Estadística 1

5/7/2018 Estadística 1 - slidepdf.com

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TERCER SEMESTRE DE LICENCIATURA EN INFORMÁTICA.

CENTRO UNIVERSITARIO DE LOS ALTOS.



2

CAPITULO I.DESCRIPCION DE UN CONJUNTO DE DATOS.

CONCEPTOS.

1. ESTADÍSTICA: Es una disciplina de las matemáticas cuyoobjetivo es analizar la información obtenida a fin de poder obtenerun resultado mediante el método de análisis para la toma dedecisiones.

2. ESTADÍSTICAS: Son los resultados de los eventos que deberánser sujetos a un análisis estadístico.

3. POBLACIÓN: Es un conjunto entero de datos. Las poblacionespueden ser de tipo finito o infinito.

Ejemplo:Finito: Número de alumnos de un grupo. I nfinito: Los números.

4. TOMA DE DATOS: Es un conjunto o una colección de datos queno han sido ordenados numéricamente.

Ejemplo:U n edificio tiene 15 apartamentos con el siguiente número deinquilinos:

2,1,3,5,2,2,2,1,4,2,6,2,4,3,1

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

Estas pueden utilizarse cuando el número de datos es mayor que30. Para ellos se recomienda utilizar el siguiente procedimiento:

1. Se calcula el rango, el cual es igual al dato mayor menos el dato menor.

Rango = Dato mayor ± Dato menor.

2. Se obtiene en forma aproximada el número de clases, el cual sedivide el rango entre un valor arbitrario.

Número de clases = ___Rango_____ X = valor arbitrario.



3

3. Se ordenan las clases y se calculan las frecuencias absolutas yfrecuencias relativas.

MARCAS DE CLASE.Estas se obtienen sumando el limite real inferior mas el limite real

superior y el resultado se divide entre 2.

LIMITES REALES SUPERIORES E INFERIORES.Estos se obtienen sumando 0.5 a los limites superiores y restando

0.5 a los limites inferiores.

LONGITUD TAMAÑO O ANCHURA DE CLASE (c). Este se obtiene restando el limite real superior menos el limite

real inferior para cada clase.

Ejemplo 1.

Supongamos que las temperaturas en grados Fahrenheit medidasa las 6 de la tarde durante un periodo de 35 días son las siguientes:

³DATOS AGRUPADOS.´

7 2 78 86 93 106 107 98

82 81 77 87 82 91 95

92 83 7 6 78 7 3 81 86 92 93 84 107 99 94 86

81 77 7 3 7 6 80 88 91

Hacer una distribución de frecuencias.

1) R ango= 107 ± 72 = 35

2) Número de clases = R ango = 35 = 7 clases aproximadamente.X=5 5



4

³DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.´

Clases Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Marca de

Clase

LimiteReal

Inf erior

LimiteReal

Superior Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Acumulada1 72-76 5 14.28% 74 71.5 76.5 5 14.282 77-81 8 22.85% 79 76.5 81.5 13 37.133 82-86 7 20% 84 81.5 86.5 20 57.134 87-91 4 11.42% 89 86.5 91.5 24 68.555 92-96 6 17.14% 94 91.5 96.5 30 85.696 97-101 2 5.71% 99 96.5 101.5 32 91.4 7 102-106 1 2.85% 104 101.5 106.5 33 94.258 107-111 2 5.71% 109 106.5 111.5 35 99.96

35 99.6%

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

Es una representación gráfica mediante rectángulos cuyas basescorresponden a la longitud de la clase y las alturas a las frecuenciasabsolutas.

HISTOGRAMAS: Se grafican en el eje horizontal las marcas de clase yen el eje vertical las frecuencias absolutas.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Es una representación gráfica que seobtiene en los puntos medios de los techos de los rectángulos, se unencon líneas rectas.

HISTOGRAMA

POLÍGONO DE

FRECUENCIAS

8

7

6

5

4

3

2

1

0

74 79 84 89 94 99 104 109 114 MARCA DE CLASE



5

POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS.

Es una representación gráfica que se obtiene mediante las marcas

de clase y las frecuencias relativas.

1 4 . 2 8

2 2 . 8 5

2 0

1 1 . 4 2

1 7 . 1 4

5 .71

2 .85

5 .71

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

7 4 7 9 8 4 8 9 9 4 9 9 1 0 4 1 0 9 1 1 4

MARCA DE CLASE

F R E

C U E N C I A R E L A T I V A



6

DIAGRAMA DE PARETO.

Es una representación gráfica en base a rectángulos, con lacaracterística de la mayor frecuencia absoluta hasta la menor.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

79 84 94 74 89 99 109 104

MARCA DE CLASE



7

FRECUENCIAS ACUMULADAS.

Estas se obtienen para cada una de las clases sumando lafrecuencia absoluta de la clase actual mas la frecuencia o frecuencias

absolutas anteriores. La gráfica se llama OJIVA y esta se obtiene conlos límites reales superiores y las frecuencias acumuladas.

5

1 3

2 0

2 4

3 03 2

3 33 5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

7 6 .5 8 1 .5 8 6 .5 9 1 .5 9 6 .5 1 0 1 .5 1 0 6 .5 1 1 1 .5

LIMITE R EA L SUPERIOR

F R E

C U E N C I A S A C U M U L A D A S



8

X

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Entre las medidas de tendencia central más comunes son:

a) Media Aritmética ( x ).

b) Moda.c) Mediana.

Las medidas de tendencia central son las que representan a un conjuntode datos.

a) MEDIA ARITMÉTICA: Es aquella que se define como el promediode un conjunto de datos.La media Aritmética se obtiene tanto para datos agrupados comolos no agrupados.

1) DATOS NO AGRUPADOS:

Donde:X = Datos.

N = Número total de datos.

Ejemplo:

66, 100, 98, 96, 58, 94, 90

= 66, 100, 98, 96, 58, 94, 90 = 602 = 86.7 7

2) DATOS AGRUPADOS:

Donde:X = Número de datosN = Número total de datos.f = Frecuencias absolutas.



9

Ejemplo:

b) MODA: Es la medida de tendencia central que se define como elvalor que se presenta con mayor frecuencia, es decir el máscomún.

La moda para datos no agrupados presenta los siguientes casos:

Caso 1: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 8, 9. Moda = 4.

Caso 2:2, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 16. Moda = 6, 5.

Caso 3: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11. No existe Moda.

La moda para datos agrupados presenta la siguiente formula:

Donde:L1 = Es el limite inferior de la clase que contiene la moda.(1 = Es la diferencia de la frecuencia modal menos la frecuencia de

la clase contigua inferior.(2 = Es la diferencia de la frecuencia de la clase menos la

frecuencia de la clase contigua superior.C = Es el tamaño, longitud o anchura de clase.



10

Ejemplo:

(1 = 8 ± 5 = 3 (1 = 8 ± 7 = 1

3 Moda = 76.5 + 5 = 76.5 + 3 (5) = 76.5 + 3.75 = 80.25

3 + 1

Moda = 80.25.

c) MEDIANA: Es la medida que se define como el valor que divide aun conjunto de datos en dos partes iguales.

La moda presenta los siguientes casos:

Caso 1: (Conjunto impar).

2, 3, 4, 5, 7 , 7, 8, 9, 13

Mediana

Mediana = 7

Caso 2: (Conjunto par ).

1, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 15

6 + 7 = 13 = 6.5 2

Mediana = 6.5



11

Para calcular la mediana para datos agrupados se aplica lasiguiente fórmula:

Mediana = L + N _ 7f C 2

f m

Donde:L = Es el límite real inferior de la clase que contiene la mediana.N = Es el número total de datos en el conjunto.7f =Es la suma de las frecuencias acumuladas inferiores sin

contar la frecuencia de la clase que contiene la mediana.C = Es el tamaño, longitud o anchura de la clase.

*NOTA: La clase que contiene la mediana se obtiene contando

las frecuencias absolutas, de arriba hacia abajo y viceversalocalizándola donde nos de la mitad de N.

Ejemplo:35 - 13

Mediana = 81.5 + 2 5 = 81.5 + (17.5 ± 13 ) =7 7

Mediana = 81.5 + 3.21 = 84.71

RELACION EMPÍRICA ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MODA YMEDIANA.

86.57 ± 80.25 } 3 (86.57 ± 84.71)6.32 } 5.58



12

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

DISPERSIÓN: Es el grado en que los datos numéricos tienden aextenderse alrededor de un valor medio.

3 X 85

a) Entre las medidas mas importantes de dispersión se tienenAMPLITUD DE VARIACIÓN (RANGO).

b) DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (D.M): Es la media aritméticade los valores absolutos de las desviaciones con respecto a lamedia aritmética.

Para calcular las desviación media para los datos no agrupados seutiliza la siguiente fórmula:

NDonde:

X = Datos

= Media Aritmética.| | = Valor absoluto.N = Número Total de Datos.

Ejemplo:

D.M = |66±86| + |100±86| + |98-86| + 96-86| + |58-86| + |94-86| + |90-86| 7

D.M = |20| + |14| + |12| + |10| + |28| + |8| + |14| =13.717



13

Para calcular la desviación media para datos agrupados seutiliza la siguiente fórmula:

Donde:

X = Marcas de clase.f = Frecuencias Absolutas.

= Media Aritmética.N = Número total de datos en el conjunto.

Ejemplo:D.M = 5|74-86.57|+8|79-86.57|+7|84-86.57|+4|89-86.57|+

6|94-86.57|+2|99-86.57|+1|104-86.57|+2|109-86.57| =

35

D.M =|62.85|+|60.56|+|17.99|+|9.72|+|44.58|+|24.86|+|17.43|+|44.86|= 35

D.M = 282.85 = 8.0835

c) DESVIACIÓN TIPICA O ESTÁNDAR: Se define como la raízcuadrada de la varianza.

Para calcular las desviación típica para los datos no agrupados mayores de 30 se utiliza la siguiente fórmula:

Para menores de 30:



14

Ejemplo:

Para calcular la desviación típica o estándar para datos agrupadosse utiliza la siguiente fórmula:

Donde:f 1 = Frecuencia Absoluta.

Ejemplo:

W = 9.66

d) VARIANZA: Se define como la desviación típica o estándar

elevada al cuadrado; su símbolo es W2.

Ejemplo:

W2= (9.66)2 = 93.31



15

e) REGLA EMPÍRICA PARA UNA, DOS Y TRES DESVIACIONES TIPICAS:

1. Para una desviación típica el porcentaje es del 68.27%

2. El porcentaje para 2 desviaciones típicas es igual al 95.45%.

3. El porcentaje para 3 desviaciones típicas es igual a 99.73%.



16

MODELO.

El presidente de Ocean Airlines intenta hacer una estimación decuanto se tardará el Departamento de Aeronáutica Civil en decidiracerca de la solicitud de la compañía sobre una nueva ruta entre la

ciudad de Charlotte y Los Angeles. Los asesores del presidente hanconseguido los siguientes tiempos de espera de las solicitudes hechasdurante el año anterior. Los datos están en días desde la fecha desolicitud hasta la respuesta del D.A.C.

34 40 23 28 31 40 25 35 47 3249 34 38 31 33 42 26 35 27 3129 40 31 30 34 31 38 35 37 33

24 44 37 39 32 36 34 36 41 3929 22 28 44 51 31 44 28 47 31

a) Construya ana distribución de frecuencias utilizando 10intervalos cerrados igualmente espaciados.

R ango = 51 ± 22 = 29 = 9.66 } 103

Clases Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Marca de

Clase

LimiteReal

Inf erior

LimiteReal

Superior Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Acumulada1 21 ± 24 3 6% 23 21.5 24.5 3 62 25 ± 27 3 6% 26 24.5 27.5 6 123 28 ± 30 6 12% 29 27.5 30.5 12 24 4 31 ± 33 12 24% 32 30.5 33.5 24 485 34 ± 36 8 16% 35 33.5 36.5 32 64

6 37 ± 39 6 12% 38 36.5 39.5 38 767 40 - 42 5 10% 41 39.5 42.5 43 868 43 ± 45 4 8% 44 42.5 45.5 47 94 9 49 ± 48 2 4% 47 45.5 48.5 49 98

10 49 ± 51 1 2% 50 48.5 51.5 50 10050 100%

Longitud = 3.



17

³HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.´

0

2

4

6

8

10

12

MARCA DE CLA SE

F R E

C U E N C I A A B S O L

U T A

23 26 29 32 35 38 41 44 47 50



18

³DIAGRAMA DE PARETO.´

0

2

4

6

8

10

12

MARCA DE CLASE

32 35 29 38 41 44 23 26 47 50



19

³POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS.´

6 6

12

24

16

1210

8

4

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

2 3 2 6 2 9 3 2 3 5 3 8 4 1 4 4 4 5 5 0

MA RCA DE CL A SE

F R E C U E N C I A

R E L

A T I V A



20

³OJIVA´.

36

12

24

32

38

42

4749 50

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

24.5 27.5 30.5 33.5 36.5 39.5 42.5 45.5 48.5 51.5

LI I L I

I

L A D A

a) MEDIA.

3(23)+3(26)+6(29)+12(32)+8(35)+6(38)+5(41)+4(44)+2(47)+1(50)=50



21

X = 34.76

b) MODA.

6Moda = 30.5 + 3 = 30.5 + 1.8 = 32.3

6+4

c) MEDIANA.

Mediana = L + N _ 7f C 2 f m

50 24 3Mediana = 33.5 + 2 = 33.5 + 0.375 = 33.875

d) RELACION EMPÍRICA.

37.46 ± 32.3 } 3 (34.76 ± 33.875)2.46 } 2.65

e) DESVIACIÓN MEDIA.

3|23-34.76|+3|26-34.76|+6|29-34.76|+12|32-34.76|+8|35-34.76|+6|38-34.76|+5|41-34.76|+4|44-34.76|+2|47-34.76|+1|50-34.76| =

50

35.28+26.28+34.56+33.12+1.92+19.44+31.2+36.96+24.48+15.24 =50

D.M = 5.16

8



22

f) DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR.

W=�3(23-34.76)2+3(26-34.76)2+6(29-34.76)2+12(32-34.76)2+8(35-34.76)2

+6(38-34.76)2+5(41-34.76)2+4(44-34.76)2+2(47-34.76)2+1(50-34.76)2 50

W = 6.4298

g) VARIANZA. W2

W2= (6.4298)2 = 41.3423

h) REGLA EMPÍRICA PARA UNA, DOS Y TRESDESVIACIONES TÍPICAS.

Para una desviación típica:

X s W.34.76 s 9.6634.76 + 9.66=44.4234.76 - 9.66= 25.1

Para dos desviaciones típicas:

X s 2W. 34.76 s 2(9.66)

34.76 + 19.32=54.0834.76 - 19.32= 15.44

Para tres desviaciones típicas:

X s 3W. 34.76 s 3(9.66)

34.76 + 28.98=63.74 34.76 - 28.98= 5.78



23

CAPITULO II.DESCRIPCIÓN DE DOS CONJUNTOS DE DATOS.

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN.

Es el grupo de técnicas estadísticas empleado para medir laintensidad de la relación entre dos variables.

Se deben identificar la variable dependiente y la independiente.

Ejemplo:

Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresapara determinar si existe relación entre los años de servicio y laeficiencia de un empleado. El objetivo de estudio fue predecir laeficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Losresultados de la muestra son:

Empleados Años de

Servicio ³X´

Puntuación

de eficiencia ³Y´

XY X2 Y2 Y´

A 1 6 6 1 36 3.23B 20 5 100 400 25 4.64 C 6 3 18 36 9 3.61D 8 5 40 64 25 3.77E 2 2 4 4 4 3.31F 1 2 2 1 4 3.23G 15 4 60 225 16 4.30H 8 3 24 64 9 3.77

7x = 61 7y = 30 7xy=254 7x2

=795 7y2

=128



24

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.

Es la gráfica que representa la relación entre dos variables deintereses.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

X (AÑOS DE SERVICIO).

Y ( P U N T O D

E E F

I C I E N C I A

)



25

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

Es la medida de la intensidad de la relación entre dos conjuntos devariables.Para calcular el coeficiente de correlación se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

r = .3531

ANÁLISIS DE REGRESIÓN.

Es la técnica empleada para hacer predicciones. Para ello seemplea la ecuación de regresión mediante el método de mínimoscuadrados; dicha ecuación se le conoce como la ecuación deestimación de o de pronóstico la cual se expresa:

y¶ = a +bX

donde:a = Coordenada de la intersección con el eje y.b = Es la pendiente de la recta.x = Cualquier valor seleccionado para la variable independiente.y¶ = Es el valor pronosticado de la variable y para un valor

seleccionado de x.



26

Matemáticamente se obtiene de la siguiente manera:

Ejemplo:

b = 202 = .07652639

a = 3.75 - .0765 ( 7.625) = 3.16

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (r2).

Se define como la proporción de la variación total en la variabledependiente y que se explica por o se debe a la variación en la variabledependiente x.

El coeficiente de determinación se obtiene aplicando la siguientefórmula:

r2 = Variación total ± Variación no explicada.Variación Total.

( y ± y )2

( y ± y´ )2

5.0625 7.6729

1.5625 0.0961

0.5625 0.3721

1.5625 1.5129

3.0625 1.7161

3.0625 1.5129

0.0625 0.09

0.5625 0.5929

15.5 13.5659

r2 = 15.5 ± 13.5659 = 0.1247 = 0

.1247 15.5



27

ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN.

Es aquel que mide la dispersión de los valores observados conrespecto a la recta de regresión.

El error estándar de estimación se obtiene aplicando cualquiera de

las siguientes fórmulas.

E jemplo:

1. � 13.5659 = 1.5036 6

2. � 128 ± 3.166(30) ± 0.0765(254) = 1.5049



28

MODEL0.

Un analista de operaciones realiza un estudio para analizar larelación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma una muestra de 10 empresas seleccionadas

de la industria y se dan los siguientes datos:

Empresa Miles deUnidades

Miles de$

xy y2 y2

A 40 150 6000 1600 22500B 42 140 5880 1764 19600C 48 160 7680 2304 25600D 55 170 9350 3025 28900E 65 150 9750 4225 22500F 79 162 12798 6241 26244

G 88 185 16280 7744 34225H 100 165 16500 10000 27225I 120 190 22800 14400 36100J 140 185 25900 19600 34225

777 1657 132,938 70,903 277,118

Determinar:

a) Cual es la variable dependiente y cual la independiente.b) Hacer el diagrama de dispersión.

c) El coeficiente de correlación.d) La recta de regresión mediante el método de mínimoscuadrados.

e) El coeficiente de determinación.f) El error estándar de estimación.g) Determinar el costo que se tiene al producir 50,000 y 150,000

unidades.

a) Variable dependiente: Miles de unidades. Variable Independiente: Miles de pesos.



29

b) DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.

120

130

140

150

160

170

180190

200

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

MILES DE UN IDA DES

M I L E S D E $

c)

r = 1

329,380 ± 1

287,489 =

� [709030 ± 603729][2771190 ± 2745949]

r = ___ 41891 = _41891__ = 0.8078

� (105301)(25541) 51860.32



30

d) y´ = a + bX

b = 41891 = 0.3978

105301

a = 165.7 ± (.3978) (77.7) = 134.7909

y´= 134.7909 + 0.3978 X

e) r2 = (0.8078)2 = 0.65254084

f)

Syx = (277119) ± 134.7909 (1657) ± (.3978) (132.938)

� 10 - 2

Syx = 10.53

g) 134.9909 + 0.3978(50) = 154.8809 134.9909 + 0.3978(150) = 199.6609



31

CAPITULO III.VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIONES DE PROBALIDAD.

ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles

de un experimento o muestra.

EVENTO: Es el resultado de un experimento.Los eventos se clasifican en tres tipos:

1. Simple. 2. Múltiple. 3. Imposible.

VARIABLE OPCIONAL: Es aquella que está en función valoradanuméricamente, cuyo valor está regido por factores en los queinterviene el azar.

Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos:

1. Variables aleatorias continuas: Son aquellas en lasque se considera si se puede asumir cualquier valordentro de un determinado intervalo.

2. Variables aleatorias discretas: Son aquellas que seconsideran si los valores que se asumen se puedencontar.

Ejemplo:

Continua: - Estatura de una persona.- Número de litros de agua en un estanque.

Discreta: - Número de muestra de un lote.- Cantidad de alumnos de un grupo.

Las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es undeterminado evento.La probabilidad de que un evento ocurra está representada del 0 a 1.



32

Ejemplo:Evento: Lanzamiento de una par de dados. ¿Qué número sumadopuede dar?

a) Hallar la variable aleatoria.

b) El espacio muestral.c) La probabilidad.d) La gráfica en forma técnica.e) Hacer la gráfica de un experimento aleatorio con 100

lanzamientos. y compararla con la anterior.

VariableAleatoria

Espacio Muestral

Probabilidad Clásica.

Probabilidad en el experimento

2 (1,1) 1/36 1.663 (2,1),(1,2) 2/36 6.664 (3,1),(2,2),(1,3) 3/36 105 (4,1),(3,2),(2,3),(1,4) 4 /36 6 (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5) 5/36 157 (6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6) 6/36 17.58 (6,2),(5,3),(4,4),(3,5),(2,6) 5/36 11.669 (6,3),(5,4),(4,5),(3,6) 4 /36 10 (6,4),(5,5),(4,6) 3/36 9.311 (6,5),(5,6), 2/36 4.1612 (6,6) 1/36 2.5

d) Gráfica en forma clásica.

0

0.028

0.056

0.084

0.112

0.14

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

V A RIA BLE A LEAT ORIA

P R

O B A B I L I D A D

1/36

2/36

3/36

4 /36

1/36

5/36



33

e) Gráfica del experimento de 100 lanzamientos.

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

VAR IABLE ALEATORIA

P R O B A B I L I D A D

FACTORIAL DE N.

Para calcular el factorial de un número positivo se aplican lasiguiente fórmula:

n! = n(n - 1) (n ± 2) . . . 1

Ejemplos:

0! = 11! = 12! = 23! = 64! = 24



34

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

Una permutación se representa nPr, es una ordenación de n objetos tomados de r en r.

Una permuta aplica la siguiente fórmula:

nPr = n! (n ± r)!

Ejemplo:r = 2 6P2 = 6! = 720 = 30 n = 6 (6- 2)!

Una combinación es una selección de n objetos o cosasseleccionadas de r en r.

Una combinación se obtiene con la siguiente fórmula:

nCr = _ n! ___ r! (n ± r)!

Ejemplo:r = 2n = 6

6C2 = 6! _

__ = 6! __ = 6 . 5. 4. 3. 2. 1 = 30 = 15 2!(6-2)! 2!.4! 2. 1 4. 3. 2. 1 2

Ejemplo:

En cuantas formas puede una sucursal local en una sociedadprogramar a 3 conferencistas en 3 diferentes congresos, si los primerosestán disponibles en cualquiera de 5 fechas posibles.

n = 5 nPr = n! __ r = 3 (n ± r)!

5. 4. 3. 2. 1 = 60 Formas 2. 1

En cuantas formas diferentes puede un superior seleccionar un

equipo de 5, de 8 personas que trabajan para el.n = 8 nCr = _ n! ___ r = 5 r! (n ± r)!

8!__ = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 336 = 56 Formas.5!(8-5)! (5. 4. 3. 2. 1)(3. 2. 1)



35

PRINCIPIO FUNDAMENTAL.

Si un suceso o evento puede presentarse con cualquiera de las n1 formas distintas y si otro suceso ha ocurrido relacionado con el primerode las n2 distintas, entonces el número de formas en que ambos

sucesos en orden específico pueden presentarse será n1 . n2 formas.

Ejemplo:¿De cuantas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante?

a) Si es posible cualquier ordenación.b) 3 libros determinados deben estar juntos.c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos.

a) 7P7 = 7! __ = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040(7±7)! 1

b) 5P4 . 3P3 = 5! _ 3! _ = 5. 4. 3. 2. 1 3 .2. 1 = 120 x 6=720(5-5)! (2-2)! 1 1

c) 5P2 . 2P2 = 5! _ 2! _ = 5. 4. 3. 2. 1 2. 1 = 120 x 2=240(5-5)! (2-2)! 1 1

Una clase de 9 niños y 3 niñas.

a) Hallar el número de posibilidades que tiene un profesor de elegirun comité de 4 integrantes.

b) Tiene que haber 2 niños y 2 niñas.c) Tiene que haber exactamente una niña.

a) 12C4 = 12!_ = 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 495 Formas. 4!(12-4)! (4. 3. 2. 1) (8. 7 .6 .5 .4 .3. 2. 1)

b) 3C2 . 9C2 = (3) (36) = 108 Formas.

c) 3C1 . 9C3 = (3) (84) = 252 Formas.Un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos, 4 gallinas a un hombre que

tiene 6 vacas, 5 cerdos y 8 gallinas. ¿Cuántas elecciones puede hacer?

6C3 . 5C2 . 8 C4 = (20) (10) (70) = 14,000 formas.



36

ESPERANZA MATEMÁTICA.

Es la cantidad que un jugador espera ganar como media cada vezque juega. Si el valor de ³E´ es positivo se dice que el juego está afavor del jugador, si ³E´ es negativo esta en su contra y se dice que es

una perdida.Para calcular la esperanza matemática de un cierto evento seaplica:

E = W1P1 + W2P2 + . . . +WnPn

Ejemplo:1. Un jugador tira 2 dados, si la suma es de 7 ó 11 gana 7

dólares, con cualquier otro resultado pierde 2 dólares.Determine el valor esperado del juego.

E = ?W1 = $7 E = (7) (8/36) ± (2) (28/36)P1 = 6 + 2 = 8

36 36 56 ± 56 = 036 36

W2 =-$2 P2 = 28

36

2. Si un hombre compra una papeleta de rifa en la que puedeganar un primer premio de 5,000 dólares ó un segundo premio de 2,000

dólares con probabilidades de .001 y .003. ¿Cuál sería el precio justo apagar por la papeleta?

E = ?W1 = $5,000 E = (5000) (.001) ± (2000) (.003)P1 = .001W2 =-$2,000 P2 = .003 E = $5 + $6 = $11

3. Un juego consiste en tirar una moneda no-truncada 4 veces. Un

jugador gana 3 dólares si sale 2 o mas veces cara, de cualquier otraforma el jugador pierde 4 dólares.Hallar el valor esperado ³E´ del juego.

E = ?W1 = $3 E = (3)(11/16) ± (4)(5/16)P1 = 11/16W2 =-$4 E = 33 - 20 = 13P2 = 5/16 16 16 16



37

CAPITULO IV. FUNCIONES DE PROBABILIDAD.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD: Es la distribución de frecuenciasrelativas respecto a resultados del espacio muestral, señala la

proporción de veces en que la variable aleatoria tiende a obtenerdiversos valores.

Considerando que la probabilidad de que un evento suceda o nosuceda es igual a 1, para ello se aplica la siguiente fórmula:

1 = p + q p = 1 - q q = 1 ±p

p = Probabilidad de éxito.q = Probabilidad de no éxito.

Las distribuciones de probabilidad se clasifican de 2 tipos:

Binomial.

1. LAS DISCRETAS. Poison.

Hipergeométrica.

2. CONTINUAS. Normal.

a) Distribuciones de probabilidad discretas:

1. Distribución Binomial: Para calcular la probabilidad medianteesta distribución de acuerdo a las características, se aplica la siguientefórmula.

P(x) = _ n! ___ px qn-x

x! (n-x)!



38

Donde:n = Número de ensayos.p = Proporción de éxito que se tiene en el evento.q = Proporción de no-éxito o de fracaso que se tiene en el evento.x = Es el número de veces que se obtiene al obtener éxito.

Ejemplo:1. El 8% de las hamburguesas que se venden en un estadio de

béisbol, se piden sin mayonesa. Si 7 personas ordenan hamburguesasencuentre la probabilidad de que:

a) Todas las quieran con mayonesa.b) Solo 1 la quiera con mayonesa.

Datos:

p = .92%q = .08%n = 7

a) x = 7 P(7) = 7!___ (.92)7 (.08)7-7 = 0

.55787!(7-7)!

b) x = 1 P(1) = 7!___ (.92)1 (.08)7-1 = 0.0000016881!(7-1)!

2. El 90% de probabilidades de que un tipo particular decomplemento funcione adecuadamente en condiciones de altatemperatura. Si el dispositivo en cuestión incluye 4 de esoscomponentes, determine la probabilidad de que:

a) Todos los componentes funcionen adecuadamente y por lotanto el dispositivo es operante.

b) El dispositivo es inoperante por que falla exactamente 1 de

los 4 componentes.c) El dispositivo es inoperante por que falla 1 o mas de loscomponentes.

Datos:

p = .90%q = .10%x = 4



39

a) x = 4 P(4) = 4!___ (.90)4 (.10)4-4 = 0

.65614!(4-4)!

b) p = 0.10% P(1) = 4!___ (.10)1 (.90)4-3 = .2916

q = 0.90% 1!(4-1)!x = 1

c) p = 0.10%q = 0.90%x = 1, 2, 3,4

P(1, 2, 3, 4) = 4!___ (.10)1 (.90)3+ 4!___ (.10)2 (.90)4-2+1!(4-1)! 2!(4-2)!

4!__ (.10)3 (.90)4-3+ 4!__ (.10)4 (.90)4-4=3!(4-3)! 4!(4-4)!

0.2916 +0.0486 + 0.0036 +0.0001 = 0.3439

Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad de que sean:a) 3 niños y 3 niñas.b) Menos niños que niñas. Tomaremos 0.5 como la probabilidad

de que un hijo sea niño.

Datos:p = 0.5% niños.q = 0.5% niñas.n = 6 hijos.

a) x = 3 P(3)= 6!__ (0.5)3 (0.5)6-3= 0.31253!(6-3)!

b) x =0, 1, 2

P(0,1, 2) = 6!___ (0.5)

0

(0.5)

6-0

+ 6!___ (0.5)

1

(0.5)

6-1

+0!(6-0)! 1!(6-1)!

6!__ (0.5)2 (0.5)6-2= .0152 + .09375 + .2343 = .34362!(6-2)!



40

2. Distribución de probabilidad Poison: Esta distribución tienemuchas aplicaciones y se utiliza como modelo para describir fenómenos,por ejemplo el número de errores en captura de datos, lasimperfecciones en piezas recientemente pintadas, el número de partesdefectuosas en ciertos embarques, el número de clientes que llegan a

un banco a solicitar servicio, el número de errores que una secretariacomete por página, el número de accidentes que ocurren en undeterminado tiempo, etc.

Esta probabilidad utiliza la siguiente fórmula:

P(x) = e-P . Px x!

P = Promedio de ocurrencia del suceso o evento.x = Número pedido de acuerdo a la probabilidad.

e = Número de Euter ( 2.7172).

Cuando la probabilidad es muy pequeña se debe de contar elnúmero de la población, para ello el promedio de ocurrencia se obtiene:

P = N . P

Ejemplo:1. La señora García esta encargada de los préstamos de un banco.

Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que

un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente sus préstamo es de.025, el mes pasado realizo 40 préstamos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no se paguenoportunamente?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 préstamos se liquidena tiempo?

Datos:P = .025N = 40P = (40)(.025)=1 cliente.

a) x = 3 P(3)= e-1.13 = (.3678)(1) = .

06133! 6



41

b) x = 3 o más. P(0,1,2) = e-1. 10 + e-1. 11 + e-1 . 12 =0! 1! 2!

.3679+ .3679+ .3679 = .3679 + .3679 + .1839 = 0.91971 1 2

P(3 o más) = 1 ± q= 1 ± 0.9197 = 0.0803 % Probabilidad pedida.

2. Los automóviles que llegan a una salida de una carretera arazón de 2 por minuto.

a) ¿Cuál es la probabilidad que en un minuto dado no lleguenautomóviles?

b) ¿Cuál es la probabilidad e que al menos 1 automóvil lleguedurante un minuto especifico?

Datos:P = 2 autos / minuto.

Probabilidada) x = 0 P(0)= e-2.20 = (0.1353)(1) = 0

.1353 pedida.0! 1

b) x = 1 o más. P(1 o más) = 1 ± q= 1 ± 0.1353% Probabilidad pedida.

3. Supongamos que el 2% de la población es zurda. Hallar laprobabilidad de encontrar 3 o más zurdos en 100 personas.

Datos:P = 2% = .02N = 100P = (100)(.02) = 2 P(0,1,2) = e-2. 20 + e-2. 21 + e-2 . 22 =

0! 1! 2!

.1353(1) + .1353(2)+ .1353(4) = .1353 + .2706 + .3706 = 0.67651 1 2

Probabilidad1 ± q = 1 - .6765 = .3234 pedida.



42

4. A una construcción llegan camiones de carga a razón media de2.8 camiones por hora. Obtenga la probabilidad de tener 3 o máscamiones que lleguen en un:

a) Lapso de 30 minutos.

b) Lapso de 1 hora.c) Lapso de 2 horas.

Datos:P = 2.8 Camiones / minuto

a) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-1.4. 1.40 + e-1.4. 1.41 + e-1.4 . 1.42 =P = 1.4 0! 1! 2!

.2465(1) + .2465(1.4)+ .2465(1.96)=.2465 + .3451 + .2415 = .8331

1 1 2Probabilidad pedida = 1 - .8331 = .

1669

b) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-2.8. 2.80 + e-2.8. 2.81 + e-2.8 . 2.82 =P = 2.8 0! 1! 2!

.0608(1) + .0608(2.8)+ .0608(7.84)= .0608 + .1702 + .2383 = .46931 1 2

Probabilidad pedida = 1 - .4693 = .5307

c) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-5.6. 5.60 + e-5.6. 5.61 + e-5.6 . 5.62 =P = 5.6 0! 1! 2!

.0036(1) + .0036(5.6)+ .0036(31.36) =.0036 + .0207 + .0596 = .08231 1 2

Probabilidad pedida = 1 - .0823 = .9177



43

3. Distribución de probabilidad Hipergeométrica: Cuando lapoblación es finita y el muestreo se hace sin reemplazo, la probabilidadcambiará para cada nueva observación, en tales circunstancias setendrá una distribución Hipergeométrica, está debe estar formada por2 grupos de individuos u objetos. Un primer grupo constituido por

aquellos individuos que poseen las característica de estudio; serepresentará N1; y el otro grupo estará conformado por los que noposeen la característica y el número de sus elementos se representarácon N2.

La probabilidad mediante una distribución Hipergeométrica seobtiene:

Donde:x = Número de éxitos el los n ensayos donde el muestreo es sin

repetición.

Ejemplo:1. Una empresa produce 100 unidades de las cuales 90 son

buenas y 10 son defectuosas. Se toman 20 unidades sin remplazo; hallela probabilidad de que resulten 5 defectuosas.

Datos:N1 = 10N2 = 90 P(5) = 10C5 . 90C15 = (252)(4.58 x 1016) = 0

.0215N = N1 + N2 = 100 100C20 5.36 x 1020

n = 20x = 5

2. 15 de los 20 estudiantes de una grupo escolar estáninsatisfechos con el texto que se emplea. Si una muestra aleatoria de 4 estudiantes es interrogada sobre el libro de texto. Determine laprobabilidad:

a) Exactamente 3.b) Al menos 3 estudiantes.

Se muestren insatisfechos con el libro.

, x = 0, 1, . . . n si n � N1



44

Datos:N1 = 15N2 = 5N = N1 + N2 =20

n = 4 Probabilidada) x = 3 P(3) = 15C3 . 5C1 = (455)(5) = 0

.4695 pedida20C4 4845

Probabilidadb) x = 3, 4 P(4) = 15C4 . 5C0 = (1365)(1)= 0.2817 pedida

20C4 4845

3. Una caja contiene 30 baterias para radio de las cuales 5 son

defectuosas. De la caja se escogen al azar 6 baterias; halle laprobabilidad de que:

a) 2 sean defectuosas.b) Ninguna sea defectuosa.c) Menos de 3 sean defectuosas.

Datos:N1 = 5N2 =25N = N1 + N2 = 30n = 6

a) x = 2 P(2) = 5C2 . 25C4 = (10)(12650) = 0.2130 P.P 30C6 593775

b) x = 0 P(0) = 5C0 . 25C6 = (1)(177100) = 0.2982 P.P 30C6 593775

b) x = 0,1,2 P(1) = 5C1 . 25C5 = (5)(53130) = 0.447330C6 593775

P(0,1,2) = 0.2982 + 0.4473 + 0.2130 = 0.9585 P.P



45

4. Distribucion Normal: Esta distrbucion se aplica en muchosfenómenos naturales, los cuales para el cálculo de la probabilidad seutiliza la curva simétrica llamada campana, la cual se expresa acontinuación:

.5000 .5000

Para calcular la probabilidad mediante una distribución normal seutiliza la siguiente fórmula:

Z = X ± MW Donde:

M = Es la media aritmética o promedio.W = Desviación típica o estándar de la población.X = Valor buscado de acuerdo a la probabilidad pedida.Z = Es el valor típificado (Área bajo la curva).

Ejemplo.1. El número de días entre la facturación y el pago de las cuentas

a crédito en una gran tienda de departamentos, tiene uyna distribuciónaproximadamente normal con una media de 18 días y una desviaciónestándar de 4 días:

a) ¿Qué población de las cuentas serán pagadas entre 12 y 19 días?b) Entre 20 y 23 días.c) En menos de 8 días.d) En 12 días o más.

Datos:M = 18W = 4

a) x = Entre 12 y 19 . 0.5319

Z1 = 12 ± 18 = -1.54

.4332 .0987Z1 = 19 ± 18 = 0.25

4 Z1= -1.5 Z2=0.25P.P = 0.5319



46

b) x= Entre 20 y 230.2029

Z1 = 20 ± 18 = 0.54

0.1915 0.3944

Z2 = 23 ± 18 = 1.254 Z1= 0.5 Z2=1.25

P.P = 0.1915 ± 0.3944 = 0.20290.9938

c) x= Menos de 80.0062

Z = 8 ± 18 = -2.5 0.4938 .50004 Z= -2.5

P.P = 1 ± 0.9938 = 0.00620.9332

d) x= 12 o mas

Z = 12 ± 18 = -1.5 0.4332 .50004

Z= -1.5 12 días o mas

2. El tiempo requerido para instalar un motor nuevo de un aviónes distribuido con una media de 20 horas y una desviación típica de 1hora. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente instalación toma:?

a) 19 o menos y 22 o más horas.b) Entre 17 y 18 horas.

Datos:

M = 20 horas.W = 1 hora.a) x= 19 o menos y 22 o más. 0.8115

Z1 = 19 ± 20 = -11

Z2 = 22 ± 20 = 2 0.3413 0.47721

P.P=1 - 0.8185 = 0.1815 Z1 =-1 Z2 = 2



47

b) x = 17 y 180.0215

Z1 = 17 ± 20 = -31

0.4987 0.4772

Z2 = 18 ± 20 = -2 Z1= -3 Z2= -21

P.P = 0.4987 ± 0.4772 = 0.0215

3. Suponga que se diseña una prueba de inteligencia que tengauna distribución normal con una media de 100 y una desviaciónestándar de 15.

a) ¿Qué proporción de personas tienen resultados inferiores a 115.b) ¿Mayores a 130?c) ¿Entre 85 y 115?d) ¿Entre 70 y 130?

Datos.M = 100W = 15

0.8413

a) x = menores a 115.

Z = 115 ± 100 = 1 .5000 .3413

15Z = 1

P.P=0.3413 0.9772

b) x = Más de 130

Z = 130 ± 100 = 2 .5000 .477215

Z = 2P.P = .9772 .6826

c) x = Entre 85 y 115

Z1 = 85 ± 100 = 115 .3413 .3413

Z2 = 115 ± 100 = 115 Z1=-1 Z2=1

P.P = .3413 + .3413 =.6826



48

d) x = Entre 70 y 130 .9544

Z1 = 70 ± 100 = -215

.4772 .4772

Z2 = 130 ± 100 = 215 Z1= -2 Z2= 2

P.P = .4772 + .4772 = .9544

El gerente de un club de natacion sabe por experiencia de añospasados que el número de niños que cada miembro trae a la alberca enuna sesión dada es una variable aleatoria con media de 3.1 y desviacióntípica de 0.56. Entre 200 miembros ¿Cuántos se pueden esperar quetraigan de 2 a 4 niños a las piscina en una sesión?

Datos:M = 3.1W = 0.56x = 2 a 4 .9213N = 200 miembros.

Z1 = 2 ± 31 = -1.96.56 .4750 .4463

Z2 = 4 ± 31 = 1.61 Z1 = -1.96 Z2 = 1.61

.56

P.P = .4750 + .4463 = .9213Número de niños = (200)(.9213) = 184.26 } 184 Niños.



49

CAPITULO VDISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS.

La estimación de parámetros puede ser de 2 formas:

1) Estimación por intervalo.2) Estimación por punto.

Estimación por punto: Es la estimación de un valor único de unparámetro de la población.

Estimación por intervalo: Es la estimación que incluye un intervalo devalores posibles en el que se considera que está comprendido unparámetro de la poblacióon.

Para calcular el nivel de confianza deseado con respecto al Zc setiene:

Nivel deConfianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50

Zc 3 2.58 2.33 2.05 2 1.96 1.645 1.25 1 .67

ESTIMACIÓN PARA MEDIAS ARITMÉTICAS DE ACUERDO AL

TAMAÑO DE LA MUESTRA.

Para calcular los intervalos de confianza para muestras grandes seutiliza la siguente fórmula:

X s Zc W _ � n

Donde:X = Es la media aritmética o promedio muestral.

W = Es la desviación típica o estándar de la población (muestra).n = Es el tamaño de la muestra.Zc = Es el valor buscado en la tabla de acuerdo al nivel de confianza

deseado.



50

Para calcular la estimacion de intervalos para muestras pequeñas(menores de 30), se utiliza la siguiente fórmula:

X s tc S_ � n

Donde:X = Es la media aritmética o promedio muestral.tc = Es el valor buscado en la tabla (t de student) y esta se busca de

acuerda a los grados de libertad.S = Desviación típica o estándar de la muestra.n = Tamañ de la muestra.

En el caso de utilizar la tabla T de student se utilizan los gradosde libertad aplicando la soguiente fórmula:

V = n ± 1

Ejemplo:1. Una psicóloga de una industria, desea estimar la media de edad

de cierta población de empleadas. Extrae una muestra de de 60 mujeresde la población. La muestra da como resultado una media de edad de23.67 años. Sabe que la población de edades tiene una desviación típicade 15 años. Construya un intervalo de confianza:

a) 96%b) 99%

Datos:X =23.67 años.W =15 años.n = 60

NC.a) 96% Zc= 2.05

27.6398

23.67 s 2.05 (15) = 23.67 s 30.75 = 23.67 s 3.9698 =�60 7.7459 19.70

b) 99% Zc= 2.5828.6661

23.67 s 2.58 (15) = 23.67 s _38.7 = 23.67 s 4.9961 =�60 7.7459 18.6739



51

2. Al final de cada llamada en una estación teléfonica se hace unreporte en el que se indica la duración de la llamada. Una muestraaleatoria simple de 9 reportes da como resultado una media de duraciónde llamada de 1.2 minutos con uan desviación típica o estándar de 0.6minutos. Construya un intervalo de confianza:

a) 95%b) 99% para la media de la población.

Datos:X =1.2 minutos.s =0.6 minutosn = 9V = 9 ± 1 =8

Tc.a) 95% tc = 2.3061.6612

1.2 s 2.306 (.6) = 1.2 s _1.3836 = 1.2 s 0.4612 =�9 3 0.7388

2.5% 2.5%95%

0 .025 .95 .975 1

b) 99% tc = 3.3551.871

1.2 s 3.355 (.6) = 1.2 s _2.013 = 1.2 s 0.671 =�9 3 0.529

.5% .5%99%

0 .005 .99 .995 1



52

3. Las alturas de una muestra de 50 estudiantes mostraron unamedia de 174.5 cm y una desviación típica de 6.9 cm. determine unintervalo de confianza:

a) 90%

b) 98%Para la altra promedio de todos los estudiantes.

Datos:X =174.5 cm.W =6.9 cm.n = 50

NC.a) 90% Zc= 1.645

27.6398174.5 s 1.645 (6.9) = 23.67 s 11.3505 = 23.67 s 1.0652=�50 7.0710 19.70

b) 98% Zc= 2.33176.77

174.5 s 2.33 (6.9) = 23.67 s 16.077 = 23.67 s 2.2736 =�60 7.0710 172.23

Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Setoma una muestra de piezas cuyos diámetros son:1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 centímetros.Encuentre:

a) Un intervalo de confianza del 90%.b) Un intervalo de confianza del 99%.Para el diámetro promedio de piezas de esta máquina.

Datos:

X =1.0055Sn-1 =0.02455n = 9V = 9 ± 1 =8



53

Tc.a) 90% tc = 1.860

1.02071.0055 s 1.860 (.02455) = 1.0055 s 0.0456 = 1.0055 s 0.0152=

�9 3 .9903

5% 5%90%

0 .05 .90 .95 1

b) 99% tc = 3.355

1.032961.0055 s 3.355 (.02455) = 1.0055 s 0.0824 = 1.0055 s 0.02746=�9 3 .97804

.5% .5%99%

0 .005 .99 .995 1

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Estadística 1