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Estado Biaxial de Esfuerzos

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Estado Biaxial de Esfuerzos

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Page 1: Estado Biaxial de Esfuerzos

Estado Biaxial de Esfuerzos DefinicionesSi dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZO se presentan EL ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.

Seleccionemos al eje z como el eje perpendicular a las caras libres de esfuerzo.

La matriz de esfuerzos, es:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Que para el caso, puede representarse:

yyx

xyx

(Matriz representativa del estado plano de esfuerzos).

Page 2: Estado Biaxial de Esfuerzos

Esfuerzos del estado plano con signo positivo (CONVENIO).

Transformación de Esfuerzos Bidireccionales

El estado plano de esfuerzos es bastante usado y útil, por cuanto aproximadamente corresponde a innumerables situaciones físicas de interés en Ingeniería.En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cambia el sistema de coordenadas de referencia. Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, dejando el eje “z” invariante.

Page 3: Estado Biaxial de Esfuerzos

00000

´ '''

'''

yyx

yxx

La matriz transformación de coordenadas es:

1000cossen0sencos

A

Page 4: Estado Biaxial de Esfuerzos

La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se expresa por T A A'

Luego:

1000cossen0sencos

00000

1000cossen0sencos

00000

yyx

xyx

'y'y'x

'y'x'x

Desarrollando los productos matriciales, e identificando los respectivos elementos, tenemos:

*

cos2cos

coscos

cos2cos

22'

22''

22'

sensen

sensen

sensen

xyyxy

xyxyyx

xyyxx

Page 5: Estado Biaxial de Esfuerzos

Esfuerzos PrincipalesEcuación característica:

0

yxy

xyx

Desarrollando el determinante obtenemos: 02

xyyxyx2

Conviene expresar las ecuaciones en términos del ángulo doble:

**

22cos21

21

2cos221

22cos21

21

'

''

'

sen

sen

sen

xyyxyxy

xyyxyx

xyyxyxx

Las ecuaciones o sus equivalentes son las ecuaciones de transformación de esfuerzos planos por rotación de coordenadas. Nota:Observar que primer invariante de esfuerzos (sumar la primera y tercera de las ecuaciones )

Page 6: Estado Biaxial de Esfuerzos

Raíces característica:

24 22

1xyyxyx

2

4 22

2xyyxyx

Los Esfuerzos Principales, son:

2

4

24

22

2

22

1

xyyxyx

xyyxyx

Page 7: Estado Biaxial de Esfuerzos

0'y'x

(Condición para Esfuerzos Principales).

02cos2sen21

pxypyx

de donde obtenemos:

yx

xyp

22tan

Page 8: Estado Biaxial de Esfuerzos

Definición

Las direcciones x’, y’ a lo largo de las cuales actúan los esfuerzos principales se denominan Direcciones Principales. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan Planos Principales.

Estado Inicialx

X’

Direcciones Principales

Page 9: Estado Biaxial de Esfuerzos

Esfuerzo Cortante Máximo.

Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es

2cos221

'' xyyxyx sen

Para hallar su valor máximo, hacemos 0d

d 'y'x

de donde obtenemos xy

yxs 2

2tan

Page 10: Estado Biaxial de Esfuerzos

La magnitud del máximo Esfuerzo Cortante, es:

xy

xyxy

xy

xyyxMÁX sen

2arctancos

2arctan

21

Evaluando la composición de funciones, tenemos:

xyxyxyxy

MÁX222

2

421

2

Page 11: Estado Biaxial de Esfuerzos

xyxy22

21 4

En consecuencia:

221

MÁX

(Coincidente con las expresiones para el caso general).

Notas

yx

xyp

22tan

xy

yxs 2

2tan

(Esfuerzos Principales)

(Esfuerzo Cortante Máximo)

Page 12: Estado Biaxial de Esfuerzos

-

Page 13: Estado Biaxial de Esfuerzos

2. En un elemento cúbico que está sometido al Estado Principal de Esfuerzos (bidimensionales), los esfuerzos cortantes se presentan en los planos diagonales.

Planos Principales

Page 14: Estado Biaxial de Esfuerzos

3. Sobre los planos de Esfuerzo Cortante Máximo, actúan esfuerzos normales, cuyas intensidades son:

xy

xyxy

xy

xyyxyxx sen

-arctan

2-arctancos

21

21

-'

Simplificando se obtiene

yx'x 21

De manera similar, tenemos:

xy

xyxyxy

xyyxyxy arcsenarc

tan

2tan cos

21-

21

-'

Simplificando se obtiene

yx'y 21

Page 15: Estado Biaxial de Esfuerzos

xy'x 21

xy'y 21

0

22

902

2tan

12

1

2

SS

xy

yxs

xyxyMAX

Page 16: Estado Biaxial de Esfuerzos

Ejercicios

Para el estado plano de esfuerzos representado, determinar:

i) Los planos principalesii) Los esfuerzos principalesiii) El máximo esfuerzo cortante y sus correspondientes esfuerzos normales

1040

4050(MPa)

i) Planos Principales:

3

41050

40222tan

yx

xyp

50 MPa

40 MPa

10 MPa

40 MPa

Page 17: Estado Biaxial de Esfuerzos

01P 1.532 00

2P 1.2331.531802 y0

1P 6.26 02P 6.1162 y

ii) Esfuerzos Principales:

MPa 30402

10502

1050

22

MPa 70402

10502

1050

22

22

2

2xy

2yxyx

2

22

1

2xy

2yxyx

1

Page 18: Estado Biaxial de Esfuerzos

iii) :MAX

MPa 502

30702

21MÁX

(Coincide con )2xy

2yx

MAX 2

Esfuerzos Normales correspondientes: yxyx21,,

MPa20,,yx

Direcciones de τMAX : xy

yxs

22tan

0002s

01ss

565.71435.1890

435.18,luego,43

40210502tan

Page 19: Estado Biaxial de Esfuerzos

Los esfuerzos principales en un punto de un sólido son 1000 y 500 lb/pulg2. Hallar los esfuerzos que actúan en dirección de unos ejes que forman un ángulo de 300, en sentido horario, con los ejes principales.

y

x30

60

Page 20: Estado Biaxial de Esfuerzos

500001000

,,,

,,,

yyx

yxx,

(Estado inicial) (Estado Rotado)

Usamos las Ecuaciones:

cos221

2cos21

21

2cos21

21

,,

,

,

xyyxyx

xyyxyxy

xyyxyxx

sen

sen

sen

06050021

060cos500211500

21

060cos500211500

21

,,

,

,

senyx

y

x

Page 21: Estado Biaxial de Esfuerzos
Page 22: Estado Biaxial de Esfuerzos

El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo se muestra en el elemento de la figura. Representar este estado de esfuerzo en términos de los esfuerzos principales

De acuerdo con la convención de signos establecida.

yx

xyp

22tan

Al aplicar la ecuación

Page 23: Estado Biaxial de Esfuerzos
Page 24: Estado Biaxial de Esfuerzos

Esfuerzos principales

2

4

24

22

2

22

1

xyyxyx

xyyxyx

Page 25: Estado Biaxial de Esfuerzos