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Methoden der Psychologie Evaluation & Forschungsmethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung

Evaluation & Forschungsmethoden

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Evaluation & Forschungsmethoden. q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung. Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz. Prüfung der NV-Annahme Klassifikation. Verteilungsanpassung/Prüfung. Prüfung der Verteilungs-annahme. - PowerPoint PPT Presentation

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Methoden derPsychologie

Evaluation & Forschungsmethoden

Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz

q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung

Methoden derPsychologie

Verteilungsanpassung/Prüfung

• Effiziente Tests: Die NV- Annahme ist mit effektiven Methoden und trennscharfen Test zu prüfen, um ihre Gültigkeit sicherzustellen

Prüfung der Verteilungs-annahme

• Korrekturen und Datentransformationen: Ist die NV- Annahme auf den originalen Skalen verletzt, können Skalentransformationen für die einzelnen Variablen des Variablen- verbundes gefunden werden, mit denen die multivariate Normalver- auf den transformierten Skalen gilt.

Prüfung der NV-Annahme Klassifikation

• Ausreißeranalyse: Vor der Schätzung der Parameter (,) für die multivariate NV- wird eine Analyse der Rohdaten auf Ausreißer vorgenommen.

Methoden derPsychologie

Die allgemeine Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist:

Univariate Tests (1D) Klassifikation

• Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewendet.

• Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben. Das einfache hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilung.

• Für den Test der Anpassung an die Normalverteilung werden die erwarteten Häufigkeiten aus den Wahrscheinlichkeiten der Quantil- Intervalle der Normalverteilung berechnet.

- Test aufGüte der Passung

: beobachtete Häufigkeit

: erwartete Häufigkeiti

i

o

e

2

2

1

ki i

i i

o e

e

Methoden derPsychologie

Univariate Tests (1D) Klassifikation

- Test aufGüte der Passung

Nr.

Intervall

jh

(absolut) jp

(relativ)

ˆ jp

(erwartet) je

(erwartet) j jh e

(Differenz) 2

j j

j

h e

e

1x x h1 p1 1F x F e1 h1-e1

1 2x x x h2 p2 2 1F x F x e2 h2-e2

j

1k kx x x hk pk 1k kF x F x ek hk-ek

N 1 1 N 2

• Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen.

• Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N.

• Test mit progressivem alpha-Niveau, da man an der Absicherung für die Beibehaltung der H0 interessiert ist ( = mind. 10%).

Univariate Normalverteilung

Methoden derPsychologie

Univariate Tests (1D) Klassifikation

- Test aufGüte der Passung

Univariate Normalverteilung

Beobachtet: oi

100 300 500 700 90011001300

1000

2000

3000

4000

h(x)

x

erwartet als Normalverteilung: ei

1000

2000

3000

4000

h(x)

x

Vergleich:

1000

2000

3000

4000

h(x)

100 300 500 700 90011001300

100 300 500 700 900 11001300 x

Methoden derPsychologie

• Tests sind nicht sehr trennscharf und brauchen ein hohes N

• Sie hängen von der Anzahl der Intervalle (Freiheitsgrade) ab

• Sie können nur für die univariaten Verteilungen der einzelnen Meßvariablen durchgeführt werden (- Ausreisser durch spezielle Wertekombinationen in der multivariaten Verteilung können nicht aufgedeckt werden)

Tests der NV- Annahme

• Effektive Methoden: Methoden, die die Quantile der erwarteten und tatsächlichen Distanzen vom Zentroid verwenden, können univariat und multivariat verwendet werden

• Effiziente Tests: Die Testung der Gleichheit von erwarteten und tatsächlichen Quantilen beruht auf einer trennscharfen Testung des Korrelationskoeffizienten (uni-und multivariat).

Alternative:Q-Q Plot Methodenund Korrelations-Tests

Prüfung der NV-Annahme Klassifikation

- Tests

Nachteile von

Methoden derPsychologie

• Ausreißer sind heikel zu bestimmen, bei kleinen Stichproben N < 30 gibt es keine zuverlässigen Methoden

• Bei N > 30 legt man die Quantile der Normalverteilung zugrunde und eliminiert die Werte, die jenseits der äußeren Quantile liegen. Dies sollten nicht mehr als 7%-8% sein.

Identifikation von Ausreißern

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Data Clearing

max

0.5 0.5 1, 1, , 1

2i

i Np i N p

N N N

1 1max maxe iq F q F p z

X 1002 1110 1180 1214 1238 1252 1271 1290 1313 1356 1384 1389 1414 1422 1439 1493 1518 1547 1561 1595 1602 1614 1627 1646 1701 1717 1815 2065 2087 2412

Z -1.70 -1.34 -1.10 -0.99 -0.91 -0.86 -0.80 -0.74 -0.66 -0.51 -0.42 -0.40 -0.32 -0.29 -0.24 -0.05 0.03 0.13 0.17 0.29 0.31 0.35 0.40 0.46 0.64 0.70 1.03 1.86 1.94 3.03

P 0.017 0.050 0.083 0.117 0.150 0.183 0.217 0.250 0.283 0.317 0.350 0.383 0.417 0.450 0.483 0.517 0.550 0.583 0.617 0.650 0.683 0.717 0.750 0.783 0.817 0.850 0.883 0.917 0.950 0.983

Qe 2.128 1.645 1.383 1.192 1.036 0.903 0.784 0.674 0.573 0.477 0.385 0.297 0.210 0.126 0.042 0.042 0.126 0.210 0.297 0.385 0.477 0.573 0.674 0.784 0.903 1.036 1.192 1.383 1.645 2.128

Methoden derPsychologie

• Nach Ausreißerbereinigung werden den Meßwerten empirische Quantile qo (in z) zugeordnet über die sortierte Reihe der Meßwerte.

• Mit aus den Daten geschätzten Parametern () werden für die Prozentränge erwartete Quantile qe (in z) bestimmt.

• Man trägt qo (y-Achse) und qe (x-Achse) gegeneinander ab. Perfekte Passung liegt vor, wenn die Daten auf der Winkelhalbierenden liegen.

• Man bestimmt Anteil der aufgeklärten Varianz und Korrelation.

Test über Quantilskorrelation

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

2

22

var( )1 1

var( )

oi eii

oi oi

q qe

y q q

cov ,

var var

o eqq

o e

q qr

q q

• Für den Korrelationskoeffizienten existieren kritische Werte, die bei Unterschreitung zur Ablehnung der NV-Annahme führen (s. Tabelle).

Methoden derPsychologie

Kritische Q-Q- Korrelationen

Korrelations-Test

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

Ist rqq < rcrit(), wird die Annahme der NV auf dem gewählten Level verworfen. sollte progressiv gewählt sein (10%), da man eine Sicherheit für die Beibehaltung wünscht.

0.99600.99530.99353000.99420.99310.99052000.99280.99130.98791500.98950.98730.98221000.98660.98380.9771750.98360.98010.9720600.98220.97870.9695550.98090.97680.9671500.97920.97490.9632450.97710.97260.9599400.97400.96820.9538350.97150.96520.9479300.96650.95910.9410250.96040.95080.9269200.95030.93890.9126150.93510.91980.8801100.90320.87880.829950.100.050.01

Significance level Smple Size N

( )qq critr r

Methoden derPsychologie

Datenbeispiel

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

2

221 0.949

oi eii

oi oi

q q

q q

cov ,.974

var var

o e

o e

q qr

q q

Korrelations-Test

( .1)qq critr r .974 .9715

NV Test knapp im Annahmebereich, aber 2 Ausreißer verschlechtern die Passung beträchtlich

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

N = 30

mit 2 Ausreißern

Methoden derPsychologie

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

Datenbeispiel

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

2

221 0.983

oi eii

oi oi

q q

q q

cov ,.992

var var

o e

o e

q qr

q q

Korrelations-Test

( .1)qq critr r .992 .9715

NV Test und Varianzaufklärung zeigt perfekte der empirischen Quantile an die NV an.

N = 28

ohne Ausreißer

Methoden derPsychologie

Datenbeispiel

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

2

221 0.877

oi eii

oi oi

q q

q q

cov ,.937

var var

o e

o e

q qr

q q

Korrelations-Test

( .1)qq critr r .94 .9715

• NV Annahme ist heikel und sollte abgelehnt werden

• Ausreißerentfernung würde Passung verbessern, aber die Art der Abweichung deutet auf eine systematische Transformation der Quantile

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

N = 29

Nichtlineare Abweichung

Methoden derPsychologie

• Unsystematische Ausreißer sollten entfernt werden.

• Bei systematischen Quantilsabweichungen können die Rohdaten einer Potenztransformation unterzogen werden, um eine gute Approximation an die NV zu erreichen.

• Parameterschätzung für (,) der NV sind über die transformierten Daten auszuführen.

Quantils-Transformation zur NV

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Box-Cox-Power-Transformation

1, , für 0

kxg x k k

k

ln var , 1 ln2 i

i

Nl k g x k k x

Die Power-Transformation g(x) liefert mit dem Wert k aus der Maximierung von l(k) die beste Annäherung an die NV

maximiert nach k

Methoden derPsychologie

70.0

71.0

72.0

73.0

74.0

75.0

76.0

77.0

78.0

79.0

80.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

k

l(k)

Datenbeispiel nichtlineare Abweichung

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

OptimalePotenz-Transformation

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

N = 29

Maximierungsfunktion l(k)Q-Q - Plot

Potenztransformation der Originalskala:

0 max 0.35k k l k l k

k0

0 0.35

0

1 1,

0.35

kx xg x k

k

Erneuter Q-Q Test

Methoden derPsychologie

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

Datenbeispiel nichtlineare Abweichung

Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation

Q-Q Plot Methode

OptimalePotenz-Transformation

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

expected quantile (qe)

ob

serv

ed q

uan

tile

(q

o)

2 = .877r = .937

Q-Q – Plot original

,g x k berechnen

Q-Q – Plot nach Potenztransformation

2 = .986r = .993

z- transformieren

Q-Q plotten

Potenztransformation bringt fast perfekte Passung der NV

( .1)qq critr r .993 .9715