Evaluacion de Monod

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  • EVALUACIONDE LOS PARAMETROS

    CINETICOSDE LA ECUACIONDEMONODAlberto Duarte TorresIngeniero Qumico, MSc.Departamento t Ingeniera QumicaFacultad t IngenieraUniversidadNacionai t Colombia. Bogot

    La evaluacin de la cintica decrecimiento de clulas microbiales,animales, o vegetales constituye unaspecto fundamental en el diseno,operacin, simulacin y predicindel comportamiento de los reactoresbiolgicos. El propsito de estearticulo es presentar una aplicacinde los mtodos diferencial e integralde anlisis de datos en ladeterminacin de los parmetros.cinticos del Modelo de Monod, unode los modelos empleados con mayorfrecuencia para relacionar el efecto dela concentracin de sustrato sobre lavelocidad especifica deformacin debiomasa.

    INTRODUCCION

    El crecimiento celular es elresultado de numerosas interaccionesentre reacciones bioqumicas yfenmenos de transporte con mltiplesfases y sistemas multicomponentes. Lamezcla heterognea de clulas jvenes yviejas experimenta durante el proceso decrecimiento un cambio continuomientras se adapta a un medio ambientecuyas condiciones fsicas y qumicasvaran permanentemente, A causa de laimposibilidad para modelar exactamentela cintica de crecimiento, deben hacersealgunas suposiciones con el propsito deobtener modelos simples tiles para eldiseo y operacin de fermentadores y laprediccin de su comportamiento. Elms sencillo es un modelo noestructurado y distribuido basado en lassiguientes suposiciones:

    - Las clulas pueden serrepresentadas por un componente

    simple tal como masa celular,nmero de clulas, o laconcentracin de proteinas, ADN(cido desoxirribonuclico) o ARN(cido ribonuc1ico).

    - La poblacin celular estadistribuida uniformemente. Lasuspensin de clulas eshomognea, se ignora la naturalezaheterognea de las clulas y laconcentracin celular se expresacomo masa de clulas secas porunidad de volumen.

    - El medio se formula de maneraque solo un componente sealimitante de la velocidad dereaccin. Los dems componentesestn presentes en concentraciones10suficentemente altas para evitarel efecto de cambios pequeossobre la velocidad de reaccin.

    - El fermentador se controla paragarantizar un nivel constante decondiciones ambientales talescomo pH, temperatura yconcentracin de oxgeno disuelto.

    INGENIERIA E INVESTIGACION

  • La mezclaheterognea declulas jvenes y

    viejas experimentadurante el procesode crecimiento uncambio continuo

    mientras se adaptaa un medio

    ambiente cuyascondiciones fisicasy qumicas varanpermanentemente.

    El modelo de Monod (Ecuaciones[1] Y [2]) describe la interaccin entre elcrecimiento de microorganismos en uncultivo por lotes y la utilizacin delsustrato limitativo del crecimiento enaquellos sistemas donde prcticamentetodo el sustrato es transformado enbiomasa:

    dt (1)

    Si la Ecuacin (3) se sustituye enla Ecuacin (1) se obtiene:

    dx I!M'S-- [xo + Yx/s' (so - s) ] (4)

    ds 1 dx

    ds -1- - - ---[xo + Yxl,.(so - s)] (5)

    , Ks + S I!M If .ds=-- f dt'0 s [xo + Yx/s' (so - s) ] Yx/s o

    1 [In (1+ a.d)]

    dI dt (2)

    s-In=-=b-------c (6)

    Donde, YXIS : factor derendimiento de sustrato en producto,(g clri1as).(g sustrato )-1; s: concen-tracindel sustrato limitante, g.litro";x: concentracin de biomasa, (g clulassecasj.Iitro"; ~: velocidad especficamxima de crecimiento, (hora):'; K,:constante de saturacin, g.litro'; K,:concentracin del sustratocorrespondiente a una velocidadespecfica de crecimiento igual amJ2 .

    METODO INTEGRALDE ANALISIS

    El punto de partida del mtodointegral de anlisis del modelo de Monod(Ecuaciones [1] y [2]), propuesto porOng, (1983), es la siguiente ecuacinobtenida mediante integracin de laEcuacin (2):

    (3)

    I I

    Donde, x, s: concentracin inicialde biomasa y d~ ~to limitativo delcrecimiento, respectivamente _

    so

    a=-- (7)x

    o

    (8)

    (9)

    d =(so-s) (lO)

    1IiII~_IN_~~~~~E~~~~TI~GA~CI~O~N~ _

  • La Ecuacin (6), deducida porGates y Marlar, (1968), indica unarelacin lineal entre los trminos{(lit). In (s/s)} y {(l /t).In (1 + a.d)}.Gates y Marlar, (1968), sugieren unprocedimiento basado en larepresentacin grfica de estos trminospara diferentes valores supuestos delparmetro a.

    De acuerdo con Ong, 1983, losvalores de a, b, y e, asociados con lamejor lnea recta obtenida, sonseleccionados como los mejoresestimativos y utilizados en la evaluacincE .t.M' K, YYxl. a partir de lasEcuaciones (7), (8) Y(9):

    e.t.M =

    b-l

    1+s

    oa

    K=sb-l

    (11)

    (12)

    (13)

    Los parmetros cinticos de laecuacin de Monod, .t.M y ~, nopueden estimarse con la misma facilidadque los correspondientes al modelo deMichaelis-Menten en una reaccinenzimtica. En el caso de una reaccinenzimtica, hay una velocidad inicial dereaccin medida en funcin de laconcentracin de sustrato a partir de unaserie de varios ensayos por lotes. En uncultivo de microorganismos, la velocidadinicial de reaccin siempre es cero por lanecesidad de una fase previa deadaptacin durante la cual no se aplica laecuacin de Monod. Adems, estasecuaciones, aunque similares, sondiferentes:

    Michaelis-Menten:

    dP rM.s--=r =---

    pdt KM+s

    (14)

    El coeficiente de correlacin R,describe el grado de ajuste de una lnearecta. Por consiguiente el coeficiente Rcorrespondiente a la relacin linealexpresada en la Ecuacin (6) es:

    (n.x.y-x. y)2R2= _

    (16)

    In (1 + a. d)x=----- (17)

    Monod:

    1 dx 1 .t.M.S---=-. r =---x dt x x K +s

    s

    (15)

    t

    sIn--

    so(18)

    Los parmetroscinticos de laecuacin de

    Monod no puedenestimarse con lamisma facilidad

    que loscorrespondientes

    al modelo deMichaelis-Mentenen una reaccinenzimtica.

    Donde, rM: velocidad mxima de lareaccin enzimtica; rp: velocidad deformacin de producto, g.Ilitro.hora):';.t.M: velocidad especfica mxima decrecimiento, (hora)"; x: concentracinde biomasa, (g clulas secasj.litro'; s:concentracin de sustrato, g.litro'; ~:constante de saturacin, g.(litro)I;~:constante de saturacin en el modelo deMichaelis Menten, g.(litro)"1.

    Donde, n: nmero de datosanalizados; y: ordenada; x: abcisa. Enlastres ecuaciones anteriores se conocentodos los trminos, excepto el parmetroa. La funcin objetivo es minimizar(R2). Esta funcin objetivo es unimodalpara a > 0, esto es, solo tiene un valorptimo local igual al ptimo global. Elalgoritmo mencionado en esta Seccines una modificacin de la tcnica debsqueda unidimensional de Powelldesarrollada orignalmente para lasolucin de un problema deprogramacin no lineal no restringidadescrito por Reklaitis et al., 1983.

    El programaC:\GWBASIC\MONOD .BAS~resumido en la

    Tabla 5, constituye un ejemplo de laaplicacin del mtodo integral de anlisisde datos en la evaluacin de losparmetros cinticos de la Ecuacin deMonod.

    INGENIERIA E INVESTIGACION 11-------

  • METODODIFERENCIAL DEANALISIS

    El objetivo del mtodo diferencialde anlisis es la evaluacin de lasvelocidades de crecimiento de biomasa yde consumo de sustrato a partir de unconjunto de datos experimentales de lasconcentraciones de biomasa y desustrato en funcin del tiempo en uncultivo por lotes. Aunque existennumerosas alternativas para laevaluacin de estas velocidades, lossiguientes procedimientos han sidoutilizados con alguna frecuencia:

    - El procedimiento geomtrico dediferenciacin de una funcinexperimental en un punto,propuesto por Leduy y Zajic,1973. En el programaC:\GWBASIC\LEDUYZAJ.BAS,resumido en la Tabla 6, se aplica lasubrutina de Leduy y Zajic, en laevaluacin de la velocidad decrecimiento de biomasa a partir deun conjunto de valores de laconcentracin de biomasa (variabledependiente) en funcin deltiempo.

    - El procedimiento propuesto porTao, 1987, fundamentado enarreglos de polinomios de laforma:

    f(x) = a(i) + b(i).x + c(i).x2 +d(i).xl (19)

    Donde. x: variable dependiente; t:variable independiente.

    El programa C:\GWBASIC\SPLINE.BAS, resumido en la

    Tabla 7, evala los coeficientes de lacurva de ajuste correspondientes a cada

    intervalo de la variable independiente(tiempo). La variable dependiente en laecuacin (19) es la concentracin debiomasa. En el programa se obtienen lasderivadas de los polinomios en cadapunto de la curva,

    Los valores de los parmetros .t.My K, son obtenidos a partir de lassiguientes relaciones lineales, deducidasde la ecuacin de Monod, una vezconocidos los valores de la velocidad decrecimiento de biomasa rx y de lavelocidad de consumo de sustrato r :

    Lineweaver-Burk:

    1 1 K 1s

    La representacin grfica de si.t.versus s, en el caso de microorganismosque se comportan de acuerdo con elmodelo de Monod, corresponde a unalnea recta, cuyo intercepto es K/~ ycuya pendiente es 11.t.M'

    Eadie-Hofstee :

    Il.t. = .t.M - -- . K, (22)

    s

    La representacin grfica de .t.versus .t.Is, en el caso demicroorganismos que se comportan deacuerdo con el modelo de Monod,corresponde a una lnea recta, cuyointercepto es IlM y cuya pendiente es-K

    La principal limitacin del mtododiferencial de anlisis en ladeterminacin de parmetros cinticoses la dificultad para la realizacin deensayos en un reactor continuo demezcla completa (CSTR) donde existe laposibilidad de mantener un medioambiente estable para losmicroorganismos. En los ensayos porlotes pueden utilizarse matraces pararealizar simultneamente mltiplesensayos con diferentes condicionesambientales. Los ensayos en reactorescontinuos requieren tanques de reservade nutrientes y de producto conectadosaspticamente al fermentador. El controldel caudal se dificulta en algunos casospor la formacin de espuma y por eltaponamiento del dueto de salida conaglomerados de clulas. La duracin deun ensayo puede prolongarse durantevarios das, e incluso semanas, yaumentar el riesgo de contaminacin yde mutacin de la cepa por suadaptacin a las nue