ESTATÍSTICA BÁSICA - Teste de hipóteses para a média · Teste para a m edia Exemplo Uma m aquina autom atica para encher pacotes de caf e enche-os segundo uma distribui˘c~ao

ESTATISTICA BASICATeste de hipoteses para a media

Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Teste para a media

Exemplo

Uma industria usa, como um dos componentes das maquinas que produz,um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigencias.

Uma dessas e a resistencia a tracao.

Esses parafusos sao fabricados por alguns paıses, e as especificacoes tecnicasvariam de paıs para paıs.

Por exemplo, o catalogo do paıs A afirma que a resistencia media a tracaode seus parafusos e de 145kg, com desvio padrao de 12kg.

Ja para o paıs B, a media e de 155kg e desvio padrao 20kg.

Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, sera leiloado a um precomuito convidativo.

Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 16

Teste para a media

Para que a industria saiba se faz ou nao uma oferta, ela necessita saber qualpaıs produziu tais parafusos.

O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilao sera divulgada aresistencia media x de uma amostra de 25 parafusos do lote.

Suponha que interessa a industria fazer uma proposta apenas no caso doparafuso ser de origem B.

Qual a regra de decisao deve ser usada pela industria para dizer se os para-fusos sao do paıs B ou de outros paıses?


Teste para a media

Suponha que no dia do leilao, fossemos informados de que x = 148.

Qual decisao tomar?

Podemos estar errados na decisao?

E possıvel que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente mediade x = 148?


Teste para a media

Hipoteses

H0 : os parafusos sao de origem B

⇒ X segue uma distribuicao com media µ = 155

H1 : os parafusos nao sao de origem B

⇒ X segue distribuicao desconhecida media µ =?


Teste para a media

As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo

H0 : µ = 155

H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)

H0 : µ = 155

H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)

H0 : µ = 155

H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)


Teste para a media

As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo

H0 : µ = 155

H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)

H0 : µ = 155

H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)

H0 : µ = 155

H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)


Teste para a media

Regiao Crıtica (RC)

RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }

RC = { x : x ≤ xc1}

RC = { x : x ≥ xc2 }


Teste para a media

Regiao Crıtica (RC)

RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }

RC = { x : x ≤ xc1}

RC = { x : x ≥ xc2 }


Teste para a media

Erro Tipo I: dizer que os parafusos nao sao de B quando na realidade sao.

Erro Tipo II: dizer que os parafusos sao de B quando na realidade nao sao.


Teste para a media

A probabilidade de cometer um erro tipo I ou tipo II pode ser representadapor:

P( Erro Tipo I ) = P(X ∈ RC |H0 e verdadeira ) = α

P( Erro Tipo II ) = P(X 6∈ RC |H0 e falsa ) = β

RC: Regiao crıtica.


Teste para a media

Fixando α = 5% tem-se

5% = P( Erro tipo I ) = P( X < xc1 ou X > xc2 | X ∼ Normal(155; 16) )

= P (Z < −1, 96 ou Z > 1, 96)

e onde obtem-se

−1, 96 =xc1 − 155

4⇒ xc1 = 147, 16

e

1, 96 =xc2 − 155

4⇒ xc1 = 162, 84

com regiao crıtica

RC = {x : x < 147, 16 ou x > 162, 84}


Teste para a media

Exemplo

Uma maquina automatica para encher pacotes de cafe enche-os segundouma distribuicao normal, com media µ e variancia sempre igual a 400g2.

A maquina foi regula para µ = 500g .

Periodicamente uma amostra de 16 pacotes e colhida para verificar se aproducao esta sob controle, isto e µ = 500g ou nao.

Se uma dessas amostras apresentar media x = 492g , deve-se parar aproducao para regular a maquina ou nao?


Teste para a media

1. Definindo a v.a. X como sendo o peso de cada pacote, tem-se que

X ∼ Normal(500g , 400g2)

e as hipoteses a serem testadas serao:{H0 : µ = 500gH1 : µ 6= 500g

2. O peso medio amostral dos pacotes e dado pela estatıstica

X ∼ Normal(500g , 25g2

)


Teste para a media

3. Fixando α = 1%. A regiao crıtica sera dada por

−2, 58 =xc1 − 500

5⇒ xc1 = 487, 1

e

2, 58 =xc2 − 500

5⇒ xc2 = 512, 9

e portanto

RC = {x : x < 487, 1g ou x > 512, 9g}

4. A media obtida da amostra e x = 492g . Como

x 6∈ RC ⇒ H0 nao deve ser rejeita

5. Conclusao: O desvio da media da amostra pode ser considerado comodevido apenas ao sorteio aleatorio dos pacotes.


Exercıcios

Exercıcios

Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto temdistribuicao normal, com desvio padrao 2kg .

A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria oproduto da linha de producao se a media de consumo per capita fosse menorque 8kg . Caso contrario, continuaria a fabrica-lo.

Foi realizado uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25indivıduos, e verificou-se que

∑25i=1 Xi = 180Kg , em que Xi representa

consumo mensal do i-esimo indivıduo da amostra.


Exercıcios

1 Construa um teste de hipotese adequado, utilizando α = 0, 05, e combase na amostra colhida determine a decisao a ser tomada pela direto-ria.

2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisao errada se, na realidade,a media populacional for µ = 7, 8Kg?

3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisao seria a mesma? Jus-tifique.

4 Se o desvio da populacao fosse 4Kg , qual seria a decisao, com α =0, 05? Justifique.


Exercıcios






Exercıcios






Exercıcios






Exercıcios

Para o lar

Exercıcios 7, 8 e 9 – pag 347


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