Enonc etcor r i gEXERCICESDE PROBABILITES ET BIOSTATISTIQUEABDELKADER BENHARIPrpa, Licence, prparation des concours. Dnombrement. Espace de probabilits. Lois discrtes. Lois continues. Probabilits conditionnelles et indpendance. Thormes limites. Variables alatoires discrtes. Vecteurs alatoires - Lois marginales. Biostatistique. Tables statistiquesA.BENHARI. Les notions de base. Statistique descriptive . Estimation. Notions de tests. Tests paramtriques. Tests du KHI-DEUX. Comparaisons multiples. ProbabilitsExercices-Denombrement: enonceDenombrementspratiquesExercice1 -Dansuneentreprise... Dans uneentreprise, il ya800employes. 300sont des hommes, 352sont membres dunsyndicat, 424sontmaries, 188sontdeshommessyndiques, 166sontdeshommesmaries, 208sontsyndiquesetmaries,144sontdeshommesmariessyndiques.Combieny-a-t-ildefemmescelibatairesnonsyndiquees ?Exercice2 -Nombresetchires-SoitAlensembledesnombres`a7chiresnecomportantaucun 1.Determinerlenombredelementsdesensemblessuivants:1. A.2. A1,ensembledesnombresdeAayant7chiresdierents.3. A2,ensembledesnombrespairsdeA.4. A3,ensembledesnombresdeAdontleschiresformentunesuitestrictementcroissante(danslordreo` uilssont ecrits).Exercice3 -Tiragedansunjeudecartes-On tire simultanement 5 cartes dun jeu de 32 cartes. Combien de tirages dierents peut-onobtenir:1. sansimposerdecontraintessurlescartes.2. contenant5carreauxou5piques.3. 2carreauxet3piques.4. aumoinsunroi.5. auplusunroi.6. 2roiset3piques.Exercice4 -Rangerdeslivres-Onsouhaiterangersuruneetag`ere4livresdemathematiques(distincts), 6livresdephy-sique,et3dechimie.Decombiendefa conspeut-oneectuercerangement:1. sileslivresdoivent etregroupesparmati`eres.2. siseulsleslivresdemathematiquesdoivent etregroupes.Exercice5 -Anagrammes-Denombrerlesanagrammesdesmotssuivants:MATHS,RIRE,ANANAS.Exercice6 -Destourssurunechiquier-De combien de fa cons dierentes peut-on placer p tours sur un echiquier de fa con `a ce quellesnepuissentpasseprendre.Exercice7 -Leprobl`emedesanniversaires-Vousetesdansuneclassede30el`eves. Votreprofdemathsveutparieravecvous10eurosquedeuxpersonnesdanscetteclasseontlamemedatedanniversaire.Acceptez-vouslepari ?Exercice8 -GrillesdeFleissner-Lesgrillestournantes, misesaupointparlecolonel Fleissner, servirentpourunemethodeA.BENHARIExercices-Denombrement: enoncedecryptographiequi fututiliseeparlesallemandslorsdelaPremi`ereGuerreMondiale. Unetellegrilleestconstitueeparuncarredecote6. Ondivisececarreenunegrillede36petitscarres egaux (tous de cote 1), et on ote 9 de ces carres. La propriete suivante doit etre veriee :lestrousquelonobtientaveclagrilleenpositioninitiale,aveclagrilletourneedunquartdetour,dundemi-touroudetroisquartdetournesesuperposentjamais.Ainsi,les36positionspeuventetreoccupeesparuntrouapr`eseventuellementunerotationdelagrilledunquart,dundemioudetrois-quartdetour.1. Combienpeut-onfabriquerdetellesgrilles ?2. Pour quelles valeurs de n peut-on fabriquer une grille de Fleissner de cote n? Combien detellesgrillespeut-onalorsfabriquer ?DenombrementsplustheoriquesExercice9 -Partiesdecardinalpair-SoitEunensembleni decardinal n 1. DemontrerquelenombredepartiesdeEdecardinalpairvaut 2n1.Exercice10 -Partitiondunensemble-Combienexiste-t-ildepartitionsdunensembledecardinalnpennpartiesdecardinalp ?Exercice11 -Derangementetprobl`emedesrencontres-Soit Eun ensemble `a n elements. On appelle derangement de Etoute permutation de Enelaissantaucun elementinvariant.OnnoteraDnlenombredederangementsdeE.1. SiEcomporteunseul element,y-a-t-ildesderangementsdeE ?EndeduireD1.2. SiEcomportedeux elements,combieny-a-t-ildederangementsdeE ?EndeduireD2.3. On suppose n quelconque, et on ecrit E = {a1, . . . , an}. Soit fune permutation de E. Onsupposequellelaissekelementsinvariants.Combieny-a-t-ildetellespermutations ?Endeduirelaformulesuivante:n! =n

k=0

nk

Dk.4. EndeduireD3, D4,D5.5. Cinqcouplesdedanseursserendent`aunbalmasque.Alarrivee,onsepareleshommesetlesfemmes, onnumerotelesfemmesde1`a5, etleshommesde1`a5. Onlesfaitensuiteselancersurunepiste, chaquehommechoississantauhasardunefemmepourpartenaire.(a) A chaque numero de femme, on associe le numero de lhomme avec lequel elle danse.Combieny-a-t-ildassociationspossibles ?(b) Donnerlaprobabilitepourquaucuncouplelegitimenesoitreconstitue.(c) Determinerlaprobabilitepourquunseulcouplelegitimesoitreconstitue.(d) Determinerlaprobabilitepourquilyaitplusdecouplesillegitimessurlapistededansequedecoupleslegitimes.Exercice12 -Partiesansentiersconsecutifs-Soit n 1 et p 0 des entiers. On note Fpnlensemble des parties de {1, . . . , n} ne contenantaucunepairedentiersconsecutifs.OnnoteKpnlecardinaldeFpn.A.BENHARIExercices-Denombrement: enonce1. DeterminerKpnquandp > (n + 1)/2.2. Soit {a1, . . . , ap}unepartiedeFpnecritedesortequeai< ai+1.Onposebk = ak +1 k.Prouverque 1 b1< b2< < bp n + 1 p.3. Soit Gpnlensemble des parties `a p elements de {1, . . . , n+1p}. Construire une bijectiondeFpnsurGpn.4. EndeduirelavaleurdeKpn.5. Application : au loto on tire 6 numeros dans {1, . . . , 49}. Combien de tirages ne contiennentaucunepairedentiersconsecutifs ?Exercice13 -Nombredesurjections-OnseproposedecalculerlenombreS(n, p)desurjectionsde {1, . . . , n}sur {1, . . . , p}, o` u(n, p) (N)2.1. Descasparticuliers:(a) CalculerS(n, p)pourp > n.(b) CalculerS(n, n).(c) CalculerS(n, 1).(d) CalculerS(n, 2).2. CalculerS(n + 1, n).3. Demontrerque,pourtoutn > 1ettoutp > 1,onalarelationS(n, p) = p(Spn1 + Sp1n1).4. EndeduireunalgorithmerecursifpourcalculerS(n, p).CoefficientsbinomiauxExercice14 -Autourdelaformuledubinome-1. Quelestlecoecientdea2b4cdansledeveloppementde (a + b + c)7?2. Calculerlasomme

n0

+ 12

n1

+ +1n + 1

nn

.3. Soient p, q, mdes entiers naturels, avec qp m. Endeveloppant de deuxfaconsdierentes (1 + x)m,demontrerque

mp

=

mqp

+

q1

mqp 1

+ +

qk

mqp k

+ +

mqp q

.Exercice15 -UneextensiondelaformuledutriangledePascal-L1/MathSup-Soientp, q, mdesentiersnaturels,avecq p m.Demontrerparundenombrementque

mp

=q

j=0

qj

mqp j

.A.BENHARIExercices-Denombrement: enonceExercice16 -Unesomme-Soitn, pdesentiersnaturelsavecn p.Demontrerquen

k=p

kp

=

n + 1p + 1

.Exercice17 -Bizarre,bizarre,...-Montrerque,pourn 1,ona:

2nn

=n

k=0

nk

2.Exercice18 -Avecdesnombrescomplexes-Calculer (1 + i)4n.Endeduirelesvaleursde2n

p=0(1)p

4n2p

et2n1

p=0(1)p

4n2p + 1

.Exercice19 -Avecdespolynomes-Calculerlessommessuivantes:Sn =n

k=0(1)k

nk

2etTn =n

k=0k

nk

2.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigDnombrements pratiquesExercice 1 - Dans une entreprise... -NotonsE,H,MetS les ensembles constitus respectivement des employs, des employshommes, des employs maris, des employs syndiqus. Lnonc donne :card(E) = 800, card(H) = 300, card(S) = 352, card(M) = 424,card(H S) = 188, card(H M) = 166, card(S M) = 208, card(H M S) = 144.On cherche card( H M S), oA dsigne le complmentaire deA dansE. Daprs les lois deMorgan :card( H M S) = card(H M S).On applique la formule du crible de Poincar :card(H M S) = card(H) + card(M) + card(S) card(H M) card(H S) card(M S)+card(H M S).On en dduit :card(H M S) = 658,etcard( H M S) = 800 658 = 142.Il y a donc 142 femmes clibataires non syndiques.Exercice 2 - Nombres et chires -1. Pour crire un lment deA, on a8 choix pour le premier chire (tous sauf 0 et 1).9 choix pour les 6 autres chires (tous sauf 0).On a donc card(A) = 8 96.2. Pour crire un lment deA1, on a8 choix pour le premier chire (tous sauf 0 et 1)NotantE lensemble des chires dirents de 0 et du premier chire choisi, le reste delcriture de cet lment est un arrangement de 6 lments deE.PuisqueE comporte 8 lment, on a donc :card(A1) = 8 A68 = 88!2!.3. Un lment de A est pair si son chire des units est 0,2,4,6 ou 8. Il y a 5 faons de choisirce chire des units, 8 faons de choisir le premier chire, et 95autres de choisir les autreschires. On a donc :card(A2) = 5 8 95.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrig4. Remarquons quun lment deA3ne comporte pas le chire zro. Il y a 87

faons dechoisir 7 chires tous distincts parmi {2, 3, . . . , 9}, et une seule faon, ces 7 chires choisis,de les crire en ordre croissant. On a donccard(A3) =

87

.Exercice 3 - Tirage dans un jeu de cartes -1. Il ny a pas dordre et pas de rptition sur les cartes : un tirage est donc une combinaisonde 5 cartes parmi 32. Il y a : 325

= 201376 tirages dirents.2. Pour obtenir 5 carreaux, il faut choisir 5 cartes parmi 8 : il y a 85

tels tirages. De mmepour obtenir 5 piques. Comme les deux cas sont disjoints, il y a 2

85

= 112 tels tiragesdirents.3. Il y a 82

faons de choisir 2 carreaux parmi 8 puis, pour chacune de ces faons, il y a 38

faons de choisir 3 piques. Le nombre de tirages recherch est donc : 82

83

= 1568.4. On compte le complmentaire, cest--dire les tirages sans rois : il faut alors choisir 5 cartesparmi 28, il y a 284

tels tirages. Le nombre de tirages recherch est donc : 325

285

=103096.5. On a dj compt les tirages sans roi. Pour les tirages comprenant un roi, il y a 4 faonsde choisir le roi, puis, pour chacune de ces faons, 284

faons de choisir les autres cartes.On en dduit quil y a 285

+ 4

284

= 180180 tels tirages.6. On spare les tirages contenant le roi de pique et ceux ne contenant pas le roi de pique.si le tirage ne contient pas le roi de pique, il y a 32

choix dirents de 2 rois parmi 3,puis 73

choix de 3 piques parmi 7 (tous sauf le roi de pique).si le tirage contient le roi de pique, il reste 3 choix pour le roi dirent du roi de pique,puis 72

choix pour les trois autres piques. Cela faisant, on na tir que 4 cartes. Il resteune carte choisir qui nest ni un roi, ni un pique, et donc 32 (4 + 7) = 21 choix.Finalement, le nombre de tirages possibles est :3

72

21 +

32

73

= 1428.Exercice 4 - Ranger des livres -1. Il y a 3 ! faons de choisir lordre des matires. Une telle faon choisie, il y a 4 ! faons deranger les livres de mathmatiques, 6 ! faons de ranger les livres de physique, et 3 ! faonsde ranger les livres de chimie. Le nombre de rangements possible est donc : 3!4!6!3!.2. Il peut y avoir 0,1,...,9 livres placs avant les livres de mathmatiques. Il y a donc 10 choixdu nombre de livres placs avant le livre de mathmatiques. Ce choix fait, il y a 4 ! faonsdordonner les livres de mathmatiques, et 9 ! faons dordonner les autres : il y a donc entout 10 4!9! rangements dirents.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigExercice 5 - Anagrammes -Un anagramme correspond une permutation des lettres dun poids. Mais si on permutedeux lettres identiques, on trouve le mme mot ! On doit donc diviser le nombre total de per-mutations par le nombres de permutations entre lettres identiques. On trouve donc :MATHS : 5 !RIRE : 4 !/2 !ANANAS : 6 !/(2 !3 !)Exercice 6 - Des tours sur un chiquier -Lesp tours doivent tre sur des lignes direntes. On commence par choisir lesp lignes osont les tours. Il y a np

choix possibles. Une fois ces lignes choisies, on choisit les colonnes osont les tours. Pour la tour situe sur la premire ligne, on an choix, pour la tour situe surla deuxime ligne, on an 1 choix, et ainsi de suite jusqu lap-ime ligne o on an p + 1choix. On obtientn(n 1) . . . (n p + 1) =Apn choix. Finalement, le nombre total de faonsdirentes dont lon peut placer les tours sans quelles puissent se prendre est gal np

Apn.Exercice 7 - Le problme des anniversaires -On va chercher plutt la probabilit que deux personnes nont pas la mme date danniver-saire et, pour simplier, on va oublier que certaines annes comportent un 29 fvrier. Formalisonsun peu le problme. Pour que deux personnes naient pas la mme date danniversaire, on doitfabriquer une injection de {1, . . . , 30} dans {1, . . . , 365}. Il y aA30365 applications, sur un totalde 36530applications. La probabilit recherche est donc gale 1 A30365365300, 293.Refusez le pari !Exercice 8 - Grilles de Fleissner -1. On a 36=4*9 choix pour placer le premier trou. On ne peut ensuite plus choisir ni cecarr, ni les 3 carrs obtenus partir de celui-ci par rotation. Il reste donc 32=4*8 choixpour placer le second trou. On a ensuite 4*7 choix pour placer le troisime trou, et ainside suite... jusque 4 choix pour placer le 9me trou. Mais attention ! Ce faisant, on comptecertaines grilles deux fois. En eet, on obtient la mme grille si on change le premier trouet le deuxime trou.... Il faut diviser donc le total obtenu par le nombre de permutationspossibles entre les 9 trous, soit 9 ! Finalement, le nombre de grilles possibles est4 9 4 8 4 7 4 19!= 49.2. Si onveutconstruireunegrilledeFleissner, il fautpouvoirraliser n2/4trous(pourquavec les 4 positions, on puisse obtenir n2trous). Ainsi, n doit tre pair (et dans ce cas,n2est bien un multiple de 4). Ensuite, on procde comme dans le cas prcdent : on an2= 4 n24choix pour le premier carr, n2 4 = 4

n241

choix pour le deuximecarr,... En noubliant pas de diviser par la factorielle den24 , on obtient que le nombre degrilles est 4n2/4.A.BENHARIExercice 9 - Parties de cardinal pair -On commence par remarquer que, si on a prouv que le nombre de parties de cardinal pairdun ensemble n lment est 2n1, alors le nombre de parties du mme ensemble qui sont decardinal impair vaut galement 2n1. En eet, le nombre total de parties, qui vaut 2n, est lasomme du nombre de parties de cardinal pair et du nombre de parties de cardinal impair.Dmontrons maintenant le rsultat. On procde par rcurrence surn. Sin = 1, la seule partiedeE de cardinal pair est . On a bien 1 = 20. Supposons maintenant le rsultat dmontr aurangn, et prouvons-le au rangn + 1. Soit doncE de cardinaln + 1, et crivonsE = {a} FoFest de cardinaln. Alors une partie deE de cardinal pairou bien contienta, et on doit alors la complter avec une partie de cardinal impair deF.Il y a 2n1telles parties.ou bien ne contient pasa, et cest galement une partie de cardinal pair deF. Il y a laussi exactement 2n1telles parties.Finalement, on trouve que le nombre de parties de E de cardinal pair vaut 2n1+2n1= 2n=2(n+1)1. Lhypothse de rcurrence est donc prouve au rangn + 1.Exercice 10 - Partition dun ensemble -Pour fabriquer une telle partition, on peut partir dune liste ordonne desnp lments, etles grouper ensuite p par p. Il y a (np)! faons dcrire ces listes ordonnes, mais plusieurs listespeuvent donner la mme partition. Dabord, sur chaque groupe dep lments quon a choisi,on peut oprer une permutation qui ne changera par la partition obtenue. Pour chaque groupe,il y ap! telles permutations, et comme il y an groupe dep lments, on obtient nalement(p!)ntelles permutations. Ensuite, on peut galement permuter tous ces groupes les uns avecles autres. Il y a n! telles permutations de ces groupes. Finalement, on trouve que le nombre departitions dun ensemble de cardinalnp enn parties de cardinalp est(np)!(p!)nn!.Exercice 11 - Drangement et problme des rencontres -1. Il ny a quune seule permutation deE qui est lidentit. Ce nest pas un drangement,D1 = 0.2. Des deux permutations de E, seule celle qui inverse les deux lments est un drangement :D2 = 1.3. Il y a nk

choix de k lments invariants parmin. Une fois ces choix xs, la permutationest un drangement sur les n k autres lments. Il y a donc

nk

Dnk telles permutations.On adopte pour que cette formule soit aussi vraie si k = n la convention D0 = 1. On spareensuite les permutations deEen fonction de leur nombre de points invariants. Commeles ensembles que lon obtient sont disjoints, et quil y a en toutn! permutations deE,on obtient :n! =n

k=0

nk

Dnk.Pour obtenir la formule demande, il faut ensuite faire le changement dindicesl = n k,et utiliser la proprit des coecients binmiaux : nk

=

nnk

.4. On applique la relation pourn = 3. On obtient :3! = D0 + 3D1 + 3D2 +D3=D3 = 2.Dnombrements plus thoriquesA.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigDe mme, en appliquant la relation pour n = 4, on trouve D4 = 9, et pour n = 5, D5 = 44.5. (a)Une telle association correspond une permutation de {1, . . . , 5}. Il y a 5! = 120telles permutations.(b)Si aucun couple lgitime nest reconstitu, cest que la permutation prcdente estun drangement. Il y aD5 = 44 telles associations, et la probabilit recherche est44/120 = 11/30.(c)Si un seul couple lgitime est reconstitu, il y a 5 choix pour le couple. Pour le reste,il faut un drangement : il y a donc 5 D4 = 45 telles possibilits.(d)On compte aussi le cas o deux couples lgitimes sont reconstitus : il y a 53

= 10choixde2couplesparmi 5. Pourlesautres, il fautuneassociationqui soitundrangement : 10 D3=20. Le nombre dassociations o il y a plus de couplesillgitimes que de couples lgitimes est donc : 20 + 45 + 44 = 109, ce qui donne uneprobabilit de 109/120>1/2. Le bal masqu favorise les rencontres !Exercice 12 - Partie sans entiers conscutifs -1. SoitA = {a1, . . . , ap} une partie de {1, . . . , n} ne contenant pas deux entiers conscutifs,avec a1 n + 1. Ainsi, dans ce cas,Kpn = 0.2. Puisque ai+1ai 2, on a bi+1bi = ai+1ai1 1 et donc bi+1> bi. On a clairementb1 1 etbp = ap p + 1 n + 1 p.3. Lapplication est donne par la question prcdente. A tout lment {a1, . . . , ap} de Fpn, olesai sont en ordre croissant, on associe la partie {b1, . . . , bp} obk = ak +1 k. Daprsla question prcdente, ceci dnit bien une partie p lments de {1, . . . , n + 1 p},donc un lment deGpn. Reste prouver quil sagit dune bijection. Cest clairement uneinjection, car si deux lments {a1, . . . , ap} et {a

1, . . . , a

p} ont la mme image {b1, . . . , bp},alors pour chaquek {1, . . . , p}, on aak + 1 k = a

k + 1 k et doncak = a

k. De plus,cest une bijection. Si {b1, . . . , bp} est un lment deGpn, on dnita1, . . . , ap en posantak=bk + k 1. Alors on vrie facilement, comme la question prcdente (mais enchangeant les rles deak etbk), que {a1, . . . , ap} est lment deFpn.4. PuisqueFpnetGpn sont en bijection, ils ont le mme cardinal. Mais le cardinal deGpn estconnu, et cest n+1pp

. Cest aussi la valeur deKpn.5. Le nombre de tirages recherch estK649, qui vaut 446

.Exercice 13 - Nombre de surjections -1. (a)Si p > n, il ny a pas de surjection de {1, . . . , n} sur {1, . . . , p}. On a donc S(n, p) = 0.(b)Lorsque p=n, lessurjectionsde {1, . . . , n}sur {1, . . . , n}sontlesbijectionsde{1, . . . , n} sur lui-mme. Il y en a doncn! = S(n, n).(c)Lorsquep = 1, toute application de {1, . . . , n} dans {1} est une surjection. Mais il ya une seule application de {1, . . . , n} dans {1}. On a doncS(n, 1) = 1.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrig(d)Lorsquep = 2, il y a deux applications qui ne sont pas surjectives : celle qui envoietous les lments sur 1 et celle qui envoie tous les lments sur 2. De plus, il y a 2napplications de {1, . . . , n} dans {1, 2}. On en dduit queS(n, 2) = 2n2.2. Lorsque lon tudie les surjections de {1, . . . , n+1} dans {1, . . . , n}, un unique lment delensemble darrive a deux antcdents, et tous les autres en ont un seul. On peut donccaractriser une surjection par le choix de cet lment et de ses deux antcdents, puispar une bijection entre lesn 1 autres lments. On a doncS(n + 1, n) = n

n + 12

(n 1)! =n(n + 1)!2.3. Soits une surjection de {1, . . . , n} sur {1, . . . , p}. Llmenti =s(n) peut tre atteintden faons. Une fois cet lment choisi, notonss

la restriction des {1, . . . , n 1}.Remarquons que tous les lments de {1, . . . , p}\{i} sont atteints par s

. On distinguealors deux cas :Soiti est atteint pars

, et alorss

est une surjection de {1, . . . , n 1} sur {1, . . . , p}. Ily aS(n 1, p) possibilits ;Soit i nest pas atteint par s

, et s

est une surjection de {1, . . . , n1} sur {1, . . . , p}\{i}.Il y aS(n 1, p 1) possibilits.Finalement, on obtient queS(n, p) = p

S(n 1, p) +S(n 1, p 1)

.4. On programme la fonction suivante S, darguments n et p deux entiers naturels non nuls.Fonction S(n,p)Si p>n, retourner 0.Si p=1, retourner 1.Sinon, retourner p(S(n-1,p-1)+S(n-1,p))Seriez-vous capables de prouver que cet algorithme se termine quelles que soient les entresn etp ?Coefficients binmiauxExercice 14 - Autour de la formule du binme -1. On commence par dvelopper en crivant (a +b +c)7= ((a +b) +c)7. Il vient :(a +b +c)7=7

k=0

7k

(a +b)7kck.Le terme devanta2b4c7ne peut tre issu que du produit (a +b)6c. Or,(a +b)6=6

k=0

6k

akb6k.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigOn en dduit que le coecient devant (a +b +c)7est

71

62

= 7 6 52= 105.2. On dveloppe (1 +t)navec la formule du binome :(1 +t)n=n

k=0

nk

tk.On intgre ensuite cette formule entre 0 etx, et on trouve

x0(1 +t)ndt =

x0n

k=0

nk

tkdtsoit(1 +t)n+11n + 1=n

k=01k + 1

nk

xk+1.Il sut ensuite de fairex = 1 pour trouver le rsultat :2n+11n + 1=n

k=01k + 1

nk

.3. On va chercher le coecient devant xpde (1 +x)m. Dune part, par la formule du binomede Newton, il est gal mp

. Dautre part, on crit(1 +x)m= (1 +x)q(1 +x)mq=q

j=0

qj

xj

mq

l=0

mql

xl

.Le coecient devantxpest alors obtenu en prenant les produits des termes enxjetxlavecl = p j.j parcourt donc lintervalle {0, . . . , q} et on a :

mp

=q

j=0

qj

mqp j

,ce qui est bien le rsultat demand.Exercice 15 - Une extension de la formule du triangle de Pascal -On va sinspirer de la dmonstration de la formule du triangle de Pascal. Soit E un ensembleayantm lments, etFune partie deE ayantq lments. On cherche le nombre de parties deE ayant exactementp lments.UnetellepartiepeutneconteniraucunlmentdeF. Il yaexactement mqp

tellesparties.Unetellepartiepeutcontenirexactementunlmentde F. Ona q1

choixpourcetlment, et mqp1

choix pour les autres.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigPlus gnralement on compte le nombre de parties p lments de E contenant exactementk lments de F. Il y a

qk

possibilits pour choisir ces lments de F, et

mqpk

possibilitspour choisir les autres lments (ils sont pk, choisir parmi mq). Le nombre de partiesrecherch dans ce cas est donc qk

mqpq

.Faisant la somme pourk de 0 q, on trouve la formule souhaite.Exercice 16 - Une somme -Une mthode naturelle pour dmontrer cette proprit est de procder par rcurrence surn. La formule est clairement vraie pourn = 0 (ce qui impliquep = 0). Supposons la propritvraie au rang n, cest--dire que pour tout p n, la formule donne est vrie. Prouvons-la aurangn + 1. Pour cela, prenonsp n + 1. Sip n, alors on an+1

k=p

kp

=n

k=p

kp

+

n + 1p

=

n + 1p + 1

+

n + 1p

(hypothse de rcurrence)=

n + 2p + 1

(formule du triangle de Pascal).Sip = n + 1, la formule est aussi vrie. La proprit est donc aussi vraie au rangn + 1.On peut aussi dmontrer cette galit par un dnombrement. Le coecient binomial

n + 1p + 1

dsigne le nombre de parties p + 1 lments dans lensemble {0, . . . , n} qui an + 1 lments.Soit E une telle partie, et k le plus grand entier quelle contient. Puisque la partie contient p+1lments, on ak p. De plus, cet lment choisi, il restep lments choisir dans lensemble{0, . . . , k 1} qui contientk lments, cest--dire quil reste

kp

choix.Exercice 17 - Bizarre, bizarre,... -

2nn

est le nombre de parties n lments dans un ensemble 2n lments. Pour compterce nombre de parties, on peut aussi diviser lensemble en deux sous-ensembles contenant chacunn lments. Pour obtenir 2n lments, on peut en prendrek dans le premier, ie

nk

choix,etn k dans le deuxime, soit

nn k

choix. On a donc :

2nn

=n

k=0

nk

nn k

=n

k=0

nk

2puisque

nn k

=

nk

.Uneautrefaondeprocderestderemarquerque

2nn

estlecoecientdevant Xndupolynme (X + 1)2n. On retrouve lautre valeur en crivant (X + 1)2n= (X + 1)n(X + 1)neten identiant.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigExercice 18 - Avec des nombres complexes -On commence par mettre 1 + i sous forme trigonomtrique, soit 1 + i = 2ei/4. On endduit(1 +i)4n= 22nein= (1)n4n.On calcule ceci dune autre faon en utilisant la formule de Newton :(1 +i)4n=4n

k=0

4nk

ik.On remarque alors que sik = 2p est pair,ikest rel et vaut (1)p. Sik = 2p + 1 est impair,ikest imaginaire pur et vaut (1)pi. En sparant les parties relles et imaginaires, on trouve(1 +i)4n=2n

p=0(1)p

4n2p

+i2n1

p=0(1)p

4n2p + 1

.En identiant avec le rsultat prcdent, on trouve2n

p=0(1)p

4n2p

= (1)n4net2n1

p=0(1)p

4n2p + 1

= 0.Exercice 19 - Avec des polynmes -Introduisons les polynmesP(x) = (x + 1)n, Q(x) = (x 1)n, et cherchons le coecientdevantxndu produitPQ. On a dune part,P(x) =n

k=0

nk

xketQ(x) =n

k=0(1)k

nk

xnk.Le coecient devantxndu produitPQ est doncn

k=0(1)k

nk

2= Sn.Dautre part, on aPQ(x) = (x21)n=n

k=0(1)k

nk

x2k.On distingue alors deux cas. Si n est impair, le coecient devant xnest nul, et on a donc Sn = 0.Sin = 2p est pair, alors on aS2p = (1)p

2pp

.Pour calculerTn, il faut penser driver. On aP(x) =n

k=0

nk

xketP

(x) =n

k=1k

nk

xk1.A.BENHARIExercices - Dnombrement : corrigSi on cherche le coecient devantxn1du produitP

P, on trouven1

k=1k

nk

nn k

=n1

k=1k

nk

nk

= Tn.Dautre part, on aP

P(x) = n(x + 1)2n1= n2n1

k=0

2n 1k

xk.On en dduit queTn = n

2n 1n

.A.BENHARIExercices-Espacesprobabilises: enonceExercice1 -Racinesdepolynomes-Onjette3foisunde`a6faces,etonnotea,betclesresultatssuccessifsobtenus.OnnoteQ(x) = ax2+ bx + c.Determinerlaprobabilitepourque: Qaitdeuxracinesreellesdistinctes. Qaituneracinereelledouble. Qnaitpasderacinesreelles.Exercice2 -Foot !-Onorganiseuntirageausortentrenequipesdebasket-ball de1`eredivisionetnequipesde2i`emedivision(chaque equipejoueunmatch,etunseul).1. Calculer la probabilite pnque tous les matchs opposent une equipe de 1`ere division `a uneequipede2`emedivision.2. Calculer la probabilite qnque tous les matchs opposent deux equipes de la meme division.3. Montrerquepourtoutn 1, 22n1n

2nn

22n.4. Endeduire limn+pnet limnqn.A.BENHARIExercices - Espaces probabiliss : corrigExercice 1 - Racines de polynmes -On associe lexprience alatoire lunivers des possibles = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3, muni delquiprobabilit. Ainsi, la probabilit dun vnement A vaut card(A)/63. On sintresse dabord lvnementA = {(a, b, c) ; b2 4ac> 0}. Il sut de dnombrerA. On commence partablir un petit tableau avec les valeurs de 4ac :c\a 1 2 3 4 5 61 4 8 12 16 20 242 8 16 24 32 40 483 12 24 36 48 60 724 16 32 48 64 80 965 20 40 60 80 100 1206 24 48 72 96 120 144On calcule le cardinal deA en regardant dans le tableau le nombre de valeurs dea etc pourlesquellesb2> 4ac, pour les 6 valeurs que peut prendreb. On trouve :card(A) = 0 + 0 + 3 + 5 + 14 + 16 = 38.On en dduit :P(A) =38216 =19108.On note pareillementB = {(a, b, c) ; b24ac = 0} etC = {(a, b, c) ; b24ac < 0}. Lemme dnombrement prouve que :P(B) =5216.On peut calculerP(C) de la mme faon, ou remarquer que les 3 vnementA, B, C formentun systme complet dvnements. On dduit alors :P(C) = 1 P(A) P(B) = 173216.Exercice 2 - Foot ! -1. Onvadnombrerlestiragesausortentenantcomptedelordredesmatchsdansletirage. On pourrait faire sans cette convention, on obtiendrait les mmes rsultats maiscela changerait un peu la faon de faire. Un tirage au sort se prsente donc comme unenliste de matchs, cest--dire unenliste de combinaisons 2 2 disjointes. Il y aC22nfaons de choisir la premire combinaison. Puis, cette combinaison choisie, il y a encoreC22n2 faons de choisir la combinaison suivante. Et ainsi de suite... Ainsi, le nombre totalde tirages au sort est :C22n C22n2 . . . C24C22 = (2n)!2n.Parmi ces tirages, comptons ceux qui ne font sopposer que des quipes de division dis-tinctes. Pour le premier match, il y an faons de choisir lquipe de premire division, etA.BENHARIExercices - Espaces probabiliss : corrign faons de choisir lquipe de deuxime division, soitn2choix. Pour le second match, ilreste choisir parmin 1 quipes, et donc on a (n 1)2choix. Finalement, on obtient :pn = (n!)2(2n)!2n=2nCn2n.2. Dabord, si n est impair, un tel tirage au sort est clairement impossible, etqn = 0. Onsuppose donc quen est pair et scrit 2k. On choisit dabord lesk matchs parmi 2k quiopposent les matchs de 1re division entre eux : cela fait Ck2kchoix. Une fois ce choixralis, il faut compter le nombre de tirages lintrieur entre quipes de 1re division.De la mme faon que lorsquon a compt le nombre total de tirages au sort, on trouve(2k)!2k. De mme pour les tirages au sort entre quipes de 2 division. On a donc :q2k =Ck2kC2k4k.3. Ecrivons que :(2n)! = 2n(2n 1)(2n 3) . . . 3 1 n!.On a donc :Cn2n = 2n(2n 1)(2n 3) . . . 3n!.Maintenant, en utilisant lencadrement 2n k 1 2n k 2n k + 1, on obtient2n(2n 2)(2n 4) . . . 4 2n! Cn2n 2n2n(2n 4) . . . 4 2n!qui donne nalement le rsultat demand.4. On a donc :0 pn n2n1,qui prouve quepn tend vers 0 sin tend vers +. De mme pourqn...A.BENHARIExercices-Probabilitesconditionnellesetindependance: enonceProbabilitesconditionnellesExercice1 -CD-Rom-Legerantdunmagasindinformatiqueare cuunlotdeboitesdeCD-ROM. 5%desbotessontabmees.Legerantestimeque:60%desbotesabmeescontiennentaumoinsunCD-ROMdefectueux.98%desbotesnonabmeesnecontiennentaucunCD-ROMdefectueux.Unclientach`eteuneboitedulot.OndesigneparAlevenement: laboiteestabimee etparBlevenement laboiteacheteecontientaumoinsunedisquettedefectueuse.1. DonnerlesprobabilitesdeP(A),P(Ac),P(D|A),P(D|Ac),P(Dc|A)etP(Dc|Ac).2. LeclientconstatequundesCD-ROMacheteestdefectueux. Quelleestalaprobabilitepourquilaitacheteuneboiteabimee.Exercice2 -QCM-Unquestionnaire `achoixmultiples propose mreponses pour chaque question. Soit plaprobabilitequunetudiant connaisselabonnereponse`aunequestiondonnee. Sil ignorelareponse, il choisit auhasardlune des reponses proposees. Quelle est pour le correcteur laprobabilitequun etudiantconnaissevraimentlabonnereponselorsquilladonnee ?Exercice3 -Depipe-Unlotde100descontient25despipestelsquelaprobabilitedapparitiondunsixsoitde1/2.Onchoisitundeauhasard,onlejette,etonobtientun6.Quelleestlaprobabilitequeledesoitpipe ?Exercice4 -Pi`ecesdefectueuses-Une usine fabrique des pi`eces, avec une proportion de 0,05 de pi`eces defectueuses. Le controledesfabricationsesttelque: silapi`eceestbonne,elleestaccepteeaveclaprobabilite0,96. silapi`eceestmauvaise,elleestrefuseeaveclaprobabilite0,98.Onchoisitunepi`eceauhasardetonlacontrole.Quelleestlaprobabilite1. quilyaituneerreurdecontrole ?2. quunepi`eceaccepteesoitmauvaise ?Exercice5 -Compagniedassurance-Une compagnie dassurance repartit ses clients entrois classes R1, R2et R3: les bonsrisques,lesrisquesmoyens,etlesmauvaisrisques.Leseectifsdecestroisclassesrepresentent20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour la classe R2, et 30% pour la classe R3.Lesstatistiquesindiquentquelesprobabilitesdavoirunaccidentaucoursdelanneepourunepersonnedelunedecestroisclassessontrespectivementde0.05,0.15et0.30.1. Quelleest laprobabilitequunepersonnechoisieauhasarddans lapopulationait unaccidentdanslannee ?2. SiM.Martinnapaseudaccidentcetteannee,quelleestlaprobabilitequilsoitunbonrisque ?Exercice6 -Sautsdepuce-Une particule se trouve `a linstant 0 au point dabscisse a (a entier), sur un segment gradueA.BENHARIExercices-Probabilitesconditionnellesetindependance: enoncede 0`aN(onsupposedonc 0 a N). Achaqueinstant, ellefaitunbondde +1aveclaprobabilitep(0 < p < 1,p = 1/2),ouunbondde 1aveclaprobabiliteq = 1 p.Autrementdit,sixnestlabscissedelaparticule`alinstantn,ona:xn+1 =

xn + 1 avecprobabilitepxn 1 avecprobabilite 1 p.Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extremites du segment (i.e. sil existexnavecxn = 0ouxn =N). Oncherche`adeterminerlaprobabilitequeleprocessusestsansn.1. Onnoteualaprobabilitepourquelaparticulepartantdea,leprocessussarreteen 0.(a) Quevautu0 ?uN ?(b) Montrerquesi 0 < a < N,alorsua = pua+1 +qua1.(c) Endeduirelexpressionexactedeua.2. Onnotevalaprobabilitepourquelaparticulepartantdea,leprocessussarreteenN.Reprendrelesquestionsprecedentesavecvaaulieudeua.3. Calculerua +va.Quendeduisez-vous ?IndependancedevenementsExercice7 -Circuitelectrique-1. SoientA, B, Ctrois evenements.Montrerque:P(ABC) = P(A) +P(B) +P(C) P(AB) P(AB) P(BC) +P(ABC).2. Ondisposede3composantselectriquesC1, C2etC3dontlaprobabilitedefonctionne-mentestpi, etdefonctionnementtotalementindependantlesunsdesautres. Donnerlaprobabilitedefonctionnementducircuit(a) silescomposantssontdisposesenserie.(b) silescomposantssontdisposesenparall`ele.(c) silecircuitestmixte:C1estdisposeenserieaveclesous-circuitconstituedeC2etC3enparall`ele.Exercice8 -Independanceetcontexte-1. Une urne contient 12 boules numerotees de 1 `a 12. On en tire une hasard, et on consid`ereles evenementsA =tiragedunnombrepair,B =tiragedunmultiplede3.Les evenementsAetBsont-ilsindependants ?2. Reprendrelaquestionavecuneurnecontenant13boules.A.BENHARIExercices-Probabilitesconditionnellesetindependance: enonceExercice9 -Independanceimpossible-On suppose quon a un espace probabilise tel que lunivers est un ensemble ni de cardinalunnombrepremierp,etquelemod`elechoisisoitceluidelequiprobabilite.ProuverquedeuxevenementsAetBnontriviauxnepeuventpas etreindependants.Exercice10 -IndicatricedEuler-Soitn> 1unentierxe. Onchoisitdemani`ereequiprobableunentierxdans {1, . . . , n}.Pour tout entier m n, on note Am levenement m divise x. On note egalement B levenementxestpremieravecn.Enn,onnotep1, . . . , prlesdiviseurspremiersden.1. ExprimerBenfonctiondesApk.2. Pourtoutm nquidivisen,calculerlaprobabilitedeAm.3. Montrerqueles evenementsAp1, . . . , Aprsontmutuellementindependants.4. EndeduirelaprobabilitedeB.5. Application:onnote(n)lenombredelementsinversiblesde Z/nZ.Demontrerque(n) = nr

k=1

1 1pk

.Probl`emesouvertsExercice11 -Testsdedepistage-Vousetesdirecteurdecabinetduministredelasante. Unemaladieestpresentedanslapopulation, danslaproportiondunepersonnemaladesur 10000. Unresponsabledungrandlaboratoirepharmaceutiquevientvousvantersonnouveautestdedepistage:siunepersonneest malade, le test est positif `a 99%. Si une personne nest pas malade, le test est positif `a 0, 1%.Autorisez-vouslacommercialisationdecetest ?Exercice12 -Menteur !-Vousjouez`apileoufaceavecunautrejoueur. Il pariesurpile, lancelapi`ece, etobtientpile.Quelleestlaprobabilitepourquilsoituntricheur ?A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrigProbabilits conditionnellesExercice 1 - CD-Rom -1. Lnonc donne directement P(A) = 0, 05, do P(Ac) = 0, 95, P(D|A) = 0, 6 et P(Dc|Ac) =0, 98. On en dduit :P(Dc|A) = 1 P(D|A) = 0, 4P(D|Ac) = 1 P(Dc|Ac) = 0, 02.Daprs la formule des probabilits totales :P(D) = P(A)P(D|A) +P(Ac)P(D|Ac) =491000.2. On obtientP(A|D) grce la formule de Bayes :P(A|D) =P(A D)P(D)=P(D|A)P(A)P(D)= 3049.Exercice 2 - QCM -On note :B = {Ltudiant donne la bonne rponse}C = {Ltudiant connait la bonne rponse} .On chercheP(C|B), et lnonc donne :P(C) = p, P(B|C) = 1, P(B|Cc) =1m.Daprs la formule des probabilits totales, on a :P(B) = P(C)P(B|C) +P(Cc)P(B|Bc) = (m1)p + 1m.Daprs la formule de Bayes :P(C|B) =P(B|C)P(C)P(B)=mp1 + (m1)p.Exercice 3 - D pip -On noteD lvnement : "le d est pip", etS lvnement : "on obtient 6". Lnonc donneP(D) = 25/100 etP(S|D) = 1/2 ? La formule de Bayes nous permet de calculerP(D|S) :P(D|S) =P(D)P(S|D)P(D)P(S|D) +P(D)P(S|D).Comme on aP(D) = 1 P(D) = 3/4 etP(S|D) = 1/6, on obtient nalement :P(D|S) = 12.A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrig1. On noteA lvnement "la pice est accepte par le contrle", etB lvnement "la piceest bonne". Lvnement E "Il y a une erreur au contrle" se dcompose en AB et AB.Ces deux derniers vnements sont incompatibles, on a donc :P(E) = P(A B) +P(A B).Maintenant, P(AB) = P(A|B)P(B). Or, P(B) = 0, 05, et P(A|B) = 1P(A|B) = 0, 02.De mme, on aP(A B) =P(A|B)P(B) et on aP(A|B) = 1 P(A|B) = 0, 04. Onobtient nalement :P(E) = 0, 95 0, 04 + 0, 05 0, 02.2. Dans cette question, on chercheP(B|A) alors que lon connait les probabilits condition-nelles sachantB. Ceci nous invite utiliser la formule de Bayes.P(B|A) =P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) +P(B)P(A|B)=0, 05 0, 020, 95 0, 96 + 0, 05 0, 02 =19130, 001.Exercice 5 - Compagnie dassurance -1. On note A lvnement "avoir un accident dans lanne". Comme les trois classes R1, R2 etR3 ralisent une partition de la population. On peut appliquer la formule des probabilitstotales :P(A) = P(A|R1)P(R1) +P(A|R2)P(R2) +P(A|R3)P(R3)= 0, 05 0, 2 + 0, 15 0, 5 + 0, 3 0, 3= 0, 175.2. On cherche la probabilit dtre dansR1 sachant quon na pas eu daccident, cest--direla probabilitP(R1|A). La formule de Bayes donne :P(R1|A) =P(A|R1)P(R1)P(A).La probabilit P(A) se calcule par la formule P(A) = 1P(A), tandis que lnonc donneP(A|R1) = 0, 95. On obtient nalement :P(R1|A) = 0, 95 0, 21 P(A)= 0, 23.Exercice 6 - Sauts de puce -1. (a)Par dnition, on au0 = 1 (le processus commence en 0, il sarrte immdiatement,en 0), etuN = 0 (le processus commence enN, il sarrte aussitt, enN).Exercice 4 - Pices dfectueuses -A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrig(b)On noteA lvnement : "Partant dea, le processus sarrte en 0",B lvnement :"Partant de a linstant 0, linstant 1, la particule est en a+1", et C lvnement :"Partant dea linstant 0, linstant 1, la particule est ena 1". Par la formuledes probabilits totales :P(A) = P(B)P(A|B) +P(C)P(A|C).Maintenant, puisquon part linstant t = 0 dea, on aP(B) =p et P(C) =q.Dautre part, si la particule est linstant 1 ena +1, la probabilit que le processussarrte en 0 vautua+1. On a donc : P(A|B) =ua+1, et de mmeP(A|C) =ua1.On en dduit la formule de rcurrence :ua = pua+1 +qua1.(c)Poura allant de 1 N 1, la suite (ua) vrie la formule de rcurrence :ua+1 = 1pua qpua1.Lquation caractristique de cette rcurrence est :r2 1pr +qp = 0.Cette quation du second degr admet deux solutions distinctes,r1 = 1 etr2 =qp(remarquer ici lutilisation de lhypothse p = 1/2 qui permet darmer que les deuxracines sont distinctes). Il existe donc des rels et tels que, pour touta dans{0, . . . , N}, on ait :ua = +

qp

a.Utilisant queu0 = 1 etuN = 0, on obtient :ua =qNqNpN+pNpNqN

qp

a.2. Le mme raisonnement prouve que :va = pva+1 +qva1.La rsolution de cette rcurrence donne :va =pNpNqN+pNqNpN

qp

a.3. On vrie aisment queua +va = 1. Ceci signie que, presque srement, le processus vasarrter.A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrigIndpendance dvnementsExercice 7 - Circuit lectrique -1. On procde en deux temps. Dune part :P ((A B) C) = P(A B) +P(C) P((A B) C).Mais,P((A B) C) = P((A C) (B C)) = P(A C) +P(B C) P(A B C),etP(A B) = P(A) +P(B) P(A B).On appelle aussi ceci la formule du crible de Poincar, elle se gnralise avec plusieursvnements par rcurrence.2. On note Fi lvnement : le circuit Ci fonctionne. Par hypothse, les vnements Fi sontmutuellement indpendants. Il faut calculer pour le premier casP(F1 F2 F3), pour lesecondP(F1 F2 F3), et pour le troisimeP(F1 (F2 F3)). On a :(a)Par indpendance des vnements :P(F1 F2 F3) = p1p2p3.(b)Daprs la formule prcdente, et par indpendance des vnements :P(F1 F2 F3) = p1 +p2 +p3 p1p2 p1p3 p2p3 +p1p2p3.(c)LvnementF1 F2 est indpendant deC1. On a donc :P(C1 (C2 C3)) = P(C1)P(C2 C3) = P(C1)

P(C2) +P(C3) P(C2 C3)

soitP(C1 (C2 C3)) = p1 (p2 +p3 p2p3) .Exercice 8 - Indpendance et contexte -1. On a :A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}B = {3, 6, 9, 12}A B = {6, 12}.On a doncP(A) = 1/2,P(B) = 1/3 etP(A B) = 1/6 = P(A)P(B). Les vnementsAetB sont indpendants.A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrig2. Les vnements A, B et AB scrivent encore exactement de la mme faon. Mais cettefois, on a : P(A) = 6/13, P(B) = 4/13 et P(AB) = 2/13 = 24/169. Les vnements A etB ne sont pas indpendants. Cest conforme lintuition. Il ny a plus la mme rpartitionde boules paires et de boules impaires, et dans les multiples de 3 compris entre 1 et 13, larpartition des nombres pairs et impairs est reste inchange.Exercice 9 - Indpendance impossible -Supposons quil existeA etB deux vnements non triviaux indpendants. On notem lecardinal de A et n le cardinal de B. On a donc P(A) = m/p et P(B) = n/p. Puisque A et B sontsupposs indpendants, et toujours parce que le modle adopt est celui de lquiprobabilit,on a :card(A B) = p P(A B) =mnp.Puisque le cardinal est un entier,p divise le produitmn, et par le thorme de Gauss, il diviselun des deux, disonsn. Dautre part, puisquen p, ceci nest possible que sin = 0 oun = p.Autrement dit, seulement si A est ou lvnement certain, ou lvnement impossible, cest--direun vnement trivial.Exercice 10 - Indicatrice dEuler -1. On sait quex est premier avecn si et seulement si aucun des diviseurs premiers den nedivisex. On a donc :B = Acp1 Acpr.2. Il sut de calculer le cardinal deAm. Mais sin = km, alors les multiples dem qui sontinfrieurs ou gaux n sontm, 2m, . . . , km. On a doncP(Am) =kn =1m.3. Soiti1< < im des entiers distincts choisis dans {1, . . . , r}. On doit prouver queP(Api1) . . . P(Apim) = P(Api1 Apim).Mais,P(Api1) . . . P(Apim) =m

j=11pij.Dautrepart, puisque pi1, . . . , pimsontpremiersentreeuxdeuxdeux, unentierestmultiple depi1 . . . pim si et seulement sil est multiple de chaquepij,j = 1, . . . , m. On endduit queApi1 Apim = Api1...pim,soitP(Api1 Apim) =1pi1 . . . pim,ce qui prouve le rsultat voulu.4. Les vnementsAcp1, . . . , Acprsont galement indpendants. On en dduit queP(B) =r

j=1P(Acpj) =r

j=1

1 1pk

.A.BENHARIExercices - Probabilits conditionnelles et indpendance :corrig5. Un lment x de Z/nZ,x = 1, . . . , n, est inversible si et seulement sil est premier avecn.On a doncP(B) =(n)nce qui, grce la question prcdente, donne le rsultat voulu.Problmes ouvertsExercice 11 - Tests de dpistage -Les chires donns ont lair excellent, mais ils donnent linverse de ce que lon souhaite.Leproblmeestpluttlesuivant: si unepersonneaunerponsepositiveautest, est-ellemalade ? Cest la formule de Bayes qui permet de remonter le chemin. Prcisment, on noteMlvnement La personne est malade, etTlvnement le test est positif. Les donnes donton dispose sontP(M) = 104,P(T|M) = 0, 99 etP(T|Mc) = 0, 001. On chercheP(M|T). Laformule de Bayes donne :P(M|T) =P(T|M)P(M)P(T|M)P(M) +P(T|Mc)P(Mc)=1040, 991040, 99 + 1030, 9999 0, 09.Cest catastrophique ! La probabilit pour quune personne positive au test soit eectivementmalade est infrieure 10%. Le test engendre donc beaucoup de faux-positifs (personnes posi-tives au test, mais non malades). Cest tout le problme des maladies assez rares : les test dedpistage doivent tre extrmement ables. Remarquons par ailleurs ici une bonne illustrationdu vieil adage des statisticiens : on peut faire dire nimporte quoi aux chires, cf le laboratoirepharmaceutique !Exercice 12 - Menteur ! -Soit xlaproportiondetricheursdanslapopulation. Onnoterespectivement P, F, H, Tles vnements le joueur obtient pile, le joueur obtient face, Le joueur est honnte, lejoueur est un tricheur. Il semble raisonnable de convenir queP(P|H) = 1/2 etP(F|H) = 1/2et P(P|T) = 1 (un tricheur fait vraiment ce quil veut !). On cherche donc P(T|P). De la formulede Bayes, on dduit :P(T|P) =P(P|T)P(T)P(P|T)P(T) +P(P|H)P(H) =xx + 1/2(1 x) =2xx + 1.A.BENHARIExercices-Loisdiscr`etesusuelles: enonceExercice1 -Avion-AetBsontdeuxavionsayantrespectivement4et2moteurs. Lesmoteurssontsupposesindependants les uns des autres, et ils ont une probabilite p de tomber en panne. Chaque avionarrive `a destination si moins de la moitie de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous ?(ondiscuteraenfonctiondep).Exercice2 -Pi`ecedemonnaie-On poss`ede une pi`ece de monnaie truquee de telle sorte que la probabilite dobtenir pile soit0,3.1. Onlance10foislapi`ece.Quelleestlaprobabilitedobtenir3foispile ?2. On lance la pi`ece jusqu`a ce que lon obtienne pile pour la premi`ere fois. Combien eectuera-t-onenmoyennedelancers ?Exercice3 -Servicededepannage-Leservicededepannagedungrandmagasindisposedequipes intervenant sur appel delaclient`ele. Pourdescausesdiverses, lesinterventionsontparfoislieuavecretard. Onadmetquelesappelsseproduisentindependammentlesunsdesautres,etque,pourchaqueappel,laprobabilitedunretardestde0,25.1. Unclientappelleleservice`a4reprises. OndesigneparXlavariablealeatoireprenantpourvaleurslenombredefoiso` uceclientad usubirunretard.(a) DeterminerlaloideprobabilitedeX,sonesperance,savariance.(b) Calculerlaprobabilitedelevenement:Leclientaaumoinssubiunretard.2. Le nombre dappels recus par jour est une variable aleatoire Yqui suit une loi de Poissondeparam`etrem.OnnoteZlenombredappelstraitesenretard.(a) ExprimerlaprobabiliteconditionnelledeZ = ksachantqueY= n.(b) Endeduirelaprobabilitede Z = ketY= n.(c) Determiner laloi deZ. OntrouveraqueZsuit uneloi dePoissondeparam`etrem0, 25.3. En2013,lestandardarecuunesuccessiondappels.OnnoteUlepremierappelrecuenretard.QuelleestlaloideU ?Quelleestsonesperance ?Exercice4 -Leconcierge-Unconciergerentredunesoiree.Ildisposedenclefsdontuneseuleouvrelaportedesondomicile,maisilnesaitpluslaquelle.1. Il essaielesclefslesunesapr`eslesautreseneliminantapr`eschaqueessai laclefqui napasconvenu.Trouverlenombremoyendessaisnecessairespourtrouverlabonneclef.2. Enrealite, lasoireeetaitbienarrosee, etapr`eschaqueessai, leconciergeremetlaclefessayeedansletrousseau. Trouverlenombremoyendessaisnecessairespourtrouverlabonneclef.Exercice5 -Chanedefabrication-Onconsid`ere une entreprise de constructionproduisant des objets sur deuxchanes demontageAetBqui fonctionnentindependemmentlunedelautre. Pourunechanedonnee,lesfabricationsdespi`ecessontindependantes.OnsupposequeAproduit 60%desobjetsetBproduit 40% des objets. La probabilite quun objet construit par la chaine A soit defectueux est0.1alorsquelaprobabilitepourquunobjetconstruitparlachaineBsoitdefectueuxest 0.2.A.BENHARIExercices-Loisdiscr`etesusuelles: enonce1. Onchoisitauhasardunobjet`alasortiedelentreprise. Onconstatequecetobjetestdefectueux.Calculerlaprobabilitedelevenement lobjetprovientdelachaneA.2. OnsupposedeplusquelenombredobjetsproduitsenuneheureparAestunevariablealeatoireY qui suituneloi dePoissondeparam`etre = 20. Onconsid`erelavariablealeatoireXrepresentantlenombredobjetsdefectueuxproduitsparlachaneAenuneheure.(a) RappelerlaloideY ainsiquelavaleurdelesperanceetdelavariancedeY .(b) Soient k et n deux entiers naturels, determiner la probabilite conditionnelle P (X = k|Y= n).(Ondistingueralescask netk > n).(c) En deduire, en utilisant le syst`eme complet devenements (Y= i)iN, que Xsuit uneloidePoissondeparam`etre2.Exercice6 -Pileouface-Onconsid`ereunesuitedeparties independantes depileouface, laprobabilitedobtenirpile `achaquepartie etant egale`ap,o` up ]0, 1[.Sin 1,onnoteTnlenumerodelepreuveamenantleni`emepile.Enn,onposeA1 = T1etAn = TnTn1.1. QuelleestlaloideT1 ?Donnerlavaleurdesonesperance.2. Soit n 2. Montrer que A1, . . . , An sont des variables aleatoires independantes qui suiventunememeloi.A.BENHARIExercices - Lois discrtes usuelles : corrigExercice 1 - Avion -On noteX la variable alatoire du nombre de moteurs deA qui tombent en panne, etYlavariable alatoire du nombre de moteurs deB qui tombent en panne.X suit une loi binomialeB(4, p). En particulier, on a :P(X = 0) +P(X = 1) =

40

p0(1 p)40+

41

p1(1 p)41= (1 p)4+ 4p(1 p)3.Dautre part,Ysuit une loi binomiale B(2, p). En particulier,P(Y= 0) = (1 p)2.On a intrt prendre lavionA siP(X = 0) +P(X = 1) P(Y= 0). Ceci donne :p(1 p)2(2 3p) 0.Donc, si 0 p < 2/3 (cas que lon espre tre celui du monde rel), il est prfrable de choisirA. Sip = 2/3, le choix est indirent, et sip > 2/3, il vaut mieux choisirB.Exercice 2 - Pice de monnaie -1. Soit X le nombre de piles obtenus au cours de 10 lancers. X est le nombre de ralisationsde lvnement "le lancer donne pile" de probabilit constante 0,3 au cours de 10 lancersindpendants. Xsuit donc une loi binomiale de paramtresn = 10 etp = 0, 3. On endduit :P(X = 3) = 103

(0, 3)3(1 0, 3)103 0, 27.2. Soit Yle nombre de lancers eectus jusqu lobtention de pile pour la premire fois. Yestle temps dattente de la premire ralisation de lvnement "obtenir pile" de probabilitconstante 0,3 lors dune suite de lancers indpendants, donc Ysuit une loi gomtrique deparamtre 0,3. On en dduit, en appliquant la formule du cours du calcul de lesprancedune loi gomtriqueE(Y ) =10, 3 =310.Exercice 3 - Service de dpannage -1. (a)SoitR lvnement "le client a subi un retard". Xest le nombre de ralisations delvnement R de probabilit constante 1/4 au cours de 4 appels indpendants. DoncX suit une loi binomiale B(4, 1/4). En particulier, on a :E(X) = 1 etV (X) = 34.(b)On chercheP(X 1) :P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1

34

4.2. (a)On notep = 0, 25 etq = 1 0, 25. On reconnait le schma thorique dune variablealatoire de loi binomiale. On a donc :P(Z = k|Y= n) =

nk

pkqnksi 0 k n0 sik > nA.BENHARIExercices - Lois discrtes usuelles : corrig(b)On a :P(Z = k, Y= n) = P(Y= n)P(Z = k|Y= n)=

emmnn!

nk

pkqnksik n0 sinon.(c)Il faut raliser la sommation ! On a, tenant compte du fait que les premiers termessont nuls :P(Z = k) =+

n=kP(Z = k, Y= n)= em

pq

k1k!+

n=k(mq)n(n k)!= em

pq

k1k!(mq)k+

n=k(mq)nk(n k)!= em

pq

k1k!(mq)k+

n=0(mq)n(n)!= em

pq

k1k!(mq)kemq= emp(mp)kk!.Z suit donc une loi de Poisson de paramtrem0, 25.3. U est le rang de la premire ralisation de lvnment R de probabilit 1/4 au cours dunesuccession dappels indpendants. Ysuit donc la loi gomtrique G(1/4), cest--dire que,pourk 1,P(U = k) = 14

34

k1.On applique la formule du cours pour obtenir lesprance (on on calcule simplement lasomme dune srie gomtrique), et on trouve queE(U) = 4.Exercice 4 - Le concierge -Notons pk la probabilit que la porte soit ouverte au k-ime essai et Vk lvnement "la portenest pas ouverte aprs lek-ime essai". On apk = P(Vck Vk1) = P(Vk1) P(Vk),la dernire formule venant du fait que (Vk) est une suite dcroissante dvnements. Dans chaquecas, on va calculerP(Vk) en utilisant la formuleP(Vk) = P(Vk|Vk1)P(Vk1).A.BENHARIExercices - Lois discrtes usuelles : corrig1. Si Vk1 est vraie, au k-ime essai, le concierge choisit au hasard une clef parmi les n(k1)qui restent. On a doncP(Vk) =

1 1n k 1

P(Vk1) =n kn k 1P(Vk1).Par une rcurrence aise, on trouve donc que, pourk n,P(Vk) =n knetP(Vk) = 0 sik = n. On a donc, pour 1 k n,pk =n k 1nn kn= 1n.Le nombre moyen dessais vaut doncn

k=1kpk = 1nn

k=1k =n 12.2. Cette fois, siVk est vraie, le concierge tire une clef parmi lesn du trousseau, et doncP(Vk) =

1 1n

P(Vk1) =n 1nP(Vk1).On obtient cette fois, pourk 0,P(Vk) =

n 1n

k,puispk =

n 1n

k1

n 1n

k=

n 1n

k11n.En reconnaissant une loi gomtrique de paramtre 1/n, on trouve que le nombre moyendessais ncessaires est+

k=1kpk = n.Finalement, ce nest pas si dirent !Exercice 5 - Chane de fabrication -1. Pour un objet pris la sortie, P (A) = 0.6 etP (B) = 0.4 SoitD=lobjet est dfec-tueux. On aP (D|A) = 0.1 etP (D|B) = 0.2 et comme (A, B) est un systme completdvnements,P (D) = P (D|A) P (A) +P (D|B) P (B)= 0.1 0.6 + 0.2 0.4= 0.14.A.BENHARIExercices - Lois discrtes usuelles : corrigSi lobjet est dfectueux, la probababilit de lvnement lobjet provient de la chane AestP (A|D) que lon calcule par la formule de Bayes :P (A/D) =P (A D)P (D)=P (D/A) P (A)P (D)=0.1 0.60.14= 0.060.14 =614 = 37.2. On suppose de plus que le nombre dobjets produits en une heure parA est une variablealatoireY qui suit une loi de Poisson de paramtre = 20. On considre la variablealatoireXreprsentant le nombre dobjets dfectueux produits par la chaneA en uneheure.(a)On aY () =N et pour tout entier n : P (Y= n) =nen!. E (Y ) = = 20 etV (Y ) = = 20(b)QuandY=n, Xest le nombre dobjets dfectueux parmi n, qui sont dfectueuxindpendemment les un des autres avec une mme probabilit 0.1. DoncX|Y=n B (n, 0.1) etP [X = k|Y= n] = 0 sik > n etP [X = k|Y= n] = nk

0.1k0.9nksik n(c)Comme (Y= n)nN, est un systme complet dvnements on a pour tout entier k :P (X = k) =+

n=0P [X = k|Y= n] P (Y= n)srie convergente dont on calcule la somme partielle en distinguant suivant que n koun < k :M

k=0P [X = k|Y= n] P (Y= n) =k1

n=0P [X = k|Y= n] P (Y= n)+M

n=kP [X = k|Y= n] P (Y= n)= 0 +M

n=k

nk

0.1k0.9nk20ne20n!=

0.10.9

ke20M

n=kn!k! (n k)!n! (0.9 20)n=

19

ke20 1k!M

n=k1(n k)!18n=

19

ke20 1k!Mk

m=01m!18m+k

19

ke20 1k!18ke18= 2ke2k!doncX P (2)A.BENHARIExercices - Lois discrtes usuelles : corrigExercice 6 - Pile ou face -1. La variable alatoire T1 est le temps dattente du premier pile ; elle suit la loi gomtriquede paramtrep, donc desprance 1/p.2. NotonsXn la variable alatoire gale 1 si la partie numron amne pile. Les variablesXn sont des variables alatoires de Bernoulli indpendantes de mme paramtrep. Soit(i1, . . . , in) Nn. Lvnement (A1 = i1, . . . , An = in) scrit aussi :X1 = = Xi11 = 0, Xi1 = 1, Xi1+1 = = Xi1+i21 = 0, Xi1+i2 = 1, . . . , Xi1++in = 1.Donc, en posantq = 1 p, on a :P(A1 = i1, . . . , An = in) = qi11pqi21p . . . qin1p.En sommant pour (i1, . . . , in1) parcourant (N)n1, on a :P(An = in) = qin1p.(An) suit bien une loi gomtrique de paramtrep. De plus lexpression ci-dessus prouveque :P(A1 = i1, . . . , An = in) = P(A1 = i1) . . . P(An = in),ce qui montre que les variablesA1, . . . , An sont indpendantes.A.BENHARIExercices-Loiscontinuesusuelles(etmoinsusuelles):enonceLoisclassiquesExercice1 -Carredelaloiuniforme-SoitXunevariablealeatoiresuivantuneloiuniformesur [a, b],avec 0 < a < b.Donnerlafonctionderepartition,ladensite,lesperanceetlavariancedeY= X2.Exercice2 -Uniformeetexponentielle-SoitUunevariablealeatoiredeloiuniformesur [0, 1].DemontrerquelavariablealeatoireX = ln Usuituneloiexponentielle.Exercice3 -Lecturedelatabledelaloinormale-1. Lecture directe : soit Xune variable aleatoire suivant une loi normale N(0, 1). Determinert > 0telqueP(t < X< t)0, 95.2. Renormalisation: soitXunevariablealeatoiresuivantuneloi normale N(8, 4). DonnerdesvaleursapprocheespourP(X< 7, 5), P(X> 8, 5), P(6, 5 < X< 10), P(X> 6|X> 5).3. Lectureinverse: Soit Xunevariablealeatoiresuivant uneloi gaussienne. DeterminerlesperanceetlavariancedeXsachantque

P(X< 1)0, 05P(X> 3)0, 12.Exercice4 -Variablealeatoiresansmemoire-OnditquunevariablealeatoireT`avaleursdans R+estsansmemoiresielleverie,pourtouss, t 0,P(T> t +s) = P(T> s)P(T> t).1. VerierquunevariablealeatoireT veriantuneloi exponentielledeparam`etre> 0,cest-`a-diredontladensiteestdonneeparf(t) =exp(t)1[0,+[(t)estunevariablealeatoiresansmemoire.2. Reciproquement, soit Tune variable aleatoire `a valeurs dans R+sans memoire et veriantP(T> 0) > 0.(a) On suppose quil existe t > 0 tel que P(T> t) = 0. Calculer P(T> t/2n) en fonctiondeP(T> t).EndeduirequeP(T> 0) = 0.Conclusion ?(b) Soit =P(T> 1).DemontrerqueP(T>t) =tpourtoutt R+(demontrerledabordpourt N+,puispourt Q+etennpourt R+).(c) Conclure.Exercice5 -Uniformeetbinomiale-Soient X0, . . . , Xndes variables aleatoires suivant une loi uniforme sur [0, 1], independantes.1. Soit 0 k netsoitUk = min(X0, . . . , Xk).DemontrerqueUkadmetunedensitequelondeterminera.A.BENHARIExercices-Loiscontinuesusuelles(etmoinsusuelles):enonce2. SoitNunevariablealeatoiresuivantuneloi binomiale B(n, 1/2). DemontrerqueU=min(X0, . . . , XN)admetunedensitequelondeterminera.AutresloisExercice6 -Exponentieldesdeuxcotes !-Soitflafonctiondeniesur Rpar:f(x) =

a.3xsix > 0a.3xsix < 0.1. Determinerapourquefsoitunedensitedeprobabilite.2. SoitXunevariablealeatoireadmettantfpourdensite.Determinerlafonctionderepar-titiondeX.MontrerqueXadmetuneesperanceE(X)etlacalculer.3. On pose Y= 3X. Determiner la fonction de repartition de Y . Yadmet-elle une esperance ?Exercice7 -Etudedunedensite-Soitflafonctionde Rdans Rdenieparf(x) =ex(1 +ex)2.1. Montrer que fest une densite de probabilite. Determiner la fonction de repartition dunevariablealeatoireXayantfpourdensite.2. Soitlafonctionde Rdans Rdeniepar:(x) =ex1ex+ 1.Etudier les variations de. Montrer querealiseunebijectiondeRsur] 1, 1[, etdeterminersabijectionreciproque.3. OndenitunevariablealeatoireY par:Y= (X) =eX1eX+ 1.DeterminerlafonctionderepartitionetunedensitedeY .ExercicespratiquesExercice8 -Chanedefabrication-Uneusinefabriquedescadresdevelo.Pourquunepi`ecesoitterminee,ilfautquellepasseparlachaneApuisparlachaneB. LetempsdepassageexprimeenminutespourunobjetsurlachaneAestunevariablealeatoireMsuivantuneloi exponentielledeparam`etre2. LetempsdepassageexprimeenminutespourunobjetsurlachaneBestunevariablealeatoireNsuivantuneloiuniformesur [0, 1]LesvariablesMetNsontindependantes.A.BENHARIExercices-Loiscontinuesusuelles(etmoinsusuelles):enonce1. RappelerlexpressiondunedensitedeprobabilitevdeMetdunedensitewdeN.2. OnnoteSlavariablealeatoirerepresentant letemps total defabricationdunepi`ece.Exprimer Sen fonction de Met de Net determiner le temps moyen de fabrication dunepi`ece.Exercice9 -Pannes-Lefonctionnementdunemachineestperturbepardespannes. Onconsid`erelesvariablesaleatoiresX1, X2etX3deniespar:X1estletemps,exprimeenheures,ecouleentrelamiseenroutedelamachineetlapremi`erepanne. X2(resp. X3), estletemps, enheures, ecouleentrelaremiseenroutedelamachineapr`eslapremi`ere(resp.ladeuxi`eme)panneetlapannesuivante.Onsuppose que les variables aleatoires X1, X2et X3sont independantes et suivent lamemeloiexponentielledeparam`etre1/2.1. Quelleestladureemoyennedefonctionnemententredeuxpannesconsecutives ?2. SoitElevenement:chacunedes3periodesdefonctionnementdelamachinedureplusde2heures.CalculerP(E).3. SoitY lavariablealeatoireegale`alaplusgrandedes3dureesdefonctionnementdelamachinesansinterruption.(a) CalculerP(Y t)pourtoutt R.(b) DeterminerunedensitedeY .(c) Poura < 0,calculer

+0teatdt.(d) DemontrerquelavariablealeatoireY admetuneesperance, dontoncalculera, enheuresetminutes,lavaleur.A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrigLois classiquesExercice 1 - Carr de la loi uniforme -On calcule la fonction de rpartionFYdeY . Siy< 0, on aFY (y) = P(Y y) = 0.Siy 0, alorsFY (y) = P(Y y) = P(y X y) = P(X y) = FX(y).Connaissant la fonction de rpartition deX, on en dduitFY (y) =___0 siy< a2yabasiy [a2, b2]1 siy> b2.Cette fonction de rpartition est drivable sauf ena2et enb2. La drive donne la densit. Onen dduit queYadmet une densitpYdonne par :pY (y) =___0 siy< a212(ba)ysiy [a2, b2]9 siy> b2.Pour calculer lesprance et la variance deY , il est prfrable de se souvenir queY= X2. Onen dduit :E(Y ) = E(X2) =_bax2b adx =b3a33(b a),E(Y2) = E(X4) =_bax4b adx =b5a55(b a),Var(Y ) = E(Y2) E(Y )2= 4(b a)445.Exercice 2 - Uniforme et exponentielle -On va calculer la fonction de rpartition deX. On remarque queX x si et seulement siU exp(x), puisque la fonctionx exp(x) est dcroissante. On a doncFX(x) = P(X x) = P(U exp(x)).Six< 0, alors exp(x)> 1 et doncFX(x) = 0. Six 0, alors exp(x) [0, 1] et donc, puisUsuit une loi uniforme valeurs dans [0, 1],FX(x) = 1 exp(x).On reconnait bien la fonction de rpartition dune loi exponentielle de paramtre 1 (on peutencore driver la fonction de rpartition pour retomber sur la densit).Exercice 3 - Lecture de la table de la loi normale -A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrig1. On note la fonction de rpartition de la loi N(0, 1). On aP(t < X< t) = (t) (t) = (t) (1 (t)) = 2(t) 1.DoncP(t < X< t)0, 95(t) = 0, 975 ce qui donnet1, 96.2. Posons Y=X84. Alors Ysuit la loi N(0, 1). On peut alors rpondre aux diverses questionsen les formulant laide deY , et en utilisant la table de la loi normale.(a)On aX< 7, 5Y< 0, 5/4 = 0, 125. On a doncP(X< 7, 5) = (0, 125) = 1 (0, 125).Puisque(0, 12)0, 55 et(0, 13)0, 55, on trouve nalement queP(X< 7, 5)1 0, 55 = 0, 45.(b)On aX> 8, 5Y> 0, 125 et doncP(X> 8, 5) = P(Y> 0, 125) = 1 (0, 125)0, 45.(c)On a 6, 5 5) =P_(X> 6) (X> 5)_P(X> 5)=P(X> 6)P(X> 5).En renormalisant comme aux questions prcdentes, on trouve queP(X> 6|X> 5)0, 89.3. SiX suit la loi N(m, ), alorsY=Xmsuit la loi N(0, 1). On doit avoir :0, 05 = P(X< 1) = P_Y< 1 m_ = _1 m_et0, 12 = P(X> 3) = 1 P_Y 3 m_ = 1 _3 m_.Or, 0, 05 = 1 0, 95 = (1, 645) et 0, 12(1, 175). On doit donc avoir_1m= 1, 645m3= 1, 175.On rsoud le systme et on trouve que_m1, 331, 41.A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrigExercice 4 - Variable alatoire sans mmoire -1. Il sagit simplement de calculer la fonction de rpartition dune loi exponentielle. Mais,par intgration,P(T> t) =_+tetdt = et,ce qui entrane facilement queTest sans mmoire.2. (a)On va prouver par rcurrence surn queP(T> t/2n) = 0. Cest vrai pourn = 0 etsi cest vrai au rangn, alorsP(T> (t/2n+1+t/2n+1)) = P(T> t/2n+1)P(T> t/2n+1)ce qui impliqueP(T> t/2n) = _P(T> t/2n+1)_2,ce qui prouve queP(T> 2n+1) = 0. Mais alors, la suite dvnements (An) dnieparAn =T>t/2nest une suite croissante dvnements, et nAn = (T> 0). Onen dduit queP(T> 0) = limn+P(T> t/2n) = 0,ce qui contredit lhypothse faite surT. On a doncP(T> t) > 0 pour toutt 0.(b)On commence par prouver par rcurrence surn entier non-nul queP(T> n) = n.Cest vrai pourn = 1, et si cest vrai au rangn, alorsP(T> n + 1) = P(T> n)P(T> 1) = n = n+1.Soit maintenant t = p/q appartenant Q+, avec p, q des entiers strictement positifs.On a alors :P(T> p) = P(T> p/q + +p/q) (avecq termes dans la somme)= P(T> p/q)P(T/p/q + +p/q) (avecq 1 termes dans la somme)= _P(T> p/q)_qsoitP(T> p/q) = _P(T> p)_1/q= p/q.Soit nalement t R+. Il existe deux suites de rationnels (xn) et (yn) avec xn t yn pour toutn et les suites (xn), (yn) convergent vers. On a de plusyn= P(T> yn) P(T> t) P(T> xn) = xn.On passe la limite quandn tend vers + et on trouvet P(T> t) tce qui donne le rsultat voulu.A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrig(c)La fonction de rpartition deTest dnie, pourt > 0, parFT(t) = 1 P(T> t) = 1 t.La fonction de rpartition est drivable sur ]0, +[, on retrouve la densit deTenla drivant. Or, la drive det 1 testt ln t= ln exp(t ln ). Cestbien la densit dune loi exponentielle de paramtre = ln > 0.Exercice 5 - Uniforme et binomiale -1. On va calculer la fonction de rpartionFk deUk. Pour toutx R, on aP(Uk> x) = P_ki=0Xi> x_ =k

i=0P(Xi> x),car les variables alatoires sont indpendantes. On en dduit :Fk(x) = P(Uk x) = 1 P(Uk> x) = 1 k

i=0_1 P(Xi x)_.Connaissant la loi desXi, on en dduit :Fk(x) =___0 six < 01 (1 x)k+1six [0, 1]1 six > 1.La fonctionFkestC1sur R\{0, 1}. On en dduit queUkadmet une densitgkdonnepar la drive deFk,gk(x) =_0 six/ [0, 1](k + 1)(1 x)ksix [0, 1].2. On procde de la mme faon, en utilisant la formule des probabilits totales. On obtient,pour toutx R,P(U x) =n

k=0P(N = k)P(U x|N = k)=n

k=0P(N = k)P(Uk x)=n

k=0_nk_ 12n_1 (1 x)k+1_.La fonction de rpartition estC1sur R\{0, 1}. On en dduit queUadmet une densitgdonne parg(x) =_0 six/ [0, 1]

nk=0_nk_12n(k + 1)(1 u)ksiu [0, 1].A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrigAutres loisExercice 6 - Exponentiel des deux cts ! -1. La fonctionf est continue sur R, positive sia 0, et on a :_+03xdx =_0exln 3dx =1ln 3,_03xdx =1ln 3.Ainsi,f est une densit de probabilit si et seulement sia =ln 32.2. Six 0, on a :F(x) = 12 ln 3_xet ln 3dt = 3x2.Six 0, on a :F(x) = F(0) +_x0et ln 3dt = 1 3x2.La fonction xf(x) est ngligeable au voisinage de +devant la fonction 1/x2, et il en estde mme au voisinage de car cette fonction est impaire. Elle est donc intgrable, etX admet bien une esprance. En outre, toujours par imparit dex xf(x), lespranceest nulle !3. Yprend ses valeurs dansR+, et on a :P(Y x) = P(3X x) = P_X ln xln 3_.On en dduit : si 0 x 1,FY (x) = 123ln xln 3=x2.Six > 1, on a :FY (x) = 1 123ln xln 3= 1 12x.En particulier, pourx > 1, la densit deYest :fY (x) = F

Y (x) =12x2.Au voisinage de +, on a :xf(x) 12x,fonction qui nest pas intgrable.Ynadmet pas desprance.A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrig1. f est une fonction dnie sur R, continue, positive. Il sut de prouver que_+f(x)dx = 1.Remarquons quex 11+exest une primitive def. Donc :_baf(t)dt =11 +eb 11 +ea.Faisant tendreb vers + eta vers , on trouve que _+f(x)dx = 1.fest bien unedensit de probabilit.2. LafonctionestdniesurR, drivable, etvrie

(x) =2ex(1+ex)2>0. Enoutre,limx (x) = 1 et limx+(x) = +1 : ralise une bijection strictement crois-sante de R sur ] 1, 1[. Pour calculer1, il faut rsoudre lquation suivante :y =ex1ex+ 1ex= 1 +y1 y,et donc pour touty ] 1, 1[, on a :1(y) = ln_1 +y1 y_.3. Yprend ses valeurs dans ] 1, 1[, et, pour toutx de ] 1, 1[ :P(Y x) = P((X) x) = P(X 1(x))= P_X ln_1 +x1 x__=11 + exp_ln_1+x1x__=x + 12.Ainsi,YU(] 1, 1[).Exercices pratiquesExercice 8 - Chane de fabrication -1. Une densit deMest : v (t) = 0 sur R etv (t) = 2e2tsur R+une densit deNest :w(t) = 1 sur [0, 1] et 0 ailleurs2. Letempstotal defabricationestlasommedestempsdepassagesur Aet B. OnadoncS=N + M. Onendduitqueletempsmoyendefabricationdunepiceest:E (S) = E (M) +E (N) =12 +102= 1.Exercice 7 - Etude dune densit -A.BENHARIExercices - Lois continues usuelles (et moins usuelles) :corrig1. La dure moyenne de fonctionnement entre deux pannes conscutives est lesprance (com-mune) des variables alatoiresX1,X2 etX3, cest--dire 1/(1/2) = 2.2. LvnementE scrit :E = (X1 2) (X2 2) (X3 2). Les variables alatoiresX1,X2 etX3 tant indpendantes, on aP(E) = P(X1 2) P(X2 2) P(X3 2). Or,P(Xi 2) =_+212et/2dt = e1.On en conclut queP(E) = e3.3. (a)On aY= max(X1, X2, X3). Ainsi, (Yt) = (X1 t) (X2 t) (X3 t). Parindpendance des 3 variables alatoires, on en dduit queP(Y t) = P(X1 t)P(X2 t)P(X3 t).Ainsi, sit 0,P(Y t) = 0. Sit > 0, alorsP(Y t) = _1 et/2_3.(b)La quantit calcule la question prcdente est la fonction de rpartition deY ,nous la notonsFY . AlorsFYest continue sur R etC1sur R. On en dduit queYadmet une densit notefYdnie sur R parfY (t) = F

Y (t), soitfY (t) =___0 sit < 032et/2_1 et/2_2sit > 0.(c)A laide dune intgration par parties, on trouve que_x0teatdt =_teata_x0_x0eatadt=xaeax 1a_eaxa_x0=xaeaxeaxa2+1a2.Faisant tendrex vers +, on trouve nalement que_+0teatdt =1a2.(d)Nous allons prouver que _x0tfY (t) admet une limite lorsquex tend vers +. Mais,pour toutx > 0,_x0tfY (t)dt =_x032tet/2(1 et/2)3dt=32_x0_tet/22tet+te3t/2_dtFaisant tendrex vers + et utilisant la question prcdente, on obtient que lint-grale _+0tfY (t)dt converge, et vautE(Y ) = 32_1(1/2)2 1(1)2 +1(3/2)2_ = 113.La dure maximale moyenne de fonctionnement entre deux pannes est 3h40min.Exercice 9 - Pannes -A.BENHARIExercices-Theor`emeslimites: enonceDiversesnotionsdeconvergenceExercice1 -Unesuitedevariablesaleatoires-Pour tout entier naturel n non nul, on consid`ere la fonction fn denie par fn(x) = 1R+(x) exp(n2x2/2).1. Montrerquefnestladensitedunevariablealeatoire.2. Soit (Xn)unesuitedevariablesaleatoirestelleque, pourtoutentiern 1, Xnadmetpourdensitefn. Demontrerquelasuite (Xn)convergeenprobabiliteversunevariablealeatoireXquelonprecisera.Exercice2 -Maximumdeloisuniformes-Soit (Un)unesuitedevariablesaleatoiresindependantessuivanttouteslaloiuniformesur[0, 1].OnnoteMn = max(U1, . . . , Un)etXn = n(1 Mn).1. QuelleestlafonctionderepartitiondeXn ?2.Etudierlaconvergenceenloidelasuite (Xn).Exercice3 -Convergenceenloipourunesuitedevariables`adensite-Soitnunentiernaturelnon-nuletsoitaunreel.Onconsid`erelafonctionfndeniesur Rparfn(x) =an(1+n2x2).1. Determinerapourquefnsoitunedensitedevariablealeatoire.2. Soit (Xn)unesuitedevariablesaleatoirestellequechaqueXnadmetpourdensitefn.EtudierlexistencedemomentspourXn.3.Etudierlaconvergenceenloidelasuite (Xn).AutourdelinegalitedeBienayme-TchebichevExercice4 - UnevariantedelinegalitedeMarkov-Soit Xune variable aleatoire admettant une densite f. On suppose que Xne prend que desvaleurspositivesounulles,etqueXadmetuneesperancemathematiquemnon-nulle.1. Demontrerquepourtout > 0,P(X m) 1.2. Onnoteqle3-i`emequartiledeX,cest-`a-direlenombreqtelqueF(q) = 3/4,o` uFestlafonctionderepartitiondeX.Demontrerqueq 4m.Exercice5 -UnevariantedelinegalitedeMarkov-SoitXunevariablealeatoireneprenantquedesvaleurspositivesounullesetadmettantuneesperancemathematiquemnon-nulle.Demontrerquepourtout > 0,P(X m) 1.Theor`emeCentralLimitExercice6 -Fournisseurdacc`es-Unfournisseur dacc`es `aInternet met enplace unpoint local dacc`es, qui dessert5000abonnes. Ainstantdonne, chaqueabonneauneprobabiliteegale`a20%detreconnecte. Lescomportementsdesabonnessontsupposesindependantslesunsdesautres.A.BENHARIExercices-Theor`emeslimites: enonce1. On note Xla variable aleatoire egale au nombre dabonnes connectes `a un instant t. QuelleestlaloideX ?Quelleestsonesperance,son ecart-type ?2. OnposeY=X1000800. Justierprecisementquonpeutapprocherlaloi deY parlaloinormale N(0, 1).3. Le fournisseur dacc`es souhaite savoir combien de connexions simultanees le point dacc`esdoitpouvoirgererpourquesaprobabilitedetresature`auninstantdonnesoitinferieure`a2, 5%. Enutilisant lapproximationprecedente, proposer unevaleur approcheedecenombredeconnexions(onpourrautiliserunetabledelaloinormale).Exercice7 -Lacantine !origine-Lors de la construction dun coll`ege accueillant 500 el`eves, il est prevu la construction dunecantine comprenant deux salles, chacune disposant de Nplaces. On fait lhypoth`ese que chaqueel`evequi mangechoisitauhasardlunedesdeuxsalles, independammentlesunsdesautres.DeterminerlavaleurdeN`aprevoirpourquelaprobabilitequechaque el`evetrouveuneplacedanslasallequilachoisiesoitsuperieure`a0,99.Exercice8 -Saturationdestandard-Uneentreprisecompte300employes. Chacundeuxtelephoneenmoyenne6minutesparheures. Quel estlenombredelignesquelentreprisedoitinstallerpourquelaprobabilitequetoutesleslignessoientutiliseesaumemeinstantsoitauplusegale`a0,025.OnpourrautiliseruneapproximationdelaloidunecertainevariablealeatoireExercice9 -Surreservationaerienne-Il arriveassezsouventquelenombredereservationspouruneliaisonaeriennesoitsupe-rieur aunombre de passagers se presentant eectivement le jour duvol. Celaest d u`adesempechementsimprevisiblesdecertainspassagerset`aunepolitiquesystematiquedecertainsdentreeuxqui reserventdesplacessurplusieursvolsdefacon`achoisirauderniermomentceluiquileurconvientlemieux(enraisondelaconcurrence,etselonlestarifschoisis,lescom-pagniesnepenalisentpaslesclientsqui sedesistentetnefontpayereectivementqueceuxquiembarquent).Pourcompensercephenom`ene,unecompagnieaerienneexploitantunavionde300placesdecidedefairedelasurreservation(surbooking)enprenantpourchaquevol unnombren> 300dereservations. Sil sepresenteplusde300passagers`alembarquement, les300premiersarrivesprennentleurvoletlesautressontdedommagesnanci`erement.1. Onconsid`erequelespassagerssontmutuellementindependantsetquelaprobabilitededesistementdechacundeuxest10%.Onnotenlenombredereservationsprisesparlacompagniepourunvol donneetSnlenombre(aleatoire)depassagerssepresentant`alembarquementpourcevol.DonnerlaloideSn,E(Sn)etV (Xn).2. Le directeur commercial de lacompagnie aimerait connaitre lavaleur maximale de ntellequeP(Sn 300) 0, 99. Enutilisantletheor`emeCentral-Limit(outheor`emedeDeMoivre-Laplace),proposezunesolutionapprocheedeceprobl`eme.Onpourrasaiderdunetabledelaloinormale.A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrigDiverses notions de convergenceExercice 1 - Une suite de variables alatoires -1. On remarque quefn est positive et continue. De plus, pour toutx > 0,_xfn(t)dt =_x0n2t exp(n2t2/2)dt = _exp(n2t2/2)_10 = 1 exp(n2x2/2).Faisant tendrex vers +, on en dduit que_+f(t)dt = 1,ce qui achve de prouver quefn est une densit de probabilit.2. Soit > 0. On aP(|Xn| ) =_+n2t exp(n2t2/2)= _exp(n2t2/2)_+= exp(n22/2).Lorsquen +, ceci tend vers 0. On en dduit que (Xn) converge en probabilit versla variable alatoire nulle (X = 0).Exercice 2 - Maximum de lois uniformes -1. On commence par dterminer la fonction de rpartion deMn. PuisqueMn est valeursdans [0, 1], il est clair que si x 0, on a P(Mn x) = 0 et si x 1, on a P(Mn x) = 1.Prenons maintenantx ]0, 1[. Alors :Mn xi {1, . . . , n}, Xi x.Puisque les variables alatoires (Xi)1in sont indpendantes, on en dduit queP(Mn x) =n

i=1P(Xi x) = xn.Pour obtenir la fonction de rpartition deXn, on remarque queXn xMn 1 xn,doP (Xn x) = 1 P_Mn 1 xn_.De plus,1 xn [0, 1] x [0, n].A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrigOn en dduit que la fonction de rpartition de (Xn) est donne parFXn(x) =___0 six 01 _1 xn_nsi 0 x n1 six n.2. Onvatudier, xx, lalimitede FXn(X). Dabord, pour x0, il estclairquelimnFXn(x) = 0. Maintenant, pourx 0, ds quen est assez grand, on ax n et doncFXn(x) = 1 _1 xn_n.Or, en passant lexponentielle, on sait quelimn+_1 xn_n= ex.On en dduit queFXn(x) tend versF(x) dni parF(x) =_0 six 01 exsix 0.On en dduit que (Xn) converge en loi vers la loi exponentielle de paramtre 1.Exercice 3 - Convergence en loi pour une suite de variables densit -1. fn tant continue et positive, elle sera une densit de variable alatoire si et seulement si_+fn(x)dx = 1.Or,_+an(1 +n2x2)dx =a [arctan(nx)]+ =a = a.fn est donc une densit de variable alatoire si et seulement sia = 1.2. On axfn(x) +1nxdont lintgrale est divergente au voisinage de +, et qui est unefonction positive. Ainsi, la variable alatoireXn nadmet pas desprance, ni aucun autremoment.3. NotonsFn la fonction de rpartion deXn, dnie parFn(x) =_xfn(t)dt = 1_arctan(nx) +2_.Si x< 0, arctan(nx) /2, et doncFn(x) 0. Si x> 0, arctan(nx) /2 et doncFn(x) 1. Soit maintenantXune variable alatoire identiquement nulle. Sa fonctionde rpartitionFXvrieFX(x) = 0 si x< 0 etFX(x) = 1 si x 0. Autrement dit, entout point de continuit deFX, la suite (Fn(x)) converge versFX(x). Cest exactementla dnition de la convergence en loi de la suite (Xn) versX.A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrigAutour de lingalit de Bienayme-TchebichevExercice 4 - Une variante de lingalit de Markov -1. On va copier la preuve de lingalit de Markov. En eet, on critP(X m) =_+mf(x)dx_+mxmf(x)dx1m_+0xf(x)dx1m m1.2. On remarque queF(q) = P(X q) = P_X mqm_ = 1 P_X mqm_ 1 mqdaprs la question prcdente. Or, on sait que F(q) = 3/4. On en dduit bien que q 4m.Exercice 5 - Une variante de lingalit de Markov -On va copier la preuve de lingalit de Markov. En eet, on critP(X m) =_+mxdPX(x)_+mxmdPX(x)1m_+0xdPX(x)1m m1.Thorme Central LimitExercice 6 - Fournisseur daccs -1. X compte le nombre de succs lors de la ralisation de 5000 preuves alatoires indpen-dantes, dont la probabilit de ralisation de chacune est 0,2. X suit donc une loi binomialeB(5000, 0.2). Son esprance vaut 5000 0, 2 = 1000, sa variance 5000 0, 2 0, 8 = 800.A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrig2. On est dans les conditions dapplication du thorme Central-Limit (ou du thorme deDe Moivre-Laplace).3. On chercheNtel queP(X N) 0, 975. Mais on a :X NY N 1000800.On en dduit, en notant la fonction de rpartition de la loi normale :P(X N) 0, 025 P_Y N 1000800_ 0, 025 1 _N 1000800_ 0, 025 _N 1000800_ 0, 975 (2)Cette condition sera ralise ds que :N 1000800 2N 1057.Il faut installer pouvoir grer au moins 1057 connexions simultanes - ce qui est nalementassez peu !Exercice 7 - La cantine ! origine -On noteXla variable alatoire correspondant au nombre dlves choisissant la premiresalle. Alors tous les lves trouvent une place siX Net si 500 X N, soit500 N X N.De plus, X suit une loi binomiale B(500, p). On a 500 > 30 et n1/2_1 12_ 5. On est doncdans les conditions o on peut approcher la loi de X par la loi normale N_500 12,_500 12 12_ie N(250,125). PosonsY=X 250125.On peut considrer queYsuit une loi normale N(0, 1), et on chercheNtel queP_500 N 250125 Y N 250125_ 0, 99.Or,P_500 N 250125 Y N 250125_= P_250 N125 Y N 250125_= _N 250125__250 N125_= 2_N 250125_1.A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrigo dsigne la fonction de rpartition de la loi normale N(0, 1). On cherche doncNtel que2_N 250125_1 0, 99_N 250125_ 0, 995(2, 575).Ceci est vri ds queN250125 2, 575, cest--dire ds queN 279.Exercice 8 - Saturation de standard -On noteNle nombre de lignes installes, et Xle nombre demploys qui tlphonent linstant t. OnchercheNtel queP(XN) 0, 025. Laprobabilitpourquunemploytlphone linstantt est 6/60 = 1/10. Les appels des employs tant supposs indpendants,Xsuit la loi binomiale B(300, 1/10). Lesprance deXvaut 30, et lcart-type 27. PosonsX=X3027 . ParlethormeCentral-Limit, onpeutconsidrerque Xsuitlaloi normaleN(0, 1). On note la fonction de rpartition de la loi normale. On a :P(X N) 0, 025 P_X N 3027_ 0, 025 1 _N 3027_ 0, 025 _N 3027_ 0, 975 = (1, 96)N 3027 1, 96 N 41.Il faut installer au moins 41 lignes !Exercice 9 - Surrservation arienne -1. Sn compte le nombre de succs de ralisations den expriences alatoires, la probabilitde succs de chacune tant 9/10. On en dduit queSn suit une loi binomiale B(n, 9/10).En utilisant les formules du cours, on a :E(Sn) = 0, 9n etV (Sn) = 0, 09n.2. On noteYn =Sn0,9n0,3n. Remarquons queSn 300Yn 1000n3n.Le thorme central limite justie que lon peut approcher la loi deYn par la loi normalerduite N(0, 1). On note la fonction de rpartition de la loi normale. On a lapproxima-tion :P_Yn 1000n3n_ _1000n3n_.Or, une table de la loi normale nous dit que :(2, 4) 0, 99.A.BENHARIExercices - Thormes limites : corrigLa fonction de rpartition tant croissante, il sut que :1000 3nn 2, 4.On obtient lquation :3n 2, 4n + 1000 0.En posantx =n, on a une fonction du second degr tudier (trouver le plus grandxpour lequel elle est positive), ce qui ce stade ne devrait plus poser trop de problmes.Le plus grandn pour lequel cette quantit est positive est 316.A.BENHARIExercices-Variablesaleatoiresdiscr`etes: enonceVariablesdiscr`etesfinies-ExercicespratiquesExercice1 -Loidundetruque-Onconsid`ereundecubiquetruque,detellesortequelaprobabilitedobtenirlafacenume-roteekestproportionnelle`ak(onsupposequelesfacessontnumeroteesde 1`a 6).SoitXlavariablealeatoireassocieeaulancerdecede.1. DeterminerlaloideX,calculersonesperance.2. OnposeY= 1/X.DeterminerlaloideY ,etsonesperance.Exercice2 -Garagiste-Ungaragistedisposededeuxvoitures delocation. Chacuneest utilisableenmoyenne4jourssur5.Illouelesvoituresavecunemargebrutede300eurosparjouretparvoiture.Onconsid`ereXlavariablealeatoireegaleaunombredeclients sepresentant chaquejour pourlouerunevoiture.OnsupposequeX() = {0, 1, 2, 3}avecP(X = 0) = 0, 1P(X = 1) = 0, 3P(X = 2) = 0, 4P(X = 3) = 0, 2.1. OnnoteZlenombredevoituresdisponiblesparjour.DeterminerlaloideZ.OnpourraconsidererdanslasuitequeXetY sontindependantes.2. On note Yla variable aleatoire : nombre de clients satisfaits par jour. Determiner la loideY .3. Calculerlamargebrutemoyenneparjour.Exercice3 -Vacheslaiti`eres-Lesvacheslaiti`eressontatteintesparunemaladieMaveclaprobabilitep = 0, 15. PourdepisterlamaladieMdansuneetablededenvaches, onfaitproceder`auneanalysedelait.Deuxmethodessontpossibles:Premi`eremethode: Onfaituneanalysesurun echantillondelaitdechaquevache.Deuxi`ememethode: Oneectuedaborduneanalysesurunechantillondelaitprovenantdumelangedesnvaches.Sileresultatestpositif,oneectueunenouvelleanalyse,cettefoispourchaquevache.On voudrait connatre la methode la plus economique (=celle qui necessite en moyenne le moinsdanalyse). Pourcela, onnoteXnlavariablealeatoiredunombredanalysesrealiseesdansladeuxi`eme etape.OnposeYn =Xnn.1. DeterminerlaloideYn,etmontrerquesonesperancevaut: 1 +1n (0.85)n.2. Etudierlafonctionf(x) = ax + ln x,poura = ln(0, 85).Donnerlalistedesentiersntelsquef(n) > 0.3. Montrerquef(n) > 0equivaut`aE(Yn) < 1.Endeduirelareponse(enfonctionden)`alaquestionposee).A.BENHARIExercices-Variablesaleatoiresdiscr`etes: enonceExercice4 -Maximiserlesperance-Soit n 2. Onconsid`eredeuxvariables aleatoires independantes X1et X2, denies surlememeespaceprobabilise (, B, P), etsuivantlaloi uniformediscr`etesur {1, 2, . . . , n}. Onconsid`ereaunentierde {1, 2, . . . , n},etY lavariablealeatoiredeniepar: , Y () =

X1() siX2() aX2() siX2() > a.1. DeterminerlaloideY (verierquelonobtientbienuneloideprobabilite).2. CalculerlesperancedeY etlacomparer`alesperancedeX1.3. Pourquellesvaleursdeacetteesperanceest-ellemaximale ?Exercice5 -Entropiedunevariablealeatoire-Soit Xunevariablealeatoirediscr`eteprenant lavaleur xiavecprobabilitepi, pour i=1, . . . , n.OndenitlentropiedeXpar:H(X) = n

i=1pi ln(pi).1. CalculerH(X)siXestconstante.2. CalculerH(X)siXest equidistribuee.3. Trouver la valeur maximale de H(X) pour X parcourant lensemble des variables aleatoiresdiscr`etesprenantauplusnvaleurs.Variablesdiscr`etesinfiniesExercice6 -Unecertainevariablealeatoire-Soitp ]0, 1[. Ondisposedunepi`eceamenantpile aveclaprobabilitep. Onlancecettepi`ecejusqu`aobtenirpourladeuxi`emefoispile.SoitXlenombredeface obtenusaucoursdecetteexperience.1. DeterminerlaloideX.2. MontrerqueXadmetuneesperance,etlacalculer.3. Onproc`ede`alexperiencesuivante:siXprendlavaleurn,onplacen + 1boulesnume-rotees de 0 `a n dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors Ylenumeroobtenu.DeterminerlaloideY .CalculerlesperancedeY .4. OnposeZ = X Y .DonnerlaloideZetverierqueZetY sontindependantes.Exercice7 -Deuxfoispile-On joue `a pile ou face avec une pi`ece non equilibree. A chaque lancer, la probabilite dobtenirpileest2/3,etdonccelledobtenirfaceest1/3.Leslancerssontsupposesindependants,etonnoteXlavariablealeatoirereelle egaleaunombredelancersnecessairespourobtenir,pourlapremi`erefois,deuxpilesconsecutifs.Pourn 1,onnotepnlaprobabiliteP(X = n).1. Expliciterlesevenements (X = 2), (X = 3), (X = 4), etdeterminerlavaleurdep2, p3,p4.Variablesdiscr`etesfinies-ExercicestheoriquesA.BENHARIExercices-Variablesaleatoiresdiscr`etes: enonce2. Montrerquelonapn =29pn2 +13pn1.,n 4.3. Endeduirelexpressiondepnpourtoutn.4. Rappeler,pourq ] 1, 1[,lexpressionde +n=0nqn,etcalculeralorsE(X).Exercice8 -LoidePascal-Onlanceunepi`ecedemonnaiedontlaprobabilitedetombersurpilevautp.OnnoteXlavariable aleatoire correspondant au nombre de lancers necessaire pour obtenir rfois pile. QuelleestlaloideX ?Exercice9 -Rangeedespots-UnerampeverticaledespotsnommesdebasenhautS1, S2, S3, S4changedetatdelamani`eresuivante: `alinstantt = 0,lespotS1estallume. si, `a linstant t =n, n0, le spot S1est allume, alors un(et unseul) des spotsS1, S2, S3, S4sallume`alinstantt = n + 1,etcecidemani`ere equiprobable. si, `alinstantt =n, n 0, lespotSk(2 k 4)estallume, lespotSk1sallume`alinstantt = n = 1.On pourra remarquer qu`a chaque instant, un et un seul spot est allume. On note Xla variablealeatoirerepresentantlepremierinstant(silexiste)o` ulespotS2sallume.1. CalculerlaprobabilitepourquelespotS1resteconstammentallumejusqu`alinstantn.2. Calculerlaprobabilitedes evenements (X = 1)et (X = 2).3. Calculerlaprobabilitedes evenements (X = n),pourn 3.4. DeterminerlesperancedeX.Exercice10 -Uneautreexpressiondelesperance -1. SoitXunevariablealeatoire`avaleursdans N.(a) Montrerque,pourtoutn N,ona:n

k=0kP(X = k) =n1

k=0P(X> k) nP(X> n).(b) Onsupposeque +k=0P(X> k)converge.DemontrerqueXadmetuneesperance.(c) Reciproquement, on suppose que Xadmet une esperance. Demontrer alors que

nP(X>n)

ntendvers 0, puis quelaserie +k=0P(X>k) converge, et ennqueE(X) =+

k=0P(X> k).2. Application:ondisposeduneurnecontenantNboulesindiscernablesautouchernume-roteesde 1`aN.Oneectue,`apartirdecetteurne,ntiragessuccessifsduneboule,avecremise,etonnoteXleplusgrandnombreobtenu.(a) QuevautP(X k) ?EndeduirelaloideX.(b) Alaidedesquestionsprecedentes,donnerlavaleurdeE(X).A.BENHARIExercices-Variablesaleatoiresdiscr`etes: enonce(c) A laide dune somme de Riemann, demontrer que la suite

1N

N1k=0

kN

n

Nadmetunelimite(lorsqueNtendvers +)quelondeterminera.(d) Endeduireque limN+E(X)N=nn+1.A.BENHARIExercices - Variables alatoires discrtes : corrigVariables discrtes finies - Exercices pratiquesExercice 1 - Loi dun d truqu -1. X prend ses valeurs dans {1, . . . , 6}. Par hypothse, il existe un rel a tel que P(X = k) =ka. Maintenant, puisquePX est une loi de probabilit, on a :6

k=1P(X = k) = 1a6 72= 1=a = 1/21.On a donc :k 1 2 3 4 5 6P(X = k)121221321421521621On vrie aisment en appliquant la formule queE(X) =133 .2. On aY= kX = 1/k.Yprend donc ses valeurs dans {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6}, etla loi est donne par :k 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6P(Y= k)121221321421521621Le calcul de lesprance nest pas plus dicile, et donne :E(Y ) = 27.Attention lerreur suivante : ce nest pas parce queY= 1/X queE(Y ) = 1/E(X)!!!.Exercice 2 - Garagiste -1. Z est lment de {0, 1, 2}. On a :P(Z = 2) = 45 45 = 1625(les deux voitures sont disponibles). Dautre part,P(Z = 0) = 15 15 =125(les deux voitures sont simultanment indisponibles). Enn, on obtient :P(Z = 1) = 1 P(Z = 0) P(Z = 1) =825.2. Remarquons queYest valeurs dans {0, 1, 2}. On calcule sa loi en utilisant la formuledes probabilits totales. LvnementY = 0 se produit si X= 0 ou bien si X 1 etZ = 0. Ces deux vnements tant disjoints, on a :P(Y= 0) = P(X = 0) +P(X 1 Z = 0) = P(X = 0) +P(X 1)P(Z = 0)A.BENHARIExercices - Variables alatoires discrtes : corrig(la disponibilit des voitures tant suppose indpendante de larrive des clients). Do :P(Y= 0) = 0, 1 + 0, 9 _15_2= 0, 136.De mme, lvnementY= 1 se produit si X = 1 etZ 1 ou bien si X 2 etZ = 1.On en dduit :P(Y= 1) = P(X = 1)P(Z 1) +P(X = 2)P(Z = 1) = 0, 48.Enn, lvnementY= 2 est ralis siX 2 etZ = 2. Ceci donne :P(Y= 2) = P(X 2)P(Z = 2) = 0, 6 _45_2= 0, 384.3. La marge brute vaut 300Y . La marge brute moyenne par jour est en euros :E(300Y ) = 300(0 0, 136 + 1 0, 48 + 2 0, 384) = 374, 4.Exercice 3 - Vaches laitires -1. Yn ne prend que deux valeurs, 1/n et 1 + 1/n. On a en outre :(Yn = 1/n) aucune vache nest maladedoP(Yn=1/n) =0, 85n. Onendduit- laloi de Y estuneloi deprobabilit-P(Y= 1 + 1/n) = 1 (0, 85)n. Le calcul de lesprance donne :E(Yn) = 0, 85nn+n + 1n(1 0, 85n) = 1 + 1n 0, 85n.2. fest drivable sur ]0, +[, etf

(x) =1+axx. f

(x) est donc du signe de 1 + ax, ce quipermet de dire quefest croissante sur ]0, 1/a[, et dcroissante ensuite. La limite defen + est , il en est de mme en 0. En calculant les valeurs successives def(n), onaf(17) > 0, 07 etf(18) < 0, 03. 17 est donc la plus grande valeur entire pour laquellef(n) est positive. En outre, f(1)< 0 alors quef(2)> 0. Lensemble dentiers recherchest donc {2, . . . , 17}.3. On a :E(Yn) < 1 1 + 1n 0, 85n< 1 0, 85n> 1n nln(0, 85) > ln n.Parsuite, E(Yn) 0. Ltudeprcdentemontrequelesentiers npour lesquelsf(n)> 0 est {2, . . . , 17}. On a intrt choisir la deuxime mthode si, etseulement si, il y a de 2 17 vaches dans ltable !A.BENHARIExercices - Variables alatoires discrtes : corrigVariables discrtes finies - Exercices thoriquesExercice 4 - Maximiser lesprance -1. On aY () = {1, . . . , n}, et par indpendance des variables alatoiresX1 etX2 :sik a,P(Y= k) = P ((X1 = k) (X2 a)) =1n an.sik > a,P(Y= k) = P ((X1 = k) (X2 a)) +P ((X2 = k) (X2> a)) =an2 +1n.On a biena an2 + (n a) _an2 +1n_ = 1.2. Le calcul de lesprance est facile :E(Y ) =a

k=1kan2 +n

k=a+1kan2 +n

k=a+1kn=a(n + 1)2n+ (a +n + 1)(n a)2n= E(X1) +a2n(n a) E(X1).3. On vrie que :E(Y ) =12n_54n2+n (a n/2)2_.Ainsi,E(Y ) est maximale pour |a n/2| le plus petit possible :sin est pair, cest poura = n/2.sin est impair, cest poura = (n 1)/2 oua = (n + 1)/2.Exercice 5 - Entropie dune variable alatoire -1. Si Xestconstante, onapi=1pouruniet pj=0pour j=i. OnendduitqueH(X) = 1 ln(1) = 0.2. SiX est quirpartie, on api = 1/n pour touti. On en dduitH(X) =n

i=1ln(1/n)n= ln(1/n) = ln(n).3. Posonsf(x) = xln(x). Cette fonction est concave, car sa drive seconde estf

(x) =1x< 0. On a donc1nf(p1) + + 1nf(pn) f_p1 + +pnn_ f(1/n)ce qui se traduit encore enn

i=1f(pi) n

i=1f(1/n) = ln n.Ainsi, on a toujoursH(X) ln n et cette valeur est atteinte quandX est quidistribue.H(X) mesure le dsordre engendr parX. LorsqueX ne prend quune seule valeur, sonentropie est nulle (pas de dsordre). Lorsque la variable est quidistribue, le dsordre estmaximal et lentropie aussi.A.BENHARIExercices - Variables alatoires discrtes : corrigVariables discrtes infiniesExercice 6 - Une certaine variable alatoire -1. LvnementX =n correspond au droulement suivant : on a obtenu un et un seul pilelors desn + 1 premiers tirages, et len + 2-ime tirage donne un face. Il y a doncn + 1choix pour le premier pile. Ceci choisi, lvnement lmentaire a une probabilit qui vautp2(1 p)n. On a donc :P(X = n) = (n + 1)p2(1 p)n.2. La srie dnisantE(X) est videmment convergente, et sa sommation est facile (si ellevoussembledicile, il fautrvisercommentfaire, parexempleenutilisantlessriesentires). On trouve :E(X) =+

n=1nP(X = n) = 2(1 p)p.3. Sin 1 est x, etk {0, . . . , n}, on a clairement :P(Y= k|X = n) =1n + 1.Par la formule des probabilits totales :P(Y= k) =

n=0P(Y= k|X = n)P(X = n)=

n=k(n + 1)p2(1 p)n1n + 1 = p(1 p)k.On reconnait queY+ 1 suit une loi gomtrique de paramtrep. On a donc :E(Y ) = 1p 1 = 1 pp.Ceci peut bien sr se retrouver par un calcul direct.4. On a :(Z = h) =

j=0[(Y= j) (X = h +j)] .Cette runion tant disjoint