Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

AJUSTE DE FUNÇÕES(Continuação)

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Qualidade do Ajuste

1 – Coeficiente de determinação:

• Seja:

São apresentados dois parâmetros para aferir a qualidade do ajusteobtido pela regressão linear:

SQTot (soma de quadrados total)

SQRes (soma de quadrados residual)

Qualidade do Ajuste• A qualidade do ajuste do modelo pode ser avaliada da seguinte

forma:

• r2 é o coeficiente de determinação e satisfaz a:

Quanto mais próximo de 1 melhor o ajuste.

• Ou ainda:

O coeficiente de determinação é a proporção da variação total dosdados em torno da media .

Qualidade do Ajuste2 – Variancia residual:

• Variância residual

• : somatório dos desvios, n: número de pontos e p: númerode parâmetros estimados.

• No caso de regressão linear simples u = b0 + b1x, p = 2.

Qualidade do Ajuste

• Dispositivo para regressão linear simples:

Exemplo: Calcular a reta de quadrados mínimos da tabela:

Qualidade do Ajuste• Cálculo dos parâmetros:

Qualidade do Ajuste

• Equação de mínimos quadrados :

Regressão Linear Múltipla• Um modelo mais completo que relaciona a variável resposta y com as

p variáveis explicativas xi é:

• i, i = 0, 1, ..., p são parâmetros a serem estimados e é uma variávelaleatória desconhecida que interfere na verdadeira relação linear.

1 – Equações Normais:

• O método dos mínimos quadrados pode ser utilizado para estimar osp+1 parâmetros i :

• Xij é a i-ésima observação da j-ésima variável explicativa.

Regressão Linear Múltipla

• Derivadas parciais de D

Regressão Linear Múltipla

• Se for o ponto de mínimo da função

Regressão Linear Múltipla

• Na forma matricial:

Regressão Linear Múltipla• Vetor solução b(p+1) fornece os parâmetros para a equação de

quadrados mínimos

• Coeficiente de determinação

• Variância residual:

Regressão Linear MúltiplaExemplo: Produto interno bruto dos USA (x1 = total de empregos em milhões, x2 = população do ano em milhões):

i Xi1 Xi2 yi

1 60,3 108 234

2 61,1 109 259

3 60,2 110 258

4 61,2 112 285

5 63,2 112 329

6 63,6 113 347

7 65 115 365

8 63,8 116 363

9 66 117 396

10 67,9 119 419

11 68,2 120 443

12 66,5 122 445

13 68,7 123 483

14 69,6 125 503

15 69,3 128 518

16 70,6 130 555

U=-1,40740 x 103 + 1,34511 x 101 x1 + 7,8027 x2.

Regressão Linear Múltipla2 – Regressão Polinomial:

• Um caso particular da regressão linear múltipla é quando relaciona avariável resposta y com uma variável explicativa x, segundo omodelo:

• Para este caso particular o sistema da seção anterior simplifica-separa:

Regressão Linear MúltiplaExemplo:Determinar o polinômio de minimos quadrados de grau 3 paraaproximar a tabela:

i Xi Sqrt(Xi)

1 0,01 0,1

2 0,1 0,3162

3 0,2 0,4472

4 0,3 0,5477

5 0,4 0,6325

6 0,5 0,7071

7 0,6 0,7746

8 0,7 0,8367

9 0,8 0,8944

10 0,9 0,9487

11 1 1

U=1,01865 X3 -2,17822 X2 + 2,06854 X + 0,101126.

Regressão Linear MúltiplaExemplo: Dados relacionando o peso, y, de embriões de frangosdesidratados, em gramas, com a sua idade, x, em dias.

O diagrama de dispersão mostra que o ajustenão deve ser feito por um polinômio do grau 1e sim por um de grau mais elevado.

Regressão Linear Múltipla• Valores dos coeficiente de determinação r2 e da variância residual

2 para o modelo polinomial:

• Como esperado r2 aumenta quando o grau do polinômio dequadrados mínimos é aumentado.

• No entando, 2 apresenta o menor valor para o grau g = 4. Assimeste deve ser o grau escolhido para o ajuste polinomial.

Regressão Linear Múltipla• Polinômio de grau 4 traçado no diagrama de dispersão.

Regressão Linear Múltipla2 – Malcondicionamento:

• Seja a equação de regressão normal u = b0 +b1x1+b2x2 + ... +bgxg:

• Parâmetros bi calculados via equações normais.

• A tabela a seguir mostra o coeficiente de determinação r2 e numerode condição espectral k2(XTX) (embriões de frango)

• A medida que o grau g do polinômio aumenta:

As equações normais e polinomiais possuem a matriz dos coeficientes malcondicionada.

Decomposições QR e SVD permitem determinar os parâmetros bi sem a formação da matriz malcondicionada.

1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas