, uma vez que resulta do quociente entre dois

comprimentos, e designa-se por esbelteza de coluna, sendo tanto maior quanto maior o

comprimento de encurvadura e tanto menor quanto menor o raio de giração de secção

transversal.

3.6. Curva de dimensionamento de uma coluna ideal

No caso de um material elasto-plástico perfeito a relação tensões deformações é a

indicada na figura 3.14.

Figura 3.14- Relação tensões deformações de um material elasto-plástico perfeito

Se o material for elasto-plástico perfeito a resistência da coluna depende de qual dos

fenómenos ocorre para uma carga menor, a plasticidade do material ou a encurvadura da

coluna. Assim, a curva de dimensionamento de uma coluna ideal é definida pelo menor

dos valores correspondentes à plastificação da secção e à carga crítica, pelo que o

esforço axial resistente NR é dado por

NR = A σm com σm = min (fy; σE) (3.26)

Page 37: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 33

representando σm o valor da tensão média na secção associado ao esforço axial

resistente, fy a tensão de cedência do aço e σE a tensão de Euler.

Com base no valor da tensão de cedência (fy) e da tensão de Euler (σE) pode obter-se a

curva de dimensionamento de uma coluna ideal, representada na figura 3.15, a qual

define o valor da tensão média na secção (σm) associado ao esforço axial resistente em

função da esbelteza λ. Analisando esta curva pode observar-se a esbelteza λ1, que se

designa por esbelteza de referência, é o valor para a qual a tensão crítica é igual à

tensão de cedência, pelo que

π2 Eλ1

2 = fy ⇒ λ1 = π Efy

(3.27)

Figura 3.15 - Curva de dimensionamento de uma coluna ideal

3.7. Esbelteza normalizada

A partir do valor da esbelteza de referência λ1 pode definir-se uma nova esbelteza λ–,

designada por esbelteza normalizada, definida por

λ– = λλ1

= Le / i

π E / fy =

fy

π2 E i2

Le2

=fy

σE (3.28)

Page 38: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 34

A esbelteza normalizada apresenta a vantagem de definir se o dimensionamento da

coluna ideal é condicionado pela plastificação da secção (λ–<1) ou pela encurvadura da

coluna (λ–>1). Saliente-se que o valor de λ–=1, correspondente ao dimensionamento

óptimo da coluna ideal, é independente do valor da tensão de cedência e do módulo de

elasticidade do material. Na figura 3.15 representa-se também o eixo das esbeltezas

definido em função de λ–.

Uma vez que a carga crítica da coluna Ncr = AσE e que a resistência plástica da secção é

dada por Npl = Afy, a esbelteza normalizada pode ser escrita em função daqueles dois

esforços, tendo-se

λ– = fy

σE =

Npl

Ncr (3.29)

Verifica-se assim que a esbelteza normalizada tende para zero quando o valor relativo

entre o esforço normal plástico e a carga crítica diminui. Quando o valor relativo entre o

esforço normal plástico e a carga crítica aumenta a esbelteza normalizada tende para

valores elevados. O valor unitário da esbelteza normalizada corresponde a situações em

que o esforço axial plástico e o crítico são iguais.

3.8. Efeito das imperfeições geométricas

Na análise apresentada anteriormente designou-se a coluna como ideal uma vez que se

admitiu que na ausência de carga o seu eixo é perfeitamente rectilíneo. Nestas condições

só existem deslocamentos transversais quando a carga é igual ou superior à carga crítica.

No entanto, as colunas reais têm sempre imperfeições geométricas pelo que, mesmo na

ausência de carga, o seu eixo não é perfeitamente recto.

Considere-se a coluna representada na figura 3.16, onde wo(x) representa as

imperfeições iniciais para P=0 e w(x) os deslocamentos totais para P>0. Saliente-se que

w(x) representa os deslocamentos totais em relação à corda, ou seja, inclui o valor das

imperfeições geométricas inicias.

Do equilíbrio do troço da coluna representado na figura 3.16, e de forma semelhante ao já

efectuado para a coluna ideal, obtém-se

EΙ d2w

dx2 + P w = EΙ d2wo

dx2 (3.30)

Page 39: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 35

As imperfeições geométricas podem ser representadas por uma série de Fourier na

forma

wo(x) = ∑m=1

∞ wo.m sen

m π xL (3.31)

em wo.m representa a amplitude da componente com a forma sen m π x

L .

Tendo em consideração esta definição das imperfeições geométricas e as condições de

fronteira da coluna, w(0)=0 e w(L)=0, a solução da equação 3.30 é dada por

w(x) = ∑n=1

wn sen n π x

L (3.32)

Figura 3.16 - Coluna com imperfeições geométricas.

Substituindo-se wo(x) e w(x) dados pelas equações 3.31 e 3.32 na equação diferencial de

equilíbrio (equação 3.30) obtém-se

∑n=1

-EΙ

n π

L

2

+ P wn senn π x

L = ∑m=1

- EΙ

m π

L

2

wo.m sen m π x

L (3.33)

pelo que, igualando os coeficientes que afectam cada um dos termos sinusoidais, se

obtém

wm = EΙ

m π

L

2

m π

L

2

- P wo.m m = 1, 2, 3, ..., ∞ (3.34)

Page 40: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 36

Como a carga crítica ideal correspondente ao mésimo modo é dada por Pcr(m)

= m2π2EI

L2 (ver

equação 3.11) a deformada da coluna pode ser escrita na forma

w(x) = ∑m=1

Pcr

(m)

Pcr(m)

- P wo.m sen

m π xL (3.35)

Da análise desta equação pode constatar-se que o termo de ordem m da série que define

w(x) tem a forma do m-ésimo modo de encurvadura. A amplitude de cada termo é igual

ao produto da componente das imperfeições iniciais nesse modo wo.m pelo coeficiente

Pcr

(m)

Pcr(m)

- P (3.36)

O coeficiente definido na equação 3.36 designa-se por coeficiente de amplificação uma

vez que amplifica a amplitude inicial wo.m em função do valor da carga P.

Quando a carga se aproxima da carga crítica mais baixa Pcr(1)

=PE, e dada a relação entre

as cargas críticas correspondentes aos diferentes modos de encurvadura, a amplificação

da componente da imperfeição geométrica no 1º modo é preponderante sobre todas as

outras, pelo que se pode escrever

w(x) ≈ w1 sen π xL (3.37)

em que

w1 = PE

PE - P wo.1 = 1

1 - P/PE wo.1 (3.38)

Na figura 3.17 representa-se esquematicamente a relação entre a carga e o

deslocamento transversal tendo em consideração a componente da imperfeição

geométrica na forma do 1º modo de encurvadura verificando-se que 1

1 - P/PE representa o

coeficiente de amplificação daquela componente.

Quando se consideram as imperfeições geométricas, a coluna fica sujeita a momentos

flectores desde o início do carregamento. Tendo em consideração o equilíbrio de um

troço da barra, ilustrado na figura 3.16, e considerando apenas a componente da

imperfeição geométrica no 1º modo de encurvadura, o momento flector é máximo na

secção de meio vão, sendo dado por

M = P w1 = P PE

PE - P wo.1 = P 1

1 - P/PE wo.1 (3.39)

Page 41: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 37

Figura 3.17 - Influência das imperfeições geométricas na relação carga-deslocamento transversal.

Tem-se assim que a secção de 1/2 vão está sujeita a um esforço axial N, igual à carga

aplicada P, e a um momento flector M, função da carga P e da amplificação da amplitude

da imperfeição inicial 1

1 - P/PEwo.1. Na figura 3.18 representa-se esquematicamente o

diagrama de tensões na secção de 1/2 vão, definindo-se por c o valor absoluto da

distância do centro de gravidade às fibras extremas da secção transversal.

Figura 3.18 – Diagrama de tensões normais na secção de 1/2 vão.

A tensão máxima na secção ocorre na fibra mais comprimida. Tendo em consideração o

resultado apresentado na equação 3.39 o valor absoluto da tensão máxima de

compressão é dado por

σmax = PA +

McΙ =

PA

1 +

wo.1 ci2

PE

PE - P (3.40)

Page 42: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 38

Admitindo como critério de dimensionamento que a rotura se dá quando a tensão máxima

for igual à tensão de cedência, e designando por σm a tensão média nessa situação

(σm=P/A para σmax = fy), obtém-se da equação 3.40

fy = σm

1 +

wo.1 ci2

σE

σE - σ m (3.41)

Resolvendo esta equação em ordem a σm obtém-se

σ m = 12 { }[ ]fy + σE (1 + θ) - [ ]fy + σE (1 + θ)

2 -4fyσE com θ =

wo.1 ci2 (3.42)

equação esta conhecia por fórmula de Perry, na qual θ é um parâmetro adimensional

proporcional à amplitude da imperfeição wo.1, A partir de medições das imperfeições em

colunas reais conclui-se que o parâmetro θ pode ser considerado proporcional à

esbelteza da coluna, tendo sido proposto por Robertson que se considerasse θ = 0.003 λ.

Introduzindo este valor do parâmetro θ na equação 3.41 obtém-se uma equação de

dimensionamento, a qual é designada por fórmula de Perry-Robertson. Na figura 3.19

comparam-se as curvas de dimensionamento de uma coluna ideal e de uma coluna em

que se tem em conta o efeito das imperfeições geométricas, salientando-se que as

maiores diferenças se verificam exactamente na zona correspondente ao

dimensionamento "óptimo" (λ–=1; λ= λ 1) de uma coluna ideal.

Figura 3.19 - Curva de dimensionamento. Efeito das imperfeições geométricas.

A curva de dimensionamento representada na figura 3.19 depende do valor da tensão de

cedência fy. Aquela curva pode ter um carácter mais geral se o eixo das ordenadas for

adimensionalisado em relação à tensão de cedência, definindo-se um factor de redução

χ = σm

fy =

NNpl

(3.43)

Page 43: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 39

Na figura 3.20 representa-se a curva de dimensionamento de uma coluna definida

através do factor de redução χ, no eixo das ordenadas, em função da esbelteza

normalizada λ–, no eixo das abcissas. Refira-se que o factor de redução χ permite obter o

valor da tensão média σm correspondente à resistência da coluna a partir da sua

resistência máxima associada à tensão de cedência fy.

Tendo em consideração a definição do factor de redução (equação 3.43), da esbelteza

normalizada λ– (equação 3.28) e do parâmetro de imperfeição θ = wo.m c

i2 , a equação 3.41

pode ser escrita na forma

1 = χ + χθ 1/λ–

2

1/λ–2 - χ

(3.44)

cuja solução em relação a χ é

χ = 1

2λ–2

[ ]λ–

2 + 1 + θ - [ ]λ–

2 + 1 + θ

2 - 4λ–

2 (3.45)

ou

χ = 1

φ + φ2 - λ–2

(3.46a)

em que

φ = 12 [ ]1 + θ + λ–

2 (3.46b)

A equação 3.46a é equivalente à equação 3.42 e corresponde à curva de

dimensionamento para θ≠0 representada na figura 3.20.

Figura 3.20 - Curva de dimensionamento. Coeficiente de redução χ em função da esbelteza normalizada λ–

.

Page 44: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 40

3.9. Efeito das tensões residuais

Devido ao processo de fabrico os perfis ficam sujeitos a tensões residuais. Considere-se

por exemplo o perfil Ι, de aço laminado a quente, representado na figura 3.21.

A distribuição de tensões residuais representada na figura 3.21 é devida à forma como se

dá o arrefecimento após o processo de laminagem. Com efeito, as extremidades dos

banzos e a zona intermédia da alma arrefecem primeiro do que as zonas de ligação da

alma aos banzos, zona esta em que se concentra a maior parte do material e onde a

superfície em contacto com o ar é menor. Assim, quando as zonas de ligação alma-

banzo arrefecem a sua deformação é restringida pela zona já arrefecida, gerando-se

tensões residuais de compressão nas extremidades dos banzos e na zona intermédia

das almas e tensões de tracção nas zonas de ligação alma-banzo.

Figura 3.21 - Diagrama de tensões residuais numa secção de um perfil I, laminado (adaptado de Dowling [5])

Quando se aplica um esforço axial de compressão P a tensão aumenta uniformemente

em toda a secção até que a tensão máxima seja igual à tensão de cedência. Para esta

situação define-se o valor de tensão média σp, a qual representa a tensão limite da

proporcionalidade de secção. Na figura 3.22 ilustra-se o efeito das tensões residuais na

relação entre a tensão média (σ=P/A) e a deformação (ε).

Page 45: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 41

Figura 3.22 - Efeito das tensões residuais na relação tensão média - deformação

Para tensões médias superiores à tensão limite de proporcionalidade (σp) a resistência à

encurvadura é dada apenas pela parte de secção que permanece elástica, cuja área e

momento de inércia se representam por Ae e Ie respectivamente. Assim, a carga crítica de

uma coluna parcialmente plastificada é dada por

Pcr = π2EΙe

L2 = PE Ιe

Ι (3.47)

Em termos de tensão média na secção tem-se

σcr = Pcr

A = η σE com η = Ιe

Ι (3.48)

em que η, designado por factor de redução plástica, representa a redução da carga

crítica devido ao efeito das tensões residuais. O factor de redução plástica pode ser

obtido a partir do parâmetro τ, o qual é função da tensão média na secção e representa a

relação entre a área Ae e a área total da secção A

τ = τ(σ) = Ae

A (3.49)

Este parâmetro pode ser determinado experimentalmente a partir da relação tensão

média-deformação, ou analiticamente, se for conhecido o diagrama de tensões residuais.

Page 46: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 42

Exemplo 3.3: Considere-se a secção I representada na figura 3.23, e admita-se como desprezável a área e a

inércia da alma.

Figura 3.23 - Efeito das tensões residuais nas curvas de dimensionamento

Representando por be a largura da zona do banzo não plastificado tem-se

A = 2btf Ae = 2betf τ = Ae

A = be

b

Encurvadura em torno de y Encurvadura em torno de z

ηy = Ιy,e

Ιy=

2betf h2

4

2b tf h2

4

= Ae

A = τ ηz = Ιz,e

Ιz=

2 be

3tf

12

2 b3tf12

= ( )Ae

A3 = τ3

Tendo em consideração que τ≤1, a redução da carga crítica devido ao efeito das tensões residuais é mais

sensível para a encurvadura em torno do eixo z do que para a encurvadura em torno do eixo y.

Na figura 3.23 representam-se esquematicamente as curvas de resistência de uma coluna de secção Ι

reduzida aos seus banzos, e tendo em consideração apenas o efeito das tensões residuais.

3.10. Verificação da segurança de colunas segundo o Eurocódigo 3

De acordo com o Eurocódigo 3 (EC3) a verificação da segurança de colunas à

encurvadura por flexão é efectuada garantindo que

NEd

Nb.Rd ≤ 1,0 ⇒ NEd ≤ Nb.Rd (3.50)

Em que NEd e Nb.Rd representam os valores de cálculo do esforço axial actuante e

resistente à encurvadura de uma coluna. Para as secções das classes 1 a 3, ou seja,

exceptuando as secções da classe 4, o valor de cálculo do esforço axial resistente à

encurvadura é dado por

Page 47: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 43

Nb.Rd = χ A fy

γM1 (3.51)

em que γM1 é o coeficiente parcial de segurança a considerar na verificação aos estados

limites últimos de encurvadura. Como já se referiu o coeficiente χ designa-se por factor

de redução uma vez que define a redução do esforço axial plástico para ter em

consideração a influência da esbelteza, das imperfeições geométricas e das tensões

residuais.

O coeficiente χ é definido em função da esbelteza normalizada (λ–) por cinco curvas (a0, a,

b; c; d), as quais se representam na figura 3.24, cuja forma reflecte a influência das

imperfeições geométricas e das tensões residuais e cuja escolha depende do tipo de

perfil e do eixo de flexão associado ao modo de encurvadura em análise. A esbelteza

normalizada, já definida anteriormente, é dada por

λ– = λλ1

= Le

i 1λ1

com i = ΙA e λ1 = π

Efy

(3.52)

representando λ a esbelteza, Le o comprimento de encurvadura da coluna, i o raio de

giração da secção transversal e λ1 a esbelteza de referência, a qual é apenas função das

propriedades do material. Tomando o módulo de elasticidade do aço E=210 GPa obtém-

se

λ1 = 93,9ε com ε = 235 fy

(fy em N/mm2) (3.53)

No quadro 3.1 apresentam-se os valores de λ1 correspondentes às diferentes classes de

resistência dos aços referidos no EC3.

O factor de redução χ é definido de acordo com o EC3 por

χ = 1

φ + φ2 - λ–2

com χ ≤ 1,0 (3.54)

em que

φ = 12 [ ]1 + α(λ– -0,2) + λ–

2 (3.55)

Page 48: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 44

Curva a0 a b c d

λ– α = 0,13 α = 0,21 α = 0,34 α = 0,49 α = 0,76

0,2 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,3 0,986 0,977 0,964 0,949 0,923 0,4 0,970 0,953 0,926 0,897 0,850 0,5 0,951 0,924 0,884 0,843 0,779 0,6 0,928 0,890 0,837 0,785 0,710 0,7 0,896 0,848 0,784 0,725 0,643 0,8 0,853 0,796 0,724 0,662 0,580 0,9 0,796 0,734 0,661 0,600 0,521 1,0 0,725 0,666 0,597 0,540 0,467 1,1 0,648 0,596 0,535 0,484 0,419 1,2 0,573 0,530 0,478 0,434 0,376 1,3 0,505 0,470 0,427 0,389 0,339 1,4 0,446 0,418 0,382 0,349 0,306 1,5 0,395 0,372 0,342 0,315 0,277 1,6 0,352 0,333 0,308 0,284 0,251 1,7 0,315 0,299 0,278 0,258 0,229 1,8 0,283 0,270 0,252 0,235 0,209 1,9 0,256 0,245 0,229 0,214 0,192 2,0 0,232 0,223 0,209 0,196 0,177 2,1 0,212 0,204 0,192 0,180 0,163 2,2 0,194 0,187 0,176 0,166 0,151 2,3 0,178 0,172 0,163 0,154 0,140 2,4 0,164 0,159 0,151 0,143 0,130 2,5 0,151 0,147 0,140 0,132 0,121 2,6 0,140 0,136 0,130 0,123 0,113 2,7 0,130 0,127 0,121 0,115 0,106 2,8 0,122 0,118 0,113 0,108 0,100 2,9 0,114 0,111 0,106 0,101 0,094 3,0 0,106 0,104 0,099 0,095 0,088

Figura 3.24 - Curvas de dimensionamento de colunas do EC3 (Gráfico – Figura 6.4 do EC3).

Page 49: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 45

S235 S275 S355 S420 S460

λ1 93,9 86,8 76,.4 70,2 67,1

Quadro 3.1 – Valores da esbelteza de λ1 em função da classe de resistência do aço

Por comparação destas duas expressões com as equações 3.46a e b verifica-se que a

curva de dimensionamento do EC3 (equação 3.54) coincide com a fórmula de Perry,

bastando para isso ter em consideração que nas curvas de dimensionamento do EC3 o

parâmetro de imperfeição θ = w

o1ci2 é dado por

θ = w

o1ci2 = α(λ– -0,2) (3.56)

Na tabela apresentada na figura 3.24 indicam-se os valores do parâmetro α associados a

cada uma das curvas de dimensionamento. Conhecidos os valores de α e as

características da secção transversal é possível, através da equação 3.56, obter o valor

da amplitude da imperfeição geométrica a 1/2 vão da coluna. Refira-se que este valor

representa uma imperfeição geométrica equivalente ao efeito conjunto da imperfeição

geométrica real da coluna e do efeito das tensões residuais.

A escolha da curva de dimensionamento a utilizar é efectuada de acordo com o indicado

no quadro 3.2, em função do tipo de secção, do eixo de encurvadura e em alguns casos

das dimensões da secção. Na figura 3.24 apresentam-se os valores de χ para as

diferentes curvas. Note-se, por exemplo, que para um perfil IPE em S235, em que a

altura é maior do que 1,2 vezes a largura (h>1,2b), o valor de χ é obtido pela curva a no

caso da encurvadura em torno do eixo y e pela curva b no caso da encurvadura em torno

do eixo z.

O EC3 não impõe limites ao valor das esbeltezas das colunas. No entanto, como o valor

do esforço axial resistente é fortemente reduzido para esbeltezas muito grandes, o limite

da esbelteza de uma coluna acaba por ser imposto indirectamente. Na prática raramente

se utilizam colunas com esbeltezas superiores a 180, excepto no caso de elementos

secundários ou de contraventamento, em que aquele limite pode ser estendido a 250. Em

elementos de travamento que funcionem em geral como tirantes e que estejam

comprimidos apenas quando o vento é a acção variável de base o limite da esbelteza

máxima pode ser estendido a 300. Em termos da esbelteza normalizada (λ–) aqueles

Page 50: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 46

limites correspondem aproximadamente aos valores indicados no quadro 3.3 sendo

variáveis em função da qualidade do aço.

Quadro 3.2 – Selecção da curva de dimensionamento de colunas à encurvadura por flexão (tabela 6.2 EC3)

Page 51: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 47

λ–

Tipo de Elementos λ ≤ S235 S275 S355

Elementos comprimidos em geral 180 1,90 2,10 2,30

Elementos secundários ou de contraventamento 250 2,60 2,90 3,20

Elementos de travamento que funcionem como tirantes,

comprimidos apenas sob a acção do vento

300 3,20 3,50 3,80

Quadro 3.3 – Limites das esbeltezas em função do tipo de elementos estruturais e da qualidade do aço

Exemplo 3.4: Considere-se uma coluna com um perfil HEA200 S235 de comprimento total 6,00m

simplesmente apoiada no plano xz e biencastrada no plano xy (considere-se x o eixo da peça e os eixos y e z

da peça coincidentes com os mesmos eixos da secção transversal). Pretende determinar-se qual o valor de

cálculo do esforço resistente à encurvadura da coluna.

HEA 200: A = 5380 mm2; Ιy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Ιz =1340x104 mm4; iz = 49,8 mm

Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = Ley/iy = 72,5

Flexão no plano xy: Lez = 3000 mm; iz = 49,8 mm; λz = Lez/iz = 60,2

S235 → λ1 = 93,9 → λ–y = 72,5/93,9 = 0,77; curva b → χy = 0,74

λ–z = 60,2/93,9 = 0,64; curva c → χz = 0,76

χ = min(χy; χz) = 0,74

Nb.Rd = 0,74x5380x2351,00 = 936x103 N = 936 kN

Exemplo 3.5: Para a coluna do exemplo 3.4 determinar a amplitude da imperfeição geométrica para a

encurvadura em torno do eixo y e em torno do eixo z.

Encurvadura em torno do eixo y

wo,1 = α(λ– -0,2) i2y

zmax = 0,34 x (0,77 – 0,20) x

82,82

95,0 = 14,0 mm = Ley

428

Encurvadura em torno do eixo z (representam-se por v os deslocamentos ao longo do eixo y)

vo,1 = α(λ– -0,2) i2z

ymax = 0,49 x (0,64 – 0,20) x

49,82

100,0 = 5,4 mm = Lez

556

Page 52: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 48

4. VIGAS-COLUNAS

4.1. Introdução

Designam-se por vigas-colunas ("beam-columns" na designação anglo-saxónica) as

barras solicitadas simultaneamente por esforços axiais de compressão e por momentos

flectores primários. Designam-se por momentos flectores primários, M1(x), os momentos

ao longo da barra devidos a cargas transversais ao longo do vão ou a momentos

aplicados nas extremidades (ver figura 4.1a). Os deslocamentos associados aos

momentos primários designam-se por deslocamentos primários, w1(x).

Figura 4.1 - Momentos primários, M1(x), e secundários, M2(x). Deslocamentos primários, w1(x),

e secundários, w2(x).

Quando a barra, para além dos momentos nas extremidades e cargas transversais ao

longo do vão, está também sujeita a esforços de compressão, desenvolvem-se

acréscimos de momentos flectores, os quais se designam por momentos secundários

M2(x) (ver figura 4.1b). Estes acréscimos de momentos resultam da excentricidade da

carga aplicada relativamente ao eixo da barra na configuração deformada. Aos

momentos secundários estão associados acréscimos de deslocamentos que se

designam por deslocamentos secundários w2(x).

Note-se que, quando os momentos primários tendem para zero, a viga-coluna reduz-se a

uma coluna à compressão axial. Quando o esforço axial se anula, o problema reduz-se

ao das vigas sujeitas ou não à encurvadura lateral por flexão-torção, dependendo do

travamento lateral das vigas.

Page 53: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 49

Neste capítulo apresenta-se a análise e a verificação da segurança de vigas-colunas sem

ter em consideração a encurvadura lateral por flexão-torção, ou seja, admitindo-se que os

travamentos dos elementos estruturais impedem a sua encurvadura no modo de flexão-

torção.

4.2. Análise de vigas-colunas em regime elástico

Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.1b. Em cada secção a relação entre

o momento flector total M(x) e a curvatura é dada por

M(x) = -EΙ d2w

dx2 (4.1)

Por outro lado, o momento total na secção é igual à soma do momento primário M1(x)

com o momento secundário M2(x). Este último é função do esforço axial P e do

deslocamento transversal w(x), tendo-se por equilíbrio

M(x) = M1(x) + P w(x) (4.2)

Substituindo a relação entre o momento e a curvatura na equação de equilíbrio, obtém-se

EΙ d2w

dx2 + P w(x) = - M1(x) (4.3)

Note-se que esta equação é muito semelhante à equação 3.30 obtida na análise dos

efeitos da imperfeições geométricas no comportamento de colunas, correspondendo o

efeito dos momentos primários numa viga-coluna ao efeito das imperfeições geométricas

numa coluna.

Tendo em consideração o parâmetro k= P/EΙ, já definido anteriormente, obtém-se

d2wdx2 +k2 w(x) = -

M1(x)EI (4.4)

A solução desta equação diferencial é da forma

w(x) = A sen(kx) + B cos(kx) + f(x) (4.5)

em f(x) é uma função dependente de M1(x) e as constantes A e B são determinadas

impondo as condições de fronteira (w(0)=w(L)=0).

Page 54: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 50

A introdução das condições de fronteira na solução da equação diferencial conduz a um

resultado para o qual se pode admitir, no caso geral, a seguinte aproximação para o

deslocamento máximo [1,2,5]

wmax ≈ w1.max 1

1 - P/PE (4.6)

em que w1.max representa o deslocamento máximo devido aos momentos primários e PE

representa a carga de Euler da coluna. O factor

11 - P/PE

(4.7)

representa o factor de amplificação dos deslocamentos primários, ou seja tem um

significado semelhante ao factor de amplificação das imperfeições geométricas de uma

coluna apresentado no capítulo referente à estabilidade de colunas.

Admitindo que o deslocamento e o momento primário máximos se verificam na mesma

secção, o momento total máximo é aproximadamente dado por

Mmax ≈ M1.max + P wmax (4.8)

Introduzindo nesta equação a aproximação do deslocamento máximo dada pela equação

(4.6), obtém-se

Mmax ≈ M1.max 1 + ψ P/PE

1 - P/PE com ψ =

PE w1.max

M1.max - 1 (4.9)

O coeficiente 1 + ψ P/PE

1 - P/PE que afecta o momento primário máximo (M1.max) designa-se por

factor de amplificação dos momentos.

Exemplo 4.1: Considere-se a viga-coluna solicitada apenas por momentos nas extremidades representada na

figura 4.2. Os momentos primários são uniformes ao longo do vão (M1(x)=M1), sendo a flecha máxima devida a

esses momentos dada por

w1.max = M1L

2

8EΙ

Tendo em consideração que se trata de uma viga-coluna simplesmente apoiada, a carga crítica é dada por

PE = π2EΙL2

pelo que se tem

ψ = π2

L2 EΙM1

M1L

2

8EΙ - 1 = π2

8 - 1 = 0,233

Page 55: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 51

Para outros tipos de carregamento a determinação do coeficiente ψ pode ser efectuada

de forma análoga à apresentada no exemplo anterior. Na figura 4.2 apresentam-se os

valores do coeficiente ψ para diferentes tipos de carregamento.

Carga de Euler Solicitação ψ

Simplesmente apoiada

+0,233

PE = π2EIL2

-0,178

+0,028

Biencastrada

-0,180

PE = 4π2EI

L2

+0,200

Figura 4.2 - Valores do coeficiente ψ para diferentes tipos de carregamento e de condições de fronteira.

Page 56: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 52

4.3. Dimensionamento elástico de vigas-colunas

Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.3. Os deslocamentos totais w(x)

resultam da soma dos deslocamentos primários, w1(x), dos deslocamentos secundários,

w2(x), e ainda das imperfeições geométricas inicias do elemento, w0(x).

Conforme foi apresentado anteriormente os deslocamentos secundários resultam da

amplificação quer da imperfeição geométrica inicial quer dos deslocamentos primários

devidos às cargas de vão e aos momentos das extremidades, pelo que os deslocamentos

totais podem ser estimados por

w(x) ≈ w0(x) 1

1 - P/PE + w1(x)

11 - P/PE

(4.10)

ou, admitindo que os máximos de cada uma das parcelas dos deslocamentos ocorrem na

mesma secção,

wmax ≈ w0.max 1

1 - P/PE + w1.max

11 - P/PE

(4.11)

Figura 4.3 – Viga-coluna com imperfeições geométricas inicias

O momento secundário máximo é calculado tendo em consideração os deslocamentos,

sendo dado por

M2.max = P wmax = P w0.max 1

1 - P/PE + P w1.max

11 - P/PE

(4.12)

Admitindo ainda que os máximos dos momentos primário e secundário se verificam na

mesma secção, o momento total máximo é dado por

Mmax ≈ M1.max + M2.max= M1.max + P w0.max 1

1 - P/PE + P w1.max

11 - P/PE

(4.13)

Page 57: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 53

Admitindo como critério de rotura o inicio da ocorrência da cedência a condição de

dimensionamento corresponde a impôr que a tensão máxima é igual à tensão de

cedência, ou seja no caso de uma secção à flexão composta

σmax = NA+

MWel

= fy (4.14)

em que fy representa a tensão de cedência do material e A e Wel representam a área e o

módulo de flexão elástico da secção transversal, respectivamente. No caso de

vigas-colunas, e tendo em conta a relação entre o momento total, o momento primário e o

esforço axial dada pela equação 4.13, obtém-se

σmax = NA + N w0.max

11 - N/NE

1

Wel + M1.max

1 + ψ N/NE

1 - N/NE

1Wel

= fy (4.15)

em que NE=PE.

O termo que afecta M1.max na equação 4.15 corresponde à amplificação do momento

primário definida na equação 4.9. Introduzindo

Nc = A fy (4.16)

Mc = Wel fy (4.17)

representando Nc e Mc o esforço axial de cedência (igual ao esforço axial plástico) e o

momento de cedência, respectivamente, obtém-se

NNc

+ N w0.max

Mc

11 - N/NE

+ M1.max

Mc 1 + ψ N/NE

1 - N/NE = 1 (4.18)

Tendo em consideração a definição da esbelteza normalizada tem-se

λ– = fy

σE ⇒

NNE

= λ–2 NNc

(4.19)

O termo N w0.max

Mc pode ser relacionado com o parâmetro de imperfeição das colunas θ,

definido na equação 3.42, tendo-se

N w0.max

Mc =

NNc

A w0.max

Wel =

NNc

A w0.max c

I = NNc

w0.max c

i2 = NNc

θ (4.20)

Substituindo os resultados das equações 4.19 e 4.20 na equação 4.18 obtém-se

NNc

+ NNc

θ 1

1 - λ–2 N/Nc

+ M1.max

Mc 1 + ψ λ–

2 N/Nc

1 - λ–2 N/Nc

= 1 (4.21)

Page 58: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 54

equação esta que representa a curva de interacção (N,M) no caso de uma viga-coluna.

Na figura 4.4 representam-se as curvas de interacção definidas pela equação 4.21 para

θ=0,34(λ–-0.2), o que corresponde ao parâmetro de imperfeição associado à curva b de

dimensionamento de colunas definida no Eurocódigo 3. As curvas representadas na

figura 4.21 são função do valor de λ–, representando o valor da intersecção das curvas

com o eixo das ordenadas o valor do coeficiente de redução χ associado ao parâmetro

de imperfeição θ considerado. Note-se que, devido aos efeitos geometricamente não

lineares, aquelas curvas de interacção são curvas côncavas. As curvas representadas

são sempre interiores à recta que une os pontos N/Nc=1 e M/Mc=1, a qual representa a

curva de interacção da secção, curva esta que não tem em consideração os efeitos

geometricamente não lineares da coluna.

Figura 4.4 - Curva de interacção para o dimensionamento elástico de vigas-colunas

Exemplo 4.2: Considere-se a viga-coluna representada na figura 4.5 constituída por uma viga simplesmente

apoiada carregada por uma carga concentrada aplicada a meio vão e por um esforço axial. Considerado apenas o

comportamento da estrutura no plano xz pretende calcular-se o momento flector total e o valor máximo da tensão

normal na secção de meio vão tendo em consideração as imperfeições geométricas iniciais os efeitos

geometricamente não lineares. Admita-se que as imperfeições geométricas têm o valor definido no EC3 para uma

coluna com as mesmas características da estrutura a analisar.

Page 59: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 55

Figura 4.5 – Viga coluna simplesmente apoiada no plano xz e biencastrada no plano xy

Considera-se que o perfil é um HEA 200 S235 com as seguintes propriedades geométricas: A = 5380 mm2; Ιy =

3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wel.y = 389x103 mm3; Ιz =1340x104 mm4; iz = 49,8 mm; Wel.z = 134x103 mm3

Conforme apresentado no exemplo 3.5 a imperfeição geométrica no plano xz definida de acordo com o EC3 é

dada por

wo,1 = 0,0140 m

Os valores máximos do deslocamento primário e do momento flector primários e a carga crítica para a flexão em

torno do eixo yy são dados por

w1.max = PL3

48EΙ = 40x63

48x210x106x36.9x10-6 = 0,0232 m

M1. y.max = PL4 =

40x64 = 60,0 kN.m

Pcr.y = π2EΙL

2ey

= π2x210x106x36.9x10-6

6,02 = 2124 kN

Tendo em consideração o esforço axial aplicado, o factor de amplificação é dado por

11 - P/Pcr.y

= 1

1 - 200/2124 = 1,104

Os valores máximos do momento flector secundário e do momento total, de acordo com as equação 4.12 e 4.13,

respectivamente, são dados por

Page 60: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 56

M2. y.max = 200x0,0140x1,104 + 200x0,0232x1,104 = 3,1 + 5,1 = 8,2 kN.m

My.max = M1. y.max + M2. y.max = 60,0 + 8,2 = 68,2 kN.m

Com base nos esforços totais na secção de meio e nas características mecânicas da secção transversal obtém-se

o valor máximo da tensão normal

σmax = NA +

My.max

Wel.y =

200x103

5380 + 68,2x106

389x103 = 37,1 + 175,3 = 212,4 MPa

Este valor pode também ser obtido por aplicação directa da equação 4.15, obrigando à utilização do coeficiente ψ,

o qual tem de ser calculado (ver equação 4.9) ou obtido de tabelas (ver quadro 4.2). Refira-se que o valor máximo

da tensão normal corresponde a 0,904fy = 0,904x235 e que o factor 0,904 pode também ser obtido por aplicação

directa da equação 4.21, tarefa que se deixa a cargo do leitor.

Exemplo 4.3: Pretende calcular-se o valor máximo da tensão normal na secção de meio vão da viga-coluna

analisada no exemplo 4.3 considerando-se agora o comportamento da estrutura nos planos xz e xy.

O cálculo do momento flector My foi apresentado no exemplo 4.2 mantendo-se válido. Para o cálculo do memento

flector Mz e adoptando o mesmo procedimento tem-se:

vo,1 = 5,4 mm (ver exemplo 3.5)

v1.max = M1. z.max = 0

Pcr.z = πEΙL

2ez

= πx210x106x13,4x10-6

3,02 = 3085 kN

11 - P/Pcr.z

= 1

1 - 200/3085 = 1,069

Mz.max = M2. z.max = 200x0,0054x1,069 = 1,2 kN.m

Com base nos esforços totais na secção de meio e nas características mecânicas da secção transversal obtém-se

o valor máximo da tensão normal

σmax = NA +

My.max

Wel.y +

Mz.max

Wel.z =

200x103

5380 + 68,2x106

389x103 + 1,2x106

134x103 = 37,1 + 175,3 + 9,0 = 221,4 MPa

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Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 57

4.4. Verificação da segurança de vigas-colunas segu ndo o Eurocódigo 3

Conforme se referiu na introdução apresenta-se neste capítulo a metodologia para a

verificação da segurança de vigas-colunas sem ter em consideração a encurvadura

lateral por flexão-torção, admitindo-se assim que as rotações de torção estão impedidas.

As curvas para a verificação da segurança apresentadas no EC3 são semelhantes à

equação 4.21, diferindo desta fundamentalmente por três razões:

• A equação 4.21 só é válida em regime elástico, enquanto no EC3 a resistência

de elementos com secções da classe 1 e 2 é definida pela resistência plástica.

• A equação 4.21 foi deduzida com base na hipótese restritiva de que os valores

máximos dos momentos primários e secundários ocorrem na mesma secção

enquanto que a metodologia apresentada no EC3 cobre casos mais gerais em

que aquela hipótese não se verifica.

• No caso geral o elemento comporta-se como uma viga-coluna tendo em conta a

flexão em torno dos dois eixos de flexão da secção transversal.

As curvas do EC3 para o dimensionamento de vigas-colunas apresentam a seguinte

forma

NEd

χyNRk

γM1 + kyy

My.Ed

My.Rd

γM1 + kyz

Mz.Ed

Mz.Rd

γM1 ≤ 1 (4.22a)

NEd

χzNRk

γM1 + kzy

My.Ed

My.Rk

γM1 + kzz

Mz.Ed

Mz.Rk

γM1 ≤ 1 (4.22b)

representando NEd o valor de cálculo do esforço axial actuante e My.Ed e Mz.Ed os valores

máximos absolutos dos momentos de cálculo actuantes ao longo do eixo da barra,

respectivamente, segundo os eixos y e z. Por NRk, My.Rk e Mz.Rk representam-se os

valores de cálculo do esforço axial e dos momentos resistentes. Por χy e χz representam-

se os factores de redução para a resistência encurvadura em torno dos eixo y e z,

respectivamente, e por γM1 o coeficiente parcial de segurança para as verificações dos

estados limites últimos de encurvadura.

As expressões 4.22a e 4.22b foram adoptadas das equações 6.61 e 6.62 do EC3

considerando χLT=1, uma vez que não se considera a encurvadura lateral por

flexão-torção das vigas, e ∆My.Ed=∆Mz.Ed=0, uma vez que estes valores só não são nulos

para o caso das secções da classe 4, que não são consideradas neste capítulo.

Page 62: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 58

De acordo com o EC3 os coeficientes kyy, kyz, kzy e kzz , referidos genericamente por

coeficientes kij, podem ser calculados por dois métodos alternativos, designados por

método 1 e método 2. Por ser de mais fácil aplicação, em particular nas situações em que

não se considera a encurvadura lateral por flexão-torção das vigas, neste capítulo

considera-se apenas o método 2.

A determinação dos coeficientes kij para o método 2 é apresentada no anexo B do EC3,

reproduzindo-se na figura 4.5 a tabela B1 daquele documento, em que se apresentam as

expressões para o cálculo daqueles coeficientes quando as rotações de torção estão

impedidas. As expressões a utilizar em cada caso dependem do tipo de secção

transversal, secções em Ι ou secções tubulares, e da classe das secções.

As expressões para o cálculo dos coeficientes kij dependem dos factores Cmy e Cmz,

indicados na figura 4.6, e que se designam genericamente por factores de momento

uniforme equivalente, Cm, . Estes factores permitem determinar qual o valor do momento

uniforme ao longo do elemento de modo a que a resistência da viga-coluna seja igual à

do elemento em análise e que, num caso geral, estará sujeita a um diagrama de

momentos variável. Realce-se mais uma vez que os valores de My.Ed e Mz.Ed indicados

nas equações 4.22a e 4.22b se referem sempre aos valores máximos absolutos dos

momentos flectores ao longo de todo o elemento.

Page 63: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 59

Figura 4.5 - Expressões para o cálculo dos coeficientes kij quando as rotações de torção estão impedidas.

(EC3 tabela B1)

Figura 4.6 - Expressões para o cálculo do factor de momento uniforme equivalente Cm. (EC3 tabela B3)

Page 64: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 60

Exemplo 4.4: Considere-se uma viga-coluna representada na figura 4.7 constituída por um perfil HEA200

S235, com um comprimento total de 6,00m, simplesmente apoiada no plano xz, com as rotações de torção e

os deslocamentos no plano xy impedidos e submetida a um esforço axial com um valor de cálculo de 280 kN.

Tendo em consideração a relação entre os momentos nas extremidades pretende determinar-se qual o valor

máximo de M que é possível aplicar garantindo-se a verificação da segurança de acordo com o EC3.

Figura 4.7 – Viga-coluna sujeita a momentos nas extremidades

HEA 200: A = 5380 mm2; Iy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wpl.y = 430x103 mm3.

a) Verificação do estado limite último de resistência das secções

NEd = 280 kN; Npl.Rd = 5380 x 2351,00 x10-3 = 1264 kN; Mpl.y.Rd = Wpl.y

fyγM0

= 430 x103 x 2351,00 x10-6 = 101,1kNm

Interacção N-M: MN.y.Rd = Mpl.y.Rd 1 - n

1 - 0,5a ; n = NEd

N pl.Rd =

2801264 = 0.222; a =

Aw

A = 13805380 = 0.26

Mn.y.Rd = 101,1 x 1 - 0,222

1 - 0,5x0,26 = 101,1 x 0.89 = 90,0 kN.m

b) Verificação como viga-coluna

Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = Loy/iy = 72,5

S235 → λ1 = 93,9 → λ–y = 72,5/93,9 = 0,77; curva b → χy = 0,74

NEd

χyNRk

γM1

= 280

0,74x1264

1,00

= 0,30

ψ = MA

MB =0,5; Cmy = 0,6 + 0,4x0,5 = 0,80; kyy = 0,80 x (1+(0,77 – 0,2) x 0,30) = 0,80 x 1,171 = 0,94

NEd

χyNRk

γM1 + kyy

My.Ed

My.Rk

γM1 + kyz

Mz.Ed

Mz.Rk

γM1 ≤ 1 ⇒ 0,30 + 0,94 x

My.Ed

101,1 + 0 ≤ 1 ⇒ My.Ed ≤ 0,74 x 101,1 = 74,8 kN.m

O valor de cálculo do momento resistente do elemento é o menor dos valores correspondentes à resistência

da secção ou do elemento como viga-coluna, tendo-se neste caso

My.Rd = min(MN.y.Rd; My.Ed) = min (90,0; 74,8) = 74,8 kN.m

Page 65: Estabilidade de Estruturas Colunas e Vigas-Colunas

Estruturas Metálicas – Estabilidade de Estruturas. Colunas e Vigas-colunas 61

Exemplo 4.5: Considere-se a viga-coluna analisada nos exemplos 4.2 e 4.3 para qual se pretende agora

efectuar a verificação da segurança de acordo com o EC3.

HEA 200: A = 5380 mm2; Ιy = 3690x104 mm4; iy = 82,8 mm; Wpl.y = 430 x103 mm3; Ιz =1340x104 mm4; iz =

49,8 mm; Wpl.z = 204x103 mm3

Como o momento máximo primário ocorre na secção de meio vão a verificação da segurança da viga coluna

é dominante em relação à verificação da resistência da secção tendo-se:

Verificação como viga-coluna

NRk = 5380x235x10-3 = 1264 kN My.Rk = 430x103235x10-6 = 101,1 kN.m

Flexão no plano xz: Ley = 6000 mm; iy = 82,8 mm; λy = 72,5; λ1 = 93,9; λ–y = 0,77; curva b → χy = 0,74

Flexão no plano xy: Lez = 3000 mm; iz = 49,8 mm; λz = 60,2; λ1 = 93,9; λ–z = 0,64; curva c → χz = 0,76

NEd

χyNRk

γM1

= 200

0,74x1264

1,00

= 0,214 NEd

χzNRk

γM1

= 200

0,76x1264

1,00

= 0,208

Mh = 0; ψ = 0; Cmy = 0,9; kyy = 0,90 x (1+(0,77 – 0,20) x 0,214) = 1,010; kzy = 0,6kyy = 0,606

NEd

χyNRk

γM1 + kyy

My.Ed

My.Rk

γM1 + kyz

Mz.Ed

Mz.Rk

γM1 ≤ 1 ⇒ 0,214 + 1,010 x

75 101,1 + 0 = 0,214 + 0,749 = 0,963 ≤ 1

NEd

χzNRk

γM1 + kzy

My.Ed

My.Rk

γM1 + kzz

Mz.Ed

Mz.Rk

γM1 ≤ 1 ⇒ 0,208 + 0,606 x

75 101,1 + 0 = 0,208 + 0,450 = 0,658 ≤ 1

Como em ambas as equações o valor obtido é menor ou igual a um considera-se verificada a segurança da

viga coluna.

5. REFERÊNCIAS

• [1] - Walker, A. C.; The Buckling of Struts; Chatto & Windus; London, 1985.

• [2] - Reis, A. J.; Estabilidade de Estruturas; Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas; Departamento de Engenharia Civil; IST; Lisboa 1982.

• [3] - Chajes, A.; Principles of Structural Stability Theory; Prentice-Hall, Inc.

• [4] - ICOM; Conception des Structures Metalliques - Partie A: Notions Fondamentals et Dimensionnement des Elements de Constructions Metalliques; Deuxiéme edition; Institut de la Constructiuon Metallique; Lausanne; Mars 1979.

• [5] - Dowling, P. J.; Knowles , P.; Owens, G. W.; Structural Steel Design; The Steel Construction Institute; 1988.

• [6] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. EN 1993-1-1; May 2005.

• [7] - Reis, A. J. - Instabilidade em Elementos de Construção Metálica, IST, Lisboa, 1977.