Experimentos con Mezclas - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/dgonzalez/6046/INTROEXPMEZCLAS.pdfExperimentos con Mezclas |Para los experimentos que hemos estudiado

Marzo 2004 David R. González BarretoExperimentos Industriales…

1

Experimentos con Mezclas

Para los experimentos que hemos estudiado(experimentos factoriales, CCD, otros), los niveles de cada factor son independientes de los niveles de otrosfactores. En los experimentos con mezclas, los factores son loscomponentes o ingredientes de la mezcla y porconsecuencia, sus niveles no son independientes. Portanto, estas variables controlables representancantidades proporcionales a la mezcla en vez de cantidades sin restricción.


2


Si decimos que el número de componentes en el sistema se denomina por q y que la proporción para el componente i en la mezcla como xi, entonces

Xi > 0 i = 1, 2, ….Qy

Claro está la xi representará porcentajes no negativoshasta alcanzar el 100% (i.e. = 1).

11

=∑=

q

iix


3


Estas restricciones para el caso de 2 y 3 componentes en la mezcla se muestrangráficamente a continuación.

1

1

x2

0

x1 + x2 = 1

x1


4


0 1

1

1

x1 + x2 + x3 = 1Los vértices en ambos casos representan formulaciones de mezclapuras (mezcla corresponde al 100% de un solo componente).


5


Los diseños tipo simplex se utilizan para estudiar losefectos de los componentes de la mezcla en la variable respuesta.

Un diseño “simplex lattice” (SLD) {q, m} para qcomponentes en la mezcla, consiste de los puntosdefinidos por el sistema de coordenadas siguientespara la proporción de cada componente:

xi = 0, 1/m, 2/m, …, 1

i = 1, 2, …, p


6


Ejemplo SLD {3 , 2}

Este SLD consiste de las siguientes seis corridas:

(x1, x2, x3) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) – mezcla pura

(x1, x2, x3) = (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2) – binaria

x1 = 1

x2 = 1 x3 = 1

Condiciones Experimentales


7


Ejemplo SLD {3 , 3}x1 = 1

x2 = 1 x3 = 1

Condiciones Experimentales


8


Ejemplo SLD {3 , 2}

A B C “Elongation”

1.0 0.0 0.0 11.70.0 1.0 0.0 9.40.0 0.0 1.0 16.40.5 0.5 0.0 15.30.5 0.0 0.5 16.90.0 0.5 0.5 10.5


9

Experimentos para Mezclas

Ejemplo SLD {3 , 2} – Cont.

Regression for MixturesEstimated Regression Coefficients for y

Term CoefA 11.700B 9.400C 16.400A*B 19.000A*C 11.400B*C -9.600

A

0

1

B1

0

C1

0

Elongation

12 - 1414 - 16

> 16

< 1010 - 12

Mixture Contour Plot of Elongation(component amounts)


10

Experimentos para MezclasLos modelos de mezcla difieren de los modelos polinómicosdebido a la restricción:

La forma estándar de construir los modelos para mezcla estándados por:

Lineal

11

=∑=

q

iix

∑=

=q

iii xyE

1)( β


11

Experimentos para Mezclas

Cuadrático

El componente lineal se le conoce como la mezcla lineal y esla respuesta cuando xi = 1 y xj = 0 para I distinto de j.

El componente adicional en el cuadrático estima la mezcla con más de un componente: la misma puede ser sinergética o antagónica.

ji

q

jiij

q

iii xxx)y(E ∑∑+∑=

<=ββ

1


12

Experimentos para Mezclas - Análisis

Ejemplo:A B C Acc

1.0 0.0 0.0 4.30.0 1.0 0.0 6.50.0 0.0 1.0 6.90.5 0.5 0.0 6.30.5 0.0 0.5 6.10.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.70.0 1.0 0.0 6.20.0 0.0 1.0 7.00.5 0.5 0.0 5.80.5 0.0 0.5 6.50.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.80.0 1.0 0.0 6.30.0 0.0 1.0 7.40.5 0.5 0.0 6.10.5 0.0 0.5 5.90.0 0.5 0.5 6.1


13

Experimentos para Mezclas -AnálisisRegression for Mixtures: Acc versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for Acc (component proportions)Term Coef SE Coef T P VIFA 4.600 0.1340 * * 1.500B 6.333 0.1340 * * 1.500C 7.100 0.1340 * * 1.500A*B 2.400 0.6566 3.66 0.003 1.500A*C 1.267 0.6566 1.93 0.078 1.500B*C -2.200 0.6566 -3.35 0.006 1.500

S = 0.232140 PRESS = 1.455R-Sq = 93.89% R-Sq(pred) = 86.24% R-Sq(adj) = 91.34%

Analysis of Variance for Acc (component proportions)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 9.9294 9.92944 1.98589 36.85 0.000

Linear 2 8.1391 9.84222 4.92111 91.32 0.000Quadratic 3 1.7903 1.79033 0.59678 11.07 0.001

Residual Error 12 0.6467 0.64667 0.05389Total 17 10.5761


14

Experimentos para Mezclas -Análisis

A

0

1

B1

0

C1

0

Acc

5.5 - 6.06.0 - 6.56.5 - 7.0

> 7.0

< 5.05.0 - 5.5

Mixture Contour Plot of Acc(component amounts)

A1.00

0.00

0.00

5

B

6Acc

7

1.00 0.001.00

C

Mixture Surface Plot of Acc(component amounts)


15

“Simplex Centroid”

Un diseño “simplex centroid” con qcomponentes consiste de 2q – 1 puntos de diseño. Estos puntos de diseño son las qpermutaciones (1, 0, 0, …, 0) de las mezclaspuras, las permutaciones (½ , ½, 0, …, 0) de

las mezclas binarias, las permutaciones(1/3, 1/3, 1/3, 0, …, 0) y el centroide(1/q, 1/q, …, 1/q).

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2q

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3q


16


“Simplex Centroidpara q = 3; 7 puntos de diseño


17


“Simplex Centroidpara q = 4


18


Para q = 3 el modelo es:

3211233223

31132112332211

)(

xxxxxxxxxxxxyE

βββββββ

++++++=

Modelo cúbico polinómico especial


19


Para q = 4 el modelo es:

43211234

444

1

xxxx

xxxxxx)y(Ei j k

kjiijki j

jiiji

ii

β

βββ

+

∑∑∑+∑∑+∑=< <<=

Modelo cúbico especial con un términoCuártico adicional


20

Diseños “Simplex” con corridasaxiales

Los diseños “Simplex-Lattice” y el “Simplex Centroid” son diseños cuyos tratamientos se encuentran en los límites de la regiónexperimental, con la excepción del centroide. Por ejemplo, un “simplex-lattice” {3, 3} contiene10 puntos experimentales. Seis (6) de estosestán en las caras del triángulo, tres (3) corresponden a los vértices y el centroide.


21


Los tres (3) puntos proveen la información de las mezclas puras, los seis (6) brindaninformación de las mezclas binarias y sólo un punto contiene información de mezclascompletas.La distribución de la información se denominacomo 3: 6: 1.


22


Si se interesa realizar predicciones acerca de mezclas completas, es preferible realizarcorridas dentro del interior del “simplex”.Se recomienda en estos casos aumentar el diseño “simplex” con corridas axiales y con el centroide (si éste no ha sido considerado).


23


Los puntos axiales se posicionan a lo largo de los ejes del componente a una distancia ∆desde el centroide.Se recomienda que los puntos axiales se conduzcan en un punto medio entre el centroide del “simplex” y el vértice, de forma tal∆ = (q -1) / 2q


24



25


“Simplex-Centroidcon puntos axiales

A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Amounts


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El diseño tiene 10 puntos, cuatro (4) de estosen el interior del “simplex”.La distribución de la información se denominacomo 3: 3: 4.


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x1 x2 x3 y1 0 0 540,5600 1 0 330,3500 0 1 295,260½ ½ 0 6100 ½ ½ 330½ 0 ½ 4252/3 1/6 1/6 7101/6 2/3 1/6 6401/6 1/6 2/3 4601/3 1/3 1/3 800,850


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Ejemplo Modelo Lineal

Regression for Mixtures: y versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for y (component proportions)Term Coef SE Coef T P VIFA 686.4 103.0 * * 1.089B 485.4 103.0 * * 1.089C 362.4 103.0 * * 1.089

S = 177.115 PRESS = 516540R-Sq = 27.93% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 14.83%

Analysis of Variance for y (component proportions)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165

Linear 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165Residual Error 11 345066 345066 31369.7

Lack-of-Fit 7 342804 342804 48972.0 86.58 0.000Pure Error 4 2262 2262 565.6

Total 13 478821


29

Ejemplo – Modelo Cuadrático

Regression for Mixtures: y versus A, B, C Term Coef SE Coef T P VIF

A 534.6 83.35 * * 1.548

B 329.2 83.35 * * 1.548

C 252.7 83.35 * * 1.548

A*B 1343.1 469.58 2.86 0.021 1.718

A*C 644.5 469.58 1.37 0.207 1.718

B*C 711.7 469.58 1.52 0.168 1.718

S = 120.261 PRESS = 812043

R-Sq = 75.84% R-Sq(pred) = 0.00%

R-Sq(adj) = 60.73%

Analysis of Variance for y (component proportions)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 5 363120 363120 72624.0 5.02 0.022

Linear 2 133755 89272 44636.2 3.09 0.102

Quadratic 3 229365 229365 76455.0 5.29 0.027

Residual Error 8 115702 115702 14462.7

Lack-of-Fit 4 113439 113439 28359.8 50.14 0.001

Pure Error 4 2262 2262 565.6

Total 13 478821

Unusual Observations for y

Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid

2 2 610.000 767.677 101.279 -157.677 -2.43R

3 3 425.000 554.820 101.279 -129.820 -2.00R

5 5 330.000 468.867 101.279 -138.867 -2.14R

R denotes an observation with a large standardized residual.


30

Ejemplo – Modelo Cuadrático

A

0

1

B1

0

C1

0

y

400 - 500500 - 600600 - 700

> 700

< 300300 - 400

Mixture Contour Plot of y(component amounts)

A1.00

0.00

0.00200

400

B

600

y

800

1.00 0.001.00

C

Mixture Surface Plot of y(component amounts)


31

Ejemplo – Modelo Cúbico EspecialRegression for Mixtures: y versus A, B, C

Term Coef SE Coef T P VIF

A 550.20 23.22 * * 1.555

B 344.72 23.22 * * 1.555

C 268.29 23.22 * * 1.555

A*B 689.54 146.51 4.71 0.002 2.164

A*C -9.03 146.51 -0.06 0.953 2.164

B*C 58.11 146.51 0.40 0.703 2.164

A*B*C 9243.33 940.85 9.82 0.000 2.988

S = 33.4318 PRESS = 80312.0

R-Sq = 98.37% R-Sq(pred) = 83.23%

R-Sq(adj) = 96.97%

Analysis of Variance for y (component proportions)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 6 470998 470998 78500 70.23 0.000

Linear 2 133755 89272 44636 39.94 0.000

Quadratic 3 229365 25123 8374 7.49 0.014

Special Cubic 1 107878 107878 107878 96.52 0.000

Residual Error 7 7824 7824 1118

Lack-of-Fit 3 5561 5561 1854 3.28 0.141

Pure Error 4 2262 2262 566

Total 13 478821

Unusual Observations for y

Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid

10 10 460.000 523.796 15.187 -63.796 -2.14R

R denotes an observation with a large standardized residual.


32

Ejemplo – Modelo Cúbico Especial

A1.00

0.00

0.00200

400

B

600

y

800

1.00 0.001.00

C


A

0

1

B1

0

C1

0

y

400 - 500500 - 600600 - 700700 - 800

> 800

< 300300 - 400



33

Ejemplo – Cúbico Especial Análisis de Residuales

Standardized Residual

Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

800600400200

2

1

0

-1

-2


Freq

uenc

y

210-1-2

4

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

1413121110987654321

2

1

0

-1

-2

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for y


34

Ejemplo – Modelo Cúbico Especial “Response Trace Plot”

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

900

800

700

600

500

400

300

200

ComponentABC

Cox Response Trace Plot

Note el efecto no lineal de los componentes.En este caso y es muy sensible a cambios en todos los componentes.Si uno o más de estos trazos tiene un comportamiento horizontal esto indicaría que ese componente tiene muy poco efecto en la respuesta; a estos ingredientes le llamamos inactivos.


35

Restricciones en las Proporciones de los Componentes

En muchos experimentos con mezclas existen restricciones en las proporciones de los componentes que no permiten explorar toda la región del Simplex.Regularmente estas restricciones toman forma de límites inferiores y superiores para cada uno de las proporciones de los componetes.


36

Restricciones en las Proporciones de los Componentes

Las restricciones toman la formaLi < xi < Ui i = 1,2 …, q

Donde Li = límite inferior para el componente iUi = límite superior para el componente i

x1 + x2 +… +xq = 1Li > 0 y Ui < 1 para i = 1,2 …, q


37

Restricciones Inferiores

Li < xi < 1 i = 1,2 …, qx1 + x2 +… +xq = 1

Ejemplo:0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3


38



39


Como la región experimental factible sigue siendo un Simplex (figura anterior), definimos unos pseudocomponentes entre los valores 0 y 1 en la región factible. Los pseudocomponentes se definen:

Xi = (xi – Li)/(1 - L)Donde:

11

<=∑=

q

iiLL


40


Para construir un diseño basado en los pseudocomponentes se especifican los puntos de diseño en pseudocomponentes y se convierten a los componentes originales usando:

xi = Li + (1 – L)Xi


41


Ejemplo:0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3

A

0.3

0.5

B0.6

0.4

C0.3

0.1


A B C

0.500000 0.400000 0.100000

0.300000 0.600000 0.100000

0.300000 0.400000 0.300000

0.400000 0.500000 0.100000

0.400000 0.400000 0.200000

0.300000 0.500000 0.200000

0.366667 0.466667 0.166667

A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Pseudocomponents


42


Se recomienda el uso de pseudocomponentes para ajustar un modelo de mezclas. Los componentes originales tienen mayor multicolinearidadque los pseudocomponentes y esto puede tener un impacto en los estimados de coeficientes que se obtienen del método de cuadrados mínimos.


43

Restricciones Inferiores - Ejemplo

Se desea construir un modelo que incluya tres componentes y que responda a las siguientes restricciones:

x1 + x2 + x3 = 0.9Ejemplo:

0.3 < x1 0.2 < x2 0.2 < x3

2 repeticiones en los vértices– 3 repeticiones en el centroide


44


A B C y0.500000 0.200000 0.200000 32.50.300000 0.400000 0.200000 54.50.300000 0.200000 0.400000 64.00.400000 0.300000 0.200000 44.00.400000 0.200000 0.300000 63.20.300000 0.300000 0.300000 94.00.366667 0.266667 0.266667 112.50.433333 0.233333 0.233333 67.10.333333 0.333333 0.233333 73.00.333333 0.233333 0.333333 87.50.500000 0.200000 0.200000 3.90.300000 0.400000 0.200000 32.50.300000 0.200000 0.400000 78.50.366667 0.266667 0.266667 98.50.366667 0.266667 0.266667 103.6


45


Estimated Regression Coefficients fory (pseudocomponents)

Term Coef SE Coef T P VIFA 35.49 6.072 * * 1.608B 42.78 6.072 * * 1.608C 70.36 6.072 * * 1.608A*B 16.02 38.292 0.42 0.687 2.398A*C 36.33 38.292 0.95 0.370 2.398B*C 136.82 38.292 3.57 0.007 2.398A*B*C 854.98 229.183 3.73 0.006 3.535

S = 8.74215 PRESS = 3296.97R-Sq = 93.60% R-Sq(pred) = 65.50% R-Sq(adj) = 88.81%

Analysis of Variance for y (pseudocomponents)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 6 8946.4 8946.4 1491.06 19.51 0.000

Linear 2 2395.9 1420.8 710.38 9.30 0.008Quadratic 3 5486.9 1000.7 333.56 4.36 0.042Special Cubic 1 1063.6 1063.6 1063.62 13.92 0.006

Residual Error 8 611.4 611.4 76.43Lack-of-Fit 3 149.3 149.3 49.76 0.54 0.676Pure Error 5 462.1 462.1 92.42

Total 14 9557.8


46

Restricción Inferior - Ejemplo

A

0.3

0.5

B0.4

0.2

C0.4

0.2

y

50 - 6060 - 7070 - 8080 - 9090 - 100

<

> 100

4040 - 50


A0.50

0.20

0.2040

60

B

80

y

100

0.40 0.300.40

C



47



Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

100806040

2

1

0

-1

-2


Freq

uenc

y

2.01.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

151413121110987654321

2

1

0

-1

-2





48



Fitt

ed y

0.150.100.050.00-0.05-0.10

110

100

90

80

70

60

50

40

30

ComponentABC



49

Restricción Superior

En ocasiones solo existen restricciones del tipo Xi < Ui.Estos problemas pueden resultar en diseños tipo “simplex” o en diseños que no cumplen con esta configuración. En general la región experimental para este tipo de problema será un “simplex” invertido si

1min1

≤−∑=

UUq

ii


50


Ejemplox1 < 0.4 x2 < 0.5 x3 < 0.3

A

0.2

0.6

B0.7

0.3

C0.5

0.1


Simplex

Invertido


51


Ejemplox1 < 0.7 x2 < 0.5 x3 < 0.8

A

0

1

B1

0

C1

0


Región

Irregular


52

Restricciones en ambos lados

En estas situaciones la región experimental no será un “simplex”.En estos experimentos se consideran los vértices extremos de la región restringida por las combinaciones de las restricciones impuestas por los límites superior e inferior.


53


Ejemplo

08.003.050.010.050.010.060.040.0

1

4

3

2

1

4321

≤≤≤≤≤≤≤≤

=+++

xxxx

xxxx A

0.40

0.77

B0.47

0.10

C0.47

0.10

A

0.40

0.77

B0.47

0.10

D0.40

0.03

A

0.40

0.77

C0.47

0.10

D0.40

0.03

B

0.10

0.47

C0.47

0.10

D0.40

0.03

Hold ValuesA 0.4B 0.1C 0.1D 0.03

Matrix of Simplex Design Plots in Amounts


54


Ejemplo

20.013.010.007.030.020.0

5.0

3

2

1

321

≤≤≤≤≤≤=++

xxx

xxxA B C0.200 0.1000 0.20000.300 0.0700 0.13000.230 0.0700 0.20000.270 0.1000 0.13000.265 0.0700 0.16500.285 0.0850 0.13000.235 0.1000 0.16500.215 0.0850 0.20000.250 0.0850 0.16500.225 0.0925 0.18250.275 0.0775 0.14750.240 0.0775 0.18250.260 0.0925 0.1475


55


A

0.2

0.3

B0.17

0.07

C0.23

0.13


A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Pseudocomponents


56

Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes

El algoritmo XVERT utiliza el principio de diseño de que los puntos deben estar lo más “desparramados”posibles sobre la región experimental. Al utilizarseeste principio lo hacemos reconociendo que losestimados de coeficientes para el modelo de primer orden tendrán menor varianza y covarianza que silos puntos se posicionaran “juntitos” en la regiónexperimental.


57


Ejemplo:

0.40 < x1 < 0.80

0.10 < x2 < 0.50

0.10 < x3 < 0.30

Trataremos de localizar los vértices extremos de la regiónrestringida para estimar el modelo:

εβββ +++= 332211 xxxy


58


Pasos algoritmo de XVERT1. Ordene los componentes en orden ascendente de

rangos: Ui – Li

para el componente 1: 0.80 – 0.40 = 0.40para el componente 2: 0.50 – 0.10 = 0.40para el componente 3: 0.30 – 0.10 = 0.20

2. Haga una lista ordenada de los componentes x1 , x2 , x3 donde x1 es el componente con el rango menor.

231231 xXxXxX ===∴


59


3. Establezca un diseño usando los límites de los q – 1 = 2 componentes que tengan los rangos más pequeños. Existen2q-1 = 22 = 4 combinaciones.

L3 , L1 0.10, 0.40, 0.50

L3 , U1 0.10, 0.80, 0.50

U3 , L1 0.30, 0.40, 0.30

U3 , U1 0.30, 0.80, -0.10

donde X3 = 1 – (X1 + X2)


60


4. Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior estácontenido dentro de los límites aceptablesentonces la combinación es un vértice extremo de la región restringida. Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior radica fuera de los límitesaceptables, entonces se ajusta X3 igual al límiteinferior o superior, el que sea más cercano al valor calculado.


61

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas

Las variables de proceso son factores en un experimento que no forman parte de la mezcla pero cuyos niveles, cuando son alterados, pueden afectar las propiedades de mezclado de los ingredientes.Al definir la región de interés deben considerarse tanto los componentes de la mezcla así como las variables de proceso.


62


Uno de los enfoques más utilizados para trabajar con esta situación es el de conducir un diseño de mezcla para cada tratamiento del experimento factorial utilizado para las variables de proceso.De forma alternativa esto se puede visualizar como generar un experimento factorial en cada punto de diseño del experimento de mezcla.


63


(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

(3)

A

0

1

B1

0

C1

0

(4)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

X2 1

(3)

X1 -1X2 -1

(4)

X1 1

(1)

X2 -1

X1 -1X2 1

(2)

X1 1

Multiple Simplex Design Plot in Amounts


64


EjemploTres tipos de pescado fueron mezclados para formar un emparedado. Siete combinaciones de pescado fueron preparadas y cada combinación fue procesada usando dos temperaturas de horno.La variable respuesta utilizada fue la fuerza requerida para partir el emparedado.


65

Variables de Proceso en Experimentos con MezclasEjemplo

X1 X2 X3 Temperatura Fuerza

1 0 0 375 1.84

1 0 0 425 2.86

0 1 0 375 1.51

0 1 0 425 1.60

0 0 1 375 0.67

0 0 1 425 1.10

½ ½ 0 375 1.29

½ ½ 0 425 1.53

½ 0 ½ 375 1.42

½ 0 ½ 425 1.81

0 ½ ½ 375 1.16

0 ½ ½ 425 1.50

1/3 1/3 1/3 375 1.59

1/3 1/3 1/3 425 1.68


66


(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

(1)

X1 -1

(2)

X1 1

Multiple Simplex Design Plot in Amounts


67


Regression for Mixtures: Fuerza versus A, B, C, X1 Estimated Regression Coefficients for Fuerza)Term Coef SE Coef T P VIFA 2.334 0.1362 * * 1.599B 1.539 0.1362 * * 1.599C 0.869 0.1362 * * 1.599A*B -1.854 0.6259 -2.96 0.098 1.569A*C 0.306 0.6259 0.49 0.673 1.569B*C 0.756 0.6259 1.21 0.351 1.569A*X1 0.516 0.1362 3.79 0.063 1.599B*X1 0.051 0.1362 0.37 0.745 1.599C*X1 0.221 0.1362 1.62 0.246 1.599A*B*X1 -0.746 0.6259 -1.19 0.356 1.569A*C*X1 -0.786 0.6259 -1.26 0.336 1.569B*C*X1 0.044 0.6259 0.07 0.950 1.569•NOTE * Coefficients are calculated for coded•process variables.S = 0.193306 PRESS = 31.5662R-Sq = 97.59% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 84.36%

Analysis of Variance for Fuerza (component proportions)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 11 3.03067 3.03067 0.27552 7.37 0.125Component OnlyLinear 2 1.84853 2.15143 1.07572 28.79 0.034Quadratic 3 0.40761 0.40761 0.13587 3.64 0.223Component* X1Linear 3 0.66630 0.64436 0.21479 5.75 0.152Quadratic 3 0.10823 0.10823 0.03608 0.97 0.545

Residual Error 2 0.07473 0.07473 0.03737Total 13 3.10540


68


(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

(1)

X1 -1

(2)

X1 1

Fuerza

1.5 - 2.02.0 - 2.5

> 2.5

< 1.01.0 - 1.5

Multiple Mixture Contour Plot for Fuerza(component amounts)


69



Fitt

ed F

uerz

a

0.750.500.250.00-0.25-0.50

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

X1: -1 ComponentABC



70



Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

3.02.52.01.51.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0


Freq

uenc

y

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

4

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

1413121110987654321

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0



Residual Plots for Fuerza


71

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

X1

X2

X3

56 Tratamientos

Totales = 7 * 23


72

z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0) (1/3,1/3,1/3)

-1 -1 -1 1.84 0.67 1.51 1.29 1.42 1.16 1.59

1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68

-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94

1 1 -1 4.13 1.67 2.57 2.26 3.15 2.22 2.60

-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41

1 -1 1 2.32 0.97 2.12 1.45 1.93 1.28 1.54

-1 1 1 3.04 1.16 2.00 1.85 2.39 1.60 2.05

1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32



73

Estimated Regression Coefficients for C11 (component proportions)Term Coef SE Coef T P VIFA 2.8645 0.05203 * * 1.599B 1.0745 0.05203 * * 1.599C 2.0020 0.05203 * * 1.599A*B -0.9742 0.23914 -4.07 0.000 1.569A*C -0.8342 0.23914 -3.49 0.001 1.569B*C 0.3558 0.23914 1.49 0.147 1.569A*X1 0.4873 0.05203 9.37 0.000 1.599B*X1 0.1773 0.05203 3.41 0.002 1.599C*X1 0.2498 0.05203 4.80 0.000 1.599A*B*X1 -0.8014 0.23914 -3.35 0.002 1.569A*C*X1 -0.5314 0.23914 -2.22 0.033 1.569B*C*X1 -0.1314 0.23914 -0.55 0.587 1.569A*X2 0.7086 0.05203 13.62 0.000 1.599B*X2 0.2561 0.05203 4.92 0.000 1.599C*X2 0.4036 0.05203 7.76 0.000 1.599A*B*X2 -0.6614 0.23914 -2.77 0.009 1.569A*C*X2 -0.1214 0.23914 -0.51 0.615 1.569B*C*X2 -0.0064 0.23914 -0.03 0.979 1.569A*X3 -0.0878 0.05203 -1.69 0.101 1.599B*X3 -0.0803 0.05203 -1.54 0.133 1.599C*X3 0.0097 0.05203 0.19 0.853 1.599A*B*X3 0.1055 0.23914 0.44 0.662 1.569A*C*X3 -0.0195 0.23914 -0.08 0.935 1.569B*C*X3 -0.1845 0.23914 -0.77 0.446 1.569* NOTE * Coefficients are calculated for coded process variables.S = 0.147710 PRESS = 2.28771R-Sq = 97.68% R-Sq(pred) = 92.40% R-Sq(adj) = 96.01%



74


A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

C11

1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13

> 4.13

< 0.580.58 - 1.29

X1

X2

X3


75



Fit

ted

C1

1

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: 1X2: 1X3: 1

ComponentABC


Fit

ted

C1

1

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: -1X2: -1X3: -1

ComponentABC




76

Me

an

of

C1

1

1-1

2.1

1.8

1.5

1-1

1-1

2.1

1.8

1.5

X1 X2

X3

1

-1

1

-11-1

X3

X2

X1

2.49714

1.658571.22143

2.01286

2.65714

1.725711.35429

2.11571



77

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario

Como notamos en el ejemplo anterior a medida que el número de variables de proceso aumenta el número de condiciones experimentales aumenta en ocasiones a niveles prohibitivos.Cuando esto sucede se considera ejecutar experimentos que consideren solo una fracción de estas condiciones experimentales.Existen múltiples formas de efectuar estos experimentos fraccionarios con mezclas. Una de las mas utilizadas se basa en los conceptos estudiados para efectuar experimentos factoriales fraccionarios 2k.


78


El ejemplo de la página siguiente considera el experimento con 3 componentes y tres variables de proceso, cuando se establece solo una fracción de las condiciones experimentales efectuadas. Fundamentalmente se toma un fraccionario del 2k y se ejecutan los experimentos de mezclas en cada uno de esos puntos experimentales, según se muestra en la figura de siguiente página.


79

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

X1

X2

X3

28 Tratamientos

Totales = 7 * 23-1



80


z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0) (1/3,1/3,1/3)

1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68

-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94

-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41

1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32


81


Estimated Regression Coefficients for y (component proportions)Term Coef SE Coef T P VIFA 2.908 0.05549 * * 1.599B 1.043 0.05549 * * 1.599C 1.965 0.05549 * * 1.599A*B -1.126 0.25508 -4.42 0.012 1.569A*C -1.021 0.25508 -4.00 0.016 1.569B*C 0.559 0.25508 2.19 0.094 1.569A*X1 0.578 0.05549 10.41 0.000 1.599B*X1 0.148 0.05549 2.66 0.056 1.599C*X1 0.200 0.05549 3.61 0.023 1.599A*B*X1 -0.897 0.25508 -3.52 0.025 1.569A*C*X1 -0.872 0.25508 -3.42 0.027 1.569B*C*X1 0.078 0.25508 0.31 0.776 1.569A*X2 0.663 0.05549 11.95 0.000 1.599B*X2 0.213 0.05549 3.84 0.019 1.599C*X2 0.570 0.05549 10.28 0.001 1.599A*B*X2 -0.557 0.25508 -2.18 0.094 1.569A*C*X2 -0.422 0.25508 -1.66 0.173 1.569B*C*X2 -0.292 0.25508 -1.15 0.316 1.569A*X3 -0.027 0.05549 -0.49 0.650 1.599B*X3 -0.112 0.05549 -2.02 0.113 1.599C*X3 0.005 0.05549 0.10 0.928 1.599A*B*X3 0.134 0.25508 0.52 0.628 1.569A*C*X3 0.009 0.25508 0.03 0.975 1.569B*C*X3 0.129 0.25508 0.50 0.641 1.569S = 0.111407 PRESS = 20.9695R-Sq = 99.68% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 97.83%


82


A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

y

1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13

> 4.13

< 0.580.58 - 1.29

X1

X2

X3


83



Fit

ted

y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: 1X2: 1X3: 1

ComponentABC


Fit

ted

y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: -1X2: -1X3: -1

ComponentABC




84

Residual

Per

cent

0.100.050.00-0.05-0.10

99

90

50

10

1

Fitted Value

Res

idua

l

4321

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10

Residual

Freq

uenc

y

0.100.050.00-0.05-0.10

12

9

6

3

0

Observation Order

Res

idua

l

282624222018161412108642

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10






85

Experimentos factoriales con factores aleatorios

Hasta el momento hemos presumido que los factores en nuestros experimentos eran de naturaleza fija; esto es los niveles en que los factores fueron evaluados eran los niveles específicos de interés. En otras palabras, que nuestras inferencias estadísticas estaban limitadas a estos niveles específicamente.En algunas situaciones en la experimentación, el experimentador selecciona aleatoriamente los niveles de una población potencial de estos, con el fin de concluir sobre la población total de niveles sin limitarse a los niveles seleccionados para conducir el experimento. Cuando esto sucede, decimos que el factor es aleatorio.


86


Si consideramos un experimento con dos factores A y B donde los a, b niveles correspondientes son seleccionados aleatoriamente de un número grande de posibilidades, en donde se toman n repeticiones en un arreglo factorial, obtendremos el siguiente modelo lineal:

donde son variables aleatorias independientes que se presumen normales con promedio cero (0) y varianzas respectivamente. Por lo que la varianza de cualquier observación estará dada por :

donde los estimados de varianza son conocidos como los componentes de varianza.

( )yijk i j ij ijk= + + + +µ τ β τβ ε

( )τ β τβ εi j ij ijk, , y

σ σ σ στ β τβ2 2 2 2, , y

( )V yijk = σ σ σ στ β τβ2 2 2 2+ + +


87


En estos casos las hipótesis que resultan de interés son:

Los estimados de las sumas de cuadrados para las distintas fuentes de variación se obtendrán de la misma forma en que los estimamos hasta el momento (presumiendo factores fijos). Al introducir el concepto de factores aleatorios, lo que puede cambiar es la forma de conducir la prueba F; con esto nos referimos al cociente que consideraremos para realizar la misma. Para hacer esto correctamente es necesario considerar las medias cuadradas esperadas.

H H H02

02

020 0: : :σ σ στ β τβ= = = 0


88


Puede probarse (más adelante veremos cómo desarrollarlas) que las medias cuadradas para el experimento con dos factores A, B y la interacción son:

Entonces para probar usaríamos:

( )E MS n bnA = + +σ σ στβ τ2 2 2

( )E MS n anB = + +σ σ στβ β2 2 2

( )E MS nAB = +σ στβ2 2

( )E MS E = σ 2

H02 0:στβ =

FMSMS

AB

E0 =


89


porque bajo la hipótesis nula (H0) ambos términos tendrían valor esperado σ2 y se rechazaría solo si hubiese evidencia de que E(MSAB) es mayor que E(MSE). En cambio para probar

usaríamos el siguiente cociente:

Note que este cociente es distinto al que hubiésemos utilizado considerando ambos factores fijos. En los capítulos pasados como consecuencia de suponer que todos los factores eran fijos todas estas fuentes de variación se probaban contra el MSE. Como acabamos de mostrar, esto no es cierto en todos los casos. Por lo tanto, usaremos las medias cuadradas esperadas de guía para establecer correctamente nuestra prueba F.

H02 0:στ =

FMSMS

A

AB0 =


90


Estimar los componentes de varianza resulta de mucho interés en estos experimentos que contienen factores aleatorios. Considerando los estimados de las medias cuadradas estos componentes se obtienen:

Esta manera de estimar los componentes no garantiza la no negatividad de los mismos. Algunos autores presumen que la aportación de ese componente es cero (0) cuando sucede.

$

$

$

$

σ

σ

σ

σ

τβ

β

ττ

2

2

2

2

=

=−

=−

=−

MSMS MS

nMS MS

anMS MS

bn

E

AB E

B AB

AB


91

Reglas para obtener las medias cuadradas esperadas

Presentamos ahora un algoritmo para obtener las medias cuadradas esperadas para experimentos: factoriales balanceados, anidados o jerárquicos y anidados factoriales (estos últimos dos por estudiarse todavía). Las medias cuadradas esperadas nos permitirán determinar la estadística F para probar las hipótesis con respecto a los parámetros de interés.A continuación se describen los pasos del algoritmo y se describen usando un experimento con dos factores A y B donde el primero es fijo, el segundo aleatorio y donde los niveles son a y b respectivamente. Finalmente se presume que n, observaciones fueron tomadas en cada condición experimental.


92


1. Escriba los términos del modelo como filas en una tabla.

2. Escriba los suscritos del modelo como columnas en la tabla; encima de cada suscrito escriba F si el factor es fijo y R si esaleatorio. Además escriba los niveles correspondientes a cada factor (n para el suscrito del error).

Ai Bj

ABij ε(ij)k

a b n F R R i j k

Ai Bj

ABij ε(ij)k


93


3. Para cada término en el modelo escriba los niveles y/o número de observaciones en aquellos encasillados donde el suscrito de la fila no aparezca en la columna.

4. En aquellos suscritos que se encuentre en paréntesis en los términos del modelo, coloque un 1 en las columnas que pareen con estos.

a b n F R R i j k

Ai b n Bj a n

ABij n ε(ij)k

a b n F R R i j k

Ai b n Bj a n

ABij n ε(ij)k 1 1


94

Reglas para obtener las medias cuadradas esperadas5. Complete el resto de la tabla escribiendo 0 ó 1, dependiendo

de si el suscrito representa un factor fijo F, o aleatorio R, respectivamente.

6. Para obtener las medias cuadradas esperadas para cualquier término del modelo:

a. Cubra las entradas de la(s) columna(s) que contega(n) las letras del suscrito que no está(n) en paréntesis en el término del modelo (por ejemplo para Ai, cubra la columna i; para ε(ij)k, cubra la columna k).

a b n F R R i j k

Ai 0 b n Bj a 1 n

ABij 0 1 n ε(ij)k 1 1 1


95


b. Multiplique los restantes componentes de cada fila. Cada uno de estos productos es el coeficiente del término correspondiente en el modelo, siempre y cuando el suscrito del término también se encuentre en el término al cual se le está determinando su media de cuadrados esperada. La suma de estos coeficientes multiplicado por la varianza del término correspondiente (ó ) es la media de cuadrados esperada para el término. Por ejemplo para Ai cubrimos la columna i, los coeficientes en las columnas restantes están dados por bn, n, n y 1. Sin embargo la primera n no se utiliza porque corresponde al término Bj y en Ai este suscrito no se considera. Entonces la media de cuadrados esperada para A es:

bn nA ABφ σ σ+ + •2 21


96


Para todos los términos obtendríamos la siguiente tabla:

Note que usamos símbolos diferentes según la clasificación de las fuentes de variación: para los términos fijos usamos la notación mientras que para los términos aleatorios usamos . Aunque las reglas parecen ser complicadas, resultan muy fáciles de usar con un poco de práctica. Observe que en este caso tanto la interacción AB como el factor B se probarían contra el error al conducir la prueba F, mientras que el factor A se compararía con la suma de cuadrados de la interacción AB, como indican las flechas en la tabla.

a b n F R R i j k MCE (EMS)

Ai 0 b n σ σ φε2 2+ +n nbAB A

Bj a 1 n σ σε2 2+ na B

ABij 0 1 n σ σε2 2+ n AB

ε(ij)k 1 1 1 σε2


97

Reglas para obtener las medias cuadradas esperadas - Ejemplo

La viscosidad de una sustancia será determinada por cuatro (4) técnicos de laboratorio seleccionados aleatoriamente para una prueba. Material de cada una de cinco (5) máquinas de mezclado se embotella y se divide de forma tal que se proveen dos muestra para cada técnico. Las máquinas de mezclado son las únicas existentes en la facilidad y las muestras son asignadas a los técnicos de forma completamente aleatoria.


98


Paso por paso aquí se muestra como se obtienen las medias cuadradas esperadas:1.

2 y 3

Ti Mj

TMij ε(ij)k

4 5 2 R F R i j k

Ti 5 2 Mj 4 2

TMij 2 ε(ij)k


99


4.

5.

4 5 2 R F R i j k

Ti 5 2 Mj 4 2

TMij 2 ε(ij)k 1 1

4 5 2 R F R i j k

Ti 1 5 2 Mj 4 0 2

TMij 1 0 2 ε(ij)k 1 1 1


100


6.

Contrario a la vez pasada ahora T(técnicos) y la interacción TM se compararán contra la media cuadrada esperada del error y en este caso M (máquinas) se probaría contra las medias cuadradas de la interacción TM.En ocasiones no se puede obtener una prueba F exacta. El apéndice IV de estas notas muestra un ejemplo e indica una posible solución a este problema.

4 5 2 R F R i j k MCE (EMS)

Ti 1 5 2 σ σε2 210+ T

Mj 4 0 2 σ σ φε2 22 8+ +TM M

TMij 1 0 2 σ σε2 22+ TM

ε(ij)k 1 1 1 σε2


101

Diseños Jerárquicos o Anidados(Nested)

Considere el siguiente ejemplo. Usted está realizando un estudio en una planta embotelladora. En la misma existen cinco máquinas de llenado cada una de ellas con cuatro boquillas lo que permite llenar hasta un máximo de cuatro botellas simultáneamente como se muestra en el siguiente dibujo.

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Máquina 5

1 2 3 4


102


Resulta muy relevante entender que esta situación no se presta par realizar un experimento factorial con cinco niveles por máquina y cuatro niveles por boquilla. Esto es así porque las boquillas de cada máquina son distintas o pertenecen a cada máquina. En estos circunstancias llamamos al experimento, experimento jerárquico o anidado. Para realizar este experimento como uno factorial tendríamos que conducir el mismo de forma ilógica, cambiando las boquillas de máquinas para que éstas fuesen las mismas a través de todos los tratamientos. Como esto es prácticamente imposible, además conducir el experimento de esta manera nos brindaría información que no es muy útil para mejorar el proceso, la interacción entre máquinas y boquillas no existe en este tipo de experimento.


103


La siguiente tabla muestra las respuestas obtenidas (diferencia en ml del valor deseado) de un experimento en donde cuatro observaciones se hicieron en cada boquilla de cada máquina. Debido a que las boquillas de cada máquina no son las mismas algunos autores prefieren darle distintos identificadores a las boquillas, bajo este argumento en nuestro caso tendríamos boquillas identificadas del 1 al 20.

Máquina 1 2 3 4 5 Boquilla 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

6 13 1 7 10 2 4 0 0 10 8 7 11 5 1 0 1 6 3 3 2 3 10 4 9 1 1 3 0 11 5 2 0 10 8 8 4 7 0 7 0 9 0 7 7 1 7 4 5 6 0 5 6 8 9 6 7 0 2 4 8 8 6 9 12 10 9 1 5 7 7 4 4 3 4 5 9 3 2 0

El modelo matemático que describe un experimento de esta naturaleza está dado por:

y M Bijk i j i ijk= + + +µ ε( )


104


El paréntesis del suscrito de las boquillas indica que éstas pertenecen a cada máquina cuyo suscrito es el i. El siguiente es el ANOVA de MINITAB cuando consideramos las máquinas como un factor fijo mientras que las boquillas dado que las montadas en determinada máquina se selecciona de una selección de un conjunto potencial de boquillas es considerado un factor aleatorio.


105


Analysis of Variance (Balanced Designs) Factor Type Levels Values Maquinas fixed 5 1 2 3 4 5 Boquillas(Maquinas)random 4 1 2 3 4 Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Maquinas 4 45.07 11.27 0.60 0.670 Boquillas(Maquinas) 15 282.88 18.86 1.76 0.063 Error 60 642.00 10.70 Total 79 969.95 Source Variance Error Expected Mean Square component term (using unrestricted model) 1 Maquinas 2 (3) + 4(2) + Q[1] 2 Boquillas(Maquinas) 2.040 3 (3) + 4(2) 3 Error 10.700 (3)


106


Los grados de libertad para las boquillas son 15. La lógica que permite entender de donde provienen es la siguiente: existen 4 boquillas por máquina por lo tanto hay tres grados de libertad para las boquillas por máquina pero existen cinco de estas últimas para el total de 15 grados de libertad. MINITAB nos brinda las medias cuadradas esperadas indicando como se efectuarán las pruebas F. El cuadrado de las medias para las máquinas será comparado contra el cuadrado de las medias para boquillas mientras que éste último se comparará con el cuadrado de las medias del error. Este análisis nos brinda en forma global la contribución de las máquinas y las boquillas, sin embargo la información que realmente nos interesa es la de saber si hay diferencias entre las máquinas y si dentro de cada máquina hay diferencia en sus boquillas, porque esto sería lo que podemos mejorar en el proceso.


107


La diferencia en máquinas puede concluirse del ANOVA presentado y considerando el valor p diríamos que no existe. De forma global las boquillas se encuentran en una zona de indecisión si consideramos un error Tipo I entre un 5 y un 10%, pero como señalamos lo relevante es distinguir diferencias en las boquillas dentro de las máquinas. Para lograr esto todo lo que necesitamos es realizar un ANOVA para un solo factor por máquina donde los tratamientos pasan a ser las boquillas. Mostraremos como la suma de cuadrados global para las boquillas corresponde a la suma de boquillas por máquina cuando consideramos las cinco máquinas. A continuación los cinco análisis descritos:


108

Diseños Jerárquicos o Anidados (Nested)O ne-W ay Analysis of Variance Máquina 1 Analysis of Variance for Respuest Source DF SS MS F P Boquilla 3 50.2 16.7 1.19 0.354 Error 12 168.3 14.0 Total 15 218.4 O ne-W ay Analysis of Variance Máquina 2 Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Boquilla 3 126.19 42.06 4.32 0.028 Error 12 116.75 9.73 Total 15 242.94

O ne-W ay Analysis of Variance Máquina 3 Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Boquilla 3 74.75 24.92 3.22 0.062 Error 12 93.00 7.75 Total 15 167.75

O ne-W ay Analysis of Variance Máquina 4 Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Boquuill 3 6.5 2.2 0.16 0.924 Error 12 167.5 14.0 Total 15 174.0

O ne-W ay Analysis of Variance Máquina 5 Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Boquilla 3 25.25 8.42 1.05 0.407 Error 12 96.50 8.04 Total 15 121.75


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Diseños Jerárquicos o Anidados (Nested)

Podemos observar que las sumas de cuadrados para las Boquillas por cada Máquinai (i = 1,…5) resultaron ser: 50.2, 126.19, 74.75, 6.5 y 25.25 respectivamente. La suma de todas éstas corresponde a la suma global para Boquillas del ANOVA original (282.88). Podemos entonces construir un ANOVA desglosado que nos brindaría una información de mayor utilidad. La misma se presenta a continuación:

Analysis of Variance (Balanced Designs) Analysis of Variance for respuest Source DF SS MS F P Maquinas 4 45.07 11.27 0.60 0.670 Boquillas(Maquinas) 15 282.88 18.86 1.76 0.063 Boquilla 1 3 50.2 16.7 1.56 0.208 Boquilla 2 3 126.18 42.06 3.93 0.013 Boquilla 3 3 74.75 24.92 2.33 0.083 Boquilla 4 3 6.5 2.2 0.21 0.889 Boquilla 5 3 25.25 8.42 0.79 0.504 Error 60 642.00 10.70 Total 79 969.95

De este análisis podemos apreciar que las Boquillas en las Máquinas 2 y 3 son significativas al 10%. Conociendo esta información podemos concentrarnos en la solución del problema.


110

Experimentos de cuadrantes o parcelas partidas (Split-Plot)

En muchos experimentos donde un arreglo factorial es deseable, es posible que no pueda conducirse el mismo de forma completamente aleatoria. Considere el siguiente ejemplo para aclarar este concepto. La temperatura T y el tiempo de horneado H son factores de interés al analizar el largo de vida Y, de componentes electrónicos. Suponga que el experimento evaluará cuatro niveles de temperatura ( 580, 600, 620 y 640 °F) mientras que tres niveles de tiempo de horneado (5, 10 y 15 min.) serán considerados. Para conducir este experimento como uno factorial, tendríamos que seleccionar una combinación de las cuatro temperaturas y los tres tiempos de forma aleatoria, colocar un componente en el horno por el tiempo seleccionado y proseguir de esta manera hasta que todas las observaciones fuesen realizadas. Conducir el experimento de esta forma resulta no muy práctico y a la misma vez muy costoso. Existen experimentos que puede manejar tratamientosque ocurren de forma simultánea, como se desea en esta situación, aún con algunas restricciones en la aleatoriedad. A estos experimentos los llamamos parcelas o cuadrantes partidas/os.


111


Una forma lógica de conducir el experimento antes descrito sería seleccionar una de las cuatro temperaturas del horno de forma aleatoria y colocar tres componentes cuyos tiempos de horneado sería asignados aleatoriamente pero que estarían siendo tratados de forma concurrente. En otras palabras, a una temperatura dada los tres componentes son puestos en el horno por tres períodos de tiempo distintos. En este caso la temperatura actúa como cuadrante o parcela mientras que el tiempo es el que parte la parcela. Luego la temperatura se ajusta a otro nivel y se repite este procedimiento hasta que las cuatrotemperaturas sean consideradas, a esto le llamamos una réplica del experimento. El experimento se completa efectuando algunas de estas repeticiones.


112


La siguiente tabla muestra el esquema de un experimento como el que acabamos de describir.

Temperatura Réplica Tiempo 580 600 620 640

I 5 10 15

II 5 10 15

III 5 10 15


113


El modelo que describe este experimento está dado por:

donde Ri, Tj y TIk son los efectos de las réplicas, las temperaturas y los tiempos de horneado respectivamente. Se pudiera pensar que el efecto de tiempo en este experimento se encuentra anidado dentro de las temperaturas, pero esto no es así ya que los mismos niveles de tiempo se efectúan en todas las temperaturas.

y R T RT TI RTI TTI RTTIijk i j ij

parcela completa

k ik jk ijk

parcela partida

= + + + + + + +µ

1 244 344 1 244444 344444


114


La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos de un experimento conducido en la forma descrita.

Temperatura Réplica Tiempo 580 600 620 640

I 5 10 15

217 233 175

158 138 152

229 186 155

223 227 156

II 5 10 15

188 201 195

126 130 147

160 170 161

201 181 172

III 5 10 15

162 170 213

122 185 180

167 181 182

182 201 199


115


El resultado de efectuar el procedimiento de <<BalancedAnova >> en MINITAB produce el siguiente resultado.

Analysis of Variance (Balanced Designs) Factor Type Levels Values Replica random 3 1 2 3 Temperat fixed 4 580 600 620 640 Tiempo fixed 3 5 10 15 Analysis of Variance for Respuest Source DF SS MS F P Replica 2 1962.7 981.4 * * Temperat 3 12494.3 4164.8 14.09 0.004 Replica*Temperat 6 1773.9 295.7 * * Tiempo 2 566.2 283.1 0.16 0.856 Replica*Tiempo 4 7021.3 1755.3 * * Temperat*Tiempo 6 2600.4 433.4 1.79 0.185 Replica*Temp*Tiempo 12 2912.1 242.7 * * Error 0____________ Total 35 29331.0


116


Donde las medias cuadradas esperadas se presentan a continuación y explican la forma de conducir las distintas pruebas F para los efectos en el experimento.

Note que el error no es estimable en este experimento. El efecto de temperatura se prueba contra la interacción de (réplica x temperatura), mientras que el efecto del tiempo se prueba contra la interacción de (réplica x tiempo). Finalmente la interacción de los dos factores de interés: (temperatura x tiempo) se prueba contra la interacción de los tres efectos (réplica x temperatura x tiempo) según muestran las flechas en la tabla. En algunos casos no es posible realizar una prueba F exacta, pero esto no es de mucha pero esto no debe ser de mucha preocupación dado que el efecto de las réplicas no es de primordial interés, más bien su efecto es como de bloque, se introduce con la idea fundamental de reducir el error experimental.

Source Variance Error Expected Mean Square component term (using restricted model) 1 Replica 61.56 7 (8) + 12(1) 2 Temperat 3 (8) + 3(3) + 9Q[2] 3 Replica*Temperat 17.66 7 (8) + 3(3) 4 Tiempo 5 (8) + 4(5) + 12Q[4] 5 Replica*Tiempo 378.16 7 (8) + 4(5) 6 Temperat*Tiempo 7 (8) + 1(7) + 3Q[6 ] 7 Replica*Temp*Tiemp 242.67 (8) + 1(7) 8 Error (8)


117

Metodología de Superficie de Respuestas

En las pasadas secciones nos hemos concentrado en diseñar experimentos para construir modelos que nos permitan entender elcomportamiento de la variable observada en el espacio de inferencia de los factores alterados en el experimento. Estos modelos nos han provisto de información referente a las propiedades del sistema bajo estudio, los signos y las magnitudes de los coeficientes así como la presencia o ausencia de las interacciones en los procesos bajo estudio. En muchas ocasiones eso es todo lo que queremos obtener de estosmodelos. En ocasiones estos modelos se utilizan para optimizar o mejorar los procesos. Las técnicas que utilizamos para alcanzar estos objetivos las denominamos como métodos de superficie de respuesta. En estas ocasiones utilizamos esta colección de técnicas matemáticas para modelar y analizar problemas donde la respuesta de interés es influenciada por múltiples variables y cuyo objetivo es optimizar la respuesta.


118


El diseño experimental, el método para construir modelos y la secuencia de experimentación a utilizarse en búsqueda de una región de mejoramiento para el proceso o sistema se conoce como el método de máxima pendiente en ascenso (‘steepest ascent method’). El tipo de diseño utilizado son los discutidos en las secciones anteriores, factoriales y fraccionarios 2K con y sin puntos centrales etc. La estrategia envuelve una búsqueda de regiones mejoradas por lo que se espera que sea necesario una secuencia de experimentos. Se comienza por presumir que en la región de operación actual un modelo de primer orden es una aproximación razonable del sistema cuando consideramos x1, x2, ……, xK variables.


119


El método de la máxima pendiente ascendente consiste de los siguientes pasos:

1. Ajuste un modelo de primer orden. Los experimentos factoriales con dos niveles y puntos centrales son muy recomendados para lograr esto.

2. Determine el paso de máxima pendiente en ascenso si se quiere optimizar la respuesta.

3. Conduzca corridas experimentales a lo largo del paso determinado hasta un punto en donde el mejoramiento desaparece. Esto ocurrirá en regiones donde el modelo obtenido ya no tenga mucho carácter predictivo.

4. En alguna localización, en donde una aproximación de la respuesta máxima/mínima se localiza existe base para un modelo de segundo orden.

Este procedimiento constituye solo una guía veremos como en ocasiones tendremos que tomar algunas determinaciones de tipo estadístico y otras de tipo ingenieril.


120


Ejemplo: Se quiere encontrar el ajuste de tiempo y temperatura que producen el máximo rendimiento de un proceso químico. Las condiciones actuales del proceso presentan un tiempo de 75 minutos y una temperatura de 130°C. Los ingenieros están dispuestos a experimentar en la siguiente región: 70 < Tiempo < 80 y 127.5 < Temperatura < 132.5. Se decide usar un diseño factorial 22 con tres puntos centrales. La siguiente tabla muestra las variables naturales, las variables codificadas y la respuesta obtenida de un experimento como el descrito.

Variables Naturales Variables Codificadas y Tiempo Temperatura X1 X2 rendimiento

70 127.5 -1 -1 54.3 80 127.5 1 -1 60.3 70 132.5 -1 1 64.6 80 132.5 1 1 68.0 75 130..0 0 0 60.3 75 130.0 0 0 64.3 75 130.0 0 0 62.3


121


El resultado del análisis proporcionado por MINITAB para el Ejemplo se presenta de inmediato.

Fractional Factorial FitEstimated Effects and Coefficients for respuest Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 62.0143 0.6335 97.89 0.000 A 4.7000 2.3500 0.8381 2.80 0.068 B 9.0000 4.5000 0.8381 5.37 0.013 A*B -1.3000 -0.6500 0.8381 -0.78 0.495 Analysis of Variance for respuest Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2 103.090 103.090 51.5450 18.35 0.021 2-Way Interactions 1 1.690 1.690 1.6900 0.60 0.495 Residual Error 3 8.429 8.429 2.8095 Curvature 1 0.429 0.429 0.4286 0.11 0.775 Pure Error 2 8.000 8.000 4.0000 Total 6 113.209


122


Del mismo se desprende que un modelo lineal parece razonable ya que solo los efectos lineales para ambos factores A y B son significativos (los gráficos que se presentan a continuación comprueban estos hallazgos analíticos). Tanto la interacción como el efecto de curvatura resultan no significativos en este modelo. Así que es posible establecer el paso de máxima pendiente ascendente.

BA

1-1 1-1

66

64

62

60

58

resp

uest

Main Effects for respuestCenterpoint


123


-1 1-1 1

1 1-1-1

65

60

55

B

A

Mea

n

Interaction Plot for respuest

Centerpoint

68.0

60.3

64.6

54.3

62.3B

A

1-1

1

-1

Cube Plot - Means for respuestCenterpointFactorial Point


124


De nuestro análisis se desprende que el modelo matemático que describe nuestra respuesta en esta región está dado por:

Por lo tanto, a partir de este modelo queremos movernos más rápidamente en X2 que en la variable X1 porque con la evidencia presente, este movimiento deberá aumentar nuestra respuesta que es el objetivo de este ejercicio. Este movimiento debe ser cercano al perímetro de experimentación original que es donde nuestro modelo es válido. Por esta razón se recomienda dar un paso de 1 en términos de la variable codificada para el factor de mayor impacto en la respuesta y un paso de una fracción para las variables restantes. Esta fracción comúnmente se determina usando

y =62.01 + 2.35 X1 + 4.50 X2

∆Xbbi

i

j

=$

| $ |


125


donde es el coeficiente de la variable i y es el coeficiente mayor del modelo. Para el ejemplo entonces se realiza un paso de 1 en la variable X1 por cada 2.35/4.50 = 0.52en X2. Entonces decimos que ∆X1 = 0.52 y ∆X2 = 1. En variables naturales esto corresponde a:

ε

ε

1

2

102

052 75 77 6

52

1 130 132 5

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =

( . ) .

( ) .


126


El paso en ambas variables se toma en la dirección positiva ya que sus correspondientes coeficientes eran positivos y queremos aumentar la respuesta. Si el objetivo hubiese sido disminuir se tomaría el paso de mejoramiento en la dirección contraria. Gráficamente la dirección de pendiente máxima ascendente se muestra a continuación.

-1(70)

+1(80)

0(75)

X1

-1 (127.5)

+1 (132.5)

X2 0 (130.0)

(77.6, 132.5)


127


Establecido el paso, podemos ejecutar observaciones en esa dirección hasta que no exista más evidencia de mejoramiento. Regularmente esto se comprueba cuando la respuesta consecutiva de dos experimentos no presenta mejoría. La siguiente tabla muestra resultados de realizar estos tratamientos.

La tabla de forma esquemática muestra que hasta 82.8 y 137.5 para tiempo y temperatura respectivamente la respuesta fue aumentando y en los últimos dos pasos las misma disminuyó. Así que el tratamiento referido se convierte en nuestro nuevo punto central para el siguiente experimento de primer orden., que consistirá en un nuevo experimento 22 con puntos centrales y el análisis comenzará de nuevo. De acuerdo al procedimiento de la pendiente máxima en ascenso seguiremos en esta secuencia hasta que un modelo de primer orden no sea razonable para explicar el comportamiento de la variable respuesta en la región experimental.

Variables Naturales Variables Codificadas y Tiempo Temperatura X1 X2 Rendimiento

75 130 0 0 62.3 (promedio) 77.6 132.5 .52 1 73.3 80.2 135.0 1.04 2 82.8 137.5 1.56 3 86.8 85.4 140.0 2.08 4 88.0 142.5 2.60 5 58.2


128


El procedimiento de Superficie de Respuesta exige construir un nuevo experimento con punto central igual al tratamiento hasta donde la respuesta fue mejorada en este caso Tiempo = 83 y Temperatura = 137.5. El nuevo experimento con sus correspondientes respuestas se presenta en la siguiente tabla.

Tiempo Temperatura X1 X2 respuesta 78 135 -1 -1 78 88 135 1 -1 84.5 78 140 -1 1 91.2 88 140 1 1 77.4 83 137.5 0 0 89.7 83 137.5 0 0 86.8 83 137.5 0 0 87.0 83 137.5 0 0 86.0


129


Los resultados del análisis usando MINITAB son los siguientes:Factorial Design Full Factorial Design Factors: 2 Base Design: 2, 4 Runs: 8 Replicates: 1 Blocks: none Center pts (total): 4 All terms are free from aliasing Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for respuest Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 85.175 1.205 70.67 0.000 A -4.050 -2.025 1.705 -1.19 0.301 B 2.650 1.325 1.705 0.78 0.480 A*B -9.750 -4.875 1.705 -2.86 0.046 Analysis of Variance for respuest Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2 23.425 23.4250 11.713 1.01 0.442 2-Way Interactions 1 95.063 95.0625 95.063 8.18 0.046 Residual Error 4 46.487 46.4875 11.622 Curvature 1 38.720 38.7200 38.720 14.95 0.031 Pure Error 3 7.768 7.7675 2.589 Total 7 164.975


130


De este análisis podemos observar que la curvatura es significativa, indicando con esto que un modelo de primer orden en esta región no es muy aconsejable. Esto también podría notarse del análisis de residuales para los factores. Aquímostramos el mismo para el factor A.

10-1

5

4

3

2

1

0

-1

-2

A

Resi

dual

Residuals Versus A(response is respu)


131


Note que los residuales para los puntos centrales están al lado superior de esta gráfica indicando que el modelo no aproxima muy bien este comportamiento.Añadimos los puntos axiales para construir el modelo de segundo orden. En variables codificadas estos corresponden a los siguientes tratamientos:

El análisis correspondiente a las 12 observaciones (22 + 4 puntos centrales + 4 puntos axiales) se presenta a continuación.

X1 X2 y -1.41 0 83.3 1.41 0 81.2

0 1.41 79.5 0 1.41 79.5


132

Metodología de Superficie de RespuestasCentral Composite Design Central Composite Design Factors: 2 Blocks: none Center points: 4 Runs: 12 Alpha: 1.414 Response Surface Regression The analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for respuest Term Coef StDev T P Constant 87.375 1.0018 87.216 0.000 A -1.384 0.7084 -1.953 0.099 B 0.362 0.7084 0.511 0.628 A*A -2.144 0.7920 -2.707 0.035 B*B -3.094 0.7920 -3.906 0.008 A*B -4.875 1.0018 -4.866 0.003 S = 2.004 R-Sq = 88.7% R-Sq(adj) = 79.2% Analysis of Variance for respuest Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 188.189 188.189 37.638 9.38 0.008 Linear 2 16.366 16.366 8.183 2.04 0.211 Square 2 76.760 76.760 38.380 9.56 0.014 Interaction 1 95.063 95.063 95.063 23.68 0.003 Residual Error 6 24.088 24.088 4.015 Lack-of-Fit 3 16.320 16.320 5.440 2.10 0.279 Pure Error 3 7.768 7.768 2.589 Total 11 212.277


133


Se puede apreciar del análisis que en esta región experimental los componentes cuadráticos de ambos factores son significativos, asícomo la interacción, por lo que obviamente un modelo lineal no sería capaz de describir adecuadamente lo que sucede con el rendimiento en esta vecindad. Regularmente se utilizan dos gráficos para estudiar los efectos en la región, a uno le llamamos el gráfico de superficie y al otro el gráfico de contornos. Ambos se presentan de forma consecutiva.

-1.5

70

-1.0 -1.5-0.5

80

-1.0

respuesta

-0.50.0

90

0.00.5A 0.51.0 B1.01.5 1.5


134


La respuesta aumenta según A (Tiempo) se acerca a sus niveles bajos mientras que la Temperatura la interesamos en valores altos. Una nueva suma de cuadrados para la carencia de ajuste (‘lack of fit’) aparece en nuestro análisis. Esta de ser significativa indicaría que un modelo de orden mayor es necesario. En este caso no lo es dado la magnitud de su valor p. Si las pruebas de idoneidad del modelo cumplen con las presunciones de Anova sabemos que tenemos un modelo que explica muy bien la respuesta en esta región y que debemos estar cerca de un óptimo aunque sea local.

73 78 83 88

10-1

1

0

-1

A

B

Contour Plot of respuest


135

Diseños Robustos

El diseño robusto es esencialmente un principio que hace énfasis en seleccionar adecuadamente los niveles de los factores controlables en el proceso para la manufactura de productos. El principio de la selección de los niveles está basado principalmente en la variación alrededor de un valor nominal (deseado) preestablecido para el proceso bajo estudio. Se presume que la mayoría de la variabilidad alrededor del valor nominal se debe a la presencia de un segundo conjunto de factores llamado factores de ruido.


136

Diseños Robustos

Estos experimentos se le atribuyen al profesor Genichi Taguchiquien recomendó hacer uso de estos factores de ruido durante las etapas de desarrollo y experimentación para buscar los niveles de los factores controlables que hacen el proceso insensible a los factores de ruido de forma tal que se pueda disminuir la variabilidad que estos últimos causan en el proceso. El profesor Taguchi se refiere a este problema como el problema de diseño de parámetros (‘Parameter Design’), el incluye las siguientes cuatro ideas como fundamentales a la hora de atacar el mismo:

1. Además de entender el efecto en el promedio (localización), la varianza es importante.

2. Debido a lo anterior es importante entonces modelar la varianza.3. Existen dos tipos de variables: variables de control y factores de

ruido.4. Es importante 8incluir los factores de ruido en el experimento.


137

Diseños Robustos

La metodología de Taguchi para los diseños robustos envuelve el uso de diseños ortogonales donde se cruza un diseño ortogonal que contiene los factores controlables con un arreglo ortogonal constituido por los factores de ruido. Por ejemplo en un 22 X 22, el experimento 22 para los factores controlables es llamado el arreglo interno (‘inner array’) y el 22 para los factores de ruido se le conoce como arreglo externo (‘outer array’). Esto resulta en un diseño de 16 tratamientos conocido como arreglo cruzado (‘crossed array’). La figura que sigue muestra este tipo de arreglo.


138

Diseños Robustos

Los círculos sin sombrear representan el arreglo interno para los factores controlables. Los puntos sombreados representan las localizaciones de las observaciones.


139

Diseños Robustos

El arreglo cruzado comienza con dos diseños experimentales, uno para las variables de ruido y el otro para las variables controlables. Cada diseño individual es regularmente eficiente porque cuando el número de factores aumenta se puede considerar uno fraccionario. El producto de ambos (diseño cruzado) muchas veces no produce un diseño muy económico. Como veremos existen diseños, ya conocidos por nosotros que resultan en experimentos más eficientes que los cruzados en número de tratamientos y en información obtenida. La dificultad con los arreglos cruzados puede explicarse por medio de los grados de libertad.


140

Diseños Robustos

Considere el experimento donde un arreglo interno 23-1 para los factores A, B, C se cruza con otro 23-1 para los factores D, E y F en el arreglo externo. Esto resulta en 16 tratamientos con el siguiente desglose de grados de libertad:

Efecto Grados de Libertad

Efecto Grados de Libertad

A 1 D 1 B 1 E 1 C 1 F 1

AD 1 CD 1 AE 1 CD 1 AF 1 CF 1 BD 1 BE 1 BF 1


141

Diseños Robustos

Note que todos los grados de libertad son para los efectos principales y para las interacciones de los factores controlables x factores de ruido. Ningún grado de libertad permite estimar las interacciones dentro de los factores controlables y/o dentrode los factores de ruido. Esto representa una desventaja de los diseños cruzados. Las interacciones que son estimables son importantes pero estos diseños descartan muchas otras que resultan de interés y podrían llevarnos a conclusiones incorrectas. Por las razones expuestas muchos autores han sugerido el incorporar factores controlables y factores de ruido dentro de un mismo experimento fraccionario. El siguiente ejemplo muestra este concepto junto con el análisis de las variables que explican la localización y las variables que afectan la dispersión.


142

Diseños Robustos

Ejemplo: En una planta de manufactura se producen piezas plásticas usando el proceso de moldeo por inyección. En la producción regular se ha encontrado que las piezas sufren un encogimiento excesivo. El personal de la planta identificó siete variables del proceso para ser utilizadas en el estudio. Las cuatro variables controlables son: temperatura de moldeo (A), velocidad (B), tiempo (C) y tolerancia del pasante (‘Gate Size’) (D). Las variables que no se controlan en la manufactura rutinaria son: tiempo de ciclo (E), contenido de humedad (F) y presión de aguante (‘Holding Pressure). Se decide por un experimento fraccionario 27-3 con cuatro puntos centrales en vez del diseño cruzado propuesto por Taguchi. Usando E=ABC, F=BCD y G=ACD obtenemos los siguientes tratamientos que se presentan a continuación con sus respectivas respuestas.


143

Diseños RobustosA B C D E F G respuesta

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 6 1 -1 -1 -1 1 -1 1 10 -1 1 -1 -1 1 1 -1 32 1 1 -1 -1 -1 1 1 60 -1 -1 1 -1 1 1 1 4 1 -1 1 -1 -1 1 -1 15 -1 1 1 -1 -1 -1 1 26 1 1 1 -1 1 -1 -1 60 -1 -1 -1 1 -1 1 1 8 1 -1 -1 1 1 1 -1 12 -1 1 -1 1 1 -1 1 34 1 1 -1 1 -1 -1 -1 60 -1 -1 1 1 1 -1 -1 16 1 -1 1 1 -1 -1 1 5 -1 1 1 1 -1 1 -1 37 1 1 1 1 1 1 1 52 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 29 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 27


144

Diseños Robustos

Debido a que se efectuó una observación por tratamiento es posible usar el gráfico sugerido por Daniels para detectar los efectos significativos. El mismo se presenta en la figura que sigue.

3020100

1

0

-1

Standardized Effect

Norm

al S

core

AB

A

B

Normal Probability Plot of the Standardized Effects

A: AB: BC: CD: DE: EF: FG: G


145

Diseños Robustos

Notamos que los efectos A, B y AB afectan el promedio o localización del proceso. La normalidad de los residuales parece ser adecuada como muestra la siguiente gráfica de probabilidad normal.

210-1-2

2

1

0

-1

-2

-3

Normal Score

Resi

dual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is respuest)


146

Diseños Robustos

El gráfico de los residuales contra los niveles del factor C nos indica que parece existir una diferencia en la varianza, esto loobservamos del siguiente gráfico.

10-1

5

0

-5

C

Res

idua

l

Residuals Versus C(response is respu)


147

Diseños Robustos

Una nueva estadística se sugiere para determinar que factores afectan significativamente la varianza. La misma está dada por:

donde representa el estimado de varianza del efecto en el nivelsuperior basado en el residual de las observaciones y tendría el mismo significado solo que en el nivel inferior de cada efecto. Note que sencillamente esta estadística compara los estimados de varianza para cada nivel de cada efecto, en ANOVA esto se presumía como constante.

FSSi

i

i

* ln( )( )

=+−

2

2


148

Diseños Robustos

Usando los residuales como los datos para esta nueva estadística obtenemos los siguientes Fi

* para cada efecto:

Efecto Si ( )+ 2 Si ( )− 2 Fi*

A 3.80 4.59 -0.38 B 4.01 4.41 -0.18

AB 4.33 4.10 0.11 C 5.70 1.63 2.50

AC 3.68 4.52 0.41 AE 3.85 4.33 -0.24 E 4.17 4.25 -0.03 D 4.64 3.59 0.51

AD 3.39 2.75 0.42 BD 4.0 4.41 -0.18

ABD 4.72 3.64 0.52 AG 3.64 3.64 0.51 G 3.65 3.65 0.23 F 3.12 3.12 -0.30

AF 4.52 4.52 0.72


149

Diseños RobustosDonde sobresale el factor C. Los autores sugieren hacer un nuevo gráfico de probabilidad normal para la estadística Fi

*. , que indicaría C como el único factor afectando la varianza. Así que el modelo de dos etapas determina que A, B y AB afectan el promedio mientras que C afecta la variabilidad. Para hacer el proceso insensible debemos colocar el factor C en su nivel bajo lo que redunda en una menor dispersión como muestra la siguiente representación gráfica:

56.0

60.0

10.0

11.0

31.5

33.0

10.0

7.0

29.75

C

B

A 1-1

1

-1

1

-1

Cube Plot - Means for RespuestCenterpointFactorial Point

R=2 R=2

R=11

R=8R=11

R=2

R=12

R=0

Documents

Experimentos con Mezclas - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/dgonzalez/6046/INTROEXPMEZCLAS.pdfExperimentos con Mezclas |Para los experimentos que hemos estudiado