1. Serii Taylor Seria de puteri de forma:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 00 0 0 0 02! 3!

f x f xf x f x x x x x x x

′′ ′′′′+ − + − + − +…

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 00 0

0! !

n nn n

n

f x f xx x x x

n n

∞

=

+ − + = −∑… …

se numeşte serie Taylor a funcţiei ( )f x în punctul x0.

Caz particular: 0 0x = ⇒ serie Maclaurin a funcţiei ( )f x în punctul 0 0x = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

0

0 0 0 00 0

2! 3! ! !

n nn n

n

f f f ff f x x x x x

n n

∞

=

′′ ′′′′+ + + + + + =∑… …

Se foloseste la aproximarea functiilor cu polinoame! Exemple: 1. ( ) xf x e= pentru 0 0x =

( ) ( )n xf x e=

Deoarece ( ) ( ) 00 1nf e= = , pentru 0,1,2,n = … avem: 2

01

2! ! !

n nx

n

x x xe xn n

∞

=

= + + + + + =∑… …

In figura 1 sunt reprezentarile grafice ale functiei exponentiale (violet) si aproximarile realizate cu primul termen din serie (rosu), cu primii doi termini (verde), cu primii trei termeni (bej) , cu primii patru (albastru). Aproximarea este buna pe o vecinatate a lui x0 care creste pe masura ce consideram tot mai multi termini.

Figura 1 ( ) xf x e= şi aproximaţiile acesteia

Dacă substituim x cu –x, avem:

( ) ( )2 3

01 1 1

2! 3! ! !

n nn nx

n

x x x xe xn n

∞−

=

= − + − + + − + = −∑… …

2. ( ) sinf x x= . Funcţia are derivate de orice ordin, astfel încât

( )( )sin sin2

nx x nπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0,1,2,n = … , x∀ ∈

Deoarece,

( ) ( )( )

0 pentru 20 sin

2 1 pentru 2 1n

k

n kf n

n kπ =⎧⎪= = ⎨

− = +⎪⎩

OBS: In locul acestei formule elegante de derivare puteti lucra muncitoreste: ( ) sinf x x= ( ) cosf x x′ = ( ) sinf x x′′ = − ( ) cosf x x′′′ = − etc.

( )0 0f = ( )0 1f ′ = ( )0 0f ′′ = ( )0 1f ′′′ = −

( ) ( )3 5 2 1

sin 13! 5! 2 1 !

nnx x xx x

n

+

= − + − + − ++

… … ( ) ( )2 1

01

2 1 !

nn

n

xn

+∞

=

= −+∑

Figura 2 ( ) sinf x x= şi aproximaţiile acesteia

3. ( ) cosf x x= Funcţia are derivate de orice ordin, astfel încât

( )( )cos cos2

nx x nπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0,1, 2,n = … , x∀ ∈

( ) ( )( )

0, 2 10 cos

2 1 , 2n

k

n kf n

n kπ = +⎧⎪= = ⎨

− =⎪⎩

( ) ( )2 4 2

cos 1 12! 4! 2 !

nnx x xx

n= − + − + − +… … ( ) ( )

2

01

2 !

nn

n

xn

∞

=

= −∑

Figura 3 ( ) cosf x x= şi aproximaţiile acesteia

4. ( ) ( )1f x x α= + , 1x > − , α ∈ Dezvoltăm această funcţie în serie Maclaurin şi obţinem aşa numita serie binomială: ( ) ( ) 11f x x αα −′ = + , ( ) ( )( ) 21 1f x x αα α −′′ = − + ... ( ) ( ) ( ) ( )( ) 21 1 1nf x n x αα α α −= − − + +…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 0 00 0

2! 3! !

nnf f f

f x f f x x x xn

′′ ′′′′= + + + + + +… …

( ) ( ) ( ) ( )21 1 11 1

2! !nn

x x x xn

α α α α α αα

− − − ++ = + + + + +

…… … ( )1,1x∈ −

Caz particular: 1α = −

2 31 11

x x xx= − + − +

+… ( )1,1x∈ −

Substituim x cu –x , 2 31 1

1x x x

x= + + + +

−… ( )1,1x∈ −

Adică, seria progresie geometrică.

2. Serii Fourier Seria trigonometrică:

( )∑∞

=

++1

0 sincos2 n

nn nxbnxaa

cu coeficienţii a0, an, bn definiţi cu ajutorul lui ( )xf cu formulele:

( )1 cos na f x nx dxπ

ππ

−

= ∫ …,2,1,0=n

( )1 sin nb f x nx dxπ

ππ

−

= ∫ …,2,1=n

se numeşte serie Fourier a funcţiei ( )xf şi an, bn se numesc coeficienţi Fourier. OBS: seriile Fourier aproximeaza functiile cu functii trigonometrice! Exemple:

1. Funcţia ( )f x xπ= − cu perioada 2π , îndeplineşte pe intervalul [ ],π π− + , condiţiile din teoremă şi poate fi dezvoltată în serie Fourier.

Figura

Determinăm coeficienţii Fourier integrând prin părţi:

( ) ( )2

01 2

2x

a x dxπ

π

π π

ππ π

π π− −

−= − = − =∫

( ) ( )1 1 sincos nnxa x nx dx x d

n

π π

π π

π ππ π− −

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( )1 sin 1 sin nxx nx dxn n

π π

π π

ππ π− −

= − + =∫

( )2 2

cos coscos 0n nnx

n n

π

π

π ππ π−

− −= − = = 1, 2,n = …

( ) ( )1 1 ssin nco nxb x nx dx x d

n

π π

π π

π ππ π− −

⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( )1 s 1 s co nxx co nx dxn n

π π

π π

ππ π− −

= − − − =∫

( ) ( )2

12 1 2cos sin cos 2n

n nx nn n n n

π

π

π π ππ π −

−= − − = = , 1, 2,n = …

Seria Fourier a funcţiei date este:

( )1

sin2 1 n

n

nxxn

π π∞

=

− = + −∑ , ( ),x π π∈ −

La capetele intervalului [ ],π π− , în x π= − şi x π= care sunt discontinuităţi de speţa întâi, suma seriei este:

( ) ( ) 2 02

S S ππ π π+− = = =

2. Dezvoltaţi funcţia:

( ) ( )[ )

0, ,0, 0,

xf x

x xππ

⎧ ∈ −⎪= ⎨ ∈⎪⎩

în serie Fourier pe intervalul ( ),π π− + . Această funcţie îndeplineşte condiţiile din teoremă.

( ) ( ) ( )0

00

1 1a f x dx f x dx f x dxπ π

π ππ π− −

⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

0 2

0 0

1 102 2xdx xdx

ππ

π

ππ π−

⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

0 0

1 1 sincos nnxa x nx dx xd

n

π π

π π⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

0 0

1 sin 1 sin x nx nx dxn n

π π

π

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( )2 2 20

1 11 cos 1cosn

nnxn n n

π ππ π π

− −−= = = =

2

2 , 1,3,5,

0, 2, 4,6,

nn

nπ

⎧− =⎪= ⎨⎪ =⎩

…

…

0 0

1 1 ssin nco nxb x nx dx xd

n

π π

π π⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

0 0

1 cos 1 cos x nx nx dxn n

π π

π

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( ) 11 1cosn n

nn n nπ

+− −= − = − = , 1, 2,n = …

Obţinem seria:

( ) 2 2 2

2 cos sin sin 2 2 cos3 sin 3 sin 4 2 cos54 1 1 2 3 3 4 5

x x x x x x xf x ππ π π

⎛ ⎞= + − + − − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

…

( ),x π π∈ −

Figura

Scriem seria obtinuta pwntru o valoare particulara a lui x si obtinem o serie numerica.

În 0x = , seria este: 2 2 2

2 1 1 104 1 3 5π

π⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

…

Adică, suma seriei din paranteza este:

2

2 2

1 113 5 8

π+ + + =…

Seriile Fourier ale funcţiilor pare conţin numai cosinusuri, adică au forma:

( ) 0

1

cos2 n

n

af x a nx∞

=

= +∑

Seriile Fourier ale funcţiilor impare conţin numai sinusuri, adică au forma:

( )1

sinnn

f x b nx∞

=

=∑

Exemple:

1. Dezvoltaţi funcţia ( ) 2f x x= în serie Fourier pe intervalul [ ],π π− .

Figura Funcţia este monotonă pe porţiuni şi mărginită şi este o funcţie pară. Atunci seria Fourier are forma:

2 0

1

cos2 n

n

ax a nx∞

=

= +∑

Determinăm coeficienţii Fourier:

3

2 20

0 0

2 2 23 3xa x dx

ππ

ππ π

= = =∫

2 2

0 0

2 2 sincos nnxa x nx dx x d

n

π π

π π⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

2

00

2 sin 2 sin x nx x nx dxn n

π π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

00 0

4 cos 4 cos cosnx nx nxxd x dxn n n n n

ππ π

π π

⎛ ⎞⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( )2 24 4cos 1 nnn n

π ππ

= = − , 1,2,n = …n

Seria Fourier pentru funcţia dată este:

( )2

22

1

cos4 13

n

n

nxxn

π ∞

=

= + −∑

22

2 2 2cos cos 2 cos34

3 1 2 3x x xx π ⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠…

Graficul funcţiei şi cel al sumei seriei coincid.

Figura 4.5

În figura 4.5 am reprezentat primele două sume parţiale 1S (primii doi termeni) şi

2S (primuu trei termeni) care aproximează destul de bine funcţia. Observaţie: Această serie Fourier permite determinarea sumelor unor serii numerice convergente. De exemplu, pentru 0x = , avem

2

2 2 2 21 1 1 10 4

3 1 2 3 4π ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠…

2

2 2 21 1 11

12 2 3 4π

= − + − +…

Pentru x π= , avem

2

22 2 2 21 1 1 14

3 1 2 3 4ππ ⎛ ⎞= − − − − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠…

2

2 2 21 1 11

6 2 3 4π

= + + + +… sau 2

21

16n nπ∞

=

=∑

2. Dezvoltaţi funcţia ( )f x x= în serie Fourier pe intervalul ( ),π π− .

Funcţia este monotonă pe porţiuni şi mărginită şi este o funcţie impară. Atunci seria Fourier are forma:

1

sinnn

x b nx∞

=

=∑

Determinăm coeficienţii Fourier:

0 0

2 2 ssin nco nxb x nx dx xd

n

π π

π π⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

0 0

2 s cos xco nx nx dxn n

π π

π⎛ ⎞

= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

( ) ( ) 112 2cos 1 2n

nnn n nπ π

π

+−= − = − − = , 1,2,n = …n

Seria Fourier pentru funcţia dată este:

( ) 1

1

sin2 1 n

n

nxxn

∞+

=

= −∑

sin 2 sin 3 sin 42 sin2 3 4

x x xx x⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

…

Figura 4.6

În figura următoare sunt reprezentate primele patru sume parţiale S1, S2, S3 şi S4. Convergenţa nu este foarte rapidă la funcţie, în special în apropierea lui π, unde funcţia nu este continuă.

Figura 4.7

Ecuatii diferentiale

O ecuaţie diferenţială ordinară este o ecuaţie de tipul

( )( ), , , , 0nF x y y y′ =

care pune în relaţie o variabilă independentă x, funcţia necunoscută ( )y y x= şi

derivatele acesteia ( ) ( ) ( ) ( ), , , ny x y x y x′ ′′ . În acest context, F este o funcţie cunoscută de argumentele sale.

Derivata functiei necunoscute ( )y x′ poate sa apara in ecuatie in notatia cu

diferentiale dydx

Definiţie: Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este ordinul cel mai mare al derivatelor prezente în ecuaţie. Exemplu: Ecuaţia 0y y′′ + = este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi. Funcţia ( ) siny x x= este o soluţie a acestei ecuaţii diferenţiale pe intervalul ( ),−∞ +∞ Definiţii:

• Rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale se numeşte integrarea ecuaţiei diferenţiale. • Graficul unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale se numeşte curbă integrală a

ecuaţiei. Ecuaţii diferentiale de ordinul intai cu variabile separabile Au forma generală:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x y dx f x y dyϕ ϕ= (16) Coeficienţii diferenţialelor pot fi factorizaţi în factori ce depind doar de x sau doar de y. Prin împărţire cu ( ) ( )1 2 0y f xϕ ≠ , ecuaţia se reduce la una cu variabile separate:

( )( )

( )( )

1 2

2 1

f x ydx dy

f x yϕϕ

=

Exemplu: Integraţi ecuaţia: 1. ( ) ( )2 21 1 y x dx x y dy+ = +

Împărţim ecuaţia cu ( )( )2 21 1 0y x+ + ≠

2 21 1x ydx dyx y

=+ +

⇒ 2 21 1x ydx dy Cx y

= ++ +∫ ∫

( ) ( )2 21 1ln 1 ln 12 2

x y C+ = + +

2

2

11

x Cy

+=

+

2. ydy xdx= − Integrăm ambele părţi ale relaţiei şi găsim integrala generală a ecuaţiei

diferenţiale date:

2 2

2 2y x C= − + ⇒ 2 2x y C+ =

3. Integraţi ecuaţia: ydxxdy = 0: ≠xy

x

dxy

dy= ⇒ Cxy lnlnln += ⇒ ln ln lny C x− = ⇒ ln ln

yx

C=

⇒ y

xC

= ⇒ y Cx= ⇒ y Cx= ± ⇒ Cxy =

4. Integrati ecuatia: ( )1dy x ydx

= −

1

dy xdxy

=−

1

dy xdxy

=−∫ ∫ ⇒

2ln 1

2xy C− = + ⇒

2

21x C

y e+

− =

2

21x

Cy e e− = ⇒ 2

21x

y Ce− = ⇒ 2

21x

y Ce− = ± 2

21x

y Ce− =

( )2

21x

y x Ce= +

5. Integrati ecuatia: ( )22 1dy x ydx

= −

( )2 21

dy xdxy

=−

( )2 21

dy xdxy

=−

∫ ∫ ⇒ 211

x Cy= +

− ⇒ ( ) 2

11y xx C

= −+

Observatie: Cea mai importanta ecuatie cu variabile separabile este: y ky= cu k o constanta nenula. y este notatie pentru derivata dupa timp ca la fizica!

dy kydt

= ⇒ dy kdty= ⇒ ln y kt C= + ⇒ kt Cy e += ⇒ ( ) kty t Ce=

Alt exemplu: ( )( ) ( )2 21 1 0x yy e dx e dy y dy+ − − + =

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1x yy e dx y e dy y dy+ = + + +

22

11

x y ye dx e dyy

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟

+⎝ ⎠

22 2

11 1

x y ye dx e dy dy dyy y

= + ++ +∫ ∫ ∫ ∫

( )2 21 1 ln 12 2

x ye e arctg y y C= + + + +

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi Definiţie: O ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi este o ecuaţie liniară în funcţia necunoscută ( )y y x= şi în derivata sa /dy dx . În general o astfel de ecuaţie are forma:

( ) ( )dy p x y q xdx

+ = (22)

unde coeficienţii ( )p x şi ( )q x sunt funcţii definite pe un interval ( ),α β .

Dacă ( ) 0q x = , ecuaţia se numeşte omogenă. În caz contrar, neomogenă. Teorema: Dacă funcţiile ( )p x şi ( )q x sunt continue pe [ ] ( ), ,a b α β⊂ , atunci ecuaţia

are soluţie unică care satisface condiţia iniţială ( )0 0y x y= , unde punctul ( )0 0,x y aparţine benzii a x b< < , y−∞ < < +∞ .

□ Integrare prin metoda variaţiei de constantă

O ecuaţie diferenţială liniară omogenă, corespunzătoare ecuaţiei (22), are forma:

( ) 0dy p x ydx

+ = (23)

Această ecuaţie se integrează separând variabilele:

( )dy p x dxy= −

( )ln lny p x dx C= − +∫

sau ( )p x dxy Ce−∫= (24)

Formula (24) reprezintă soluţia generală pentru ecuaţia (23) în banda a x b< < , y−∞ < < +∞ .

Ecuaţia liniară neomogenă (22) poate fi integrată folosind metoda variaţiei de constantă. Aceasta constă în următoarele: Mai întâi integrăm ecuaţia omogenă:

( ) 0dy p x ydx

+ = ,

a cărei soluţie este:

( )p x dxy Ce

−∫= unde C este o constantă arbitrară. Apoi, căutăm o soluţie pentru ecuaţia neomogenă sub forma

( ) ( )p x dxy C x e

−∫= (25) unde ( )C x este o nouă funcţie necunoscută. Calculăm derivata funcţiei (25) şi o substituim împreună cu funcţia în ecuaţia neomogenă (22).

( ) ( ) ( ) ( )( )p x dx p x dxdy dC e C x e p xdx dx

− −∫ ∫= + −

În ecuaţia (22):

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x dxdC C x p x p x C x q x edx

∫+ − + =

( ) ( )p x dxdC q x edx

∫=

( ) ( ) ( )p x dxC x q x e dx C∫= +∫ unde C este o constantă de integrare. Atunci:

( ) ( ) ( )p x dxy x C x e

−∫=

( ) ( ) ( ) ( )p x dx p x dx p x dxCe e q x e dx− −∫ ∫ ∫= + ∫ (26) Aceasta este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (22). Se observă că soluţia generală pentru ecuaţia (22) este suma soluţiei generale a ecuaţiei omogene (23) şi a soluţiei particulare pentru ecuaţia neomogenă (22) care rezultă din (26) pentru 0C = , adică: . . .gen neomogena gen omogena partic neomogenay y y= + Exemplu 1: Integraţi ecuaţia diferenţială liniară:

cos 2cosdy y x xdx

+ =

cos 0dy y xdx

+ = cos dy x dxy= − ln sin lny x C= − +

sin xy Ce−= ( ) ( ) sin xy x C x e−=

( ) ( ) ( ) ( )sin sin sincos cos 2cosx x xdC xe C x e x C x e x x

dx− − −+ ⋅ − + ⋅ =

( ) sin 2cosxdC x

e xdx

− =

( ) sin2cos xdC x x e dx=

( ) sin2 cos xC x x e dx= ∫

( ) sin2 xC x e C= +

( ) sin 2xy x Ce−= + Observăm că 2 este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Exemplul 2: Integraţi ecuaţia diferenţială liniară:

dy y xdx x

− =

0dy ydx x

− = dy dxy x=

y Cx= soluţia generală a ecuaţiei omogene Căutăm soluţia ecuaţiei neomogene cu metoda variaţiei de constantă: ( ) ( )y x C x x=

( ) ( ) 1dC xx C x

dx x+ − ( ) xxxC =

( ) xxdx

xdC= ( ) dxxdC =

( ) CxxC += Deci, soluţia generală a ecuaţiei neomogene este: ( ) 2xCxxy += Observăm că 2x este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Observaţie: Dacă soluţia particulară a ecuaţiei liniare neomogene poate fi ghicită, atunci căutarea soluţiei generale este mult simplificată. Exemplu 3: 3y y x′ + = + Rezolvam ecuatia omogena:

0dy ydx

+ = ⇒ dy dxy= − ⇒ ln y x C= − +

x Cy e− += ⇒ C xy e e−= ⇒ xy Ce−=

xy Ce−= ± ⇒ ( ) xy x Ce−= solutia gen, ec, omogena Cautam solutia ec. neomogene in forma: ( ) ( ) xy x C x e−=

( ) ( ) ( ) ( )1 3x x xdC xe C x e C x e x

dx− − −+ − + = +

( ) 3xdC xe x

dx− = +

( ) ( )3 xdC x x e dx= +

( ) ( )3 xdC x x e dx= +∫ ∫

( ) 3x xdC x xe dx e dx= +∫ ∫ ∫

( ) ( ) 3x x xdC x xe e dx e dx= − +∫ ∫ ∫

( ) 2x xC x xe e C= + +

( ) ( )2x x xy x xe e C e−= + +

( ) 2xy x Ce x−= + + Observăm că 2x + este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.

Ecuaţii diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi

O ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi de ordinul doi are forma:

1 2 0y p y p y′′ ′+ + = (14) unde p1 şi p2 sunt numere reale. Pentru a determina soluţia generală a ecuaţiei, trebuie să găsim două soluţii particulare liniar independente ale acesteia. Căutăm aceste soluţii de forma: ( ) xy x eλ= , λ = constantă Derivăm această funcţie şi o substituim în ecuaţia diferenţială (14): ( )2

1 2 0xe p pλ λ λ+ + = Deoarece exponenţiala este nenulă, polinomul în λ din paranteză trebuie să fie nul. În consecinţă, funcţia ( ) xy x eλ= , este soluţie a ecuaţiei diferenţiale numai dacă λ este rădăcină a polinomului din paranteză, numit polinom caracteristic,

21 2 0p pλ λ+ + = (15)

Această ecuaţie se numeşte ecuaţie caracteristică în raport cu ecuaţia diferenţială

(14). Vom nota cu 1λ şi 2λ rădăcinile polinomului caracteristic. Acestea pot fi: (1) reale şi distincte (2) complexe (3) reale şi egale. Considerăm separat fiecare caz: (1) Dacă rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale şi distincte, atunci soluţiile particulare pentru ecuaţia (14) vor fi: ( ) 1

1xy x eλ= şi ( ) 2

2xy x eλ=

Aceste soluţii sunt liniar independente şi formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţie. Soluţia generală va fi de forma (13):

( ) 1 21 2

x xy x C e C eλ λ= + (16) cu C1 şi C2 constante arbitrare. Exemple: 1) Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei: 3 2 0y y y′′ ′− + =

Rezolvăm mai întâi ecuaţia caracteristică: 2 3 2 0λ λ− + =

1 1λ = 2 2λ = Soluţia generală va fi o combinaţie liniară de exponenţiale: ( ) 2

1 2x xy x C e C e= +

2) Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei: 7 12 0y y y′′ ′− + =

Rezolvăm mai întâi ecuaţia caracteristică: 2 7 12 0λ λ− + = 1 3λ = 2 4λ = Soluţia generală va fi o combinaţie liniară de exponenţiale: ( ) 3 4

1 2x xy x C e C e= +

(2) Dacă rădăcinile 1λ şi 2λ sunt complexe, deoarece coeficienţii p1 şi p2 sunt reali, rădăcinile 1λ şi 2λ sunt complex conjugate, adică: 1 iλ α β= + şi 2 iλ α β= − . Soluţiile particulare ale ecuaţiei diferenţiale pot fi scrise în forma: ( ) ( )

1i xy x e α β+= şi ( ) ( )

2i xy x e α β−=

Acestea sunt funcţii cu valori complexe. Ne-am dori soluţii reale. Pentru aceasta ne vom folosi de relaţiile Euler: cos sini xe x i xβ β β= + cos sini xe x i xβ β β− = − Cu acestea, putem reprezenta soluţiile particulare în forma: ( ) ( )1 cos sinxy x e x i xα β β= +

( ) ( )2 cos sinxy x e x i xα β β= − Cu teorema 3 şi partea reală şi partea imaginară sunt soluţii particulare pentru ecuaţia diferenţială (14): ( )1 cosxy x e xα β= şi ( )2 sinxy x e xα β= Aceste soluţii sunt liniar independente deoarece

( )( ) ( )2

1

cty x

tg xy x

β= ≠

Aceste soluţii sunt liniar independente şi formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţie. Soluţia generală va fi de forma: ( ) 1 2cos sinx xy x C e x C e xα αβ β= + (17)

Exemplu: Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei: 1. 2 5 0y y y′′ ′+ + = 2 2 5 0λ λ+ + = 1 1 2iλ = − + 2 1 2iλ = − − 1α = − 2β = ( ) 1 2cos 2 sin 2x xy x C e x C e x− −= + 2. 4 13 0y y y′′ ′− + = 2 4 13 0λ λ− + = 1 2 3iλ = + 2 2 3iλ = − 2α = 3β = ( ) 2 2

1 2cos3 sin 3x xy x C e x C e x= + (3) Presupunem radăcinile polinomului caracteristic reale si egale 1 2λ λ= . O soluţie particulară a ecuatiei (14) este ( ) 1

1xy x eλ=

Cea de-a doua soluţie trebuie să fie liniar independentă cu prima şi o căutăm în forma: ( ) ( )1

2xy x e u xλ= ⋅

cu ( )u x noua necunoscută. Aceasta formă a soluţiei secunde împreună cu derivatele sale le înlocuim în ecuaţia (14). ( ) ( ) ( )1 1

2 1x xy x e u x e u xλ λλ′ ′= ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 122 1 1 1

x x x xy x e u x e u x e u x e u xλ λ λ λλ λ λ′′ ′ ′ ′′= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

( )1 21 1 1 1 1 22 0xe u u u p u p u p uλ λ λ λ′ ′′ ′+ + + + + =

( ) ( )1 2

1 1 1 1 1 22 0xe u p u p p uλ λ λ λ⎡ ⎤′′ ′+ + + + + =⎣ ⎦

Cum 1λ este radăcina dublă a polinomului caracteristic, avem: 2

1 1 1 2 1 10 si 2 0p p pλ λ λ+ + = + =

Atunci, ecuaţia a cărui soluţie trebuie să fie funcţia necunoscută ( )u x este: 0u′′ = . Cu două integrari succesive obţinem: u A′ = u Ax B= + Consideram 1A = , 0B = . Atunci, ( )u x x= şi a doua soluţie particulară este: ( ) 1

2xy x e xλ= ⋅

Cu două soluţii liniar independente determinate, care formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţie, soluţia generală va fi de forma:

( ) 1 11 2

x xy x C e C xeλ λ= + (18) Exemple: Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei: 1. 2 0y y y′′ ′+ + = . 2 2 1 0λ λ+ + = Rădăcina dublă a acestui polinom este 1 1λ = − . ( ) 1 2

x xy x C e C xe− −= + 2. 4 4 0y y y′′ ′− + = . 2 4 4 0λ λ− + = Rădăcina dublă a acestui polinom este 1 2λ = . ( ) 2 2

1 2x xy x C e C xe= +

Considerăm ecuaţii diferenţiale liniare omogene, de ordin n arbitrar, cu

coeficienţi constanţi: [ ] ( ) ( )1

1 1 0n nn nL y y p y p y p y−− ′= + + + + =… (19)

în care 1 2, , , np p p… sunt numere reale. Soluţia generală se caută în aceeaşi manieră ca şi la ecuaţia diferenţială de ordinul doi.

1. Căutăm soluţii în forma xy eλ= . Substituim xeλ în ecuaţia (19) şi obţinem: ( ) 0x xL e eλ λ ϕ λ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

Adică, vom obţine ecuaţia caracteristică:

11 1 0n n

n np p pλ λ λ−−+ + + + =… (20)

2. Calculăm rădăcinile ecuaţiei caracteristice 1 2, , , nλ λ λ… . 3. În acord cu natura rădăcinilor scriem soluţiile particulare, liniar independente ale

ecuaţiei (19), astfel: a) La fiecare rădăcină reală simplă λ a ecuaţiei caracteristice, alegem câte o soluţie

particulară xeλ . b) La fiecare pereche de rădăcini complexe conjugate simple 1 iλ α β= + şi

2 iλ α β= − alegem două soluţii particulare liniar independente :

cosxe xα β şi sinxe xα β

c) La fiecare rădăcină reală λ cu multiplicitate r, alegem r soluţii particulare liniar independente

xeλ , xxeλ , … , 1r xx eλ− d) La fiecare pereche de rădăcini complexe conjugate 1 iλ α β= + şi 2 iλ α β= − cu

multiplicitate μ, alegem 2μ soluţii particulare: cosxe xα β , cosxxe xα β , … , 1 cosxx e xμ α β− sinxe xα β , sinxxe xα β , … , 1 sinxx e xμ α β− 4. Numărul soluţiilor particulare construite în această manieră este egal cu ordinul n

al ecuaţiei diferenţiale. Se poate arăta că aceste soluţii sunt liniar independente. Cu aceste n soluţii particulare liniar independente ( )1y x , ( )2y x , … , ( )ny x , care formează un sistem fundamental de soluţii, scriem soluţia generală:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n ny x C y x C y x C y x= + + +… (21)

Exemple: 1) Determinaţi soluţia generală pentru ecuaţia diferenţială: ( )6 0y y′′− = 6 2 0λ λ− = ( )2 4 1 0λ λ − = ( )( )( )2 21 1 1 0λ λ λ λ− + + = 1 2 0λ λ= = 3 1λ = 4 1λ = − 5 iλ = 6 iλ = − ( ) 1 2 3 4 5 6cos sinx xy x C C x C e C e C x C x−= + + + + +

2) Determinaţi soluţia generală pentru ecuaţia diferenţială: ( ) ( ) ( )6 5 4 (3)4 2 5 2 0y y y y y y y′′ ′− − + + − − = 6 5 4 3 24 2 5 2 0λ λ λ λ λ λ− − + + − − = ( ) ( ) ( )2 31 1 2 0λ λ λ− + − = 1 1λ = multiplicitate 2 2 1λ = − multiplicitate 3 3 2λ = simplă ( ) 2 2

1 2 3 4 5 6x x x x x xy x C e C xe C e C xe C x e C e− − −= + + + + +

3) Determinaţi soluţia următoarei probleme:

( ) ( ) ( )5 22 56 0

0 1, 0 2, 0 4y y y y

y y y′′′ ′′ ′− − + =⎧

⎨ ′ ′′= = − = −⎩

3 25 22 56 0λ λ λ− − + = ( )( )( )2 4 7 0λ λ λ− + − = 1 2λ = simplă 2 4λ = − simplă 3 7λ = simplă ( ) 4 2 7

1 2 3x x xy x C e C e C e−= + +

Constantele se determină din condiţiile iniţiale ( )0 1y = ⇒ 1 2 3 1C C C+ + =

( )0 2y′ = − ⇒ 1 2 34 2 7 1C C C− + + =

( ) 0 4y′′ = − ⇒ 1 2 316 4 49 1C C C+ + =

11433

C = 21315

C = 31655

C = −

( ) 4 2 714 13 1633 15 55

x x xy x e e e−= + −

4) Determinaţi soluţia generală pentru ecuaţia diferenţială:

( ) ( ) ( )5 4 315 84 220 275 125 0y y y y y y′′ ′− + − + − = 5 4 3 215 84 220 275 125 0λ λ λ λ λ− + − + − = ( )( ) ( )2 21 5 4 5 0λ λ λ λ− − − + =

1 1λ = simplă 2 5λ = multiplicitate 2 3,4 2 iλ = ± simple ( ) 5 5 2 2

1 2 3 4 5cos sinx x x x xy x C e C e C xe C e x C e x= + + + +