Estimacin. Estimacin Puntual Propiedades deseables de los
estimadores Estimaciones puntuales (media, proporcin, varianza)
Estimacin por intervalos Estimacin de la media y diferencias de
medias Estimacin de la proporcin y diferencia de proporciones
Estimacin de la varianza y cociente de varianzas Relacin entre
ambas estimaciones Tamao de la muestra Ejercicios
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Introduccin Inferencia Estadstica, Estadstica Inductiva, Teora
de Muestras Existe una de la que el investigador selecciona una que
genera unos usados para evaluar unos que se usan para estimar que
describen
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Estimacin puntual Una estimacin puntual de algn parmetro
poblacional es un valor nico del estadstico. Por ejemplo, el valor
de la estadstica calculado a partir de una muestra de tamao n, es
una estimacin puntual del parmetro poblacional. El estadstico que
se utiliza para obtener una estimacin puntual recibe el nombre de
estimador o funcin de decisin. Generalmente muestras diferentes
conducen a acciones o estimaciones diferentes. No se espera que un
estimador obtenga sin error el valor del parmetro poblacional, sino
que no se aleje mucho del valor real. Es posible definir muchas
estadsticas para estimar un parmetro desconocido. Entonces, cmo
seleccionar un buen estimador de ? Cales son los criterios para
juzgar cundo un estimador de es "bueno" o "malo"?. Por ejemplo,
pudo elegirse la mediana muestral o la moda para estimar el valor
de la media poblacional, en qu nos basamos para elegir como
estimador la media muestral?
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Estimacin puntual Propiedades Deseables de los Estimadores
Puntuales: Bsicamente para que un estimador sea bueno, se desea que
la varianza del estimador sea lo ms pequea posible, mientras que la
distribucin de muestreo debe concentrarse alrededor del valor del
parmetro. Estimadores Insesgados (Centrados): Se dice que la
estadstica = H(X 1, X 2,..., X n ) es un estimador insesgado del
parmetro, si. Es decir, si los valores del estimador se centran
alrededor del parmetro en cuestin.
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Estimacin puntual Estimadores Consistentes: Es razonable
esperar que un buen estimador de un parmetro, sea cada vez mejor
conforme crece el tamao de la muestra y la informacin se vuelve ms
completa. La distribucin de muestreo de un buen estimador se
encuentra cada vez ms concentrada alrededor del parmetro. Si un
estimador es consistente, converge en probabilidad al valor del
parmetro que est intentando estimar conforme el tamao de la muestra
crece. Esto implica que la varianza de un estimador consistente
disminuye conforme n crece. Se dice que es un estimador consistente
de si:
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Estimacin puntual Estimadores Eficientes (Insesgados de
Varianza Mnima): El hecho de que un estimador sea centrado no
garantiza que sus realizaciones caigan cerca del valor del
parmetro, hace falta adems que tenga la varianza pequea. La
varianza de un estimador insesgado es la cantidad ms importante
para decidir qu tan bueno es el estimador para estimar el parmetro.
Sean y cualesquiera dos estimadores insesgados de. Se dice que es
un estimador ms eficiente de que, si, cumplindose la desigualdad en
el sentido estricto para algn valor de. El cociente se llama
eficiencia relativa de respecto a, y su valor est entre 0 y 1 (0 e
1). Si e est prximo a 0 es mejor que.
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Estimacin puntual
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Estimacin de la Media Poblacional: La media muestral es un
estimador centrado y consistente de la media poblacional. Este
resultado es vlido sin importar la distribucin de probabilidad de
la poblacin de inters, siempre y cuando la varianza tenga un valor
finito. en donde y 2 son la media y la varianza de la distribucin
de la poblacin, a partir de la cual se obtuvo la muestra. Ntese que
conforme el tamao de la muestra crece, la precisin de la media
muestral para estimar la media poblacional aumenta (es un estimador
consistente).
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Estimacin puntual
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Ejemplo: Los datos siguientes representan los pesos en gramos
del contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron al azar de
un proceso de llenado con el propsito de verificar el peso
promedio. 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502
509 496 Calcular la estimacin puntual para el peso promedio.
Solucin: gramos.
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Estimacin puntual Estimacin de la Varianza Poblacional: Cuando
se desconoce la media poblacional, debemos sustituir este parmetro
por su estimador muestral, y el estimador a usar para la varianza
poblacional, que es centrado o insesgado sin importar cul sea la
distribucin de la poblacin de inters, es la cuasivarianza muestral
S 2. Demostracin:
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Estimacin puntual
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Si hubisemos utilizado como estimador, la varianza muestral
(desconociendo la media poblacional), no sera una estimacin
insesgada o centrada:
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Estimacin puntual Ejemplo: El cobre es un micronutriente
requerido por la mayora de las plantas. Su concentracin en una
planta se mide analizando las cenizas obtenidas al quemarla
completamente. En un estudio de la variabilidad de la concentracin
de cobre en las plantas de la cuenca del Jarama, se seleccion una
muestra de 16 plantas. Se obtuvieron los siguientes datos (en
partes por milln): 5 3 34 18 27 14 8 50 38 43 35 20 70 25 60 19
Calcular una estimacin puntual para la variabilidad de la
concentracin. Solucin:
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Estimacin puntual Estimacin de la Proporcin: Tenemos una
poblacin dividida en dos subconjuntos, en funcin de una
caracterstica determinada, de forma que la proporcin de la poblacin
que posee la caracterstica es p, y la de los que no la poseen es
1-p. Tratamos de estimar el valor de p. El estadstico dado por la
expresin siguiente, es un estimador centrado y consistente de la
proporcin poblacional. Demostracin:
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Estimacin puntual Ejemplo: Los huevos de la mosca azul producen
infecciones al ser depositados en la sangre de un animal. Se efectu
un experimento para controlar el crecimiento de la poblacin de este
tipo de moscas. Las pupas fueron sometidas a radiacin al objeto de
esterilizar al mayor nmero posible de machos. Cada hembra se
emparej con un nico macho. Se estudiaron 500 emparejamientos, de
los cuales 415 resultaron estriles. Calcular una estimacin puntual
de la proporcin poblacional de machos estriles. Solucin:
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Estimacin por intervalos Una estimacin por intervalo de un
parmetro poblacional es un intervalo de la forma L 1 < < L 2,
donde L 1 y L 2 dependen del valor del estadstico para una muestra
particular y tambin de la distribucin muestral de. Un intervalo de
confianza al nivel de confianza (1- ) 100% (donde 0 < < 1)
para el parmetro poblacional, a partir de una muestra seleccionada,
es un intervalo aleatorio tal que: P (L 1 < < L 2 ) = 1 - El
intervalo de estimacin indica, por su longitud, la precisin de la
estimacin puntual. El intervalo L 1 < < L 2, que se calcula a
partir de la muestra seleccionada, se denomina entonces intervalo
de confianza del (1 - ) 100%, la fraccin (1- ) recibe el nombre de
coeficiente de confianza o grado de confianza, y los puntos
extremos L 1 y L 2, se llaman lmites de confianza inferior y
superior. Ya que muestras distintas generalmente dan valores
distintos de y, por tanto, de L 1 y L 2, estos puntos extremos del
intervalo son los valores de las variables aleatorias
correspondientes L 1 y L 2.
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Estimacin por intervalos A partir de la distribucin muestral de
ser posible determinar L 1 y L 2 tales que P(L 1 < < L 2 )
sea igual para cualquier valor fraccional positivo que se desee
especificar. Si, por ejemplo, se encuentran L 1 y L 2 tales que, P
(L 1 < < L 2 ) = 1 - para 0 < < 1, entonces se tiene
una probabilidad de (1- ) de seleccionar una muestra aleatoria que
produzca un intervalo que contenga a. En trminos generales, la
construccin de un intervalo de confianza para un parmetro
desconocido consiste en encontrar un estadstico suficiente y
relacionarlo con una v. a. X que involucre a, a, no contenga ningn
otro valor desconocido, y cuya distribucin en el muestreo sea
conocida. Entonces se seleccionan dos valores L 1 y L 2 tales que
P(L 1 1.96) = 0.025. A partir de los datos muestrales, se obtiene
que: gramos.
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Estimacin por intervalos Entonces, el intervalo de confianza al
95% para la media del proceso de llenado es: L 1 = = 503.75 - 1.96
* = 501.3 L 2 = = 503.75 + 1.96 * = 506.2 P(L 1 < < L 2 ) =
95%
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Estimacin por intervalos Estimacin de la Media Desconociendo la
Varianza: La mayora de las veces no se conoce la varianza de la
poblacin de la cual se seleccionan las muestras aleatorias. El
valor de S 2 proporciona una buena estimacin de 2. Qu le ocurre
entonces al estadstico correspondiente (2) si se reemplaza por S 2
? Si la poblacin de partida era normal, (2) segua un distribucin
normal independientemente del tamao de la muestra. Si ahora
sustituimos 2 por S 2, aunque la poblacin de partida sea normal, la
distribucin del estadstico (3) puede desviarse de la normalidad. En
este caso, si la n 30 puede seguir suponindose que sigue una
distribucin normal sin que por ello el error cometido sea muy
grande.
Diapositiva 24
Estimacin por intervalos Sin embargo, si el tamao de la muestra
es pequeo, los valores de S 2 fluctan considerablemente de muestra
a muestra y la distribucin de la variable aleatoria (3) se desva en
forma apreciable de la normal estndar, siguiendo entonces una
distribucin t de Student con (n-1) grados de libertad. Al igual que
habamos visto en el apartado anterior: donde t /2 es el valor t con
(n-1) grados de libertad, sobre el cual se encuentra un rea de /2.
Al multiplicar cada trmino de la desigualdad por y despus de restar
y multiplicar por (-1), se obtiene:
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Estimacin por intervalos Si y S son la media y la cuadesviacin
tpica de una muestra aleatoria de una poblacin aproximadamente
normal con varianza desconocida 2 (aproximada por el valor de S 2
), un intervalo de confianza del (1 - ) 100% para es: donde t /2 es
el valor t con (n-1) grados de libertad, lo que deja un rea de /2 a
la derecha.
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Estimacin por intervalos Ejemplo: Los contenidos de 7
recipientes similares de cido sulfrico son: 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,
10, 10.2, 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95%
para la media de todos los recipientes, suponiendo una distribucin
aproximadamente normal. Solucin: La media muestral y su desviacin
estndar para los datos que se dan son: = 10 S=0.283 t 0.025 = 2.447
para 6 grados de libertad. El intervalo de confianza para es: 10 -
2.447 * < < 10 + 2.447 * lo cual se reduce a: 9.74 < <
10.26
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Estimacin por intervalos Estimacin diferencia de medias
Varianzas conocidas Varianzas desconocidas Muestras grandes
Muestras pequeas Var. igualesVar. distintas Observaciones pareadas
Estimacin de la Diferencia de Medias: Seleccionamos dos muestras
aleatorias independientes de tamaos n 1 y n 2 de dos poblaciones
normales con medias 1 y 2 y varianzas 2 1 y 2 2 respectivamente. El
estimador puntual de 1 - 2 lo da el estadstico. Se puede esperar
que la distribucin muestral de est distribuda aproximadamente en
forma normal, con media y desviacin tpica
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Estimacin por intervalos Varianzas conocidas ( 1 2 Y 2 2 ) La
variable normal estndar. caer entre -z /2 y z /2 con una
probabilidad (1 - ). P(-z /2 < Z < z /2 ) = 1 - sustituyendo
Z por la expresin anterior y siguiendo los mismos pasos que en
casos anteriores, obtenemos: Si y son las medias de muestras
aleatorias independientes de tamaos n 1 y n 2 de poblaciones
aproximadamente normales, con varianzas conocidas 1 2 y 2 2
respectivamente, un intervalo de confianza de (1 - ) 100% para 1 -
2 es: donde z /2 es el valor de z que tiene un rea de /2 a la
derecha. Si las poblaciones son normales, el grado de confianza es
exacto. Para poblaciones que no son normales, el Teorema del Lmite
Central proporciona una buena aproximacin para muestras de tamao
razonable.
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Estimacin por intervalos Varianzas desconocidas y muestras
grandes (n 1 + n 2 30 y n 1 n 2 ) Segn especialistas estadsticos se
puede seguir utilizando la aproximacin normal, pero utilizando S 1
2 y S 2 2 en lugar de las varianzas correspondientes. Varianzas
desconocidas pero iguales y muestras pequeas (n 1 + n 2 < 30)
Aqu tenemos que pero se desconoce su valor. El estadstico a usar en
este caso ser: donde S p es La estimacin muestral S p de la
varianza poblacional debe ser un promediado de las estimaciones
muestrales S 1 2 y S 2 2, porque aunque las varianzas poblacionales
1 2 y 2 2 se supongan iguales, sus estimaciones muestrales no
tienen por qu serlo, ya que se obtendrn valores diferentes segn las
muestras tomadas.
Diapositiva 30
Estimacin por intervalos Si y son las medias de muestras
aleatorias independientes, de tamaos n 1 y n 2 respectivamente, de
poblaciones aproximadamente normales, con varianzas iguales pero
desconocidas, un intervalo de confianza de (1 - ) 100% para 1 - 2
es: donde y t /2 es el valor de t con (n 1 + n 2 -2) grados de
libertad, con un rea /2 a la derecha.
Diapositiva 31
Estimacin por intervalos Ejemplo: Bilogos marinos estn
estudiando dos especies de moluscos. Miden la longitud de las
conchas para obtener informacin que les permita comparar las dos
especies. Desconocen la variabilidad de la longitud de las conchas,
pero tienen motivos para suponer que son iguales en ambas especies.
La informacin de muestra da los resultados: n 1 = 10 n 2 =10 s 1 2
=1.611s 2 2 =1.533 Construya un intervalo de confianza al 95% para
la diferencia media entre las longitudes de las conchas de las dos
especies. Solucin: = 1.5722 S p = 1.2538 (1- )100% = 95% = 0.05 /2
= 0.025 t 0.025,18 = 2.101 = 6.71 - 4.72 = 1.99 Entonces, el
intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias es:
Diapositiva 32
Estimacin por intervalos L 1 = = 1.99 - 2.101*0.5607= 0.812 L 2
= = 1.99 + 2.101*0.5607= 3.168 P(0.812 < ( 1 - 2 ) < 3.168) =
95%
Diapositiva 33
Estimacin por intervalos Varianzas desconocidas y distintas,
muestras pequeas (n 1 + n 2 < 30) El estadstico que con ms
frecuencia se utiliza en este caso es: que sigue aproximadamente
una distribucin t con v grados de libertad donde Dado que v rara
vez es un entero, se redondea al entero ms cercano.
Diapositiva 34
Estimacin por intervalos Si y y S 1 2 y S 2 2 son las medias y
cuasivarianzas de muestras pequeas independientes de tamaos n 1 y n
2 respectivamente, de distribuciones aproximadamente normales con
varianzas diferentes y desconocidas, un intervalo de confianza
aproximado del (1 - ) 100% para 1 - 2 est dado por: donde t /2 es
el valor t con grados de libertad, con un rea de /2 a la
derecha.
Diapositiva 35
Estimacin por intervalos Ejemplo: Los siguientes datos
representan los tiempos de duracin de las pelculas que producen dos
compaas cinematogrficas: Calcule el intervalo de confianza del 90%
para la diferencia entre los tiempos promedio de duracin de las
pelculas que producen las dos compaas. Suponga que el tiempo de
duracin tiene una distribucin aproximadamente normal. Solucin: n 1
= 5t 0.05,7 = 1.833 n 2 = 7= 98.4 - 110.7 = -12.31 (1- )100% = 90%
= 0.10 /2 = 0.05 s 1 2 = (21.16+19.36+134.56+129.96+0.16)=76.3 s 2
2 = (188.08+824.51+151.94+350.22+4132.65+515.94+53.08)=1036.07
CompaaTiempo (min.) I103 94 110 87 98 II 97 82 123 92 175 88
118
Diapositiva 36
Estimacin por intervalos L 1 = = -12.314 - 1.833*12.78= -35.74
L 2 = = -12.314 + 1.833*12.78= 11.11 P(-35.74 < ( 1 - 2 ) <
11.11) = 90%
Diapositiva 37
Estimacin por intervalos Observaciones pareadas: En este caso
se estima la diferencia de dos medias cuando las muestras no son
independientes. Entonces, cada unidad experimental tiene un par de
observaciones, una para cada poblacin. Consideramos las diferencias
d 1, d 2,..., d n en las observaciones pareadas. Estas diferencias
son los valores de una poblacin de diferencias que se asumir
distribuida normalmente, con media d = 1 - 2 y varianza Se estima d
2 por S d 2, la varianza de las diferencias que constituyen la
muestra. El estimador puntual de d lo representa, la media de las
diferencias que constituyen la muestra. Una vez obtenidas las
diferencias, su estudio se reduce al caso de estimacin de la media
desconocida de una poblacin aproximadamente normal, desconocida su
varianza (ya visto anteriormente).
Diapositiva 38
Estimacin por intervalos El estadstico a utilizar en esta
ocasin es: que sigue una distribucin t con (n-1) grados de
libertad. Obtener el intervalo de confianza es la rutina de
siempre. Si y S d son la media y la desviacin tpica de las
diferencias normalmente distribudas de n pares aleatorios de
mediciones, un intervalo de confianza del (1 - ) 100% para d = 1 -
2 es : donde t /2 es el valor t con (n-1) grados de libertad, con
un rea de /2 a la derecha.
Diapositiva 39
Estimacin por intervalos Ejemplo: Investigadores famosos han
formulado la hiptesis de que el fuego puede cambiar los niveles de
calcio presentes en la tierra y entonces afectar la cantidad de
este mineral disponible para los venados. Se seleccion un rea
grande de terreno para un incendio controlado. Se tomaron muestras
de la tierra de 12 parcelas de la misma rea antes del incendio y
despus de este para verificar su contenido en calcio. Se obtuvieron
los resultados indicados en la tabla que sigue. Determine un
intervalo de confianza al 95% para la diferencia promedio en el
nivel de calcio presente en la tierra antes y despus del incendio.
Asuma que la distribucin de la diferencia de los niveles de calcio
es aproximadamente normal.
Diapositiva 40
Estimacin por intervalos Nivel de calcio
ParcelaAntesDespusDiferencia 150941 2501832 3824537 4641846 5821864
673964 7773245 854945 923185 1045936 1136927 1254945
Diapositiva 41
Estimacin por intervalos Solucin: = 40.583 S 2 d = (0.173889 +
73.668 + 12.838 + 29.344 + 548.36 + 548.36 + 19.51 + 19.51 +
1266.15 + 21.004 + 184.5 + 19.51) = 249.357 S d =15.79 1- = 0.95 =
0.05 /2 = 0.025 t (n-1),0.025 = t 11, 0.025 = 2.201 L 1 = - t /2 =
40.583 - 2.201* = 30.5504 L 2 = + t /2 = 40.583 + 2.201* =
50.616
Diapositiva 42
Estimacin por intervalos Estimacin de la proporcin: Un
estimador puntual de la proporcin p en un experimento binomial est
dado por el estadstico = X/n donde X representa el n de xitos en n
intentos y sigue una distribucin binomial de parmetros n y p. y es
justo la media muestral de estos n valores. Por el Teorema del
Lmite Central, para una n lo bastante grande, est distribuida
aproximadamente en forma normal, con media: y varianza:
Diapositiva 43
Estimacin por intervalos Si p no es cercano a 0 ni a 1 y n
grande, X N (np, npq) Se puede asegurar que: donde y z /2 es el
valor de la curva normal estndar sobre la cual se encuentra un rea
de /2. Sustituyendo z obtenemos:
Diapositiva 44
Estimacin por intervalos Multiplicando ambos trminos por y
despus de restar X/n y multiplicar por (-1), se obtiene: Por tanto
los extremos del intervalo de confianza que obtenemos, dependeran
del parmetro desconocido. Cmo solucionarlo? Cuando n es grande, se
introducen muy pocos errores al sustituir la p bajo el signo
radical por su estimacin puntual =X/n. Entonces se puede
escribir:
Diapositiva 45
Estimacin por intervalos Si es la proporcin de xitos en una
muestra aleatoria de tamao n, un intervalo de confianza aproximado
de (1- ) 100% para el parmetro binomial p es: donde z /2 es el
valor z con un rea /2 a la derecha. Cuando n es pequeo y se cree
que la proporcin desconocida p se acerca a 0 o a 1, el
procedimiento establecido para el intervalo de confianza no es
confiable y no debe ser utilizado. Para estos casos se han
desarrollado diferentes mtodos grficos y analticos, en los que no
vamos a entrar, para calcular el intervalo de confianza de p.
Diapositiva 46
Estimacin por intervalos Ejemplo: Los huevos de la mosca azul
producen infecciones al ser depositados en la sangre de un animal.
Se efectu un experimento para controlar el crecimiento de la
poblacin de este tipo de moscas. Las pupas fueron sometidas a
radiacin al objeto de esterilizar al mayor nmero posible de machos.
Cada hembra se emparej con un nico macho. Se estudiaron 500
emparejamientos, de los cuales 415 resultaron estriles. Construir
un intervalo de confianza al 95% para la proporcin poblacional de
machos estriles. Solucin: 1- = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025 z 0.025 =
1.96
Diapositiva 47
Estimacin por intervalos Estimacin de Diferencia de
Proporciones: Deseamos estimar la diferencia entre dos parmetros
binomiales p 1 y p 2. Para establecer un intervalo de confianza
para p 1 -p 2 consideraremos la distribucin muestral de estn
distribuidos cada uno en forma aproximadamente normal, con medias p
1 y p 2 y varianzas respectivamente. Al seleccionar muestras
independientes de las dos poblaciones, las variables p 1 y p 2 sern
independientes y entonces estar distribuida aproximadamente normal
con media : y varianza:
Diapositiva 48
Estimacin por intervalos Por tanto se puede asegurar que donde
Siguiendo todos los mismos pasos que en los dems casos, obtenemos:
Si y son las proporciones de xitos en muestras aleatorias de tamaos
n 1 y n 2 respectivamente, un intervalo aproximado de confianza del
(1- ) 100% para la diferencia entre dos parmetros binomiales p 1 -
p 2 es: donde z /2 es el valor de z con un rea de /2 a la
derecha.
Diapositiva 49
Estimacin por intervalos Ejemplo: El departamento de trfico ha
preparado dos exmenes para conductores. Se desea determinar la
diferencia entre las proporciones de conductores que pasan el
examen 1 y los que pasan el examen 2. Su estudio revela lo
siguiente: n 1 =250n 2 =300 Construya un intervalo de confianza
aproximado del 90% para la verdadera diferencia entre las
proporciones de conductores que pasan los dos exmenes. Solucin: Con
la informacin suministrada podemos calcular: Adems sabemos que 1- =
0.90 = 0.1 /2 = 0.05 z 0.05 = 1.645
Diapositiva 50
Estimacin por intervalos Estimacin de la Varianza: Si se toma
una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza 2 y se
calcula la cuasivarianza muestral S 2, esta varianza calculada se
puede utilizar como estimacin puntual de 2. Para establecer una
estimacin de intervalo de 2 se utiliza el estadstico que, como ya
sabemos, sigue una distribucin 2 con (n-1) grados de libertad
cuando las muestras se seleccionan de una poblacin normal.
Siguiendo todos los mismos pasos que en casos anteriores,
obtenemos:
Diapositiva 51
Estimacin por intervalos Si s 2 es la cuasivarianza de una
muestra aleatoria de tamao n de una poblacin normal, un intervalo
de confianza del (1- )100% para 2 es: donde 2 /2 y 2 1 - /2 son
valores de una distribucin 2 con (n-1) grados de libertad, con reas
de /2 y 1- /2 a la derecha, respectivamente. Un intervalo de
confianza del (1- ) 100% para, se obtiene sacando la raz cuadrada
de cada punto extremo del intervalo para 2
Diapositiva 52
Estimacin por intervalos Ejemplo: El cobre es un micronutriente
requerido por la mayora de las plantas. Su concentracin en una
planta se mide analizando las cenizas obtenidas al quemarla
completamente. En un estudio de la variabilidad de la concentracin
de cobre en las plantas de la cuenca del Jarama, se seleccion una
muestra de 16 plantas. Se obtuvieron los siguientes datos (en
partes por milln): 5 3 34 18 27 14 8 50 38 43 35 20 70 25 60 19
Calcular un intervalo de estimacin al 90% para la variabilidad de
la concentracin. Solucin: 1 - = 0.9 = 0.1 /2 = 0.05 1 - /2 = 0.95 n
= 16 El intervalo es (226.41, 779.43) para 2, o bien (15.05, 27.92)
para
Diapositiva 53
Estimacin por intervalos Estimacin de la Razn de dos Varianzas:
Una estimacin puntual del cociente de dos varianzas poblacionales 1
2 / 2 2 est dada por la razn S 1 2 /S 2 2 de las cuasivarianzas
muestrales. Si 1 2 y 2 2 son las varianzas de poblaciones normales,
se puede establecer un intervalo de estimacin de 1 2 / 2 2
utilizando el estadstico: donde S 1 2 y S 2 2 son las
cuasivarianzas muestrales obtenidas de muestras aleatorias
independientes de tamaos n 1 y n 2 que se sacan de las poblaciones
normales con varianzas 1 2 y 2 2. En tal caso el estadstico F
anterior, sigue una distribucin F de Snedecor con (n 1 -1) y (n 2
-1) grados de libertad.
Diapositiva 54
Estimacin por intervalos Si s 1 2 y s 2 2 son las
cuasivarianzas de muestras independientes de tamaos n 1 y n 2
respectivamente de poblaciones normales, entonces un intervalo de
confianza del (1- ) 100% para 1 2 / 2 2 es: donde f /2 (v1,v2) es
el valor f con v 1 = (n 1 -1) y v 2 = (n 2 -1) grados de libertad
con un rea de /2 a la derecha, y f /2 (v2,v1) es un valor similar f
con v 2 = (n 2 -1) y v 1 =(n 1 - 1) grados de libertad. Un
intervalo de confianza del (1- )100% para 1 / 2 se obtiene al sacar
la raz cuadrada de cada punto extremo del intervalo para 1 2 / 2
2
Diapositiva 55
Estimacin por intervalos Ejemplo: Determine un intervalo de
confianza del 90% para el cociente de varianzas en el ejercicio de
las compaas cinematogrficas visto para la diferencia de medias. Se
debi suponer entonces que las varianzas eran iguales al determinar
el intervalo de confianza para la diferencia de medias? Solucin: n
1 = 5 n 2 = 7 1- = 0.90 = 0.1 /2 = 0.05 f 0.05 (6,4) = 6.16 S 1 2 =
76.3 S 2 2 = 1035.9 El 1 no cae en el intervalo, por tanto no
podemos suponer que las varianzas sean iguales Bien hecho el
problema de diferencia de medias
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Relacin entre ambas estimaciones Existe una distincin bastante
clara entre los objetivos de las estimaciones puntuales y las
estimaciones del intervalo de confianza. Los primeros proveen un
nmero nico que se extrae a partir de un conjunto de datos
experimentales, y los ltimos proporcionan intervalos, dados los
datos experimentales, que son razonables para el parmetro, esto es,
el 100 (1- )% de tales intervalos calculados "cubren" el parmetro.
Sin embargo, a pesar de esta distincin clara, las dos
aproximaciones a la estimacin se relacionan una con otra. El "hilo
comn" es la distribucin muestral del estimador puntual. Habamos
indicado que una medicin de la calidad de un estimador insesgado
era su varianza, y el error estndar de un estimador es su desviacin
tpica. El lmite de confianza lo podemos relacionar con la estimacin
puntual, de la siguiente forma.
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Relacin entre ambas estimaciones Para el caso de la estimacin
de la media concociendo tenemos: Estimador puntual: Distribucin del
estimador puntual: Varianza del estimador puntual: 2 /n Desviacin
Tpica del est. puntual: Luego, para el caso de X el lmite de
confianza calculado sera: Si desconocemos y la reemplazamos por S
obtenemos: Estimador puntual Distribucin del estimador puntual:t
n-1 Varianza del estimador puntual:S 2 /n Desviacin tpica de
X:
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Relacin entre ambas estimaciones El intervalo de confianza no
es mejor (en trminos de anchura) que la calidad de la estimacin
puntual. Esto significa que los anchos de los intervalos de
confianza se hacen menores en la medida en que mejora la calidad de
las correspondientes estimaciones puntuales. Se puede argumentar,
en definitiva, que un intervalo de confianza es tan slo una
ampliacin de la estimacin puntual para considerar la precisin de la
misma.
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Tamao de la muestra Muchas veces estamos interesados en
determinar el tamao de la muestra necesario para obtener, con una
confianza del (1- ) 100%, una estimacin del parmetro poblacional,
de tal manera que el error de estimacin no supere un determinado
valor de error permitido. Hemos comentado que la anchura del
intervalo de confianza, alrededor del estimador puntual del
parmetro, nos da una medida de la precisin de este. Por tanto, para
la determinacin del tamao muestral en cuestin basta coger la
semilongitud del intervalo de confianza e igualarlo al error mximo
permitido, despejando cul ser el valor de n que verifique esa
igualdad. Si se utiliza como estimacin de, se puede tener una
confianza del (1- ) 100% de que el error no exceder una cantidad
especificada cuando el tamao de la muestra es:
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Tamao de la muestra Queremos que, es decir Con una confianza
del (1- ) 100% sabemos que luego Despejando de esa expresin la n
obtenemos: Los valores fraccionarios de n se redondean al entero
superior.
Diapositiva 61
Tamao de la muestra En la estimacin de un intervalo de
confianza para la proporcin, hemos visto que si se utiliza como una
estimacin de p, se puede tener una confianza del (1- ) 100% de que
el error cometido no exceder de Si deseamos determinar qu tan
grande debe ser una muestra para asegurar que el error al estimar p
ser menor que una cantidad especificada, tendremos que escoger una
n, de tal forma que y ese valor de n es:
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Tamao de la muestra La expresin anterior puede resultar
paradjica ya que para calcular ya debemos conocer n porque. Tenemos
entonces dos opciones: a) Obtener una muestra con n 30 valores, a
partir de la cual calcular la aproximacin y usar esta aproximacin
para calcular cuantas observaciones seran necesarias para obtener
la precisin deseada. b) Establecer un lmite superior para el valor
de n observando que es como mximo , ya que cae entre 0 y 1. El
valor mximo de n sera entonces: Al utilizar el mximo valor de, n
aumenta ms de lo necesario para el nivel de confianza deseado, y
por tanto aumenta tambin el nivel de confianza.
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Tamao de la muestra Ejemplo: Se estudia la efectividad de un
nuevo medicamento en el tratamiento de cierta enfermedad. Se
suministra el medicamento a 14 pacientes de los cuales 13
reaccionan positivamente. Dar el tamao de la muestra necesario para
obtener una confianza del 99% de que el error de estimacin de p no
exceder de 2 % (0.02) Solucin: Si suponemos que tenemos una buena
estimacin previa de p:
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Tamao de la muestra Si lo hacemos sin considerar la estimacin
previa de p, sino considerando el mximo: Como podemos apreciar es
un tamao de muestra considerablemente superior al caso
anterior.
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Ejercicios Ejercicio 6.1 Un fabricante de televisores est
desarrollando un nuevo modelo de televisor en color, y para este
fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados,
cuyos tiempos de vida se suponen normalmente distribuidos. El
fabricante selecciona una muestra de esquemas transistorizados del
primer tipo de tamao 12, y otra del segundo tipo de tamao 11. Los
datos muestrales respecto a la vida de cada esquema son los
siguientes: Se pide: a) Construir un intervalo de confianza del 95%
para la diferencia de vida media de cada tipo de esquema. b)
Construir un intervalo de confianza del 90% para el cociente de
varianzas de la vida de cada tipo de esquema.
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Ejercicios Ejercicio 6.2 Una agencia de alquiler de automviles
necesita estimar el nmero medio de kilmetros diarios que realiza su
flota de automviles; a tal fin, en varios das de la semana toma los
recorridos de 100 vehculos de su flota y obtiene que la media
muestral es de 165 Km/da, y la cuasidesviacin tpica muestral de 6
Km/da. Se pide: a) Bajo la hiptesis de normalidad de la
caracterstica de estudio (n de km por da), construir un intervalo
de confianza para la media de dicha distribucin a un nivel de
confianza del 95%. b) Bajo la misma hiptesis de normalidad que en
a), construir un intervalo de confianza del 90% para la varianza de
dicha distribucin.
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Ejercicios Ejercicio 6.3 En un cruce de Melanogaster se han
obtenido 60 moscas con alas vestigiales de un total de 300. Se
pide: a) Encontrar un intervalo de confianza al 95% para la
proporcin de moscas con alas vestigiales entre los individuos
resultantes de un gran nmero de cruces como este. b) Qu nmero de
cruces hay que realizar de modo que la proporcin de moscas con alas
vestigiales entre los individuos resultantes de un gran nmero de
cruces y la de la muestra difiera en valor absoluto en menos de
0.01 con una probabilidad del 95%?