Exemplo Regressão Binomial de Dose Resposta - ime.usp.brgiapaula/slides_exemplo_doseresposta.pdf · Exemplo Regressão Binomial de Dose Resposta Gilberto A. Paula Departamento de

Exemplo Regressão Binomial de Dose Resposta

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

[email protected]

2o Semestre 2015

G. A. Paula (IME-USP) Exposição de Besouros 2o Semestre 2015 1 / 26

Exposição de Besouros

Sumário

1 Exposição de Besouros

2 Modelo Proposto

3 Resultados Modelo Logístico Ajustado

4 Modelo Final

5 Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado

6 Estimação Dose Letal

7 Conclusões

8 Referências




Descrição dos Dados

Como aplicação de modelos binomiais de dose resposta vamosconsiderar os dados descritos em Bliss (1935), em que besourosadultos são submetidos à exposição do composto






disulfeto de carbono gasoso (CS2)







durante cinco horas.







durante cinco horas.Os resultados obtidos a partir de 481 besouros expostos segundodiferentes doses de CS2 são apresentados a seguir. Um dos objetivosdesse estudo é estimar







durante cinco horas.Os resultados obtidos a partir de 481 besouros expostos segundodiferentes doses de CS2 são apresentados a seguir. Um dos objetivosdesse estudo é estimar

DL100p: dose letal que mata 100p%.





Dose Besouros Besouroslog10CS2 expostos mortos

1,6907 59 61,7242 60 131,7552 62 181,7842 56 281,8113 63 521,8369 59 531,8610 62 611,8839 60 60



Proporção de Besouros Mortos versus Logdose

1.70 1.75 1.80 1.85

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Logdose

Pro

porç

ão d

e M

orto

s


Modelo Proposto

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências


Modelo Proposto

Modelo Proposto

Detalhes

Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.


Modelo Proposto

Modelo Proposto

Detalhes

Seja yi o número de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8. Vamos supor inicialmente oseguinte modelo:


Modelo Proposto

Modelo Proposto

Detalhes


yiind∼ B{ni , π(xi)},


Modelo Proposto

Modelo Proposto

Detalhes



log{

π(xi )1−π(xi )

}= β1 + β2xi ,


Modelo Proposto

Modelo Proposto

Detalhes



log{

π(xi )1−π(xi )

}= β1 + β2xi ,

em que xi denota a i-ésima logdose de CS2.


Resultados Modelo Logístico Ajustado

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências



Modelo Logístico

Estimativas

Efeito Estimativa Valor-zConstante -60,72 -11,72Logdose 34,27 11,78



Modelo Logístico

Estimativas


O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 11, 23 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 081.



Modelo Logístico

Estimativas


O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 11, 23 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 081. Embora os efeitos sejam altamentesignificativos, parece que o modelo não está bem ajustado.



Curva Logística Ajustada

1.70 1.75 1.80 1.85 1.90

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Logdose

Pro

porç

ão d

e M

orto

s



Resíduos Modelo Logístico

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−3−2

−10

12

3

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o


Modelo Final

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências


Modelo Final

Modelo Final

Detalhes

Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.


Modelo Final

Modelo Final

Detalhes

Seja yi o números de besouros mortos dentre os ni submetidos ài-ésima logdose de CS2, para i = 1, . . . , 8.Vamos supor agora oseguinte modelo:


Modelo Final

Modelo Final

Detalhes




Modelo Final

Modelo Final

Detalhes



log[−log{1 − π(xi)}] = β1 + β2xi ,


Modelo Final

Modelo Final

Detalhes



log[−log{1 − π(xi)}] = β1 + β2xi ,

em que xi denota a i-ésima logdose de CS2.


Resultados Modelo Complementar Log-log Ajustado

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências



Modelo Cloglog

Estimativas




Modelo Cloglog

Estimativas


O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 3, 45 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 75.



Modelo Cloglog

Estimativas


O desvio do modelo é dado por D(y; µ) = 3, 45 (6 g.l.), com níveldescritivo P = 0, 75. Temos agora indícios de que o modelo está bemajustado.



Curva Cloglog Ajustada

1.70 1.75 1.80 1.85 1.90

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Logdose

Pro

porç

ão d

e M

orto

s



Resíduos Modelo Complementar Loglog

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−3−2

−10

12

3

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o


Estimação Dose Letal

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências



Dose Letal DL 100p

Estimativa PontualA estimativa pontual para DL100p sob o modelo binomial de doseresposta com ligação complementar loglog fica dada por



Dose Letal DL 100p

Estimativa PontualA estimativa pontual para DL100p sob o modelo binomial de doseresposta com ligação complementar loglog fica dada por

DL100p =1

β2

[log{−log(1 − p)} − β1

].



Dose Letal DL 100p

Variância Assintótica

A variância aproximada de DL100p fica dada por



Dose Letal DL 100p



VarA[DL100p] = D(β)⊤(X⊤WX)−1D(β),



Dose Letal DL 100p




em que X é a matriz modelo, W é uma matriz diagonal de pesosdados por ωi = niπ

−1i (1 − πi)log2(1 − πi), para i = 1, . . . , k , com



Dose Letal DL 100p




em que X é a matriz modelo, W é uma matriz diagonal de pesosdados por ωi = niπ

−1i (1 − πi)log2(1 − πi), para i = 1, . . . , k , com

D(β)⊤ = (−β−12 , β−2

2 [β1 − log{−log(1 − p)}]).



Dose Letal DL 50

Estimativa Pontual

DL50 =1

β2

[log{−log(1 − 0, 5)} − β1

]



Dose Letal DL 50

Estimativa Pontual

DL50 =1

β2

[log{−log(1 − 0, 5)} − β1

]

=1

22, 04(−0, 3665 + 39, 57)



Dose Letal DL 50

Estimativa Pontual

DL50 =1

β2

[log{−log(1 − 0, 5)} − β1

]

=1

22, 04(−0, 3665 + 39, 57)

= 1, 779.



Dose Letal DL 50

Estimativa Intervalar

A variância aproximada de DL50 fica dada por



Dose Letal DL 50



Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807

)



Dose Letal DL 50



Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807

)

= 0, 00001606.



Dose Letal DL 50



Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807

)

= 0, 00001606.

Logo, a estimativa intervalar de 95% para a dose letal fica dada por



Dose Letal DL 50



Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807

)

= 0, 00001606.


[1, 779 ± 1, 96√

0, 00001606]



Dose Letal DL 50



Var(DL50) = (−0, 0454,−0, 0807)T (X⊤WX)−1(−0, 0454−0, 0807

)

= 0, 00001606.


[1, 779 ± 1, 96√

0, 00001606]

= [1, 771; 1, 787].


Conclusões

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências


Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo, em que ajustamos a probabilidade de morte debesouros expostos a CS2, nota-se que


Conclusões

Conclusões



o modelo binomial logístico não se ajusta bem aos dados.


Conclusões

Conclusões




O modelo binomial complementar log-log tem um ajuste muitosuperior.


Conclusões

Conclusões





Essa superioridade do modelo complementar log-log deve-se aofato do comportamento da proporção de mortes aumentar maisrapidamente após DL50.


Conclusões

Conclusões





Essa superioridade do modelo complementar log-log deve-se aofato do comportamento da proporção de mortes aumentar maisrapidamente após DL50.

Modelos binomiais de dose resposta com parâmetros na ligação(Aranda-Ordaz, 1981; Stukel, 1988) têm sido utilizados paraajustar esses dados.


Referências

Sumário


2 Modelo Proposto


4 Modelo Final



7 Conclusões

8 Referências


Referências

Referências

Referências


Referências

Referências

Referências

Aranda-Ordaz, F. J. (1981). On two families of transformations toadditivity for binary response data. Biometrika 68, 357-364.


Referências

Referências

Referências


Bliss, C. I. (1935). The calculation of the dosage-mortality curve.Annals of Applied Biology 22, 134-167.


Referências

Referências

Referências


Bliss, C. I. (1935). The calculation of the dosage-mortality curve.Annals of Applied Biology 22, 134-167.

Stukel, T. A. (1988). Generalized logistic models. Journal of theAmerican Statistical Association 83, 426-431.


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