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Exemplo Regressão Linear Múltipla
Gilberto A. Paula
Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil
1o Semestre 2013
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 1 / 27
Salário de Executivos
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 2 / 27
Salário de Executivos
Salário de Executivos
Descrição dos Dados
Como aplicação de modelos lineares normais vamos considerar osdados sobre o salário anual (em mil USD) de uma amostra aleatóriade 220 executivos (145 homens e 75 mulheres). O salário serárelacionado com as seguintes variáveis explicativas: (i) sexo (1:masculino; 0: feminino), (ii) posição na empresa (varia de 1 a 9),quanto maior o valor mais alta a posição e (iii) anos de experiência nocargo (Foster, Stine e Waterman, 1998, pp. 180-188).
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 3 / 27
Análise de Dados Preliminar
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 4 / 27
Análise de Dados Preliminar
Boxplots Salários Executivos
Feminino Masculino
11
01
20
13
01
40
15
01
60
17
0
Sa
lari
o
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 5 / 27
Análise de Dados Preliminar
Comparação de Médias
Descrição
Sexo Amostra Média E.PadrãoMasculino 145 144,11 1,03Feminino 75 140,47 1,43
Diferença Teste-t valor-PEstimativa 3,64 2,06 0,04E.Padrão 1,77
O valor-P indica diferença ao nível de 5%. Ignorando-se as demaisvariáveis há indícios de que os executivos ganham em média mais doque as executivas.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 6 / 27
Análise de Dados Preliminar
Boxplots Posição e Experiência
Feminino Masculino
24
68
Posi
cao
Feminino Masculino
510
1520
25
Expe
rienc
ia
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 7 / 27
Análise de Dados Preliminar
Dispersão Variáveis Homens
salarioM
2 3 4 5 6 7 8 9
110
120
130
140
150
160
170
23
45
67
89
posicaoM
110 120 130 140 150 160 170 5 10 15 20 25
510
1520
25
experM
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 8 / 27
Análise de Dados Preliminar
Dispersão Variáveis Mulheres
salarioF
2 4 6 8
120
130
140
150
160
170
24
68
posicaoF
120 130 140 150 160 170 5 10 15 20
510
1520
experF
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 9 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 10 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
Nota-se indícios de aumento do salário com o aumento da posição eaumento da experiência para ambos os sexos, sugerindo inicialmenteum modelo linear:
yi = β1 + β2 × sexoi + β3 × experi + β4 × posici + ǫi ,
para i = 1, . . . , 220, em que yi denota o salário do i-ésimo executivo
da amostra com ǫiiid∼ N(0, σ2).
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 11 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Estimativas
Descrição
Aplicando o método de Akaike nenhuma variável é retirada do modelo.As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo.
Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante 115,262 1,401 82,25 0,000Experiência -0,472 0,113 -4,17 0,000SexoM -2,201 1,080 -2,04 0,043Posição 6,710 0,313 21,46 0,000R2 0,712R2-ajustado 0,708s 6,770F 177,90 (3 e 216 g.l.) 0,000
Todas as variáveis são marginalmente significativas ao nível de 5%.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 12 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Interação entre Fatores
Definição
Ocorre quando a variação esperada para a resposta entre dois níveisquaisquer de um dos fatores não for a mesma segundo os níveis dooutro fator.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 13 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Interação entre Fatores
Definição
Ocorre quando a variação esperada para a resposta entre dois níveisquaisquer de um dos fatores não for a mesma segundo os níveis dooutro fator.
Exemplo
Presença de interação entre os fatores sexo e experiência significaque a diferença entre os salários médios de executivos e executivasnão é a mesma à medida que varia o tempo de experiência.Interpretação similar para presença de interação entre sexo e posição.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 13 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Testando Interação entre Fatores
Descrição
Vamos testar a ausência das interações sexo*experiência,sexo*posição e experiência*posição, dado que estão no modeloconstante + sexo + experiência + posição.
Interação valor-F valor-Psexo*exper 1,615 0,20sexo*posicão 0,001 0,97exper*posição 7,594 0,00
Portanto, será incluída no modelo apenas a interaçãoexperiência*posição.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 14 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Modelo Linear Normal
Descrição
O modelo normal linear com interação entre experiência e exposiçãofica dado por:
yi = β1 + β2 × sexoi + β3 × experi + β4 × posici + β5 × experi ∗ posici + ǫi ,
para i = 1, . . . , 220, em que yi denota o salário do i-ésimo executivo
da amostra com ǫiiid∼ N(0, σ2).
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 15 / 27
Ajuste Modelo Linear Normal
Estimativas
Descrição
As estimativas do modelo final são dadas abaixo.
Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante 108,042 2,961 36,48 0,000Experiência 0,336 0,314 1,07 0,285SexoM -2,811 1,087 -2,59 0,010Posição 8,096 0,590 13,73 0,000Posic*Exper -0,135 0.049 -2,76 0.006R2 0,722R2-ajustado 0,716s 6,670F 139,40 (4 e 215 g.l.) 0,000
Exceto experiência, todas as variáveis são marginalmentesignificativas ao nível de 1%.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 16 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 17 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Diagnóstico Modelo Ajustado
Indice
Me
did
a h
0 50 100 150 200
0.0
20
.06
0.1
0
30139 178
191
213
Indice
Dis
tan
cia
de
Co
ok
0 50 100 150 200
0.0
0.0
20
.04
4
30
144
Indice
Re
sid
uo
Pa
dro
niz
ad
o
0 50 100 150 200
-20
24
Valor Ajustado
Re
sid
uo
Pa
dro
niz
ad
o
120 130 140 150 160
-20
24
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 18 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Resíduos Modelo Ajustado
Percentil da N(0,1)
Res
iduo
Stu
dent
izad
o
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4-2
02
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 19 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Apenas duas observações #4 e #30 causam variaçõesdesproporcionais em algumas estimativas, embora não ocorrammudanças inferencias. Esses pontos causam variações,respectivamente, de -14% e 11%, na estimativa do coeficiente desexo.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 20 / 27
Diagnóstico Modelo Ajustado
Variações nas Estimativas
Observações Influentes
Apenas duas observações #4 e #30 causam variaçõesdesproporcionais em algumas estimativas, embora não ocorrammudanças inferencias. Esses pontos causam variações,respectivamente, de -14% e 11%, na estimativa do coeficiente desexo.
Identificação das Observações
A observação de # 4 é de uma executiva com salário anual de USD139 mil, posição 7 e 13,9 anos de experiência e a observação de # 30é de um executivo com salário anual de USD 110 mil, posição 2 e 2,4anos de experiência.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 20 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 21 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Modelo Ajustado
Valor Predito
O modelo ajustado fica dado por:
y(x) = 108, 042 + 0, 336 × exper − 2, 811 × sexo +
+8, 096 × posic − 0, 135 × posic × exper,
em que x = (exper, sexo, posic)T .
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 22 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Modelo Ajustado
Valor Predito
O modelo ajustado fica dado por:
y(x) = 108, 042 + 0, 336 × exper − 2, 811 × sexo +
+8, 096 × posic − 0, 135 × posic × exper,
em que x = (exper, sexo, posic)T .
Estimativas
Qual o salário previsto para executivos com 5 anos de experiência eposição 4?
Executiva: USD 139,406 mil
Executivo: USD 136,595 mil.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 22 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Modelo Ajustado Executivas
Descrição
O modelo ajustado para o grupo de executivas fica dado por:
y(x) = 108, 042 + 8, 096 × posic + (0, 336 − 0, 135 × posic)× exper.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 23 / 27
Resultados Modelo Ajustado
Modelo Ajustado Executivas
Descrição
O modelo ajustado para o grupo de executivas fica dado por:
y(x) = 108, 042 + 8, 096 × posic + (0, 336 − 0, 135 × posic)× exper.
Interpretações
Portanto, executivas com posição alta e muita experiência tendem aganhar menos do que executivas com posição alta e menosexperiência.Isso quer dizer que aquelas executivas que permanecerem menostempo no cargo tendem a ganhar mais do que aquelas que ficaremmais tempo no cargo.Mesmo resultado para os homens.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 23 / 27
Conclusões
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 24 / 27
Conclusões
Conclusões
Considerações Finais
Nota-se neste exemplo a importância da interação na interpretaçãodos resultados. Ignorando-se as variáveis posição e experiência ossalários anuais dos executivos são em média significativamentemaiores do que das executivas. Porém, quando essas variáveisentram no modelo ocorre o contrário, para uma mesma posição emesma experiência as executivas ganham em média mais do que osexecutivos.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 25 / 27
Referências
Sumário
1 Salário de Executivos
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Resultados Modelo Ajustado
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 26 / 27
Referências
Referências
Referência
Foster, D. P., Stine, R. A. e Waterman, R. P. (1998). BusinessAnalysis using Regression. New York: Springer.
G. A. Paula (IME-USP) Salário de Executivos 1o Semestre 2013 27 / 27