Estatística - RNP

2012Curitiba-PR

EstatísticaMarcos Antonio Barbosa

Presidência da República Federativa do Brasil

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Catalogação na fonte pela Biblioteca do Instituto Federal do Paraná

© INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA – PARANÁ – EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Este Caderno foi elaborado pelo Instituto Federal do Paraná para o Sistema Escola Técnica Aberta do Brasil – e-Tec Brasil.

Prof. Irineu Mario ColomboReitor

Profª. Mara Christina Vilas BoasChefe de Gabinete

Prof. Ezequiel WestphalPró-Reitoria de Ensino - PROENS

Prof. Gilmar José Ferreira dos SantosPró-Reitoria de Administração - PROAD

Prof. Paulo Tetuo YamamotoPró-Reitoria de Extensão, Pesquisa e Inovação - PROEPI

Profª. Neide AlvesPró-Reitoria de Gestão de Pessoas e Assuntos Estudantis - PROGEPE

Prof. Carlos Alberto de ÁvilaPró-reitoria de Planejamento e Desenvolvimento Institucional - PROPLADI

Prof. José Carlos CiccarinoDiretor Geral de Educação a Distância

Prof. Ricardo HerreraDiretor de Planejamento e Administração EaD - IFPR

Profª Mércia Freire Rocha Cordeiro MachadoDiretora de Ensino, Pesquisa e Extensão EaD - IFPR

Profª Cristina Maria AyrozaCoordenadora Pedagógica de Educação a Distância

Prof. Adriano StadlerCoordenador do Curso

Adriana Valore de Sousa Bello Fábio Decker Karmel Louise Pombo Schultz Kátia FerreiraSuelem Sousa Santana de FreitasAssistência Pedagógica

Profª Ester dos Santos OliveiraProfª Linda Abou RejeiliLídia Emi Ogura Fujikawa Revisão Editorial

Flávia Terezinha Vianna da SilvaDiagramação

e-Tec/MECProjeto Gráfico

e-Tec Brasil3

Apresentação e-Tec Brasil

Prezado estudante,

Bem-vindo ao e-Tec Brasil!

Você faz parte de uma rede nacional pública de ensino, a Escola Técnica

Aberta do Brasil, instituída pelo Decreto nº 6.301, de 12 de dezembro 2007,

com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino técnico público, na mo-

dalidade a distância. O programa é resultado de uma parceria entre o Minis-

tério da Educação, por meio das Secretarias de Educação a Distância (SEED)

e de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC), as universidades e escolas

técnicas estaduais e federais.

A educação a distância no nosso país, de dimensões continentais e grande

diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao

garantir acesso à educação de qualidade, e promover o fortalecimento da

formação de jovens moradores de regiões distantes, geograficamente ou

economicamente, dos grandes centros.

O e-Tec Brasil leva os cursos técnicos a locais distantes das instituições de en-

sino e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir

o ensino médio. Os cursos são ofertados pelas instituições públicas de ensino

e o atendimento ao estudante é realizado em escolas-polo integrantes das

redes públicas municipais e estaduais.

O Ministério da Educação, as instituições públicas de ensino técnico, seus

servidores técnicos e professores acreditam que uma educação profissional

qualificada – integradora do ensino médio e educação técnica, – é capaz de

promover o cidadão com capacidades para produzir, mas também com auto-

nomia diante das diferentes dimensões da realidade: cultural, social, familiar,

esportiva, política e ética.

Nós acreditamos em você!

Desejamos sucesso na sua formação profissional!

Ministério da Educação

Janeiro de 2010

Nosso contato

[email protected]

e-Tec Brasil5

Indicação de ícones

Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de

linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual.

Atenção: indica pontos de maior relevância no texto.

Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o

assunto ou “curiosidades” e notícias recentes relacionadas ao

tema estudado.

Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão

utilizada no texto.

Mídias integradas: sempre que se desejar que os estudantes

desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos,

filmes, jornais, ambiente AVEA e outras.

Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em

diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa

realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado.

e-Tec Brasil

Sumário

Contents

Palavra do professor-autor 11

Aula 1 – Estatística aplicada à logística 131.1 Uma visão geral 13

1.2 Definição 14

1.3 A Estatística na logística 16

1.4. Algumas aplicações da estatística em outras áreas 16

Aula 2 – Método experimental x método estatístico 192.1 Introdução 19

2.2 Fases do método estatístico 20

Aula 3 – População e amostra 253.1 Universo estatístico 25

3.2 Tipos de variáveis 27

Aula 4 – Técnicas de amostragem 314.1 Separando uma amostra 31

4.2 Modelo de cálculo aproximado para determinação do tamanho de uma amostra qualquer 35

Aula 5 – Tabelas 415.1 Organizando os dados 41

5.2 Séries estatísticas 41

Aula 6 – Gráficos 456.1 Apresentando os gráficos 45

6.2 Histograma 46

Aula 7 – Dados, rol, frequência e tabulação 497.1 Organizando os dados 49

7.1 Frequências 50

Aula 8 – Distribuição de frequência 538.1 Diferenciando as tabelas 53

8.1 Elementos de uma distribuição de frequência com intervalos 54

8.2 Reforçando os cálculos que determinam outros tipos de frequências 56

Aula 9 – Medidas centrais 639.1 Média aritmética 63

9.2 Média (aritmética) em distribuição de frequência 64

Aula 10 – Mediana 7110.1 Mediana 71

Aula 11 – Medida central 8111.1 Moda Mo 81

11.2 Dados agrupados com intervalos de classe 83

Aula 12 – Separatrizes 8712.1 Os Quartis 87

Aula 13 – Separatrizes II 9113.1 O Decil 91

Aula 14 – Separatrizes III 9514.1 O Percentil 95

Aula 15 – Medidas de dispersão 9915.1 Medidas de afastamento 99

15.1 Amplitude total 100

15.2 Desvio médio 102

Aula 16 – Variância e desvio padrão 10516.1 Variância e desvio padrão 105

Aula 17 – Coeficiente de variação 11517.1 Coeficiente de variação 115

Aula 18 – Probabilidade 11918.1 Definição 119

18.2 Elementos da probabilidade 119

18.3 Calculando a probabilidade 120

18.4 Calculando outras probabilidades 122

e-Tec Brasil

e-Tec Brasil

Aula 19 – Medidas de assimetria e curtose 12719.1 Assimetria 127

19.1 Coeficientes de assimetria 129

19.2 Medidas de curtose 131

Aula 20 – Curva normal 13720.1 Distribuição normal 137

Referências 141

Atividades autoinstrutivas 145

Currículo do professor-autor 167

e-Tec Brasil11

Palavra do professor-autor

Este livro tem o objetivo de propor uma visão geral da estatística. Perceberá

que esse material foi elaborado para que você se aproprie de mais informa-

ção, cujos conhecimentos serão fundamentais a sua prática profissional na

Logística.

A linguagem adotada neste material foi criteriosamente determinada para

facilitar sua compreensão; os assuntos abordados, as indicações de fontes

de pesquisa, de leituras, de filmes, de sites, etc. foram cuidadosamente sele-

cionados com o intuito de estabelecer um elo com a sua experiência de vida

e os seus conhecimentos já adquiridos. Disponibilizamos, ainda, ao final de

cada aula, exercícios para que você possa fixar o conteúdo estudado.

Por fim, lembre-se que sua prática está no exercício pleno de aplicar os co-

nhecimentos adquiridos aqui, fazendo a diferença na sua postura e na sua

prática profissional.

Bons estudos!

Prof. Marcos Barbosa

e-Tec Brasil13

Aula 1 – Estatística aplicada à logística

Nesta aula apresentaremos a você um breve histórico da evolução da Es-

tatística. Identificaremos os conceitos e fundamentos que são a base para

o estudo da estatística.

1.1 Uma visão geralA evolução das ciências tem suas raí-

zes na história do homem. Com a Es-

tatística, que entendemos como um

ramo da Matemática aplicada, não é

diferente.

Desde as civilizações mais antigas, era

comum que vários povos registras-

sem informações, através de rabiscos, de ossos e de pinturas, em cavernas,

em formatos de desenhos. Com o passar do tempo, esses registros foram

sendo cada vez mais utilizados, melhorados, para que pudessem responder

muitas questões sociais, de natureza científica de controle e epistemológica.

Assim, esses registros passaram a ter uma importância circunstancial na evo-

lução da humanidade, auxiliando na tomada de decisões individuais ou co-

letivas, como: controlar o número de habitantes de uma região, de natalida-

de, de óbitos, de acidentes, de produtos produzidos, estimativas de riqueza

individual e social, de distribuição de uma classe ou comunidade, no modo

de como distribuíam equitativamente terras aos povos, como cobravam im-

postos e como distribuíam suas rendas, que resumindo, hoje chamaríamos

de processos de “estatísticas”. (CRESPO, 2002)

Já na Idade Média, essas informações eram colhidas, como na maioria das

vezes, para finalidades de ordem tributárias ou de ordem bélicas.

Somente a partir do século XVI, segundo Crespo (2002), começa a surgir às

primeiras análises sistemáticas de fatos sociais: tais como batizados, casa-

mentos e funerais originando as primeiras tábuas e tabelas.

Análises sistemáticasEntende-se por análises sistemáticas – como a condição do que pode ser analisado em um conjunto de elementos clas-sificados e organizados entre si segundo um ou mais critérios.

Figura 1.1: Análise estatísticaFonte: www.decifrando.com

Também para Junior, (2006), é no século XVI, que a estatística passa a ter um

caráter mais científico, como pode observar em sua fala:

Inicialmente, no século XVI, pensada pelos ingleses como uma ciência políti-

ca, destinava-se a descrever características de um país, tais como população,

área, riquezas e recursos naturais. Deste papel histórico, origina-se a sua fun-

ção de caracterização numérica de uma série de informações populacionais.

Com esta abordagem, o termo é utilizado no plural, como as “estatísticas de

saúde”, as “estatísticas de mortalidade”, as “estatísticas do registro civil”,

entre outras.

No século XVIII, auge do período iluminista, onde se entende a razão como a

fonte de todo o conhecimento, e que teve como grande marco a Revolução

Industrial. Época dos pensadores, como Descartes, Newton, Locke, Voltaire,

Montesquieu, Rousseau, D’Alembert, entre outros, que buscavam uma ex-

plicação racional para o mundo e acreditavam por melhorias das condições

existenciais do homem. Época da consolidação de descobertas como o cál-

culo integral, de Newton e Leibniz, tais fatos passaram a adquirir uma feição

verdadeiramente científica.

Quem sabe, esse não foi o nascimento da Estatística?

Segundo contextos históricos, foi o economista alemão Godofredo Achenwall

em seus estudos e registros que inicia a nova ciência, que seria conhecida

como Estatística. A Estatística deixa de ser simples catalogação de dados

numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população) partindo de observações de parte deste todo (amostras).

Você sabia?

Godofredo Achenwall é considerado, para os alemães, o pai da Estatística

Moderna.

1.2 DefiniçãoPara muitos autores, podemos definir um conhecimento ou objeto atra-

vés da observação que fazemos. Assim é comum termos diferentes olhares

quando se trata de uma definição, porém essas diferenças são apenas de

ordem contextual. Vejamos algumas definições.

Figura 1.2: Godofredo AchenwallFonte: www.dipity.comc

Estatísticae-Tec Brasil 14

Para Crespo (2002), a Estatística é uma parte da Matemática aplicada que

fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação

de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Já para o dicionário Houaiss (2005), estatística é um ramo da matemática

que trata da coleta, da análise, da interpretação e da apresentação de mas-

sas de dados numéricos.

Como professor eu prefiro entender como uma metodologia (método/

modo/caminho) para realizar a coleta, classificação, apresentação, análise e

interpretação de dados para a tomada de decisões, já que a estatística se tor-

nou uma ciência devido a necessidade de registrar dados. Ou de modo bem

simplista, entender a Estatística como um ramo da Matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados coletados, visando à utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Parece meio confuso termos várias definições, não é mesmo?

Porém, a definição é algo particular, é como descrevemos o modo de enten-

dimento. Sendo assim cada indivíduo pode ter um olhar diferente sobre um

objeto em análise.

Bom, fiquem tranquilos que iremos estudar o assunto com mais propriedade

nas próximas aulas.

Outra questão importante é distinguir dados de informações. Entendemos

dados como algo real. Pode ser imagem, som, texto, letras, números, ou

seja, fatos em sua forma primária ou bruta. Já a informação é um conjunto

de dados (bruta) que tem algum significado para quem observa ou para o

detentor dentro de um determinado contexto.

Podemos dividir a estatística em duas partes, e de modo geral, entendê-las

separadamente: uma parte se preocupa com a coleta, organização e descri-

ção dos dados, e que chamamos de Estatística Descritiva; já a outra parte,

trabalha com a análise e interpretação desses dados, que chamamos de Es-tatística Indutiva ou também conhecida como Inferencial.

Em geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística pensam no

cálculo matemático; mas na verdade esquecem que ela tem como finali-

Estatística Indutiva ou Inferencial É a parte da estatística que se baseia nos resultados obtidos pela análise das amostras, pro-curando comportamentos, leis, que induzam ou infiram em toda a população. São as chamadas generalizações da amostra para a população em estudo.

e-Tec BrasilAula 1 – Estatística aplicada à logística 15

dade encontrar leis de comportamentos para todo um conjunto de dados.

Isso se afirma em Crespo (2002) que descreve: (...) o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Assim, a análise e interpretação dos dados estatísticos tornam possível diag-

nosticar comportamentos, problemas de processos, tanto em uma empresa

como a um conjunto de elementos com características comuns, uma tribo

indígena, por exemplo.

1.3 A Estatística na logística Atualmente, a estatística é usada na logística

em seus vários setores, pois não se pode tomar

decisões com base no “achismo” (qualitativa)

ou decisões com mera suposição instintiva.

Num mundo tão competitivo, dinâmico e rá-

pido, as decisões devem ser tomadas, quando

possível, sempre em cima de fatos, de dados ou

de elementos que justifiquem essas decisões.

Você já percebeu que na maioria das vezes esses fatos, são valores numéri-

cos que podem ser organizados e operados através do conhecimento espe-

cífico? Por exemplo, em estoques utilizamos a média de saída, entrada, des-

vios e cálculos de lotes econômicos de compra, assim como de segurança. Já

em cadeias de suprimentos, podemos levantar hipóteses através de cálculos

probabilísticos para um melhor gerenciamento. Se pensarmos em controle

e/ou qualidade temos várias aplicações de controle estatístico de qualidade.

Toda essa aplicação prática se dá por meio de sondagem, através de amos-

tras, onde as informações vão sendo coletadas.

1.4. Algumas aplicações da estatística em outras áreas

Além da aplicação em logística, temos outras áreas que utilizam bastante à

estatística. A princípio, citaremos apenas algumas, pois o uso se dá em quase

todas as esferas das ciências. Vejamos:

• Contabilidade: análise e avaliação de auditorias.

• Finanças: simulações de investimento.

• Marketing: pesquisa de mercado, de preço, de praça, de produtos, de

aceitação.

Pesquise no site do IBGE – http://www.ibge.gov.br –, dados

nacionais para obter as normas técnicas para apresentação

tabular de estatística brasileira, junto ao IBGE.

Figura 1.3: O mundo logísticoFonte: ©Franck Boston/Shutterstock


• Produção: controle de qualidade.

• Economia: “previsões” da economia.

• Matemática: provisões, comportamentos e leituras dos padrões com os

números.

ResumoBreve relato histórico da evolução da estatística. Vimos algumas vertentes

que definem a estatística ora como ciência, ora como um instrumento

matemático para auxiliar na tomada de decisão, e por fim direcionamos o

uso da estatística no campo logístico e sua atuação nas demais áreas do

conhecimento.

Atividades de aprendizagem1. Conforme o que foi estudado nesta aula, defina o que você entendeu

por estatística.

2. Como era feito na antiguidade o controle das informações? Pesquise e

discuta com seus colegas.

3. Faça uma pesquisa em arquivos eletrônicos (internet) ou em bibliografias

impressas (livro) para determinar diferentes definições da “Estatística”.

Depois discuta no fórum com os colegas se as definições encontradas

apresentam coerência.

e-Tec BrasilAula 1 – Estatística aplicada à logística 17

e-Tec Brasil19

Aula 2 – Método experimental x método estatístico

Nesta aula definiremos o que é método, suas diferenças e as fases que

compõem um método estatístico.

2.1 IntroduçãoSistematicamente o conhecimento sempre resultou da observação e do

estudo. A epistemologia explica isso, embora, sabemos que muito desse

conhecimento, já foi descoberto por acaso. Hoje em dia, a verdade é es-

tabelecida por processos científicos, testados sistematicamente, ou seja,

analisados com muito cuidado.

Para Macedo e Castanheira (2008), atualmente, qualquer acréscimo de co-

nhecimento é fruto da observação e do estudo do fenômeno que o ca-

racteriza. A partir desse estudo são desenvolvidos processos científicos que

resultarão em conclusões sobre o fato que está sendo estudado.

Sendo assim, o modo sistemático é explicado por uma metodologia, que

para você, é entendido como caminho e/ou processo, modo de fazer alguma

coisa (pesquisa, descoberta, trabalho) através de regras bem definidas.

Na visão de Crespo (2002), o método é um conjunto de meios dispostos

convenientemente para se chegar a um fim. Sendo assim, vários são os mé-

todos existentes para validar um conhecimento. Já para Filho (2006), méto-

do pode ser definido como um conjunto de meios, processos e instrumentos

usados pelos cientistas e estudiosos para formularem seus princípios, teorias

e normas.

Com base nessas definições, podemos resumir que para cada processo, exis-

te um método. Sendo assim, temos:

• Método científico: centraliza suas atenções nas observações;

• Método experimental: centraliza na realização e nas respostas das ex-

periências;

• Método estatístico: se prende no relacionamento dos fatos de ordem

quantificáveis, isto é, que podem ser contados ou enumerados.

Epistemologia ou teoria do conhecimentoÉ um ramo da filosofia que trata dos problemas filosóficos relacionados com a crença e o conhecimento. É o estudo científico da ciência (conhecimento), sua natureza e suas limitações. A epistemologia estuda a origem, a estrutura, os métodos e a validade do conhecimento, motivo pelo qual também é conhecida como teoria do conhecimento.Fonte: Dicionário eletrônico Houaiss

Como estamos iniciando nossos estudos conheceremos, primeiramente, os

métodos experimentais e estatísticos. O método experimental consiste em

manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa

de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. É um

método muito aplicado no estudo da Física, da Química, na psicologia, etc.,

já foi também utilizado muito na medicina.

Já o método estatístico não mantém nenhuma causa especifica, ou seja,

deixa todas essas causas variando, porém registra todas as variações resul-

tantes delas, e procura determinar no resultado final, qual foi à influência

de cada uma delas sobre o resultado final. É muito utilizada no campo das

ciências sociais. Por exemplo, na determinação das causas que definem o

preço de uma mercadoria. Vários são os fatores, tais como demanda e ofer-

ta, sazonalidade, gosto do produto em função do consumidor, etc.

O método passo-a-passo:

Estratégia de rompimento

Passo 1:Medição

Passo 2:Análise

Passo 3:Melhoria

Passo 4:Controle

Caracterização

Otimização

Estratégia de rompimento:1. Selecione um problema.2. Defina o padrão de desempenho.3. Valide um sistema de medição.4. Estabeleça a capacidade.5. Defina os objetivos de desempenho.6. Identifica as fontes de variação.7. Relacione as causas potenciais.8. Descubra a relação entre as variáveis.9. Estabeleça as tolerâncias operacionais.10. Valide um sistema de medição.11. Estabeleça a capacidade.12. Implemente os processos de controle.

Figura 2.1: Métodos – DMAIC/6 SIGMAFonte: www.estatcamp.com.br

2.2 Fases do método estatísticoVejamos cada uma das fases do método estatístico:

• Definição do problema

Determinação do objetivo da pesquisa, ou seja, definir com clareza o que se

pretende pesquisar. Qual é a população ou amostra a ser pesquisada? Quais

são as características mensuráveis (medidas) que se quer pesquisar?

• Delimitação do problema

É onde respondemos as perguntas: onde será realizada a pesquisa? Qual o

local? Em que época? Com que objetos?


• Planejamento

Consiste na determinação do procedimento necessário para se fazer a pes-

quisa. A pesquisa se apropria um pouco da delimitação, embora seja muito

mais abrangente, pois, como sabemos é preciso planejar o trabalho a ser

realizado, tendo em vista o objetivo que se pretende atingir. Nesta fase, deve

se levantar inúmeras informações sobre o objeto do estudo. Elencamos al-

gumas perguntas mais comuns. Veja: Que dados deverão ser obtidos? Como

obtê-los? O que será pesquisado? Quem participará da pesquisa? Em que

setores geográficos serão feita a pesquisa? Qual o grau de precisão exigido

na pesquisa? Qual o tipo de amostragem? Qual o tamanho da amostra?

Quais materiais serão necessários para realizar a pesquisa? Qual o tempo

disponível para fazer a pesquisa? Qual o custo previsto? Qual a verba desti-

nada ao projeto?

• Coleta de dados

Após a delimitação do problema, com a determinação das características

(mensuráveis) do fenômeno que se quer pesquisar, é iniciada a coleta de dados numéricos. Essa coleta consiste na obtenção dos dados, seja por

meio de questionário, observações, de entrevistas.

Existem várias ferramentas de coletas de dados, a saber: direta e indireta.

a) Coleta direta: informativos de registro obrigatório, tais como registros de

nascimentos, de casamentos, prontuários médicos, de tabelas de controles

ou dados obtidos pelo próprio pesquisador através de questionários.

b) Coleta indireta: quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta).

• Crítica dos dados

Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente analisados, procurar pos-

síveis falhas e imperfeições, a fim de não cometer erros grosseiros, que pos-

sam alterar sensivelmente os resultados.

Por exemplo, não podemos em uma pesquisa considerar um questionário

que seja respondido pela metade. Temos que separar os dados por meios de

contagem, por tipo, etc.

e-Tec BrasilAula 2 – Método experimental x método estatístico 21

• Apuração dos dados

É o processamento dos dados obtidos, mediante critérios de classificação.

Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. Também conhecida como

tabulação dos dados.

• Exposição dos resultados

Os dados são apresentados em forma de tabelas ou gráficos, com suas in-

formações pertinentes de modo claro, objetivo e verídico da pesquisa, tor-

nando mais fácil a observação daquilo que está sendo objeto de estudo, ou

seja, do tratamento estatístico.

• Análise dos resultados

É o momento em que se tiram conclusões do todo (população) a partir de

informações fornecidas por parte da amostra. Tais análises estão ligadas as

medidas que permitem descrever o que está acontecendo na pesquisa com

o grupo ou objeto de estudo. Fazemos aqui generalizações do comporta-

mento desse grupo.

ResumoNesta aula vimos a definição da palavra método, a diferença entre métodos

e suas respectivas fases.

Atividades de aprendizagem1. Relacione as colunas abaixo:

a) Método

b) Fases do método estatístico

c) Método experimental

d) Exposição dos dados

)( Coleta direta

)( Conjunto de meios para se

chegar a um fim

)( Gráficos

)( Realizações de experiências

2. Em que duas grandes áreas a ciência Estatística pode ser dividida? Des-

creva sucintamente do que trata cada uma destas áreas.


3. Selecione um trabalho (relatório de pesquisa, artigo científico na sua

área, etc.) e procure identificar cada uma das fases do método estatístico.

e-Tec BrasilAula 2 – Método experimental x método estatístico 23

e-Tec Brasil25

Aula 3 – População e amostra

Nesta aula definiremos o que vem a ser amostra e população, e apresen-

taremos as diferenças entre variáveis qualitativas das quantitativas.

3.1 Universo estatísticoSabemos que a Estatística tem por finalidade estudar os fenômenos coletivos

e as relações existentes entre eles. Entendemos por coletivo, a reunião de

um grupo de pessoas ou objetos, com características semelhantes, e com

um grande número de elementos, os quais na estatística passa a se chamar

população ou universo.

Crespo (2002) define como sendo o conjunto de entes (pessoas, coisas) por-

tadores de, pelo menos, uma característica em comum denominada de po-pulação estatística (ou universo estatístico). Já para Castanheira (2010),

população é o conjunto de elementos que desejamos observar para obter-

mos determinados dados. A seguir, alguns exemplos:

– Estudantes, pois, constituem uma popula-

ção; apresentam pelo menos uma caracterís-

tica comum: são os que estudam.

– Mulheres que fazem musculação, constituem

uma população, pois apresentam pelo me-

nos uma característica comum: são os que se

exercitam em academias.

– Produtos entregues na região sul, constituem

uma população, pois apresentam pelo me-

nos uma característica comum: vão para a

região sul.

Como em qualquer estudo ou análise estatística, temos que pesquisar uma

ou mais características dos elementos de alguma população. Esta caracte-

rística deve estar perfeitamente definida. Segundo Crespo (2002, p.19) isto

se dá quando, considerado um elemento qualquer, podemos afirmar, sem

ambiguidade, se esse elemento pertence ou não à população. É necessário,

pois, existir um critério de constituição da população, válido para qualquer

pessoa, no tempo ou no espaço.

Figura 3.1: PopulaçãoFonte: ©Andrea Danti/Shutterstock

Por isso, se fizéssemos uma pesquisa sobre produção de peças defeituosas,

teríamos primeiramente que definir quais seriam as peças que desse univer-

so, isto é, peças que atualmente estão sendo produzidas, ou incluir também

as que já foram e apresentaram defeitos? É claro que a solução do problema

vai depender de cada caso em particular.

A população pode ser classificada também em finita ou infinita. Entendemos

população finita, aquela que conhecemos o seu número total de elemen-

tos. Por exemplo: estamos analisando o aproveitamento nas entregas de um

determinado produto em 1000 municípios. Veja que sabemos exatamente

quantos municípios estão sendo observados. Logo, a população é de 1000,

ou seja, tem um fim, um limite, portanto é finita. No entanto, se a população

possui um número infinito de elementos, ela é uma população infinita.

Exemplo: satisfação dos clientes que utilizam compras via internet. É impos-

sível mensurar um único número para essa variável.

Na maioria das vezes, por dificuldade de atender todo o universo, impos-

sibilitando seu controle ou inviabilizando-o economicamente, ou ainda em

função do tempo, limitamos as observações referentes a uma determinada

pesquisa a apenas uma parte da população. A essa parte chamamos de

amostra. Logo, podemos definir amostra como sendo parte de uma popula-

ção que se quer observar e levantar características.

Para Crespo (2002), a amostra é um subconjunto finito de elementos extra-

ídos de uma população. Já Milone (1993, p.16) define amostra como um

“subconjunto, representativo ou não, da população em estudo. Essa repre-

sentatividade da amostra ocorre quando ela apresenta as mesmas caracte-

rísticas gerais da população da qual foi extraída”.

Você viu que a definição depende muito do olhar da pessoa que define. Ex-

perimente você definir sob sua ótica, o que é uma amostra?

Para facilitar, vejamos o exemplo. Em época de eleições, sejam elas muni-

cipais, ou não, é comum vermos pesquisa de televisão ou jornais, que se

utiliza de uma amostra de 1000 eleitores. Com base nos resultados, os

responsáveis pela pesquisa formulam conclusões acerca da população de

todos os milhares de eleitores em questão, para saber quem tem a preferên-

cia eleitoral.


Números naturais

População Amostra

1,2,3,4,5

Amostragem aleatória

Inferência estatística

Figura 3.2: População e amostraFonte: Elaborado pelo autor

3.2 Tipos de variáveisEm matemática entendemos variável como sendo o valor desconhecido de

um número que varia; já na estatística, a variável está associada à caracterís-

tica de interesse dos elementos que está sendo estudado, pesquisado, sejam

eles, pessoas ou objetos.

Os dados ou elementos são os fatos e os números coletados, analisados e

interpretados; são os resultados possíveis para a variável que se quer achar.

Podemos definir alguns exemplos de variáveis, a saber: nome, sexo, peso,

comprimento, quantidade, entre outros.

Figura 3.3: Variáveis quantitativas e qualitativasFonte: http://img20.imageshack.us

e-Tec BrasilAula 3 – População e amostra 27

As variáveis podem ser:

a) Qualitativas – são aquelas cujo valores são expressos por atributos,

como sexo (masculino ou feminino), estado civil (casado, viúvo, separa-

do, solteiro, divorciado), itens inspecionados (conformes ou não confor-

mes), itens inspecionados (defeituosos ou não-defeituosos).

As variáveis qualitativas são subdivididas em:

• Nominais: quando não têm uma ordem, ou seja, uma hierarquia. A va-

riável sexo, por exemplo, tanto faz escrever - em um questionário de

pesquisa - quem vem primeiro, se é masculino ou feminino, ou vice versa.

• Ordinais: quando possuem ordenamento, ou seja, tem uma ordem a ser

seguida. Por exemplo, a variável escolaridade sempre vem primeiro: ensi-

no fundamental incompleto, ensino fundamental completo; depois vem

ensino médio incompleto, ensino médio completo; e por último, superior

incompleto, superior completo, mestrado, doutorado.

b) Quantitativas – são aquelas cujo valores são expressos em números ,

por exemplo, a idade das pessoas, a altura de determinados produtos, o

volume, etc.

Elas são subdivididas em:

• Contínuas: quando o valor numérico é um valor decimal, com vírgula,

sempre associada à medição. Ex. salário, altura, diâmetro das peças ana-

lisadas pelo controle de qualidade, etc.

• Discretas: são valores numéricos inteiros, utilizados nas contagem. Ex.

número de alunos do polo, quantidade de peças defeituosas, quantidade

em estoque, etc.

ResumoPopulação – um conjunto que admite característica de um grupo de pesso-

as ou objetos na sua totalidade.

Amostra – um subconjunto da população.

Variáveis – quantitativas (discretas e contínuas) – qualitativas (nominais e

ordinais).


Atividades de aprendizagem• Conhecendo a população pesquisada, classifique as variáveis em quali-

tativas (nominais ou ordinais) ou quantitativas (contínuas ou discretas).

Observe o exemplo dado:

População: peças produzidas por certa máquina

Variável: diâmetro externo.

Classificação: ?

Trata-se de uma medida que é numérica e pode variar decimalmente, logo,

é quantitativa e contínua.

1. Agora é a sua vez de responder.

a) População: bibliotecas da sua cidade

Variável: número de volumes (livros/obras)

Classificação: .

b) População: autopeças

Variável: preço das peças

Classificação: .

c) População: modelos

Variável: cor dos olhos

Classificação: .

d) População: uma caixa com 20.000 parafusos

Variável: comprimento dos parafusos

Classificação: .

I) a) quantitativa contínua; b) quantitativa discreta; c) quantitativa discreta; d) qualitativo nominal; e) quantitativa discreta.

e-Tec BrasilAula 3 – População e amostra 29

2. Identifique cada número como discreto ou contínuo, completando a la-

cuna:

a) Cada barra de chocolate tem 16,13mg de cacau

(discreto/contínuo).

b) O velocímetro de um automóvel indica uma velocidade de 80km/h

(discreto/contínuo).

c) Uma pesquisa efetuada com 1.000 pessoas indica que 50 delas praticam

atividades esportivas regularmente. (discre-

to/contínuo).

d) Das 1.000 peças de televisores digitais enviadas a um comerciante, 12

retornam com defeitos elétricos. (discreto/

contínuo).

II) a) contínuo; b) discreto; c) discreto: d) discreto

Anotações


e-Tec Brasil31

Aula 4 – Técnicas de amostragem

Nesta aula iremos conhecer as técnicas de amostragem mais utilizadas na

estatística descritiva.

4.1 Separando uma amostraFundamentalmente, o processo pelo qual são estudadas as características

de alguns fenômenos da população, através da amostra, é denominado de

amostragem.

Essa amostragem pode ser a probabilística ou não probabilística. É deno-

minada amostragem probabilística, quando todos os elementos da po-

pulação têm a mesma probabilidade de serem sorteados ou selecionados.

Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de

ser escolhido, garantindo à amostra o caráter de representatividade, e isto é

muito importante, pois nossas conclusões referentes à população vão estar

baseadas nos resultados obtidos nas amostras da população.

Devemos garantir que a amostra seja selecionada por processos adequados

e criteriosos. Caso contrário, o estudo poderá levar a resultados errados,

tornando a pesquisa não representativa.

A amostragem probabilística também conhecida como amostragem aleató-

ria, garante o acaso na escolha, ou seja, cada elemento tem a mesma chance

de pertencer à amostra, de ser selecionado.

Os três tipos de amostragem probabilísticos ou aleatórios mais utilizados

são: amostragem aleatória simples, amostragem proporcional estratificada e

amostragem sistemática.

Embora os tipos de amostragem acima sejam os mais utilizados, outros tipos

podem ser evidenciados conforme sua necessidade e facilidade em decor-

rência da pesquisa.

Vamos conhecer os tipos de amostras probabilísticas mencionados acima.

Amostragem É o estudo das relações existentes entre a população e as amostras dela extraídas. É o conjunto de técnicas utilizadas para a seleção de uma amostra.

4.1.2 Amostragem aleatória simplesEste tipo de amostragem é equivalente a um sorteio. Para Crespo (2002), a

amostragem aleatória pode ser realizada numerando-se a população de

1 a N e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qual-

quer, n números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos

pertencentes à amostra.

Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa de 20% para a pesqui-

sa de estatura de 50 alunos de uma escola. Primeiramente, numeramos os

alunos de 01 a 50. Em segundo lugar, escrevemos os números, de 01 a 50,

em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de um saco ou

urna. Agitamos, sempre para misturar bem os pedaços de papel e retiramos,

um a um, dez (10) números que formarão a amostra.

Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio

torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, utiliza-se de uma tabela de

(figura 4.1) números aleatórios.

Assim, para o nosso exemplo, considerando a 18a linha, tomamos os núme-

ros de dois algarismos, obtendo:

Figura 4.1: Tabela de números aleatóriosFonte: http://tic4-39188.blogspot.com.

4.1.3 Amostragem proporcional estratificadaMuitas vezes a população se divide, em subpopulações, subconjuntos ou

estratos. Dessa forma, a amostragem estratificada seleciona quantos ele-

mentos da amostra serão retirados de cada estrato.


Quando a população se divide em estratos, é interessante que o sorteio dos

elementos que irão compor a amostra leve em consideração os estratos, ou

seja, obtêm-se os elementos da amostra de modo proporcional ao número

de elementos de cada estrato, consistindo assim em quantos elementos da

amostra serão retirados de cada estrato.

A determinação dos elementos dessa amostra pode ser feita de vários mo-

dos, entre elas destacamos a uniforme e a proporcional. A uniforme se ca-

racteriza por um sorteio que estabelece um número igual de elementos em

cada estrato; já a proporcional, se resume em obter o número de elementos

sorteados em cada estrato pela proporção, ou seja, o número de elementos

sorteados da amostra deve ser proporcional ao número de elementos dos

estratos. Vejamos a figura 4.2 que resume bem isso!

População

70%

10%

20%

Amostra

70%

10%

20%

Figura 4.2: Amostra estratificadaFonte: Adaptado de www.mbi.com.br

Exemplo: Se considerarmos, por exemplo, que, de 70 alunos, 40 sejam me-

ninas e 30 meninos, vamos obter amostra proporcional estratificada.

Temos dois estratos (sexo masculino e feminino) se queremos uma amos-

tra de 10%, teremos: três homens (10% de 30) e quatro mulheres (10%

de 40).

4.1.4 Amostragem sistemáticaEsse sistema é igual ao da amostragem aleatória simples, porém os elemen-

tos da população já se encontram ordenados. São exemplos: os prontuários

médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as linhas de produção de

um fábrica, etc.

Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser

feito por um sistema imposto pelo pesquisador ou utilizando de regras de

escolha, pode-se indicar a regra da determinação por divisão. Essa regra con-

e-Tec BrasilAula 4 – Técnicas de amostragem 33

siste em achar um coeficiente de ordenação ou de escolha. Suponha que K,

seja o coeficiente de escolha, podemos determiná-lo pela divisão do número

de elementos (N) pelo número tamanho da amostra (n). Observe:

K = Nn

Onde:

N tamanho da população

n tamanho da amostra

K coeficiente de escolha

Vamos entender esse conceito através de um exemplo:

Uma indústria produz 900 brinquedos de artefatos de madeira por dia, dos

quais desejamos obter uma amostra formada por 50 brinquedos. Podemos

usar o seguinte procedimento: como, K = Nn

= 90050

= 18 escolhemos por

sorteio casual um número de 1 a 18 (inclusive), o qual indicaria o primeiro

elemento (brinquedo) sorteado para a amostra; os demais elementos seriam

periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número sorteado

fosse o sétimo brinquedo produzido (7º), tomaríamos como segundo brin-

quedo para a amostra o 25º produzido, e assim por diante, até completar os

50 brinquedos da amostra.

As amostras não probabilísticas são técnicas de amostragem em que a esco-

lha é deliberada dos elementos da amostra. Elas são também utilizadas devi-

do a sua simplicidade, ou devido a impossibilidade de se obterem amostras

probabilísticas. Para Crespo (2007), em muitos casos os efeitos da utilização

de uma amostra não probabilística podem ser equivalentes ao de uma amos-

tragem probabilística.

São amostragens não probabilísticas, as técnicas de:

a) Amostragem por conveniência ou acidental.

b) Amostragem intencional ou por julgamento.

c) Amostragem por cotas.


4.2 Modelo de cálculo aproximado para determinação do tamanho de uma amostra qualquer

Embora a definição do tamanho de uma amostra seja bastante subjetiva,

pois depende muito do pesquisador, cabe a ele responder a pergunta: Qual é o tamanho da amostra que eu preciso?

O cálculo do tamanho da amostra deve fazer parte de qualquer projeto de

pesquisa. O objetivo principal é estabelecer qual o número de indivíduos

que necessitam ser estudados, para que se tenha uma representatividade da

população.

Uma forma aproximada para determinar o tamanho de uma amostra, obtida a partir de uma amostragem aleatória, é determinada pelo cálculo

matemático abaixo. Desde que se conheça o erro amostral e o tamanho da

população. Fórmula para a primeira aproximação do tamanho amostral:

no = 1eo

2

Onde:

no tamanho da amostra (1a aproximação)

eo2 erro amostral

Você sabia?

Sobre o tamanho de uma amostra:

Silveira Júnior et. al. (1980), ao dimensionar uma amostra, diz que se

necessita do conhecimento prévio da variância da população e do grau

de precisão desejado, mas quando não se dispõem de informações sobre

esta variabilidade, deve-se realizar uma pré-amostragem, em pequena

escala para que se possa obter as estimativas dos parâmetros popula-

cionais (média e variância) que serão usados na obtenção do melhor

tamanho da amostra, pois quanto maior o tamanho amostral, maiores

serão o tempo e os gastos despendidos com a amostragem. Por outro

lado, amostras pequenas podem resultar em menor precisão, o que é

indesejável.


Após achar o, no , aplica-se um fator de correção, o qual leva em conta o

tamanho da população:

n = N . no

N + no

Onde:

no tamanho da amostra (1a aproximação)

n tamanho da amostra final

N tamanho da população

Exemplo:

Em uma empresa que contém 2.000 colaboradores, deseja-se fazer uma

pesquisa de satisfação. Quantos colaboradores devem ser entrevistados para

tal estudo?

Resolução:

N = 2.000

Definindo o erro amostral tolerável em 2%

E0 = 0,04

n0 = 1

(Eo)2

n0 = 1

(0,04)2

n0 = 625

n = N . no

N + no

n = 2.000 . 625

2.000 + 625

n = 1.250.000

2625

n = 476,19 que arredondado vai para 476 colaboradores, esse seria o ta-

manho da amostra, tendo uma representatividade de 23,8% da população.


Para uma melhor fixação, observe o exercício resolvido abaixo, e depois resolva a alternativa 5 utilizando o tipo de amostragem sistemática.

Uma linha de produção de uma fábrica de parafusos produz 1.000 peças

por turno. Como você obteria uma amostra correspondente a 2% das peças

para realização de teste de controle de qualidade?

Calculamos 2% de 1.000 = 20, agora utilizamos a expressão K = Nn

Substituindo temos, K = 1.00020

= 50.

Agora, separamos os parafusos de 50 em 50, partindo do primeiro: 50, 100,

150, 200, 250, ...1.000, totalizando assim 20 parafusos para nossa amostra.

(Fonte: http://www.datalyzer.com.br/site/suporte/administrador/info/arquivos/info60)

Resumo• Tipos de técnicas de amostragem probabilística: amostragem aleatória

simples; amostragem proporcional estratificada; amostragem sistemática.

• Determinação do tamanho de uma amostra: no = 1eo

2 e n =

N . no

N + no

.

Atividades de aprendizagem1. Identifique nas alternativas abaixo, o tipo de amostragem utilizado.

a) Ao escalar um júri, o tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente

4 pessoas brancas, 3 morenas e 4 negras.

Resposta: .

b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões

separados, mistura e extrai 10 nomes.

Resposta: .

c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com pessoas que estão na

fila de espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma

a cada 10 pessoas da fila.

Resposta: .

a) Amostragem estratificada; b) Amostragem simples ao acaso; c) Amostragem sistemática. Se a escolha dessa fila não partiu de nenhum tipo de amostragem probabilística, poderíamos até considerar que a amostragem é inicialmente por conveniência (escolha da fila), a qual foi então seguida por uma amostragem sistemática.


2. Se uma população se encontra dividida em quatro estratos (N), com ta-

manhos N1= 90, N2 = 120, N3 = 60 e N4 = 480 e temos possibilidade de

retirar no total 100 elementos para compor a amostras, quantos elemen-

tos devem ser retirados de cada estrato?

Resposta: a) n1=12 ; b) n2 = 16 ; c) n3 = 8 ; d) n4 = 64

3. Numa população que apresenta grande variação, em relação a certa ca-

racterística em estudo, qual a técnica de amostragem mais adequada?Resposta: Amostragem estratificada, sendo que em cada estrato tem que ter a características homogêneas, no que se deseja estudar.

4. Uma determinada empresa possui 240 funcionários em seu quadro.

Obtenha uma amostra representativa dessa população, que corresponda

a 20%.

Resposta: 48 funcionários sorteados pela amostragem simples.


5. Em uma fábrica de luminárias existe um compartimento com 350 lâm-

padas, numeradas em ordem crescente. Obtenha uma amostra de 18

lâmpadas.

Resposta: Utilizamos a amostragem sistemática, determinando K = N/n, temos K = 19,44 que arredondado pode ser 20. Listamos as 20 primeiras lâmpadas e sorteamos uma, depois escolhemos as outras 17 amostras faltantes pulando de 20 em 20.

6. Obter o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, admitindo

alto grau de confiança, erro amostral de 5,5%, supondo que a popula-

ção tenha:

• 550 elementos

• 27000 elementos

Resposta: Para 550º tamanho de N= 206,48 e para 27000 o tamanho de N = 326,57


e-Tec Brasil41

Aula 5 – Tabelas

Nesta aula iremos conhecer os elementos considerados importantes para

a elaboração de uma tabela, bem como diferenciar as tabelas pelas suas

variáveis.

5.1 Organizando os dadosAs tabelas são formas retangulares de apresentar dados de modo agrupado

por linhas e colunas. Seu objetivo é resumir valores, que podem ser apresen-

tados por uma ou mais variáveis. Para começarmos a construir as tabelas é

essencial levar em consideração algumas informações imprescindíveis que

devem conter nas tabelas. Observe abaixo:

A tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Ela é com-

posta por:

Produção de CaféBrasil – 1991 a 1995

Anos Produção (1.000 ton)

1991 2.636

1992 2.666

1993 2.122

1994 3.750

1995 2.007

Fonte: IBGE

Título

Colunanumérica

Linhas

Cabeçalho

Corpo

Coluna indicadora

Rodapé

Figura 5.1: Componentes de uma tabelaFonte: Adaptado de Estatística fácil, 2002.

5.2 Séries estatísticasÉ a denominação que se dá as tabelas que têm critérios distintos que as

específicas e as diferencia. Segundo Castanheira (2010), as séries estatísti-

cas se diferenciam principalmente, pelas variações dos seguintes elementos:

tempo, local e fato (fenômeno), fornecendo assim informações rápidas e

seguras.

Vejamos algumas delas:

• Séries históricas

Também chamadas de temporal ou cronológicas, descrevem os valores da

variável em função do tempo, permanecendo fixo as variáveis locais e o fe-

nômeno (ou fato). Os dados são produzidos ao longo do tempo.

Tabela 5.1: Série cronológica

Custo de produção da Empresa Barbosa S/A Ltda.Ano Valores (em R$)

1993 120.000

1994 124.000

1995 118.000

1996 132.000

Fonte: Elaborado pelo autor

• Séries geográficas

Chamadas também de espaciais ou territoriais. Têm como característica a

variação do local, ou região. As variáveis tempo e fato permanecem sempre

fixas. Vejamos o exemplo.

Tabela 5.2: Série geográfica

Vendas previstas por região – RJ / 1995Mercado Vendas (t/ano)

Petrópolis 20.000

Teresópolis 35.000

Três Rios 18.000

Volta Redonda 42.000

Fonte: FGV Management

• Séries específicas

Leva em consideração a característica do fato ou fenômeno, considerando

o tempo e o local de modo fixo. Isso que dizer que, leva em consideração

os dados segundo as suas especificidades de ocorrência ou categorias. São

conhecidas também como séries categóricas ou de qualidade.

Exemplo: Número de candidatos ao vestibular em uma Universidade do

Estado do Paraná – 2010 na área de Ciências Sociais.


Tabela 5.3: Séries específicas

ÁREAS OFERTADAS N° DE CANDIDATOSContabilidade 5.400

Economia 3334

Administração 7985

Ciências Atuárias 3569


• Séries conjugadas ou de dupla entrada ou mistas

Quando temos a conjunção de duas séries estatísticas, essa conjunção se dá

entre as séries temporais, geográficas e especificas, em uma única tabela.

Nesse tipo série, ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal

(linha) e uma vertical (coluna).

Tabela 5.4: Série conjugada

Terminais telefônicos em serviço1991 - 1993

Regiões 1991 1992 1993

Norte 342.938 375.658 403.494

Nordeste 1.287.813 1.379.101 1.486.649

Sudeste 6.234.501 1.379.101 1.486.649

Sul 1.497.315 1.608.989 1.746.232

Centro-oeste 713.357 778.925 884.822

Fonte: Ministério das comunicações

• Distribuição de frequência

É uma série particular que apresenta os resultados de uma pesquisa através

de uma tabela que mostra a frequência (o número de vezes) de ocorrência

de cada resultado. Ela pode ser elaborada com ou sem intervalos. Veremos

mais adiante essa série em especial, por enquanto podemos visualizar a ta-

bela 5.5 como exemplo prático.

Tabela 5.5: Distribuição de frequência com intervalos

Diâmetros (em cm.), de certa peça circular produzida por uma indústriaDiâmetro (cm) f fr fa

1,810 1,818 5 0,10 5

1,818 1,826 5 0,10 10

1,826 1,834 11 0,22 21

1,834 1,842 13 0,26 34

1,842 1,850 7 0,14 41

1,850 1,858 5 0,10 46

1,858 1,866 4 0,08 50

∑fi = 50 ∑fri = 1,00


e-Tec BrasilAula 5 – Tabelas 43

ResumoNesta aula vimos:

• Tabelas – forma tabular de apresentar dados.

• Séries estatísticas – são tabelas com especificidades estatísticas.

• São séries estatísticas – a série temporal, geográfica, específica, mista e a

distribuição de frequência.

Atividades de aprendizagem1. Confeccione uma tabela, que contenha todos os elementos essenciais

para sua identificação.

2. Analise em jornais ou em revistas, os tipos de tabelas que podem ser

identificados como séries estatísticas.


e-Tec Brasil45

Aula 6 – Gráficos

Nesta aula veremos alguns tipos de gráficos, bem como sua importância

na apresentação dos dados.

6.1 Apresentando os gráficosO gráfico é uma forma de apresentar dados estatísticos. Um de seus objeti-

vos é uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os

gráficos falam mais rápido à compreensão do que as séries.

Para Castanheira (2010), a representação gráfica deve obedecer três critérios:

• Simplicidade – ser despoluído de detalhes de importância secundária,

tais como traços desnecessários que possam levar o observador a uma

análise errônea.

• Clareza – possibilitar correta interpretação dos valores representativos

do estudo.

• Veracidade – expressar a verdade da pesquisa ou de suas variáveis.

Segue uma lista dos gráficos de linhas, barras e setores mais utilizados, po-

rém não queremos esgotar o assunto, que requer muitos modelos e for-

matos. Sua criação se dá pelos softwares estatísticos ou pelo próprio Excel.

Vejamos:

• Gráfico em linha ou em curva: são os que normalmente representam

as séries temporais.

45.000

40.000

35.000

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

0

US$ mil

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Fonte: MDIC/SECEX

PARANÁEXPORTAÇÕES DE CARNE SUÍNA

Figura 6.1: Gráfico em linha ou em curvaFonte: MDIC/SECEX

• Gráfico em colunas ou em barras: são utilizados em séries geográficas

e específicas.

18,016,014,012,010,08,06,04,02,00,0

%

Fonte: MDIC/SECEX

PARANÁEXPORTAÇÕES DE CARNE BOVINA

PRINCIPAIS MERCADOS – 2001

Figura 6.2: Gráfico em colunas ou em barrasFonte: MDIC/SECEX

Espa

nha

Isra

el

Hol

anda

Ale

man

ha

Ará

bia

Saud

ita

Hon

g Ko

ng

Itál

ia

Cing

apur

a

Fran

ça

Rein

o U

nido

Out

ros

• Gráfico em setores: (pizzas) é utilizado para dados em percentuais; usa-

do também em séries geográficas, específicas e mistas.

EXPORTAÇÕES PARANAENSES 1.o SEMESTRE DE 2002

Figura 6.3: Gráfico em setoresFonte: MDIC/SECEX

Complexo SojaMadeiraCarnesMilhoPapelCaféCouroAçúcarMaterial de TransporteOutros

6.2 HistogramaÉ a representação gráfica das distribuições de frequências. Uma ferramenta

para a análise e representação de dados quantitativos, agrupados em clas-

ses de frequência (com intervalos) que permite diferenciar a forma, o ponto

central e a variação da distribuição, além de outros dados como amplitude e

simetria na distribuição dos dados. O histograma faz parte das ferramentas

básicas da qualidade que podem ser aplicadas em situações reais e menos

complexas.


Freq

uenc

ia

Característica da medida

Figura 6.4: HistogramaFonte: http://mathforum.forumais.com/

ResumoVimos nesta aula os critérios de simplicidade, clareza e veracidade para a

construção de um gráfico. Você conheceu também os tipos de gráficos: de

linha, de barras, de setores e o histograma.

Atividades de aprendizagem• Utilize as séries da aula 5 para fazer gráficos com a ferramenta Assisten-

te Gráfico do Excel.

Anotações

e-Tec BrasilAula 6 – Gráficos 47

e-Tec Brasil49

Aula 7 – Dados, rol, frequência e tabulação

Nesta aula você aprenderá a determinar os conceitos de dados, rol,

frequência e dados tabulados.

7.1 Organizando os dadosEntendemos por dados, os elementos (objetos) da pesquisa estatística, os

quais podem ser qualitativos (atributos) ou quantitativos (números), como

já vimos.

Esses dados são chamados de brutos, pois ainda não sofreram nenhum tipo

de organização para serem usados. Vejamos um exemplo:

Suponha que você fez uma pesquisa de opinião querendo saber sobre a

satisfação no atendimento de um funcionário do comércio X. Ao recolher

esse questionário, você não se preocupou em organizá-lo. Esse tipo de pro-

cedimento é entendido como sendo dados brutos. No momento em que os

dados brutos são organizados por ordem alfabética ou numérica, passo a

dar um tratamento mais adequado.

Em se tratando de pesquisa quantitativa, a partir do momento que ordena-

mos numericamente, em ordem crescente, decrescente, ou outra condição

qualquer, criamos uma relação de ordenamento, que chamamos de Rol.

Observe o exemplo:

Um professor da disciplina de controle e armazenamento de materiais, aplica

um teste para 30 alunos. Esse professor lista em uma planilha (poderia ser

uma folha de caderno),as notas dos alunos, como podemos ver:

70 – 60 – 80 – 90 – 60 – 50 – 70 – 40 – 60 – 70 – 90 – 80 – 70 – 100 – 40 –

30 –40 – 40 – 50 – 60 – 50 – 60 –100 – 70 – 80 – 60 – 60 – 50 – 80 – 90.

A essa relação chamamos de dados brutos. Porém percebemos que essa

relação não nos permite tirar maiores conclusões.

RolEnumeração um tanto minuciosa; catálogo, lista, relação, designação de coisas, quantias ou circunstâncias, segundo determinada ordem, para registro, fixação ou recordação.Fonte: dicionário Houaiss, 2010.

Vamos melhorar essa relação colocando em ordem: 30 – 40 – 40 – 40 – 40 –

50 – 50 – 50 – 50 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 –70 – 70 – 70 – 70 –

70 – 80 –80 – 80 – 80 – 90 – 90 – 90 – 100 – 100. Você percebeu as dife-

renças?

7.1 FrequênciasEntendemos por frequência a quantidade de vezes que um dado ou objeto

se repete. As frequências podem ser absolutas, relativas ou acumuladas.

Segundo Castanheira (2010, p. 25), a frequência absoluta é o número de

vezes que um mesmo resultado acontece durante uma pesquisa. Já a frequ-

ência relativa é a frequência absoluta representada de modo proporcional

em relação ao conjunto de dados observados. A frequência acumulada, o

próprio nome já diz, é o cálculo da frequência acumulando termo a termo.

Mas voltando ao exemplo das notas dos alunos. Fica muito mais fácil se

montarmos uma tabela (que chamamos de distribuição de frequência), com

as devidas frequências de suas notas. Observe:

Tabela 7.1: Distribuição de frequência das notas dos alunos

Notas Frequência das notas dos alunos30 1

40 4

50 4

60 7

70 5

80 4

90 3

100 2

Total 30


Essa tabulação, além de organizar os dados, facilita responder rapidamente

algumas perguntas, como:

• Quantos alunos tiraram nota 30, 60 e 70?

• Quantos alunos estão acima da média escolar?

Viram como é fácil entender que a tabela acima é uma distribuição de fre-

quência? Porém, quando temos muitos dados, é difícil fazer tabelas como a

mencionada anteriormente, por isso fazemos uso de intervalos. Este assunto

será visto mais a diante.


Sabemos que a frequência absoluta, representada por f, é simplesmente

o número de vezes que o resultado correspondente à variável em estudo

aparece na pesquisa. Já frequência relativa (fr) é a frequência na forma per-

centual. Ela é obtida dividindo-se a frequência da classe pelo somatório de

todas as frequências. Elas podem ser calculadas pela fórmula :

fr = fi

∑ fi

A frequência acumulada normalmente representada por fa é o somatório

das frequências das classes inferiores, ou iguais à classe que está sendo exa-

minada. Veja a tabela 7.2:

Tabela 7.2: distribuição de frequência com intervalos e suas respectivas frequên-cias. Observação: O símbolo ∑ indica somatório.

Diâmetros (em cm.), de certa peça circular produzida por uma indústriaDiâmetro (cm) f fr fa

1,810 1,818 5 0,10 5

1,818 1,826 5 0,10 10

1,826 1,834 11 0,22 21

1,834 1,842 13 0,26 34

1,842 1,850 7 0,14 41

1,850 1,858 5 0,10 46

1,858 1,866 4 0,08 50

∑fi = 50 ∑fri = 1,00


Resumo• Dados brutos – é o elementos observado na sua ordem primária ou pri-

mitiva.

• Rol – ordenação de dados numéricos.

• Frequência – número de vezes que um dado aparece.

• Tabulação – modo de organizar os dados de uma pesquisa.

Atividades de aprendizagem1. Determine o rol dos seguintes números: 1, 3, 5, 5, 7, 9, 11, 1, 2, 4.

e-Tec BrasilAula 7 – Dados, rol, frequência e tabulação 51

2. Dados vinte valores de variáveis (x) quaisquer abaixo:

1, 2, 2, 2, 2, 4, 10, 11, 10, 4, 10, 10, 9, 9, 8, 8,10, 8, 4, 9, 8

Determine o rol e construa uma distribuição de frequência, contendo

uma coluna para a frequência relativa e outra para acumulada.

Anotações


e-Tec Brasil53

Aula 8 – Distribuição de frequência

Nessa aula, além de nos aprofundarmos um pouco mais sobre o assunto,

veremos como confeccionar uma distribuição de frequência com ou sem

intervalos.

8.1 Diferenciando as tabelasA tabela que apresenta os dados com sua respectiva frequência é denomi-

nada de Distribuição de Frequência. Pois bem, essa distribuição pode ser

com ou sem intervalos. O que isso quer dizer? Quer dizer que vários dados

deixam as tabelas com muitas linhas, tornando inviável sua construção e

análise, assim utilizamos as tabelas com intervalos. Você tem na sequência

alguns exemplos de distribuição de frequência:

Tabela com poucos dados e sem intervalos, normalmente utilizados para

dados qualitativos ou quantitativos.

Tabela 8.1: Tabela com poucos dados e sem intervalos

Número de filhosQuantidade Frequência (fi )

0 2

1 3

2 5

3 11

4 2

5 1

6 1

∑fi = 25

Fonte: Dados fictícios do autor

Tabela com muitos dados e com intervalos, normalmente utilizados para

dados quantitativos.

Tabela 8.2: Tabela com muitos dados e intervalos

Diâmetro (em cm.) de uma peça produzida por certa indústriaQuantidade Frequência

1,810 1,818 5

1,818 1,826 5

1,826 1,834 11

1,834 1,842 13

1,842 1,850 7

1,850 1,858 5

1,858 1,866 4

∑ fi = 50

Fonte: Dados fictícios do autor

8.1 Elementos de uma distribuição de frequência com intervalos

Para elaborar uma distribuição de frequência com intervalos, é preciso que

você conheça alguns elementos. Para simplificar, listamos esses elementos

na distribuição abaixo.

• Classes (k) – classes de frequência ou simplesmente classes. São inter-

valos da variável, popularmente chamada de linhas da distribuição. As

classes têm por objetivo determinar a quantidade de linhas que terá a

distribuição. Este número (quantidade de linhas) pode ser determinado

por três modos:

– pelo método empírico, onde o pesquisador determina a quantidade

de linhas;

– pela regra de Sturges, que determina pelo cálculo da equação

k = 1 + 3,3 log n onde n é o numero de dados da amostra ou po-

pulação.

– pela regra prática, que consiste em calcular a raiz quadrada de n,

como na expressão k = n.

Exemplo: Pela regra prática, se n tivesse 40 dados, a tabela seria determi-

nada por um número de linhas k igual a 6, pois: k = n = 40 = 6. Inicia-se

então a montagem da distribuição de frequência.

• Limites de classe – são os extremos de cada classe. Cada classe (linha)

possui um limite inferior (Li) e um limite superior (Ls). Observe a figura 8.1:


Figura 8.1: Distribuição de frequência com intervalosFonte: Elaborado pelo autor.

Estaturas (cm) Frequência

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Limite inferior Li

1a classe2a classe

Limite superior Ls

• Amplitude total da distribuição (AT)

É o valor da diferença entre o limite superior da última classe pelo limite in-

ferior da primeira classe. Segue abaixo a generalização:

At = Lmax – Lmin = 174 – 150 = 24

• Amplitude de um intervalo de classe(h)

É o que indica o tamanho do intervalo, ele é determinado pela diferença do

limite superior da classe (Ls) pelo limite inferior da classe (Li).

h = Ls – Li = 154 – 150 = 4

Ou h = AT

k = 24

6 = 4.

Observação: Todas as classes apresentam a mesma amplitude, ou seja, o

mesmo tamanho.

• Ponto médio de uma classe

É utilizado para o cálculo da média aritmética para dados agrupados (tabe-

lados) com intervalos. Para a primeira classe temos:

xi = Li + Ls

2 = 150 + 154

2 = 152

e-Tec BrasilAula 8 – Distribuição de frequência 55

8.2 Reforçando os cálculos que determinam outros tipos de frequências

Utilizando a tabela 8.2, indicamos como se calcula as frequências:

Figura 8.2: Cálculo das frequênciasFonte: Elaborado pelo autor.

Estaturas (cm) Frequência

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

Total 40

Limite inferior Li

1a classe2a classe

Limite superior Ls

• Frequência simples ou absoluta (fi)

É o valor que representa o número de dados de cada classe. Sempre tere-

mos: ∑fi = n, onde n é o número total de observações.

• Frequência relativa (fr)

É o valor da razão entre a frequência simples e a frequência total.

fr = fi

∑fi

= fi

n

Da distribuição acima temos que a frequência relativa da 3a classe é

fr = 1140

= 0,275

O propósito das frequências relativas é permitir a análise ou facilitar compa-

rações de dados.

• Frequência acumulada (Fi)

É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do

intervalo de uma dada classe:

Fk = f1 + f2 + ... + fk


A frequência acumulada da 3a classe da distribuição acima ilustrada é

Fi = 24 (4 + 9 + 11), o que significa que existem 24 alunos com altura inferior

a 162cm (limite superior do intervalo da 3a classe).

• Frequência acumulada relativa (Fr):

É o valor da razão entre a frequência acumulada simples e a frequência total.

Fr = fi

∑fi

Assim, para a terceira classe poderíamos ter: Fr = 2440

= 0,60.

Observe um exercício resolvido:A tabela apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 370 lotes de

uma determinada cidade.

Áreas (m2) Número de lotes

300 400 14

400 500 16

500 600 58

600 700 76

700 800 68

800 900 62

900 1000 48

1000 1100 22

1100 1200 6

Total 370

Com referência a essa tabela, temos que determinar:

1. a amplitude total;

2. o limite superior da 5a classe;

3. o limite inferior da 8a classe;

4. o ponto médio da 7a classe;

5. a amplitude do intervalo da 2a classe;

6. a frequência da 4a classe;


7. as frequências relativas e acumuladas, bem como a acumulada relativa.

8. a frequência relativa da 6a classe;

9. a frequência acumulada da 5a classe;

10. o número de lotes cuja área não atinge 700m2;

11. o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2;

12. a percentagem dos lotes que não atingem 600m2;

13. a percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior

a 100m2;

14. a classe do 72o lote.

Resolução:A primeira coisa a se fazer é calcular as frequências relativa, acumulada e

acumulada relativa. Para isso monta-se a tabela estendida, com o auxílio dos

tópicos abordados acima:

Salário dos funcionários da empresa ABCÁreas (m2) fi fr Fi Fr

300 400 14 0,0378 14 0,0378

400 500 16 0,0432 30 0,0810

500 600 58 0,1567 88 0,2378

600 700 76 0,2054 164 0,4432

700 800 68 0,1837 232 0,6270

800 900 62 0,1675 294 0,7945

900 1000 48 0,1’297 342 0,9243

1000 1100 22 0,0594 364 0,9837

1100 1200 6 0,0162 370 1

∑370

Resolvendo o exercício temos:

1. a amplitude total – R: At = Lmax – Lmin = 1200 – 300 = 900

2. o limite superior da 5aclasse – R: Li = L5 = 800

3. o limite inferior da 8aclasse – R: li = l8 = 1000


4. o ponto médio da 7aclasse – R: xi = Li + Ls

2 = 900 + 1000

2 = 950

5. a amplitude do intervalo da 2aclasse – R: h = Ls – Li = 500 – 400 = 100

6. a frequência da 4aclasse – R: f4 = 76

7. as frequências relativas e acumuladas, bem como a acumulada relativa – R:

Já está na tabela.

8. a frequência relativa da 6a classe – R: fr6 = 0,1675 ou 16,75%

9. a frequência acumulada da 5a classe – R: Fa5 = 232

10. o número de lotes cuja área não atinge 700m2 – R: Fa4 = 164

11. o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800m2 – R: 138

12. a percentagem dos lotes que não atingem 600m2 – R: Fa3 = 0,2378 ou

23,78%

13. a percentagem dos lotes cuja área é de 500m2, no mínimo, mas inferior

a 1000m2 – R: 0,9243 – 0,2378 = 0,6865 ou 68,65%

14. a classe do 72o lote – R: 3º classe

ResumoVocê aprendeu a elaboração de uma distribuição de frequência para dados

quantitativos e os passos que devem ser seguidos:

1. A partir da tabela primitiva, elaborar o rol dos dados;

2. Determinar o número de classes (k). Este número pode ser determinado

pelo método empírico, pela regra de Sturges: k = 1 + 3,3 logn ou pela

regra prática k = n;

3. Determinar a amplitude do intervalo de classe (AT);

4. Determinar os limites inferiores e superiores de cada classe;

5. Realizar a contagem dos elementos de cada classe;

6. Montar a distribuição de frequência nas formas tabular e gráfica.


Atividades de aprendizagem1. Os valores da distribuição de frequência abaixo se referem aos preços de

locação de kitnets de um ambiente com banheiro no bairro Jamacuri,

pela imobiliária Barbosa, entre os períodos de 01/03 a 30/02/2009.

Preço de locação (em R$) Quantidade de imóveis

130 185 3

185 240 7

240 295 4

295 350 6

350 405 9

405 460 1

Total 30

Responda:

a) Qual a amplitude total da distribuição?

b) Qual a amplitude da 3a classe?

c) Quantos sobrados possuem seu preço de locação que estão entre

R$240,00 e R$405,00?

d) Qual a frequência relativa da 6a classe?

e) Qual a frequência acumulada da 4a classe?

f) Qual o percentual de sobrados cujo preço de locação está entre R$240,00

(inclusive) e R$460,00?


2. Uma distribuição de frequência está representada abaixo:

Salário dos funcionários da empresa Começar Empreendimentos Logísticos Ltda.

Faixa salarial, em R$ fi fr Fi Fr

0,00 240,00 4

240,00 480,00 8

480,00 720,00 14

720,00 960,00 28

960,00 1200,00 21

1200,00 1440,00 12

1440,00 1680,00 7

Acima de 1680,00 6

100

a) Complete as lacunas restantes.

b) Com base na tabela, responda qual é o número de pessoas que recebe

menos que R$960,00?

c) Qual a porcentagem de pessoas que recebe entre R$1.200,00 (inclusive)

e R$1.440,00?

d) Qual o número de pessoas que recebe de R$720,00 para cima?

3. Uma confecção contratou uma empresa para fazer uma pesquisa para

saber a estatura das pessoas adultas de determinado bairro da sua cida-

de, a fim de saber como encaminhar a produção das roupas que produz.

A pesquisa, feita com uma amostra de 40 adultos escolhidos ao acaso,

revelou os seguintes dados:

Estaturas (em m) de 40 pessoas adultas1,66 1,50 1,62 1,79 1,64 1,85 1,68 1,65 1,61 1,68

1,63 1,61 1,68 1,76 1,70 1,70 1,75 1,62 1,63 1,70

1,58 1,57 1,73 1,82 1,72 1,68 1,70 1,70 1,67 1,67

1,56 1,58 1,69 1,65 1,58 1,65 1,64 1,64 1,64 1,69


Complete:

a) A variável em questão é (qualitativa/quantitativa).

b) Essa variável é do tipo (contínua/discreta).

c) Elabore uma distribuição de frequência relativa.

d) Elabore o histograma de frequência relativa.

4. Os dados para os números de unidades produzidas por um determinado

funcionário da área de produção durante vinte dias são apresentados a

seguir:

160 170 181 156 176

148 198 179 162 150

162 156 179 178 151

157 154 179 148 156

Resuma os dados construindo em seu caderno:

a) Uma distribuição de frequência relativa

b) Uma distribuição de frequência relativa acumulada

c) Os respectivos histogramas para os itens (a) e (b).

5. O diretor de produção de uma grande fábrica de chocolates resolveu fa-

zer uma inspeção surpresa na linha para verificar o peso dos chocolates,

os quais deveriam ter 200 ±1g. Para tanto, coletou uma amostra com

40 unidades e verificou, um a um, o peso dos chocolates. Os resultados

obtidos foram os seguintes:

199,4 198,5 199,7 200,3 197,8 199,2 201,2 200,5

198,2 197,9 199,8 201,4 199,4 199,4 200,1 198,9

197,9 199,2 200,2 200,3 199,7 199,5 197,8 199,5

199,5 199,1 200,4 198,5 198,9 200,3 198,6 199,2

198,6 198,8 200,1 199,1 198,8 201,4 199,8 198,5

a) Organizar os resultados um uma tabela de frequência acumulada relativa

e fazer o respectivo histograma.

b) Como diretor de produção avaliar os seguintes itens:

– Quantos % do total da amostra pesam menos do que 199g?

– Quantos % pesam mais do que 201g?

– Sabendo que o valor admitido é 200±1g como você avalia a sua pro-

dução?


e-Tec Brasil63

Aula 9 – Medidas centrais

Nesta aula abordaremos o conceito de média aritmética e calcular a média

para dados simples, agrupados sem intervalo e agrupado com intervalos.

9.1 Média aritméticaA média aritmética é uma das medidas de posição mais importante entre as

medidas de tendência central, que recebem esta denominação pelo fato de

os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores

centrais.

Embora existam várias tipos de médias, tais como a ponderada, a geométri-

ca, a harmônica, a quadrática, a cúbica, a biquadrática, iremos concentrar

somente na média aritmética.

9.1.1 Média aritmética para dados não agrupados ou soltos

Representada por x , é a medida central mais utilizada. Seu cálculo para da-

dos soltos ou denominados de não agrupados é feito pela soma dos valores

dividida pelo número deles. Genericamente é determinada pela expressão

numérica:

x = ∑ xi

n = x1 + x2 + ... + xn

n

Onde xi indica o dado e n o número total de dados.

Exemplo 1: Determinar a média aritmética dos conjuntos de valores abaixo:

a) 70, 80, 120

x = ∑ xi

n = 70 + 80 + 120

3 = 270

3 = 90

b) 5, 8, 10, 12, 15

x = ∑ xi

n = 5 + 8 + 10 + 12 + 15

5 = 40

5 = 8

Logo, as médias aritméticas acima são 90 e 8.

Observação: O processo de cálculo da média aritmética é o mesmo, quer

se trate de um conjunto de valores que traduzam representações amostrais,

quer se trate de todos os valores de uma população. Temos então, Média

amostral x = ∑ xn

e média populacional = ∑ xN

.

Observe, no quadro 9.1, as vantagens e desvantagens da utilização da mé-

dia aritmética:

Quadro 9.1: Vantagens e desvantagens da média aritmética

Vantagens Desvantagens

Fácil de compreender e calcular. É afetada por valores extremos.

Utiliza todos os valores da variável. É necessário conhecer todos os valores da variável.

É um valor único.

Fácil de incluir em equações matemáticas

Fonte: CRESPO, 2007.

A média é utilizada quando (1) desejamos obter a medida de posição que

possui maior estabilidade; e (2) houver necessidade de um tratamento algé-

brico ulterior.

Exemplo de aplicação: Em controle de qualidade, a média é utilizada para

determinar se o processo está operando ao redor de um valor esperado, o

alvo.

9.2 Média (aritmética ) em distribuição de frequência

Para o cálculo da média aritmética, quando os dados estão agrupados em

uma tabela, ou seja, em uma distribuição de frequência, procede-se um pou-

co diferente do cálculo para os dados soltos.

Também sabemos que a distribuição pode ou não conter intervalos. Frente a

essas diferenças, veremos separadamente cada distribuição.

Dados agrupados sem intervalos de classe

x = ∑ xi fi

∑fi


Onde xi fi é a média aritmética ponderada pela respectiva frequência ab-

soluta. Abaixo, veremos um exercício resolvido para entender melhor esse

cálculo.

Exemplo: Considere a distribuição relativa de 34 famílias de 4 filhos, toman-

do como variável o número de filhos do sexo feminino.

Número de meninas (xi) Frequência (fi) xifi

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

S 34 78

Calculando, x = ∑ xi fi

∑fi

= 78

34 = 2,29 que arredondado podemos es-

crever 2,3. Sendo x uma variável quantitativa discreta, como interpretar o

resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino? O valor médio 2,3

meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos

e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade

numérica em relação ao número de meninos.

Dados agrupados com intervalos de classe

Nada mais é que uma tabela apresentada com intervalos. No cálculo da mé-

dia aritmética, é necessário que você identifique o ponto médio. A fórmula

que calcula a média é:

x = ∑ Pm fi

∑fi

Onde Pm é o ponto médio da classe. Veremos como isso se aplica na prática

através de um exemplo.

Considere a distribuição de estaturas de 40 alunos, que já foram distribuídos

na tabela abaixo. Observe que essa distribuição é com intervalos de classe,

devido ao número de elementos serem significativos (quantidade de dados

40 alunos).

e-Tec BrasilAula 9 – Medidas centrais 65

Estatura (cm) fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

∑ 40

Para facilitar nosso cálculo, iremos construir novas colunas na tabela (tabela

estendida) para determinar o ponto médio e o produto definido por Pmfi.

Logo, a nova tabela fica assim:

Estatura (cm) fi Pm Pmfi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

∑ 40

Para encontrarmos o ponto médio, vamos relembrar o que estudamos na aula

7. Perceba que o primeiro ponto médio da 1ª Classe (linha) é 152. Dessa forma

encontramos todos os pontos médios, e passamos para a nova tabela, observe:


150 154 4 152

154 158 9 156

158 162 11 160

162 166 8 164

166 170 5 168

170 174 3 172

∑ 40

Elaborando o produto de Pmfi de cada classe, chegamos a completar a tabela:


150 154 4 152 608

154 158 9 156 1404

158 162 11 160 1760

162 166 8 164 1312

166 170 5 168 840

170 174 3 172 516

∑ 40 6440


Calculando, x = ∑ Pm fi

∑fi

= 6.440

40 = 161, sendo assim a média das alturas

dos alunos é de 161 cm.

ResumoNesta aula você conheceu a média aritmética, e aprendeu a determinar o seu

cálculo nos três modos de distribuição.

Atividades de aprendizagem1. Suponha que uma empresa está realizando uma pesquisa para saber qual

é a média dos salários pagos aos seus funcionários. Para facilitar, o setor

de RH, enviou a você uma planilha no formato de uma distribuição de

frequência com intervalos dos respectivos níveis salariais e a quantidade

de funcionários. Veja:

Salários (R$) fi

240 480 15

480 720 22

720 960 30

960 1200 18

1200 1440 15

∑ 100

Podemos observar que 15 funcionários recebem salários entre R$240,00

e R$480,00. Sabemos também que estão sendo pesquisados 100 funcio-

nários. Agora é só calcular a média. Então, mãos à obra!

Agora preencha e calcule a tabela estendida abaixo:

Salários (R$) fi Pm Pmfi

240 480 15

480 720 22

720 960 30

960 1200 18

1200 1440 15

∑ 100

Com base nestes resultados, determine o salário médio desses funcionários.


2. Um produto é vendido em três supermercados por R$13,00/kg, R$13,20/

kg e R$13,50/kg. Determine o valor por quilo que se paga em média pelo

produto.

3. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o

quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.

Salário(R$)

Número de funcionáriosfi

400 500 12

500 600 15

600 700 8

700 800 3

800 900 1

900 1000 1

Total 40

4. Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares segundo o

quadro abaixo. Calcule o valor médio do aluguel por residência.

Aluguel(R$)

Número de casasfi

0 200 30

200 400 52

400 600 28

600 800 7

800 1000 3

Total 120


5. Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada es-

quina.

Número de acidentes por diaxi

Número de diasfi

0 30

1 5

2 3

3 1

4 1

Total 50

Anotações


e-Tec Brasil71

Aula 10 – Mediana

Nesta aula abordaremos o conceito de mediana e calcularemos os tipos

de mediana para dados simples, agrupados sem intervalo e agrupado

com intervalos.

10.1 MedianaMediana é uma medida que divide um conjunto de dados em duas partes

iguais. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados

segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado no meio, de tal forma,

que separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Pode-

mos representá-la por Md.

10.1.1 Determinações da Mediana (Md ) para dados não agrupados ou simples

Para determinar a mediana de dados soltos, ou seja, não agrupados, te-

mos que primeiramente encontrar o rol desses valores. Você lembra o que

era Rol? É a ordenação dos valores em ordem crescente (do menor para o

maior). Em seguida precisamos saber se a quantidade de dados é par ou ím-

par, pois para cada quantidade existe um procedimento. Vejamos!

Se a quantidade de valores n for um número ímpar, a mediana será o valor

que se encontra no meio ou podemos determinar esse valor utilizando a

expressão da variável situada na posição (n +1)

2; se a quantidade de valores

n for um número par, a mediana será igual ao resultado de dividir por dois

a soma dos valores das posições n

2e n

2 + 1.

Veja o exemplo:

Calcular a mediana dos conjuntos de dados abaixo:

a) 5, 8, 6

b) 7, 8, 9, 10

Resolução:

Na alternativa (a), a quantidade de elementos é ímpar, então colocamos em

ordem crescente: 5, 6, 8. Agora é só pegar o termo do meio, que é o 6, logo

a Md = 6.

Poderíamos calcular também pela expressão (n +1)

2, sendo n o número de

elementos dos dados, temos: n = 3, substituindo fica, (3 +1)

2 = 4

2 = 2, ou

seja, a mediana é o elemento que ocupa a 2ª posição, que nesse caso é o 6.

Mas lembre-se que você também precisa achar o rol por esse processo.

Já na alternativa (b), a quantidade de elementos é par, devemos colocar em

ordem, fazendo o rol e depois calcular a média dos dois termos centrais, pela

expressão n

2e n

2 + 1. Observe abaixo:

Como temos n = 4, pois são quatro termos (7, 8, 9 e 10), substituímos na

expressão, 4

2 e 4

2 + 1, o resultado de 4

2 é 2 e de 4

2 + 1 é 3 (2+1). Logo,

os termos centrais do rol é o segundo (valor 8) e o terceiro termo (valor 9),

que podemos calcular a média, fazendo (8 + 9)

2 = 17

2 = 8,5, portanto a

média aritmética é 8,5. Viram como é fácil?

A mediana é uma medida resistente, pois está relacionada apenas com a

ordem dos valores da variável. Em outras palavras, não é sensível a valores

que se encontram nos extremos (início e fim).

10.1.2 Determinações da Mediana (Md ) para dados agrupados

Para a determinação da mediana, quando os dados estão agrupados, fa-

zemos uso de fórmulas que facilitam nosso cálculo, seja ele com ou sem

intervalo.

Vejamos! O primeiro elemento é a frequência acumulada que precisamos

determinar. Essa determinação pode ser feita inserindo na tabela a coluna de

Fa. Como fizemos para os tipos de frequências vistos na aula oito. O segun-


do elemento é a classe em que a mediana se encontra. Lembre-se que classe

é a mesma coisa que linha, ou seja, em uma linha da tabela possivelmente

deve estar a mediana.

Para fazer essa determinação ou localização da classe da frequência acu-

mulada que se encontra a mediana. Devemos dividir a distribuição em dois

grupos, onde cada grupo (ou parte) tenha o mesmo número de elementos.

Esse valor é determinado pela fórmula, ∑ fi

2 onde temos a soma total das

frequências absolutas divididas por 2 (divisão pel o meio). Para o caso de

uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é

dada por ∑ fi

2. Vamos analisar cada caso especifico de mediana com distri-

buições de frequências logo abaixo, utilizando exemplos para facilitar a sua

compreensão.

10.1.3 Determinação da mediana para dados agrupados sem intervalos de classe

Calculamos a mediana para dados agrupados sem intervalos de classe quan-

do os dados se tratam de variável discreta, contendo uma pequena variação,

sendo cada valor, tomado como um único intervalo de classe, o que na esta-

tística chama-se de intervalo degenerado.

Essa distribuição não contém intervalos de classe, como você pode observar

na figura abaixo.

Distribuição de frequência genérica:

xi fri

x1x2... xn

f1f2...fn

∑ fi = n

Vamos determinar à mediana através do exemplo abaixo:

Partimos do pressuposto que já temos a distribuição de frequência sem in-

tervalo, com variáveis (xi) da quantidade de cômodos de casas ocupadas por

vinte famílias (fi) conforme abaixo:

e-Tec BrasilAula 10 – Mediana 73

Distribuição de frequência das famílias entrevistadas:

xi fi

2 4

3 7

4 5

5 2

6 1

7 1

∑ = 20

Determinamos as frequências acumuladas dessa distribuição, acrescentando

uma nova coluna à tabela original. Observe:

xi fi Fi

2 4 4

3 7 11

4 5 16

5 2 18

6 1 19

7 1 20

∑ = 20

∑fi = 20, logo temos 20

2 = 10, perceba que acabamos de dividir os dados

em duas partes de 10 elementos cada. Já tínhamos mencionado que isso

aconteceria.

Feito isso, basta identificar a frequência acumulada imediatamente superior

à metade dessa soma das frequências. Portanto:

xi fi Fi Frequência imediatamente superior a 10

Chamada de Classe Mediana

2 4 4

3 7 11

4 5 16

5 2 18

6 1 19

7 1 20

∑ = 20

Identificada a classe mediana, a variável que se encontra nessa classe será

nossa mediana, vejamos:


xi fi Fi

Variável da classe mediana, que é a mediana = 3

2 4 4

3 7 11

4 5 16

5 2 18

6 1 19

7 1 20

∑ = 20

Ou seja, a mediana dessa distribuição de frequência sem intervalo é md = 3

10.1.4 Determinação da mediana para dados agrupados com intervalos de classe

Neste caso, trata-se de distribuição com intervalos, e o problema consiste em

determinar o ponto do intervalo em que está a mediana. Para tanto, temos

inicialmente que determinar a classe mediana (linha da tabela) na qual se

acha à mediana. Para facilitar nosso trabalho, vamos seguir os itens abaixo:

• Primeiramente determinam-se as frequências acumuladas da distribui-

ção;

• Em segundo lugar, calcula-se ∑ fi

2;

• Em terceiro lugar, marca-se a classe correspondente à frequência acumu-

lada imediatamente superior a ∑ fi

2.

Isso já foi visto por você quando determinamos a média no item 10.2.1.

Após localizar a classe mediana, utiliza-se a fórmula abaixo para a determi-

nação da mediana para dados agrupados com intervalos de classe.

Md = l* +

∑fi

2 – F (ant) . h*

f*

Onde:

l* limite inferior da classe mediana

F (ant) frequência acumulada da classe anterior à classe mediana

f* frequência simples da classe mediana

h* amplitude do intervalo da classe mediana


Exemplo: Vamos calcular a mediana do comprimento de 40 peças de cilin-

dro produzidas por um torneiro mecânico.

Comprimento (cm) fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

∑ 40

Encontramos a frequência acumulada, a nova tabela fica assim:

Comprimento (cm) fi Fi

150 154 4 4

154 158 9 13

158 162 11 24

162 166 8 32

166 170 5 37

170 174 3 40

∑ 40

Identificamos a classe mediana por ∑ fi

2 = 40

2 = 20, e aí utilizamos a 3a clas-

se (ou terceira linha);

Comprimento(cm) fi Fi

Classe mediana

150 154 4 4

154 158 9 13

158 162 11 24

162 166 8 32

166 170 5 37

170 174 3 40

∑ 40

Da classe mediana acima, devemos determinar os valores que compõe a fór-

mula Md = l* +

∑fi

2 – F (ant) . h*

f*, para calcular a mediana. Para facilitar,

identificamos separadamente cada item da fórmula. Veja: ∑ fi

2 = 40

2 = 20


l* 158

F (ant) 13

f* 11

h* 4

Fazendo a substituição, temos:

Md = 158 + [20 – 13]. 4

11

Md = 158 + [7]. 4

11

Md = 158 + 28

11

Md = 158 + 2,55

Md = 160,55

Portanto, a mediana do comprimento dos eixos é de 160,55cm.

Quadro 10.1: Vantagens e desvantagens da utilização da mediana

Vantagens Desvantagens

Fácil de calcular Difícil de incluir em equações matemáticas

Não é afetada pelos valores extremos Não utiliza todos os valores da variável

É um valor único

Fonte: Crespo, 2007.

Empregamos a mediana quando:

• Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;

• Há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média;

• A variável em estudo é salário, renda anual e valores de bens.

ResumoNesta aula você viu como calcular a mediana para dados agrupados.

Aprendeu as vantagens e desvantagens de utilizar essa medida de tendên-

cia central.


Atividades de aprendizagema) Um produto é vendido em três supermercados por R$13,00/kg, R$13,20/

kg e R$13,50/kg. Determine quantos R$/kg se encontra na mediana do

pagamento pelo produto.

b) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o

quadro abaixo. Calcule o salário mediano destes funcionários.

Salário(R$)

Número de funcionáriosfi

400 500 12

500 600 15

600 700 8

700 800 3

800 900 1

900 1000 1

Total 40

c) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares segundo o

quadro abaixo. Calcule a mediana do aluguel das residências.

Aluguel(R$)

Número de casasfi

0 200 30

200 400 52

400 600 28

600 800 7

800 1000 3

Total 120


d) Calcule a mediana de acidentes por dia em uma determinada esquina.

Número de acidentes por diaxi

Número de diasfi

0 30

1 5

2 3

3 1

4 1

Total 50

Anotações


e-Tec Brasil81

Aula 11 – Medida central

Nessa aula conheceremos a terceira medida de posição central determina-

da como MODA. Veremos também como calculá-la em uma distribuição.

11.1 Moda MoEla é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada

de posição, e essa medida de posição deve ser o valor mais típico da dis-

tribuição.

Conhecendo a Moda:

Segundo Filho (2009), foi Karl Pearson quem introduziu na estatística, o

conceito de moda. Ela surgiu por volta do século XIX e foi definida como

sendo o valor ou valores que ocorrem com maior frequência em uma

distribuição.

Logo, podemos definir a moda como sendo o valor (resultado numérico) que

mais aparece na frequência nos dados de uma pesquisa. Por exemplo, na

distribuição do consumo de um mesmo produto com diferentes apresenta-

ções, a moda mostra a apresentação mais consumida.

Na linguagem coloquial, as mulheres sabem perfeitamente o que isso sig-

nifica! Pois a moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê

bastante.

Se aparecer uma moda, dizemos que ela é unimodal, se aparecerem duas,

dizemos que ela é bimodal, se forem três, trimodal e se aparecerem diversas

podemos dizer que é plurimodal. Pode ser também que um conjunto de

dados não exista moda, e aí dizemos que esse conjunto de dados é amodal,

ou seja, quando todos os valores das variáveis apresentarem uma mesma

frequência.

Fique atento para o fato de que a Moda é o elemento do conjunto que mais

se repete, e não o número de vezes que ele aparece.

11.1.1 Determinação da Moda, para dados não agrupados

Como já dissemos, a moda é o valor que ocorre com maior frequência num

conjunto de dados. Logo, fica fácil identificá-la. Vejamos o exemplo:

Calcular a moda dos conjuntos de valores abaixo:

a) 10, 10, 8, 6, 10

Como o número que mais aparece é o 10, a moda é 10.

b) 3, 5, 6, 7, 9

Nesse conjunto de dados, não temos moda, pois todos os elementos têm a

mesma frequência.

Assim como a média e a mediana, a moda – em uma distribuição de frequ-

ência – também têm dois modos de dados agrupados para determiná-los,

ou seja, com ou sem intervalos como veremos nos próximos itens.

11.1.2 Determinação da Moda para dados agru-pados sem intervalos de classe

A moda é determinada pela maior frequência da distribuição. Observe o

exemplo de uma distribuição de frequência sem intervalos que relaciona o

número de meninas.

Número de meninas fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

∑ 34

Podemos observar que 12 é a maior frequência. Essa frequência que deter-

mina a classe modal (linha que se encontra a moda). Veja.

Moda

Número de meninas fi

Classe Modal

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

∑ 34

Logo, a Moda é 3.


11.2 Dados agrupados com intervalos de classe

Podemos utilizar vários modos de calcular a moda quando se tem intervalos

em uma distribuição. Os mais usuais em estatística são os métodos de King

e Czuber. Para facilitar, veremos a moda pelo método de King, porém esse

assunto não termina aqui.

11.2.1 Método de King

Mo = li + fpost

fant + fpost

. A

Onde:

li limite inferior da classe modal

fant frequência da classe anterior a classe modal

fpost frequência da classe posterior a classe modal

A amplitude da classe modal

Você aprendeu como calcular a moda, para fixação observe o exemplo se-

guinte.

A tabela abaixo indica a distribuição dos salários dos funcionários da empre-

sa Y de logística, em reais, no ano de 2001. Vamos calcular a moda e analisar

o resultado.

Salários (R$) fi

500 700 90

700 900 54

900 1100 34

1100 1300 11

1300 1500 4

∑

Primeiramente identificamos a maior frequência da distribuição, que nesse

caso é 90. Logo, a classe modal é a primeira linha, ou seja, é nessa linha que

iremos retirar os dados para aplicar na fórmula de King. Veja:

e-Tec BrasilAula 11 – Medida central 83

Salários (R$) fi

500 700 90

700 900 54

900 1100 34

1100 1300 11

1300 1500 4

∑

Logo:

li 500

fant 0

fpost 54

A 200

Substituindo na fórmula, temos:

Mo = 500 + 54

0 + 54 . 200

Mo = 500 + 54

54 . 200

Mo = 500 + (1) . 200

Mo = 500 + 200

Mo = 700

Tabela 11.1: Vantagens e desvantagens da utilização da moda

Vantagens DesvantagensFácil de calcular Pode estar afastada do centro dos valores

Não é afetada pelos valores extremos Não utiliza todos os valores da variável

É um valor único Difícil de incluir em equações matemáticas

A variável pode ter mais de uma moda

Algumas variáveis não têm moda

Fonte: Crespo (2007)

ResumoModa é a frequência que mais aparece em uma distribuição de frequência.

Ela pode ser unimodal, amodal, bimodal e polimodal. Utilizamos o método

de King para calculá-la.


Atividades de aprendizagem1. Calcular a moda para os exercícios listados no item 5.1.1. Média. (Fonte:

Adaptado da prova de AFRF 2002).

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amos-

tra de tamanho 100, obtida de uma população de 1.000 indivíduos, pro-

duziu a seguinte tabela de frequência:

Xi Frequência (f)

29,5 39,5 4

39,5 49,5 8

49,5 59,5 14

59,5 69,5 20

69,5 79,5 26

79,5 89,5 18

89,5 99,5 10

Calcule o valor modal do atributo X, pelo método de King.

2. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos

de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa

bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

(Adaptado da prova AFRF (1998)

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16,

16, 18, 23

Com base nestes dados, determine o preço modal.

Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Moda, das

duas maneiras distintas, utilizando o método de King.

e-Tec BrasilAula 11 – Medida central 85

3. Trabalhe a Distribuição abaixo:

Xi fi

0 10 3

10 20 5

20 30 8

30 40 4

40 50 2


Xi fi

0 15 4

15 30 7

30 45 11

45 60 9

60 75 5

75 90 2


Xi fi0 7

7 11

14 15

21 9

28 3


e-Tec Brasil87

Aula 12 – Separatrizes

Nessa aula iremos estudar os quartis, que dividem um conjunto de dados

em 4 partes iguais.

12.1 Os QuartisSão valores que ocupam lugares específicos em uma série ordenada. Outro

fator importante, é que o seu cálculo é semelhante ao da mediana, substi-

tuindo na fórmula somente a posição do elemento a ser estudado.

Porém vamos acompanhar a definição: denominamos Quartis os valores de

uma série que a dividem em quatro partes iguais uma série de dados.

Portanto, há três quartis importantes a se determinar:

• o primeiro quartil (Q1) – valor situado na primeira parte da divisão, de

tal modo, que na série representa um quarto da parte (25%) dos dados.

É a menor das partes, já que as outras somadas representam (75%) dos

dados.

• o segundo quartil (Q2) –é a própria (coincide) mediana. O valor encontra-

do divide a série na metade (50%). Podemos afirmar que 50% dos dados

são menores do que ele e a outra metade restante (50%) são maiores.

• o terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo na série que as três

quartas partes (75%) dos dados são menores do que ele e a quarta parte

restante (25%) são maiores.

Quando os dados são agrupados, e queremos determinar os quartis, usamos

a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da

mediana, ∑ fi

2, por k∑ fi

4 (onde k é o número de ordem do quartil).

Assim, temos:

Q1 = l* +

fi

4 . h*

f*

Q2 = l* +

fi

2 . h*

f*

Q3 = l* +

fi

4 . h*

f*

Observe o exercício resolvido.

Dada a distribuição abaixo, calcular Q1, Q2 e Q3.

Classes fi

7 17 6

17 27 15

27 37 20

37 47 10

47 57 5

Total 56

Calculando o primeiro quartil, pela expressão Q1 = l* +

fi

4 . h*

f*,

temos que encontrar qual é a classe (linha da distribuição) que iremos retirar

os dados. Para isso, lembre-se que calculávamos a classe em que poderia es-

tar a mediana por ∑ fi

2 na frequência acumulada. Para determinar o quartil

usamos k∑ fi

4 (onde k é o número de ordem do quartil). Então temos:

Classes fi F

7 17 6 6

17 27 15 21

27 37 20 41

37 47 10 51

47 57 5 56

Total 56

Logo:

k∑ fi

4 = k∑ 56

4 = 14, que está na segunda classe, ou linha.


Q1 = l* +

fi

4 . h*

f*

Substituindo na fórmula temos:

Q1 = 17 + [14 – 6] . 10

15

Q1 = 17 + [8] . 10

15

Q1 = 17 + 80

15

Q1 = 17 + 5,333

Q1 = 22,333

Para o segundo quartil ou mediana, observe o cálculo da classe:

k∑ fi

2 = k∑ 56

2 = 28

Q2, temos:

Q2 = 27 + [28 – 21] . 10

20

Q2 = 27 + [7] . 10

20

Q2 = 27 + 70

20

Q2 = 27 + 3,5

Q2 = 30,5

E para finalizar o terceiro quartil:

k∑3 fi

4 = k∑3 56

4 = 42

Logo :

Q3, temos:

Q3 = 37 + [42 – 41] . 10

10

e-Tec BrasilAula 12 – Separatrizes 89

Q3 = 37 + [1] . 10

10

Q3 = 37 + 10

10

Q3 = 37 + 1

Q3 = 38

Portanto:

Q1 = 32,333; Q2 = 30,5 e Q3 = 38

ResumoNesta aula, você aprendeu que Quartil é a separatriz que divide um conjunto

de dados em quatro partes iguais.

Anotações


e-Tec Brasil91

Aula 13 – Separatrizes II

Nessa aula iremos aprender como calcular o decil.

13.1 O Decil

Figura 13.1: DecilFonte: ©maksymmo/Shutterstock

Você deve estar se perguntando quando que eu uso o Decil na prática. Di-

vidimos um conjunto de dados em dez partes iguais. Encontra-se o valor do

decil procedendo-se como no caso dos quartis. Eles também são valores que

ocupam lugares específicos em uma série ordenada. Outro fator importante,

é que o seu cálculo é idêntico ao do quartil, trocando apenas o fator k∑ fi

10.

Assim, temos o primeiro decil determinado por:

D1 = l* +

fi

10 . h*

f*

E o quinto decil que é idêntico ao segundo quartil, que é a mediana dos

dados.

D5 = l* +

fi

10 . h*

f* = Q2 = l* +

fi

2 . h*

f*

Você deve estar se perguntando e se eu quisesse calcular o 2º, 7º ou o 9º

decil?

Bastaria substituir o elemento k∑ fi

10 da fórmula por k∑ 2 fi

10, ou k∑7 fi

10 ,

ou k∑9 fi

10.

Exercício resolvido:

Dada a distribuição abaixo, calcule D1 e D8.

Classes fi

7 17 6

17 27 15

27 37 20

37 47 10

47 57 5

Total 56

Calculando o primeiro decil, pela expressão D1 = l* +

fi

10 . h*

f* ,

temos que achar qual é a classe (linha da distribuição) que iremos retirar os

dados. Calculando a classe por ∑ fi

10 na frequência acumulada, para deter-

minar qual a linha da distribuição que iremos utilizar. Teremos:

Classes fi F

7 17 6 6

17 27 15 21

27 37 20 41

37 47 10 51

47 57 5 56

Total 56

Logo,

k∑ fi

10 = k∑ 56

10 = 5,6 , que esta na primeira classe (linha).

Substituindo na fórmula Q1 = l* +

fi

10 . h*

f* temos:

Q1 = 7 + [5,6 – 0]. 10

6

Q1 = 7 + [5,6]. 10

6

Q1 = 7 + 56

6

Q1 = 7 + 9,333

Q1 = 16,333


Assim temos o primeiro decil da distribuição.

Para encontrar os demais decil, devemos proceder do mesmo modo, porém,

sempre trocando o numerador do fator.

Calculando o 8º decil.

k∑8 fi

10 = k∑8 56

10 = 44,8

D8, temos

D8 = 37 + [44,8 – 41] . 10

10

D8 = 37 + [3,8] . 10

10

D8 = 37 + 38

10

D8 = 37 + 3,85

D8 = 40,8

Resumo O decil divide em dez partes iguais os dados de uma distribuição. Vimos tam-

bém como calcular os decis para dados agrupados com intervalo.

Anotações

e-Tec BrasilAula 13 – Separatrizes II 93

e-Tec Brasil95

Aula 14 – Separatrizes III

Nessa aula você saberá o que é percentil, como também aprenderá a cal-

cular o percentil.

14.1 O PercentilDenominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série

em 100 partes iguais.

Para determinarmos os percentis usamos a mesma técnica do cálculo da me-

diana, bastando substituir, na fórmula da mediana, ∑fi

2, por k ∑fi

100 (onde k

é o número de ordem do percentil).

Assim, para determinar o 27o (vigésimo sétimo) percentil, utilizamos a fór-

mula:

P27 = l* +

∑fi

100 . h*

f*

Para calcular o 91º (nonagésimo primeiro) percentil, basta substituir o valor 27.

Vamos visualizar através de um exemplo:

Suponhamos que quiséssemos calcular o 55º percentil da distribuição da

aula 13.

Classes fi

7 17 6

17 27 15

27 37 20

37 47 10

47 57 5

Total 56

Já sabemos que temos que calcular a frequência acumulada e a classe em

que se encontra o 55° percentil. A tabela abaixo mostra como fica esse

cálculo:

Classes fi F

7 17 6 6

17 27 15 21

27 37 20 41

37 47 10 51

47 57 5 56

Total 56

A classe é calculada por k∑ fi

100 = 55∑ 56

100 = 55 . 0,56 = 30,8, que está no

intervalo da 3º (terceira) classe (linha).

Substituindo na fórmula P55 = l* +

∑fi

100 . h*

f* temos:

P55 = 27 + [30,8 – 21] . 10

20

P55 = 27 + [9,8] . 10

20

P55 = 27 + 98

20

P55 = 27 + 4,9

P55 = 31,9

Portanto, o percentil 55 está com 31,9 dos elementos da distribuição.

ResumoVocê aprendeu que o percentil divide em cem partes iguais os dados de uma

distribuição. Fazemos o cálculo de qualquer decil utilizando a fórmula:

Pnn = l* +

∑fi

100 . h*

f*

Atividades de aprendizagem1. Calcule a média, a mediana, a moda, o 3º quartil e o 30º percentil para

as seguintes distribuições:

a) As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as cau-

sas de morte para ajustar as atualizações de suas apólices. Os dados se

baseiam no estudo levado a efeito pela revista Time sobre as pessoas que


morreram vitimadas por armas de fogo durante uma semana.Com base

na tabela abaixo calcule o que se pede:

Idade na morte Frequência

16 26 22

26 36 10

36 46 6

46 56 2

56 66 4

66 76 5

76 86 1

b) A distribuição de frequência é referente à quantidade de locação de ca-

sas pelo seu respectivo preço de aluguel, de uma determinado região

de Curitiba. Calcule a média, mediana, moda, o terceiro quartil e 30

percentil.

Aluguel (x R$100) Quantidade de casas

4 6 18

6 8 25

8 10 32

10 12 40

12 14 30

14 16 18

16 18 12

e-Tec BrasilAula 14 – Separatrizes III 97

2. Das distribuições abaixo, calcule: média, mediana e moda.

• primeiro e terceiro quartis

• 10o, 23o e 90o percentis

a)

Notas fi

0 2 5

2 4 8

4 6 14

6 8 10

8 10 7

44

b)

Estaturas fi

150 158 5

158 166 12

166 174 18

174 182 27

182 190 8

70

3. Elabore o histograma de frequência simples, e localize as medidas calcu-

ladas nos exercícios acima.


e-Tec Brasil99

Aula 15 – Medidas de dispersão

Nesta aula estudaremos a importância das medidas de dispersão, amplitu-

de e desvio médio, bem como o seu cálculo.

15.1 Medidas de afastamentoAs medidas de dispersão ou de afastamento são medidas estatísticas utili-

zadas para verificar o quanto os valores encontrados numa pesquisa estão

dispersos ou afastados em relação à média ou em relação à mediana.

Em muitas situações os cálculos determinados pelas medidas de tendência

central, ou a determinação de um valor específico de um conjunto qualquer

analisado, não é suficiente para caracterizar uma distribuição.

Imagine a produção semanal de uma fábrica, baseada no quadro abaixo:

DIASTURNOS

SEGUNDAMatutino

TERÇANoturno QUARTA QUINTA SEXTA TOTAL MÉDIA

SEMANALI 150 150 150 150 150 750 150

II 70 130 150 180 220 750 150

III 15 67 117 251 300 750 150

Na produção média diária, não tem como identificar o grau de relaciona-

mento entre as variáveis, já que a média semanal nos três turnos é idêntica

a 150 peças por semana. Porém podemos criticar as variáveis em estudo,

fazendo as seguintes perguntas: A produção é idêntica (ou homogênea)?

A produção média semanal é suficiente para uma análise estatística? A pro-

dução diária dos três turnos é compatível com a produção média semanal?

Tais informações são obtidas através do estudo das medidas de dispersão.

Elas permitem a análise de até que ponto estes valores apresentam oscila-

ções para mais ou para menos, em relação a uma medida de posição fixa-

da. Determina também o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que

existe entre os valores que compõem o conjunto.

Exemplificando:

Duas pessoas se submeteram a um teste:

Situação a) as duas pessoas tiraram nota 6,0;

Situação b) uma pessoa tirou 2,0 e a outra 10,0.

Nos dois casos a média é igual a 6,0. Todavia, na situação “a”, elas se con-

centraram sobre a média; e na situação “b” elas se dispersaram em torno da

mesma. Isto quer dizer que a média é mais significativa em “a” do que em

“b”. Ainda, em “a” existe uma homogeneidade nos conhecimentos adqui-

ridos; em “b” heterogeneidade.

Para avaliar o grau de dispersão são utilizadas várias medidas, porém as mais

utilizadas são:

• amplitude total ou intervalo total;

• desvio médio;

• variância;

• desvio padrão.

15.1 Amplitude totalAmplitude total ou intervalo total é a diferença entre o maior e o menor va-

lor de uma série de dados. Para dados soltos ou não agrupados, é só calcular

a diferença. Veja:

Exemplo:

No conjunto de números {4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 17, 20}

A = 20 – 4

A = 16.

Para dados agrupados sem intervalo, utilizamos a expressão:

AT = x(máx) – x(mín)


Exemplo: Considere a distribuição de frequência sem intervalos abaixo:

X f1 3

2 7

3 13

4 6

5 2

A amplitude total é AT = 5 – 1 = 4

15.1.1 Amplitude total para dados agrupados com intervalo

Basta calcular a diferença entre o limite superior da última classe pelo limite

inferior da primeira classe, vejamos:

AT = L(máx) – 1(mín)

Exemplo:

Dada a distribuição de frequência das alturas de 70 pessoas, conforme abaixo:

Estaturas fi

150 158 5

158 166 12

166 174 18

174 182 27

182 190 8

70

Podemos calcular a amplitude total:

AT = L(máx) – 1(mín)

AT = 190 – 150

AT = 40

Como vimos, o intervalo ou amplitude total é uma medida fácil de calcular.

Todavia, é instável, pois considera somente os valores extremos, não sendo

afetada pela dispersão dos valores internos. É apenas uma indicação aproxi-

mada da dispersão.

e-Tec BrasilAula 15 – Medidas de dispersão 101

15.2 Desvio médioÉ a dispersão calculada em relação a todos os valores, sem exceção. É calcu-

lado através da fórmula:

Dm = ∑|x – X| . f

n

Onde:

X é a variável em observação

n é o número total de elementos em observação

f é a frequência

X é a média aritmética.

Exemplo:

Calcular o desvio médio do grupo de valores: 4, 6, 8, 9, 10, 11.

1º) Cálculo da média:

X = 4 + 6 +8 +9 + 10 +11

6 X = 48

6 X = 8

2º) Cálculo dos módulos dos desvios em relação à média:

X X-X IX-XI4 4 – 8 = - 4 4

6 6 – 8 = - 2 2

8 8 – 8 = 0 0

9 9 – 8 = 1 1

10 10 – 8 = 2 2

11 11 – 8 = 3 3

∑ 0 12

3º) Cálculo do desvio médio:

Dm = ∑|x – X| . f

n Dm = 12

6 Dm = 2


Para calcular o desvio médio quando os dados estão agrupados em uma

distribuição de frequência com intervalos de classe, devemos substituir o X

da fórmula pelo ponto médio do intervalo de classe.

Resumo • As medidas de dispersão ou de afastamento são medidas utilizadas para

verificar o quanto os valores encontrados numa pesquisa estão dispersos

ou afastados em relação à média ou em relação à mediana.

• Desvio médio é uma medida da dispersão dos dados em relação à média

de uma sequência, ou seja, é o “afastamento” dos dados em relação a

essa média.

Anotações

e-Tec BrasilAula 15 – Medidas de dispersão 103

e-Tec Brasil105

Aula 16 – Variância e desvio padrão

Nessa aula, você conhecerá as medidas de dispersão mais utilizadas.

Irá aprender como calcular a variância e o desvio padrão, para dados

agrupados.

16.1 Variância e desvio padrãoA variância e o desvio padrão são índices de variabilidade estáveis, pois leva

em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, evitando

assim falhas e tornando-se métodos mais utilizados.

A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém

determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios. Ela é re-

presentada por s2, na fórmula abaixo:

s2 = ∑ (xi – x )2

∑ fi

= ∑ (xi – x )2

n

Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados, mas, partin-

do da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população,

convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o divisor n-1 em

lugar de n.

A variância é uma medida que tem pouca importância como estatística des-

critiva, uma vez que sua unidade de medida é o quadrado da unidade de

medida dos valores da variável. Todavia, é extremamente importante na in-

ferência estatística e na combinação de amostras.

Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpre-

tação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada

positiva da variância. Assim, se a variância de um determinado conjunto de

valores for igual a 81, o desvio padrão será igual a 9.

s = ∑ (xi – x )2

n

16.1.1 Propriedades da variância e do desvio padrão• A variância e o desvio padrão são sempre números positivos.

• Se os valores de uma variável forem iguais a variância, então o desvio

padrão será igual a zero.

• A variância e o desvio padrão são afetados pelos valores extremos.

Para fins práticos, a fórmula do desvio padrão pode ser reorganizada para

dados soltos ou agrupados com ou sem intervalos.

16.1.2 Dados não agrupadosPara dados soltos ou não agrupados, ou seja, se não estão organizados em

tabelas, podemos fazer uso da fórmula abaixo:

s = ∑xi2

n – ∑xi

n

Onde:

n significa a quantidade de elementos da observação;

x1 indica o ienésimo termo da observação;

x12 indica o ienésimo termo da observação elevado ao quadrado;

∑ indica o somatório das variáveis em observação.

Para facilitar o entendimento, tomemos como exemplo, o conjunto de valo-

res da variável x: 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70.

Organizando em uma tabela, temos os dados:

xi xi2

40

45

48

52

54

62

70

∑ xi


Observe que o termo xi , indica o valor de cada variável em cada linha da

tabela, e o elemento xi2 , significa que devemos calcular o quadrado de cada

termo. Completando a tabela temos:

xi xi2

40 1600

45 2025

48 2304

52 2704

54 2916

62 3844

70 4900

∑ xi 20293

Substituindo os dados na fórmula s = ∑xi2

n – ∑xi

n, fica:

s = 20293

7 – 371

7

s = 2899 – (53)2

s = 2899 – 2809

s = 90

s = 9,48

Sendo assim a dispersão dos dados acima, no início do exercício, tem um

desvio para mais e para menos de 9,4863.

16.1.3 Dados agrupados a) Sem intervalo de classe

Neste caso temos a presença de frequências e devemos levá-las em conside-

ração. Utilizaremos a técnica de acompanharmos a resolução detalhada de

um exercício.

Porém a fórmula é outra, vejamos:

s = ∑fixi2

n – ∑fixi

n

e-Tec BrasilAula 16 – Variância e desvio padrão 107

Vamos partir da tabela abaixo:

xi fi

0 2

1 6

2 12

3 7

4 3

∑fi 30

Na fórmula s = ∑fixi

2

∑f – (∑fixi)

2

∑f , temos os somatórios do produto da

frequência pelo elemento observado (fixi). Para facilitar nosso cálculo vamos

acrescentar duas novas colunas para fazer esse produto. Veja:

xi fi fixi fixi2

0 2 0 0

1 6 6 6

2 12 24 48

3 7 21 63

4 3 12 48

∑ 30 63 165

Substituindo, fica:

s = 165

30 – 63

30

s = 5,5 – (2,1)2

s = 5,5 – 4,41

s = 1,09

s = 1,044

b) Com intervalo de classe

Fazemos uso do ponto médio (Pm) no lugar da variável xi.

Sendo assim a fórmula fica: s = ∑fiPm2

∑f – ∑fiPm

∑f.


Fazendo uso da fórmula acima e aplicando na tabela abaixo, que determina

a distribuição de frequência da altura de 40 pessoas, consegue-se perceber

que o cálculo é semelhante ao agrupamento sem intervalos.

Estaturas fi

150 154 4

154 158 9

158 162 11

162 166 8

166 170 5

170 174 3

∑f = 40

De modo análogo, criaremos novas colunas para facilitar o cálculo e a deter-

minação dos novos elementos da fórmula, que é fiPm2 e ∑fiPm.

Estaturas fi Pm fiPm fiPm2

150 154 4 152 608 92.416

154 158 9 156 1404 219.024

158 162 11 160 1760 281.600

162 166 8 164 1312 215.168

166 170 5 168 840 141.120

170 174 3 172 516 88.752

∑f 40 6440 1.038.080

Substituindo s = ∑fiPm2

∑f – ∑fiPm

∑f em temos:

s = 1.038.080

40 – 6440

40

s = 1.038.080

40 – 1612

s = 25.952 – 25.921

s = 31

s = 5,567


Resumo A variância e o desvio padrão são medidas de dispersão, que se utilizam dos

quadrados dos desvios. Variância é uma medida extremamente importante

na inferência estatística. O desvio padrão é muito utilizado na estatística

descritiva, principalmente quando utilizamos a média aritmética.

Atividades de aprendizagem1. Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de dados:

a) 20 14 15 19 21 22 18

b) 17,9 22,5 13,3 16,8 15,4 14,2

2. Um departamento de produção usa o procedimento de amostragem

para testar a qualidade de itens recém produzidos. O departamento em-

prega a seguinte regra de decisão em uma estação de inspeção: se uma

amostra de 14 tem uma variância de mais que 0,005, a linha de produ-

ção precisa ser paralisada para reparos. Suponha que os seguintes dados

tenham sido coletados:

a) 3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39

b) 3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,51

A linha de produção deve mesmo ser paralisada? Por quê?


3. Os dados abaixo se referem ao número de dias exigidos para preencher

pedidos de compra para duas empresas distintas A e B:

Empresa A – 11, 10, 9, 10, 11, 11, 10, 11, 10, 10

Empresa B – 8, 10, 13, 7, 10, 11, 10, 7, 15, 12

Com base nos valores de desvio-padrão calculados, determine qual das

empresas fornece tempos de entrega mais constantes e confiáveis.

4. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultanea-

mente, calcule o desvio padrão.

Número de caras Frequência

0 4

1 14

2 34

3 29

4 16

5 3

Total 100


5. Em um levantamento entre os assinantes da revista Fortune a seguinte

pergunta foi realizada: “Quantas das últimas quatro edições você leu ou

folheou?”. A seguinte distribuição de frequência sintetiza 500 respostas.

Edição lida Frequência0 15

1 10

2 40

3 85

4 350

Total 500

a) Qual é o número médio de edições lidas por um assinante da Fortune?

b) Qual é o desvio padrão do número de edições lidas?

6. Calcule o desvio padrão da distribuição:

Classes Frequência

2 6 5

6 10 12

10 14 21

14 18 15

18 22 7

Total 60


7. Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de frequência

para o número de litros de gasolina vendidos por carro em uma amostra

de 680 carros.

Gasolina (litros) Frequência

0 5 74

5 10 192

10 15 280

15 20 105

20 25 23

25 30 6

Total 680

• Calcule a média, a variância e o desvio padrão para esses dados agrupados.

Anotações


e-Tec Brasil115

Aula 17 – Coeficiente de variação

Nessa aula estudaremos o coeficiente de variação e o seu cálculo.

17.1 Coeficiente de variaçãoÉ uma medida de afastamento relativa, que vai indicar qual é a relação per-

centual entre o desvio padrão e a média dos dados observados Ela serve

como um termo de comparação entre duas ou mais situações diferentes.

O desvio padrão sozinho não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão

de duas unidades pode ser considerado pequeno ou grande, depende da

série estudada, ou seja, para uma série de valores, cuja média é igual a 200.

Porém, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.

Além disso, o fato do desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos da-

dos limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries

de valores, relativamente a sua dispersão, quando expressas em unidades

diferentes.

Ela pode ser calculada pela expressão abaixo:

CV = sx

. 100

Exemplo:

Média Desvio padrãoEstaturas 175cm 5cm

Pesos 68kg 2kg

Temos,

CVE = sx

. 100 = 5175

. 100 = 2,85%

CVP = sx

. 100 = 268

. 100 = 2,94%

Logo, neste grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de disper-

são do que as estaturas.

Resumo Vimos nesta aula a relação entre o coeficiente de variação, na comparação

de duas medidas.

Atividades de aprendizagem1. Dez alunos foram submetidos a um teste de estatística e de matemática,

obtendo as seguintes notas:

Aluno Matemática (X) Estatística (Y)A 7 6

B 6 5

C 9 10

D 10 9

E 3 2

F 4 3

G 8 9

H 7 5

I 6 6

J 2 3

a) Determinar o coeficiente de Pearson.

2. Foi realizado uma pesquisa entre 8 famílias de uma certa região de Curitiba.

Famílias Renda (XR$100,00)

Poupança (XR$1000,00) N° de filhos

A 8 1 5

B 12 2 6

C 20 6 3

D 25 5 1

E 30 10 2

F 33 9 2

G 40 15 1

H 42 22 0


a) Determinar o coeficiente de correlação linear entre a renda familiar e a

poupança das 8 famílias.

b) Determinar o coeficiente de correlação linear entre a renda familiar e o

número de filhos das 8 famílias.

c) Determinar o coeficiente de correlação linear entre a poupança e o nú-

mero de filhos.

3. Determinar os coeficientes de correlação de Pearson para todos os exer-

cícios de aplicação do item Regressão linear simples.

Anotações

e-Tec BrasilAula 17 – Coeficiente de variação 117

e-Tec Brasil119

Aula 18 – Probabilidade

Nesta aula, você saberá o que é probabilidade. Estudaremos a chance de

ocorrência de um evento em um experimento aleatório, os conceitos dos

elementos da probabilidade e efetuaremos o seu cálculo.

18.1 DefiniçãoPodemos definir probabilidade como sendo uma ciência que estuda a chan-

ce de um acontecimento ocorrer em relação a situações de incerteza.

Você deve estar se perguntando, como assim?

Em muitas situações do dia a dia, você ou as empresas, tomam decisões o

tempo todo. Algumas dessas decisões são tomadas com bases em fatos e

dados. Só que às vezes esses fatos não são precisos ou não admitem certeza.

Quando a situação é pessoal utilizamos nossa intuição ou a nossa “sorte”,

porém em se tratando de empresa, cujo objetivo é o lucro e não prejuízo,

não é permitido aos gestores arriscarem perder dinheiro, usando tão so-

mente a intuição. Sendo assim, as empresas, fazem uso da probabilidade.

Para entender um pouco mais, vamos aprofundar nosso estudo sobre esse as-

sunto. Lembre-se que os fenômenos estudados em Estatística são fenômenos

cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação, varia de

uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro.

18.2 Elementos da probabilidadePara nossa compreensão é melhor nos familiarizarmos com alguns termos.

Então, vamos a eles.

• Experimento aleatório

É a denominação dada para uma experiência. Por exemplo, quando você

lança uma moeda para tirar cara ou coroa; ou quando você retira uma carta

de um baralho, querendo que ela seja de ouro. Esse tipo de experimento,

que pode ser repetido indefinidamente, sob as mesmas condições, pode

apresentar variações de resultados. Note que não é possível afirmar, qual

será o resultado sem que o experimento tenha sido realizado.

• Espaço amostral (S)

São todos os resultados possíveis do experimento aleatório. O espaço amos-

tral representa o universo de todos os possíveis eventos. No caso do lança-

mento da moeda, entendo como espaço amostral os resultados possíveis,

que são cara ou coroa.

Se pensarmos no baralho, seriam todas as treze cartas de ouro do baralho,

veja: S = { As, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,V,D,R }. No cálculo probabilístico sempre

utilizamos a letra S para representar o conjunto solução de todos os resulta-

dos, bem como o conjunto dos números n(S) = 13.

• Evento

É o resultado que queremos que aconteça na experiência. É qualquer con-

junto de resultados de um experimento. Os eventos são indicados por letras

maiúsculas: A, B, etc.

Os eventos podem ser divididos em:

• Simples – É um evento formado por um único elemento do espaço

amostral.

• Composto – É aquele que possui mais de um evento.

• Certo – É o próprio espaço amostral S.

• Impossível – É o evento que não tem possibilidade de acontecer. É sim-

bolizado pelo conjunto vazio .

18.3 Calculando a probabilidade A probabilidade matemática de um acontecimento é a razão entre o número

de elemento dos eventos pelo número de elementos do espaço amostral,

desde que haja rigorosa equipossibilidade entre todos os casos.


Assim, calculamos a probabilidade por:

P(A) = n(A)n(S)

Exemplos:

1º Exemplo – Qual é a probabilidade de se obter uma cara em uma única

jogada de moeda?

Resolução:

Primeiramente, calculamos o espaço amostral ao lançarmos a moeda; pode-

mos encontrar os seguintes resultados:

S = { cara, coroa } n(S) = 2

Agora vamos determinar o número de vezes que o evento pode ocorrer,

lembre-se que o evento é o que queremos que aconteça, logo:

A = { cara } n(A) = 1, então substituindo na fórmula temos:

P(A) = n(A)n(S)

P(Cara) = 12

ou 50%

Podemos então concluir que temos 50% de chances de lançar uma moeda

e ela dar cara.

2º Exemplo – Qual é a probabilidade de se obter uma única cara em um

lançamento de três moedas?

Resolução:

Primeiramente calculamos o espaço amostral:

S = {uma única cara} n(S) = 8, pois:

S = {KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC}

O evento é o que queremos, logo queremos uma única cara, portanto:

A = { cara } A = {KKC, KCK, CKK} n(A) = { 3 }, logo:

e-Tec BrasilAula 18 – Probabilidade 121

P(A) = n(A)n(S)

P(unicacara) = 38

ou 37,5%

Ou seja, a chance de sair uma única cara no lançamento de três moedas é

de 37,5%.

18.4 Calculando outras probabilidades Existem outros formatos de acontecimentos probabilísticos, que são:

• Acontecimentos mutuamente exclusivos

Diz-se que dois eventos são mutuamente exclusivos quando, na ocorrência

de um, o outro não pode ocorrer. Utilizamos a fórmula:

P ( A B ) = P (A) + P (B)

Exemplo: Qual a probabilidade de - ao retirar uma carta de um baralho de

52 cartas – obtermos um ás ou uma dama.

P ( B C) = P (B) + P (C)

P ( B C) = 452

+ 452

P ( B C) = 852

Resposta: A probabilidade é de 852

ou 0,1538 ou 15,38%.

• Eventos não mutuamente exclusivos

Diz-se que dois eventos NÃO são mutuamente exclusivos quando podem

ocorrer simultaneamente.

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

Exemplo: Ao se retirar uma carta de um baralho comum, com 52 cartas,

qual a probabilidade de obtermos um ás ou uma carta de espadas?

P ( A B ) = P (A) + P (B) – P(A B)

P ( A B) = P (A) + P (B) – P(A B)


P ( B C) = 452

+ 1352

– 152

P ( B C) = 1752

Resposta: A probabilidade é de 1752

ou 0,3269 ou 32,69%

• Probabilidade condicional

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S. A probabilidade do

evento A ocorrer quando B já tiver ocorrido é chamada de probabilidade

condicional de A em relação a B.

P A

B = P(A B)

P(B)

Fonte: extraído do http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeCondicional.aspx

Uma pesquisa realizada entre 1.000 consumidores, registrou que 650 deles

trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard; que 550 traba-

lham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com car-

tões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolher-

mos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um

dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?

Observe a figura abaixo e a compare com as informações do enunciado. Este

exemplo ajudará na resolução de outros problemas:

MasterCard Visa

450 200 350

Onde:

n(A) = 450 +200 = 650n(B) = 350 + 200 = 550n(A B) = 200n(s) = 1000


A probabilidade procurada é dada pela fórmula:

P A

B = P(A B)

P(B)

Como mencionamos, a probabilidade da intersecção é a razão do seu núme-

ro de elementos, para o número de elementos do espaço amostral, então a

fórmula acima pode ser reduzida a:

P (A B) = n(A B)

n(S)

O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras, ou seja, a quantidade

de elementos da intersecção é igual a 200, já o número de consumidores

que utilizam ao menos a bandeira VISA é 550, portanto:

P (A B) = n(A B)

n(S) = 200

550 = 4

11

Logo, a probabilidade de escolher uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,

ser também usuária da bandeira MasterCard é 4

11 ou 36,36%.

Resumo• Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer.

• Experimentos aleatórios é um experimento em que ocorrendo nas mesmas

condições podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência.

• Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.

• Classificação de Eventos se dividem em Evento Simples, Evento Certo e

Evento Impossível.

Atividades de aprendizagem1. Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número

divisor de 6?


2. Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao

menos uma coroa?

3. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 azuis e 7 verdes. Se retirarmos uma

única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

4. De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma

bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível

por 4?

5. Em uma escola de idiomas com 2.000 alunos, 500 fazem o curso de

inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos.

Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade

dele também estar cursando o curso de espanhol?


e-Tec Brasil127

Aula 19 – Medidas de assimetria e curtose

Nesta aula iremos estudar os tipos de curtose de uma distribuição, identi-

ficando-a através de cálculos matemáticos.

19.1 AssimetriaA assimetria que também pode ser denominada de medidas de enviesamen-

to, indicam o grau de deformação de uma curva de frequência.

Para Filho (2007, p.73), podemos definir a curtose como: “... o grau de de-

formação (assimetria) e o grau de achatamento ou afilamento (curtose) da

curva de frequências ou do histograma”.

Para dados que estão agrupados, além do histograma, que é o grafico de

uma distribuição de frequência, nós representamos também por uma curva

de frequência; as diferenças entre os valores da média, da mediana e da

moda são indicadores da forma da curva em termos de assimetria.

Sendo assim, como já vimos na aula sobre gráficos, podemos formar um po-

lígono de frequência que descreve as curvas abaixo. Vejamos primeiramente

as medidas de assimetria e seus tipos:

• Primeira medida de assimetria

É a curva chamada de simétrica ou padrão – quando a curva tem um

formato de sino, bem simétrica em relação ao eixo que é determinado pela

média. Nesse eixo as medidas de mediana e moda são iguais a média arit-

mética. Confira na figura 19.1.

x = Me = MoFigura 19.1: Curva normalFonte: (FILHO, 2007)

• Segunda curva assimétrica

Essa curva é chamada de assimétrica à direita ou positiva, pois como po-

demos observar ela tem uma cauda à esquerda. Suas medidas estão numa

desigualdade, de ordem igual a:

Mo<Me<x

Mo Me xFigura 19.2: Curva assimétrica à direita ou assimétrica positivaFonte: (FILHO, 2007)

• Terceira curva assimetrica

Denominada de assimétrica à esquerda ou negativa, ela tem sua cauda

no sentido à direita e estabelece a relação de desigualdade x<me<mo. Ob-

serve a figura 19.3.

x Me Mo Figura 19.3: Curva assimétrica à esquerda ou curva assimétrica negativaFonte: (FILHO, 2007)

Como você pode ver estabelecemos algumas relações de grandeza, tais

como:

• Na distribuição assimétrica positiva, podemos observar que a moda é

maior que a mediana que é maior que a média, ou seja: Mo < Me < X


Observe:

Mo Me xFigura 19.4: Distribuição assimétrica positivaFonte: (FILHO, 2007)

19.1 Coeficientes de assimetriaPara verificar se uma curva é simétrica ou assimétrica, positiva ou negativa,

não precisamos ficar desenhando o polígono. Fazemos uso da matemática,

utilizando equações que determinam qual o formato da curva. Essas equa-

ções algébricas utilizam as medidas de tendência central e de dispersão para

determinar o chamado coeficiente de assimetria. O primeiro coeficiente foi

descoberto por Cal Pearson, que pode ser obtido através de duas fórmulas,

como vocês podem ver:

1º) Coeficiente de Pearson

Sk = (x – Mo)

dp

2º) Coeficiente de Pearson

Sk = 3.(x – Me)

dp

Quando:

Sk = 0 distribuição simétrica, ou seja ela é normal.

Se Sk > 0 então a distribuição é assimétrica positiva.Porém se:

Sk < 0 a distribuição é dita assimétrica negativa.

e-Tec BrasilAula 19 – Medidas de assimetria e curtose 129

Exemplo:

Calcular o coeficiente de assimetria e classificar a curva de uma distribuição

que possui:

a) x = 6; Md = 6 e Dp = 1.

Substituindo temos:

Sk = 3.(x – Me)

dp

Sk = 3.(6 – 6)

1

Sk = 3.(0)

1

Sk = 0

1

Sk = 0

Logo a curva é normal, ou seja, simétrica e tem o formato abaixo:

x = Me = MoFigura 19.5: Curva simétricaFonte: (FILHO, 2007)

b) x = 88; Md = 82 e Dp = 40.

Sk = 3.(x – Me)

dp

Sk = 3.(88 – 82)

40

Sk = 3.(6)

40

Sk = 18

40

Sk = 0,45


Sendo Sk = 0,45, podemos saber que a curva é assimétrica positiva, como

na figura 19.6.

Mo Me xFigura 19.6: Curva assimétrica à direita ou assimétrica positivaFonte: (FILHO, 2007)

19.2 Medidas de curtoseIndicam o grau de acha tamento de uma curva de frequência, ou do histo-

grama correspondente a ela. Esse comportamento é dado pela concentração

dos valores em relação à moda.

MédiaFigura 19.7: Medida de curtoseFonte: http://dc99.4shared.com/

Com a medida assimétrica, podemos determinar a medida de curtose por

uma fórmula. Veja.

K = Q3 – Q1

2 . (P90 – P10)

Quando:

K = 0,263 distribuição normal (mesocúrtica)

K < 0,263 distribuição alongada (leptocúrtica)

K > 0,263 distribuição acha tada (platicúrtica)


Exemplo:

Com os dados abaixo, calcule o coeficiente de curtose.

Q3 = 6,75 P90 = 8,20 Q1 = 3,25 P10= 1,80

Solução:

Substituindo, temos:

K = Q3 – Q1

2 . (P90 – P10)

K = 6,75 – 3,25

2 . (8,20 – 1,80)

K = 3,50

2 . (6,40)

K = 3,50

12,80

K = 0,2734

Portanto, a curva é chamada de platicúrtica, pois 0,273 é maior que 0,263.

Resumo • Assimetria mede o grau de deformação de uma curva de frequência. Ti-

pos de assimetria: simétrica ou normal, assimétrica positiva ou negativa.

• Curtose mede o grau de achatamento de uma distribuição de frequên-

cia. Tipos de curtose: mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica.

Atividades de aprendizagem1. Os dados abaixo se referem à renda nominal de 60 famílias (valores

em R$)

400 350 370 375 399 405 360 408 430 385390 390 385 360 397 400 406 440 415 410400 410 382 340 360 370 380 370 413 390400 390 355 375 427 397 413 430 357 340350 410 420 360 403 382 390 425 420 404420 410 411 404 397 420 404 421 440 380


Pede-se:

a) montar uma tabela de distribuição por frequência usando a fórmula de

“Sturges”;

b) a média aritmética: (R$ 395,75)

c) a mediana: (R$ 400,00)

d) a moda de Karl Pearson: (R$ 408,50)

e) o primeiro e o terceiro quartis; o décimo e o nonagésimo percentis;

(R$378,33; R$412,50; R$360,00; R$426,25)

f) o desvio médio; (R$19,75)

g) desvio padrão; (R$24,09)

h) o percentual de famílias cujas rendas situam-se entre a C ± 1 DM;

(56,67%)

i) o número de famílias cujas rendas situam-se entre a C ±1 S (suponha que

a distribuição seja normal). (± 41 famílias)


j) coeficiente de variação; (6,09%)

k) o coeficiente de assimetria de Pearson (primeiro e segundo). Faça a curva

e determine o seu comportamento; (– 0,529; Assimetria Negativa)

l) determinar o grau de achatamento da curva, identificando-a pelo nome

e pela curva; (0,258; Leptocúrtica)

Trabalhe sempre com duas casas depois da vírgula, fazendo arredondamen-

to estatístico, onde for possível.

2. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro

(X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de

uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequência abaixo. A

coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna

P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações

coincidentes com os extremos das classes. (Fonte: Questão extraída do

AFRF-2002.1)

Classes P(%)

70 90 5

90 110 15

110 130 40

130 150 70

150 170 85

170 190 95

190 210 100


Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em

geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose

é dada pelo quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é a metade da distân-

cia interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%,

respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a

distribuição de X.

a) 0,263

b) 0,250

c) 0,300

d) 0,242

e) 0,000

Anotações


e-Tec Brasil137

Aula 20 – Curva normal

Nesta aula iremos estudar a curva normal, e calcular a probabilidade de

determinar a sua ocorrência.

20.1 Distribuição normalA distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de comportamen-

to normal, com probabilidade contínua que é simétrica e mesocúrtica. A

curva que representa a distribuição normal de probabilidade é descrita como

tendo o formato de sino e é também conhecida como Curva de Gauss.

Observe abaixo a curva representativa da distribuição normal de probabilidade:

A área em azul escuro está a menos de um desvio padrão ( ) da média. Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquan-to dois desvios padrões desde a média (azul médio e escuro) representam cerca de 95%, e três desvios padrões (azul claro, médio e escuro) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra 68-95-99.7, ou a regra empírica, ou a regra dos 3-sigmas.

Figura 20.2: curva representativa da distribuição nor-mal de probabilidadeFonte: http://pt.wikipedia.org/

Este tipo de distribuição é importante na inferência estatística por três razões:

a) as medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem este tipo

de distribuição;

b) probabilidades normais podem ser usadas frequentemente como aproxi-

mações de outras distribuições (binomial e de Poisson);

c) as distribuições amostrais de estatísticas, tais como a média, frequente-

mente seguem a distribuição normal independente da distribuição da

população.

Figura 20.1: Karl Friedrich GaussFonte: www.sil.si.edu

Para saber mais sobre Karl Friedrich Gauss acesse: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/gauss/gauss.htm

Representando as médias por l e o desvio padrão por S, qualquer combina-

ção destes valores gera uma distribuição normal de probabilidade diferente

(todas simétricas e mesocúrticas. As tabelas de probabilidades normal são

baseadas em uma distribuição normal de probabilidades com l = 0 e S = 1.

Vejamos:

Figura 20.3: Distribuição normal padronizadaFonte: http://www.engenheirodepetroleo.com.br/

Qualquer conjunto de valores X, normalmente distribuídos, pode ser conver-

tido em valores normais padronizados através da fórmula:

z = X –

S


Os valores de z indicam as proporções de área para vários intervalos, com

fronteira começando sempre na média.

Exemplo: Sabe-se que a vida útil de determinado componente eletrônico

segue uma distribuição normal com média l = 2.000 horas e desvio padrão

S = 200 horas. Qual é a probabilidade de um componente eletrônico, esco-

lhido aleatoriamente, dure entre 2.000 e 2.400 horas?

Cálculo do valor padronizado:

z1 = X –

S z1 = 2.400 – 2.000

200 z1 = 400

200 z1 = 2

Portanto, o valor padronizado correspondente a 2.400 horas é o valor

z = 2,00.

Visualizando, na curva, o que deve ser calculado:

Figura 20.4: Cálculo do valor padronizadoFonte: Castanheira, 2010

Procurando na tabela z = 2,00, encontramos o número 0,4772.

Então, a probabilidade procurada pode ser escrita da seguinte forma:

P ( 2.000 z 2.400 ) = 0,4772 ou P ( 2.000 z 2.400 ) = 47,72%.

e-Tec BrasilAula 20 – Curva normal 139

e-Tec Brasil141

Referências

ANDERSON, David R. Estatística aplicada à administração e economia. 2ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: IBPEX, 2010.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999.

FILHO, Jair Croce. Apostila de Estatística básica, 2007. Disponível em: http://lia.uncisal.edu.br/ensino/pdf2/Apostila_Estatistica_II.pdf

LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento, 2000.

MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Dados numéricos na empresa: interpretação e análise. Curitiba: IBPEX, 2004.

MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Atlas, 2008.

MILANI, Giusepe, et. Al. Estatística Aplicada. São Paulo: Atlas, 1995.

SILVA, Ermes Medeiros da, e outros. Estatística para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 3ªedição. São Paulo: Atlas, 1999.

STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1981.

PASQUALI, Luiz. A Curva Normal. Disponível em: <http://www.psiambiental.

net/pdf/PasqCap03.pdf>. Acesso em: 06 de Dezembro de 2011.

PEREIRA, Paulo Henrique. Noções de estatística: com exercícios para administração e ciências humanas. São Paulo: Papirus, 2004.

WIKIPEDIA. Desenvolvido pela Wikipédia Foundation. Apresenta conteúdo enciclopédico.[S.I], 2011. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/>. Acesso em: 8 de outubro de 2011.

Referências das figuras

Figura 1.1: Análise estatísticaFonte: http://www.decifrando.com/wp-content/uploads/2010/10/estatistica.jpg

Figura 1.2: Godofredo AchenwallFonte: http://cdn.dipity.com/uploads/events/6adb31d1855709f428a5c1499902af9e_1M.png

Figura 1.3: O mundo logísticoFonte: http://www.tocadacotia.com/tecnologia/tecnologia-em-logistica

Figura 2.1: Métodos – DMAIC / 6 SIGMA Fonte: http://www.estatcamp.com.br/empresa/4-dmaic

Figura 3.1: PopulaçãoFonte: ©Andrea Danti/Shutterstock

Figura 3.2: População e AmostraFonte: elaborado pelo autor.

Figura 3.3: Variáveis quantitativas e qualitativas.Fonte: http://img20.imageshack.us/img20/1919/se100pessoas.jpg

Figura 4.1: Números aleatóriosFonte: http://tic4-39188.blogspot.com/2008/12/c8-tabela-de-nmeros-aleatrios.html

Figura 4.2: Amostra estratificadaFonte: Adaptado de www.mbi.com.br/mbi/biblioteca/tutoriais/estratificacao

Figura 5.1: Componentes de uma tabelaFonte: Adaptado de Estatística fácil, 2002.

Figura 6.1: Gráfico em linha ou em curvaFonte: MDIC/SECEX

Figura 6.2: Gráfico em colunas ou em barrasFonte: MDCI / SECEX

Figura 6.3: Gráfico em setoresFonte: MDIC/SECEX

Figura 6.4: HistogramaFonte: http://mathforum.forumais.com/t15-poligno-de-frequencia

Figura 8.1: Limites de classeFonte: Elaborado pelo autor

Figura 8.2: Cálculo das frequênciasFonte: Elaborado pelo autor

Figura 13.1: DecilFonte: ©maksymmo/Shutterstock

Figura 19.1: Curva normalFonte: Filho (2007)

Figura 19.2: Curva assimétrica à direita ou assimétrica positivaFonte: Filho, 2007

Figura 19.3: Curva assimétrica à esquerda ou curva assimétrica negativaFonte: Filho (2007)


Figura 19.4: Curva assimétrica à direita ou assimétrica positivaFonte: Filho (2007)

Figura 19.5: Curva simétricaFonte: Filho (2007)

Figura 19.6: Curva assimétrica à direita ou assimétrica positivaFonte: Filho (2007)

Figura 19.7: Medida de curtoseFonte: http://dc99.4shared.com/doc/6eUysS5d/preview.html

Figura 20.1 Karl Friedrich GaussFonte: http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/CF/by_name_display_results.cfm?scientist=Gauss,%20Carl%20FriedrichFigura 20.2: curva representativa da distribuição normal de probabilidadeFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal

Figura 20.3: Distribuição normal padronizadaFonte: http://www.engenheirodepetroleo.com.br/

Figura 20.4: Cálculo do valor padronizadoFonte: Castanheira, 2010

Tabela 5.3: Série geográficaFonte: FGV Management

Tabela 5.4: Séries específicasFonte: Elaborado pelo autor

Tabela 5.5: Distribuição de frequência com intervalosFonte: Elaborado pelo autor

Tabela 7.1: Distribuição de frequência das notas dos alunosFonte: Elaborado pelo autor

Tabela 7.2: distribuição de frequência com intervalos e suas respectivas frequências.Fonte: Elaborado pelo autor

Tabela 8.1: Tabela com poucos dados e sem intervalosFonte: Dados fictícios do autor

Tabela 8.2: Tabela com muitos dados e intervalosFonte: Dados fictícios do autor

Tabela 11.1: Vantagens e desvantagens da utilização da modaFonte: Crespo (2007)

Quadro 9.1: Vantagens e desvantagens da média aritméticaFonte: Crespo, 2007

Quadro 10.1: Vantagens e desvantagens da utilização da medianaFonte: Crespo, 2007

e-Tec Brasil143Referências

e-Tec Brasil145

Atividades autoinstrutivas

1. Dentre as alternativas abaixo assinale a que está INCORRETA.

a) População é o conjunto de elementos que desejamos observar para obter

determinada informação.

b) Amostra é o subconjunto de elementos retirados da população que se

está observando, para obter determinada informação.

c) Estatística Descritiva ou Dedutiva é a parte da Estatística referente à cole-

ta e à tabulação dos dados.

d) Estatística Indutiva ou Inferencial é a parte da Estatística referente às con-

clusões sobre as fontes de dados, consistindo, assim, em obter e genera-

lizar conclusões.

e) Rol é a relação dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram

transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de ordem numérica.

2. Em relação à distribuição de frequências apresentada abaixo, é CORRETO afirmar que:

IDADES f fa

18 21 9 9

21 24 12 21

24 27 12 33

27 30 17 50

30 33 16 66

33 36 14 80

36 39 11 91

39 42 9 100

∑f = 100

a) A amplitude total da distribuição é igual a 3.

b) Esta é uma distribuição que possui 100 classes.

c) O limite superior da 5ª classe é Ls5 = 30.

d) O ponto médio da 4ª classe é Pm4= 28,5.

e) A frequência acumulada da 6ª classe é fa6 = 14.

3. Em relação à distribuição de frequência dada abaixo, podemos afirmar que:

ALTURA(em cm.) f fa

160 163 4 4

163 166 8 12

166 169 10 22

169 172 9 31

172 175 7 38

175 178 7 45

178 181 5 50

∑f = 50

(Obs.: Efetue os cálculos com duas casas decimais)

a) A mediana é igual a Me = 168,25.

b) A moda é igual a Mo = 165,79.

c) A média é igual a 170,38.X =

d) A frequência relativa da 4ª classe é fr4 = 0,18 e informa que 18% dos

elementos pesquisados têm altura entre 169cm e172 cm.

e) Estão corretas as alternativas c e d.

4. Dentre as alternativas dadas abaixo, assinale a que está CORRETA.

a) A amplitude total do conjunto de números – 4, – 2 , – 1, 0 , 2 , 4 , 6 , 8,

é igual a A = 4.

b) A amplitude total da distribuição de frequências da questão de número

2 é igual a 24, seja calculada através dos pontos médios das classes, seja

calculada pela diferença entre o limite superior da última classe e o limite

inferior da primeira classe.

c) O desvio médio do conjunto de números 4 , 6 , 8 , 10 , 11 é igual a

Dm = 6.

d) O desvio padrão da distribuição de frequências da questão de número 2

é igual a s = 6,26, calculado com duas casas decimais, considerando-se

que a distribuição é representativa de uma amostra da população.

e) Todas as alternativas estão corretas.


5. Dentre as alternativas dadas abaixo, assinale a que está INCORRETA.

a) As medidas de assimetria, também denominadas de medidas de envie-

samento, indicam o grau de deformação de uma curva de frequências.

b) Uma curva de distribuição de frequências, quanto à assimetria, pode ser

classificada em simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa.

c) Curtose é o grau de achatamento ou de afilamento de uma distribuição

de frequências, ou seja, do histograma correspondente.

d) Quanto ao grau de achatamento, uma curva de distribuição de frequ-

ências pode ser classificada em mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica.

e) Se o coeficiente de curtose ( K ) para uma determinada distribuição de

frequência for igual a 0,295, pode-se afirmar que a curva é do tipo lep-

tocúrtica.

6. João, Um empresário bem sucedido, pediu a Pedro e a Paulo que

resolvessem um determinado problema que a empresa estava en-

frentando. A probabilidade de que Pedro resolver o problema é

igual a 1

5 e a de Paulo resolver a questão é de 2

3. Se ambos

tentarem resolver o problema, independentemente um do outro,

qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? (Obs.: Efe-

tue os cálculos com duas casas decimais)

a) 2

15 ou 13,33%

b) 11

15 ou 73,33%

c) 3

8 ou 37,50%

d) 1

4 ou 25,00%

e) 1

2 ou 50,00%

e-Tec BrasilAtividades autoinstrutivas 147

7. Uma caixa A contém 5 peças perfeitas e 3 com algum tipo de de-feito . Outra caixa B, contém 4 peças perfeitas e 2 com algum tipo de defeito. Uma peça é retirada de cada caixa aleatoriamente. Qual a probabilidade das peças retiradas serem ambas perfeitas ou ambas defeituosas? (Obs.: Efetue os cálculos com duas casas decimais)

a) 5

12 ou 41,67%.

b) 1

8 ou 12,50%.

c) 13

24 ou 54,17%

d) 9

14 ou 64,29%.

e) 5

14 ou 35,71%.

8. Dentre as alternativas abaixo assinale a que está CORRETA.

a) População é o subconjunto de elementos retirados da população que se

está observando, para obter determinada informação.

b) Amostra é o conjunto de elementos que desejamos observar para obter

determinada informação.

c) Rol é a relação dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram

transcritos obedecendo a uma ordem numérica, seja crescente ou de-

crescente.

d) Estatística Indutiva ou Inferencial é a parte da Estatística referente à cole-

ta e à tabulação dos dados.

e) Estatística Descritiva ou Dedutiva é a parte da Estatística referente às con-

clusões sobre as fontes de dados, consistindo, assim, em obter e genera-

lizar conclusões.


9. Em relação à distribuição de frequências apresentada abaixo, é CORRETO afirmar que:

IDADES f fa

20 23 8 8

23 26 12 20

26 29 13 33

29 32 18 51

32 35 15 66

35 38 14 80

38 41 11 91

41 44 9 100

∑f = 100

a) A amplitude total da distribuição é igual a 24.

b) Esta é uma distribuição que possui 8 classes.

c) O limite superior da 5ª classe é Ls5 = 35.

d) O ponto médio da 4ª classe é Pm4= 30,5.


10. Em relação à distribuição de frequência dada abaixo, podemos afirmar que: (Obs.: Efetue os cálculos com duas casas decimais)

ALTURA(em cm.) f fa

140 148 3 3

148 156 8 11

156 164 10 21

164 172 13 34

172 180 9 43

180 188 5 48

188 196 2 50

∑f = 50

a) A mediana é igual a Me = 164,66.

b) A moda é igual a Mo = 167,79.

c) A média é igual a x = 164,60.

d) A frequência relativa da 4ª classe é fr4 = 0,26 e informa que 26% dos

elementos pesquisados têm altura entre 164cm e 172cm.

e) Estão corretas as alternativas b e d.


11. Dentre as alternativas dadas abaixo, assinale a que está CORRETA.

a) A amplitude total do conjunto de números – 6, – 3 , – 2, 0 , 4 , 7 , 9 , 11,

é igual a AT = 20.

b) A amplitude total da distribuição de frequências da questão de número

2 é igual a 24, seja calculada através dos pontos médios das classes, seja

calculada pela diferença entre o limite superior da última classe e o limite

inferior da primeira classe.

c) O desvio médio do conjunto de números 5 , 8 , 12 , 14 , 16 é igual a

Dm = 6,3.

d) O desvio padrão da distribuição de frequências da questão de número 2

é igual a s = 5,90, calculado com duas casas decimais, considerando-se

que a distribuição é representativa de uma amostra da população.


12. Dentre as alternativas dadas abaixo, assinale a que está INCORRETA.

a) Em relação à assimetria, as curvas de distribuição de frequências podem

ser classificadas em simétricas, assimétricas à esquerda (assimetria nega-

tiva) ou assimétricas à direita (assimetria positiva).

b) As medidas de assimetria (ou de enviesamento) indicam o grau de defor-

mação de uma curva de distribuição de frequências.

c) As medidas de curtose indicam o grau de achatamento ou de afilamento

de uma curva representativa de uma distribuição de frequências.

d) Quanto à curtose uma curva de distribuição de frequências pode ser clas-

sificada em mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica.

e) Se o coeficiente de assimetria ( SK ) para uma determinada distribuição

de frequência for menor do que zero, pode-se afirmar que a curva é do

tipo mesocúrtica.

13. Uma urna contém 7 bolas brancas numeradas com números impa-res distintos e 4 bolas amarelas numeradas com números pares, também distintos. Em outra urna, contém 5 bolas brancas nume-radas com números impares e 2 bolas amarelas numeradas com números pares. Uma bola é retirada de cada urna aleatoriamente. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem ambas pares ou ambas impares? (Obs.: Efetue os cálculos com duas casas deci-mais)


a) 34

77 ou 44,16%.

b) 43

77 ou 55,84%.

c) 45

77 ou 58,44%.

d) 6

7 ou 85,71%.

e) 9

16 ou 56,25%.

14. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordena-do. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extra-ções com reposição, é:

a) 9.

b) 6.

c) 5.

d) 8.

e) 3.

15. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordena-do. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extra-ções sem reposição, é:

a) 5.

b) 3.

c) 8.

d) 9.

e) 6


16. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se

simultaneamente duas bolas dessa urna, obtém-se um conjunto.

O número de conjuntos possíveis é:

a) 8.

b) 5.

c) 6.

d) 3.

e) 9.

17. Lançando-se uma moeda usual 5 vezes, seus resultados formam

uma sequência. O número de sequências possíveis é:

a) 2.

b) 5.

c) 10.

d) 25.

e) 32.

18. Considere o seguinte experimento aleatório: “lançar dois dados e

observar os números obtidos nas faces superiores”. O número de

elementos do espaço amostral desse experimento é:

a) 6.

b) 12.

c) 2.

d) 64.

e) 36 .

19. Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n ( E ) o

número de resultados possíveis e representar por n( A ) o número

de resultados que apresentam apenas duas caras. Então:

a) n ( E ) = 6 e n ( A ) = 3.

b) n ( E ) = 6 e n ( A ) = 4.

c) c.n ( E ) = 8 e n ( A ) = 4.

d) d.n ( E ) = 8 e n ( A ) = 6.

e) n ( E ) = 8 e n ( A ) = 3.


20. Lançando-se um dado honesto duas vezes, o número de resulta-dos que apresentam soma 7, é:

a) 4.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 3.

21. Uma urna tem 20 bolas numeradas com 1, 2, 3..., 20. Sorteia-se uma bola dessa urna. Considere os seguintes eventos:

Evento A : Ocorrência de um número primo Evento B : Ocorrência de um divisor de 30 Nesse experimento, o número de elementos do evento A B é:

a) 16.

b) 15.

c) 13.

d) 14.

e) 12.

22. Dois jogadores disputam um jogo onde é lançado, uma única vez um par de dados. O jogador A ganha se a soma dos resultados for 6 e B, se a soma for 10. Nessas condições, pode-se afirmar CORRETAMENTE que:

a) B tem mais chance de ganhar que A.

b) A não tem chance de ganhar.

c) A tem mais chance de ganhar que B.

d) B não tem chance de ganhar.

e) Ambos têm as mesmas chances.


23. Denomina-se espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Se um expe-rimento consiste em se escolherem duas pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez pessoas, então o número de elementos do espaço amostral é:

a) 20.

b) 19.

c) 90.

d) 45.

e) 32.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A E D E E E C E C D

24. Em uma distribuição de frequências, verificou-se que a moda é igual a 8,0, a média é igual a 7,8 e o desvio padrão é igual a 1,0. Podemos dizer que o coeficiente de assimetria de Pearson é.

a) 0,20.

b) -0,20.

c) 2,0.

d) -2,0.

e) 0,50.

25. Em uma distribuição de frequências, verificou que a mediana é igual a 15,4, a média é igual a 16,00 e o desvio padrão é igual a 6,0. Podemos dizer que o coeficiente de assimetria de Pearson vale:

a) 0,10.

b) -0,10.

c) 0,30.

d) -0,30.

e) 0,50.


26. Observou-se que, em uma distribuição de frequência, o primeiro quartil é igual a 3, o terceiro quartil é igual a 8, o décimo centil é igual a 1,5 e o nonagésimo centil é igual a 9. Com base nesses resultados, podemos afirmar que trata-se de uma curva:

a) mesocurtica, com K = 0,263.

b) leptocúrtica, com k = 0,233.

c) leptocúrtica, com k = 0,25.

d) platicúrtica, com k = 0,45.

e) platicúrtica com k = 0,333.

27. Com o objetivo de estudar a eficácia de um regime alimentar para tratamento de diabetes foram recolhidas 12 amostras de sangue em diabéticos e analisada a quantidade de açúcar. Obtiveram-se os seguintesresultados (em mg/100ml):

187.45 187.57 187.37 187.49 187.58 187.37 187.46 187.62 187.47 187.53 187.39 187.46

Com base nesses dados podemos afirmar que:

a) a média dos pesos é 60.

b) a moda é 60.

c) a amplitude total é 55.

d) a mediana é 62,08.

e) a mediana é 60.

28. Leia e marque uma das alternativas.

Os pesos em kg de uma amostra de 25 alunos do curso de Psico-logia da UFPB em 2005 foram: 35,40, 43, 45, 47, 49, 50, 50, 55, 58, 59, 60, 60, 64, 65, 65, 70, 70, 72, 75, 80, 80, 80, 85 e 95. Com base nessa informação, podemos concluir que:

a) a média dos pesos é 60.

b) a moda é 60.

c) a amplitude total é 55.

d) a mediana é 62,08.

e) a mediana é 60.


29. Leia o enunciado e marque a alternativa CORRETA. Os dados abaixo representam os escores resultantes da aplicação

de um teste para verificar o quociente de inteligência (Q.I.) dos candidatos a vagas de emprego de uma determinada empresa do setor logístico, atuante no Paraná.

82 84 80 90 80 82 80 82 76 86 76 88 90 78 78 78 88 78 84 80

Com base nesses escores, podemos afirmar que a moda é:

a) 78.

b) 80.

c) 84.

d) 90.

e) 82.

30. Leia o enunciado e marque a alternativa CORRETA. Com o objetivo de analisar o tempo de permanência dos estudan-

tes da UFPR na Biblioteca Central, pesquisou-se em certo dia, um grupo de 50 estudantes. O resultado da pesquisa encontra-se na tabela a seguir:

Tempo depermanência

(min)Nº de estudantes

50 70 5

70 90 12

90 110 13

110 130 15

130 150 5

Total 50

Com base na tabela, podemos afirmar que:

a) O número de classes dessa distribuição de frequências é 6.

b) Que os pontos médios dessa distribuição são: 60, 80, 100, 120.

c) Que a frequência acumulada da terceira classe é 30.

d) Que a frequência absoluta da ultima classe é 50.

e) Que a moda dessa distribuição é 15.


31. As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades na morte e as causas de morte. Os dados se baseiam no estudo levado a efeito pela revista Time sobre as pessoas que morreram vitimadas por armas de fogo durante uma semana, conforme ta-bela abaixo.

Idade na morte Frequência

16 26 22

26 36 10

36 46 6

46 56 2

56 66 4

66 76 5

76 86 1

O primeiro decil dessa distribuição é:

a) 22.

b) 5.

c) 18,27.

d) 9,55.

e) 76.

32. A distribuição abaixo revela a quantidade de casas alugadas em função do valor do aluguel.

Aluguel (x R$100) Quantidade de casas

4 6 18

6 8 25

8 10 32

10 12 40

12 14 30

14 16 18

16 18 12

Podemos afirmar que o terceiro quarto (quartil) dessa distribuição é:

a) 32.

b) 75.

c) 43,75.

d) 13,51.

e) 131,25.


33. Da distribuição abaixo, podemos afirmar que o 54º percentil é:

NOTAS fi

0 2 5

2 4 8

4 6 14

6 8 10

8 10 7

44

a) 4,4.

b) 0,44.

c) 23,76.

d) 5,54.

e) 7,54.

34. Na distribuição de frequência abaixo, temos a estaturas de 70 pessoas,

Estaturas fi

150 158 5

158 166 12

166 174 18

174 182 27

182 190 8

70

Podemos afirmar que:

a) a amplitude total é 40.

b) a maior frequência é 70.

c) que a frequência acumulada é da quarta classe é 35.

d) que a amplitude do intervalo é 7.

e) que a mediana é 35.


35. Com base na distribuição de frequência abaixo, resultante dos salários de 70 funcionários.

Salários (R$) fi

500 700 18

700 900 31

900 1100 15

1100 1300 3

1300 1500 1

1500 1700 1

1700 1900 1

70

Podemos afirmar que nessa distribuição o intervalo usado é:

a) Aberto a esquerda.

b) Fechado a esquerda.

c) Aberto.

d) Fechado.

e) Aberto a esquerda e a direita.

36. Os seguintes dados referem-se ao salário (em R$) de 40 funcioná-rios da empresa GIS.

1638 2456 1715 1330 1398 1230 3153 1275

2154 704 2000 2622 1319 3050 3502 1154

1271 1894 780 1137 3296 2169 2578 654

2415 1104 756 2634 802 2846 1158 486

1317 516 1351 585 1440 588 1243 1674

a) A media aritmética dos salários é R$1.650,00.

b) A mediana tem como valor o R$1.340,50.

c) A amplitude total é R$2.499,00.

d) A moda dos salários é R$1.650,00.

e) A media aritmética é acima de R$1.650,00.

37. Leia o enunciado e responda marcando uma alternativa (adapta-do de Crespo, 2007)

Ao nascer, os bebês são pesados e medidos, para se saber se estão dentro das tabelas de peso e altura esperados. Estas duas variá-veis são:


a) Qualitativas.

b) Ambas discretas.

c) Ambas contínuas.

d) Contínua e discreta, respectivamente.

e) Discreta e contínua, respectivamente.

38. Leia o enunciado e responda marcando uma alternativa (adapta-do de Crespo, 2007).

A parcela da população convenientemente escolhida para repre-senta-la é chamada de:

a) Variável.

b) Rol.

c) Amostra.

d) Dados brutos.

e) Nada podemos afirmar, porque a informação é incompleta.


Em uma empresa, os custos estão separados por setor. 70% desse custo vão para o setor produtivo, 12% para o setor logístico e ma-nutenção e 18% para os setores administrativos, comercial e rh. O gráfico que melhor representa essa situação é:

a) O de linha.

b) O de barras.

c) O de setores.

d) O histograma.

e) O de Pareto.


Um conjunto de 100 peças de calibradores, retirados de um esto-que de pneus, constitui:

a) um rol.

b) uma tabela.

c) uma relação de dados brutos.

d) uma distribuição de frequência.

e) uma população.


41. Dado o conjunto de números A = {8, 4, 6, 9, 10, 5}, determine o desvio médio dos elementos desse conjunto, supondo que esses valores correspondem a uma amostra.

a) 28.

b) 2,3664.

c) 7.

d) 2,8.

e) 2.

42. Podemos afirmar que a mediana do conjunto de números da questão anterior, é:

a) 7.

b) 6.

c) 9.

d) 8.

e) 7,5.

43. Com base na distribuição de frequência abaixo, resultante dos salários de 70 funcionários.

Salários (R$) fi

500 700 18

700 900 31

900 1100 15

1100 1300 3

1300 1500 1

1500 1700 1

1700 1900 1

70

Podemos afirmar que:

a) sua curva tem comportamento normal.

b) que ela é assimétrica positiva.

c) que ela é assimétrica negativa.

d) ela tem uma curtose placurtica.

e) ela tem um comportamento leptocurtico.


44. As notas de um candidato nas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1;7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota mo-dal dessealuno são respectivamente:

a) 7,9; 7,8; 7,2.

b) 7,1; 7,8; 7,9.

c) 7,8; 7,8; 7,9.

d) 7,2; 7,8; 7,9.

e) 7,8; 7,9; 7,2.

45. (Exercício adaptado da livro ADM/Estatística IFPR) Os dados da tabe-la abaixo, foram gerados pelo departamento de qualidade de uma empresa. Ela representa a distribuição de frequência, de 242 peças defeituosas, retiradas do setor de produção do lote nº 2896/2009.

X: classe y: número de peças com defeitoI 2 6 14

II 6 8 54

III 10 14 110

IV 14 16 64

O histograma que melhor se adapta aos dados da tabela e:

a)

b)

c)

d)

e)


46. Numa grande empresa, o departamento comercial elaborou um gráfico, referente às vendas do segundo semestre de 2010, de suas quatro filiais.

Fonte: http://www.adianti.com.br/bkrpt

Pela análise do gráfico, e CORRETO afirmar que:

a) O número de vendas das quatro filiais no mês de setembro passou de

20.000,00.

b) A filial de Minas Gerais superou no mês de novembro a filial de São Paulo.

c) As vendas, da filial do Rio Grande do Sul, no mês de julho foram nula.

d) O gráfico de linha do departamento de vendas está claro, e mostra a

evolução das vendas das filiais.

e) No mês de outubro de 2010, as filiais de Rio Grande do Sul e Rio de Ja-

neiro, obtiveram as mesmas receitas de vendas.

47. Analise a série abaixo e marque a alternativa que corresponde ao tipo de série.

A serie representa as Aplicações (em milhões R$) do ultimo quadri-mestre de 2008, do banco PoupeMais.

Mês AplicaçõesSetembro 20,3

Outubro 22,2

Novembro 23,1

Dezembro 21,0

a) cronológica.

b) geográfica.

c) especifica.

d) distribuição de frequência.

e) nenhuma das anteriores.


As questões de número 48 e 49 devem ser respondidas com base na Distribuição abaixo, referente aos salários de 70 empregados de uma empresa.

Salários (R$) fi

500 700 18

700 900 31

900 1100 15

1100 1300 3

1300 1500 1

1500 1700 1

1700 1900 1

70

48. O limite superior da quinta classe é:

a) 1300.

b) 1900.

c) 1500.

d) 1100.

e) 1450.

49. As frequências acumulada da terceira e da quinta classe são, res-pectivamente:

a) 15 e 3.

b) 3 e 1.

c) 64 e 67.

d) 64 e 68.

e) 64 e 66.

50. A tabela a seguir representa a distribuição de frequências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, no mês de julho de 2006.

Número de classe

Salário do mês em R$ Número de empregados

1 1000 2000 20

2 2000 3000 18

3 3000 4000 9

4 4000 5000 3


O salario médio desses empregados, nesse mês, foi de:

a) R$2 637,00.

b) R$2 520,00.

c) R$2 500,00.

d) R$2 420,00.

e) R$2 400,00.


e-Tec Brasil167

Currículo do professor-autor

Marcos Antonio Barbosa

Graduado em Matemática pela Universidade Tuiuti do Paraná - UTP, é es-

pecialista em Educação Matemática e mestre em Educação, pela Pontifícia

Universidade Católica do Paraná - PUCPR. Atualmente é professor e coorde-

nador da gestão de polos/EAD do Instituto Federal do Paraná. Tem experiên-

cia na área de Educação, com ênfase em Educação Matemática e Educação

a Distância, atuando principalmente nos seguintes temas: didática; prática

de ensino, coordenação de cursos de graduação e especialização em EaD,

gestão de polos em EaD.

Documents

Estatística - RNP