Fachsprache undfachliche Konsequenzen

des Modells - didaktische Hinweise zum

Termbaukasten

handlungsorientierte Zugänge zur Algebra

IQSH

Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für Terme

Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme, um außer der Summe auch Produkte von zwei oder drei Variablen betrachten zu können.

Das Arbeiten mit Größen hat fachliche Konsequenzen.

möglich.nicht Modelldiesem in ist )1( ba

er. Fremdkörpein Modelldiesem inist

3)111(111 bb b bbbbb

IQSH

Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für Terme

Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme, um außer der Summe auch Produkte von zwei oder drei Variablen betrachten zu können.

Das Arbeiten mit Variablen, deren Werte fest belegt sind, hat fachliche Konsequenzen.

Für mathematische Zeichen, Tätigkeiten und Eigenschaften muss es definierte Namen geben.

Wie sprechen wir in der Algebra?

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ba 22

fachliche Hintergründe und Fachsprache

ist ein Term.

a und b heißen Variablen.

Wertebelegung: Man weist einer Variablen einen (Zahlen)wert zu. Geschieht dies mit allen Variablen im Term, kann man dessen (Zahlen)wert ausrechnen.

cm 35cm 52cm 5,12222 ba

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baba 22)(2

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Die beiden Terme sind gleichwertig.

Definition:Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie bei allen Wertebelegungen der Variablen stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Erinnerung an die Definition:Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie bei allen Wertebelegungen der Variablen stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Problem:Durch unsere feste Wertebelegung der Variablen ergeben beide Terme zwar den gleichen Wert, aber die Terme sind nicht gleichwertig. cm75cm75

cm15cm60cm30cm45

cm5,72cm154cm5,74cm153

2443

cxcx

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Die Gleichung ist erfüllt. Der linke Term und der rechte Term haben durch die Werte-belegung der Variablen den gleichen Wert.

Darauf basieren viele interessante Aufgaben in Termbaukasten 1.

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Der linke und der rechte Term haben durch die Werte-belegung der Variablen den gleichen Wert.Die Gleichung ist erfüllt.

cc

cc

cc

x

xxx

xxx

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Das Wertepaar x = 15 cm ; c = 7,5 cmist eine Lösung der Gleichung.

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cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Diese beiden Terme sind verschieden.

Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.

Das Gleichheitszeichen kann verschiedene Bedeutungen haben!

Wir müssen uns klarmachen:

Ein einziger Begriff „gleich“ genügt nicht!

IQSH

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.

baba 22)(2

Definition:

Eine Gleichung heißt allgemeingültig, wenn mit jedem Variablenwert aus der Grundmenge die Gleichung erfüllt ist (der linke und der rechte Term den gleichen Wert haben).

IQSH

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.

baba 22)(2

Eine Termumformung erzeugt aus dem linken Term den rechten. Beide Terme sind gleichwertig.Setzt man ein Gleichheitszeichen zwischen beide Terme, ist die so erzeugte Gleichung stets erfüllt, also allgemeingültig. Man hat „richtig gerechnet“.

IQSH

cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.

Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig!

baba 22)(2

IQSH

cxcx 2443

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.

Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig!

baba 22)(2

Diese Gleichung ist für x = 15 cm und c = 7,5 cm erfüllt (es entsteht eine wahre Aussage). Das Wertepaar ist eine Lösung. Für andere Werte-belegungen ist die Gleichung i.A. nicht erfüllt.

IQSH

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Wir führen Terme ein, noch keine Gleichungen.

Dennoch müssen die Begriffe der Algebra schon zu Beginn auf das abgestimmt sein, was später kommt.

Was wir berücksichtigen müssen:

Ein konsistentes System von Begriffen, eine konsistente Notation sind erforderlich.

IQSH

fachliche Hintergründe und Fachsprache

Exkurs:

2628

26583

z

zz

Diese beiden Gleichungen sind äquivalent.

Definition:

Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.

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fachliche Hintergründe und Fachsprache

Exkurs:

2628

26583

z

zz

Die Lösungsmenge dieser Gleichungen ist L = { 17 }. z = 17 ist Lösung der Gleichungen.

Definition:

Ein Wert der Variablen heißt Lösung, wenn mit dieser Wertebelegung der linke und der rechte Term den gleichen Wert besitzen.

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fachliche Hintergründe und Fachsprache

59268526175)17(

598518173)17(

26583

r

l

T

T

zz

8263426172)17(

8)17(

2628

r

l

T

T

z

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fachliche Hintergründe und Fachsprache

Vorschlag:

Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden.

Für Gleichungen später den Begriff äquivalent verwenden.

Obwohl „gleichwertig“ die Übersetzung von „äquivalent“ ist, werden die Begriffe als verschieden verstanden.

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fachliche Hintergründe und Fachsprache

Vorschlag

Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden.

Den Wert eines Terms (nach dem „Einsetzen von Variablenwerten“)undgleichwertige Terme unterscheiden.

Verschiedene (nicht gleichwertige) Termekönnen für eine bestimmte Variablenbelegung den gleichen Wert besitzen.