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ÉVALUATION DES MÉTHODESÉVALUATION DES MÉTHODESD’ANALYSED’ANALYSE

APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIEAPPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIEET DE LA SANTÉ-UE4ET DE LA SANTÉ-UE4

PACES

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100%

11 re annéere annéeSantéSanté

ÉVALUATION DES MÉTHODESÉVALUATION DES MÉTHODESD’ANALYSED’ANALYSE

APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIEAPPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIEET DE LA SANTÉ-UE4ET DE LA SANTÉ-UE4

PACES

Salah BelazregProfesseur au lycée Camille Guérin à Poitiers

2e édition

IV

V

Avant-propos

Cet ouvrage « tout-en-un » est la 2e édition du manuel de mathématiques, probabi-lités et biostatistiques de la collection 100% 1re année santé, paru en août 2010. Ilest complètement revu, corrigé et réhaussé par plusieurs paragraphes. Parmi les nou-veautés de cette 2e édition, on peut citer : les tests diagnostiques, les courbes ROC,la fonction de survie, les diagrammes en boîtes et les problèmes d’estimations.Il s’adresse principalement aux étudiants en 1re année Santé (PACES) pour la prépa-ration des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme, mais il intéresseraégalement les étudiants en classes préparatoires Bio-Véto et Agro (BCPST1) ainsique les étudiants en L1 Sciences.Son but est de présenter de façon claire et progressive l’ensemble des notionsà connaître de l’unité UE4 « Évaluation des méthodes d’analyse appliquées auxsciences de la vie et de la santé ».Son usage suppose que l’étudiant ait une connaissance complète du programme ac-tuel des classes de premières et terminales scientifiques.Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et aux exi-gences de ces concours et examens difficiles.En effet, chaque chapitre mentionne les objectifs à atteindre et il propose un coursexposé de façon détaillée, des exemples concrets, des applications, des exercices etdes QCM de difficultés variées :

• le Cours proprement dit est composé de définitions, propriétés et théorèmes dontla connaissance est indispensable. Les démonstrations non traitées sont laissées àl’initiative du lecteur. De nombreux exemples et applications, au fil du cours, visentà l’assimilation des notions essentielles et à l’acquisition des techniques de base ;

• les Exercices sont classés par niveau de difficulté et sont tous suivis de leur so-lution détaillée. Ils permettent à l’étudiant une démarche graduée : chercher seul,s’inspirer des exemples et applications du cours, et, au final, tirer le maximum deprofit de chaque exercice ;

• les QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion. Laplupart sont issus des sujets de concours. Ainsi, avant de proposer des solutionsrapides et sans démarche rigoureuse, il importe de bien connaître la totalité du

VI

cours, et pas seulement les formules. Une résolution approfondie vous permettrade vous entraîner à ce type d’épreuve afin de gagner en compétence et en rapidité.

Mon expérience d’enseignement, articulée entre le secondaire et le supérieur, m’amontré que la difficulté qu’éprouvent certains étudiants à assimiler les mathématiquestenait au caractère abstrait de leur support. Ainsi, j’ai tenté de faire un juste choixentre une vulgarisation et un excès d’abstraction qui risquerait de rebuter. Par ailleurs,il m’a paru intéressant de donner au lecteur un aperçu des applications pratiques desnotions présentées. C’est pourquoi, chaque fois que cela a été possible, j’ai illustrémes propos par des applications médicales, physiques ou chimiques.J’espère que cet ouvrage, fruit d’une longue expérience, rédigé avec beaucoup d’at-tention, constituera pour les étudiants un outil précieux pour la préparation de cesconcours et examens et je leur souhaite bon courage.

RemerciementsJe remercie très sincérement Monsieur Jean-Jacques Landelle, Professeur de ma-thématiques, pour sa lecture attentive de la totalité de l’ouvrage et les correctionsapportées.Mes remerciements vont également aux éditions Dunod pour le soin et la présenta-tion apportés à la réalisation de cet ouvrage et plus particulièrement à monsieur Éricd’Engenières, éditeur, qui a cru en cet ouvrage et a permis sa réalisation.Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formulerleurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestions succep-tibles d’améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés.

Poitiers, mai 2012 Salah Belazreg

Avant-proposc ©

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VII

Table des matières

Avant-propos ............................................................................................ VI

Chapitre 1. Polynômes. Fractions rationnelles. Équations .............................. 1

1. Opérations sur les nombres............................................................... 12. Polynômes .................................................................................... 43. Équations ..................................................................................... 7Exercices et QCM ................................................................................ 12Corrigés............................................................................................. 13

Chapitre 2. Trigonométrie.......................................................................... 23

1. Fonctions trigonométriques .............................................................. 232. Formulaire .................................................................................... 25Exercices et QCM ................................................................................ 30Corrigés............................................................................................. 32

Chapitre 3. Généralités sur les fonctions ..................................................... 38

1. Fonctions...................................................................................... 382. Dérivée. Différentielle ..................................................................... 473. Fonctions de plusieurs variables indépendantes ..................................... 594. Dérivées partielles. Différentielle totale ............................................... 59Exercices et QCM ................................................................................ 62Corrigés............................................................................................. 65

Chapitre 4. Primitives. Intégrales ............................................................... 75

1. Primitive d’une fonction réelle .......................................................... 752. Intégrale définie ............................................................................. 773. Quelques applications du calcul intégral .............................................. 794. Méthodes de calcul des intégrales ...................................................... 81Exercices et QCM ................................................................................ 84Corrigés............................................................................................. 86

VIII

Chapitre 5. Développement de fonctions en séries entières ........................... 96

1. Convergence et divergence d’une série ................................................ 962. Séries entières ............................................................................... 1003. Développement en série entière des fonctions usuelles............................ 105Exercices ........................................................................................... 106Corrigés............................................................................................. 107

Chapitre 6. Équations différentielles .......................................................... 111

1. Généralités ................................................................................... 1112. Équations différentielles du premier ordre............................................ 1123. Équations différentielles du second ordre ............................................. 1154. Quelques courbes importantes en biologie ........................................... 1195. Applications.................................................................................. 122Exercices et QCM ................................................................................ 132Corrigés............................................................................................. 134

Chapitre 7. Notions de grandeurs intensives et extensives ............................. 145

1. Variables (ou fonctions) extensives et intensives.................................... 1452. Différentielle d’une fonction ............................................................. 1453. Détermination d’une fonction à partir de sa différentielle ........................ 150

Chapitre 8. Analyse Combinatoire. Binôme de Newton................................... 152

1. Ensembles finis .............................................................................. 1522. Arrangements, permutations et combinaisons ....................................... 153Exercices et QCM ................................................................................ 157Corrigés............................................................................................. 159

Chapitre 9. Probabilités ............................................................................ 163

1. Probabilités ................................................................................... 1632. Variables aléatoires, loi de probabilité et fonction de répartition................ 1713. Lois de probabilités de variables aléatoires continues ............................. 1754. Loi binomiale B(n, p). Épreuves répétées ............................................ 1765. Loi des fréquences.......................................................................... 1796. Loi de Poisson P(np) ou P(m) .......................................................... 1797. Loi de Laplace-Gauss ou loi normaleN(m, σ)...................................... 1808. Loi normale centrée réduiteN(0, 1) ................................................... 1829. Quelques applications des probabilités à la santé ................................... 183Exercices et QCM ................................................................................ 195Corrigés............................................................................................. 201

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Chapitre 10. Statistiques descriptives ......................................................... 222

1. Étude d’un caractère ou d’une variable................................................ 2222. Les différentes représentations graphiques ........................................... 2243. Les paramètres d’une série statistique ................................................. 2274. Étude de 2 caractères ...................................................................... 238Exercices et QCM ................................................................................ 240Corrigés............................................................................................. 241

Chapitre 11. Problèmes d’estimation et tests d’hypothèses ............................ 246

1. Problèmes d’estimation ................................................................... 2462. Tests statistiques ............................................................................ 252Exercices et QCM ................................................................................ 258Corrigés............................................................................................. 260

Chapitre 12. Problèmes d’ajustement .......................................................... 269

1. Ajustement linéaire. Méthode des moindres carrés................................. 2692. Ajustement exponentiel ................................................................... 271Exercices ........................................................................................... 273Corrigés............................................................................................. 275

Chapitre 13. Mesures et leurs précisions ..................................................... 281

1. Grandeurs physiques. Équations aux dimensions ................................... 2812. Système international d’unités........................................................... 2823. Équations aux dimensions ................................................................ 2824. Analyse dimensionnelle ................................................................... 2835. Mesures des grandeurs .................................................................... 2846. Dispersion d’une série de mesures ..................................................... 287Exercices et QCM ................................................................................ 292Corrigés............................................................................................. 293

Annexes ................................................................................................... 296

Index ....................................................................................................... 300

Table des matières

X

Polynômes. Fractionsrationnelles. Équations

1

1. Opérations sur les nombres2. Polynômes3. Équations

• Savoir résoudre des équationsdu premier et du second degrés

• Savoir résoudre un système de deuxéquations linéaires à deux inconnues

• Savoir décomposer une fractionrationnelle en éléments simples

Cours

1. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES

1.1. Valeur absolue des nombres réelsSoit x un réel quelconque. La valeur absolue de x, notée |x| est :

|x| ={

x si x � 0− x si x < 0

Exemple

|x − 2| ={

x − 2 si x � 22 − x si x < 2

1.2. Puissances d’un réelDéfinition

On pose :

pour n naturel non nul

∣∣∣∣∣∣ 0n = 0

1n = 1et pour tout réel a non nul

∣∣∣∣∣∣ a0 = 1

a1 = a

1

Pour tout réel a et pour tout entier naturel n non nul, la puissance n-ième de a,notée an, est définie par :

an+1 = a × an

∣∣∣∣∣∣ a : base de la puissancen : exposant de la puissance

Remarques

• L’écriture an se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».

• Pour a non nul, l’inverse de a,1a

, peut se noter a−1 et1an se note a−n.

Propriétés

• a et b étant des réels quelconques et m et n des entiers naturels, on a :

am × an = am+n

am

an = am−n avec a � 0

(am)n = amn(ab

)n=

an

bn avec b � 0

• Formule du binôme de Newton :

Quels que soient les réels a et b et quel que soit l’entier naturel n :

(a + b)n = C0nan +C1

nan−1b + · · · +Cinan−ibi + · · · +Cn

nbn =

n∑i=1

Cinan−ibi

1.3. Puissances fractionnaires à exposant rationnel• Quels que soient x et y réels positifs et quel que soit n entier naturel non nul, le

nombre x1n est défini par l’équivalence suivante :

y = x1n ⇐⇒ x = yn

De la relation précédente, il vient :(x

1n

)n=(xn) 1

n = x

• Si x est un réel quelconque et si n est un entier naturel non nul et pair alors :(xn) 1

n = |x|D’où, en remarquant que :

∀x � 0,√

x = x12 , alors

√x2 = |x| .

1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations

2

Exemple

√x3√

x=

√x3

x=√

x2 = |x|

• Quels que soient x réel positif, y réel strictement positif, et n entier naturel nonnul :

x1n

y1n

=

(xy

) 1n

1.4. Racines n-ième d’un réelLes résultats qui suivent sont illustrés graphiquement par l’existence des points d’in-tersection de la droite y = a et de la courbe d’équation y = xn.

a est un réel positif

La racine n-ième du réel a est l’unique solution réelle positive de l’équation xn = ad’inconnue x.Elle est notée : x = n

√a

• Si n est pair alors l’équation admet deux solutions opposées :

x1 =n√a et x2 = − n√a

• Si n est impair alors l’équation admet une seule solution positive x = n√

a.

x x

y

y

y = x 3y = x 4

y = a ; a>0

0 52,5-2,5-5

80

60

40

20

52,5-2,5-5

75

50

25

-25

-50

-75

y = a ; a>0

Figure 1.1

Polynômes. Fractions rationnelles. Équations •1c ©

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a est un réel strictement négatif

• Si n est pair, alors l’équation x = n√

a n’admet pas de solution.

• Si n est impair, alors l’équation admet une seule solution x = n√a, laquelle estnégative.

x x

y

y

y = x 3y = x 4

y = a ; a<0

0 52,5-2,5-5

80

60

40

20

52,5-2,5-5

75

50

25

-25

-50

-75

y = a ; a<0

Figure 1.2

2. POLYNÔMES

2.1. Définitions

• Un polynôme de degré n, a pour expression :

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn =

n∑k=1

ak xk

• x est la variable et les réels a0, a1, · · · , ak, · · · , an sont des constantes appeléescoefficients du polynôme.

• n est un entier naturel et représente le degré du polynôme.

P(x) est dit identiquement nul si tous ces coefficients sont nuls. On note P(x) = 0.

Exemple

a0 + a1x + a2x2 = 0 entraîne a0 = 0, a1 = 0 et a2 = 0.


4

Si le polynôme P(x) n’est pas identiquement nul (P(x) � 0), le degré du polynômeP(x) est le plus grand entier k tel que ak � 0. On le note deg(P).

Exemples

• A(x) = 1 − 2x + 3x3 est un polynôme ordonné de degré 3.

On note deg(A) = 3.

• B(x) =23+ 2x + 4x2 + 8x3 − 5x4 est un polynôme de degré 4 et deg(B) = 4.

2.2. Division euclidienne ou division selon les puissancesdécroissantes

Soient P(x) et A(x) � 0 deux polynômes. Alors il existe un couple unique depolynômes (Q(x), R(x)) tels que :

P(x) = A(x) · Q(x) + R(x) avec deg(R) < deg(A) ou R = 0

Q(x) et R(x) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidiennede P(x) par A(x).

Exemple

Si P(x) = 2x3 − 5x + 4 et A(x) = x2 + x − 1,

alors :

Q(x) = 2x − 2 et R(x) = −x + 2

• Divisibilité par un monôme x − a

On dit que le polynôme P(x) est divisible par x − a si :

P(x) = (x − a) · Q(x) ; Q(x) est le quotient.

Comme P(x) est divisible par x − a alors P(a) = 0 : le réel a est donc racine del’équation P(x) = 0.

• Pour démontrer qu’un polynôme de degré n est identiquement nul, on prouve qu’ila au moins n + 1 racines.

2.3. Décomposition d’une fraction rationnelle en élémentssimples

Une fraction rationnelle est un quotient de polynômes. On cherchera à écrire cettefraction sous la forme d’une somme de fonctions dont on connait une primitive. Plu-sieurs techniques sont possibles.


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Exemple

Soit la fraction rationnelle :

F(x) =1

x2 − 6x + 5• Cherchons un écriture de la forme :

1

x2 − 6x + 5=

ax − 1

+b

x − 5

Une factorisation de x2 − 6x + 5 donne :

x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5)

En réduisant au même dénominateur les fractionsa

x − 1et

bx − 5

, il vient :

1(x − 1)(x − 5)

=a(x − 5)

(x − 1)(x − 5)+

b(x − 1)(x − 1)(x − 5)

=(a + b)x + (−5a − b)

(x − 3)(x + 5)

Par identification, on obtient le système d’équations :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a + b = 0

et−5a − b = 1

La résolution du système précédent donne :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩a = −1

4et

b =14

Ainsi :

F(x) =1

(x − 1)(x − 5)= −1

41

x − 1+

14

1x − 5

Les fractions −14

1x − 1

et +14

1x − 5

sont appelées les éléments simples de la frac-

tion rationnelle1

x2 − 6x + 5.

• Autre méthode.On a :

1x2 − 6x + 5

=1

(x − 1)(x − 5)Les réels 1 et 5 sont dits pôles simples de la fraction.

On cherche une écriture de la forme :1

(x − 1)(x − 5)=

ax − 1

+b

x − 5


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Sans calcul effectif des multiplications, on multiplie les deux membres de l’égalitépar (x − 1) ; puis on substitue à x la valeur 1 :

(x − 1)(x − 1)(x − 5)

=a(x − 1)

x − 1+

b(x − 1)x − 5

1(x − 5)

= a +b(x − 1)

x − 5

En prenant x = 1, on obtient a = −14

.

En faisant de même avec le pôle 5, c’est-à-dire en multipliant par (x − 5) puis en

prenant x = 5, on obtient b =14.

3. ÉQUATIONS3.1. Équations du premier degré à une inconnueLes équations du premier degré à une inconnue sont les équations de la formeax + b = c.

• Si a � 0, l’équation admet une solution unique, x =c − b

a.

• Si a = 0 et b � c, l’équation n’a pas de solution.

• Si a = 0 et b = c, l’équation admet une infinité de solutions.

3.2. Système de deux équations linéaires à deux inconnues

C’est un système de deux équations à deux inconnues x et y, de la forme :{ax + by = ca′x + b′y = c′

On appelle déterminant du système, le nombre D :

D =

∣∣∣∣∣∣ a ba′ b′

∣∣∣∣∣∣ = ab′ − a′b

• Si D � 0, le système admet le couple (x, y) comme solution unique :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x =Dx

D=

∣∣∣∣∣∣∣∣c bc′ b′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣∣∣∣∣=

cb′ − c′bab′ − a′b

et

y =DyD=

∣∣∣∣∣∣∣∣a ca′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣∣∣∣∣=

ac′ − a′cab′ − a′b


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• Si D = 0 et ac′ − a′c � 0, alors le système n’admet pas de solutions.

• Si D = 0 et ac′ − a′c = 0, alors le système admet une infinité de solutions

Exemples

• Soit, à résoudre, le système d’équations à deux inconnues x et y :{5x − y = 7−3x − 4y = 5

Le déterminant du système est :

D =

∣∣∣∣∣∣ 5 −1−3 −4

∣∣∣∣∣∣ = 5 × (−4) − (−1) × (−3) = −20 − 3 = −23

D � 0, le système admet une solution unique :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x =Dx

D=

∣∣∣∣∣∣∣∣7 −15 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 −1−3 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣=

7 × (−4) − 5 × (−1)−23

=−23−23

= 1

et

y =DyD=

∣∣∣∣∣∣∣∣5 7−3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 −1−3 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣=

5 × 5 − 7 × (−3)−23

=46−23

= −2

• Autre méthode de résolution :

On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils admettent le mêmeensemble-solution.

On transforme donc le système donné en un système équivalent plus simpleà résoudre, un système échelonné. Pour ce faire, on utilise des combinaisonslinéaires adéquates.

(S)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 5x − y = 7 (L1)

−3x − 4y = 5 (L2)est équivalent à (S’)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 20x − 4y = 28 (L’1) = 4(L1)

−3x − 4y = 5 (L2)

(S")

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 20x − 4y = 28 (L’1)

23x = 23 (L’2) = (L’1) − (L2)

L’ensemble solution est donc S = {(1 ; − 2)}.


8

3.3. Équations du second degré à une inconnueDéfinition. Vocabulaire

Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peuts’écrire sous la forme :

ax2 + bx + c = 0 , a, b et c sont trois réels donnés, a � 0.

Résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0 revient à trouver tous les réels u tels queau2 + bu + c = 0 ; le réel u est dit solution ou racine de l’équation.

Résolution de l’équation du second degré

Posons P(x) = ax2 + bx + c, a � 0.

• Écriture de P(x) sous forme canonique

Puisque a � 0, alors :

P(x) = a

(x2 +

ba

x +ca

)

Comme x2 +ba

x =

(x +

b2a

)2− b2

4a2, alors :

P(x) = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝(x +

b2a

)2− b2

4a2+

ca

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝(x +

b2a

)2− b2 − 4ac

4a2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠• Résolution de l’équation P(x) = 0

On appelle discriminant de l’équation du second degré, ou du trinômeP(x) = ax2 + bx + c, la quantité :

Δ = b2 − 4ac

Ainsi :

P(x) = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝(x +

b2a

)2− Δ

4a2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠– Si Δ < 0, alors − Δ

4a2> 0 et

(x +

b2a

)2− Δ

4a2est strictement positif :

l’équation P(x) = 0 n’a pas de solution dans R.

– Si Δ = 0, alors P(x) = a

(x +

b2a

)2.

Puisque a � 0, l’équation P(x) = 0 admet une racine double :

x1,2 = − b2a


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– Si Δ > 0, alors Δ = (√Δ)2 et par suite :

P(x) = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝(x +

b2a

)2− (√Δ)2

4a2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(x +

b2a

)2−⎛⎜⎜⎜⎜⎝√Δ

2a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝x + b2a+

√Δ

2a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝x + b

2a−√Δ

2a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝x − −b − √Δ2a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝x − −b +

√Δ

2a

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

En posant x1 =−b − √Δ

2aet x2 =

−b +√Δ

2a, il vient :

P(x) = a (x − x1) (x − x2)

Puisque a � 0, l’équation P(x) = 0 admet donc deux racines distinctes :

x1 =−b − √Δ

2aet x2 =

−b +√Δ

2a

Somme et produit des racines

Soit P(x) = ax2 + bx + c, a � 0.Si Δ = b2 − 4ac > 0, alors P(x) admet deux racines distinctes :

x1 =−b − √Δ

2aet x2 =

−b +√Δ

2a

D’où :

S = x1 + x2 = −ba

et P = x1 · x2 =ca

Ainsi,

P(x) = ax2 + bx + c = a

(x2 +

ba

x +ca

)= a(x2 − S x + P

)

Remarque

Si on connait la somme S et le produit P de deux réels, ils sont donc solutions del’équation du second degré :

X2 − S X + P = 0


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SynthèseJe sais définir• Un polynôme de degré n• Le déterminant d’un système de deux

équations à deux inconnues

Je connais• Les opérations sur les nombres• La forme canonique d’un trinôme du

second degré

Je sais• Déterminer les racines n-ième d’un réel• Résoudre des équations du premier et du second degrés• Résoudre un système de deux équations à deux inconnues• Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit• Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

Exercices1 Soit la fonction polynôme P(x) définie par :

P(x) = 2x4 − 6x3 − 2x2 + 18x − 12

1. Calculer P(1) et P(2). En déduire une factorisation de P(x).

2. Résoudre dans R l’équation P(x) = 0.

2 Déterminer les éléments simples de la fraction rationnelle

F(x) =x + 6

(x − 3)(x + 5)

3 1. Déterminer les racines, si elles existent, des trinômes suivants :a) A(x) = 4x2 − 5x + 3

b) B(x) = 3x2 − 8x + 4

2. Donner le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de ces trinômes par(x − 2).

4 Donner le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de x4 + 3x3 − x + 1 parx2 + 3x − 1.

5 Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P(x) = x4 + x3 + 2x2 + ax+ b soitdivisible par le trinôme x2 + 2x + 3.

6 On donne le polynôme P(x) = x3 − x2 − 37x − 351. Factoriser le polynôme P(x).

2. Résoudre l’équation P(x) = 0.

7 Résoudre les systèmes d’équations :

a){

3x − 2y = −14x − 2y = +2

b){

3x + 4y = 174x − y = 10 ➙


Dun

od.

Tout

ere

prod

uctio

nno

nau

tori

sée

estu

ndé

lit.

11

8 Résoudre le système d’équations :

{x + y = −3xy = −10

9 Résoudre l’équation en x : 2x4 + 9x2 − 5 = 0

10 Résoudre le système d’équations

{x2 − y2 = −2xy = −√3

Questions à choix multiples

11 La division de −7x2 − x + 1 par x − 2 donne :

❒ a. Q(x) = −7x − 1 et R(x) = −1

❒ b. Q(x) = −7x − 1 et R(x) = −1

❒ c. Q(x) = −7x − 15 et R(x) = 0

❒ d. Q(x) = −7x − 15 et R(x) = −29

❒ e. Q(x) = −7x + 2 et R(x) = −15

12 La division de 3x2 + 2x − 10 par x − 2 donne :

❒ a. Q(x) = 3x + 2 et R(x) = 5

❒ b. Q(x) = 3x − 1 et R(x) = 5

❒ c. Q(x) = 3x + 8 et R(x) = 6

❒ d. Q(x) = 3x + 8 et R(x) = 0

❒ e. Q(x) = 3x + 5 et R(x) = 0

13 On considère l’équation 2x2 − 8x + 6 +√

3 = 0.Le discriminant Δ de l’équation est :

❒ a. 16 − 8√

3

❒ b. (2√

3 − 2)2

L’équation 2x2 − 8x + 6 +√

3 = 0 a pour solutions :

❒ c. x1 =5 − √3

2, x2 =

5 +√

32

❒ d. x1 =3 − √3

2, x2 =

3 +√

32

❒ e. x1 =5 − √3

2, x2 =

3 +√

32 ➙


12

14 On considère l’équation en x,

x4 − 5x2 + 2 = 0.

L’équation :

❒ a. admet 4 racines réelles distinctes.

❒ b. admet seulement 2 racines réelles.

L’équation admet pour solutions :

❒ c. −√

5 − √172

,

√5 +√

172

❒ d. −√

5 − √172

, +

√5 − √17

2, −√

5 +√

172

, +

√5 +√

172

❒ e. −√

22

√5 − √17, +

√2

2

√5 − √17, −

√2

2

√5 +√

17, +

√2

2

√5 +√

17

15 On donne l’équation :1x+ 2x = −3

❒ a. L’équation n’admet pas de solution.

❒ b. L’équation admet une solution unique car x � 0.

❒ c. L’unique solution de l’équation est −1.

❒ d. L’unique solution de l’équation est −12.

❒ e. L’équation admet deux solutions : −1 et −12

.

Corrigés

Exercices

1 1. P(1) = 2 × 14 − 6 × 13 − 2 × 12 + 18 × 1 − 12 = 0P(2) = 2 × 24 − 6 × 23 − 2 × 22 + 18 × 2 − 12 = 0

Le polynôme P(x) est donc divisible par (x − 1) et (x − 2), soit :

P(x) = (x − 1)(x − 2) · Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2.

Posons la division de P(x) par (x − 1)(x − 2) c’est-à-dire par x2 − 3x + 2.

Polynômes. Fractions rationnelles. Équations •1

13

2x4 − 6x3 − 2x2 + 18x − 12 x2 − 3x + 2

− (2x4 − 6x3 + 4x2) 2x2 − 6

−6x2 + 18x − 12

− (−6x2 + 18x − 12)

0

Ainsi :P(x) = 2(x − 1)(x − 2)(x2 − 3)

2. P(x) = 0 si et seulement si 2(x − 1)(x − 2)(x2 − 3) = 0.Un produit de facteurs est nul si et seulement l’un au moins de ses facteurs est nul, soit :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − 1 = 0ou

x − 2 = 0ou

x2 − 3 = 0

d’où

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1ou

x = 2ou

x = ±√3

2 Cherchons une écriture de la forme :

x + 6(x − 3)(x + 5)

=a

x − 3+

bx + 5

En réduisant au même dénominateur les fractionsa

x − 3et

bx + 5

, il vient :

x + 6(x − 3)(x + 5)

=a(x + 5)

(x − 3)(x + 5)+

b(x − 3)(x − 3)(x + 5)

=(a + b)x + (5a − 3b)

(x − 3)(x + 5)

Par identification, on obtient le système d’équations :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩a + b = 1

et5a − 3b = +6

La résolution du système précédent donne :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩a =

98

et

b = −18

Ainsi :

F(x) =x + 6

(x − 3)(x + 5)=

98

1x − 3

− 18

1x + 5

Les éléments simples de la fraction rationnellex + 6

(x − 3)(x + 5)sont donc les fractions

98

1x − 3

et −18

1x + 5

.


14

Autre méthode :De la même façon, on cherche une écriture de la forme :

x + 6(x − 3)(x + 5)

=a

x − 3+

bx + 5

On multiplie les deux membres par (x − 3) :

x + 6x + 5

= a +b(x − 3)

x + 5

En prenant x = 3, on obtient a =98.

En faisant de même avec le pôle −5, c’est-à-dire en multipliant par (x + 5) puis en prenant

x = −5, on obtient b = −18.

D’où :

F(x) =x + 6

(x − 3)(x + 5)=

98

1x − 3

− 18

1x + 5

3 1. a) On a A(x) = 4x2 − 5x + 3Le discriminant du trinôme est :

Δ = (−5)2 − 4 × (4) × (3) = −23

Δ < 0 : le trinôme A(x) n’admet donc pas de racines dans R.b) B(x) = 3x2 − 8x + 4Le discriminant du trinôme est :

Δ = (−8)2 − 4 × (3) × (4) = 16

Δ > 0 : le trinôme admet deux racines distinctes dans R :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 =

8 − √166

=23

x2 =8 +√

166

= 2

2. Division des trinômes par le monôme (x − 2)a) Division de A(x) = 4x2 − 5x + 3 par x − 2.Posons la division :

4x2 − 5x + 3 x − 2− (4x2 − 8x) 4x + 3

3x + 3− (3x − 6)

+9

Le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de A(x) par (x − 2) sont :∣∣∣∣∣∣Q(x) = 4x + 3R(x) = 9

La division de 4x2 − 5x + 3 par x − 2 s’écrit donc :

4x2 − 5x + 3 = (x − 2)(4x + 3)(quotient)

+ 9(reste)

b) Division de B(x) = 3x2 − 5x + 6 par x − 2.


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od.

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lit.

15

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