Estimasi Parameter CopulaDan Aplikasinya Pada Klimatologi

1

Irwan Syahrir (1309 201 001)

Dosen Pembimbing:Dr. Ismaini Zaini, M.SiDr.rer.pol. Heri Kuswanto, M.Si

Latar belakang

2

1. PENDAHULUAN

Analisis Statistik Distribusi Normal

- Masalah lebih mudah dan sederhana- Mudah perhitungan estimasi

Analisis hubunganantara 2 (dua)

variabel

pengukuran dependensi antara variabel

Pearson

Korelasi

Asumsi

-Spearman - Kendall

Kasus distribusitidak normal

3

Latar belakang (lanjutan)

Pendekatan “Copula” Mengapa?

- Mampu mengatasi dependensi variabel yang berdistribusi tak normal- Informasi struktur dependen lebih banyak- Lebih fleksibel : distribusi marginal dari variabel dependen dapat

dibedakan atau bahkan dapat mengetahui distribusi variabel yang tidakdiketahui. (Schölzel ,2008)

Kasus Multivariat kompleks

Penelitian- Biostatistic- Risk management

- insurance/actuaria- Climatology/meteorology, etc

Ketidaknormalan diabaikan dalam perhitungan korelasi

Struktur dependensiStruktur probabilitas fungsi densitas

4

Latar belakang (lanjutan)

hidrology : Favre et al. (2004) dan Genest et al. (2007).

Keuangan dan asuransi : Cherubini et al. (2004) dan Mcneil et al. (2005)

Ekonometrika dan time series: Patton (2002;2009).

Klimatologi : Schölzel (2008).

Schölzel (2008), menjelaskan pola distribusi dan fungsi densitas dari variabelrandom multivariat pada data temperatur, curah hujan dan kecepatan angin.

Penelitian dengan pendekatan Copula :

Sklar (1959)

Theorema Sklar’s Suatu cara untuk menjelaskan struktur dependensi vektor random

Estimasi copula menyatakan bahwa setiap distribusi marginal harus dihitung dan dimasukkan ke dalam estimasi distribusi multivariat

Copula

5

Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).(Choroś et al. ,2010)

EstimasiParameter Copula

Pendekatan model parametrik, semiparametrik dan non parametrik

(Charpentier et.al.,2006)

Kasus Klimatologi

Copula Archimedean

Gumbel Clayton

Aplikasi Geoscience(Embrechts et al.,2001)

6

• Tujuan Penelitian

1. Menentukan estimasi parameter copula archimedean2. Mengaplikasikan pada data klimatologi

Manfaat Penelitian

1. Memperkenalkan metode alternatif yaitu pendekatan copulakhususnya keluarga archimedean, yang dapat diaplikasikan padadata iklim yang distribusinya tidak normal.

• Batasan Masalah

1. Estimasi parameter copula dg pendekatan Kendall’s Tau 2. Parameter Copula gumbel dan Clayton3. Variabel yang dilibatkan hanya dibatasi 2 (dua) variabel atau

bivariat, yaitu data kecepatan angin rata-rata dengan tekananudara diatas permukaan air laut dan kecepatan angin dengan temperatur udara

7

2. Teori Copula

1,.....,

mX XF F

dengan domain

Suatu m dimensi vektor random X dengan fungsi distribusikumulatif marginal (Marginal Cumulative DistributionFunction)

Variabel random multivariat

Asumsi

1( ) 0XF −∞ =

joint distribusi dari vektor random dapatditulis sebagai fungsi dari distribusimarginalnya.

1( ) 1XF ∞ =

1 1( ) ( ( ),...., ( )mX X X X mF x C F x F x=

ℜ Theorema Sklar’s(1959)

fungsi yang menghubungkan margin univariat menjadidistribusi multivariat, dimana fungsi tersebut merupakan fungsidistribusi bersama dari variabel random uniform standarnormal. (Nelsen ,1999)

copula

fungsi distribusi bersama daritransformasi variabel random

( )jj X jU F X= j=1,…,m

1

1 1 10 0

( ,..., ) ... ( ,..., ) ...muu

X m X m mC u u c u u du u= ∫ ∫Distribusi fungsi copula

1 1( ) ( ( ),...., ( )mX X X X mF x C F x F x=

[ ] [ ] [ ]: 0,1 ... 0,1 0,1XC x x →

Uj memiliki distribusi marginal yguniform. Jika distribusi marginalnyakontinu, maka fungsi copula adalah unik(nelsen,2006)

8

( )jj X ju F x=

setiap probabilitas densitas bersama dapatdituliskan sebagai hasil dari probabilitasdensitas marginal dan densitas copula.

1 1 1( ) ( )... ( ). ( ,..., )mX x X m X mf x f x f x c u u=

Fungsi distribusi multivariat dengan marginal uniform standar

Fungsi copula

9

Teorema Sklar’s

Keluarga Copula

Copula Students t

Fungsi densitas copula normal :

10

a. Copula Ellip

b. Copula Archimedian

( )( ) ( )

1 2

1 1, , 1 2

1 2 1 11 2

( ), ( )( , )

( ) ( )X X u u

c u uu u

ρρ

ϕ

ϕ ϕ

− −

− −

Φ Φ=

Φ Φ

Copula ellip Copula normal

( )1 11 2 1 2( , ) ( ), ( )C u u u uρ ρ

− −= Φ Φ ΦFungsi copula normal :

1 2

2 2, , 1 2 1 2 1 222

1 1( , ) exp [ 2 ]2(1 )2 1

X X x x x x x xρϕ ρρπ ρ

= − + − −−

dimana

Fungsi distribusi kumulatif bivariat standar normal dengan korelasi ρ (sklar,1959)

1

2

Karakteristik Copula student’s t

11

Copula Students t

Dalam kasus bivariat copula t dapat dituliskan sebagai berikut:

1 11( ) ( )

1 22

22 2 21 1 2 2

1 22

22( , , , )(1 )

2

2 x 1(1 )

v v dt u t utv

v

v

C u u vv v

x x x x dx dxv

ρπ ρ

ρρ

− −

−∞ −∞

+−

+ Γ =

Γ −

− ++ −

∫ ∫1

v

v

tt

−

dimana ρ adalah koefisien korelasi, ν adalah jumlah derajat bebas.

Contoh pdf dari t-Copula dengan ρ=0,865

dan v = ∞, 5, 2.5 (dari kiri ke kanan).

Copula Archimedian

(i) Clayton (ii) Frank (iii) Gumbel

1X 1 1C ( ,..., ) ( ( ) ... ( ))m mu u u uφ φ φ−= + +Fungsi copula archimedian

fungsi disebut fungsi generator dari copula (Nelsen ,2006)

( ) 1 (Clayton)

1( ) log (Frank)1

( ) ( log ) (Gumbel)

C

F

F

G

C

u

F

G

u u

eue

u u

θ

θ

θ

θ

φ

φ

φ

−= −

−= − = −

φ

12

1X 1 2 1 2C ( , ) ( ( ) ( ))u u u uφ φ φ−= +

Kasus bivariat

3. Estimasi Copula

13

Estimasi parameter copula dapat diperoleh dengan metode MaximumLikelihood Estimation (MLE) (Mikosch ,2006). Dengan mendeskripsikanparameter yang diberikan copula dan distribusi marginal, estimasi ML diperolehdengan memaksimumkan fungsi log likelihood.

1 2 1 1 2 21

( , ,..., ) ( ( ), ( ),..., ( ) ( )d

d d d i ii

f x x x c F x F x F x f x=

= ∏

1 21 2

1 2

( , ,..., )( , ,..., ),...,

dd

d

C u u uc u u uu u u

∂=

∂ ∂ ∂densitas dari

d-dimensi copula 1 2( , ,..., ; )dC u u u θ

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ln ( , ; , ) ln ( ( ; ), ( ; ); ) ln ( ; ) ln ( ; )f x x c F x F x f x f xθ ρ θ θ ρ θ θ= + +

model fungsi likelihood Copula

Menurut Genest dan rivest (1993) untuk mengkonstruksiestimasi parameter COPULA dapat menggunakan observasinilai Kendall’s tau

1

0

( )1 4( )u duu

φτφ

= +′∫

4. Estimasi Parameter Copula Archimedean

Cφ Fungsi generator Copula Archimedean

- Cuaca (weather) - Iklim (climate) besaran unsur fisika atmosfer

unsur cuaca atauunsur iklim

- penerimaan radiasimatahari

- suhu udara- kelembaban udara- tekanan udara- Kecepatan angin

- arah angin- penutupan awan- presipitasi (embun, hujan, salju) - evaporasi.

Cuaca keadaan udara pada saat tertentu dan di wilayah tertentu yang relatif sempit dan pada jangka waktu yang singkat.

Iklim keadaan cuaca rata-rata dalam waktu satu tahun yang dilakukandalam waktu yang lama dan meliputi wilayah yang luas.

Pengertian Cuaca dan Iklim

15

Tekanan udara adalah suatu gaya yang timbul akibat adanya berat dari lapisan udara.Besarnya tekanan udara di setiap tempat pada suatu saat berubah-ubah. Makin tinggisuatu tempat dari permukaan laut, makin rendah tekanan udaranya. Besarnya tekananudara diukur dengan barometer dan dinyatakan dengan milibar (mbar).

Angin adalah udara yang bergerak dari daerah bertekanan udara tinggi ke daerahbertekanan udara rendah. Kecepatan angin dapat diukur dengan suatu alat yangdisebut Anemometer

Temperatur Udara adalah tingkat atau derajat panas dari kegiatan molekul dalamatmosfer yang dinyatakan dengan skala Celcius, Fahrenheit, atau skala Reamur.

16

Dari pengertian diatas dapat diketahui bahwa antara tekananudara,kecepatan angin dan temperatur udara saling berhubungan.Perbedaan tekanan udara di suatu daerah akan mengakibatkanadanya pergerakan angin dari daerah yang bertekanan tinggi kedaerah yang bertekanan rendah.

17

5. Metodology

Data klimatologi

Kecepatan angin rata-rata (km/jam)

Tekanan udara diatas permukaan air laut (mbar)

Sumber data

Stasiun Surabaya/Perak Data observasi harian

Tahun 2005-2009Sampel : 1691 pengamatan

Aplikasi data

Temperatur udara ( C)0

τ

τ

Variabel penelitian:Kajian teori

18

A. Tujuan pertama

• Mendefinisikan fungsi distribusi bersama variabel random.

• Menentukan fungsi distribusi Copula untuk kasus bivariat.

• Menentukan fungsi likelihood Copula

• Mengestimasi parameter fungsi Copula dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).

• Mengestimasi parameter Copula Archimedean untuk keluarga Gumbel dan Clayton dengan pendekatan

Kendall’s Tau

B. Tujuan kedua:• Membuat scatter plot antara kedua variabel yaitu :

i. Kecepatan angin rata-rata dan tekanan udara

ii. Kecepatan angin rata-rata dan temperatur udara

• Menguji ketaknomalan data dengan menggunakan histogram dan uji Kolmogorov-Smirnov

• Menghitung parameter dependensi antara kedua variabel dengan observasi nilai Kendall’s Tau

• Menghitung parameter pada Copula Archimedean khususnya Copula Gumbel dan Copula Clayton .

• Menentukan estimasi fungsi Copula Archimedean pada keluarga Clayton dan Gumbel.

Metodology (lanjutan)

19

5. Hasil dan Pembahasan

1 2 1 1 2 2( , ) { ( ), ( )}F x x C F x F x=

Nelsen (2006)

Fungsi distribusi bivariat

1 11 2 1 1 2 2 1 2( , ) { ( ), ( )}, , [0,1]C u u F F u F u u u− −= ∈

Transformasi

Fungsi copula

21 2

1 2 1 21 2

( , )( , ) , , [0,1]C u uc u u u uu u

∂= ∈

∂ ∂

Fungsi densitas copulabivariat1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( , ) { ( ), ( )} ( ) ( ) , , f x x c F x F x f x f x x x= ∈

Copula untuk Kasus Bivariat

20

1 2 1 1 2 2 1 1 2 21{ ( ), ( )} ( ) ( )

n

u uiL c F x F x f x f x

== Π

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2ln ( , ; , ) ln ( ( ; ), ( ; ); ) ln ( ; ) ln ( ; )f x x c F x F x f x f xθ ρ θ θ ρ θ θ= + +

no closed form

Fungsi likelihood Copula

numerik

Observasi Kendall’s Tau.Estimasi

parameter copulaNelsen (2006)

MLE

21

Hasil dan Pembahasan

21

1

0

( )1 4'( )Cu duu

φτφ

= + ∫

Estimasi Parameter Copula Archimedean

( )uφ Fungsi generator copula

21

1

0

1

10

( )1 4( )

( 1) / =1+42

C

C

c C

C

u duu

u duu

θ

θ

φτφ

θ θθ

−

− −

= +′

−=

− +

∫

∫

1

0

1

10

( )1 4( )

1( log ) =1+4( log( )) /

G

G

G

G G

u duu

u duu u

θ

θ

φτφ

θθ θ−

= +′

−−=

− −

∫

∫

Gumbel: Clayton :

1(1 )Gθ τ

=−

21Cτθτ

=−

22

Family Copula (Cθ)Parameter range

Clayton

Gumbel

1

1 2 1 2( , ) ( 1)ClC u u u uθ θ θθ

− −= + − [ ] { }1, \ 0θ ∈ − ∞

( )1

1 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ θ θθ

= − +

[ ]1,θ ∈ ∞

Fungsi Copula Keluarga Archimedean Versi Bivariat

Sumber : Schmidt (2006)

23

5. Hasil dan Pembahasan (lanjutan)

Aplikasi Copula

. Plot-plot yang terkonsentrasi dalam satu area menunjukkan adanya korelasi yangberdekatan. Sedangkan plot-plot yang outlier menunjukkan hubungan yang sangatjauh antar kedua variabel. Hubungan dependensi antar kedua variabel tidak dapathanya dideskripsikan dengan korelasi pearson karena banyaknya outlier padascatter plot. Untuk mengatasi hal tersebut maka struktur dependensi dapatdijelaskan dengan korelasi yang berbasis pada rank yaitu korelasi kendall tau atauspearman.

Scatter plot wind ave vs SLPScatter plot wind ave vs T mean

VariabelKolmogorov-Smirnov

Statistic df Sig.Wind_ave 0,064 1691 0,000SLP 0,046 1691 0,000T mean 0.037 1691 0,029

Histogram Wind Ave (kecepatan angin, km/jam) Histogram SLP(Tekanan udara, Mbar)

24

Uji Kenormalan

25

b. Temperatur udara (T mean- 0C)

Histogram T mean (Temperatur udara, 0C)

26

Grafik distribusi bivariat antara kecepatan angin dan tekanan udara

27

Grafik distribusi bivariat antara kecepatan angin dan temperatur udara

kedua variabel adalah dependen, meskipun tingkat dependensinya kecil. Plot antarkeduanya menunjukkan terkonsentrasi pada beberapa ruang interval yaitu pada ujungscatter, tetapi pada bagian interval tertentu diantara keduanya plot tidak jelas. Bagianplot yang tidak jelas mengindikasikan tail dependence. Dari sini dapat didefinisikanbeberapa copula yang memiliki karakteristik bentuk tail dependence.

28

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi uniform [0,1]

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean pada transformasi uniform [0,1]

Transformasi ke distribusi marginal uniform pada domain [0,1]

29

Scatter plot rank bivariat sampel randomdari keluarga Gumbel dan Clayton

dengan θ = 2

Gumbel Copula Clayton Copula

Copula Gumbel Copula Clayton

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan

Clayton dengan θ =4

30

Gumbel Copula Clayton Copula

Gumbel CopulaClayton Copula

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel

dan Clayton dengan θ =10

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel

dan Clayton dengan θ = 6

Pearson Kendall Spearman

Correlation 0,1397741 0,1281978 0,1838372

p-value 7,84 x 10-9 7,772 x 10-15 2,554 x 10-14

31

Sebelum melakukani fitting model copula maka terlebih dulu mengestimasi koefisienkorelasi dari kedua variabel tersebut dengan 3 metode, yaitu Pearson, Spearman danKendall.

α <0,05

Tabel pengukuran korelasi wind_ave vs SLP

Pearson Kendall Spearman

Korelasi 0,2069568 0,1474547 0,2120737

p-value 2,2 x 10-16 2,2 x 10-16 2,2 x 10-16

Tabel pengukuran korelasi wind_ave vs T mean

32

2= 12(0,1281978) 1 0,1281978

= 0,294098

cτθτ−

=−

11

1 = 1 0,1281978

= 1,147049

Gθ τ=

−

−

Perhitungan parameter copula berbasis Kendall’s Tau

Kecepatan angin vs tekanan udara

Kecepatan angin vs temperatur udara

2= 12(0,1474547) 1 0,1474547

= 0,345213

cτθτ−

=−

11

1 = 1 0,1474547

= 1,172958

Gθ τ=

−

−

Parameter copula clayton Parameter copula gumbel

Parameter copula clayton Parameter copula gumbel

33

• Copula Clayton

1

1 2 1 21

0,294098 0,294098 0,2940981 2 1 2

( , ) ( 1)

( , ) ( 1)

Cl

Cl

C u u u u

C u u u u

θ θ θθ

θ

− −

− −

= + −

= + −

A. Kecepatan angin dan tekanan udara B. Kecepatan angin dan tekanan udara

• Copula Gumbel

( )1

1 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ θ θθ

= − +

( )1

1,147049 1,147049 1,1470491 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ

= − +

• Copula Clayton

• Copula Gumbel

1

1 2 1 2( , ) ( 1)ClC u u u uθ θ θθ

− −= + −

10,345213 0,345213 0,345213

1 2 1 2( , ) ( 1)ClC u u u uθ− −= + −

( )1

1 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ θ θθ

= − +

( )1

1,172958 1,172958 1,1729581 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ

= − +

Fungsi Copula

34

Estimasi parameter θ dan nilai loglikelihood dihitung untukmengetahui model struktur dependensi yang terbaik pada copula

Copula Estimate Std. error Z Log likelihood

Gumbel 1.112993 0.01904045 58.45411 22.87724

Clayton 0.1703254 0.03308843 5.147582 15.99025

Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Tekanan Udara

Copula Estimate Std. error Z Log likelihood

Gumbel 1,138937 0.01967057 57,90054 32.83936

Clayton 0.2613921 0.03432309 7.615633 37.29556

Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Temperatur Udara

Modelterbaik

Modelterbaik

35

A. Kecepatan angin dan tekanan udara

B. Kecepatan angin dan tekanan udara

Copula Gumbel( )

1

1 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ θ θθ

= − +

( )1

1,147049 1,147049 1,1470491 2 1 2( , ) exp (log ) (log )GuC u u u uθ

= − +

Copula Clayton

1

1 2 1 2( , ) ( 1)ClC u u u uθ θ θθ

− −= + −1

0,345213 0,345213 0,3452131 2 1 2( , ) ( 1)ClC u u u uθ

− −= + −

Fungsi Copula Model terbaik

36

Scatter plot rank dari Copula Gumbel untuk variabel random

dengan parameter θ = 1,147049

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi

uniform [0,1]

37

Scatter plot rank dari Copula Clayton untuk variabel random

dengan parameter θ = 0,345213

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean

pada transformasi uniform [0,1]

Kesimpulan

38

1. Variabel kecepatan angin rata-rata (wind_ave) dan tekanan udara diatas

permukaan air laut (SLP) memiliki distribusi yang tidak normal.

2. Copula archimedean dapat digunakan untuk menjelaskan struktur

dependensi kedua variabel iklim tersebut.

3. Copula Archimedean dari keluarga Gumbel merupakan model terbaik

untuk menjelaskan struktur dependensi antara variabel kecepatan angin

rata-rata dan tekanan udara diatas permukaan air laut.

4. Copula Clayton merupakan model terbaik untuk variabel kecepatan angin

rata-rata temperatur udara

39

Saran

1. Dalam penelitian ini peneliti menghitung estimasi parameter Copula

Archimedean dengan pendekatan parametrik, padahal seringkali

kasus yang muncul dalam analisis data adalah pola distribusi data

termasuk katagori non parametrik. Oleh karena itu perlu adanya

perhitungan estimasi dengan pendekatan non parametrik.

2. Perlu juga adanya penelitian pembanding dalam perhitungan estimasi

dengan menggunakan keluarga Copula yang lain, misal: Copula Ellip

yang meliputi Copula Normal dan Copula Student’s t.

3. Pada penelitian ini struktur dependensi antara kedua variabel dalam

bentuk scatter plor rank tidak terlalu kelihatan dengan jelas karena

dimungkinkan jumlah sampel data hanya pada observasi selama 5

tahun. Oleh karena itu pada penelitian berikutnya perlu ditambah

sampel penelitian hingga 10 tahun atau lebih.

Terima Kasih

40