Extra 4 Pengantar Teori Modul...Serta diberikan pula operasi biner (disebut pergandaan skalar) *:R×→MM. Himpunan M disebut modul kiri atas R (dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id

1

Extra 4

Pengantar Teori Modul

Apabila selama ini dikenalkan suatu konsep aljabar mengenai ruang vektor, maka modul

merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, syarat skalar diperumum menjadi elemen

pada suatu ring dan bukan lapangan. Dengan demikian ruang vektor merupakan suatu kasus

khusus dari modul dan karena sifat modul yang lebih luas dari ruang vektor maka ada berbagai

sifat-sifat trivial pada ruang vektor menjadi non-trivial pada modul. Untuk mengawali

pembahasan mengenai modul, berikut diberikan definisi tentang modul kanan dan modul kiri.

1. Pengertian Umum Modul dan Submodul

Definisi E4.1 (Modul Kiri)

Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi biner (disebut

pergandaan skalar) *: R M M× → . Himpunan M disebut modul kiri atas R

(dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :

1. 1 2 1 2*( ) * *r m m r m r m+ = + , 1 2,m m M∀ ∈ r R∀ ∈

2. 1 2 1 2( )* * *r r m r m r m+ = + , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈

3. 1 2 1 2( )* *( * )r r m r r m⋅ = , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈ .

Contoh E4.2

Diberikan ruang vektor 3 dan himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran 3x3

11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

x ij

a a aM a a a a

a a a

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

Diberikan pula operasi biner 3 33 3*: xM × → sebagai operasi pergandaan matriks dengan

vektor.


2

Diketahui 3 adalah grup Abelian dan 3 3xM adalah ring. Serta operasi pergandaan matriks

dengan vektor adalah operasi biner. Akan ditunjukkan bahwa ketiga aksioma dipenuhi.

Menggunakan sifat pergandaan matriks dengan vektor :

1. Untuk sebarang matriks 11 12 13

21 22 23 3 3

31 32 33

x

a a aa a a Ma a a

⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan vektor 1 1

32 2

3 3

,x yx yx y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 1 1 11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 2 21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 3 31 32 33 3 31 32 33 3

a a a x y a a a x a a a ya a a x y a a a x a a a ya a a x y a a a x a a a y

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Untuk sebarang matriks 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 3 3

31 32 33 31 32 33

, x

a a a b b ba a a b b b Ma a a b b b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan vektor 1

32

3

xxx

⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 11 12 12 13 13 1 11 12 13 1 11 12 13 1

21 21 22 22 23 23 2 21 22 23 2 21 22 23 2

31 31 32 32 33 33 3 31 32 33 3 31 32 33 3

a b a b a b x a a a x b b b xa b a b a b x a a a x b b b xa a a b a b x a a a x b b b x

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. Untuk sebarang matriks 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 3 3

31 32 33 31 32 33

, x

a a a b b ba a a b b b Ma a a b b b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan vektor 1

32

3

xxx

⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12 13 11 12 13 1 11 12 13 11 12 13 1

21 22 23 21 22 23 2 21 22 23 21 22 23 2

31 32 33 31 32 33 3 31 32 33 31 32 33 3

a a a b b b x a a a b b b xa a a b b b x a a a b b b xa a a b b b x a a a b b b x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟

Akibatnya 3 = 3 3xM −Modul.

Diperhatikan bahwa operasi pergandaan 3 dengan 3 3xM pada contoh diatas dapat berlaku

karena vektor dari 3 direpresentasikan sebagai matriks vertikal. Bagaimana jika vektor pada 3 direpresentasikan sebagai matriks horizontal? Jelas bahwa jika vektor pada 3

direpresentasikan sebagai matriks horizontal maka operasi pergandaan pada contoh diatas tidak


3

dapat berlaku. Namun 3 dengan vektornya sebagai matriks horizontal tetap dapat menjadi

modul atas ring 3 3xM jika operasi pergandaannya diubah, yakni matriks dioperasikan dengan

vektor dari sisi kanan. Dari contoh tersebut dapat dinyatakan suatu definisi baru.

Definisi E4.3 (Modul Kanan)

Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi pergandaan

skalar *: M R M× → . Himpunan M disebut modul kanan atas R

(dinotasikan M Modul-R), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :

1. 1 2 1 2( )* * *m m r m r m r+ = + , 1 2,m m M∀ ∈ r R∀ ∈

2. 1 2 1 2*( ) * *m r r m r m r+ = + , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈

3. ( )1 2 21*( ) * *m r r m r r⋅ = , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈ .

Akan tetapi tidak menutup kemungkinan bahwa operasi pergandaan skalar pada modul

dapat berlaku dari kiri dan sekaligus dari kanan. Sifat modul dengan operasi pergandaan tersebut

dapat dinyatakan sebagai definisi.

Definisi E4.4 (Bi-Modul)

Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Jika M adalah modul kiri sekaligus modul

kanan atas R maka M disebut Bi-Modul.

Contoh E4.5

Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul dengan ring dan operasi

pergandaan perkalian bilangan bulat.

Jika ring pada modul merupakan ring dengan elemen satuan, maka dapat dimunculkan

suatu definisi baru.

Definisi E4.6 (Modul Uniter Kiri)

Diketahui M R-Modul dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kiri jika

dan hanya jika untuk setiap m M∈ berlaku 1 *R m m= dengan 1R merupakan elemen satuan di

R.


4

Definisi E4.7 (Modul Uniter Kanan)

Diketahui M Modul-R dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kanan

jika dan hanya jika untuk setiap m M∈ berlaku *1Rm m= dengan 1R merupakan elemen

satuan di R.

Contoh E4.8

Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul Uniter dengan ring dan operasi

pergandaan perkalian bilangan bulat.

Untuk mempermudah penulisan, notasi a b∗ akan ditulis ab . Harap diperhatikan bahwa

untuk seterusnya pembahasan mengenai modul di tulisan ini mengacu kepada modul uniter kiri

dan dengan penalaran yang serupa pembahasan dapat diterapkan juga pada modul uniter kanan.

Selanjutnya, akan diperkenalkan suatu struktur dari suatu modul yang disebut submodul.

Definisi E4.9 (Submodul)

Diketahui M R-Modul, R ring dengan elemen satuan, dan N M⊆ , maka N disebut submodul

dari M jika dan hanya jika ketiga aksioma berikut dipenuhi:

1. N merupakan subgrup Abelian dari M

2. Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N

3. N memenuhi aksioma-aksioma modul uniter.

Jika N merupakan submodul dari M, maka N dapat dinyatakan sebagai R-Modul.

Contoh E4.10

Pada −Modul, himpunan 3 merupakan submodul dari .

Untuk selanjutnya, ring R pada M R-Modul diasumsikan sebagai ring dengan elemen satuan.


5

Teorema berikut dapat dipergunakan untuk menelaah apakah suatu himpunan merupakan

submodul.

Teorema E4.11

Diketahui M R-Modul dan N M⊆ , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika

memenuhi dua syarat berikut:

1. 1 2n n N− ∈ , 1 2,n n N∀ ∈

2. rn N∈ , n N∀ ∈ r R∀ ∈

Bukti.

( )⇒

Diketahui bahwa N adalah submodul dari modul M. Dengan demikian N adalah subgrup Abelian

dari M dan akibatnya untuk setiap 1 2,n n N∈ , berlaku 1 2n n N− ∈ . Karena operasi pergandaan

skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N, maka untuk setiap n N∈ dan r R∈ , berlaku

rn N∈ .

( )⇐

Karena untuk setiap 1 2,n n N∈ berlaku 1 2n n N− ∈ , maka menurut Teorema 1.19 N merupakan

subgrup Abelian dari M. Selanjutnya, karena rn N∈ untuk setiap n N∈ dan r R∈ maka

operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N. Terakhir, karena N merupakan himpunan

bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N maka aksioma-aksioma

modul uniter di M juga berlaku di N. Jadi, N merupakan submodul dari M.

Jika diketahui dua submodul dari suatu modul, maka dapat dibentuk submodul baru dari

kedua submodul tersebut. Teorema berikut menyatakan hal tersebut.

Teorema E4.12

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M, maka kedua sifat

berikut berlaku:

1. H K∩ merupakan submodul dari M

2. H K+ merupakan submodul dari M.


6

Bukti.

(1)

Akan ditunjukkan H K∩ adalah submodul dari M, yaitu H K∩ memenuhi Teorema E4.11.

Diambil sebarang 1 2,n n H K∈ ∩ maka 1 2,n n H∈ dan 1 2,n n K∈ . Karena H dan K adalah

submodul, maka 1 2n n H− ∈ dan 1 2n n K− ∈ . Akibatnya 1 2n n H K− ∈ ∩ . Selanjutnya, diambil

sebarang r R∈ , karena H dan K adalah submodul maka 1 2,rn rn H∈ dan 1 2,rn rn K∈ .

Akibatnya 1 2,rn rn H K∈ ∩ .

Jadi, terbukti bahwa H K∩ merupakan submodul dari M.

(2)

Akan ditunjukkan H K+ adalah submodul dari M, yaitu H K+ memenuhi Teorema E4.11.

Diperhatikan bahwa { } dan H K h k h H k K+ = + ∈ ∈ . Diambil sebarang 1 2,n n H K∈ + , maka

1 1 1n h k= + dan 2 2 2n h k= + untuk suatu 1 2,h h H∈ dan 1 2,k k K∈ . Karena H dan K adalah

submodul maka 1 2h h H− ∈ dan 1 2k k K− ∈ . Akibatnya

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n h k h k h h k k H K− = + − + = − + − ∈ + . Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ .

Karena H dan K adalah submodul, maka 1rh H∈ dan 1,rk K∈ . Akibatnya

1 1 1 1 1( )rn r h k rh rk H K= + = + ∈ + .

Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul dari M.

Contoh E4.13

Diberikan ring polinomial dengan peubah x dan koefisiennya bilangan bulat, [ ]x . Karena

adalah ring dengan elemen satuan maka [ ]x juga ring dengan elemen satuan. Karena ring

dengan elemen satuan adalah grup Abelian maka [ ]x adalah -Modul dengan operasi

pergandaan skalar dengan polinomial.


7

Diambil sub-himpunan dari [ ]x , yaitu 0

[ ] ii i

in x a x a n

∞

=

⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ . Akan ditunjukkan bahwa

[ ]n x adalah submodul dari [ ]x . Diambil sebarang , [ ]x y n x∈ maka 0

ii

ix a x

∞

=

=∑ dan

0

ii

iy b x

∞

=

=∑ untuk ,i ia b n∈ , sehingga 0 0 0

( )i i ii i i i

i i ix y a x b x a b x

∞ ∞ ∞

= = =

− = − = −∑ ∑ ∑ untuk suatu

i ia b n− ∈ , akibatnya [ ]x y n x− ∈ . Untuk sebarang m∈ dan 0

ii

ix a x

∞

=

=∑ ,

0 0( )i i

i ii i

mx m a x ma x∞ ∞

= =

= =∑ ∑ untuk suatu ima n∈ , akibatnya [ ]mx n x∈ .

Diperhatikan bahwa 2 [ ]x dan 5 [ ]x merupakan submodul dari [ ]x . Dengan demikian

menurut Teorema E4.12 berlaku:

1. 2 [ ] 5 [ ] 10 [ ]x x x∩ =

2. 2 [ ] 5 [ ] [ ]x x x+ =

Diperhatikan bahwa 2 [ ] 5 [ ]x x∪ bukanlah submodul dari M. Karena untuk 2 2 [ ]x x∈ dan

5 5 [ ]x x∈ , 5 2 3 2 [ ] 5 [ ]x x x x x− = ∉ ∪ .

Dari definisi-definisi beserta teorema-teorema diatas dapat diperoleh kesimpulan sebagai

berikut:

1. Setiap ring merupakan modul atas dirinya sendiri, yaitu jika R ring maka R R-Modul.

2. Jika R dipandang sebagai R-Modul, maka setiap ideal pada R merupakan submodul di R.

3. Setiap ruang vektor merupakan modul.

Untuk contoh-contoh selanjutnya, submodul pada -Modul akan selalu berbentuk n

dengan n merupakan bilangan bulat. Untuk menujukkan kebenaran pernyataan ini dapat

menggunakan sifat Daerah Ideal Utama, yaitu setiap ideal pada dibangun oleh tepat satu

elemen. Terkait dengan pembangun suatu submodul, subbab selanjutnya akan membahas

pembangun suatu submodul.


8

2. Modul Faktor dan Homomorfisma

Misalkan diketahui M R-Modul. Karena M grup Abelian, maka sebarang subgrup dari M

juga merupakan grup Abelian. Misalkan N merupakan sebarang subgrup dari M. Karena N

subgrup Abelian, maka N merupakan subgrup normal terhadap M, yaitu aN Na= untuk setiap

a M∈ . Dengan demikian menurut Teorema E3.17, { }M N a N a M= + ∈ merupakan grup

terhadap operasi biner ( ) ( ) ( )a N b N a b N+ + + = + + . Karena M grup Abelian, maka jelas

bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a N b N a b N b a N b N a N+ + + = + + = + + = + + + . Jadi, M N merupakan

grup Abelian terhadap operasi penjumlahan koset.

Teorema E4.14

Diketahui M R-Modul, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka

M N R -Modul terhadap operasi pergandaan koset ( ) ( )r a N ra N+ = + untuk setiap r R∈

dan aN M N∈ . Selanjutnya, M N disebut dengan modul faktor.

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset diatas merupakan operasi biner. Pertama

akan ditunjukkan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang

, a N b N M N+ + ∈ dengan a N b N+ = + . Menggunakan sifat kesamaan dua koset diperoleh

a b N− ∈ . Karena N submodul, maka untuk sebarang r R∈ berlaku, ( )r a b ra rb N− = − ∈ .

Dengan kata lain ( ) ( )ra N rb N+ = + , sesuai dengan definsi operasi pergandaan koset

( ) ( )r a N r b N+ = + . Terbukti operasi ini terdefinisi dengan baik. Kedua, operasi ini tertutup

karena ra M∈ untuk sebarang r R∈ dan a M∈ dan dengan demikian berlaku

( ) ( )r a N ra N M N+ = + ∈ . Jadi, operasi pergandaan koset merupakan operasi biner.


9

Terakhir, diberikan sebarang , a N b N M N+ + ∈ dan 1 2, ,r r r R∈ . Akan ditunjukkan bahwa

operasi pergandaan koset memenuhi aksioma pergandaan skalar :

1.

2.

3.

4.

Jadi, terbukti bahwa M N merupakan modul atas R.

Contoh E4.15

Pada -Modul dapat dipilih submodul 6 dan dibentuk grup abelian

{ }6 0 6 , 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6= + + + + + + . Himpunan 6 merupakan modul

atas dengan operasi pergandaan skalar ( ) ( )6 6r a ra+ = + untuk setiap r∈ dan

6 6a + ∈ .

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

r a N b N r a b N

r a b N

ra rb N

ra N rb N

r a N r b N

+ + + = + +

= + +

= + +

= + + +

= + + +

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

r r a N r r a N

r a r a N

r a N r a N

r a N r a N

+ + = + +

= + +

= + + +

= + + +

( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( )

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

r r a N r r a N

r r a N

r r a N

r r a N

+ = +

= +

= +

= +

( ) ( )1 1.

R Ra N a Na N

+ = +

= +


10

Modul faktor merupakan salah satu sifat yang digunakan pada pembahasan mengenai

teorema utama homomorfisma. Berikut diberikan pengertian mengenai homomorfisma, yaitu

suatu pemetaan dari suatu modul ke modul lain yang “mengawetkan” sifat-sifat operasi

pergandaan skalar di kedua modul.

Definisi E4.16 (Homomorfisma Modul)

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul. Pemetaan : 'M Mφ → disebut homomorfisma modul

jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:

1. 1 2 1 2( ) ( ) ( )m m m mφ φ φ+ = + , untuk setiap 1 2,m m M∈

2. ( ) ( )rm r mφ φ= , untuk setiap m M∈ dan r R∈ .

Contoh E4.17

Diketahui dan [ ]x keduanya merupakan -Modul. Pemetaan [ ]: xφ → dengan definisi

( ) 3a axφ = merupakan homomorfisma modul, karena

1. ( ) 3 3 3( ) ( ) ( )a b a b x ax bx a bφ φ φ+ = + = + = + , untuk setiap ,a b∈

2. ( ) ( )3( ) ( )ra ra x r ax r aφ φ= = = , untuk setiap a∈ dan r∈ .

Berikut diberikan lemma mengenai sifat-sifat homomorfisma modul.

Lemma E4.18

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka

keempat sifat berikut berlaku:

1. Jika 0M merupakan elemen identitas di M, maka ( ) '0 0M Mφ =

2. Jika a M∈ , maka ( ) ( )a aφ φ− = −

3. Jika H merupakan sumodul dari M, maka ( )Hφ merupakan submodul dari 'M

4. Jika 'K merupakan submodul dari 'M , maka ( )1 'Kφ− merupakan submodul dari M.


11

Bukti.

(1)

Misalkan 0M merupakan elemen identitas di M, yaitu 0 0M Ma a a+ = + = untuk setiap a M∈ .

Karena 0 0M Ma a a+ = + = , maka berlaku ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ+ = + = . Karena φ

homomorfisma, maka diperoleh:

i. ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ+ = + = dan

ii. ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ+ = + = .

Jadi, diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ φ+ = + = untuk setiap a M∈ dan dengan demikian

( ) '0 0M Mφ = yaitu elemen identitas di 'M .

(2)

Diambil sebarang a M∈ dan dengan demikian diperoleh ( ) ( ) 0Ma a a a+ − = − + = . Karena

( ) ( ) 0Ma a a a+ − = − + = , maka berlaku ( )( ) ( )( ) ( )0Ma a a aφ φ φ+ − = − + = . Karena φ

homomorfisma dan menurut (1) berlaku ( ) '0 0M Mφ = , maka diperoleh:

i. ( )( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ+ − = + − = dan

ii. ( )( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ− + = − + = .

Jadi, diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ φ+ − = − + = untuk setiap a M∈ dan dengan demikian

berlaku ( ) ( )a aφ φ− = − .

(3)

Diambil sebarang ( ),a b Hφ∈ , maka ( )a xφ= dan ( )b yφ= untuk suatu ,x y H∈ .

Diperhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b x y x y x yφ φ φ φ φ− = − = + − = − . Karena H submodul dan

,x y H∈ , maka menurut Teorema E4.11 berlaku x y H− ∈ dan dengan demikian

( ) ( )a b x y Hφ φ− = − ∈ . Diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa ( ) ( )ra r x rxφ φ= = .

Karena H submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku rx H∈ dan dengan demikian

( ) ( )ra rx Hφ φ= ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa ( )Hφ merupakan submodul.


12

(4)

Diambil sebarang ( )1, 'a b Kφ−∈ , maka ( ) 1a kφ = dan ( ) 2b kφ = untuk suatu 1 2, 'k k K∈ . Karena

'K submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku 1 2 'k k K− ∈ dan dengan demikian

( ) ( ) ( )1 2 'k k a b a b Kφ φ φ− = − = − ∈ . Sehingga berlaku ( )1 'a b Kφ−− ∈ . Diambil sebarang

r R∈ dan diperhatikan bahwa ( ) ( )1rk r a raφ φ= = . Karena 'K submodul, maka menurut

Teorema E4.11 berlaku ( )1 'rk ra Kφ= ∈ dan dengan demikian ( )1 'ra Kφ−∈ . Jadi, menurut

Teorema E4.11 terbukti bahwa ( )1 'Kφ− merupakan submodul.

Berikut diberikan definisi mengenai Kernel dan Image suatu homomorfisma beserta sifat-

sifatnya.

Definisi E4.19 (Kernel dan Image Homomorfisma)


1. Kernel φ = { }'( ) 0Mm M mφ∈ = dan

2. Image φ = { }( ) 'm M m Mφ ∈ ∈ .

Selanjutnya, kernel φ dinotasikan ( )ker φ .

Contoh E4.20

Pada Contoh E4.17 diketahui ( ) { }ker 0φ = dan ( ) { }3image ax aφ = ∈ .

Lemma E4.21


1. ( )ker φ merupakan submodul dari M dan

2. ( )image φ merupakan submodul dari 'M .

Bukti.

Diperhatikan bahwa ( )ker φ bukan himpunan kosong, karena ( )0 kerM φ∈ . Selanjutnya, diambil

sebarang ( )1 2, kerk k φ∈ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka berlaku,


13

1 2 1 2 ' ' '( ) ( ) ( ) 0 0 0M M Mk k k kφ φ φ− = − = − = dan dengan demikian ( )1 2 kerk k φ− ∈ . Terakhir

diambil sebarang r R∈ dan ( )kerk φ∈ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka

' '( ) ( ) 0 0M Mrk r k rφ φ= = = dan dengan demikian ( )kerrk φ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11

( )ker φ merupakan submodul dari M.

Diperhatikan bahwa ( )image φ bukan himpunan kosong karena ( )'0 imageM φ∈ . Selanjutnya,

diambil sebarang ( ), imagex y φ∈ . Maka 1( )x mφ= dan 2( )y mφ= untuk suatu 1 2,m m M∈ .

Karena φ adalah homomorfisma modul maka 1 2 1 2( ) ( ) ( )x y m m m mφ φ φ− = − = − . Karena M

modul, maka 1 2m m M− ∈ dan dengan demikian ( )1 2( ) imagex y m mφ φ− = − ∈ . Terakhir

diambil sebarang r R∈ dan ( )imagex φ∈ , maka ( )x mφ= untuk suatu m M∈ . Karena φ

adalah homomorfisma modul, maka ( ) ( )rx r m rmφ φ= = . Karena M modul, maka rm M∈ dan

dengan demikian ( ) ( )imagerx rmφ φ= ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11 ( )image φ merupakan

submodul dari 'M .

Definisi mengenai isomorfisma berikut, akan mengawali pembahasan mengenai Teorema

Utama Homomorfisma Modul.

Definisi E4.22 (Isomorfisma)

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul. Jika

φ adalah pemetaan bijektif, yaitu φ pemetaan injektif sekaligus surjektif, maka pemetaan φ

disebut isomorfisma modul.

Contoh E4.23

Diketahui -Modul, maka pemetaan :ϕ → dengan ( )a aϕ = − , untuk setiap a∈

merupakan isomorfisma modul.


14

Teorema E4.24

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul

dengan ( )ker Hφ = . Maka pemetaan ( ): M H Mμ ϕ→ yang didefinisikan ( ) ( )a H aμ φ+ =

untuk setiap a H M H+ ∈ merupakan isomorfisma modul.

Bukti.

Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.13.

Teorema E4.25

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul

dengan ( )ker Hφ = . Maka pemetaan : M M Hγ → yang didefinisikan ( )a a Hγ = + untuk

setiap a M∈ merupakan homomorfisma surjektif.

Bukti.


Dari Teorema E4.24 dan E4.25, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut:

1. Diketahui M dan 'M merupakan R-Modul

2. Diketahui : 'M Mφ → homomorfisma modul

3. Diketahui ( ) 'M Mφ ⊆

4. Dari Teorema E4.14, diperoleh ( )kerM φ merupakan R-Modul

5. Dari Teorema E4.25, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari M ke

( )kerM φ

6. Dari Teorema E4.24, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari ( )kerM φ ke ( )Mφ .

Diperhatikan langkah 4, 5, dan 6. Jika a M∈ , maka untuk memetakan elemen a ke 'M melalui

suatu pemetaan homomorfisma modul, tidak harus melalui pemetaan φ . Dari langkah 4, 5, dan

6, untuk memetakan elemen a ke 'M dapat pula melalui pemetaan γ dan μ yang keduanya

merupakan pemetaan homomorfisma modul. Pertama, elemen a dipetakan terlebih dahulu ke

grup ( )kerM φ melalui pemetaan γ , hasil petanya adalah ( )aγ . Selanjutnya, elemen ( )aγ


15

dipetakan ke ( ) 'M Mφ ⊆ melalui pemetaan μ , hasil petanya adalah ( )( ) ( )( )a aμ γ μ γ= .

Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut elemen a tidak langsung dipetakan ke 'M melalui

pemetaan φ , melainkan harus “singgah sejenak” di modul ( )kerM φ untuk kemudian dipetakan

ke 'M melalui pemetaan μ γ . Tetapi yang terpenting adalah modul ( )kerM φ dan ( )Mφ

isomorfis, yaitu ada suatu isomorfisma dari ( )kerM φ ke ( )Mφ . Sifat tersebut dapat

dinyatakan ke dalam sebuah teorema.

Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 1)


terdapat suatu isomorfisma modul dari ( )kerM φ ke ( )Mφ .

Jika φ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh ( ) 'M Mφ = dan Teorema E4.26

dapat berubah menjadi seperti berikut.

Teorema E4.27

Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul yang

surjektif, maka terdapat suatu isomorfisma modul dari ( )kerM φ ke 'M .

Teorema Utama Homomorfisma Modul pada dasarnya merupakan kasus khusus dari

Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring. Karena itu terdapat juga Teorema ke-2 dan ke-3

mengenai Teorema Utama Homomorfisma Modul. Pembuktian untuk kedua teorema tersebut

serupa dengan pembuktian untuk Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring.


Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M, maka terdapat

suatu ismomorfisma modul dari ( )H N N+ ke ( )H H N∩ .

Bukti.



16


Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M. Jika H juga

submodul dari N, maka terdapat suatu ismomorfisma modul dari M N ke ( ) ( )M H N H .

Bukti.


Teorema E4.30


untuk sebarang submodul 'K dari 'M berlaku:

1. Submodul ( )1 'Kφ− memuat ( )ker φ .

2. Jika terdapat submodul H dari M yang memuat ( )ker φ dan ( ) 'H Kφ = maka

( )1 'K Hφ− = .

Bukti.

(1)

Karena '0 'M M∈ , elemen identitas di 'M , termuat pada 'K maka ( )1 'Kφ− memuat setiap

anggota M yang dipetakan ke '0M . Dengan kata lain ( )1 'Kφ− memuat ( )ker φ .

(2)

Misalkan H merupakan submodul dari M dengan ( )ker Hφ ⊆ dan ( ) 'H Kφ = .

Karena ( ) 'H Kφ = , maka jelas bahwa ( )1 'H Kφ−⊆ . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa

( )1 'K Hφ− ⊆ . Diambil sebarang 'k K∈ .

Karena ( )1 'K Hφ− = dan ( )( )1 ' 'K Kφ φ− = , maka ( ) ( )k h xφ φ= = , untuk suatu h H∈ dan

( )1 'x Kφ−∈ . Karena ( ) ( )h xφ φ= , maka diperoleh ( ) ( ) '0 'Mh x Kφ φ− = ∈ .

Karena φ homomorfisma, diperoleh ( ) ( ) ( )h x h xφ φ φ− = − . Dengan demikian, ( ) '0Mh xφ − =

atau dengan kata lain ( )kerh x φ− ∈ . Karena ( )ker Hφ ⊆ , akibatnya h x H− ∈ . Karena h H− ∈


17

dan h x H− ∈ , akibatnya ( ) ( ) 0Mh h x h h x x x H− + − = − + − = − = − ∈ . Karena x H− ∈ dan H

submodul, maka x H∈ . Karena pemilihan k sebarang dan ( ) 'H Kφ = , berakibat ( )1 'K Hφ− ⊆ .

Jadi, karena berlaku ( )1 'H Kφ−⊆ dan ( )1 'K Hφ− ⊆ , maka ( )1 'K Hφ− = .

Teorema E4.31 (Teorema Korespondensi)

Diketahui M dan 'M dan , H K , serta N merupakan submodul dari M. Jika submodul H dan K

memuat N dan berlaku H N K N= , maka H K= .

Bukti.

Karena N merupakan submodul dari M, maka menurut Teorema E4.14 M N merupakan R-

Modul. Dibentuk homomorfisma : M M Nφ → , dengan definisi ( )a a Nφ = + untuk setiap

a M∈ dan jelas bahwa ( )ker Nφ = . Diperhatikan bahwa φ merupakan pemetaan surjektif,

karena untuk sebarang a N M N+ ∈ dapat dipilih x M∈ dengan x a= sehingga ( )a a Nφ = + .

Karena H dan K merupakan submodul dari M dan φ merupakan pemetaan surjektif, maka jelas

bahwa ( )H H Nφ = dan ( )K K Nφ = . Karena submodul H memuat ( )kerN φ= dan

( )H H N K Nφ = = , maka menurut Teorema E4.32 (ii) berakibat ( )1 K N Hφ− = . Karena

( )1 K N Kφ− = , maka diperoleh H K= .

Contoh E4.32

Pada -Modul, akan ditunjukkan bahwa ( )m

n mn≅ dengan m dan n saling relatif

prima. Diperhatikan dahulu bahwa

1. a b d+ = , dengan ( )gcd ,d a b=

2. a b c∩ = , dengan ( )lcm ,c a b=

dengan gcd merupakan faktor persekutuan terbesar dan lcm merupakan kelipatan persekutuan

terkecil. Selanjutnya, dimisalkan N n= dan H m= . Karena m dan n saling relatif prima,

maka ( )gcd , 1n m = dan ( )lcm ,n m mn= . Dengan demikian H N m n+ = + = dan


18

( )H N m n mn∩ = ∩ = . Sehingga menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 3

diperoleh ( )( )

H N HN H N

+ ≅ ⇔∩ ( )m

n mn≅ .

3. Elemen Torsi dan Annihilator

Sesuai definisi modul, suatu ring dengan elemen satuan dapat dipandang sebagai modul

atas dirinya sendiri. Diperhatikan pada kasus ketika ring tersebut memuat elemen pembagi nol.

Ingat kembali bahwa elemen pembagi nol pada suatu ring adalah elemen a dan b yang keduanya

tidak nol dengan 0ab = . Keberadaan elemen pembagi nol ini akan memunculkan sifat pada

modul yang tidak terdapat pada ruang vektor. Hal tersebut dikarenakan skalar pada ruang vektor

merupakan elemen lapangan yang setiap elemennya bukan merupakan pembagi nol.

Definisi E4.33 (Elemen Torsi)

Diberikan M R-Modul, elemen m M∈ disebut elemen torsi jika dan hanya jika terdapat

{ }0Rr R∈ − sehingga 0Mrm = . Dengan demikian 0M M∈ merupakan elemen torsi.

Definisi E4.34 (Modul Torsi)

Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul torsi jika dan hanya jika setiap elemennya

merupakan elemen torsi.

Definisi E4.35 (Modul Bebas Torsi)

Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul bebas torsi jika dan hanya jika M memiliki tepat

satu elemen torsi, yaitu 0M M∈ .

Contoh E4.36

Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan juga atas dirinya sendiri. Jika 8

dipandang sebagai -Modul, maka seluruh elemen pada 8 merupakan elemen torsi dan

dengan demikian 8 merupakan modul torsi. Karena dapat dipilih 8∈ sehingga

( )8 8 0 8a + = + untuk setiap 8 8a + ∈ . Jika 8 dipandang sebagai modul atas


19

dirinya sendiri, maka elemen torsinya adalah 0 8 , 2 8 , 4 8 , dan 6 8+ + + + . Diperhatikan

bahwa dengan mengganti ring yang menyertai modul, maka elemen-elemen torsi dapat berubah.

Dari definisi elemen torsi, jika diberikan suatu M R-Modul maka dapat dihimpun semua

elemen torsi pada modul M tersebut. Misalkan TM merupakan himpunan seluruh elemen torsi

modul M. Teorema-teorema berikut menyatakan sifat himpunan TM .

Teorema E4.37

Diketahui M R-Modul dan TM himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,

maka TM merupakan submodul dari M.

Bukti.

Diambil sebarang 1 2, Tm m M∈ , maka terdapat { }1 2, 0Rr r R∈ − sehingga 1 1 2 2 0Mr m r m= = . Akan

ditunjukkan 1 2 Tm m M− ∈ . Karena R adalah daerah integral, maka R tidak memuat elemen

pembagi nol yaitu untuk setiap { }1 2, 0Rr r R∈ − , berlaku 1 2 0Rr r ≠ . Dengan demikian dapat dipilih

{ }3 1 2 0Rr r r R= ∈ − , sehingga 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )r m m r m r m r r m r r m− = − = − .

Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga

1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0M M Mr r m r r m r r m r r m r r m r r m r r− = − = − = − = .

Sehingga diperoleh 1 2 Tm m M− ∈ .

Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan Tm M∈ . Akan ditunjukkan Trm M∈ . Karena Tm M∈

maka terdapat { }0 0Rr R∈ − sedemikian sehingga 0 0Mr m = . Karena R adalah daerah integral

maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 0M Mr rm r r m rr m r r m r= = = = = .

Sehingga diperoleh Trm M∈ .

Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa TM merupakan submodul dari M .


20

Teorema E4.38

Diketahui M R-Modul dan TM himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,

maka TM M merupakan modul bebas torsi.

Bukti.

Menurut Teorema E4.37, karena R daerah integral maka TM adalah submodul atas M sehingga

menurut Teorema E4.14 TM M adalah R-Modul. Andaikan TM M memiliki elemen torsi

0T M Tm M M+ ≠ + , maka terdapat { }0 0Rr R∈ − sehingga ( ) 0T M Tr m M M+ = + . Karena

( ) 0T T M Tr m M rm M M+ = + = + , akibatnya Trm M∈ . Karena Trm M∈ , maka terdapat

{ }0Rs R∈ − sedemikian sehingga ( ) ( ) 0Ms rm sr m= = . Karena R adalah daerah integral, maka

0Rsr ≠ , akibatnya 0Mm = dan dengan kata lain 0T M Tm M M+ = + .

Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa 0T M Tm M M+ ≠ + . Sehingga yang benar

TM M modul bebas torsi.

Jika elemen torsi merupakan elemen pada modul, maka dari kondisi 0Mrm = juga dapat

dihimpun elemen pada ring yang menyebabkan kondisi tersebut berlaku.

Definisi E4.37 (Annihilator)

Diberikan M R-Modul dan X M⊆ . Annihilator atas X, dinotasikan dengan ( )ann X ,

didefinisikan sebagai ( ) { }0 untuk setiap Mann X r R rx x X= ∈ = ∈ .

Contoh E4.38

Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan { }2 8 , 6 8X = + + maka

( )ann 4X =


21

Lemma E4.39

Diberikan M R-Modul dan X M⊆ , maka ( )ann X merupakan ideal kiri di R.

Bukti.

Diambil sebarang ( ), anna b X∈ , maka 0Max bx= = untuk setiap x X∈ . Dengan demikian

( ) 0 0 0M M Ma b x ax bx− = − = − = untuk setiap x X∈ . Sehingga diperoleh ( )anna b X− ∈ .

Diambil sebarang r R∈ , diperhatikan bahwa ( ) ( ) 0 0M Mra x r ax r= = = untuk setiap x X∈ dan

dengan demikian ( )annra X∈ . Jadi, ( )ann X merupakan ideal kiri di R.

Akibat E4.40

Diberikan M R-Modul dan X M⊆ . Jika R ring komutatif, maka ( )ann X merupakan ideal kiri

sekaligus ideal kanan di R.

Untuk selanjutnya, ideal yang dimaksud pada tulisan ini merupakan ideal kiri yang juga

merupakan ideal kanan.

4. Pembangun Submodul dan Modul Bebas

Apabila diketahui X merupakan suatu himpunan bagian dari M R-Modul, maka dapat

dibentuk suatu submodul dari M yang dibangun oleh X. Submodul tersebut merupakan

submodul terkecil dari M yang memuat X. Definisi berikut menyatakan hal tersebut.

Definisi E4.41 (Submodul yang Dibangun oleh X)

Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Submodul N merupakan submodul yang dibangun oleh X

jika dan hanya jika I

N I∈

=∩I

dengan { } submodul dari I M X I= ⊆I .

Untuk selanjutnya, submodul yang dibangun oleh X dinotasikan dengan X .


22

Contoh E4.42

Pada -Modul, dipilih himpunan { }2, 4,6X = ⊂ . Karena submodul pada berbentuk

n maka submodul-submodul dari yang memuat X adalah 2 dan sendiri, dengan

demikian { }2 , =I . Sehingga submodul yang dibangun oleh X adalah 2 2∩ = .

Teorema E4.43

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka H K+

merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.

Bukti.

Pada Teorema E4.12 telah dinyatakan bahwa H K+ merupakan submodul dari M. Diperhatikan

bahwa untuk sebarang h H∈ dapat dipilih 0Mk = sehingga 0Mh h h k H K= + = + ∈ + dan

dengan demikian H H K⊆ + . Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa

K H K⊆ + dan dengan demikian berlaku H K H K∪ ⊆ + .

Andaikan ada submodul S dengan H K S∪ ⊆ . Karena ,H K H K⊆ ∪ akibatnya H S⊆ dan

K S⊆ . Karena S merupakan submodul, maka untuk setiap h H∈ dan k K∈ berlaku h k S+ ∈ .

Dengan kata lain H K S+ ⊆ .

Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.

Akibat E4.44

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka

H K H K∪ = + .

Teorema E4.45

Diketahui M R-Modul, jika X = ∅ maka { }0MX = .

Bukti.

Diperhatikan bahwa untuk setiap himpunan bagian N M⊆ , maka N∅⊆ . Dengan demikian

untuk modul { }0M , juga berlaku { }0M∅⊂ dan akibatnya { }0M ∈ I . Karena setiap submodul


23

dari M selalu memuat elemen 0M , akibatnya 0MI

I∈

∈∩I

dan dengan demikian berlaku

{ }{ }

{ }0

0 0M

M MI

X I∈ −

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∅ = ∩ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∩I

.

Teorema E4.46

Diketahui M R-Modul dan X M⊆ dengan X ≠ ∅ , maka berlaku

1, , dan

n

i i i ii

X r x n r R x X=

⎧ ⎫= ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ .

Bukti.

Misalkan 1

, , dan n

i i i ii

K r x n r R x X=

⎧ ⎫= ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ . Akan ditunjukkan bahwa K merupakan

submodul dari M . Diambil sebarang ,a b K∈ , maka 1

n

i ii

a r x=

=∑ dan 1

m

i ii

b s y=

=∑ untuk suatu

,i ir s R∈ dan ,i ix y X∈ . Diperhatikan bahwa 1 1 1

n m n m

i i i i j ji i j

a b r x s y k z+

= = =

− = − =∑ ∑ ∑ dengan

11

jj

j n

r j nk

s n j m−

≤ ≤⎧= ⎨ + ≤ ≤⎩

dan 1

1j

jj n

x j nz

y n j m−

≤ ≤⎧= ⎨ + ≤ ≤⎩

.

Sehingga diperoleh 1

n m

j jj

a b k z K+

=

− = ∈∑ .

Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa ( )1 1

n n

i i i ii i

ra r r x rr x K= =

⎛ ⎞= = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ .

Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa K merupakan submodul dari M. Karena X K⊆

dan X merupakan submodul terkecil yang memuat X, berakibat X K⊆ .

Karena X merupakan submodul terkecil yang memuat X, maka X X⊆ . Dengan demikian

untuk setiap r R∈ dan x X∈ berlaku rx X∈ . Akibatnya ,a b X∈ dan dengan demikian

K X⊆ .

Jadi, karena X K⊆ dan K X⊆ , maka berlaku K X= .


24

Definisi E4.47 (Modul Siklik)

Diketahui M R-Modul. Jika terdapat a M∈ sehingga a M= maka modul M disebut modul

siklik.

Contoh E4.48

−Modul merupakan modul siklik karena 1 = .

Lemma E4.49

Diketahui M R-Modul siklik dan M a= untuk suatu a M∈ , maka ( )annM R a≅ .

Bukti.

Dibentuk pemetaan : R Mφ → dengan definisi ( )r raφ = . Pemetaan φ tersebut merupakan

homomorfisma modul yang surjektif dan jelas bahwa ( ) ( )ker ann aφ = . Jadi, menurut Teorema

Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku ( )annM R a≅ .

Definisi E4.50 (Rank Modul yang Dibangun Secara Berhingga)

Diketahui M R-Modul dan M X= untuk suatu X M⊆ . Jika X herupakan himpunan

berhingga maka modul M dikatakan dibangun secara berhingga dan rank dari M merupakan

banyaknya elemen dari himpunan pembangun M yang terkecil. Notasi ( )Mμ untuk selanjutnya

menyatakan rank dari M.

Definisi E4.51 (Rank Modul yang Tidak Dibangun Secara Berhingga)

Diketahui M R-Modul dan M X= untuk suatu X M⊆ . Jika X herupakan himpunan tak

berhingga maka ( )Mμ = ∞ .


25

Akibat E4.52

Diketahui M R-Modul , maka sifat-sifat berikut berlaku:

1. Jika { }0MM = , maka ( ) 0Mμ =

2. M merupakan modul siklik jika dan hanya jika ( ) 1Mμ = .

Lemma E4.53

Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M dibangun secara berhingga,

maka modul M N juga dibangun secara berhingga dan ( ) ( )M N Mμ μ≤ .

Bukti.

Misalkan M X= dengan { }1,..., kX x x M= ⊆ sebagai himpuan pembangun terkecil. Diambil

sebarang y M N∈ , maka y a N= + untuk suatu a M∈ . Karena M X= , dengan demikian

terdapat n∈ sehingga 1

n

i ii

a r x=

= ∑ untuk suatu ir R∈ dan ix X∈ . Akibatnya berlaku

( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 11

n

i i n n n ni

y a N r x N r x N r x N r x N r x N=

⎛ ⎞= + = + = + + + + = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .

Jadi, modul M N dibangun secara berhingga.

Misalkan ( ) ( )M N Mμ μ> dan dengan demikian { }1 ,..., sM N y N y N= + + dengan s k>

sebagai himpunan pembangun terkecil. Dibentuk elemen

( ) ( ) ( )1 1s sa N y N y N y y N+ = + + + + = + + + . Dengan demikian diperoleh

1 sa y y M X= + + ∈ = . Karena X merupakan himpunan pembangun terkecil dan s k> maka

terdapat himpunan { }1' ,..., sY y y⊂ sehingga { } { } { }1 1 1,..., ' ' ,..., ' ,...,s k ky y Y y y X x x− = = = .

Akibatnya 1' 'ka y y M X= + + ∈ = dan dengan demikian ( )1' 'ka N y y N+ = + + + .

Muncul kontradiksi dengan { }1 ,..., sy N y N+ + sebagai himpunan pembangun terkecil.

Jadi, pengandaian salah dan terbukti benar bahwa ( ) ( )M N Mμ μ≤ .


26

Lemma E4.54

Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M N dan N dibangun secara

berhingga, maka modul M juga dibangun secara berhingga dan ( ) ( ) ( )M N M Nμ μ μ≤ + .

Bukti.

Misalkan { }1,..., kX x x N= ⊆ merupakan himpunan pembangun terkecil untuk N, sehingga

X N= . Dibentuk : M M Nφ → sebagai homomorfisma surjektif dengan ( )a a Nφ = + untuk

setiap a M∈ . Dipilih { }1,..., sY y y M= ⊆ , sehingga ( ) ( ){ }1' ,..., sY y yφ φ= merupakan

himpunan pembangun terkecil untuk M N . Akan ditunjukkan bahwa X Y M∪ = dan dengan

demikian ( ) ( ) ( )M k s N M Nμ μ μ≤ + = + .

Diambil sebarang a M∈ dan dengan demikian a N M N+ ∈ . Karena 'Y M N= , maka

( ) ( ) ( )1 1 s sa a N r y r yφ φ φ= + = + + untuk suatu ir R∈ . Karena φ homomorfisma surjektif,

diperoleh ( ) ( ) ( )1 1 1 1s s s sr y r y r y r yφ φ φ+ + = + + dan dengan demikian

( ) ( )1 1 s sa r y r yφ φ= + + . Diperhatikan juga bahwa 1 1 s sr y r y Y+ + ∈ . Karena

( ) ( )1 1 s sa r y r yφ φ= + + , akibatnya ( )( )1 1 0s sa r y r y Nφ − + + = + atau dengan kata lain

( ) ( )1 1 kers sa r y r y N Xφ− + + ∈ ⊆ = .

Jadi, karena ( ){ } ( )1 1 1 1s s s sa a r y r y r y r y X Y= − + + + + + ∈ ∪ , maka diperoleh

M X Y⊆ ∪ . Jelas bahwa X Y M∪ ⊆ , dan dengan demikian diperoleh M X Y= ∪ .

Tidak setiap modul memiliki himpunan pembangun. Jika suatu modul memiliki

himpunan pembangun, maka terdapat sifat pada himpunan pembangun tertentu yang disebut

dengan basis. Berikut akan diberikan pengertian mengenai basis dan modul bebas.

Definisi E4.55 (Bebas Linear)

Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Himpunan X dikatakan bebas linear jika dan hanya jika

untuk setiap n∈ , untuk setiap ir R∈ dan ix X∈ dengan 1 i n≤ ≤ , jika 1 1 0i i Mr x r x+ + =

berakibat 1 0i Rr r= = = .


27

Definisi E4.56 (Basis)

Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Himpunan X dikatakan basis untuk M jika dan hanya jika

memenuhi dua syarat berikut:

1. M X=

2. X bebas linear.

Definisi E4.57 (Modul Bebas)

Diketahui M R-Modul. Jika terdapat X M⊆ dengan X merupakan basis untuk M, maka M

disebut modul bebas.

Contoh E4.58

8 8 − Modul merupakan modul siklik karena 1 8 8+ = dan dengan demikian

8 merupakan modul bebas. Namun 8 −Modul bukan modul bebas, karena untuk

sebarang 8X ⊆ selalu dapat dipilih 8r = ∈ sehingga 0 8x X

rx∈

= +∑ . Jadi, setiap

himpunan bagian pada 8 selain { }0 tidak bebas linear dan dengan demikian 8

−Modul tidak memiliki basis.

Lemma E4.59

Diketahui M R-Modul. Jika M modul bebas dan R daerah integral, maka M modul bebas torsi.

Bukti.

Karena M modul bebas, maka M memiliki basis. Misalkan X merupakan basis untuk M dan TM

merupakan himpunan elemen torsi pada M. Diambil sebarang Tx M∈ dan dengan demikian

0Mrx = untuk suatu { }0Rr R∈ − . Karena Tx M M∈ ⊆ , maka i

i ix X

x r x∈

= ∑ untuk suatu ir R∈ .

Dengan demikian diperoleh ( ) 0i i

i i i i Mx X x X

rx r r x rr x∈ ∈

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ . Karena X merupakan basis, maka

diperoleh 0i Rrr = untuk setiap ir R∈ . Karena R daerah integral dan 0Rr ≠ , maka diperoleh

0ir = . Akibatnya 0 0i i

i i R i Mx X x X

x r x x∈ ∈

= = =∑ ∑ . Jadi, { }0T MM = atau M modul bebas torsi.


28

( ) ( )1 1 1,..., , ,...,n n nx x y y M M∈ × ×

5. Jumlahan Langsung

Konsep jumlahan langsung (direct sum) merupakan suatu konsep untuk membentuk suatu

modul yang “lebih luas” dari beberapa modul yang diberikan. Modul-modul tersebut akan

isomorfis dengan suatu submodul pada modul yang “lebih luas” tersebut.

Definisi E4.60 (Jumlahan Langsung)

Diketahui 1,..., nM M untuk suatu n∈ merupakan modul-modul atas R, maka produk

Cartesian 1 nM M× × juga merupakan modul atas R dengan operasi:

1. ( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nx x y y x y x y+ = + + , untuk setiap

2. ( ) ( )1 1,..., ,...,n nr x x rx rx= , untuk setiap ( )1 1,..., n nx x M M∈ × × dan r R∈ .

Modul 1 nM M× × disebut jumlahan langsung dari modul 1,..., nM M dan dinotasikan

1 nM M⊕ ⊕ atau 1

n

iiM

=⊕ .

Lemma E4.61

Diketahui 1,..., nM M untuk suatu n∈ merupakan modul-modul atas R , maka pemetaan

1:

n

k k iiM Mφ

=→⊕ dengan ( ) ( ) ( )1 1 1 1

,..., , , ,..., 0,...,0, ,0,...,0n

k k k k n iia x x x x x a Mφ − + =

= = ∈⊕ merupakan

isomorfisma modul.

Teorema E4.62

Diketahui M R-Modul dan 1,..., nN N untuk suatu n∈ merupakan submodul-submodul dari M.

Jika dipenuhi syarat:

1. 1 nM N N= + +

2. Untuk setiap 1 i n≤ ≤ , berlaku { } { }1 1 1 0i i i n MN N N N N− +∩ + + + + + = ,

maka 1

n

iiM N

=≅ ⊕ .


29

Bukti.

Dibentuk pemetaan :i if N M→ dengan ( )if a a= untuk setiap ia N∈ . Dibentuk juga

pemetaan 1

:n

iif N M

=⊕ → dengan ( ) ( )1

1,...,

n

n i ii

f x x f x=

=∑ untuk setiap ( )1 1,...,

n

n iix x N

=∈⊕ . Karena

1 nM N N= + + dengan demikian f merupakan pemetaan surjektif. Diperhatikan juga bahwa f

dan if merupakan homomorfisma modul.

Selanjutnya, diambil sebarang ( ) ( )1,..., kernx x f∈ maka berlaku

( ) ( )1 11

,..., 0n

n i i n Mi

f x x f x x x=

= = + + =∑ . Sehingga untuk 1 i n≤ ≤ diperoleh,

( )1 1 1i i i nx x x x x− += − + + + + + dan dengan demikian

{ }1 1 1i i i i nx N N N N N− +∈ ∩ + + + + + . Karena { } { }1 1 1 0i i i n MN N N N N− +∩ + + + + + = ,

maka diperoleh 0i Mx = untuk setiap 1 i n≤ ≤ . Dengan demikian ( ) ( ){ }ker 0 ,...,0M Mf = .

Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, homomorfisma modul f injektif.

Jadi, karena f homomorfisma modul yang surjektif sekaligus injektif, maka f merupakan

isomorfisma modul dan berlaku 1

n

iiM N

=≅ ⊕ .

Definisi E4.63 (Komplemen)

Diketahui M R-Modul dan K submodul dari M. Submodul K dikatakan komplemen pada M jika

dan hanya jika terdapat submodul H dari M sehingga K H M⊕ ≅ .

Contoh E4.64

Pada 6 sebagai modul atas dirinya sendiri, submodul { }0 6 , 2 6 , 4 6K = + + +

merupakan komplemen pada 6 , karena dapat dipilih submodul { }0 6 , 3 6H = + +

sehingga:

1. 6K H+ =

2. { }0 6K H∩ = + .

Akibatnya, menurut Teorema E4.62 berlaku 6K H⊕ ≅ .


30

6. Barisan Eksak

Untuk suatu koleksi submodul 1,..., nN N dari M R-Modul, dapat dibentuk suatu barisan

yang disebut dengan barisan eksak. Barisan tersebut dinamakan barisan eksak dan memiliki sifat

penting di teori modul, salah satunya pada pembahasan mengenai modul proyektif.

Definisi E4.65 (Barisan Eksak)

Diketahui M R-Modul dan { }iN i I∈ merupakan koleksi submodul dari M. Diketahui juga if

merupakan homomorfisma dari 1iN − ke iN . Barisan dari R-Modul dan homomorfisma fi

dikatakan eksak pada Ni jika dan hanya jika ( ) ( )1image keri if f += . Barisan tersebut dikatakan

barisan eksak jika eksak pada setiap Ni.

Definisi E4.66 (Barisan Pendek)

Diketahui M R-Modul serta 1N dan 2N merupakan submodul dari M, maka barisan

disebut barisan pendek dengan f dan g merupakan homomorfisma modul.

Dari barisan pendek dapat diturunkan tiga sifat sebagai berikut.

Teorema E4.67

Barisan

eksak di 1N jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif.

Bukti.

( )⇒

Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari { }0M ke 1N

adalah ( )0 0M Mφ = . Karena barisan tersebut eksak di N1, maka ( ) ( )image ker fφ = . Karena

Ni-1 Ni Ni+1 … … fi fi+1

N1 M N2 f g{ }0M { }0M

N1 M f{ }0M


31

( ) { }image 0Mφ = , maka ( ) { }ker 0Mf = . Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, berakibat

homomorfisma modul f injektif.

( )⇐

Karena homomorfisma modul f injektif, maka sejalan dengan Lemma E3.6 berakibat

( ) { }ker 0Mf = . Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari

{ }0M ke 1N adalah ( )0 0M Mφ = . Karena ( ) { } ( )image 0 kerM fφ = = , maka barisan tersebut

eksak di 1N .

Teorema E4.68

Barisan

eksak di 2N jika dan hanya jika homomorfisma modul g surjektif.

Bukti.

( )⇒

Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari 2N ke { }0M

adalah ( ) 0Maψ = untuk setiap 2a N∈ . Karena barisan tersebut eksak di N2, maka

( ) ( )image kerg ψ= . Karena ( ) 2ker Nψ = , maka ( ) 2image g N= dan dengan demikian

homomorfisma modul g surjektif.

( )⇐

Karena homomorfisma modul g surjektif, maka ( ) 2image g N= . Diperhatikan bahwa satu-

satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari 2N ke { }0M adalah ( ) 0Maψ = untuk

setiap 2a N∈ . Karena ( ) ( )2image kerg N ψ= = , maka barisan tersebut eksak di 2N .

M N2 g { }0M


32

Teorema E4.69

Barisan pendek

merupakan barisan eksak jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif, g surjektif, dan

( ) ( )image kerf g= . Lebih lanjut, menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku

( )2 imageMN f≅ .

Contoh E4.70

Barisan

merupakan barisan eksak pendek dengan ( )3 2 3f a a+ = + dan ( ) ( )6 mod 2 2g b b+ = +

untuk setiap 3 3a + ∈ dan 6 6b + ∈ . Sesuai Teorema Utama Homomorfisma Modul

1 dan 3, berlaku 62 2 6≅ .

Definisi E4.71 (Barisan Eksak Terpisah)

Diketahui M R-Modul, maka barisan eksak pendek dikatakan barisan eksak terpisah jika dan

hanya jika ( ) ( )image kerf g= merupakan komplemen pada M.

Contoh E4.72

Pada Contoh E4.70 diketahui ( ) ( ) { }image ker 2 6 0 6 , 2 6 , 4 6f g= = = + + + . Sehingga

menurut Contoh E4.64, barisan eksak pendek pada Contoh E4.70 merupakan barisan eksak

terpisah.

N1 M N2 f g{ }0M { }0M

f g{ }0 { }03 6 2


33

Selanjutnya, didefinisikan pemetaan identitas 1 :M M M→ dengan ( )1M a a= untuk

setiap a M∈ . Pemetaan identitas tersebut jelas merupakan homomorfisma modul dan dapat

diturunkan sifat barisan eksak terpisah. Sebelumnya diberikan lemma mengenai pemetaan

berikut.

Lemma E4.73

Diketahui A dan B sebarang himpunan dan pemetaan :f A B→ , maka

1. Jika terdapat pemetaan :h B A→ dengan ( ) 1Ah f = maka pemetaan h surjektif

2. Jika terdapat pemetaan :k B A→ dengan ( ) 1Af k = maka pemetaan k injektif.

Bukti.

Untuk sebarang a A∈ jelas bahwa ( ) ( )f a f A B∈ ⊆ . Dengan demikian untuk sebarang a A∈

dapat dipilih ( )y f a B= ∈ sehingga ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1Ah y h f a h f a a a= = = = . Jadi, pemetaan h

surjektif.

Selanjutnya, diambil sebarang 1 2,b b B∈ dengan ( ) ( )1 2k b k b= . Diperhatikan untuk

( )1x k b A= ∈ , maka diperoleh ( ) ( )( ) ( )( )1 2f x f k b f k b= = . Karena

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 11Af x f k b f k b b b= = = = maka diperoleh ( )( ) ( )( )1 2 1f k b f k b b= = . Dengan

cara yang serupa, untuk ( )2x k b A= ∈ diperoleh juga ( )( ) ( )( )2 1 2f k b f k b b= = . Jadi, diperoleh

1 2b b= dan dengan demikian pemetaan k injektif.


34

Teorema E4.74

Diketahui M R-Modul, 1N dan 2N merupakan submodul dari M, serta f dan g keduanya

merupakan homomorfisma modul. Jika barisan pendek

merupakan barisan eksak maka tiga pernyataan dibawah ini ekuivalen:

1. Terdapat homomorfisma modul 1: M Nα → sehingga ( )1

1Nfα =

2. Terdapat homomorfisma modul 2: N Mβ → sehingga ( )2

1Ng β =

3. Barisan pendek tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan

( ) ( )( ) ( )

1 2

image ker

image ker.

M f

gN N

α

β

≅ ⊕

≅ ⊕

≅ ⊕

Bukti.

( )1 2⇒

Sebelumnya akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = . Diambil

sebarang ( ) ( )ker imagex fα∈ ∩ . Karena ( )kerx α∈ , maka ( ) 0Mxα = dan karena

( )imagex f∈ , maka ( )x f a= untuk suatu 1a N∈ . Dengan demikian

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1

0 1M Nx f a f a a aα α α= = = = = . Karena f homomorfisma modul, maka

( ) ( )0 0M Mx f a f= = = dan dengan demikian ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = .

Dibentuk pemetaan 2: N Mβ → , dengan ( ) ( )( )x z f zβ α= − untuk setiap 2x N∈ dan

( )g z x= untuk suatu z M∈ (karena g surjektif). Akan ditunjukkan bahwa β merupakan

homomorfisma modul yang dimaksud. Akan ditunjukkan bahwa pemetaan β terdefinisi dengan

baik. Diambil sebarang 2,x y N∈ dengan x y= . Karena, pemetaan 2:g M N→ surjektif, maka

terdapat ,a b M∈ dengan ( )x g a= dan ( )y g b= . Karena x y= , maka

( ) ( ) ( ) 0Mg a g b g a b= ⇔ − = dan dengan demikian ( )kera b g− ∈ . Karena barisan tersebut

eksak, maka ( ) ( )ker imagea b g f− ∈ = .

N1 M N2 f g{ }0M { }0M


35

Dengan demikian diperoleh:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

x y a f a b f b

a b f b a

β β α α

α

− = − − −

= − + −

Diperhatikan, bahwa ( ) ( )( ) ( )kera b f b aα α− + − ∈ , karena

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11

0 .

N

M

a b f b a a b f b a

a b f b a

a b b a

a b b a

a b b a

α α α α α

α α α

α α

α α

α α α α

− + − = − + −

= − + −

= − + −

= − + −

= − + −

=

Diperhatikan juga bahwa ( ) ( )( ) ( )imagea b f b a fα− + − ∈ , dan dengan demikian

( ) ( )( ) ( )imagea b f b a fα− + − ∈ .

Akibatnya, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) { }ker image 0x y a b f b a fβ β α α− = − + − ∈ ∩ = .

Jadi, diperoleh ( ) ( )x yβ β= dan dengan demikian pemetaan β terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa β merupakan homomorfisma modul. Diambil sebarang

2,x y N∈ . Karena, pemetaan 2:g M N→ surjektif, maka terdapat ,a b M∈ dengan ( )x g a=

dan ( )y g b= . Karena g homomorfisma maka diperoleh ( ) ( ) ( )x y g a g b g a b+ = + = + dan

dengan demikian

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y a b f b a x yβ β α β+ = + − + = + . Untuk sebarang r R∈ , diperoleh

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )r x ra f ra ra r f a r a f a r xβ α α α β= + = − = − = .

Jadi, terbukti bahwa β merupakan homomorfisma modul.


36

Terakhir, akan dibuktikan bahwa ( )2

1Ng β = . Untuk sebarang 2x N∈ , karena 2:g M N→

surjektif, maka terdapat a M∈ dengan ( )x g a= . Dengan demikian diperoleh

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )g x g a f a g a g f aβ α α= − = − . Diperhatikan, karena

( )( ) ( )( ) ( )imagef a f a fα α= ∈ dan ( ) ( )image kerf g= , maka ( )( )( ) 0Mg f aα = . Jadi,

diperoleh ( )( ) ( ) ( )0Mg x g a g a xβ = − = = atau dengan kata lain ( )2

1Ng β = .

( )2 3⇒

Dari pembuktian bagian ( )1 2⇒ telah diketahui bahwa ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = . Selanjutnya

akan dibuktikan bahwa ( ) ( )ker imageM fα= + . Diketahui terdapat homomorfisma modul

1: M Nα → sehingga ( )1

1Nfα = . Diambil sebarang x M∈ dan dengan demikian

( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )x f x x f x x f xα α α α α α α α− = − = − .

Karena ( )1

1Nfα = , akibatnya ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1

1Nf x x xα α α α= = dan dengan demikian

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0Mx f x x f x x xα α α α α α α− = − = − = .

Jadi, diperoleh ( )( ) ( )kerx f xα α− ∈ .

Karena ( )( )( ) ( )( )x x f x f xα α= − + dan ( )( ) ( )imagef x fα ∈ , maka diperoleh

( ) ( )ker imagex fα∈ + dan dengan demikian berlaku ( ) ( )ker imageM fα⊆ + . Karena

( )ker Mα ⊆ dan ( )image f M⊆ , akibatnya ( ) ( )ker image f Mα + ⊆ .

Jadi, karena berlaku ( ) ( )ker imageM fα⊆ + dan ( ) ( )ker image f Mα + ⊆ , akibatnya

( ) ( )ker imageM fα= + dan menurut Teorema E4.62 berlaku ( ) ( )image kerM f α≅ ⊕ .


37

Diperhatikan bahwa karena f pemetaan injektif akibatnya ( )image f isomorfis dengan

domainnya, yaitu 1N . Karena β merupakan pemetaan injektif akibatnya ( )image β isomorfis

dengan domainnya, yaitu 2N . Dengan demikian berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2image ker image imageM f f N Nα β≅ ⊕ = ⊕ ≅ ⊕ .

( )3 1⇒

Diketahui baris eksak tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan berlaku 1 2M N N≅ ⊕ .

Karena 1 2M N N≅ ⊕ , maka terdapat isomorfisma modul φ dari M ke 1 2N N⊕ . Dengan

demikian, untuk setiap x M∈ , selalu terdapat ( )1 2 1 2,n n N N∈ ⊕ dengan ( )( )1 2,x n nφ= .

Dibentuk pemetaan 1: M Nα → dengan ( ) 1x nα = .

Akan dibuktikan pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang ,x y M∈ dengan

x y= . Karena 1 2M N N≅ ⊕ , maka terdapat 1 3 1,n n N∈ dan 2 4 2,n n N∈ sehingga ( )( )1 2,x n nφ=

dan ( )( )3 4,y n nφ= . Karena x y= , berakibat ( )( ) ( )( )1 2 3 4, ,n n n nφ φ= atau dengan kata lain

( ) ( )1 3 2 4, kern n n n φ− − ∈ . Karena φ isomorfisma, maka φ merupakan pemetaan injektif dan

sejalan dengan Teorema E3.6 berakibat ( ) ( ){ }ker 0,0φ = . Sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 4 1 2 3 4, 0,0 , ,n n n n n n n n− − = ⇔ = dan dengan demikian ( ) ( )1 3x n n yα α= = = . Jadi,

pemetaan α terdefinisi dengan baik. Pemetaan α jelas merupakan homomorfisma modul dan

berlaku ( )( )f a aα = untuk setiap 1a N∈ atau dengan kata lain ( )1

1Nfα = .


38

f g

Diperhatikan bahwa dari Teorema E4.74 dapat dibentuk diagram seperti dibawah ini

Pemetaan 1 2 3 4, , ,dan,φ φ φ φ seluruhnya merupakan pemetaan nol (zero mapping), yaitu pemetaan

yang memetakan setiap elemen domain ke 0M . Pemetaan nol tersebut merupakan

homomorfisma. Lebih lanjut, 1 3 dan φ φ merupakan pemetaan injektif serta 2 4 dan φ φ merupakan

pemetaan surjektif.

N1

M

N2

{ }0M { }0M

N1

M

N2

1φ

3φ

2φ

4φ

α β

Documents

Extra 4 Pengantar Teori Modul...Serta diberikan pula operasi biner (disebut pergandaan skalar) *:R×→MM. Himpunan M disebut modul kiri atas R (dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi