Estatística Básica IC 280 UFRRJ

PEREIRA & BARBOSA

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE CINCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAREA DE ESTATSTICA

DISCIPLINAS: IC 280 ESTATSTICA BSICA E IC 281 INTRODUO BIOESTATSTICAProfessores: Elizabeth Bernardo Ballesteiro Pereira e Celso Guimares Barbosa

EXERCCIOS DE APLICAO

Prtica 1 Conceitos bsicos em Estatstica e notao de somatrio.........................................................................................2Prtica 2 - Apresentao tabular e grfica de dados....................................................................................................................6Prtica 3 - Medidas de tendncia central.....................................................................................................................................9Prtica 4 - Medidas de disperso...............................................................................................................................................12Prtica 5 Probabilidade...........................................................................................................................................................15Prtica 6 - Distribuio binomial...............................................................................................................................................18Prtica 7 Distribuio normal.................................................................................................................................................20Prtica 8 - Distribuies amostrais............................................................................................................................................22Prtica 9 - Intervalo de confiana..............................................................................................................................................24Respostas da Prtica 1 Conceitos bsicos em Estatstica e notao de somatrio.................................................................25Respostas da Prtica 2 - Apresentao tabular e grfica de dados............................................................................................26Respostas da Prtica 3 - Medidas de tendncia central.............................................................................................................31Respostas da Prtica 4 - Medidas de disperso.........................................................................................................................33Respostas da Prtica 5 Probabilidade.....................................................................................................................................37Respostas da Prtica 6 - Distribuio binomial.........................................................................................................................38Respostas da Prtica 7 Distribuio normal...........................................................................................................................41Respostas da Prtica 8 - Distribuies amostrais......................................................................................................................44Respostas da Prtica 9 - Intervalo de confiana........................................................................................................................46Anexo reas sob a curva normal padro de 0 a Z..................................................................................................................48

1

ESTATSTICA BSICA E INTRODUO BIOESTATSTICA

PRTICA 1 CONCEITOS BSICOS EM ESTATSTICA E NOTAO DE SOMATRIO

1) Responda o que se pede:

O que Estatstica?

O que Estatstica descritiva?

O que Estatstica inferencial?

O que experimento?

O que levantamento?

O que varivel?

O que uma varivel quantitativa? Exemplifique.

O que uma varivel qualitativa? Exemplifique.

O que so variveis aleatrias?

O que varivel aleatria discreta? Exemplifique.

O que varivel aleatria contnua? Exemplifique.

QUANTO AO NVEL DE MENSURAO:

O que uma varivel nominal? Exemplifique.

O que uma varivel ordinal? Exemplifique.

O que uma varivel intervalar? Exemplifique.

O que populao sob o ponto de vista da Estatstica?

Como se classificam, quanto ao tamanho, as populaes?

O que um parmetro? Exemplifique.

O que uma amostra sob o ponto de vista da Estatstica?

O que uma estimativa de parmetro? Exemplifique.

QUANTO AO MTODO DE COLETA DE AMOSTRA PROBABILSTICA:

O que uma amostra aleatria simples? Exemplifique.

O que uma amostra aleatria sistemtica? Exemplifique.

QUANTO AO MTODO DE COLETA DE AMOSTRA PROBABILSTICA POR SUBDIVISO DA POPULAO:

O que uma amostra estratificada? Exemplifique.

O que uma amostra estratificada proporcional? Exemplifique.

O que uma amostra por conglomerado? Exemplifique.

QUANTO AO MTODO DE COLETA DE AMOSTRA NO PROBABILSTICA:

O que uma amostra acidental ou por convenincia? Exemplifique.

O que uma amostra por cotas ou proporcional? Exemplifique.

2

PEREIRA & BARBOSA

2) Arredonde os nmeros seguintes:

2.1) 24,6 para a unidade mais prxima;

2.2) 242,97 para o dcimo mais prximo;

2.3) 3,428 para o centsimo mais prximo;


2.5) 1,0482 para o milsimo mais prximo;

2.6) 2,57502 para o centsimo mais prximo;




2.10) 20 3 para o dcimo mais prximo.

3) Prove numericamente as trs principais propriedades bsicas de somatrio, abaixo e considere K como uma constante.

==

=

n

1ii

n

11i xK Kx

=

=

n

1inK K (xi + yi +wi) = xi + Yi + wi

4) Representar por notao:

4.1) X1 + X2 + X34.2) Y1 + Y2 + ... + Yn4.3) KX1 + KX2 + ... + KX104.4) X1Y1 + X2Y2 + X3Y3 + X4Y44.5) X1Y1 + X1Y2 + X1Y3 + X2Y1 + X2Y2 + X2Y34.6) (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + ... + (X5 + Y5)

4.7) X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + X22 + X23 + X24

4.8) x + x + x + x

4.9) 2n22

21 X...XX +++

4.10) (X1Y1 + X2Y2 + X3Y3)2

4.11) (X1 + 3)2 + (X2 + 3)2 + ... + (Xn + 3)2

4.12) X1f1 + X2f2 + ... + X8f84.13) X1 . X2 . X34.14) (X1 + Y1)(X2 + Y2)(X3 + Y3)(X4 + Y4)

4.15) Y1 . Y2 . ... . Yn4.16) (X1 + 3)2 . (X2 + 3)2 . ... . (Xn + 3)2

5) Desenvolver:

3


5.1) =

n

1iiX 5.2) ( )

=

+3

1iii YX 5.3) i

10

3i

3i fX

=

5.4) = =

2

1i

4

3jjiYX 5.5)

= =

2

1i

4

2jjiX

5.6) =

3

1i

2iY 5.7) j

n

1jjba

=

5.8) 2

i

4

1iiYX

=

5.9) ( )=

5

2ii 5X 5.10

=

4

1ii3

1

5.11) ( )23

1ii aX

=

5.12)

=

n

1ii

2i fX 5.13)

=

n

1iiX 5.14)

=

5

21iiX 5.15)

=

7

31iiifx

6) Dados: X1 = 2 X2 = 3 X3 = 1 Obs:

n

XX

n

1ii

==

Calcule:

6.1) =

3

1iiX 6.2)

n

X 3

1ii

=

6.3) 23

1iiX

=

6.4) =

3

1i

2iX

6.5)

n

X 23

1ii

=

6.6)

2

3

1i

3

1ii

i n

X X

=

=

6.7)

n

X X

23

1ii3

1i

2i

=

=

6.8) =

3

1i

3iX

6.9) ( )=

3

1ii XX 6.10)

n

XXi i

ii

= =

3

1

3

1

2 6.11)

n

XXi i

ii = =

3

1

23

1

2

6.12) ==

3

1

3

1

2

ii

ii XX

7) Dados:X1 = 2

Y1 = 1

X2 = 3

Y2 = 2

X3 = 2

Y3 = 1Calcule:

7.1) iiYX 7.2) iX 7.3)

niY

iYn

iXiX

7.5) iY 7.4) ( )2ii Y.X 7.6) iiii Y.XY.X

8) Dados:X1 = 2

f1 = 3

X2 = 3

f2 = 2

X3 = 1

f3 = 5Obs:

=

i

iiffxX n = fi Calcule:

4

PEREIRA & BARBOSA

8.1) ii fX . 8.2) ii fX .2 8.3) if8.4) ( )

nfX ii

2 8.5) iiii fnfX

X2

8.6) ( ) 2. ii fX

9) Dados: 43

1

=X=i

i 83

1=Y

=ii 10YX i3

1ii =

=

Calcule:

9.1) =

3

1i(Xi - 5)(3Yi + 4) 9.2)

=

3

1i(Xi - 3)(3Yi - 2)

9.3) =

3

1i(Xi + 4)(2Yi + 2) 9.4)

=

3

1i(Xi + 2)(2Yi 3)

10) Com os dados da tabela de dupla entrada abaixo, onde i representa a ordem de aparecimento das linhas e j o aparecimento das colunas, pede-se:

DISCIPLINAS

ALUNOS ESTATSTICA ANATOMIA

1 5,0 6,0

2 4,0 4,5

3 8,0 7,0

4 6,5 8,5

10.1) Qual o valor de X2,1? 10.2) = =

4

1i

2

1jijX 10.3)

=

2

1jj1X

10.4) =

4

1i1iX 10.5)

=

2

1jj3X 10.6)

=

4

1i2iX 10.7) +

==

2

1jj1

3

1i2i XX

11) Com os dados da tabela de dupla entrada abaixo, onde i representa a ordem de aparecimento das linhas e j o aparecimento das colunas, pede-se:

COLUNAS

LINHAS I II III IV V

1 3 2 5 4 3

2 0 2 3 2 1

3 5 4 3 4 2

11.1) = =

3

1i

5

1jijX 11.2)

= =

3

1i

4

2jijX 11.3)

=

5

3jj2X 11.4)

=

3

1i2iX

5


11.5) =

3

2i

25iX 11.6)

=

3

2jj3X 11.7) +

==

2

1jj3

3

2i3i XX 11.8)

==

+2

2ii4

3

1i

23i X X

PRTICA 2 - APRESENTAO TABULAR E GRFICA DE DADOS

1) De um povoamento, temos a seguinte amostra relativa a dimetros a altura do peito de rvores:

5 8 2 3 6 1 3 5 2 5 2 7

7 2 10 8 10 3 4 4 8 7 5 4

Pede-se:

1.1) O rol de valores. 1.2) A amplitude total.

1.3) O nmero de classes. 1.4) O intervalo de classe.

1.5) A tabela de distribuio de frequncia. 1.6) O histograma.

1.7) O polgono das frequncias simples.

2) Na tabela de frequncias simples os pesos em gramas de 100 ovos de galinhas da raa Leghorn, para os quais pede-se:

Xi fi46 5

48 5

50 15

52 50

54 13

56 6

58 6

2.1) O intervalo de classe.

2.2) O limite inferior da 1 classe.

2.3) O nmero de classes existente na tabela.

2.4) O valor de N a ser usado na determinao nmero de classes.

2.5) A amplitude total de variao das classes da tabela.

2.6) A percentagem de ovos com peso inferior a 49 gramas.

2.7) O nmero de ovos com peso inferior a 53 gramas.

2.8) A percentagem de ovos com peso igual ou superior a 51 gramas.

2.9) O histograma representativo da distribuio.

6

PEREIRA & BARBOSA

3) A estatura dos empregados da firma X na tabela abaixo, com os pontos mdios e as frequncias acumuladas "abaixo de".

Xi fac "ab. de"

176 5

178 12

180 20

182 24

184 25

3.1) Quantos empregados tm estatura de 175 - 181 cm?

3.2) Qual o percentual de empregados que medem abaixo de 183 cm?

3.3) Qual classe pertence o dcimo primeiro empregado?

3.4) Quais so os limites da classe de maior frequncia?

3.5) Qual o nmero de empregados da empresa?

4) O grfico abaixo representa a ogiva decrescente de Galton. Organize uma tabela com as classes e as frequncias absolutas:

2523

20

10

300

369

121518212427

0 2 4 6 8 10Classes

"ac. de"

5) De um experimento com tomate Santa Cruz, retirou-se uma amostra de 30 frutos, cujos pesos esto dispostos abaixo, para os quais se pede construir um diagrama de ramos e folhas e uma tabela de distribuio de frequncias em classes.

20 28 33 37 40 42 27 31 36 39 42 43 32 36 43

26 30 35 39 41 43 25 28 34 37 41 42 39 42 28

7


6) Calcular o ponto mdio e as frequncias relativas (decimal e percentual) e acumuladas (absoluta e percentual) de uma amostra de 30 indivduos de acordo com a idade. Construir as ogivas de Galton crescente e decrescente e um grfico de setores das frequncias relativas percentuais.

frequncias: Relativas Acumuladas

Classes fi Xi Decimal %"abaixo de" "acima de"

Absoluta % Absoluta %

21 23 5

23 25 9

25 27 8

27 29 8

7) Obtendo-se o ndice de soro-proteo (ISP) contra febre aftosa, em bovinos da raa Nelore, construir o histograma e o polgono das frequncias absolutas.

ISP fi

0,5 1,0 7

1,0 1,5 10

1,5 2,0 19

2,0 2,5 18

2,5 3,0 13

3,0 3,5 9

8) Verificando-se as vendas de mercadoria da Empresa X, obter o polgono de frequncia simples e os grficos de frequncias acumuladas "abaixo de" e "acima de".

CLASSES fi

0 5 10

5 10 15

10 15 21

15 20 12

20 25 3

9) Com os dados relativos ao nmero de bipsias renais provenientes do Hospital das Clnicas em relao a outros hospitais de um Estado, no perodo de 1998 a 2003, construir um grfico de colunas e um de barras.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Hospital das Clnicas 190 216 245 247 218 369

Outros hospitais 93 82 101 124 108 122

8

PEREIRA & BARBOSA

10) Com os dados relativos ao nmero de casos registrados de intoxicao e envenenamento humanos por sexo, Brasil, 1999-2003, construir grficos de setores para cada sexo.

Sexo Causa Medicamentos Animais peonhentosProdutos qumicos

Pesticidas domsticos Plantas

Intoxicaes alimentares

Masculino 12783 24628 19254 7816 2147 1302

Feminino 18246 14053 10849 7951 2045 1321

11) Com os dados abaixo relativo ao nmero de tratores agrcolas adquiridos com e sem financiamento em certo Estado, durante o perodo de 1998 a 2003, construir grficos de pontos e de linha.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Com financiamento 240 263 238 267 312 324

Sem financiamento 57 72 67 82 95 98

12) A fim de monitorar o comportamento da velocidade de veculos que passam em uma determinada rodovia, cujo limite de velocidade de 60 km/h, foram anotadas as velocidades e a quantidade de veculos no quilmetro 30, por um dia. Com os resultados a seguir, construir um diagrama de disperso de pontos.

Km/h 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

N de veculos 14 12 11 20 35 27 20 14 9 3

13) Na tabela abaixo, tem-se o nmero de bolsas de pesquisa para alunos de Faculdades de Cincias Biomdicas, em cinco Estados, nos anos de 2002 e 2003. Faa um grfico de colunas considerando-se os dois anos em separado.

ANO

ESTADO 2001 2002

SP 50 60

RJ 60 77

PR 38 49

MG 35 46

PE 29 34

PRTICA 3 - MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

1) Sabendo-se que para representar uma populao, nem sempre possvel referir-nos a todos os elementos, por isso, precisamos procurar alguns valores que possam represent-la. De que maneira voc faria isto?

2) Calcule as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica das alturas dos picos da cordilheira que borda a costa ocidental das Amricas constantes da tabela a seguir:

9


PICOS ALTURAS

MONTE SANTO ELIAS NO ALASKA 5000 m

MONTE WHITNEY NA CALIFRNIA 4000 m

ORIZABA NO MXICO 5000 m

ILIMANI NA BOLVIA 6000 m

ACONCAGUA NA ARGENTINA 7000 m

3) Calcule a mdia para os itens abaixo (considere dados populacionais)

3.1) X1 = 2 X2 = 3 X3 = 4 3.2) X1 = 0 X2 = 6 X3 = -3 X4 = 2

3.3) X1 = 1 X2 = 3 X3 = 5 3.4) X1 = 10 X2 = 12 X3 = 13 X4 = 12

f1 = 2 f2 = 5 f3 = 2 f1 = 5 f2 = 3 f3 = 2 f4 = 6

4) Determine a moda para os seguintes dados e classifique a distribuio segundo a mesma:

4.1) X1 = 2 X2 = 3 X3 = 4 X4 = 5

4.2) X1 = 2 X2 = 3 X3 = 4 X4 = 4 X5 = 4 X6 = 5 X7 = 5

4.3) X1 = 2 X2 = 3 X3 = 4 X4 = 5 X5 = 5 X6 = 5 X7 = 6 X8 = 7 X9 = 8 X10 =8 X11= 8

5) A tabela seguinte mostra os salrios de oito empregados horistas de uma companhia metalrgica de porte mdio. Calcule:

R$ 153,00 R$ 170,00 R$ 136,00 R$ 102,00

R$ 153,00 R$ 510,00 R$ 68,00 R$ 153,00

5.1) Salrio-hora modal;

5.2) Salrio-hora mediano;

5.3) Salrio-hora mdio.

6) A mdia dos valores de uma srie estatstica 30. Qual o valor da nova mdia se, a cada valor da srie:

6.1) Somarmos 3;

6.2) Subtrairmos 5;

6.3) Multiplicarmos por 2;

6.4) Dividirmos por 3;

6.5) Somarmos 4 e dividirmos por 2.

7) Prove numericamente que:

7.1) A soma dos desvios dos valores em relao a sua mdia nula.

7.2) Somando-se ou subtraindo-se de cada valor de uma srie, uma constante, a mdia ficara somada ou subtrada pela constante.

10

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7.3) Multiplicando ou dividindo-se os valores de uma srie por uma constante, a mdia ficara multiplicada ou dividida pela constante.

8) Determine a mdia, a mediana e a moda dos valores abaixo:

8.1) Xi fi 8.2) Xi fi 8.3) Xi 8.4) Xi

2 1 15 5 1080 2010

5 4 25 10 3043 3102

6 3 30 15 6701 4010

8 2 35 8 4440

4590

5610

9) Os valores encontrados na tabela seguinte referem-se s concentraes da enzima transaminase de alanina de indivduos normais. Calcule a mdia aritmtica, a moda e a mediana das concentraes desta enzima.

6 10 11 11 11 12 12 12 13 14

15 15 16 16 17 17 18 18 19 36

10) Os dados a seguir referem-se aos teores de albumina (em g/100ml de sangue) de pessoas com hepatite. Com os mesmos construir uma tabela de distribuio de frequncias em classes e em seguida calcular a mdia aritmtica.

3,04 3,04 3,36 3,45 3,58 3,80 3,86 3,86 3,95 3,95

4,05 4,05 4,13 4,16 4,16 4,24 4,78 4,78 5,20 5,74

11) Calcule a estimativa do peso mdio ao abate, de sunos, onde se obteve numa amostra de 9 animais os seguintes pesos (em kg/animal):

90,5 88,3 98,7 87,1 86,2 93,7 93,3 92,4 85,9

12) Determine a mediana dos dados a seguir:

12.1) 7 10 8 12 9 11

12.2) 10 8 9 12 9 11 7

12.3) 7 8 9 9 10 11 7

12.4) 15 20 21 17 23 29 37 35 48 44

12.5) 3,5 4,0 4,0 4,0 4,5 4,5 4,5 4,5 5,0 5,5

12.6 0,2 0,4 0,5 0,5 0,5 0,6 0,7 0,7 0,8 0,9

13) A listagem seguinte refere-se aos pontos obtidos pelos candidatos a um cargo em certa universidade. Construir uma tabela de distribuio de frequncias em classes e calcular as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica, assim como a mediana e a moda com os dados tabulados.

11


1 3 4 5 6 7 8 9

2 3 5 6 6 7 8 9

2 3 5 6 7 7 8 9

2 3 5 6 7 8 9 9

3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10

14) Calcule a mdia, a mediana e a moda com os dados abaixo:

14.1) CLASSES fi Xi 14.2) fi Xi

0 10 1 5 10 10

10 20 3 15 30 50

20 30 6 25 40 100

30 40 2 35 20 150

15) Calcule a moda, segundo Pearson, para os dados abaixo:

AMOSTRAS MEDIANA MDIA

A 152,43 51,71

B 37,50 11,94

C 362 133

PRTICA 4 - MEDIDAS DE DISPERSO

1) Responda:

1.1) "Duas ou mais populaes podem ter o mesmo valor mdio para represent-las e apesar disso serem muito diferentes". Como voc faria ento para represent-las?

1.2) Quais as medidas de disperso que voc conhece?

1.3) Qual a vantagem do desvio padro em relao varincia?

1.4) Qual a vantagem do coeficiente de variao em relao ao desvio padro?

2) Para os valores abaixo que representam uma populao, calcule: amplitude total; desvio mdio absoluto; varincia; desvio padro e coeficiente de variao de Pearson.

X1 = 2 X2 = 4 X1 = 8 X1 = 10

3) Na prova final de Estatstica Bsica, IC 280, os alunos do Curso de Engenharia da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, obtiveram na turma T05 uma mdia de 6,8 e desvio padro de 2,4, enquanto que na

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turma T06 a mdia foi de 7,2 e desvio padro de 3,1. Considerando-se que a turma T05 tenha 50 alunos e a T06 tenha 65 alunos, qual das duas turmas apresentou maior disperso em relao s notas?

4) Na tabela abaixo se encontram os valores de mdias e desvios padres de trs populaes A, B e C. Compare-as por suas medidas e com base no coeficiente de variao determine entre as trs populaes a que apresenta a menor variao?

POPULAES

A 300 30

B 100 10

C 500 50

5) Com os dados abaixo calcule a varincia e o coeficiente de variao de Pearson. Considerando os dados primeiramente como uma populao e depois como uma amostra.

5.1) Xi 5.2) Xi fi 5.3) CLASSES fi 5.4) Xi fi

2 2 5 0 2 10 1,7 2

3 4 7 2,3 12 4 155 6 9 2,8 144 6 20

8 3 3,5 106 8 153,2 68 10 10

4,5 3

6) Uma amostra das produes de lenha de 8 talhes de eucalipto, no espaamento 2 x 2 m, foram as seguintes, aos 8 anos de idade (em m3). Calcular o desvio padro e o coeficiente de variao de Pearson.

240 m3 255 m3 234 m3 197 m3 296 m3 196 m3 244 m3 242 m3

7) Um experimento foi montado a fim de verificar-se o ganho de peso de frangos de corte. Cada tipo de rao foi fornecida a 4 grupos, cada qual com 6 aves, por 76 dias, aps o que foram pesados. As somas dos ganhos de pesos das aves constam da tabela abaixo. Verifique qual das raes conduziu a um resultado com menor variao.

Lotes Rao A Rao B Rao C Rao D

1 17,20 17,00 16,30 15,00

2 18,00 16,90 18,50 16,00

3 18,30 15,80 17,00 15,00

4 16,40 15,50 19,00 17,00

8) Numa empresa, o salrio mdio dos homens de R$ 4000,00 e desvio padro de R$ 1500,00, e o salrio das mulheres em mdia R$ 3000,00 e desvio padro de R$ 1200,00. Calcule o coeficiente de variao de Pearson, para os salrios e compare os resultados.

13


9) Na tabela abaixo esto listados os valores de pesos, em kg, de 12 bezerros recm-nascidos, todos do sexo masculino, da raa Canchin para os quais se pede calcular o desvio padro e o coeficiente de variao de Pearson.

47 34 47 40 41 45

45 25 37 40 46 48

10) Um fabricante de caixas de papelo fabrica trs tipos diferentes de caixas. O controle de qualidade, quanto ruptura de caixas realizado atravs de um teste. Tomou uma amostra de 100 caixas para as quais foi determinada a presso necessria para rompimento. Com resultados do teste, decida qual o tipo de caixa apresenta menor variao quanto presso de ruptura?

Tipos de caixa

A B C

Presso mdia de ruptura 150 200 300

Desvio padro das presses 40 50 60

11) Uma loja de produtos manufaturados fez um levantamento da frequncia de pessoas e da quantidade de vendas de seus produtos, segundo o dia da semana, apresentados na tabela abaixo. Qual o valor do coeficiente de variao para o nmero de clientes no perodo? E qual o valor do coeficiente de variao para as vendas no perodo?

Dia da semana Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado

Entradas 12 14 21 18 25 34

Vendas 8 11 16 12 19 28

12) Na turma de IC 123 foi computado o peso dos alunos, segundo o sexo, apresentadas na tabela de distribuio de frequncias seguinte. Calcule o coeficiente de variao dos pesos para ambos os sexos e diga qual dois grupos apresentou menor variao?

PESOS (KG) fi PESOS (KG) fi

30 35 20 30 35 36

36 41 32 36 41 44

42 47 49 42 47 49

48 53 31 48 53 31

54 59 18 54 59 22

60 69 20 60 69 38

13) Calcule o desvio mdio absoluto, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao dos valores abaixo (consider-los como oriundos de uma populao):

13.1) Xi fi 13.2) Xi fi

2 1 15 5

5 4 25 10

6 3 30 15

8 2 35 8

14

PEREIRA & BARBOSA

14) Os dados abaixo referem-se aos pesos ao abate e s espessuras de toucinho, de uma amostra de 9 sunos obtidos aleatoriamente de uma criao. Calcule o coeficiente de variao das duas medidas e conclua qual delas apresentou maior uniformidade.

Animal n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Peso (kg) 90,5 88,3 98,7 87,1 86,2 93,7 93,3 92,4 85,9

Espessura (cm) 2,5 2,4 2,6 2,4 2,3 2,6 2,6 2,6 2,2

15) Os valores encontrados na tabela seguinte referem-se s concentraes da enzima transaminase de alanina de indivduos normais. Calcule a amplitude total de variao, o desvio mdio absoluto, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao das concentraes desta enzima.

12 15 18 12 17 19 16 16 10 11 17 14 15 16 11

16) Os dados abaixo so relativos aos teores de albumina (em g/100ml de sangue) de pessoas com hepatite. Calcular o coeficiente de variao para os teores de albumina.

5,20 3,95 3,45 4,78 4,05 3,04 4,16

5,74 3,80 3,86 4,13 4,24 6,10 3,58

17) Calcule a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao com os dados abaixo (consider-los como oriundos de uma amostra):

17.1) CLASSES fi 17.2) Xi fi

0 10 1 10 10

50 3010 20 3100 4020 30 6

150 2030 40 2

PRTICA 5 PROBABILIDADE

1) Uma experincia aleatria possui o seguinte conjunto de resultados possveis: S = {a1, a2, a3, a4}. Determine P(a1), sabendo-se que P(a2) = 1/3, P(a3) = 1/6 e P(a4) = 1/9.

2) Dado P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(AB) = 1/6, calcular P(AB).

3) Considere o lanamento de um dado no viciado ao ar. Calcular a probabilidade de ocorrer a face n 1 ou 3.

4) Uma bola extrada de uma caixa contendo 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Calcular a probabilidade dos eventos:

4.1) Extrair bola vermelha

15


4.2) Extrair bola branca

4.3) Extrair bola azul

4.4) Extrair bola no vermelha

4.5) Extrair bola vermelha ou branca

5) Trs bolas so extradas sucessivamente da caixa do exerccio anterior. Calcular a probabilidade de que elas sejam extradas na ordem: vermelha, branca e azul, considerado primeiro que o processo seja com reposio e depois sem reposio.

6) Uma mquina fabrica peas que podem apresentar dois tipos de defeito. O defeito do tipo A aparece em 1% das peas, enquanto que o defeito B aparece em 10% das peas. Sabe-se que os defeitos podem aparecer independentemente. Escolhe-se ao acaso, uma pea fabricada pela mquina. Qual a probabilidade que:

6.1) A pea apresente ambos os defeitos?

6.2) A pea seja defeituosa?

7) Em um experimento, semeiam-se 4 blocos de 5 parcelas com algodo. Em cada bloco aparecem as variedades A, B, C, D e E. Em todos os blocos a variedade B foi a mais produtiva. Qual a probabilidade de que isso tenha acontecido por acaso?

8) Sendo p = 1/4 a probabilidade de um certo casal ter um filho de olhos azuis, qual a probabilidade, numa famlia de 5 crianas, pelo menos uma ter olhos azuis?

9) Um rebanho de 100 bovinos est formado por 52 animais da raa Hereford, 27 da raa Angus, 10 da raa Shorthorn e os demais da raa Zebu. Escolhido ao acaso um bovino do rebanho, qual a probabilidade de que seja das raas Hereford ou Angus?

10) Um submarino dispe de trs torpedos quando um navio avistado pelo periscpio. Num primeiro lanamento, dado as condies reinantes, a probabilidade do torpedo atingir o alvo de 0,7; em qualquer lanamento subseqente essa probabilidade estimada em apenas 0,4, tendo em vista possveis manobras evasivas do petroleiro. Qual a probabilidade do submarino conseguir torpedear o navio, sabendo-se que, aps o 10 torpedo, cada disparo s feito se o torpedo anterior no atingir o alvo?

11) Com base nos dados apresentados na tabela abaixo, estime o risco de um nascituro apresentar defeito, dado que a me teve rubola durante a gestao:

Condio

poca Normal Defeituoso Total

At o 3 ms 36 14 50

Aps o 3 ms 51 3 54

Total 87 17 104

12) Com base no exerccio acima, estime o risco de um nascituro apresentar defeito, dado que a me teve rubola durante o primeiro trimestre de gestao.

16

PEREIRA & BARBOSA

13) Utilizando-se uma amostra de 750 crianas, de 7 a 12 anos, do Colgio X, observamos 30% com dentes cariados, 18% com dentes perdidos e 21% com dentes obturados. Num sorteio ao acaso, qual a probabilidade de retirarmos daquela amostra uma criana sem problema dentrio?

14) Um lote formado de 14 artigos bons e 2 defeituosos. Dois artigos so escolhidos ao acaso, sem reposio. Qual a probabilidade de que:

14.1) Nenhum artigo seja defeituoso.

14.2) Ambos sejam defeituosos.

14.3) Somente um defeituoso.

15) Uma fazenda tem um total de 240 eqinos, 1/3 deles so do sexo masculino. Qual a probabilidade de tomarmos ao acaso um animal e esse seja do sexo feminino?

16) Observando uma amostra de 750 crianas, de idade variando entre 7 e 12 anos, da Escola Estadual X, constatou-se que entre elas 30% apresentavam dentes cariados, 18% com perda de dentes, 21% com dentes obturados. Em um sorteio, qual a probabilidade de retirarmos um nome de uma criana da amostra e essa no tenha problema dentrio?

17) Em uma manada de 250 guas PSI, o ndice de fertilidade 60%. Tomando ao acaso um animal desse rebanho, qual a probabilidade de que o animal seja frtil para um cruzamento?

18) Supondo que um casal j teve cinco filhos do sexo masculino, qual a probabilidade de que o prximo filho seja do sexo feminino?

19) Uma turma de alunos do Colgio Y composta de 10 alunas e 40 alunos. Qual a probabilidade de selecionarmos ao acaso um deles e esse seja do sexo feminino?

20) Um lote formado por 14 artigos sem defeito e 2 defeituosos. Selecionando-se dois artigos ao acaso, sem reposio, qual a probabilidade de:

20.1) Nenhum dos dois seja defeituoso?

20.2) Ambos sejam defeituosos?

21) Defina um espao amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatrios:

21.1) Investigam-se famlias com quatro crianas, anotando-se a configurao segundo o sexo.

21.2) De um grupo de cinco pessoas (A, B, C, D e E) sorteiam-se duas, uma aps outra, com reposio.

21.3) Em um fichrio com dez nomes contm trs nomes de mulheres. Seleciona-se ficha aps ficha, at o ltimo nome de mulher ser selecionado, e anota-se o nmero de fichas selecionadas.

22) Extrai-se uma s carta de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de se obter:

22.1) Um valete

22.2) Uma carta vermelha

22.3) Um dez de paus

17


22.4) Uma figura

22.5) Uma carta de ouros

22.6) Um nove vermelho ou um oito preto

23) Dentre seis nmeros positivos e oito negativos, dois nmeros so escolhidos ao acaso (sem reposio) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?

24) Considere o lanamento de dois dados. Considere o evento E1 como a soma dos nmeros das faces obtidas igual a 9, e o evento E2 sendo o nmero da face no primeiro dado igual ou maior que 4. Enumere os elementos de E1 e E2. Obtenha AB e AB.

25) A probabilidade de que A resolva um problema de 2/3 e a probabilidade de que B resolva de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido?

26) As probabilidades de trs motoristas serem capazes de guiar at em casa com segurana, depois de beber, so de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem guiar at em casa, depois de beberem numa festa, qual a probabilidade de todos os trs motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de, ao menos, um dos motoristas guiar at em casa a salvo?

PRTICA 6 - DISTRIBUIO BINOMIAL

1) Suponha que os cachorros-quentes vendidos em uma lanchonete tenham 8% de probabilidade de serem pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorros-quentes, determine a probabilidade de que:

1.1) Todos queiram com mostarda.

1.2) Apenas uma no queira.

2) A probabilidade de um candidato ser aprovado no vestibular de 2/7. Em um grupo de 8 alunos, determinar a probabilidade de 50% de o grupo ser aprovado. E depois a probabilidade de pelo menos um ser aprovado.

3) Um casal tem 4 filhos. Admitindo-se que as probabilidades de sexos sejam idnticas, determinar a probabilidade de:

3.1) Que trs sejam do sexo masculino.

3.2) Que dois sejam do sexo feminino.

3.3) Que pelo menos dois sejam do sexo masculino.

3.4) Que pelo menos um seja do sexo feminino.

4) A probabilidade de natimortos em partos de um rebanho bovino de 10%.

4.1) Qual a probabilidade de ocorrerem, por acaso 3 natimortos em 5 partos?

4.2) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um natimorto?

18

PEREIRA & BARBOSA

5) Calcular a probabilidade de termos entre 3 a 8 peas (inclusive) defeituosas numa amostra de 100 elementos escolhidos ao acaso de uma populao com 5% de peas defeituosas.

6) A probabilidade de sucesso de um quadro de artista de 1/3. Expostos 18 quadros, calcular a probabilidade de:

6.1) 8 terem sucessos.

6.2) Menos do que 3 terem sucessos.

7) Um dado atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o nmero 5 aparea:

7.1) Entre 28 e 32 vezes inclusive.

7.2) Menos de 31 vezes.

7.3) Mais do que 35 vezes.

8) Num conjunto de indivduos, a probabilidade de um apresentar crie dentria de 0,20. Em 5 pessoas escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de 2 pessoas no apresentarem crie dentria?

9) Os animais que se submetem a determinada cirurgia tm probabilidade 0,70 se restabelecem. Qual a probabilidade de em 5 casos:

9.1) Todos os operados se restabelecerem?

9.2) Trs se restabelecerem?

10) Uma firma exploradora de petrleo acha que 5% dos poos perfurados acusam depsito de gs natural. Se ela perfurar 6 poos, determinar a probabilidade de, ao menos um, dar resultado positivo.

11) Um teste de mltipla escolha apresenta 4 opes por questo e 5 questes. Se a aprovao depende de 3 ou mais respostas corretas, qual a probabilidade de um estudante que responde "por chute" ser aprovado?

12) Uma pesquisa recente indica que apenas quinze entre cem mdicos de determinada localidade so fumantes. Escolhidos dois mdicos de um grupo de oito constantes de uma relao fornecida pelo Conselho de Medicina, constatou-se serem fumantes. Admitindo-se correta a pesquisa, qual a probabilidade de chegar ao resultado acima?

13) Num rebanho de gado bovino estimamos brucelose atravs de uma amostra de 200 cabeas, observando-se 30 animais doentes. Numa amostra, ao acaso, de 5 animais, qual a probabilidade de 4 animais apresentarem-se sadios?

14) Um jogo de dados possibilita a aposta em uma certa face. Apostando na face 3 e considerando 150 repeties, qual a probabilidade de acertos:



14.3) Mais do que 22 vezes.

19


15) Uma distribuio binomial tem = 18 e 2 = 9. Qual o valor de n?

16) A probabilidade de que um comprador de um certo supermercado seja sorteado em uma oferta de 0,30. Determine as probabilidades de que entre as 6 pessoas que estejam neste momento fazendo compras que 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sejam sorteados. Trace um grfico de colunas para representar a distribuio.

17) Um levantamento foi feito a fim de verificar entre os compradores de novos computadores quantos se interessavam por uma configurao que inclusse modem. O resultado foi que 70% dos compradores queriam com modem. Verifique a probabilidade de que, entre 10 compradores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou 10 queiram modem. Trace um grfico de colunas para representar a distribuio.

18) Um levantamento em um condomnio foi verificado que metade dos residentes possuam carro. Entre 8 moradores selecionados ao acaso, qual a probabilidade de:

18.1) Que 3 tenham carro;

18.2) Pelo menos 6 tenham carro;

18.3) Ao menos 2 tenham carro.

19) O Frum da cidade de Mar encontrou uma probabilidade igual a 0,55 para incompatibilidade de gnios ser o motivo de divrcios. Determine a probabilidade de que esse seja o motivo de quatro entre seis casos de divrcios naquela cidade.

20) Em Tquio, no Japo, a probabilidade de um engenheiro conseguir morar perto do trabalho de 0,6. Considerando-se 6 engenheiros de uma empresa desta cidade, calcular a probabilidade de residirem prximo ao trabalho:

20.1) Entre 3 e 5 engenheiros inclusive;

20.2) Mais que 3 engenheiros;

20.3) Menos que 2 engenheiros;

20.4) Ao menos 1 engenheiro.

PRTICA 7 DISTRIBUIO NORMAL

1) Considere Z uma varivel com distribuio normal padronizada e encontre:

1.1) P(0 Z 1,44) 1.2) P(-0,8 Z 0) 1.3) P(-0,40 Z 2,05)

1.4) P(0,72 Z 1,89) 1.5) P(Z 1,08) 1.6) P(Z 0)

1.7) P(Z 0) 1.8) P(Z 0,5) 1.9) P(Z 0,5)

2) Determine os valores de Z que correspondem s seguintes reas:

2.1) rea esquerda de Z seja igual a 0,0505 2.2) rea esquerda de Z seja igual a 0,0228

2.3) rea direita de Z seja igual a 0,0228 2.4) rea esquerda de Z seja igual a 0,1788

2.5) rea entre 0 e Z seja igual a 0,4772 2.6) rea entre Z e -Z seja igual a 0,0240

20

PEREIRA & BARBOSA

3) Dado que uma populao com mdia 25 e desvio padro 2 tem distribuio normal, determinar os valores de Z para os seguintes valores da populao:

3.1) Xi = 23,0 3.2) Xi = 23,5 3.3) Xi = 24,0 3.4) Xi = 25,2 3.5) Xi = 25,5

4) Uma distribuio normal tem mdia 50 e desvio padro 5. Que percentual da populao est em cada um dos seguintes intervalos?

4.1) 40 a 50 4.2) 49 a 50 4.3) 40 a 65 4.4) 56 a 60 4.5) 40 a 68 4.6) 45 a 55

5) Xi uma varivel aleatria contnua, tal que X i~N(12; 25), ou seja, X tem distribuio aproximadamente normal com mdia 12 e varincia 25. Qual a probabilidade de uma observao, ao acaso:

5.1) Ser menor que 3;

5.2) Estar entre -1 e 15.

6) A durao de certo componente eletrnico tem mdia de 850 dias e desvio padro de 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:

6.1) Entre 700 e 1000 dias 6.2) Mais que 800 dias 6.3) Menos que 750 dias

7) Os pesos de 600 estudantes so normalmente distribudos com mdia 65,3kg e desvio padro 5,5kg. Encontre o nmero de alunos que pesam:

7.1) Entre 60 e 70kg;

7.2) Mais que 62,2kg.

8) As alturas dos 3500 alunos de uma universidade tm distribuio normal com funo de densidade: ( )

32165 -

e 32

12

ix

=f(x)

. Calcule:

8.1) A mdia, a varincia e o desvio padro da populao;

8.2) A porcentagem de alunos com alturas superiores 170 cm;

8.3) O nmero de alunos com alturas inferiores 160 cm.

9) As notas de um teste apresentaram a seguinte funo de densidade: ( )

162

272 - ix- e

1621 )x(f

pi=

. Se 10% das

notas mais altas possibilitam um conceito A, qual a nota mnima que um aluno dever obter para receber tal conceito?

10) Na Granja So Luiz (RJ), 500 aves poedeiras apresentam quanto ao peso mdio do ovo, dados em distribuio normal. O peso mdio do ovo corresponde a 62g e o CV = 10%. Quantas aves produzem ovos com peso acima de 70g?

11) Uma amostra de 600 carneiros da raa "Corriedale" apresentou uma mdia de produo de l igual a 60kg com desvio padro igual a 8kg. Quantos animais produzem acima de 70kg?

21


12) Sabe-se que numa determinada regio do Estado de So Paulo, a mdia de produo de milho de 2100 kg/ha e que o desvio padro de 120 kg/ha. Qual a probabilidade de um agricultor dessa regio, colher entre 1800 a 2000 kg/ha?

13) Em um cassino um jogo de dados possibilita a aposta em uma certa face. Apostando na face 3 e considerando mdia igual 50 e varincia 41,67, qual a probabilidade de um certo jogado acertar:



14) Considerando que em determinada propriedade o peso mdio do rebanho de = 230 Kg e o desvio padro = 11 Kg. Qual a probabilidade de:

14.1) A ocorrncia de animais com peso menor que 200 Kg;

14.2) A ocorrncia de animais com peso maior que 240 Kg.

15) Um conjunto de notas de 1000 alunos apresentou mdia igual a 6,0 e desvio padro igual a 0,8. Quantos alunos obtiveram:

15.1) Notas acima de 8,0?

15.2) Notas abaixo de 5,0?

PRTICA 8 - DISTRIBUIES AMOSTRAIS

1) Avalie a distribuio amostral de mdias com n = 2 de uma populao de 6 dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, e 5. Suponha que a amostragem seja feita com reposio.

2) Supondo que a mdia de uma populao muito grande seja = 50 e = 12. Determinada a distribuio amostral das mdias de amostras com n = 36. Quais os valores esperados para a mdia e o erro padro da distribuio?

3) "Se o desvio padro da populao for desconhecido, o erro padro da mdia pode ser estimado por meio do

desvio padro amostral que um estimador do desvio padro populacional". Por analogia na frmula de x , como voc usaria xs ?

4) Na prtica, a distribuio de amostragem da mdia pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que o tamanho da amostra for n .... .

5) Um auditor toma uma amostra de n = 36 de uma populao de 1000 contas a receber. O desconhecido, mas s = R$ 43,00. Se o verdadeiro valor de de contas a receber R$ 260,00, qual a probabilidade de que a mdia da amostra seja R$ 250,00?

6) Sendo xi~N(20; 16), calcular a probabilidade de que a mdia amostral x , baseada numa amostra de tamanho n = 64.

22

PEREIRA & BARBOSA

6.1) Exceda 21 6.2) Exceda 19,5 6.3) Entre 19 e 21

7) Sendo xi~N(25; 64), calcular a probabilidade de que a mdia amostral x , baseada numa amostra de tamanho n = 16.

7.1) Seja menor que 26

7.2) Exceda 31 7.3) Exceda 24 7.4) Seja menor que 21

7.5) Esteja entre 28 e 29

8) Dois tipos diferentes de tubos de televiso A e B possuem os seguintes parmetros, 22

AA h 40000 com ,h 1400 == e 22BB h 10000 com ,h 1200 == . Uma amostra aleatria de 125 tubos retirada de cada marca. Determinar a probabilidade de que:

8.1) A marca A tenha uma vida mdia ao menos 160h maior do que de B;

8.2) A marca A tenha uma vida mdia ao menos 250h maior de que de B.

9) Os pesos de 1500 rolamentos de esferas so normalmente distribudos, com = 22,40 onas e = 0,48 onas. Extradas dessa populao 300 amostras aleatrias com n = 36 elementos, determinar a mdia e o desvio padro esperados da distribuio amostral de mdias, quando a amostragem for feita com reposio.

10) A e B fabricam dois tipos de cabos que tm tenses mdias de ruptura de 2000 e 2250 kg e desvios padres de 150 e 100kg, respectivamente. Se 100 cabos da marca A e 50 da marca B foram ensaiados, qual a probabilidade da tenso mdia de ruptura de B ser:

10.1) Pelo menos 300 kg maior do que a de A;

10.2) Pelo menos 225 kg maior do que a de A.

11) As alturas de 5000 estudantes so normalmente distribudas com = 172 cm e = 7,5 cm. Obtidas 100 amostras de 36 estudantes cada uma, admitindo-se que o processo seja com reposio, em quantas amostras pode-se esperar que a mdia se encontre:

11.1) Entre 169 e 174 cm;

11.2) Acima de 170 cm.

12) Sabe-se que as alturas dos ps de milho encontrados em uma lavoura apresentam distribuio normal com = 2,2 m e = 0,72 m. Extraindo-se uma amostra de tamanho 64, determinar a probabilidade de que a mdia da amostra:

12.1) Seja inferior a 2,02 m;

12.2) Seja superior a 2,03 m;

12.3) Esteja compreendida entre 1,95 m a 2,35 m.

13) Uma amostra aleatria de tamanho 25 retirada de uma populao N~(80; 25). Uma segunda amostra aleatria de tamanho 36 retirada de outra populao N~(75; 9). Achar a probabilidade de que a mdia amostral calculada a partir das 25 medidas exceda aquela calculada das 36 medidas por um valor 3,4.

14) Com base no teorema de limite central, qual a probabilidade de o erro ser inferior a 5 quando usamos a mdia de uma amostra aleatria de tamanho n = 64 para estimar a mdia de uma populao finita com = 20?

23


15) Uma populao muito grande apresenta distribuio normal com = 50 e 2 = 16, qual o valor esperado para a mdia e desvio padro da distribuio de mdias amostrais, considerando que sejam tomadas amostras com tamanho n = 25?

PRTICA 9 - INTERVALO DE CONFIANA

1) Suponha-se que o desvio padro da vida til de uma determinada marca de tubo de imagem de TV conhecida e igual a = 500 h, mas que a mdia da vida til desconhecida. Supe-se que a vida til dos tubos de imagem tenha uma distribuio aproximadamente normal. Para uma amostra de n = 12, a mdia da vida til x = 8.900 horas de operao. Construir:1.1) Um intervalo de confiana a 95%.

1.2) Um intervalo de confiana a 99%.

2) Com respeito probabilidade acima, suponha que a populao da vida til dos tubos no possa ser considerada como normalmente distribuda. Contudo a mdia da amostra 8.900 horas est baseada numa amostra de n = 35. Construir um intervalo com nvel de confiana de 95% para estimar a mdia da populao.

3) Sabemos que a formula para determinar o intervalo de confiana para a mdia nsZx . Mediante uma

situao em que no temos o valor de , mas que se refira a uma distribuio normal, como seria a formula para calcular o intervalo de confiana da mdia?

4) Com a frmula adaptada, calcular o intervalo de confiana de 95% de probabilidade da idade mdia de 20.000 estudantes, onde foi estudada uma amostra de 400 alunos, cuja mdia foi 23 anos e desvio padro 2 anos.

5) Um comprador deseja estimar o valor mdio das compras por cliente em uma loja de brinquedos em um aeroporto. Com base em dados de outros aeroportos similares, o desvio padro de tais valores de venda estimado em cerca de s = R$ 0,80. Qual o tamanho mnimo que deveria ter uma amostra aleatria, se ele deseja estimar a mdia das vendas admitindo-se um erro de R$ 0,25 e com um nvel de confiana de 99%,

utilizando ( )2

2.EsZn = ?

6) Procedendo a uma pesquisa para determinar a taxa mdia do teor de hemoglobina de uma tribo de ndios Navajo, estamos diante do problema de definir o amanho da amostra. Sabemos que a populao desta tribo contm aproximadamente 18.000 indivduos, o que torna impraticvel utilizar todos os elementos. Em face disto resolvemos determinar o nmero de elementos que comporo a amostra. Selecionamos ao acaso 30 elementos e determinamos o valor do teor de hemoglobina de cada um e calculamos s2 = 9 g/dl2. Utilizando-se

Z = 1,96 e erro E = 0,5 g/dl, qual ser o tamanho ideal da amostra, utilizando ( )2

2.EsZn = ?

24

PEREIRA & BARBOSA

7) Quando os valores de so conhecidos o erro padro da diferena entre as mdias 22

2121 xxxx +=

, quando os desvios padres da populao no so conhecidos, o erro padro da

diferena entre as mdias ser?

8) Uma amostra de 150 lmpadas eltricas, da marca A, apresentou a vida mdia de 1400 horas e o desvio padro de 120 horas. Uma amostra de 200 lmpadas eltricas, da marca B, apresentou a vida mdia de 1200 horas e o desvio padro de 80 horas. Determinar o limite de confiana a 95% para a diferena entre as vidas mdias das populaes das marcas A e B.

9) A mdia de salrios semanais para uma amostra de n = 30 empregados em uma grande firma R$ 180,00 com desvio padro amostral de R$ 14,00. Em outra grande empresa, uma amostra aleatria de n = 40 empregados apresentou um salrio mdio semanal de R$ 170,00, e desvio padro de s = R$ 10,00. Construa o intervalo de confiana de 99% para estimar a diferena entre os salrios mdios semanais das duas firmas.

10) Suponhamos que a taxa de glicose no sangue humano uma varivel aleatria com distribuio aproximadamente normal de desvio padro = 6 mg/100 ml de sangue. Em 36 indivduos, verificamos mdia de 102,0mg/100ml. Obtenha um intervalo de confiana ao nvel de 90% de confiana para o parmetro que representa a taxa mdia de glicose no sangue humano.

11) A dois grupos semelhantes de pacientes, A e B, constantes de 50 e 100 indivduos, respectivamente, foram dados: ao primeiro, um novo tipo de soporfero e ao segundo, um tipo usual. Para os pacientes do grupo A, o tempo mdio de horas de sono foi de 7,82h, com desvio padro de 0,24h. Para os pacientes do grupo B, o tempo mdio de horas de sono foi de 6,75h, com desvio padro de 0,30h. Determinar os limites de confiana para a diferena do tempo mdio de horas de sono produzido pelos dois tipos de soporferos.

11.1) 1- = 95%;

11.2) 1- = 99%.

12) Da populao A foi extrada uma amostra de 30 elementos obtendo-se mdia = 42 e da populao B foi extrada uma amostra de 40 elementos obtendo-se mdia = 35. Construir o intervalo de confiana ao nvel de confiana de 90% para a diferena de mdias, dado que A = 15 e B = 10.

13) Suponha que as alturas dos alunos de nossa universidade tenham distribuio normal com = 15 cm. Retirada uma amostra aleatria de 100 alunos obteve-se x = 175 cm. Construir ao nvel de confiana de 95%, o intervalo para a verdadeira altura mdia dos alunos.

14) Foram retiradas 25 peas da produo diria de uma mquina, encontrando-se para uma certa medida uma mdia de 5,2mm. Sabendo-se que as medidas tm distribuio normal com desvio padro de 1,2mm, construir intervalos de confiana para a mdia aos nveis de 90%, 95% e 99%.

15) Trinta lotes de terra so tratados com o fertilizante "A" e trinta com o fertilizante "B". O rendimento mdios dos primeiros lotes foi 8 com desvio padro 0,4. O rendimento dos segundos lotes foi de 6 com desvio padro 0,2. Construir o intervalo de confiana para a diferena das mdias, sendo 1 = 95%.

25


RESPOSTAS DA PRTICA 1 CONCEITOS BSICOS EM ESTATSTICA E NOTAO DE SOMATRIO

2.1) 25 2.2) 243,0 2.3) 3,43 2.4) 3,4 2.5) 1,048

2.6) 2,58 2.7) 1,3 2.8) 15,974 (regra do par ou mpar)2.9) 0,146 (regra do par

ou mpar) 2.10) 6,7

4.1) =

3

1iiX 4.2)

=

n

iiY

1 4.3)

=

10

1.i

iXK 4.4) =

4

1.

iii YX 4.5) j

ji

iYX

==

3

1

2

1. ou

==

3

1

2

1.i

ii

i YX

4.6) ( )=

+5

1iii YX 4.7)

==

4

1,

2

1 jji

iX 4.8)

=

4

1iX ou X4 4.9)

=

n

iiX

1

2 4.10) 23

1.

=iii YX

4.11) ( )=

+n

iiX

1

23 4.12) =

8

1.

iii fX 4.13) ii

X3

1= 4.14) ( )iii YX +=

4

1 4.15) i

n

iY

1=

4.16) ( )21

3+=

i

n

iX

5.1) X1 + X2 + ... + Xn 5.2) (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + (X3 + Y3) 5.3) X33f3 + X43f4 + ... + X103f10

5.4) X1Y3 + X1Y4 + X2Y3 + X2Y4 5.5) X12 + X13 + X14 + X22 + X23 + X24 5.6) 232

22

1 XYY ++

5.7) a1b1 + a2b2 + ... + anbn 5.8) (X1Y1 + X2Y2 + X3Y3 + X4Y4)2

5.9) (X2 - 5) + (X3 - 5) + (X4 - 5) + (X5 - 5) 5.10) 4321 31

31

31

31

+++

5.11) (X1 - a)2 + (X2 - a)2 + (X3 - a)2 5.12) X12f1 + X22f2 + ... + Xn2fn

5.13) X1 + X2 + ... + Xn 5.14) X1 + X3 + X4 + Y5 5.15) X1f1 + X2f2 + X4f4 + X5f5 + X6f6 + X7f7

6.1) 2 + 3 + 1 = 6 6.2) (2 + 3 + 1)/3 = 2 6.3) 62 = 36 6.4) 22 + 32 + 12 = 14

6.5) 62/3 = 12 6.6) (2-2)2+(3-2)2+(1-2)2 = 2 6.7) 14-36/3 = 2 6.8) 23 + 33 + 13 = 36

6.9) (2-2) + (3-2) + (1-2) = 0 6.10) (14-6)/3 = 2,67 6.11) (14-62)/3 = 7,33 6.12) 14-6 = 8

7.1) 2 x 1 + 3 x 2 + 2 x 1 = 10 7.2) 2 + 3 + 2 = 7 7.3) 1 + 2 + 1 = 4 7.4) 10 - 7 x 4 = -18

7.5) (2-7/3).(1-4/3) + (3-7/3).(2-4/3) + (2-7/3).(1-4/3) = 2/3 7.6) 102 = 100

8.1) 2 x 3 + 3 x 2 + 1 x 5 = 17 8.2) 22 x 3 + 32 x 2 + 12 x 5 = 35 8.3) 3 + 2 + 5 = 10

8.4) 172/10 = 28,9 8.5) (2 - 1,7)2. 3 + (3 - 1,7)2. 2 + (1 - 1,7)2. 5 = 6,1

8.6) (2 x 3)2 + (3 x 2)2 + (1 x 5)2 = 97

9.1) (3XiYi + 4Xi - 15Yi - 20) 3XiYi + 4Xi - 15Yi - 20 3 x 10 + 4 x 4 - 15 x 8 - 3 x 20 = -134

9.2) (3XiYi - 2Xi - 9Yi + 6) 3XiYi - 2Xi - 9Yi + 6 3 x 10 - 2 x 4 - 9 x 8 + 3 x 6 = -32

9.3) (2XiYi + 2Xi + 8Yi + 8) 2XiYi + 2Xi + 8Yi + 8 2 x 10 + 2 x 4 + 8 x 8 + 3 x 8 = 116

9.4) (2XiYi - 3Xi + 4Yi - 6) 2XiYi - 3Xi + 4Yi - 6 2 x 10 - 3 x 4 + 4 x 8 - 3 x 6 = 22

10.1) 4,0 10.2) 5,0 + 4,0 + 8,0 + 6,5 + 6,0 + 4,5 + 7,0 + 8,5 = 49,5

10.3) 5,0 + 6,0 = 11,0 10.4) 5,0 + 4,0 + 8,0 + 6,5 = 23,5 10.5) 8,0 + 7,0 = 15,0

10.6) 6,0 + 4,5 + 7,0 + 8,5 = 26,0 10.7) (6,0 + 4,5 + 7,0) + (5,0 + 6,0) = 28,5

11.1) 3 + 0 + 5 + 2 + 2 + 4 + 5 + 3 +3 + 4 +2 + 4 + 3 + 1 + 2 = 43

11.2) 2 + 2 + 4 + 5 + 3 + 3 + 4 + 2 + 4 = 29 11.3) 3 + 2 + 1 = 6 11.4) 2 + 2 + 4 = 8

11.5) 12 + 22 = 5 11.6) 5 + 4 = 9 11.7) (3 + 3) + (5 + 4) = 15 11.8) (52 + 32 + 32) + 2 = 45

26

PEREIRA & BARBOSA

RESPOSTAS DA PRTICA 2 - APRESENTAO TABULAR E GRFICA DE DADOS

1.1) 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5

5 5 5 6 7 7 7 8 8 8 10 10

1.2) A. T. = 10 1 = 9 1.3) N = 56,4242,5x4 = , ou seja, 5 ou 4 classes 1.4) I. C. = 10/5 = 2

1.5) ClassesFreqn

-ciaAbaixo de 2 inclusive 0 2 5

de 2 exclusive a 4 inclusive 2 4 6



acima de 8 8 10 2Total 24

2 questo

Classes frequncia 2.1) I.C. = 2 g

45 47 5 2.2) 45 g47 49 5 2.3) 7 classes49 51 15 2.4) N = 100

51 53 50 2.5) A. T. = 59 45 = 14 g53 55 13 2.6) 10%55 57 6 2.7) 75 ovos57 59 6 2.8) 75%

Total => 100

27


3 questo 4 questo

Classes frequncia 3.1) 203.2) 96%3.3) 2 classe3.4) 179 e 181 cm3.5) 25

Classes frequncia175 177 5 0 2 2177 179 7 2 4 3179 181 8 4 6 10181 183 4 6 8 7183 185 1 8 10 3

Total => 25 Total => 25

5 questoDiagrama de ramos e folhas Classes frequncia

20 25 22 0 25 30 62 567888 30 35 53 01234 35 40 83 56677999 40 45 94 0112222333 Total => 30

6 questo: FREQUNCIAS: RELATIVAS ACUMULADAS

CLASSES fi Xi Decimal %"abaixo de" "acima de"

Absoluta % Absoluta %21 23 5 22 0,733 73,3% 5 16,7% 30 100,0%23 25 9 24 0,800 80,0% 14 46,7% 25 83,3%25 27 8 26 0,867 86,7% 22 73,3% 16 53,3%27 29 8 28 0,933 93,3% 30 100,0% 8 26,7%

28

PEREIRA & BARBOSA

7 questo:

8 questo:

CLASSES fi Xifrequncia acumulada

"abaixo de"frequncia acumulada

"acima de"

Absoluta % Absoluta %0 5 10 2,5 10 16,4% 61 100,0%5 10 15 7,5 25 41,0% 51 83,6%10 15 21 12,5 46 75,4% 36 59,0%15 20 12 17,5 58 95,1% 15 24,6%20 25 3 22,5 61 100,0% 3 4,9%

29


9 questo:

10 questo:

Masculino Feminino

11 Questo:

30

PEREIRA & BARBOSA

12 questo 13 questo

RESPOSTAS DA PRTICA 3 - MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

1) Utilizando-se as medidas de posio central (p. ex. mdia, mediana e moda).

2) 5.400mx1000527

nX

x i === ( ) 5.305mx10005x4x5x6x7...X.XXx 5n n21g ===

5.211mx10001/71/61/51/41/5

51/Xnx

ih =

++++==

3.1) = 3 3.2) = 1,25 3.3) = 3 3.4) = 11,54.1) Moda = (amodal) 4.2) Moda = 4 (unimodal) 4.3) Modas = 5 e 8 (bimodal)

5.1) R$ 153,00 5.2) R$ 153,00 5.3) R$ 180,63

6.1) 33 6.2) 25 6.3) 60 6.4) 10 6.5) 17

Exemplo:

X1 = 31 34 26 62 10,33 17,5

X2 = 28 31 23 56 9,33 16,0

X3 = 32 35 27 64 10,67 18,0

X4 = 29 32 24 58 9,67 16,5Mdia => 30 33 25 60 10 17

item 6.1) item 6.2) item 6.3) item 6.4) item 6.5)

7 questo Xi - Xi + 3 Xi - 5 Xi . 2 Xi / 2X1 = 31 1 34 26 62 15,5X2 = 28 -2 31 23 56 14X3 = 32 2 35 27 64 16X4 = 29 -1 32 24 58 14,5

Mdia => 30 0 33 25 60 15

31


8.1) x = 5,6 Mediana = 5,5 Moda = 5 8.2) x = 27,8 Mediana = 30 Moda = 308.3) x = 3608 Mediana = 3043 Moda = 8.4) x = 3960,333 Mediana = 4225 Moda =

9) x = 14,95 Mediana = 14,5 Moda = 11

10) Classes Freq. (fi) P. M. (Xi) fi.Xi

3,04 3,74 5 3,39 16,953,74 4,44 11 4,09 44,994,44 5,14 2 4,79 9,585,14 5,84 2 5,49 10,98

Total 20 82,5 x = 4,12 g/100 ml de sangue

11) x = 90,7 kg

12.1) 9,5 12.2) 9 12.3) 9 12.4) 26 12.5) 4,5 12.6) 0,55

13) Classes Freq. (fi) P. M. (Xi) fi.Xi fi/Xi Xifi

0 2 4 1 4 4,0000 12 4 11 3 33 3,6667 1771474 6 15 5 75 3,0000 305175781256 8 15 7 105 2,1429 47475615099438 10 11 9 99 1,2222 31381059609

Total 56 316 14,0318

x = 316/56 = 5,64 95,49.7.5.3.1.... 56 11151511421 21 ==

=i nf f

nff

g XXXx

99,30318,1456

/===

ii

ih Xf

fx

73,5215

152/5642 =+=

+=

xxICfr

frf

LMedianamediana

acumuladai

i

00,62)1515()1115(

)1115(421

1=

+

+=+

+= xxICdd

dLModa i

32

PEREIRA & BARBOSA

14.1) x = 270/12 = 22,5 33,23106

42/1220 =+= xMediana

29,2410)26()36(

)36(20 =+

+= xModa

14.2) x = 8600/100 = 86 Mediana = 100 (mdia da 50 e 51 posio) Moda = 100

15) Mdia Moda = 3 (Mdia Mediana) Moda (A) = 353,87 Moda (B) = 88,62 Moda (C) = 820

RESPOSTAS DA PRTICA 4 - MEDIDAS DE DISPERSO

1.1) Utilizaria as medidas de variao ou de disperso.1.2) Amplitude total, desvio mdio absoluto, varincia, desvio padro e coeficiente de variao.

1.3) O desvio padro por ter a mesma unidade das observaes, pode ser interpretado juntamente com as medidas de posio central, especialmente a mdia aritmtica.

1.4) Esta medida pode avaliar a instabilidade relativa, ou seja, possvel que duas variveis tenham o mesmo desvio padro e terem variaes relativas muito diferentes. Esta medida tambm por ser adimensional (expressa em %), pode ser utilizada para se comparar a disperso de variveis com medidas distintas (p. ex. cm e kg; C e $, etc.).

2) A. T. = 10 2 = 8

= 6 34

4224... =+++=

=

NX

AMD i

( )10

416441622

=

+++=

=

NX i

ou ( )

104

42410064164

222

2=

+++=

=

NNX

X ii

( )N

X i =

2 ou

( )N

NX

X ii2

2

= 16,310 ==

%7,52%100616,3%100.. === xxVC

3) T05: C. V. = 35,3% T06: C. V. = 43,1% esta turma apresentou maior disperso de notas.

4) C. V. (A) = 10% C. V. (B) = 10% C. V. (C) = 10% as trs populaes tm a mesma variao relativa.

5.1) Populao: = 3,33 5.1) Amostra: x = 3,3333


( )56,1

33

10259422

22

=

++=

=

NNX

X ii

%5,37%10033,356,1%100.. === xxVC

( )33,2

133

102594

1

222

2=

++=

=

nnX

Xs

ii

%8,45%10033,333,2%100.. === xx

xsVC

5.2) Populao: = 4,83

Xi fi fi. Xi fi. Xi2

2 5 10 204 7 28 1126 9 54 3248 3 24 192 24 116 648

5.2) Amostra: x = 4,83

( )80,3

12424

116648

1

..

22

2

2=

=

=

i

i

iiii

ffXf

Xfs

%4,40%10083,480,3

%100.. === xxxsVC

( )64,3

2424

116648.

.2

22

2=

=

=

i

i

iiii

ffXf

Xf

C. V. = 39,5%

5.3)

CLASSES fi Xi fi. Xi fi. Xi2

0 2 10 1 10 102 4 15 3 45 1354 6 20 5 100 5006 8 15 7 105 7358 10 10 9 90 810

70 350 2190

Populao: = 350/70 = 5 Amostra: x = 5

29,670

703502190

2

2=

=

38,617070

35021902

2=

=s

C. V. = 50,2% C. V. = 50,5%

34

PEREIRA & BARBOSA

5.4)

Xi fi fi. Xi fi. Xi2

1,7 2 3,4 5,82,3 1 2,3 5,32,8 14 39,2 109,83,5 10 35,0 122,53,2 6 19,2 61,44,5 3 13,5 60,8 36 112,6 365,5

Populao: = 112,6/36 = 3,13 Amostra: x = 3,13

370,036

366,1125,365

2

2=

=

380,013636

6,1125,3652

2=

=s

C. V. = 19,4% C. V. = 19,7%

6) x = 238 m3

( ) 2322 )(29,102418

16361764336416811628941

mn

xXs i =

+++++++=

=

s = 32,00 m3 C. V. = 13,4%

7) Rao A Rao B Rao C Rao Dx = 17,5 x = 16,3 x = 17,7 x = 15,8

73,014

49,6969,1223

2

2=

=s 58,014

42,6550,1064

2

2=

=s 59,114

48,7094,1257

2

2=

=s 92,014

40,6300,995

2

2=

=s

s = 0,85 C. V. = 4,9% s = 0,76 C. V. = 4,7% s = 1,26 C. V. = 7,1% s = 0,96 C. V. = 6,1%A rao que forneceu resultados com menor disperso foi a B.

8) Homens: C. V. = 37,5% Mulheres: C. V. = 40,0%Os salrios dos homens tm menor variao relativa que os das mulheres.

9) x = 495/12 = 41,25 kg 22

2 48,4511212

49520919kgs =

=

s = 6,74 kg C. V. = 16,3%

10) Caixa A: C. V. = 26,7% Caixa B: C. V. = 25,0% Caixa C: C. V. = 20,0% (apresentou menor variao na presso de ruptura)

11) Entradas: x = 124/6 = 20,67 67,64

166

12428862

2=

=s s = 8,04 C. V. = 38,9%

Vendas: x = 94/6 = 15,67 47,51

166

9417302

2=

=s s = 7,17 C. V. = 45,8%

35


12) Masculino: = 7935/170 = 46,68 kg 2

2

2 85,87170

17079355,385312

kg=

= = 9,37 kg C.

V. = 10,7%

Feminino: = 10304/220 = 46,84 kg 2

2

2 113,87kg220

22010304507653

=

= = 10,67 kg

C. V. = 22,8%O grupo masculino apresentou menor variao dos pesos.

13.1) = 56/10 = 5,6 2,110

8,42,14,26,3.... =+++=

=

i

ii

fXf

AMD

64,210

1056340

2

2=

=

= 1,62 C. V. = 28,9%

13.2) = 1055/38 = 27,76 81,438

92,576,336,278,63.... =+++=

=

i

ii

fXf

AMD

44,3638

38105530675

2

2=

= = 6,04 C. V. = 21,8%

14) Pesos: x = 816,1/9 = 90,68 kg 22

2 09,1819

91,81683,74146

kgs =

=

s = 4,25 kg C. V. = 4,7%

Espessuras: x = 22,2/9 = 2,47 cm 22

2 0225,019

92,2294,54

cms =

=

s = 0,15 cm C. V. = 6,1%

Os animais apresentaram maior uniformidade nos pesos.

15) A. T. = 9 x = 14,6 D. M. A. = 35,2/15 = 2,35

83,711515

21933072

2=

=s s = 2,80 C. V. = 19,2%

16) x = 4,29 mg% 22

2 %7586,0114

1408,606912,267

mgs =

=

s = 0,87 mg% C. V. = 2,0%

36

PEREIRA & BARBOSA

17.1) x = 22,5 75

11212

27069002

2=

=s s = 8,66 C. V. = 38,5%

17.2) x = 86 83,1882

1100100

86009260002

2=

=s s = 43,39 C. V. = 50,4%

RESPOSTAS DA PRTICA 5 PROBABILIDADE

1) P(a1) = 1 - (1/3 + 1/6 + 1/9) = 38,9%

2) P(AUB) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 66,7%

3) P(n 1 ou 3) = 1/6 + 1/6 = 33,3%

4.1) 6/15 = 40,0% 4.2) 4/15 = 26,7% 4.3) 5/15 = 33,3% 4.4) 1 6/15 = 60,0% 4.5) 6/15 + 4/15 = 66,7%

5) com reposio: P(vermelha e branca e azul) P(V) . P(B) . P(A) = 6/15 x 4/15 x 5/15 = 3,6%sem reposio: P(vermelha e branca e azul) P(V) . P(B|V) . P(A|V|B) = 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4,4%

6.1) P(def. A e def. B) P(A) . P(B) = 1/100 x 10/100 = 0,1%6.2) (def. A e def. B ou def. A e no B ou no A e def. B) P(A e B) + P(A e no B) + P(no A e B) P(A) . P(B) +

P(A) . P(no B) + P(no A) . P(B) = 1/100 x 10/100 + 1/100 x 90/100 + 99/100 x 10/100 = 10,9% ou1 - P(no A e no B) = 1 - (99/100 x 90/100) = 10,9%

7) P(B e B e B e B) = 1/5 x 1/5 x 1/5 x 1/5 = 0,2%

8) evento indesejvel todos os filhos terem olhos castanhos, ento:P(pelo menos uma ter olhos azuis) 1 - P(todas de olhos castanhos) = 1 - 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = 76,3%

9) P(Hereford ou Angus) P(Hereford) + P(Angus) = 52/100 + 27/100 = 79,0%

10) P(acertar o navio) P (1 torpedo acertar) + P (1 torpedo errar e 2 acertar) + P (1 torpedo errar e 2 errar e 3 acertar) = 0,7 + 0,3 x 0,4 + 0,3 x 0,6 x 0,4 = 89,2%Alternativa: 1 P(1 torpedo errar e 2 errar e 3 errar) = 1 - 0,3 x 0,6 x 0,6 = 89,2%

11) P(defeito | me teve rubola na gestao) = 17/104 = 16,3%

12) P(defeito | me teve rubola no 1 trimestre da gestao) = 14/50 = 28,0%

13) P(criana sem problema) = 1 - (0,30 + 0,18 + 0,21) = 31,0%

14.1)P(1 bom e 2 bom |1 bom) = 14/16 x 13/15 = 75,8%14.2)P(1 def. e 2 def.|1 def.) = 2/16 x 1/15 = 0,8%14.3)P(1 def. e 2 bom |1 def.) + P(1 bom e 2 def.|1 bom) = 2/16 x 14/15 + 14/16 x 2/15 = 23,3%

15) P(animal do sexo feminino) = 1 P(animal do sexo masculino) = 1 1/3 = 66,7%

16) P(criana sem problema dentrio) = 1 P(criana com problema dentrio) = 1 (30% + 18% + 21%) = 31%

37


17) P(animal frtil) = 60%

18) P(prximo filho do sexo feminino) = = 50%

19) P(aluno do sexo feminino) = 10/50 = 20%

20.1)P(nenhum dos dois seja defeituoso) P(1 bom e 2 bom | 1 bom) = 14/16 x 13/15 = 75,8%20.2)P(ambos sejam defeituosos) P(1 defeituoso e 2 defeituoso | 1 defeituoso) = 2/16 x 1/15 = 0,83%

21.1) S = {; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; }

21.2)S = {AA; AB; AC; AD; AE; BA; BB; BC; BD; BE; CA; CB; CC; CD; CE; DA; DB; DC; DD; DE; EA; EB; EC; ED; EE}

21.3)S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

22.1) 4/52 = 7,7% 22.2) 26/52 = 50% 22.3) 1/52 = 1,9% 22.4) 12/52 = 23,1% 22.5) 13/52 = 25% 22.6) 2/52 = 3,8%

23) (5x6 + 7x8)/(13x14) = 47,3%

24) E1 = {(3 e 6); (4 e 5); (5 e 4); (6 e 3)} E2 = {(4 e 1); (4 e 2); (4 e 3); (4 e 4); (4 e 5); (4 e 6); (5 e 1); (5 e 2); (5 e 3); (5 e 4); (5 e 5); (5 e 6); (6 e 1); (6 e 2); (6 e 3); (6 e 4); (6 e 5); (6 e 6)}AB = {(3 e 6); (4 e 1); (4 e 2); (4 e 3); (4 e 4); (4 e 5); (4 e 6); (5 e 1); (5 e 2); (5 e 3); (5 e 4); (5 e 5); (5 e 6); (6 e 1); (6 e 2); (6 e 3); (6 e 4); (6 e 5); (6 e 6)}AB = {(4 e 5); (5 e 4); (6 e 3)}

25) P(AB) = P(A) x P(B) = 2/3 x 3/4 = 1/2 ou 50%

26) P(A), P(B) e P(C) probabilidades dos motoristas A, B e C, guiarem at em casa com segurana.P(todos sofrerem acidentes) = )().().( CPBPAP = 2/3 x 3/4 x 4/5 = 24/60 ou 40,0%P(ao menos um no sofrer acidente) = 1 P(todos sofrerem acidentes) = 36/60 ou 60,0%

RESPOSTAS DA PRTICA 6 - DISTRIBUIO BINOMIAL

1.1) P(X=7) C7,7 . 0,927 . 0,080 = 55,8%

1.2) P(X=6) C7,6 . 0,926 . 0,081 = 34,0%

2) P(X=4) C8,4 . (2/7)4 . (5/7)4 = 12,1%

P(X=1 ou 2 ou 3 ... ou 8) 1 - P(X=0) 1 - C8,0 . (2/7)0 . (5/7)8 = 93,2%

3.1) P(X=3) C4,3 . (1/2)3 . (1/2)1 = 25,0%

3.2) P(X=2) C4,2 . (1/2)2 . (1/2)2 = 37,5%

3.3) P(X=2 ou 3 ou 4) C4,2 . (1/2)2 . (1/2)2 + C4,3 . (1/2)3 . (1/2)1 + C4,4 . (1/2)4 . (1/2)4 = 68,8%

3.4) P(X=1 ou 2 ou 3 ou 4) 1 - P(X=0) 1 - C4,0 . (1/2)0 . (1/2)4 = 93,8%

4.1) P(X=3) C5,3 . 0,103 . 0,902 = 0,8%

4.2) P(X=1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5) 1 - P(X=0) 1 - C5,0 . 0,10 . 0,98 = 41,0%

38

PEREIRA & BARBOSA

5) P(X=3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8) C100,3 . 0,053 . 0,9597 + ... + C100,8 . 0,058 . 0,9592 = 81,86%Utilizando-se a aproximao da distribuio binomial pela curva normal:P(2,5


14.1) P(X=23 ou 24 ou ... 27) C150,23 . (1/6)23 . (5/6)127 + ... + C150,27 . (1/6)27 . (5/6)123 = 41,58%Utilizando-se a aproximao da distribuio binomial pela curva normal:P(22,5

PEREIRA & BARBOSA

P(X=7) C10,7 . 0,707 . 0,303 = 26,68%

P(X=8) C10,8 . 0,708 . 0,302 = 23,35%

P(X=9) => C10,9 . 0,709 . 0,3010 = 12,11%

P(X=10) => C10,10 . 0,7010 . 0,300 = 2,82%

18.1) P(X= 3) C8,3 . (1/2)3 . (1/2)5 = 21,9%

18.2) P(X=6 ou 7 ou 8) C8,6 . (1/2)6 . (1/2)2 + C8,7 . (1/2)7 . (1/2)1 + C8,8 . (1/2)8 . (1/2)0 = 14,5%

18.3) P(X=2 ou 3 ... ou 8) 1 - [P(X=0)+P(X=1)] 1 - [C8,0 . (1/2)0 . (1/2)8 + C8,1 . (1/2)1 . (1/2)7] = 96,5%

19) P(X=4) C6,4 . 0,554 . 0,452 = 27,8%

20.1) P(X=3 ou 4 ou 5) C6,3 . 0,63 . 0,43 + C6,4 . 0,64 . 0,42 + C6,5 . 0,65 . 0,41 = 77,4%

20.2) P(X=4 ou 5 ou 6) C6,4 . 0,64 . 0,42 + C6,5 . 0,65 . 0,41 + C6,6 . 0,66 . 0,40 = 54,4%

20.3) P(X=0 ou 1) C6,0 . 0,60 . 0,46 + C6,1 . 0,61 . 0,45 = 4,1%

20.4) P(X=1 ou 2 ... ou 6) 1 - P(X=0) 1 - C6,0 . 0,60 . 0,46 = 99,6%

RESPOSTAS DA PRTICA 7 DISTRIBUIO NORMAL

1.1) 0,4251 42,51%1.2) 0,2881 28,81%1.3) 0,1554 + 0,4798 = 63,52%1.4) 0,4706 - 0,2642 = 20,64%1.5) 0,5 - 0,3599 = 14,01%1.6) 0,5 50,00%1.7) 0,5 50,00%1.8) 0,5 + 0,1915 = 69,15%1.9) 0,5 - 0,1915 = 30,85%

2.1) 0,5 - 0,0505 = 0,4495 Z -1,642.2) 0,5 - 0,0228 = 0,4772 Z -2,002.3) 0,5 - 0,0228 = 0,4772 Z 2,002.4) 0,5 - 0,1788 = 0,3212 Z -0,922.5) 0,4772 Z 2,002.6) 0,0240 / 2 = 0,0120 Z -0,03 e 0,03

3.1) Z = (23,0-25)/2 = -1,00

41


3.2) Z = (23,5-25)/2 = -0,753.3) Z = (24,0-25)/2 = -0,503.4) Z = (25,2-25)/2 = 0,103.5) Z = (25,5-25)/2 = 0,25

4.1) P(40 < X < 50) P(-2 < Z < 0) = 0,4772 = 47,72%X1 = 40 X2 = 50Z1 = (40-50)/5 = -2,00 Z2 = (50-50)/5 = 0,00

4.2) P(49 < X < 50) P(-0,2 < Z < 0) = 0,0793 = 7,93%X1 = 49 X2 = 50Z1 = (49-50)/5 = -0,20 Z2 = (50-50)/5 = 0,00

4.3) P(40 < X < 65) P(-2 < Z < 3) = 0,9759 = 97,59%X1 = 40 X2 = 65Z1 = (40-50)/5 = -2,00 Z2 = (65-50)/5 = 3,00

4.4) P(56 < X < 60) P(1,2 < Z < 2) = 0,0923 = 9,23%X1 = 56 X2 = 60Z1 = (56-50)/5 = 1,20 Z2 = (60-50)/5 = 2,00

4.5) P(40 < X < 68) P(-2 < Z < 3,6) = 0,9771 = 97,71%X1 = 40 X2 = 68Z1 = (40-50)/5 = -2,00 Z2 = (68-50)/5 = 3,60

4.6) P(45 < X < 55) P(-1 < Z < 1) = 0,6827 = 68,27%X1 = 45 X2 = 55Z1 = (45-50)/5 = -1,00 Z2 = (55-50)/5 = 1,00

5.1) P(X < -3) P(Z < -3) = 0,0013 = 0,13%X1 = -3Z1 = (-3-12)/5 = -3,00

5.2) P(-1 < X < 15) P(-2,6 < Z < 0,6) = 0,7211 = 72,11%X1 = -1 X2 => 15Z1 = (-1-12)/5 = -2,60 Z2 = (15-12)/5 = 0,60

6.1) P(700 < X < 1000) P(-3,33 < Z < 3,33) = 0,9991 = 99,91%X1 = 700 X2 = 1000Z1 = (700-850)/45 = -3,33 Z2 = (1000-850)/45 = 3,33

6.2) P(X > 800) P(Z > -1,11) = 0,8667 = 86,67%X1 = 800Z1 = (800-850)/45 = -1,11

6.3) P(X < 750) P(Z < -2,22) = 0,0131 = 1,31%X1 = 750Z1 = (750-850)/45 = -2,22

7.1) P(60 < X < 70) P(-0,96 < Z < 0,85) = 0,6360 382 estudantesX1 = 60 X2 = 70Z1 = (60-65,3)/5,5 = -0,96 Z2 = (70-65,3)/5,5 = 0,85

42

PEREIRA & BARBOSA

7.2) P(X > 62,2) P(Z > -0,56) = 0,7135 428 estudantesX1 = 62,2Z1 = (62,2-65,3)/5,5 = -0,56

8.1) = 165 cm 2 x 2 = 32 2 = 16 cm2 = 4 cm

8.2) P(X > 170 cm) P(Z > 1,25) = 0,1056 = 10,56%X1 = 170Z1 = (170-165)/4 = 1,25

8.3) P(X < 160 cm) P(Z < -1,25) = 0,1056 370 alunosX1 = 160Z1 = (160-165)/4 = -1,25

9) = 72 e 2 x 2 = 162 2 = 81 = 9P(X > "nota mnima") = 10% P(Z > z) = 10% z = 1,28 (a rea de z1 = 0 a z2 = 1,28 aproximadamente 40%)1,28 = (X-72)/9 => X = 83,5

10) = 62 C. V. = (/).100% => / = 0,1 = 6,2P(X > 70 g) P(Z > 1,29) = 0,0985 49 avesX1 = 70 e Z1 = (70-62)/6,2 = 1,29

11) P(X > 70 kg) P(Z > 1,25) = 0,1056 63 animaisX1 = 70 e Z1 = (70-60)/8 = 1,25

12) P(1800 kg < X < 2000 kg) P(-2,5 < Z < -0,83) = 0,1961 = 19,61%X1 = 1800 X2 = 2000Z1 = (1800-2100)/120 = -2,50 Z2 = (2000-2100)/120 = -0,83

13.1) P(X=53 ou 54 ou 56 ou 57) Utilizando-se a aproximao da distribuio binomial pela curva normal:P(52,5


X1 = 8,0 e Z1 = (8,0-6,0)/0,8 = 2,50

15.2) P(X < 5,0) P(Z < -1,25) = 0,1056 106 notasX1 = 5,0 e Z1 = (5,0-6,0)/0,8 = -1,25

RESPOSTAS DA PRTICA 8 - DISTRIBUIES AMOSTRAIS

1) Populao: 0, 1, 2, 3, 4, e 5

5,26

15===

NX i ( ) 1667,9

655

625169410

2

2==

+++++=

=

NX i

Amostras de tamanho n=2 obtidas da populao com reposio:(0 e 0) (0 e 1) (0 e 2) (0 e 3) (0 e 4) (0 e 5) (1 e 0) (1 e 1) (1 e 2) (1 e 3) (1 e 4) (1 e 5) (2 e 0)(2 e 1) (2 e 2) (2 e 3) (2 e 4) (2 e 5) (3 e 0) (3 e 1) (3 e 2) (3 e 3) (3 e 4) (3 e 5) (4 e 0) (4 e 1)(4 e 2) (4 e 3) (4 e 4) (4 e 5) (5 e 0) (5 e 1) (5 e 2) (5 e 3) (5 e 4) (5 e 5)

Distribuio amostral de mdias ( x i)0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,5 1 1,5 2 2,5 31 1,5 2 2,5 3 3,5 1,5 2 2,5 3 3,5 42 2,5 3 3,5 4 4,5 2,5 3 3,5 4 4,5 5

x i freq. (fi) fi . x i fi . x 2i

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5x i

0 1 0 00,5 2 1 0,51 3 3 3

1,5 4 6 92 5 10 20

2,5 6 15 37,53 5 15 45

3,5 4 14 494 3 12 48

4,5 2 9 40,55 1 5 25 36 90 277,5

5,23690.

==

=

i

ii

fxf

4583,136

5,5236

36/905,277/).(. 2222==

=

=

i

iiiii

ffxfxf

Relaes: =x ; n

x

22 = ou

nx

=

2) 50=x 236

12==x

3)nssx =

4) 30 elementos

44

PEREIRA & BARBOSA

5) P( x 250,00) P(Z -1,40) = 0,9185 = 91,85%X1 = 250,00Z1 = (250,00-260,00)/(43,00/36) = -1,40

6.1) P( x > 21) P(Z > 2,00) = 0,0228 = 2,28%X1 = 21Z1 = (21-20)/(4/64) = 2,00

6.2) P( x > 19,5) P(Z > -1,00) = 0,8413 = 84,13%X1 = 19,5Z1 = (19,5-20)/(4/64) = -1,00

6.3) P(19 < x < 21) P(-2,00 < Z < 2,00) = 0,9545 = 95,45%X1 = 19 X2 = 21Z1 = (19-20)/(4/64) = -2,00 Z2 = (21-20)/(4/64) = 2,00

7.1) P( x < 26) P(Z > 0,50) = 0,6915 = 69,15%X1 = 26Z1 = (26-25)/(8/16) = 0,50

7.2) P( x > 31) P(Z > 3,00) = 0,0013 = 0,13%X1 = 31Z1 = (31-25)/(8/16) = 3,00

7.3) P( x > 24) P(Z > -0,50) = 0,6915 = 69,15%X1 = 24Z1 = (24-25)/(8/16) = -0,50

7.4) P( x < 21) P(Z < -2,00) = 0,0228 = 2,28%X1 = 21Z1 = (21-25)/(8/16) = -2,00

7.5) P(28 < x < 29) P(1,50 < Z < 2,00) = 0,0441 = 4,41%X1 = 28 X2 = 29Z1 = (28-25)/(8/16) = 1,50 Z2 = (29-25)/(8/16) = 2,00

8.1) P( x A- x B > 160) P(Z > -2,00) = 0,9772 = 97,72%x A- x B = 160

Z1 = (160-200)/((40000/125+10000/125) = -2,00

8.2) P x A- x B > 250) P(Z > 2,50) = 0,0062 = 0,62%x A- x B = 250

Z1 = (250-200)/((40000/125+10000/125) = 2,50

9) x = = 22,40 onas x = /n = 0,48/36 = 0,08 onas

10.1) P( x A- x B > 300) P(Z > 2,43) = 0,0075 = 0,75%x A- x B = 300

Z1 = (300-250)/((22500/100+10000/50) = 2,43

10.2) P( x B- x A > 225) P(Z > -1,21) = 0,8869 = 88,69%x B- x A = 225

Z1 = (225-250)/((22500/100+10000/50) = -1,2145


11.1) P(169 < x < 174) P(-2,40 < Z < 1,60) = 0,9370 94 amostrasX1 = 169 X2 = 174Z1 = (169-172)/(7,5/36) = -2,40 Z2 = (174-172)/(7,5/36) = 1,60

11.2) P( x > 170) P(Z > -1,60) = 0,9452 95 amostrasX1 = 170Z1 = (170-172)/(7,5/36) = -1,60

12.1) P( x < 2,02) P(Z < -2,00) = 0,0228 = 2,28%X1 = 2,02Z1 = (2,02-2,20)/(0,72/64) = -2,00

12.2) P( x > 2,03) P(Z > -1,89) = 0,9705 = 97,05%X1 = 2,03Z1 = (2,03-2,20)/(0,72/64) = -1,89

12.3) P(1,95 < x < 2,35) P(-2,78 < Z < 1,67) = 0,9495 = 94,95%X1 = 1,95 X2 = 2,35Z1 = (1,95-2,20)/(0,72/64) = -2,78 Z2 = (2,35-2,20)/(0,72/64) = 1,67

13) P x A- x B 3,4) P(Z -1,43) = 0,9238 = 92,38%x A- x B = 3,4

Z1 = (3,4-5)/((25/25+9/36) = -1,4314) P(erro < 5) P(Z < 2,00) = 0,9778 = 97,72%

erro = 5Zi = ( x - )/(/n) onde ( x - ) denominado erro, ento: Z1 = 5/(20/64) = 2,00

15) x = = 50 x = /n = 4/25 = 0,8

RESPOSTAS DA PRTICA 9 - INTERVALO DE CONFIANA

1.1) 8900 1,96x500/12 8900 283 8617 a 9183 horas

1.2) 8900 2,575x500/12 8900 372 8528 a 9272 horas

2) 8900 1,96x500/35 8900 166 8734 a 9066 horas

3)nsZx

4) 23 1,96x2/400 23 0,2 22,8 a 23,2 anos

5) n = (z.s/e)2 n = (2,575x0,80/0,25)2 = 68 clientes46

PEREIRA & BARBOSA

6) n = (z.s/e)2 n = (1,96x3/0,5)2 = 138 indivduos

7) 222121 xxxx

sss +=

8) (1400-1200) 1,96x(1202/150 + 802/200) 200 22 178 a 222 horas

9) (180-170) 2,575x(142/30 + 102/40) 10 8 R$ 2 a 18

10) 102,0 1,645x6/36 102,0 1,6 100,4 a 103,6 mg%

11.1) 1- = 95%: (7,82-6,75) 1,96x(0,242/50 + 0,302/100) 1,07 0,09 0,98 a 1,16 horas

11.2) 1- = 99%: (7,82-6,75) 2,575x(0,242/50 + 0,302/100) 1,07 0,12 0,95 a 1,19 horas

12) (42-35) 1,645x(152/30 + 102/40) 7,0 5,2 1,8 a 12,2

13) 175 1,96x15/100 175 3 172 a 178 cm

14.1) 1- = 90%: 5,2 1,645x1,2/25 5,2 0,4 4,8 a 5,6 mm

14.2) 1- = 95%: 5,2 1,96x1,2/25 5,2 0,5 4,7 a 5,7 mm

14.3) 1- = 99%: 5,2 2,575x1,2/25 5,2 0,6 4,6 a 5,8 mm

15) (8-6) 1,96x(0,42/30 + 0,22/30) 2,0 0,2 1,8 a 2,2

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ANEXO REAS SOB A CURVA NORMAL PADRO DE 0 A Z

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

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Documents

Estatística Básica IC 280 UFRRJ