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FACULDADE ALFREDO NASSER
WARLEY DOS SANTOS DORNELES
O USO DO EXCEL COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE
ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATRIZES E DETERMINANTES AOS ALUNOS
DO 2º ANO DO ENSINO MÉDIO NO COLÉGIO ESTADUAL CRUZEIRO DO SUL
APARECIDA DE GOIÂNIA - GO 2011
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WARLEY DOS SANTOS DORNELES
O USO DO EXCEL COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE
ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATRIZES E DETERMINANTES AOS ALUNOS
DO 2º ANO DO ENSINO MÉDIO NO COLÉGIO ESTADUAL CRUZEIRO DO SUL
Monografia apresentada ao Instituto Superior de Educação da Faculdade Alfredo Nasser sob a orientação da Professora Ms. Ana Paula Faria Machado, como parte dos requisitos para a conclusão do curso de Matemática.
APARECIDA DE GOIÂNIA - GO
2011
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WARLEY DOS SANTOS DORNELES
O USO DO EXCEL COMO FERRAMENTA AUXILIAR NO PROCESSO DE
ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATRIZES E DETERMINANTES AOS ALUNOS
DO 2º ANO DO ENSINO MÉDIO NO COLÉGIO ESTADUAL CRUZEIRO DO SUL
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para a obtenção do título de Licenciado em Matemática e aprovado em sua forma inicial pela banca examinadora abaixo.
Aparecida de Goiânia, ______ de agosto de 2011
BANCA EXAMINADORA
___________________________________________________________________
Orientadora: Professora Ana Paula Faria Machado
___________________________________________________________________
Primeira Examinadora: Professora Kelen Michela Silva Alves
___________________________________________________________________
Segunda Examinadora: Professora Karla Vitor de Oliveira
3
Dedico este trabalho à minha esposa TATIANA ALVES DA SILVA DORNELES, à minha mãe MARIA JOSÉ DORNELES DOS SANTOS, ao meu pai JOSELINO MÁXIMO DOS SANTOS e ao meu irmão WILLIAM DOS SANTOS DORNELES pelo incondicional amor, pelo incentivo aos meus sonhos e por estarem sempre ao meu lado em todos os momentos.
4
AGRADECIMENTOS
À DEUS por sempre iluminar e abençoar os meus caminhos, por me amparar
e me carregar em Seus braços quando a caminhada torna-se cansativa até que eu
possa me recuperar e voltar a seguir em frente.
À MINHA AMADA FAMÍLIA que é base de sustentação de minha vida, o meu
porto-seguro, sinônimo de amor, compreensão e dedicação.
À minha Orientadora, Professora ANA PAULA FARIA MACHADO pelo
incentivo, simpatia e principalmente paciência no auxílio às atividades e discussões
sobre o andamento e normatização deste Trabalho.
À Professora KELEN MICHELA SILVA ALVES, em nome de todos os
professores que estiveram sempre presente ao longo do curso, pelos ensinamentos,
sempre com atenção e dedicação.
Ao Professor e Amigo ANDRÉ LUIZ GONÇALVES, um exemplo profissional
para mim, pela possibilidade de realização dos estágios e pela dedicação plena
durante o planejamento e a aplicação das atividades desenvolvidas neste Trabalho,
numa rara demonstração de amizade e solidariedade.
À Amiga VÂNIA APARECIDA DA SILVEIRA pela paciência e por ter me
estendido a mão sempre que precisei.
Aos Amigos TÚLIO LUIZ, MÁRCIO JOSÉ DE MORAIS, CARLOS FILIPE e
LUIZ FERNANDO em nome de todos os colegas de classe pela alegria e
demonstração de amizade.
Aos alunos do 2º ANO “I” e “J” e aos demais coordenadores e funcionários do
Colégio Estadual Cruzeiro do Sul.
5
Aos demais coordenadores e funcionários da Faculdade Alfredo Nasser.
A todos aqueles que contribuíram, direta ou indiretamente, para esta
graduação que se torna mais uma vitória em minha vida, os meus sinceros
agradecimentos.
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“A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, mas também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens”
René Descartes
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RESUMO
O presente trabalho tem como objeto de estudo a utilização da
informática, mais precisamente com a ferramenta Microsoft Excel, como
complemento das atividades já ministradas em sala de aula referente ao conteúdo
de Matriz e Determinante. Pretendemos mostrar alguns pontos que possam gerar
reflexão sobre o uso dessa tecnologia como Educação e Sociedade, Educação e
Informática e também sobre o papel da Instituição, do professor e dos alunos neste
processo. Este projeto se baseia na experiência das ações executadas em um
Colégio da rede Estadual de Ensino da cidade de Aparecida de Goiânia, estado de
Goiás. Queremos mostrar que com o Excel, o aprendizado dos alunos se
desenvolverá a partir do seu próprio planejamento para “programar” a máquina,
através de sua descrição, execução e reflexão, mas sempre trabalhando com a
importância da intervenção e mediação do professor nessa aplicação, tornando a
Escola um lugar mais interessante e motivador. Nesse contexto, ressaltamos a
cooperação e a interação entre professor-aluno e aluno-aluno, reforçando a
integração no processo.
Palavras-chave: Informática Educacional; Matriz e Determinante; Tecnologias
Educacionais; Educação e Sociedade; Matemática no Excel.
8
ABSTRACT
This paper aims to study the use of information, specifically with the
Microsoft Excel, to complement the activities already taught in the classroom for the
content of Matrix and Determinant. We intend to show some points that may
encourage reflection on the use of new technology such as Education and Society,
Education and Information and also on the role of the institution, the teacher and
students in this process. This project is based on the experience of actions performed
on a network of State College Schools in the city of Aparecida de Goiania, Goias
state want to show that with Excel, student learning will develop from its own
planning "program "the machine through its description, implementation and
reflection, but always working with the importance of intervention and mediation of
the teacher in this application, making the school a more interesting and motivating.
In this context, we emphasize the cooperation and interaction between teacher-
student and student-student, reinforcing the integration of the entire process.
Keywords: Educational Informatics, Matrix and Determinant, Educational
Technologies, Education and Society; Mathematics in Excel.
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1. Quadro de Medalhas ........................................................................................ 26
Figura 2. Símbolo do Excel ............................................................................................... 44
Figura 3. Comandos básicos 1.......................................................................................... 58
Figura 4. Comandos básicos 2.......................................................................................... 59
Figura 5. Comandos básicos 3.......................................................................................... 60
Figura 6. Matriz Oposta .................................................................................................. 60
Figura 7. Matriz Transposta ............................................................................................ 61
Figura 8. Adição 1 ........................................................................................................... 61
Figura 9. Adição 2 ........................................................................................................... 62
Figura 10. Multiplicação 1 ............................................................................................... 63
Figura 11. Multiplicação 2 ............................................................................................... 64
Figura 12. Multiplicação 3 ............................................................................................... 64
Figura 13. Inversa ........................................................................................................... 66
Figura 14. Determinantes ................................................................................................ 67
10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 12
1. INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ......................................................................... 14
1.1 A Evolução da Educação em Harmonia com a Sociedade ........................ 14
1.2 Informática na Educação Matemática ......................................................... 15
1.3 A Trajetória do Computador na Educação ................................................. 16
1.4 O Professor e a Educação Matemática ....................................................... 18
1.5 Referenciais Teóricos ................................................................................... 19
1.6 O Uso da Informática Educacional .............................................................. 22
2. MATRIZES, DETERMINANTES e EXCEL ........................................................... 25
2.1 História das Matrizes .................................................................................... 25
2.2 Definição de Matriz ....................................................................................... 26
2.3 Conceitos Básicas de Matriz ........................................................................ 27
2.4 Matrizes Especiais ........................................................................................ 28 2.4.1 Matriz Nula ............................................................................................... 28 2.4.2 Matriz Linha .............................................................................................. 28 2.4.3 Matriz Coluna ........................................................................................... 28 2.4.4 Matriz Quadrada ....................................................................................... 29 2.4.5 Matriz Oposta ........................................................................................... 29 2.4.6 Matriz Transposta ..................................................................................... 30
2.5 Operações com Matriz .................................................................................. 30 2.5.1 Igualdade de Matrizes .............................................................................. 30 2.5.2 Adição de Matrizes ................................................................................... 31
2.5.2.1 Propriedades da Adição ..................................................................... 31 2.5.3 Subtração de Matrizes .............................................................................. 31 2.5.4 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz ................................... 32 2.5.5 Multiplicação de Matrizes ......................................................................... 32
2.5.5.1 Propriedades da Multiplicação ........................................................... 33
2.6 Matriz Identidade ou Unitária ....................................................................... 33 2.6.1 Propriedade da Matriz Identidade ou Unitária .......................................... 34
2.7 Matriz Inversa ................................................................................................ 34
2.8 Determinantes ............................................................................................... 34 2.8.1 Cálculo de Determinante: Matriz de Ordem 1 e 2 ..................................... 35 2.8.2 Regra de Sarrus ....................................................................................... 35 2.8.3 Teorema de Laplace ................................................................................. 36 2.8.4 Propriedades dos Determinantes ............................................................. 38
2.8.4.1 Fila Nula ............................................................................................. 38
11
2.8.4.2 Troca de Filas Paralelas .................................................................... 38 2.8.4.3 Multiplicação de uma Fila por um Número Real ................................ 39 2.8.4.4 Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais ............................................. 40
2.8.5 Determinante de Matriz Transposta ......................................................... 41 2.8.5.1 Teorema de Binet .............................................................................. 42
2.8.6 Abaixamento da Ordem de um Determinante .......................................... 42 2.8.6.1 Teorema de Jacobi ............................................................................ 42 2.8.6.2 Regra de Chió .................................................................................... 43
2.9 O Software Educativo: Microsoft Office Excel ........................................... 43 2.9.1 Breve Histórico ......................................................................................... 44 2.9.2 Matemática no Excel ................................................................................ 45
3 VIVENCIANDO A MATEMÁTICA NO EXCEL ...................................................... 48
3.1 Introdução ..................................................................................................... 48
3.2 Objetivos e Metodologia da Pesquisa ......................................................... 49
3.3 O Projeto ........................................................................................................ 50
3.4 Conhecendo os Sujeitos da Aplicação ....................................................... 51 3.4.1 Conhecendo a Instituição ......................................................................... 51 3.4.2 Conhecendo os Professores .................................................................... 52 3.4.3 Conhecendo os Alunos ............................................................................ 53
3.4.3.1 Alunos do 2º Ano “I” ........................................................................... 53 3.4.3.2 Alunos do 2º Ano “J” .......................................................................... 55
3.5 Data de Início e Duração .............................................................................. 56
3.6 Elaborando as Atividades no Computador ................................................. 57
3.7 Aplicação nas Turmas do Ensino Médio .................................................... 57
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 69
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 72
12
INTRODUÇÃO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam para a importância do
ensino da Matemática integrada as tecnologias de informação, principalmente com o
uso dos computadores como instrumento para levar o aluno a testar suas hipóteses
e construir seu conhecimento por meio da interação com o a máquina.
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino,
como nos elementos visuais, mas também como fonte de aprendizagem e
ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com computador
pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus
colegas, trocando suas produções e comparando-as.
Entretanto, o que se verifica nas escolas geralmente é uma metodologia
que privilegia o giz e a lousa. Sabemos que transformar em realidade o ensino
utilizando o computador é uma tarefa árdua que exige de todos os integrantes do
ambiente educacional, recursos técnicos, pesquisa, conhecimento e, acima de tudo,
abertura para as mudanças. Essa metodologia deve ser dinâmica, desafiadora e
capaz de despertar o interesse do aluno levando-o a um crescimento intelectual, ou
seja, é importante que as atividades incluam desafios que questionem e ampliem o
conhecimento da turma.
Nesse contexto, vale ressaltar a importância da informática no ensino
dos conteúdos de Matemática como complemento das atividades desenvolvidas em
sala de aula. Neste caso específico queremos mostrar que é possível utilizar o
software Excel como recurso para complementar o processo de ensino-
aprendizagem no conteúdo de Matrizes e Determinantes.
Buscando experiência de ensino-aprendizagem no uso do Excel em
consonância com os conteúdos de Matemática, realizamos a pesquisa e a aplicação
com alunos em duas turmas do 2º Ano do Ensino Médio do Colégio Estadual
Cruzeiro do Sul complementando as atividades já desenvolvidas em sala de aula
serviram como fonte de inspiração e orientação para compreendermos as
características do cenário educacional matemático em ambientes informatizados,
sempre focalizados na atenção na natureza do conteúdo de Matrizes e
Determinantes e o conhecimento produzido por eles.
13
Iniciaremos com alguns referenciais históricos envolvendo a Sociedade, a
Educação e a Informática. No segundo capítulo mostraremos as principais
características e propriedades dos conteúdos de Matrizes e Determinantes além de
um breve histórico do programa Excel. Dedicaremos o capítulo final para
apresentarmos todo o processo desenvolvido na pesquisa e aplicação desenvolvida
no Colégio.
Essa aplicação visa privilegiar o processo e não o produto-resultado em
sala de aula, com uma postura epistemológica que entende o conhecimento como
tendo sempre um componente que depende do próprio sujeito.
14
1. INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Segundo Valente (1993), “o termo Informática na Educação significa a
inserção do computador no processo de aprendizagem dos conteúdos curriculares
de todos os níveis e modalidades de educação”. Com base nisso faremos agora um
breve estudo sobre a inserção da Informática na Educação.
1.1 A Evolução da Educação em Harmonia com a Sociedade
Quando a Sociedade vivia do trabalho artesanal, na produção agrícola, a
Educação era ministrada por um mentor que era contratado para educar os
membros das famílias ricas ou da corte. Era um serviço caro e poucos tinham
acesso à Educação.
Com o surgimento dos sistemas produtivos urbanos como fábricas e
empresas houve a necessidade de produção em massa para padronizar e diminuir o
custo do produto em detrimento da sua qualidade, denominado sistema de produção
Fordista, onde a produção está centralizada nas mãos de especialistas que
planejam a tarefa, fragmentando-a em sub-tarefas simples para serem dominadas e
realizadas por trabalhadores com pouca qualificação.
Além da padronização do produto e da sua produção, a mão de obra
barata contribui para o baixo custo do bem produzido. Neste período os conteúdos
educacionais são fragmentados, categorizados, hierarquizados e devem ser
ministrados em uma ordem crescente de complexidade, dentro de um período pré-
determinado. Nesse contexto cabe ao professor cumprir essas normas e ter certeza
de que o conteúdo está sendo transmitido aos alunos de maneira precisa e objetiva
e o discente deve assimilar essa informação. Essa Educação “fordista” desperdiça o
potencial da capacidade de pensar e criar do ser humano, onde o aluno não deve
pensar, mas executar o que lhe foi determinado.
Com o decorrer do tempo houve mais mudanças na produção de bens e
serviços e hoje vivemos na chamada sociedade da produção enxuta, onde o
trabalho e o capital têm um papel secundário, como apontam diversos pensadores
(Toffler, “Power Shift: Knowledge, Wealth and Violence at the Edge of the 21st
15
Century”, 1990; Naisbitt & Aburdene, “P. Megatrends”, 1990; Drucker, “A Sociedade
Pós-Capitalista”, 1993;), exigindo trabalhadores melhor qualificados, capazes de
assumir responsabilidades, tomar decisões, e buscar soluções para problemas que
ocorrem durante todo o processo de produção.
Nesse contexto, a Educação passa a operar por esse novo paradigma
onde o conhecimento e os seus processos de aquisição devem assumir papel de
destaque, de primeiro plano. O aluno “puxa” os conteúdos, ou seja, a Escola deve
ser capaz de atender às necessidades da sociedade e o aluno deve ser crítico,
refletir constantemente, ser capaz de trabalhar em equipe e desenvolver, ao longo
da sua formação educacional, condições para enfrentar as responsabilidades e os
problemas complexos de sua realidade.
Portanto, a Educação que leva o aluno a compreender o que faz e o que
acontece no mundo exigirá uma mudança profunda dos papéis e ações que são
realizadas na Escola.
Segundo Valente (1999), “o aluno deve sair da passividade de quem só
recebe para se tornar ativo caçador da informação, de problemas para resolver e de
assuntos para pesquisar”. Isso implica ser capaz de assumir responsabilidades,
tomar decisões e buscar soluções para problemas complexos que não foram
pensados anteriormente e que não podem ser atacados de forma fragmentada.
Finalmente, ele deve desenvolver habilidades, como ter autonomia, saber pensar,
criar, aprender a aprender, de modo que possa continuar o aprimoramento de suas
idéias e ações, sem estar vinculado a um sistema educacional. Ele deve ter claro
que aprender é fundamental para sobreviver na sociedade em que vivemos.
1.2 Informática na Educação Matemática
A informática está presente no dia-a-dia promovendo transformações no
comportamento social, no modo de agir e pensar das pessoas. A Educação, sendo
um serviço, se adapta às concepções que norteiam a Sociedade e, segundo Kenski
(1997), “[...] faz parte do contexto de renovação de espaço e valores ocorridos neste
mundo globalizado”. Diante disso, a Escola, instituição integrante e atuante dessa
sociedade e desencadeadora do saber, não pode ficar à margem desse contexto.
A informática pode auxiliar a desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade
e pensamento crítico do aluno, levando-o a testar suas hipóteses e construir seu
16
conhecimento por meio da interação com o computador. Os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs) já mostra a importância do Ensino da Matemática integrada a
tecnologia:
A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. A Matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente. A atividade matemática não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade. O ensino da Matemática deve relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras) e também relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão e deve favorecer conexões com outras disciplinas, com o cotidiano do aluno e também conexões com os diferentes temas matemáticos. O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. Recursos didáticos como (...) computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem (BRASIL - b, 1997, p. 19).
Mas geralmente encontramos na Escola e no ensino de Matemática
somente a metodologia tradicional, utilizando o caderno, o giz e o quadro-negro,
privando o aluno de interagir e aprender com seus erros, o que pode ser
proporcionado ao mesmo com o uso do computador e de softwares (programas)
como material de apoio ao ensino.
1.3 A Trajetória do Computador na Educação
Na década de 50 surgiram nos Estados Unidos as primeiras experiências
no uso do computador destinado à Educação, utilizando as máquinas disponíveis na
época e sua função era de armazenar a informação em uma determinada sequência
e transmiti-la ao aprendiz, basicamente como o que foi pensado por Skinner,
psicólogo que defendia o mecanismo do condicionamento operante que premia uma
determinada resposta de um indivíduo até ele ficar condicionado a associar as
necessidades às ações.
No Brasil, como em outros países, o uso do computador na educação teve
início com algumas experiências em universidades, no início da década de 70,
quando os computadores assumiram formas menores e já não mais ocupavam salas
inteiras, permitindo que várias pessoas pudessem ter seu próprio computador em
casa. Em 1975, aconteceu a primeira visita de Seymour Papert e Marvin Minsky ao
17
Brasil, que lançaram as primeiras sementes das idéias do Logo, uma linguagem de
programação utilizada com grande sucesso como ferramenta de apoio ao ensino
regular e por aprendizes em programação de computadores, implementando a
filosofia construtivista.
No início dos anos 80 os PC’s (“Computadores Pessoais”), chegaram às
escolas particulares e em 1984 o Congresso Nacional Brasileiro aprovou a primeira
Lei da Informática e o primeiro uso da informática na educação foi o próprio ensino
da informática e da educação. Posteriormente a informática foi utilizada como
ferramenta de ensino.
O MEC (Ministério da Educação e Cultura) criou cursos superiores e
técnicos na área de computação além de projetos como o EDUCOM (COMputadores
na EDUcação), em 1983, com o objetivo de criar centro pilotos em Universidades
brasileiras para desenvolver pesquisas sobre as diversas aplicações do computador
na Educação e o Proninfe (Programa Nacional de Informática na Educação),
lançado em 1989, com a proposta de desenvolver a pesquisa do uso educacional da
informática, de introduzir a informática nas escolas públicas municipais e estaduais e
centros de capacitações de professores.
Em meados de 1985 foram criados os primeiros softwares educacionais,
ainda baseados na língua inglesa, baseados no modelo de estímulo-resposta e
analisavam os acertos e erros dos alunos. Nesse período só existiam os teclados e
era necessário saber muita linguagem de programação para efetuar os comandos e
os monitores ainda eram de baixa resolução.
A partir daí foram criados vários softwares para atender os objetivos
particulares de cada disciplina, podendo ser classificados como softwares
educacionais, com uma estrutura básica definida e que podem ser adaptados às
necessidades, interesses e objetivos do usuário ou do professor.
O atual programa do governo chama-se PROINFO (Programa Nacional de
Informática na Educação) e foi lançado em 1997 pela Seed/MEC (Secretaria de
Educação a Distância) com o objetivo de estimular e dar suporte para a introdução
de tecnologia informática nas escolas de nível fundamentas e médio de todo o
Brasil.
Atualmente a Educação a Distância (EaD) apresenta ambientes
educacionais através de teleconferência, chats, fórum de discussão, correio
eletrônico e várias outras plataformas de ambientes virtuais que, como uma
18
modalidade alternativa para superar limites de tempo e espaço, possibilitam a
interação entre os alunos e os tutores.
1.4 O Professor e a Educação Matemática
O computador é apenas uma ferramenta, e, é preciso um profissional, um
mestre no ofício, que a manuseie, que a faça fazer o que ele acha que é preciso
fazer. É preciso, antes da escolha da ferramenta, um desejo, uma intenção, uma
opção.
De forma geral, sabe-se que transformar em realidade o ensino
tecnológico é uma tarefa árdua que exige do profissional de educação, pesquisa,
conhecimento e, acima de tudo, abertura para as mudanças, como nos mostra Tarja
(2001),
A incorporação das tecnologias de comunicação e informação nos ambientes educacionais provoca um processo de mudança contínuo não permitindo mais uma parada, visto que as mudanças ocorrem cada vez mais rapidamente e em curtíssimo espaço de tempo.
Verificamos então, que ao professor é atribuída a missão de acompanhar
essas mudanças, ampliando seus métodos educacionais, possibilitando, dessa
forma, maior interação entre docentes e discentes.
A presença da informática no ambiente educacional requer da escola e do
docente novas posturas frente ao processo de ensino-aprendizagem no qual o
professor deve desenvolver o conteúdo integrado ao uso do computador. Segundo
Valente (1993),
(...) o professor da disciplina curricular deve ter conhecimento sobre os potenciais educacionais do computador e ser capaz de alternar adequadamente atividades tradicionais de ensino-aprendizagem e atividades que usam o computador.
Visualiza-se assim, que o uso do recurso da informática exige do
profissional uma postura crítica diante do material, além de uma atualização
constante. Segundo Borba e Penteado (2001):
O professor tem também que atualizar constantemente o seu vocabulário sobre computadores e software. As novidades nesta área surgem num ritmo muito veloz. (...) o professor muitas vezes não consegue acompanhar essa discussão e se vê diante da necessidade de conhecer mais sobre o tema.
Após ter escolhido um software, ter estudado o seu funcionamento e
aplicações, o professor parte para um dos passos mais importantes na utilização da
19
informática na educação, que é planejar o processo de mediação do conhecimento
de forma a alcançar a aprendizagem e para que os resultados obtidos com o auxílio
desta ferramenta possam ser satisfatórios.
Levy (1993) diz que:
O desafio que os educadores enfrentam está relacionado a aplicação prática do computador, como elemento integrador do processo de ensino-aprendizagem e não como uma simples ferramenta que facilita ou automatiza cálculos.
As técnicas precisam ser escolhidas de acordo com o que se pretende
que os alunos aprendam. Segundo Masseto (2004),
Como o processo de aprendizagem abrange o desenvolvimento intelectual, afetivo, o desenvolvimento de competências e de atitudes, pode-se deduzir que a tecnologia a ser usada deverá ser variada e adequada a seus objetivos.
Então, não basta ao professor apenas expor o conteúdo, explicar as
ferramentas disponíveis por um software, levar os alunos para a sala de informática,
listar exercícios e pedir para que resolvam com o software. Essa metodologia deve
ser dinâmica, desafiadora e capaz de despertar o interesse do aluno levando-o a um
crescimento intelectual. Tudo isso exige uma formação ampla e profunda do
professor, que deve possuir profundo conhecimento do conteúdo a ser trabalhado e
ainda o conhecimento do computador/software a ser utilizado durante as aulas. O
papel do professor deixa de ser o de "entregador" de informação, para ser o de
mediador do processo de aprendizagem fazendo com que o aluno deixe de ser
passivo, de ser o receptor das informações, para ser ativo e construtor do seu
conhecimento.
1.5 Referenciais Teóricos
Dentre os estudiosos que mais nos influenciaram podemos destacar o
professor José Armando Valente.
Valente, descendente de imigrantes italianos, nasceu em 21 de abril de
1948, em Jaboticabal, interior do estado de São Paulo. Em 1966 ingressou na
Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo (USP), no Curso
de Engenharia Mecânica.
Terminado o curso superior, começou atuar na Universidade Estadual de
Campinas (Unicamp), onde, em 1971, foi contratado como docente e participante do
20
grupo de implantação do Curso de Ciência da Computação da Universidade. Iniciou,
em seguida, o seu primeiro mestrado, no mesmo local, que concluiu em 1974 com a
dissertação LL – Linguagem para Lingüistas, sob a orientação dos professores
Nelson Machado e Jacques Cohen. Nesse período, teve a oportunidade de atuar
com os professores Marvin Minsky e Seymour Papert durante a primeira viagem
destes dois destacados cientistas do Massachusetts Institute of Technology (MIT) ao
Brasil, em julho de 1975. Ao final da visita foi convidado por eles a trabalhar como
professor visitante no Laboratório Logo do MIT.
Atuou no MIT de abril de 1976 até setembro de 1983, tendo a
oportunidade de se envolver em pesquisas com o uso de computador para apoio a
deficientes físicos. Completou o seu segundo mestrado na mesma instituição, em
janeiro de 1979, no Interdisciplinary Science Program, com a dissertação Methods
for Studying the Cognitive Development of Severely Cerebral Palsied, sob a
orientação do Professor Papert.
Seu doutorado foi desenvolvido no período de 1979 à 1983, no
Bioengeneering Department of Mechanical Engineering e na Division for Study and
Research in Education (DSRE). A tese chamada Creating a Computer-based
Learning Environment for Physically Handicapped Children também foi orientada
pelo Professor Papert.
Retornando ao Brasil, de volta à Unicamp, foi indicado para pesquisar na
área de utilização de computadores por crianças portadoras de necessidades
especiais, junto ao Núcleo de Informática Biomédica (NIB), onde atuou de 1983 à
1986 como pesquisador e vice-coordenador.
Além trabalhar na área de Educação Especial, também atuou no Núcleo
de Informática Aplicada à Educação (NIED), no Projeto EDUCOM, financiado pelo
Ministério da educação (MEC), tendo como objetivo a implantação do computador
em escolas da rede pública de ensino. Em 1986 foi nomeado coordenador do NIED,
onde passou a desenvolver duas linhas de pesquisas: uma voltada para a formação
de professores, tanto da Educação Especial quanto da Educação Regular, e outra
voltada para o entendimento do papel do computador no processo de construção de
conhecimento.
Foi coordenador do NIED até 2001, vice-coordenador entre 2001 e 2003, e
atualmente é pesquisador do núcleo. Em 1997 passou a atuar como Professor
Colaborador do Programa de Pós-Graduação em Educação: Currículo da Pontifícia
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Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e em 1999 afiliou-se ao
Departamento de Multimeios, do Instituto de Artes da Unicamp, onde obteve em abril
de 2005 o título de Livre Docente com a tese intitulada A Espiral de Aprendizagem: o
processo de compreensão do papel das tecnologias de informação e comunicação
na educação. Atualmente, é chefe desse departamento, cargo que ocupa desde
novembro de 2003.
Valente coordenou o primeiro curso de especialização FORMAR, realizado
na Unicamp em 1987, que visava a formação dos primeiros 50 professores das
secretarias de educação de praticamente todos os estados do Brasil e aplicação da
informática na educação das respectivas secretarias. Coordenou o projeto
Dinamização da Formação e da Aprendizagem nas Empresas, financiado pela
Fapesp, durante o período de 1997-1999, para o desenvolvimento de sistemas
computacionais e metodologias de formação de trabalhadores de empresas de
manufatura. Coordenou diversos projetos financiados pela Organização dos Estados
Americanos (OEA), no período 1998-2002, sobre o uso da telemática para a
formação de professores do Brasil e de diversos países da América Latina e Caribe.
Esse projeto foi fundamental para a implantação de ações de educação a distância
em diversas instituições participantes, inclusive no NIED e no Programa de Pós-
Graduação em Educação: Currículo da PUC-SP. Coordenou, em 2000 e 2001, os
cursos a distância para formação de professores de cerca de 140 instituições de
educação especial de diversas regiões do Brasil, como parte do Programa de
Informática na Educação Especial, PROINESP, financiado pela Secretaria de
Educação Especial (SEESP) do MEC e Federação Nacional das Apaes
(FENAPAES).
Valente possui entre os anos de 1998 e 2011 um total de 10 Projetos de
Pesquisa, sendo o mais recente, ainda em andamento, chamado Comunicação
móvel e meios de comunicação no Brasil e na Espanha: investigações, tendências e
oportunidades com novos meios. Suas especialidades em Educação de Ciências
Humanas são: Tecnologia Educacional, Métodos e Técnicas de Ensino, Educação à
Distância, Educação Especial, Educação em Periferias Urbanas e Educação de
Adultos. Possui também 27 artigos completos publicados em periódicos, 15 livros
publicados/organizados, 57 capítulos de livros publicados e 29 trabalhos completos
publicados em anais de congressos.
22
No ano de 2002 recebeu da Unicamp o Prêmio de Reconhecimento
Acadêmico Zeferino Vaz e da Presidência da República Federativa do Brasil a
Ordem Nacional do Mérito Educativo. Em 2009 recebeu da Câmara Brasileira de
Livro (CBL) o Prêmio Jabuti.
Pela biografia de Valente, disponível no endereço eletrônico
http://lattes.cnpq.br/8919503255281132, é possível perceber os seus esforços em
repensar a educação com a introdução do computador na escola para enriquecer
ambientes de aprendizagem.
A informática é um campo de tecnologias intelectuais e conflituoso e,
segundo Valente (1993),
A atividade de uso do computador na disciplina curricular pode ser feita tanto para continuar transmitindo a informação para o aluno e, portanto, para reforçar o processo tradicional de ensino (processo instrucionista), quanto para criar condições para o aluno construir seu conhecimento por meio da criação de ambientes de aprendizagem que incorporem o uso do computador (processo construcionista). Na noção de construcionismo de Papert existem duas idéias que contribuem para que esse tipo de construção do conhecimento seja diferente do construtivismo de Piaget. Primeiro, o aprendiz constrói alguma coisa, ou seja, é o aprendizado através do fazer, do "colocar a mão na massa". Segundo, o fato de o aprendiz estar construindo algo do seu interesse e para o qual ele está bastante motivado. O envolvimento afetivo torna a aprendizagem mais significativa.
O termo construcionismo foi utilizado por Papert (1986) para denominar o
nível de construção do conhecimento quando, por exemplo, o aluno constrói um
objeto de seu interesse, como uma obra de arte, um relato de experiência ou um
programa de computador.
Com o uso do computador, o aluno tem que combinar os conteúdos que
ele está aprendendo com as suas estratégias para serem aplicados no software para
resolver o problema. Sobre isso, Valente (1999) diz que:
No construcionismo o computador requer certas ações efetivas no processamento da construção do conhecimento. Quando o aprendiz está interagindo com o computador ele está manipulando conceitos e isso contribui para o seu desenvolvimento mental.
1.6 O Uso da Informática Educacional
Buscamos elaborar atividades consistentes na utilização do computador
como complemento das aulas de Matemática ministradas em sala de aula. Apesar
do grande número de estudos que vêm sendo desenvolvidos sobre tecnologias e
23
Matemática, observamos que ainda há uma grande resistência por parte dos
professores no seu uso em sala de aula.
Queremos que a aprendizagem seja processada e enriquecida pelos
esquemas mentais, onde aprender significa enriquecer essas estruturas por meio da
adição de novos conhecimentos ou da reorganização das estruturas (por meio do
pensar, do refletir).
Para encontrar a solução das atividades no computador, no nosso caso
utilizando o Excel, o aluno deverá processar a informação do problema através dos
conceitos que já estão em sua mente, elaborar e organizar estratégias de resolução
de forma ordenada, chamado descrição, executar o procedimento e efetuar a
reflexão se realmente a resposta encontrada condiz com a resposta esperada ou
correta. Em caso negativo, o aluno poderá verificar todo o processo e tentar
encontrar onde está o erro e depurá-lo. Em caso positivo, a estrutura montada por
ele servirá de embasamento para a resolução de outros problemas. Neste processo
está presente o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração-descrição da tarefa.
Nesse ciclo a resposta emitida pelo computador é fruto das estratégias e
ações do aluno, ou seja, produto do seu próprio pensamento. É importante salientar
que a resposta fornecida pelo computador é imediata e o aluno pode confrontar suas
idéias originais com os resultados obtidos na tela, gerando um passo reflexivo
imediatamente para as ações sobre o que deve ser depurado.
A atividade de depuração é facilitada pela existência do programa do
computador. O programa representa a idéia do discente e existe uma
correspondência direta entre cada comando e o comportamento da máquina. O
processo de achar e corrigir o erro constitui uma oportunidade única para o aluno
aprender sobre um determinado conceito envolvido na solução do problema ou
sobre estratégias de resolução de problemas. No computador, o erro é um desafio
que, automaticamente, leva o sujeito a buscar novas descobertas.
Queremos mostrar também que o papel do computador pode não ser o de
facilitador, mas o de dificultador e complicador em um primeiro momento, onde o
aluno ao realizar a atividade deverá “ensinar” o computador a efetuar os passos e
repetir o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração-descrição, isto é, o
computador não fornecerá a resposta imediatamente. A resposta correta só será
emitida depois que o aluno produziu e compreendeu toda a execução da atividade.
O aluno poderá falar sobre o que fez e mostrar esse produto para outras pessoas. É
24
um produto da mente dele e isso acaba propiciando uma grande massagem no ego.
Segundo Piaget (1978),
O que motiva um indivíduo a compreender uma tarefa é o desejo de alcançar, no futuro, um resultado que é atualmente previsível. Porém, o processo de resolver um problema ou explicar um fenômeno conduz a soluções que criarão novos problemas, que exigirão novas soluções e, assim, sucessivamente. Podemos alcançar níveis mais altos de compreensão se continuamos pensando sobre o que fazemos e no modo como pensamos.
A tecnologia, além de renovar o processo de ensino-aprendizagem, pode
propiciar o desenvolvimento integral do aluno, valorizando o seu lado emocional,
social e crítico e deixando margens para exploração de novas possibilidades de
criação. Segundo Monteiro (1995), é preciso ir muito além do que se faz hoje,
utilizando-se o computador como estratégia de apoio aos conteúdos curriculares e
como instrumento de estimulação à colaboração e a motivação do aprendiz.
Mercado ao argumentar sobre a forma de produzir conhecimento,
utilizando-se tecnologias em sala de aula, diz que:
O objetivo de introduzir novas tecnologias na escola é para fazer coisas novas e pedagogicamente importantes que não se pode realizar de outras maneiras. O aprendiz, utilizando metodologias adequadas, poderá utilizar estas tecnologias na integração de matérias estanques. A escola passa a ser um lugar mais interessante que prepararia o aluno para o seu futuro. A aprendizagem centra-se nas diferenças individuais e na capacitação do aluno para torná-lo um usuário independente da informação, capaz de usar vários tipos de fontes de informação e meios de comunicação eletrônica. (MERCADO, 1998)
Apesar do potencial das planilhas eletrônicas no ensino de Matrizes e
Determinantes, sua utilização ainda é restrita, tendo em vista que a maioria dos
livros de ensino básico e superior sequer menciona a possibilidade de sua utilização
e não é muito fácil encontrar referências e materiais disponíveis na internet sobre
esta aplicação.
25
2. MATRIZES, DETERMINANTES e EXCEL
2.1 História das Matrizes
A aplicação de matrizes possui um forte componente histórico na
resolução das equações lineares. O livro História da Matemática, de Carl B. Boyer,
nos conta que a referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de
aproximadamente do ano 2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (“nove
capítulos sobre a arte matemática”, publicado em torno do ano 1200 a.C.).
Esta publicação chinesa apresenta problemas sobre a mensuração de
terras, agricultura, impostos e equações, além de aparecer soluções de sistemas
lineares com números positivos e negativos. Um destes problemas é resolvido com
cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes.
Ainda no livro de Boyer, encontramos a citação de outro importante artigo
chinês datado de 300 a.C. The nine chapters on the mathematical art, de Jiu Zhang
Suan Shu, marca o primeiro exemplo da utilização de métodos matriciais para
resolver equações lineares.
Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de
conhecimento. Suas aplicações se dão, por exemplo, na Matemática para encontrar
soluções de sistemas lineares e equações diferenciais, na Física em Mecânica dos
Fluídos para cálculo de deformação, na Engenharia Civil para não deixar uma
estrutura composta por vigas metálicas entrarem em colapso, na Engenharia Elétrica
em toda a teoria dos circuitos elétricos e eletrônicos e na Computação para
representar translação, rotação e escalas de objeto em computação gráfica.
Mas, segundo o livro Matemática: Ciência e Aplicações 2, de Gelson Iezzi
(2004), foi somente há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua
importância detectada e deixaram de ser coadjuvantes dos determinantes. Cauchy,
em 1826, denominou como tableau (“tabela”) o que em 1850 James Joseph
Sylvester chamou de matriz. Sylvester deu esse nome porque usou o significado
coloquial da palavra matriz, que significa, local onde algo se gera ou cria. Ele via as
matrizes como mero ingrediente dos determinantes. Mas coube a Cayley em 1858
com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices a divulgar esse nome e iniciar a
26
demonstrar sua utilidade, começando gradativamente a ultrapassar os
determinantes em importância.
Ainda segundo Iezzi, o primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu
quando Lagrange C. em 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de
uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática
associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Após Lagrange, já no
século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais
importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus
invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma
grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
2.2 Definição de Matriz
Quando abrimos jornais e revistas, encontramos com freqüência
informações numéricas organizadas em forma de tabelas com linhas e colunas.
Essas tabelas são chamadas, em Matemática, de matrizes.
Figura 1. Quadro de Medalhas
27
Dizemos que uma matriz mxn (lê-se m por n) é uma tabela de m.n
números dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais).
Exemplo:
úû
ùêë
é-
=01
43A é uma matriz 2 x 2;
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
7
4
1
8
5
2
A é uma matriz 3 x 2;
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ-=111
111
321
C é uma matriz 3 x 3.
2.3 Conceitos Básicas de Matriz
Podemos utilizar as palavras tamanho, dimensão ou ordem para dizer
quantas linhas e colunas uma matriz possui. Utilizaremos os símbolos “[ ]” ou “( )”
como referência à uma matriz e uma letra maiúscula para representar a matriz,
como, por exemplo, a matriz A. Podemos representar também a matriz A por A =
(aij)mxn, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Quando utilizarmos o termo fila, estamos nos referindo à qualquer linha ou
qualquer coluna da matriz.
Cada elemento da matriz é representado pela mesma letra em minúsculo
e é seguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha
onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento
a23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna.
Veja a representação algébrica de uma matriz A:
28
Seja então a matriz
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
7
4
1
8
5
2
A . Então, temos que:
· O elemento que está na linha 1, coluna 1 é o a11 = 2
· O elemento que está na linha 1, coluna 2 é o a12 = 1
· O elemento que está na linha 2, coluna 1 é o a21 = 5
· O elemento que está na linha 2, coluna 2 é o a22 = 4
· O elemento que está na linha 3, coluna 1 é o a31 = 8
· O elemento que está na linha 3, coluna 2 é o a32 = 7
2.4 Matrizes Especiais
Existem algumas matrizes com características peculiares, como as
mostradas abaixo:
2.4.1 Matriz Nula
É uma matriz de qualquer dimensão com todos os seus elementos iguais a
zero, e representada por Omxn.
Exemplo: A matriz O2x3 = é uma matriz nula 2x3.
2.4.2 Matriz Linha
É uma matriz formada por uma única linha.
Exemplo: A matriz A = [ ]314 é uma matriz linha 1x3.
2.4.3 Matriz Coluna
É uma matriz formada por uma única coluna.
Exemplo: A matriz B = úú
û
ù
êê
ë
é
53
4,0é uma matriz coluna 2x1.
29
2.4.4 Matriz Quadrada
É uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Dizemos que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da
matriz.
Exemplo: A matriz úû
ùêë
é-
=01
43A é uma matriz quadrada 2x2, isto é,
quadrada de ordem 2.
Em uma Matriz quadrada A de ordem n, os elementos cujo índice da linha
é igual ao índice da coluna constituem a diagonal principal de A. Assim, a11, a22, ..., ann
formam a diagonal principal da mesma.
Exemplo: A matriz A =
Na mesma matriz A anterior, os elementos cuja soma dos índices da linha
e da coluna é igual a (n+1) constituem a diagonal secundária de A.
Veja o exemplo abaixo para uma matriz quadrada A de ordem 3 onde os
elementos a31, a22 e a13 formam a diagonal secundária:
Matriz A =
2.4.5 Matriz Oposta
Seja a matriz A = (aij)mxn, então chamamos de oposta de A a matriz
representada por –A, tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo mxn.
Então, a matriz -A é obtida sempre de A trocando-se o sinal de cada um de seus
elementos.
Exemplo: ÷÷ø
öççè
æ--
-=-Þ÷÷
ø
öççè
æ=
52
01
52
01AA
30
2.4.6 Matriz Transposta
Dada uma matriz A de ordem mxn, chamamos de matriz transposta de A,
indicada por AT, a matriz cuja ordem é nxm, sendo as suas linhas ordenadamente
iguais à colunas da matriz A. Em outras palavras, ATij = Aji.
Exemplo: Seja a matriz A = , então, a matriz AT =
Observações:
· A primeira coluna da matriz A é igual a primeira linha da matriz AT e
a segunda coluna da matriz A é igual a segunda coluna da matriz
AT.
· Dizemos que uma matriz é simétrica se sua transposta coincide
com si própria, isto é, AT = A.
· Dizemos que uma matriz é anti-simétrica se a sua transposta
coincide com sua oposta, isto é, AT = −A.
2.5 Operações com Matriz
2.5.1 Igualdade de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B abaixo, onde
32232221
131211
xaaa
aaaA ú
û
ùêë
é= e
32232221
131211
xbbb
bbbB ú
û
ùêë
é= , dizemos que, em matrizes,
os elementos de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes.
Então,
· a11 e b11 são correspondentes;
· a12 e b12 são correspondentes;
· . .
· . .
· a23 e b23 são correspondentes.
· amn e bmn são correspondentes.
31
Duas matrizes de mesma dimensão mxn são iguais quando todos os seus
elementos correspondentes são iguais.
2.5.2 Adição de Matrizes
Só será possível somar matrizes se elas tiverem a mesma dimensão.
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a matriz soma A + B é a matriz C =
(cij)mxn, onde cij = aij + bij para todo i e todo j, isto é, a matriz soma C é possui a
mesma quantidade de linhas e colunas das matrizes A e B e cada um dos elementos
da matriz C é a soma de elementos correspondentes de A e B.
Exemplo:
2.5.2.1 Propriedades da Adição
Seja A, B e C matrizes de mesmo tipo mxn e O a matriz nula, valem as
seguintes propriedades para a adição de matrizes:
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Oposto: A + (-A) = O
d) Elemento neutro: A + O = A
2.5.3 Subtração de Matrizes
Só será possível subtrair matrizes se elas tiverem a mesma dimensão.
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a matriz diferença A - B é obtida como
a soma de A com a oposta de B, ou seja, A – B = A + (-B).
Exemplo:
Observação: Para a adição e a subtração de matrizes, como, por exemplo,
X – B + A = C, basta efetuarmos os cálculos como se fosse x – b + a = c em
números reais.
32
2.5.4 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real diferente de zero. A
multiplicação de k pela matriz A é definida como a matriz B = (bij)mxn, tal que B = k .
A, isto é, bij = k . aij. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os seus elementos
por k.
Exemplo: Seja a matriz A = e a matriz B seja igual à 2.A, então
temos que a matriz B = 2.A =
2.5.5 Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, chama-se produto de A por B e
se indica A . B, a matriz C = (cik)mxp em que um elemento qualquer cik é obtido da
seguinte maneira:
a) Tomamos ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: ai1, ai2,
..., ain.
b) Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: b1k,
b2k, ..., bnk.
c) Multiplicamos o 1º elemento de A pelo 1º elemento de B, o 2º elemento
de A pelo 2º elemento de B e assim, sucessivamente.
Somamos os produtos obtidos nos passos acima, temos a resposta:
cik = ai1. b1k + ai2. b2k + ... + ain. bnk
A definição garante a existência do produto A.B se, e somente se, o
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
33
A matriz produto C = A.B é uma matriz cujo número de linhas é igual ao
número de linha de A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B.
Vejamos abaixo:
Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, com p diferente de m, então
existe A.B, mas B.A não existe, pois:
Na observação anterior vemos que B.A não existe, ou seja, B.A é diferente
de A.B. Com isso verificamos que o produto de matrizes não é comutativo.
2.5.5.1 Propriedades da Multiplicação
Supondo que existam todas as operações abaixo, valem as seguintes
propriedades para a multiplicação de matrizes:
a) Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
b) Distributiva à direita em relação à adição/subtração:
i. (A+B).C = A.C + B.C
ii. (A-B).C = A.C - B.C
c) Distributiva à esquerda em relação à adição/subtração:
i. C .(A+B) = C.A + C.B
ii. C.(A-B) = C.A – C.B
2.6 Matriz Identidade ou Unitária
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de matriz
identidade de ordem n (normalmente denotada por In) quando os elementos de sua
diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Exemplos:
· A matriz ÷÷ø
öççè
æ=
10
012I é uma matriz identidade de ordem 2.
34
· A matriz ÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
100
010
001
3I é uma matriz identidade de ordem 3.
2.6.1 Propriedade da Matriz Identidade ou Unitária
Qualquer que seja a matriz quadrada A de ordem n, tem-se que:
A. In = A e In.A = A
Exemplo:
Devido a essa propriedade, a matriz identidade funciona como elemento
neutro na multiplicação de matrizes.
2.7 Matriz Inversa
Seja A uma matriz de ordem n. A matriz A é dita inversível ou invertível se
existir uma matriz B tal que
A . B = B . A = In
Nesse caso, B é dita inversa de A e indicada por A-1.
Exemplo:
A inversa de A = úû
ùêë
é32
85 é A-1 = ú
û
ùêë
é-
-52
83 pois
A . A-1 = úû
ùêë
é32
85. ú
û
ùêë
é-
-52
83= ú
û
ùêë
é-
-52
83. ú
û
ùêë
é32
85= A-1.A=I2
2.8 Determinantes
O livro Matemática: Ciência e Aplicações 2, de Gelson Iezzi, nos informa
que existiam, por volta de 250 a.C., alguns assuntos referentes ao cálculo de
determinantes no mundo oriental (citado em um livro chinês de autor desconhecido).
Mas somente recentemente, por volta do século XIX é que o estudo dos
determinantes passou a ser abordado. Esse conceito de número ser associado a
uma matriz quadrada mostrou-se muito útil para a identificação de várias situações,
35
como a de sabermos se uma matriz é inversível ou se determinado sistema admite
solução.
Ainda segundo Iezzi, a história sobre o cálculo do determinante de uma
matriz revela que grandes nomes da matemática fizeram o estudo do
desenvolvimento de métodos práticos de resolução para cálculo do determinante,
que são utilizados até hoje, como o método de Pierre Simon, Marquis de Laplace
(1749 – 1827), mas conhecido como método de Laplace.
Outros métodos muito utilizados são de Gabriel Cramer (1704 - 1752),
conhecido como a regra de Cramer e de Pierre Frédéric Sarrus (1798 – 1861),
conhecido como método de Sarrus.
2.8.1 Cálculo de Determinante: Matriz de Ordem 1 e 2
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chamam-se determinante da
matriz A e indica-se por detA ou simplesmente D o número obtido a partir de
operações entre os elementos de A, de modo que:
a) Se a matriz A é de ordem n = 1, então detA é o único elemento de A:
Exemplo: Seja a matriz A = (3), então, detA = 3.
b) Se a matriz A é de ordem n=2, então detA é dado pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal de A e o produto dos
elementos de sua diagonal secundária:
Exemplo: Seja a matriz A =22
13
42
x
, então detA = (2 . 1) – (3 . 4) = - 10.
É comum e podemos utilizar uma barra vertical em cada um dos lados da
matriz para indicar que se trata de um cálculo de determinante: | |.
2.8.2 Regra de Sarrus
Segundo o livro História da Matemática, de Carl B. Boyer , o matemático
francês Pierre Frédéric Sarrus nasceu em Saint-Affrique no ano de 1798 e, em seus
63 anos de vida, teve como seu maior trabalho o desenvolvimento da regra prática
de resolução de determinantes de ordem 3, conhecido como Regra de Sarrus.
36
Segundo esta regra, se a matriz A é de ordem n = 3, podemos utilizar o
seguinte procedimento para obter o valor de detA:
a) Copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas;
b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Seguindo a
direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os
elementos das outras duas “diagonais”;
c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária da A, invertendo o
sinal do produto obtido. Seguindo a direção da diagonal secundária,
multiplicamos, separadamente, os elementos das outra duas
“diagonais”, também trocando o sinal dos produtos;
d) Somamos todos os produtos obtidos nos dois itens anteriores.
Exemplo:
Seja a matriz A = úúú
û
ù
êêê
ë
é
124
012
321
, então podemos calcular o determinante de A
da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( )
340121201
122201)413(223402)111(det
24124
12012
21321
124
012
321
-=---++=
=××-××-××-××+××+××=Û= A
2.8.3 Teorema de Laplace
Se A é uma matriz de ordem n≥3 (maior ou igual a três), definimos o
cofator de um elemento aij qualquer de A, que é indicado por Aij (1 ≤ i, j ≤ n), por:
Aij = (-1)(i+j). Dij
onde Dij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando sua i-ésima linha
e j-ésima coluna.
Exemplo:
37
Seja A = , então, eliminamos a sua 1ª linha e 3ª coluna,
obtendo A13 = , isto é, A13 = - 13 é o cofator do elemento a13.
O Teorema de Laplace diz que para calcular o determinante de uma matriz
quadrada de ordem n, escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou
coluna) e somamos os produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos
cofatores.
O Teorema de Laplace aplica-se a todas as matrizes quadradas de ordem
n, porém, para os casos n=2 e n=3 é mais prático utilizarmos as regras que citamos
anteriormente.
Exemplo: Seja D = .
Se escolhermos a 3ª linha de D e pelo Teorema de Laplace, temos que
Então,
A31 = , A32 = e
A33 = .
Portanto, , isto é,
D = 7 . 9 + 4 . 20 + (-5) . 7 + 0 . A34 = 108.
38
Podemos encontrar a demonstração deste Teorema no livro Álgebra
Linear, de José L. Boldrini e outros.
2.8.4 Propriedades dos Determinantes
Em alguns casos, o cálculo de determinantes pode ser simplificado com o
auxílio de algumas propriedades que iremos mostrar a seguir. Quando nos
referirmos a uma fila da matriz, estaremos pensando, indiferentemente, em uma
linha ou em uma coluna da mesma. As matrizes estudadas nas propriedades de
determinantes nos casos abaixo são sempre quadradas e de ordem n.
2.8.4.1 Fila Nula
Se A possui uma fila na qual todos os elementos são iguais a zero, então
detA = 0.
Se utilizarmos o Teorema de Laplace, obtemos uma soma de zeros, pois o
produto de um elemento dessa fila pelo respectivo cofator é sempre igual a zero.
Veja esse exemplo para o caso n=4.
Seja M = e, desenvolvendo o determinante pela 3ª coluna,
temos que detM = 0 . M13 + 0. M23 + 0 . M33 + 0. M43 = 0.
Podemos encontrar a demonstração deste Teorema no livro Álgebra
Linear, de José L. Boldrini e outros.
2.8.4.2 Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de A, obtemos uma matriz
A’. Vale sempre a relação: detA’ = - detA.
Veja o exemplo para o caso n=3:
39
Seja a matriz A = e, trocando a posição da 1ª e 3ª linhas,
temos então a matriz A’ = .
Usando Laplace, vamos desenvolver detA pela 1ª linha:
detA = a.A11+ b.A12+c.A13 =
=
Também usando Laplace, vamos desenvolver detA’ pela 3ª linha:
detA’ = a.A’31 + b.A’32 + c.A’33 =
=
Com os dois passos acima, verificamos que detA’= - detA.
Exemplo:
Se , então, temos que
2.8.4.3 Multiplicação de uma Fila por um Número Real
Seja um número real k, diferente de zero, multiplicado por uma matriz A,
resultando uma nova matriz A’, então, detA’= k. detA
40
Veja o exemplo para o caso n=3:
Seja A = e, multiplicando por k os elementos da 2ª linha, temos
que A’ = ;
Por Laplace, aplicado a 2ª linha de A, temos que:
detA = d.A21 + e.A22 + f.A23
Desenvolvendo detA’, pela 2ª linha, obtemos:
detA’ = k.d.A’21 + k.e.A’22 + k.f.A’23 = k.(d.A’21 + e.A’22 + f.A’23)
Como as demais linhas permanecem inalteradas, temos que
A21 = A’21; A22 = A’22 e A23 = A’23, então, isso implica que,
detA’ = k.(d.A21 + e.A22 + f.A23) = k.detA
Exemplo: Seja M = , então, detM = 10. Se multiplicarmos por 4 a
2ª coluna de M, obtemos M’= . Então, detM’=40, isto é, detM’= 4.detM.
2.8.4.4 Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Quando A possui filas paralelas iguais ou proporcionais, então, detA=0.
Vejamos os exemplos:
Seja B = e trocando a 2º linha com a 4ª linha, obtemos a
matriz B’ igual à matriz B, ou seja, B = B’. Logo detB = detB’.
41
Seja A = e trocando a 2ª linha com a 4ª linha, obtemos a
matriz A’ = .
Veja que a matriz A’ é obtida multiplicando-se a 2ª linha da matriz A por 5
e também a 4ª linha da mesma matriz por 1/5 (um quinto ou 0,2) e, pela propriedade
de multiplicação de uma fila por um número real, temos que
detA’ = 5 . 1/5 . detA, isto é, detA’ = detA.
Mas também temos nestas matrizes que, pela propriedade de troca de
filas paralelas, temos que detA’ = - detA.
Então, detA’= - detA implica que detA = - detA, mas isso significa dizer que
2.detA=0 e, essa condição só se satisfaz quando detA=0.
2.8.5 Determinante de Matriz Transposta
A e AT são matrizes cujos determinantes coincidem, isto é, detAT =detA.
Vejamos quando n=2:
· A = , detA = a.d – b.c;
· AT = e det AT = a.d – b.c
Assim, por exemplo:
42
2.8.5.1 Teorema de Binet
Sejam as matrizes A = e B = . Sabemos que o detA = 26 e
o detB = 2.
Então o produto A.B = =
Daí temos que det(A.B) = 0 – (-52) = 52 = 26 . 2 = detA . detB
Então, para as matrizes quadradas A e B de mesma ordem, vale a relação
denominada Teorema de Binet que diz:
det(A.B) = (detA).(detB)
Podemos encontrar a demonstração deste Teorema no livro Álgebra
Linear, de José L. Boldrini e outros.
2.8.6 Abaixamento da Ordem de um Determinante
Quando substituímos a fila de uma matriz quadrada A pela soma dos
elementos dela com os elementos de outra fila paralela previamente multiplicada por
um número real não nulo, obtemos uma outra matriz A’ tal que: detA’=detA.
2.8.6.1 Teorema de Jacobi
Uma das formas desse abaixamento de ordem de um determinante é
conhecido por Teorema de Jacobi:
Exemplo: Seja B = , então, sabemos que detB=25.
Substituindo a 2ª coluna de B pela soma dela com a 1ª multiplicada por 3 obtemos B’
onde:
43
B’ = , isto é detB’ = 25.
2.8.6.2 Regra de Chió
Podemos utilizar a Regra de Chió somente se o elemento a11 de A
(elemento que se encontra na 1ª linha e 1ª coluna) for igual a 1.
Veja o exemplo:
Seja a matriz A = .
“Isolamos” a primeira linha e a 1ª coluna de A (chamaremos tais filas de
margens), obtendo assim uma matriz A* do tipo 2x2:
Construímos a partir da matriz A*22 em que cada um de seus
elementos é dado pela diferença entre um elemento de A* e o produto das
respectivas margens, abaixando assim a ordem do determinante da matriz A, isto é,
encontrando uma matriz B = .
2.9 O Software Educativo: Microsoft Office Excel
O Microsoft Office Excel, popularmente conhecido como Excel, é um
software/programa de planilha eletrônica de cálculo escrito produzido pela Microsoft
para computadores que utilizam o sistema operacional Microsoft Windows e também
computadores Macintosh da Apple.
44
2.9.1 Breve Histórico
Segundo o wikipédia (http://pt.wikipedia.org/wiki/Excel), a primeira versão
do Excel para Windows foi lançada em novembro de 1987 e, por volta de 1988, o
Excel havia alcançado a posição de liderança no desenvolvimento de software para
o PC (Personal Computers ou “Computadores Pessoais”), superando assim o
programa de planilha eletrônica chamado Lotus 1-2-3. Essa conquista, na época,
solidificou a Microsoft como um competidor válido no mercado e mostrou seu futuro
de desenvolvimento de software gráfico. A Microsoft aumentou sua vantagem com
lançamento regular de novas versões, aproximadamente a cada dois anos. A versão
atual para a plataforma Windows é o Excel 14, também chamado de Microsoft Excel
2010.
No começo de sua existência, o Excel tornou-se alvo de um processo
judicial de marca registrada por outra empresa que já vendia um pacote de software
chamado "Excel" na indústria financeira. Como resultado da disputa, a Microsoft foi
solicitada a se referir ao programa como Microsoft Excel em todos os seus
documentos legais. Mas, com o passar do tempo, a Microsoft resolveu a questão
quando comprou a marca registrada reservada ao outro programa. Ela também
encorajou o uso das letras “XL” como abreviação para o programa; apesar dessa
prática não ser mais comum, o ícone do programa no Windows ainda é formado por
uma combinação estilizada das duas letras.
Figura 2. Símbolo do Excel
A extensão de arquivo do formato padrão do Excel até a versão 11 (Excel
2003) é .xls, sendo .xlsx a partir da versão 12, acompanhando a mudança nos
formatos de arquivo dos aplicativos do Microsoft Office.
O Excel oferece muitos ajustes na interface ao usuário onde as células
são organizadas em linhas e colunas, e contêm dados ou fórmulas com referências
relativas ou absolutas às outras células.
45
O Excel foi o primeiro programa de seu tipo a permitir ao usuário definir a
aparência das planilhas (fontes, atributos de caracteres e aparência das células).
Também, introduziu “recomputação” inteligente de células, na qual apenas células
dependentes da célula a ser modificada são atualizadas (programas anteriores
recomputavam tudo o tempo todo ou aguardavam um comando específico do
usuário) além de capacidades avançadas de construção de gráficos.
Desde 1993, o Excel tem incluído o complemento poderoso do Visual
Basic for Applications (VBA), uma linguagem de programação baseada no Visual
Basic que adiciona a capacidade de automatizar tarefas no Excel e prover funções
definidas pelo usuário para uso em pastas de trabalho. A gravação de macros, um
recurso do Excel que permite fazer tarefas repetitivas automaticamente, pode
produzir código VBA que replica ações do usuário permitindo automação simples de
tarefas cotidianas. O VBA permite a criação de formulários e controles dentro da
pasta de trabalho para comunicação com o usuário.
A funcionalidade de automação provida pelo VBA fez com que o Excel se
tornasse um alvo para vírus de macro. Esse foi um problema sério no mundo
corporativo, até os produtos antivírus começarem a detectar tais ameaças. A
Microsoft adotou posteriormente medidas para prevenir o mau uso, com a adição da
capacidade de desativar completamente as macros, de ativar as macros apenas
quando se abre uma pasta de trabalho ou confiar em todas as macros assinadas
com um certificado confiável.
As versões 5.0 a 9.0 do Excel contêm vários recursos não documentados
de seus produtos, chamados de "ovos de páscoa". Porém, desde a versão 10.0, a
Microsoft tomou medidas para eliminar tais recursos.
2.9.2 Matemática no Excel
Apesar do Excel não ter sido construído especificamente para ser utilizado
no contexto educacional, podemos utilizá-lo como “software educacional” para criar
ambientes de aprendizagem em Matemática, visto que esta planilha eletrônica
oferece recursos relacionados por expressões e funções matemáticas para efetuar
cálculos financeiros e contábeis simples como controle de gastos residenciais ou até
mais complexos como controle de fluxo de caixa de uma empresa. Também é
possível como esse programa tratar dados provenientes de pesquisas, produzindo e
gerando gráficos e tabelas.
46
O artigo 2º da LDB diz que “o preparo da educação para o exercício da
cidadania e sua qualificação para o trabalho é a base de toda a formação e
organização humana”. Mercado (1998, p. 6), ao argumentar sobre a forma de
produzir conhecimento, utilizando-se tecnologias em sala de aula, diz que, utilizando
metodologias adequadas, a Escola passa a ser um lugar mais interessante que
prepara o aluno para o seu futuro.
O Excel permite ao usuário, no nosso caso, ao aluno, definir e inserir
fórmulas escondidas que realizam cálculos sobre os dados visíveis bem como a
correção de valores, já que o próprio programa rapidamente recalcula os resultados
afetados por essa correção.
Outro ponto a ser considerado, é que o Excel manifesta os “erros” de
forma menos traumática, tornando-se um desafio que, automaticamente, tende a
levar o aluno a buscar novas descobertas, desenvolvendo a habilidade de elaborar
hipóteses que serão testadas para tentar encontrar a solução, tornando-se algo
pensado e submetido intencionalmente ao teste. Outra habilidade desenvolvida é a
“dedução” após a análise de tentativas já adotadas em outras situações ou mesmo
nessa.
Apesar do potencial das planilhas eletrônicas no ensino da Matemática,
sua utilização ainda é restrita, tendo em vista que a maioria dos livros de ensino
básico e superior sequer menciona a possibilidade de sua utilização e a maioria dos
professores não possuem suficiente capacitação e disponibilidade necessária para
elaborarem aulas utilizando o Excel.
Para este trabalho escolhemos o Excel 2003 por já estar instalado no
Colégio que será feita a aplicação, por este programa possuir uma interface de fácil
operação, e, principalmente, por possuir todas as operações necessárias para o
trabalho com vários conteúdos Matemáticos, inclusive Matrizes e Determinantes.
Conhecendo as operações e propriedades no tratamento dos conteúdos em questão
e os comandos e procedimento básicos que processam o Excel, os alunos terão a
possibilidade de “ensinar” o computador, construir planilhas automatizadas e
refletirem sobre suas ações ao resolverem os questionamentos dos conteúdos.
Para operar com uma planilha, em um nível básico, é preciso
conhecimento matemático similar a aquele necessário ao uso de calculadora, mas
com maiores exigências, é importante conhecer bem a notação matemática usada
para expressar diferentes conceitos, em particular o conceito de função. Mas para a
47
elaboração de planilhas mais complexas requer raciocínio típico dos problemas que
exigem um processo de solução em diferentes etapas.
O Excel apresenta recursos que provocam, de forma muito natural, o
processo que caracteriza o “pensar matemáticamente”, ou seja, os alunos fazem
experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para
resolver problemas. Para utilizá-lo, o aluno deverá ter um certo domínio do saber
matemático já que possibilita a expansão de sua base de conhecimento por meio de
suas próprias construções, permitindo a manipulação dos objetos que estão na tela.
No uso de tecnologia para o aprendizado da Matemática, a escolha de um
programa torna-se um fator que determina a qualidade do aprendizado. É com a
utilização de programas que oferecem recursos para a exploração de conceitos e
idéias matemáticas que está se fazendo um interessante uso de tecnologia para o
ensino da Matemática.
Utilizando as idéias de Jonassen (1996) sobre a classificação da
aprendizagem, as atividades no contexto deste trabalho, pode ser compreendidas
como aprender com a tecnologia (learning with), onde o aluno aprende usando as
tecnologias como ferramenta que o apóia seu processo de reflexão e de construção
do conhecimento (ferramentas cognitivas), utilizando o Excel como estratégia
cognitiva de aprendizagem e como aprender através da tecnologia (learning by),
onde o aluno aprende ensinando o computador, já que ele deverá inserir as fórmulas
e expressões corretas para obter a resposta esperada no Excel.
48
3 VIVENCIANDO A MATEMÁTICA NO EXCEL
3.1 Introdução
Vivemos em uma sociedade onde muitas pessoas convivem direta ou
indiretamente com a utilização do computador e não podemos deixar os alunos fora
desse contexto. O uso de tecnologias visa facilitar o complemento das aulas
ministradas, o que pode facilitar a aceitação dessas aulas. Apresentaremos uma
proposta de aplicação dos conceitos adquiridos na sala de aula com ênfase ao
trabalho de equipe e preparando os alunos para o mundo tecnológico e científico.
O presente projeto visa complementar o processo de ensino-
aprendizagem dos conteúdos de Matrizes e Determinantes já iniciado em sala de
aula, utilizando o recurso do Excel no Laboratório de Informática. Os alunos deverão
desenvolver habilidades como ter autonomia, saber pensar, criar e aprender a
ensinar o computador de modo que possa continuar o aprimoramento de suas idéias
e ações sem estar vinculado a um sistema educacional, preparando-os para o
trabalho e a sociedade.
A sociedade passa por profundas mudanças caracterizadas por uma
supervalorização do conhecimento e a informática está presente no cotidiano das
pessoas, promovendo alterações no modo de agir e pensar das mesmas. A Escola,
ao fazer parte desta sociedade, não pode ficar de fora ou distante desse contexto.
Hoje muitos alunos de Escolas públicas possuem acesso ao computador,
seja em casa, em lan house ou na própria Instituição Educacional. Porém, o
computador, por si só, geralmente não passa de um entretenimento para os
mesmos, visto que muitos o utiliza para conversar, ouvir músicas ou assistir vídeos.
As aulas utilizando um computador deverão ser direcionadas e
relacionadas pedagogicamente aos conteúdos propostos. Pensando nisso,
escolhemos, nesta pesquisa, o software Excel 2003 devido a sua disponibilidade nos
computadores do Colégio em que será realizado a aplicação do projeto. Os alunos
realizarão atividades de conteúdos de Matemática (Matrizes e Determinantes) e, ao
mesmo tempo, estarão realizando atividades em um programa de computador
(Excel) que é muito utilizado no dia-a-dia de várias empresas e que também serve
de base para outros programas, já que para responder as questões os alunos
49
deverão formular hipóteses e efetuar testes até encontrar a solução para o problema
em questão. É importante ressaltar que a solução encontrada pode não servir em
um problema futuro e ele deverá analisar as variáveis que mudaram e apresentar a
nova solução correta.
Queremos que na aplicação do projeto aqui proposto, o processo de
ensino-aprendizagem do conteúdo de Matrizes e Determinantes se torne mais
agradável e motivador utilizando o Excel, com planejamento e estratégias bem
definidas e elaboradas pelos professores, mesmo porque, o computador, por si só,
não possui nenhum direcionamento educacional, pois trata-se somente uma
máquina.
É preciso elaborar bons problemas colocando os discentes na posição de
pesquisador de forma que os mesmos necessitem mobilizar seus conhecimentos e
adquirir novos em busca das respostas.
Segundo Valente (1993), o aprendizado é entendido não como mera
aquisição de conhecimento mas como uma evolução na qual componentes como
planejamento, descrição, execução e reflexão são parte do ciclo interativo do
aprender.
Quando o aluno usa o computador para construir o seu conhecimento, o
computador passa a ser uma máquina para ser ensinada e propicia condições para
o aluno descrever a resolução de problemas, usando linguagens de programação,
refletir sobre os resultados obtidos e depurar suas idéias por intermédio da busca de
novos conteúdos e novas estratégias.
Na fundamentação teórica desta pesquisa foi abordado o uso do
computador no ensino de Matemática aos alunos do ensino médio de uma escola
pública da cidade de rede Estadual na cidade de Aparecida de Goiânia, estado de
Goiás, através da planilha eletrônica Excel.
Então, é possível complementar o processo de ensino-aprendizagem dos
conteúdos de Matriz e Determinante iniciados em sala de aula utilizando o programa
Excel?
3.2 Objetivos e Metodologia da Pesquisa
Utilizaremos o recurso do programa Excel 2003 como complemento das
atividades ministradas em sala de aula para motivar os alunos e ampliar e solidificar
o processo de aprendizagem de conteúdos de Matrizes e Determinantes, bem como
50
tornar as aulas mais interessante aos alunos, incentivando-os a interagir entre eles,
com os professores, com o computador e, por fim, a construir seu próprio
conhecimento através da ação e reflexão no ato de “ensinar/programar” o
computador.
Inicialmente fizemos a sondagem composta de aulas práticas no dia-a-dia
ministrada aos sujeitos-alunos, entrevista com os sujeitos-professores e análise do
PPP (Projeto Político Pedagógico) e da estrutura física do Colégio Estadual Cruzeiro
do Sul.
Já com mais proximidade dos alunos, na segunda fase elaboramos um
questionário onde os alunos responderam algumas questões pertinentes ao nosso
trabalho, denominado Questionário de Matemática (ver anexo I), mas não sem antes
deixar bem claro para os discentes, tanto oralmente quanto por escrito, através da
Carta Explicação (ver anexo I), que eles eram os sujeitos principais nesta aplicação.
Com isso, conseguimos fazer um “contrato didático” entre a maioria dos alunos para
que realmente todo o processo de pesquisa fosse bastante agradável, proveitoso e
importante para eles.
Na fase seguinte analisamos o questionário respondido pelos alunos (ver
anexo II), elaboramos um manual do com os conceitos e comandos básicos do Excel
(ver anexo III) para ser entregue à eles e também elaboramos as atividades no
próprio programa (ver anexo IV).
Na quarta e última fase fizemos algumas considerações sobre o as
experiências vivenciadas nesta pesquisa e aplicação.
Nesse contexto, analisamos e verificamos as atitudes dos alunos no uso
do Excel para resolver as atividades, visto que eles tiveram que apropriar-se dos
próprios saberes sobre Matrizes e Determinantes, associá-lo à ferramenta básica do
Excel, explorando-o e levantando hipóteses e conjecturas para tomar as decisões
que eram necessárias, demonstrando iniciativa e autonomia.
3.3 O Projeto
A pesquisa foi feita com duas turmas do 2º ano do Ensino Médio do
Colégio Estadual Cruzeiro do Sul.
Foram desenvolvidas atividades no laboratório de informática
complementando as atividades anteriormente ministradas na sala de aula, em um
total de seis encontros, sendo três para cada turma.
51
Para nos auxiliar, seguimos como sugestão a Sequência Didática abaixo:
a) Aplicamos a Carta Explicação e o Questionário (ver anexo I) aos
alunos, para conhecermos um pouco mais sobre os sujeitos
principais do projeto;
b) Analisamos as respostas dadas por eles.
c) Elaboramos e entregamos aos alunos o manual com os comandos
básicos a serem utilizados no Excel em atividades de Matrizes e
Determinantes (ver anexo II), que serve de orientação aos alunos
quando, na ausências dos professores, eles tiverem alguma dúvida
sobre a execução de alguns procedimentos do programa;
d) Elaboramos inicialmente atividades simples de adição, subtração,
multiplicação e divisão no Excel utilizando números reais,
preparando-os para executar os comandos com atividades mais
complexos futuramente;
e) Depois desenvolvemos as atividades de adição, subtração,
multiplicação e divisão de Matrizes além de operações com Oposta,
Transposta, Inversa de Matrizes e Determinantes;
f) Elaboramos as atividades finais onde os alunos utilizaram fórmulas
pré-existentes no Excel para solucionar as questões envolvidas nas
atividades.
3.4 Conhecendo os Sujeitos da Aplicação
3.4.1 Conhecendo a Instituição
O projeto foi aplicado no Colégio Estadual Cruzeiro do Sul, instituição
situada à Avenida das Rosas do Conjunto Cruzeiro do Sul em Aparecida de Goiânia-
GO, localizada em área urbana na periferia, tendo a região sul de Goiânia como
referência limítrofe territorial.
A instituição possui área de 10.598 m², sendo 1.627 m² construídas,
distribuída em 23 salas de aulas, 15 dependências sanitárias e algumas salas
especiais, dentre elas, o Laboratório de Informática.
A Escola desenvolve projetos na tentativa de aproximar a escola com a
comunidade local, principalmente projetos educativos na prevenção de drogas e
também sempre preocupados com a melhoria de vida da comunidade tanto na
52
saúde como também na parte intelectual, desenvolvendo projetos como Ecologia e
de Leitura.
O Laboratório de Informática possui uma “dinamizadora” e 21
computadores para a utilização usuários, além de 1 (um) computador que não pode
ser utilizado por professores nem alunos. Dos computadores disponíveis, 2 deles
não funcionam e, geralmente, no ato de início da sessão (“logar”) que dura cerca de
5 minutos, 3 a 4 deles não estabelecem conexão. Então, temos disponíveis cerca de
15 computadores.
Os computadores não possuíam acesso à rede e que, por isso, após
ligarmos os computadores, constatamos que teríamos que colocar a planilha com as
atividades em um pen-drive passando individualmente em cada máquina. Assim, as
aulas deveriam ser finalizadas 8 minutos antes de tocar o sinal para conseguirmos
salvar no pen-drive todas as atividades desenvolvidas pelos alunos, liberando o
Laboratório para o professor seguinte.
Teríamos também que agendar previamente o datashow e conectá-lo a
um notebook particular para não ocuparmos um computador. Pela disposição dos
computadores no Laboratório e para o sucesso pedagógico da aplicação, faz-se
necessário a utilização de 3 professores na aplicação do projeto, sendo 1
apresentando as atividades e os outros 2 auxiliando os alunos, cada um em um
“corredor”.
3.4.2 Conhecendo os Professores
O professor da Instituição, André Luiz Gonçalves atualmente compõe o
quadro de Professor Efetivo da Secretaria de Educação do Estado de Goiás e atua
na Matemática há quase 09 anos, sendo 04 deles dedicados ao Colégio Estadual
Cruzeiro do Sul, ministrando aulas nos três períodos. Ele possui conhecimento
intermediário de uso de computador tendo esse aprendizado fora do horário de
trabalho, com seu próprio investimento. Desde o contato inicial sobre o nosso projeto
ele se mostrou bastante interessado em participar e ajudar desenvolver todo esse
processo, além de dar total apoio quanto à disponibilidade das aulas que faríamos
essa aplicação
O professor auxiliar no projeto, Márcio José de Morais, estava finalizando
a sua graduação em Licenciatura Matemática e não trabalhava até então como
53
professor, mas possui um conhecimento avançado sobre os programas e recursos
do Excel.
3.4.3 Conhecendo os Alunos
Em princípio pensamos em fazer o projeto para ser aplicado em somente
uma turma, porém, após pensarmos que já estávamos acompanhando as duas
turmas desde o início do ano letivo, decidimos aplicá-lo em ambas.
Aproveitando as aulas da disciplina de Estágio Supervisionado IV
conseguimos obter uma ótima proximidade com os alunos ao ministrar aulas como
“professor estagiário” podendo assim conhecer um pouco mais dos mesmos e vice-
versa, conquistando sua confiança. Além disso, o professor André também passou
várias informações relevantes sobre as turmas: o 2º ano “I” e o 2º ano “J”,
compostos por 31 e 32 alunos, respectivamente.
Mesmo assim achamos bastante interessante a elaboração de um
questionário onde os alunos responderam algumas questões pertinentes ao nosso
trabalho, denominado Questionário de Matemática (ver anexo I), mas não sem antes
deixar bem claro para os discentes, tanto oralmente quanto por escrito, através da
Carta Explicação (ver anexo I), que eles eram os sujeitos principais nesta aplicação.
Com isso, conseguimos estreitar os laços e fazer um “contrato” entre a maioria dos
alunos para que realmente todo o processo de pesquisa fosse bastante agradável,
proveitoso e importante para eles. Observamos que o fato de não precisarem se
identificar os deixou também bastante a vontade para o preenchimento do
questionário.
3.4.3.1 Alunos do 2º Ano “I”
Exatamente 24 (vinte e quatro) alunos da turma do 2º Ano “I”do total de 31
(trinta e um) alunos que freqüenta o Colégio regularmente responderam à este
questionário.
Verificamos uma turma homogênea visto que possui 54% de alunos do
sexo feminino e o restante do sexo masculino, sendo que 83% de todos os alunos
tinha idade entre 15 e 16 anos. O meio de condução da maioria deles era o ônibus e
o tempo gasto para saírem de casa e chegarem ao Colégio geralmente é entre 10
(dez) e 40 (quarenta) minutos.
54
De todos eles, quase 55% deles responderam possuir conhecimento
básico em Excel e 8% admitiram possuir total desconhecimento sobre o programa.
Cerca de 63% dos alunos possuem Curso de Computação Básico e 67% possuem
computador em casa, sendo que todos eles acessam o computador.
Quase todos os alunos utilizam o computador para fazer pesquisas na
internet através de sites de busca como o Google, para acessar as redes sociais
como o Orkut, Msn, Facebook e Badoo e também para jogar ou assistir e ouvir
músicas e vídeos através, por exemplo, do site youtube. No campo educacional,
80% deles disseram que já utilizaram o computador para fazer pesquisas e
trabalhos, além de procurar traduções de atividades envolvendo língua estrangeira.
Cerca de 67% dos alunos responderam que achava possível aprender
Matemática utilizando o computador sendo que 4 (quatro) deles não souberam dizer
qual tipo de conteúdo matemático poderia ser aplicado utilizando o computador. Seis
alunos achavam possível utilizar os conteúdos de Matriz e Determinante, 02 (dois)
deles citaram sites matemáticos (como o http://www.somatematica.com.br/) e
também o youtube como prováveis programas para serem utilizados. Um dos
discentes citou que era possível aprender fórmulas matemáticas sendo que outro
citou a função exponencial como conteúdo a ser explorado utilizando o computador.
Um total de 10 alunos utilizaram o espaço de críticas, sugestões e dúvidas
com as seguintes observações:
· Eu gosto das aulas de Matemática do professor André porque ele
explica de maneira interessante e divertida;
· Eu sugiro que nas aulas de Matemática os alunos possam usar
outros meios de aprendizagem como o computador;
· Quais tipos de conteúdo pode ser aplicado utilizando o
computador?;
· O questionário é interessante;
· Matemática é para loucos.
· Use internet com moderação. Badoo, o melhor lugar para achar
mulher para dar uma gratinada.
· Espero que usemos computador e Matemática unidos;
· Achei legal essa idéia;
55
· Sugiro que os alunos tivessem ao menos 3 aulas na sala de
informática para aprofundar o conhecimento da sala de aula,
tornando-a mais interativa;
· Por que estou respondendo isso?
3.4.3.2 Alunos do 2º Ano “J”
Exatamente 25 (vinte e cinco) alunos da turma do 2º Ano “J”do total de 32
(trinta e um) alunos que freqüenta o Colégio regularmente responderam à este
questionário.
Verificamos que a turma possui 52% de alunos do sexo masculino e o
restante do sexo feminino, sendo que trata-se de uma classe mais heterogênea do
que a anterior, visto que possui alunos entre 14 e 21 anos de idade e o maior grupo
somava somente 28% do total, no caso alunos de 16 anos. O meio de condução da
maioria também era o ônibus, assim como a turma anterior e o tempo gasto para
saírem de casa e chegarem ao Colégio geralmente é entre 10 (dez) e 25 (vinte e
cinco) minutos.
De todos eles, quase 52% deles responderam possuir conhecimento
básico em Excel e 8% admitiram ter total desconhecimento deste programa. Cerca
de 52% dos alunos possuem Curso de Computação Básico e 64% possuem
computador em casa, sendo que 14% do total dos alunos responderam que não
utilizam o computador .
Quase todos os alunos utilizam o computador para fazer pesquisas na
internet através de sites de busca como o Google, para acessar as redes sociais,
para jogar ou assistir e ouvir músicas e vídeos através, por exemplo, do site youtube.
No campo educacional, 92% deles disseram que já utilizaram o computador para
fazer pesquisas e trabalhos, além de procurar traduções de atividades envolvendo
língua estrangeira.
Cerca de 56% dos alunos responderam que achava possível aprender
Matemática utilizando o computador, sendo que um deles citou que era possível ver
as fórmulas na internet e outro citou que o computador facilitaria o aprendizado. O
restante da turma respondeu que isso não era possível, sendo que um deles
informou que a explicação do professor André já era muito clara e outro aluno
comentou que a Matemática só poderá ser aprendida utilizando lápis e borracha.
56
Um total de 9 alunos utilizaram o espaço de críticas, sugestões e dúvidas
com as seguintes observações:
· Eu gosto das aulas de Matemática do professor André. Gostaria
que ele utilizasse mais o computador na escola para ficarmos mais
preparado para o mercado de trabalho. Na hora da entrevista eles
perguntam sobre conhecimento em informática;
· Adoro o professor André. Ele é muito “gente boa”;
· O professor Andre é um bom professor, explica bem e com ele é
mais fácil de aprender;
· Devia ter mais aulas de internet e menos aulas na sala;
· Qual a finalidade dessas perguntas? Eu vou ser premiada com
algum curso?;
· Qual a finalidade do questionário? Vou ser premiada? Vou ganhar
curso?;
· Este questionário serve para que? Vou ganhar curso?;
· Compensa estudar Matemática para o vestibular de uma forma que
não tome meu tempo de trabalho;
· O André é um ótimo professor. Só que eu tenho dificuldade na
matéria. Eu acho que ele deveria passar mais atividades como
trabalho para poder nos auxiliar na avaliação bimestral, mas o
Andre é de boa e gosto dele.
Com esses comentários, sentimos que alguns alunos acharam que o
computador iria “tomar o lugar” do querido professor André. Outros inicialmente não
entenderam bem o propósito do questionário e das futuras atividades.
3.5 Data de Início e Duração
Aplicamos o projeto no mês de abril para as duas turmas, sendo que para
cada uma delas utilizamos 3 aulas de 45 minutos, cada. Então as 6 (seis) aulas
programadas ficaram assim distribuídas:
· No dia 26 de abril de 2011 utilizamos o 1º, 2º e 6º “horários” com a
turma do “I” e o 3º e 4º horários com a turma “J”;
· No dia 27 de abril de 2011 finalizamos com a turma “J” no 2º
horário.
57
3.6 Elaborando as Atividades no Computador
Foi utilizado o Excel 2003, software disponível e já instalado nos
computadores do laboratório de informática, para efetuar as atividades sempre
relacionadas ao conteúdo de Matrizes e Determinantes, lembrando que as aulas já
foram efetuadas em sala e que agora os alunos terão a possibilidade de
complementar seu conhecimento utilizando o computador.
Formulamos um pequeno manual com os comandos básicos do Excel
2003 (ver anexo III).
Criamos uma planilha eletrônica com atividades relacionadas ao conteúdo
matemático constando 7 (sete) planilhas (ver anexo IV) com os as seguintes
nomenclaturas:
· Comandos_ básicos;
· Oposta_e_Transposta;
· Adição;
· Multiplicação;
· Multiplicação_2;
· Inversa;
· Determinantes.
3.7 Aplicação nas Turmas do Ensino Médio
A mesma atividade abaixo foi elaborada para as duas turmas analisadas
acima. Como as indagações e considerações das duas turmas foram bem
semelhantes, optamos por comentarmos os principais acontecimentos reflexões nas
aplicações, independente da turma.
Para as duas turmas o procedimento inicial foi o mesmo. Quando eles
chegaram ao Laboratório de Informática, as planilhas com as atividades de Excel já
58
estavam “abertas” em seus respectivos computadores. Também, pela pouca
quantidade de computadores disponíveis, as atividades foram realizadas em dupla.
A princípio eles ficaram receiosos pois achavam que iriam utilizar a Internet para
fazer algum trabalho. Pedimos a eles que digitassem os seus respectivos nomes no
campo “indicado” e, após isso, “salvassem” esta planilha. Com isso, conseguimos
posteriormente recolher e analisar os registros de cada dupla. Neste momento
alguns alunos apresentaram certa dificuldade em “guardar” o arquivo, mas, com o
auxílio dos professores, eles conseguiram.
Figura 3. Comandos básicos 1
Nesta questão 01, na planilha Comandos_básicos, verificamos que os
alunos responderam com facilidade os itens a ao f, sendo que no item g alguns
alunos não perceberam que o elemento 64 estava presente em dois “locais” da
Matriz. Outros alunos questionaram se era possível existir na mesma Matriz dois
“números iguais”, ao qual eles mesmos obtiveram a resposta após refletirem.
No item h alguns alunos não conseguiram responder inicialmente, porém,
após breve explicação, eles acharam “fácil demais” a resposta.
59
Figura 4. Comandos básicos 2
A partir da questão 02 acima, os alunos já foram envolvidos pelo
conhecimento do conteúdo e do programa Excel. Fizemos no datashow para que os
alunos acompanhassem visualmente, como exemplo, a resolução do item a
utilizando a fórmula “=C43+E43” e os deixamos responder os outros.
Verificamos que os alunos da turma “J” assimilaram bem a utilização do
Excel e responderam com muita agilidade as questões.
Na turma “I” aconteceu um fato que vale a pena comentar. Mesmo com a
explicação dada no exemplo, nos itens b ao p alguns alunos responderam que
achavam mais fácil digitarem a resposta, ou seja, não utilizaram as ferramentas de
função/fórmula do Excel. Ao perguntarem se eles estavam errados, respondemos
que “não”. Realmente eles estavam certos, pois a resposta era correta. Porém,
visualizando no datashow, fizemos na nossa planilha e pedimos aos alunos que
60
alterassem os números do produto do item g que inicialmente era 4 x 3. Digitamos
16578 x 6629 e, os alunos que utilizaram a fórmula corretamente (“=C55*E55”)
notaram que a resposta calculada “automática e corretamente”, ou seja,
“109895562”. Mas aqueles que não a utilizou, ainda encontraram a resposta 12 que
tinham digitado anteriormente. Estes disseram que agora não conseguiriam
responder “de cabeça” e que demoraria muito tempo para responder a multiplicação
utilizando o lápis e papel e utilizaram o recurso disponível no Excel.
Ainda restava um aluno que conseguiu efetuar o cálculo utilizando a
calculadora, relutando em não tentar aprender a “novidade”. Novamente no
datashow, fizemos e pedimos aos discentes que substituísse, ainda no item g,
somente o número 6629 por – 36875987, encontrando a resposta – 611330112486.
O único aluno que “ignorava” até então a utilização da fórmula nos disse que não era
possível encontrar a resposta na calculadora. Com isso, solicitamos que todos
alterassem arbitrariamente os números do produto da letra g e eles constataram que
realmente era muito interessante esse “recurso” do Excel.
Figura 5. Comandos básicos 3
Os itens q e r não foram bem formulados, gerando ambigüidade na
interpretação e, devido a isso, pedimos que os alunos não os respondessem.
Figura 6. Matriz Oposta
61
Figura 7. Matriz Transposta
Nestas questões 03 e 04 acima, já na planilha Oposta_e_Transposta,
solicitamos que os alunos criassem suas próprias matrizes, podendo alterar até
mesmo o nome das mesmas e verificamos que alguns alunos ficaram surpresos e
acharam impressionante o que acontecia quando eles renomeassem a matriz, por
exemplo, a “Matriz A” para “Matriz Massa”, automaticamente o que estava digitado
“Oposta da Matriz A”, passaria para “Oposta da Matriz Massa”.
A maioria teve facilidade em construir as matrizes e determinar as suas
respectivas opostas e transpostas, visto que possuíam o conceito e definições de
matrizes bem formuladas e aprofundadas.
Figura 8. Adição 1
Na questão 05 presente na planilha Adição, verificamos que os alunos
tiveram grande facilidade em responder as letras a, b e d, pois sabia qual seria a
62
ordenação correta da matriz resposta, ou seja, ao somarem o elemento de primeira
coluna e primeira linha das matrizes iniciais, a resposta seria digitada na mesma
posição da coluna resposta.
Quando chegaram à letra c, propositalmente impossível de ser resolvida, a
maioria dos alunos perceberam que não conseguiriam encontrar a solução e a
resposta era que as Matrizes não eram do mesmo “tamanho”, ou seja, não possuíam
a mesma ordem.
Os alunos acharam interessante o recurso de “puxar/arrastar a fórmula”,
no qual “agilizaria” todo o processo de resolução do problema, mas não se
esqueceram que era necessário e de fundamental importância analisar a resposta
para ver se realmente condiz com o problema proposto.
Figura 9. Adição 2
Por questão de falta de tempo disponível, resolvemos desconsiderar a
letra e do exercício acima.
Na planilha Multiplicação abaixo temos a questão 06 verificamos que a
letra a letra a foi respondida com facilidade e alguns alunos tentaram utilizar o
recurso de “puxar/arrastar a fórmula”, porém, analisaram e verificaram que a
resposta estava incoerente com o enunciado, pois o resultado esperado da 2ª linha
da matriz-resposta deveria ser -3 e 0, respectivamente, e eles encontraram 0 e 0.
Mostramos para eles, então, forma de “ancorar/fixar” a célula que convém no
exercício, utilizando o símbolo $.
63
Figura 10. Multiplicação 1
Os alunos tiveram certa dificuldade com a letra b porque, apesar de
conhecerem bem o “algoritmo” de multiplicação de matrizes, ainda tinham
dificuldade em operar os símbolos de expressões numéricas matemáticas no Excel,
como o parêntesis. Como a letra c não era “quadrada”, debatemos com os alunos a
condição de existência da multiplicação de matrizes, isto é, se existia ou não
resposta para aquele enunciado. Deixamos eles mesmos chegarem a conclusão que
realmente se existia ou não a possibilidade dessa existência e ouvimos as suas
justificativas. Com esse debate, ficou fácil saber qual seria o tamanho da matriz
“resultado”. A maioria dos alunos utilizaram o símbolo $ para otimizarem o processo
da matriz-resposta.
Com o debate da letra c, facilmente os alunos justificaram a
impossibilidade de se efetuar a multiplicação das matrizes da letra d. A letra e ficou
mal elaborada, gerando novamente ambigüidade, já que, se o aluno entendê-la
como (3 x “Matriz A” + “Matriz B”) x (“Matriz C”), não teria solução. Pedimos então
que eles visualizassem a questão como (3 x “Matriz A”) + (“Matriz B” x “Matriz C”). A
partir daí eles verificaram que resultaria em duas matrizes de mesma ordem (3x2),
encontrando assim a matriz-resposta.
Não foi possível chegar a responder a letra f abaixo com a turma “I” pois
faltavam apenas 10 minutos para findar-se a 2ª aula e os alunos teriam que ir para a
64
sala de aula. Além disso, a outra turma entraria ao laboratório de informática na aula
seguinte e a “dinamizadora” nos disse que era necessário reiniciar todos os
computadores antes que os novos alunos entrassem o laboratório. Solicitamos aos
alunos que salvassem os seus trabalhos e que iríamos continuar no 5º horário.
Passamos de computador em computador e copiamos suas planilhas. Nesse
momento dois computadores foram reiniciados antes que conseguíssemos registrar
as atividades dos respectivos alunos que os utilizaram.
Figura 11. Multiplicação 2
A turma “J” utilizou exemplos que já tinham sido resolvidos no caderno e
verificaram que realmente “dá certo”, só que “no computador é mais rápido”
Figura 12. Multiplicação 3
65
A partir da questão 07, presente na planilha Multiplicação_2, utilizamos
mais recursos do Excel 2003, ou seja, as fórmulas e funções pré-existentes no
mesmo. Notamos que a maioria dos tiveram dificuldade inicialmente em utilizar a
fórmula “=MATRIZ.MULT” por ser um pouco diferente.
Além de terem que selecionar corretamente as planilhas do produto, de
saber exatamente o “tamanho” da matriz-resposta (quantas linhas e colunas são
necessárias para a resposta), eles deveriam executar a seleção das células e todos
os passos do “F2, CTRL – SHIFT – ENTER” exatamente na sua respectiva
ordenação.
Depois de se familiarizarem com a função, eles disseram que com ela
conseguiria calcular rapidamente e facilmente a multiplicação de matrizes, sendo
que o caderno, utilizando o lápis, iriam demorar muito.
Na questão 08 abaixo, presente na planilha Inversa, alguns alunos
esqueceram de selecionar as células da matriz-resposta e calcularam a fórmula
“=MATRIZ.INVERSO” somente em uma célula, resultando em um número. Eles
mesmo debateram e chegaram a conclusão que deveria fazer essa seleção antes.
Como já tinham experiência com a função anterior que utiliza os passos “F2, CTRL –
SHIFT – ENTER”, eles acharam muito fácil encontrar a Inversa das Matrizes da
letras a a d.
66
Figura 13. Inversa
Já na letra e eles encontraram nos quatro elementos da matriz-resposta o
símbolo “#NÚM!”. Novamente iniciamos um debate que aconteceu nas duas turmas.
Alguns acharam que tinha tinham errado algo na fórmula ou digitado algo incorreto.
Durante o debate duas alunas disseram que nem todas as matrizes possuíam
inversa. Os próprios alunos lembraram da definição de Matriz Inversa e da Matriz
Identidade. Com isso, eles perceberam que a questão não tinha solução.
67
Figura 14. Determinantes
Na planilha Determinantes, encerrando a atividade, utilizamos a fórmula
do Excel “=MATRIZ.DETERM” para respondê-la. Como já tinham se familiarizado
com o Excel, todos os alunos responderam à essa questão com extrema facilidade.
Eles disseram que as letras a e b são fáceis de serem resolvidas pelo método
prático e por Sarrus, mas que a letra c seria muito “demorada” porque tinha que
fazer vários cálculos para descobrirem o resultado correto.
Os alunos também disseram que no Excel poderia calcular até
determinantes de ordem 8, 9 ou 10 tranquilamente.
Sugerimos então aos alunos que manipulassem os dados da matriz da
letra c da seguinte forma: alterar a 4ª coluna para os números 0, 6, -24, 12 e -9,
respectivamente. A resposta, claro, encontrada pelas duas turmas, foi 0 (zero) e
iniciamos novo debate com alguns alunos. Eles disseram que a 4ª coluna que
digitamos era exatamente a 2ª coluna, multiplicada pelo número 3.
Com a turma “J” conseguimos simular várias situações que o determinante
era “zerado”, inclusive deixamos que eles próprios “ditassem” os números para
serem digitados na Matriz que estava sendo visualizada no datashow. Como ainda
68
era o 2º “horário” do segundo dia de aplicação, os alunos se mostraram ainda muito
entusiasmados. Com essa motivação e com tempo disponível, mostramos a eles um
“programa” no Excel criado por nós professores e que “calculava automaticamente”,
utilizando as regras e propriedades de matrizes e determinantes, as respostas dos
sistemas lineares que eles já tinham iniciado a estudar. Eles também solicitaram que
essas planilhas trabalhadas no Laboratório fossem enviadas para os seus
respectivos e-mails.
Na turma “I”, como já era o 6º e último “horário” percebemos que os alunos
já estavam dispersos esperando a hora de terminar a aula para ir embora. Somente
alguns alunos interagiram nesta última aula.
69
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apesar de não tratar-se de um software com a finalidade de uso
educacional, a utilização do Excel no ensino de Matrizes e Determinantes como
complemento das atividades desenvolvidas e ministradas em sala de aula foi
importante para a construção do conhecimento dos alunos. O software propiciou a
integração aluno-aluno e aluno-professor, estimulando de maneira desafiadora os
alunos a ensinarem o computador a resolver as questões, proporcionando ao aluno
a cooperação, interação e motivação principalmente por terem sido autores de seu
próprio trabalho e, conseqüentemente, de seu próprio aprendizado.
Em geral os alunos gostaram e perguntaram quando seria a próxima
aplicação de matemática utilizando o computador. Entendemos que essa atividade
só foi possível porque os docentes tinham um ótimo conhecimento dos conceitos e
propriedades das matrizes e determinantes, além do domínio avançado do Excel.
Não podemos deixar de registrar os obstáculos encontrados durante essa
vivência. Apesar de apresentarmos a carta-explicação e de mostrarmos aos
discentes que eles são personagens principais desta pesquisa, alguns alunos não se
mostraram muito dispostos a colaborarem com a aplicação.
Não conseguimos constatar se o programa Excel utilizado no Colégio
Estadual Cruzeiro do Sul possuía licença de utilização e, ao sugerirmos a instalação
de um programa “livre” OpenOffice ou BrOffice, recebemos a informação que
somente um “técnico” cadastrado pela Secretaria de Educação poderia efetuar
qualquer tipo alteração e instalação de programas nas máquinas. Como os
computadores do Colégio não funcionam em rede, tivemos que chegar mais cedo ao
laboratório para colocarmos todos os arquivos nas máquinas e depois recolhê-los
antes da entrada do professor que ministraria a aula seguinte no local. As atividades
foram efetuadas em duplas pois alguns computadores não funcionaram e os
professores André e Márcio fizeram o papel dos dinamizadores para auxiliar os
alunos nas atividades.
Inicialmente os discentes queriam acessar a internet, porém, solicitamos
que fosse desativada durante a nossa aplicação. Alguns queriam efetuar as
atividades de soma e multiplicação utilizando somente o cálculo mental mas, depois,
70
observaram que, quando os valores aumentavam, tinham problema. Os que fizeram
os cálculos utilizando o “=” do Excel acharam surpreendente que, ao mudar os
valores, as respostas “apareciam” automaticamente, desde que o algoritmo da
operação tenha sido digitado corretamente.
Vimos também que não foi tarefa simples a elaboração destas atividades
visto que nesta aplicação estão envolvidos conhecimentos aprofundados
matemáticos e do software Excel para que realmente as atividades sejam
pedagógicas e relacionadas ao conteúdo de Matrizes e Determinantes, isto é, não
basta somente deixar o aluno acessar o computador por si só, mas sim, acompanhar
sistematicamente todo o trabalho desenvolvido por ele.
O ensino através da utilização do laboratório de informática não pode ser
efetuado somente com um professor pois o nível de dispersão dos alunos poderá ser
ainda maior caso não tenha outros profissionais que dominem o conteúdo e o
software a ser utilizado que possam monitorar e auxiliar os alunos. Foi necessária a
presença de três professores matemáticos com conhecimento avançado no
conteúdo de Matriz e Determinante e também do software Excel. Enquanto um
professor ficou por conta de apresentar as explicações utilizando o datashow, os
outros dois ficaram em cada um dos “corredores” do laboratório de informática para
verificarem passo-a-passo o que os alunos estavam produzindo, deixando-os
sempre “à vontade” para construírem seu conhecimento, sempre mediado pelo
professor.
Deve haver também um esforço das políticas educacionais na formação
dos professores em utilizar qualitativamente esta tecnologia, enriquecendo a sua
prática pedagógica. Se a atividade com informática não for reconhecida, valorizada e
sustentada pela direção da escola, não provocará nenhum impacto na sala de aula.
Os professores e diretores precisam de formação e orientação sobre como atuar
nessa área. Em algumas escolas a sala de informática fica sem uso por vários
meses porque não há verba para pagar a visita de um técnico.
A disponibilidade de recursos técnicos, como computadores e espaço
físico do laboratório de informática, afetam diretamente o sucesso desta atividade.
Na aplicação foi necessário deixarmos em cada computador uma dupla de alunos.
É importante salientar que a utilização do computador, no nosso caso
utilizando o Excel, representa somente um auxílio aos estudo em Educação
71
Matemática, como em Matrizes e Determinantes, e não uma solução isolada para as
dificuldades no processo de ensino-aprendizagem.
Os alunos parecem mostrar-se abertos e receptivos quando se trata de
utilização da ferramenta de tecnologia aliada aos estudos. É realmente desgastante
para o professor elaborar essas aulas mas o resultado é sentido principalmente
sabendo que estaremos preparando os alunos não somente no âmbito educacional
mas também no âmbito social e profissional.
O Excel não irá acabar com a escrita e a oralidade da sala de aula assim
como a simulação não substitui a demonstração em Matemática. Portanto podemos
realmente esperar que o Excel constitua uma ótima ferramenta a ser utilizada pelo
professor como um importante instrumento pedagógico, oportunizando ao aluno a
construção e ampliação de seu próprio conhecimento.
72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARRETO FILHO, Benigno; BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática: Aula por Aula. São Paulo: FTD, 2000. BOLDRINI, José L. et al. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra, 3ª Edição, 1986. BORBA, M. de C.; PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. 2ª ed., (Coleção Tendências em Educação Matemática). Belo Horizonte: Autência, 2001. BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 3ª. ed., (Coleção Tendências em Educação Matemática). Belo Horizonte: Autêntica, 2003. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 488 p. BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006 (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2). Disponível em http://www.mec.gov.br. Acesso em: 04 de março de 2011. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – Matemática. Brasília, 1997. Disponível em : <http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 04 de março de 2011. DRUCKER, P. A sociedade pós-capitalista. São Paulo: Pioneira, 1993. IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciência e Aplicações 2. 2ª ed., São Paulo: Atual, 2004. JONASSEN, D. (1996). Using Mindtools to Develop Critical Thinking and Foster Collaborationin Schools. Columbus, 1996. KENSKI, Vani Moreira. O Ensino e os recursos didáticos em uma sociedade cheia de tecnologias. Rio de Janeiro: Editora 34, 1997. LEVY, P..As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro: Editora 34, 1993. MASSETO, M.T. Mediação Pedagógica e o uso da tecnologia. 8ª ed. Campinas: Papirus, 2004. MERCADO, L.P.L. Formação docente e novas tecnologias. 1998. Disponível em <http://lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt200342414941210m.pdf> Acesso em 08 de março de 2011.
73
MONTEIRO, E. Escola: exercício de comunicação, exercício de cidadania. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação), PUC-RJ, Rio de Janeiro, 1995. Naisbitt, J. & Aburdene, P. Megatrends 2000. New York: Avon Books, 1990. PAPERT, Seymour. LOGO, Computadores e Educação. São Paulo: Brasiliense, 1986. PAPERT, S. A máquina das crianças; repensando a escola na era da informática. Porto Alegre, Artes Médicas, 1994. PENTEADO, M. G; BORBA, M. C. (Orgs). A Informática em Ação: Formação de professores, Pesquisa e Extensão. São Paulo: Olho d’ Água, 2000. PIAGET Jean. Fazer compreender Matemática. São Paulo, Melhoramentos, 1978. PROINFO. A Tecnologia Renovando o Processo Educativo. Disponível em < edutec.net/Textos/Alia/PROINFO/prf_txtie16.htm>. Vários acessos. TARJA, S.F. Informática na Educação: Novas ferramentas pedagógicas para o professor na atualidade. 4ª ed. São Paulo: Érica, 2001. TOFLHER, Alvin. Power Shift: Knowledge, Wealth and Violence at the Edge ofthe 21st Century. New York; Bantam Books, 1990. VALENTE, José Armando. O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas, SP: UNICAMP/NIED, 1999. Disponível em <escola2000.net/futura/textos.../livro02-Jose%20Valente%20et%20alii.pdf> VALENTE, J.A. (Org.). Computadores e Conhecimento: repensando a educação. Campinas: NIED/UNICAMPGrafica Central UNICAMP, 1993. 418 p. VALENTE, J.A. (Currículo Lattes).Disponível em <http://lattes.cnpq.br/8919503255281132> VALENTE, J. A. Computadores e Conhecimento: repensando a educação. Por que o computador na educação. Gráfica central da Unicamp, Campinas-SP, 1993. Wikipédia. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel>. Acesso em 06 de julho de 2011 FIGURA 2. Disponível em <http://www.clinicadematematica.com.br/00-images/excel.jpg> . Acesso em 15 de julho de 2011.
74
ANEXOS
75
ANEXO I
ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DOS ALUNOS – GRÁFICOS
76
Carta Explicação Colégio Estadual Cruzeiro do Sul Aparecida de Goiânia, _______ de março de 2011 Professores: André Luiz Gonçalves, Warley Dorneles e Márcio José de Morais
Caros alunos do 2º ano do Colégio Estadual Cruzeiro do Sul.
O presente questionário serve para tentarmos buscar uma integração maior entre vocês estudantes, nós professores, o ambiente escolar, familiar, nossa comunidade e toda a nossa sociedade.
Trata-se de uma pesquisa sobre a possibilidade de utilização do computador para facilitar e auxiliar o processo de ensino-aprendizagem da Matemática complementando os conteúdos anteriormente ministrados em sala de aula.
Lembrando que não é preciso identificar-se, porém, o seu comprometimento e veracidade de suas respostas serão de total importância para fazermos da sala de aula um ambiente mais agradável.
As perguntas são individuais e vocês terão alguns minutos para respondê-las e entregarem aos professores.
Quaisquer dúvidas que aparecerem durante o preenchimento das respostas podem nos chamar que estaremos sempre à disposição de vocês.
Obrigado. Professores André, Warley e Márcio.
77
Questionário de Matemática
Colégio Estadual Cruzeiro do Sul Aparecida de Goiânia, _______ de março de 2011 Professores: André Luiz Gonçalves, Warley Dorneles e Márcio José de Morais
Conforme orientações da Carta Explicação dos professores sobre este
questionário, responda as perguntas abaixo:
1. Escreva as iniciais do seu nome e sobrenomes. (Exemplo: Luís Inácio da Silva deverá ser LIS).
2. Qual o seu sexo? Masculino Feminino
3. Qual sua data de nascimento? / /
4. Qual o ano e turma você cursa atualmente no Colégio Estadual Cruzeiro do
Sul? 5. Qual o meio de transporte você utiliza para chegar ao Colégio?
6. Quanto tempo você demora no trajeto de sua casa até o Colégio?
7. Você já fez curso de digitação e computação? Sim Não
8. Você possui acesso a computador em casa? Sim Não 9. Você possui acesso a computador em outro lugar?Caso a resposta seja afirmativa, cite os locais.
10. Em média, quantas horas por dia você costuma utilizar o computador?
11. Você utiliza o computador para quais finalidades?
78
12. Você utiliza somente a Internet ou costuma utilizar também algum outro programa específico do computador? Quais?
13. Em alguma Escola ou Colégio que você estudou você já utilizou o computador em alguma atividade escolar? Qual era a atividade e qual programa você utilizou?
14. Fora do ambiente escolar você já utilizou o computador para lhe auxiliar em alguma atividade escolar? Qual era a atividade e qual programa você utilizou?
15. Você acha possível aprender Matemática utilizando o computador? Caso a resposta seja afirmativa, cite algum exemplo de qual conteúdo você gostaria que fosse trabalhado pelo professor.
16. Sobre a ferramenta Excel, você considera que possui:
17. Deixe no espaço abaixo seu recado, sua dúvida ou sugestão.
79
Ao elaborarmos este questionário, a nossa intenção era conhecer um
pouco mais da vida e do conhecimento dos alunos.
A primeira questão foi para tentar deixar os alunos com maior liberdade
para responder as questões, já que a identidade deles seria mantida em sigilo. Já
questão 02 nos serviria para a análise quantitativa e posteriormente como análise
estatística e qualitativa dos dados, assim como também a terceira questão.
A questão 04 foi elaborada para separarmos bem a tabulação das duas
turmas e a quinta e sexta questões para realmente verificar algumas pontuações do
Projeto Político Pedagógico da Escola como a população e os bairros abrangidos
pela Instituição, além de nos dar a possibilidade de deduzir até mesmo a condição
financeira “aparente” dos alunos e até mesmo sua família.
A sétima questão é necessária para analisar se o conhecimento
“profissional” do aluno sobre a utilização do computador, somente um conhecimento
“nativo” prévio ou nenhum conhecimento por parte do mesmo. As duas questões
seguintes eram necessárias para pontuarmos a disponibilidade do computador ao
alcance dos discentes, sendo que a questão 10 era para saber o nível de
proximidade que o aluno possui com o computador.
A décima primeira questão foi elaborada para verificarmos finalidade de
utilização do computador pelos alunos e, já imaginando qual seria geralmente a
resposta dada, a questão 12 foi necessária para verificar se o aluno possui
conhecimento sobre a utilização de programas disponíveis no computador. As
questões 13 e 14 foram elaboradas para sabermos se os alunos já utilizaram o
computador como ferramenta em alguma atividade escolar ou não e qual programa
ele utilizou.
Nesta 15 questão queremos saber se o aluno vislumbra a utilização do
computador como uma ferramenta de ensino da Matemática e a seguinte serviu para
verificarmos o nível de conhecimento de cada aluno com a ferramenta Excel.
A última questão deixamos como espaço livre para o aluno fazer as suas
considerações.
80
ANEXO II
ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DOS ALUNOS – GRÁFICOS
81
RESPOSTAS DA TURMA 2º ANO “I”
82
83
84
85
RESPOSTAS DA TURMA 2º ANO “J”
86
87
88
89
ANEXO III
MANUAL EXCEL 2003
90
Colégio Estadual Cruzeiro do Sul Aparecida de Goiânia, _______ de março de 2011 Professores: André Luiz Gonçalves, Warley Dorneles e Márcio José de Morais
Microsoft Excel 2003
Seja Bem Vindo! A partir de agora você terá contato com o “Microsoft Excel” em sua versão 2003. O Excel, como é comumente chamado, é considerado um software de planilha
eletrônica ou de cálculos. A primeira vista nos parece um pouco complicado, mas é muito simples.
Com o Excel se pode fazer desde simples cálculos, até cálculos mais avançados como
financeiros, matemáticos, lógicos, estatísticos, etc. Pode-se fazer desde controle de gastos da sua casa, até controle de estoque ou fluxo de caixa de uma empresa.
Apresentaremos a seguir algumas opções básicas que serão utilizadas na resolução de
exercícios relacionados a Matrizes e Determinantes.
INICIANDO O EXCEL
Para abrir o programa Excel, usaremos os seguintes passos: 1.Clique no botão iniciarà 2. Posicione o cursor do mouse na opção todos os Programasà 3. Posicione o cursor na opção Microsoft Officeà 4. Visualize e clique em Microsoft Office Excel 2003à A tela do Excel
91
Para quem já trabalhou com o editor de textos Microsoft Word, a tela acima o lembra
um pouco, principalmente a barra de Ferramentas. Alguns botões do Word, porém, o que diferencia mesmo são as células, divididas em linhas e colunas.
CONHECENDO AS BARRAS DO EXCEL 8 Barra de Título
Fornece o nome do software e também o nome do arquivo que está sendo editado (ou
que se encontra aberto). 8 Barra de Menus
Fornece os menus de comandos do Excel.
8 Barra padrão ou de ferramentas de comandos
Fornece, ao usuário, botões representando alguns dos comandos disponíveis nos
menus.
92
8 Barra de Ferramentas de Formatação
Permite ao usuário formatar os caracteres do texto na célula, modificando estilo, cor de
textos e células, alinhamento do texto, centralizar colunas, formatar em moeda, etc.
8 Barra de Fórmulas
8
8 8
8 Área de Trabalho
É o local onde iremos digitar nas células e trabalhar com colunas e linhas de uma planilha.
8 Barras de Rolagens
Usadas para que o usuário se desloque pelo texto com o auxílio do mouse, elas podem ser vertical ou horizontal. Você desloca pela planilha clicando nas setas ou arrastando o botão.
93
OS COMPONETES DO EXCEL 2003 Este software é composto de cinco partes fundamentais, que são: 1. Pasta. 2. Planilha. 3. Coluna. 4. Linha. 5. Célula. 1. Pasta è É denominada “PASTA” todo arquivo que for criado neste software
“Excel”. Tudo que for criado e posteriormente será um arquivo, porém considerado uma PASTA.
2. Planilha è Uma planilha é considerada a parte onde será executado todo o
trabalho por isso esta é fundamental, se não temos planilha não podemos criar qualquer calculo que seja.
OBS: Dentro de uma planilha estão contidas as colunas, linhas e células. 3. Coluna èÉ o espaçamento entre dois traços na vertical. As colunas do Excel são
representadas em letras de acordo coma a ordem alfabética crescente sendo que a ordem vai de A até IV, e tem no total de 256 colunas em cada planilha.
4. Linha èÉ o espaçamento entre dois traços na horizontal. As linhas de uma
planilha são representadas em números, formam um total de 65.536 linhas e estão localizadas na parte vertical esquerda da planilha.
5. Célula è As células são formadas através da intersecção “cruzamento” de uma
coluna com uma linha e, cada célula tem um endereço “nome” que é mostrado na caixa de nomes que se encontra na Barra de Fórmulas. Multiplicando as colunas pelas linhas vamos obter o total de células que é 16.777.216.
A PASTA Todos os arquivos criados no Excel denominamos pasta.
94
A PLANILHA
O Excel 2003 possui varias planilhas, (Inicialmente temos 03 planilhas para trabalharmos, mas que posteriormente podem podem ser alteradas).
Podemos localizar uma planilha através dos nomes que elas receberam inicialmente PLAN1, PLAN2... Na parte inferior da Área de Trabalho, que recebe o nome de guia de planilhas. A COLUNA
O Excel possui 256 colunas representadas por letras de nosso alfabeto, podemos localizar uma coluna na tela do Excel através das letras que se encontram acima da área de trabalho, como no exemplo abaixo, observe a coluna D. Sinais operacionais Sinal de * = Multiplicação Sinal de / = Divisão Sinal de + = Adição Sinal de – = Subtração Sinal de ^ = Potenciação Sinal de % = Porcentagem
ENTENDENDO FUNÇÕES
Nós podemos fazer cálculos com o Excel usando as funções já existentes ou ainda criando novas funções que veremos a seguir.
Um detalhe muito importante é que uma função no Excel deve ser precedida pelo sinal de = (igual), independentemente da função, pois o Software reconhece uma fórmula ou função a partir do momento que for iniciado com o sinal de igual.
A função é um método para tornar mais rápido a montagem de fórmulas que envolvem cálculos mais complexos e vários valores. Existem funções para cálculos matemáticos, financeiros e estatísticos. Por exemplo, na função: =SOMA(A1:A10), significa que a função SOMA, somará os valores do intervalo A1 até A10, sem você precisar informar célula por célula.
95
Algumas funções
A seguir encontraremos uma pequena relação das funções mais utilizadas. O Excel
oferece centenas de funções e agora vamos conhecer algumas delas. 1. Fórmula da soma
Veja um exemplo:
A B C D E 1 10 25 15 10 =SOMA(A1:D1) 2
Neste exemplo estamos somando todos os valores do endereço A1 até o endereço D1.
A fórmula seria digitada como no exemplo, e ao teclar ENTER o valor apareceria. No caso a resposta seria 60.
Outra maneira de você somar é utilizando o Botão da Autosoma. Veja o exemplo:
Desta vez você deseja somar números dispostos de maneira alternada, ou seja, em
endereços diferentes. Veja o exemplo:
A B C D E 1 ÁGUA LUZ ÁGUA LUZ 2 150 35 75 55 3 4 TOTAL DA ÁGUA =A2+C2 5 TOTAL DA LUZ =B2+D3 6
Você deseja somar somente os valores de água, então, basta digitar o endereço de cada
valor, ou seja, o endereço do primeiro valor + o endereço do 2º valor e assim sucessivamente. Lembre-se que sempre devo iniciar o cálculo usando o sinal de igualdade.
2. Fórmula da subtração
No exemplo abaixo você deseja saber qual o saldo líquido do José. Então é simples: basta que você digite o endereço do salário bruto – o endereço do desconto de maneira mais clara quer dizer que para realizar uma subtração no Excel, você só precisa digitar o endereço dos devidos valores (inicial e final) acompanhado do sinal de subtração (-), como mostrar no exemplo abaixo. Para os demais funcionários você só bastaria copiar a fórmula.
96
A B C E 1
FUNCIONÁRIO SALÁRIO BRUTO
DESCONTO TOTAL
SALÁRIO LÍQUIDO
2 José 800 175 =B2-C2 3 3. Fórmula da multiplicação
MULTà Multiplica todos os números fornecidos como argumentos e retorna o
produto. Sintaxe =MULT(núm1;núm2;...) Agora a maneira como você subtraiu é a mesma para multiplicar, será preciso apenas
trocar o sinal de subtração pelo o sinal de multiplicação (*). Ou: digitar a função:=MULT(selecionar as células com os seguintes valores a serem multiplicados). A B C E 1
PRODUTO
VALOR QUANT. TOTAL
2 Feijão 1,50 50 =B2*C2 4. Fórmula da divisão
A fórmula ocorre da mesma maneira que as duas anteriores. Você só precisa trocar colocar o sinal para dividir (/).
A B C 1
RENDA MEMBROS VALOR 2 25000 15 =A2/B2
97
As funções utilizadas nas atividades relacionadas à Matrizes e Determinantes serão mostradas a vocês no Laboratório de Informática. Utilize o espaço abaixo para fazer as suas anotações.
98
ANEXO IV
ANÁLISE DAS ATIVIDADES NO EXCEL
99
No cabeçalho da planilha Comandos_básicos os alunos devem preencher
o seu respectivo nome. Nas outras planilhas o cabeçalho serão preenchidos
automaticamente.
Na questão 01, relembraremos com os alunos a definição e o conceito de
matriz, apresentando a Matriz. Propositalmente, inserimos o elemento 64 em duas
posições diferentes na tabela e fizemos referência ao mesmo nos itens g e h.
Esperamos o surgimento de alguns questionamentos por parte dos alunos nesses
itens mesmo porque o h já faz parte do conhecimento de Excel. Ainda nesta questão
utilizamos uma fórmula que busca a primeira letra do nome do aluno e renomeia a
Matriz, isto é, se a dupla foi formada pelos alunos João da Silva e Maria Celeste, a
tabela se chamará Matriz J.
Na questão 02 elaboramos algumas operações de soma e produto para
que os alunos possam se familiarizar com as operações no Excel. Esperamos que,
mesmo orientando-os para utilizar as fórmulas, alguns deles insistirão em fazer a
conta de outra forma que não utilize o recurso do Excel. Utilizamos inicialmente
números e operações bem simples e, gradativamente, mostraremos que, ao utilizar
as ferramentas do programa, as respostas serão automaticamente calculadas.
100
Na planilha Oposta_e_Transposta os alunos terão a possibilidade de criar
suas próprias matrizes e fazerem as respectivas opostas e transpostas. Para isso,
deverão atribuir valores aos elementos. Na questão 03 chamamos a matriz inicial de
Matriz A e na questão 04 de Matriz B, com suas respostas a Oposta da Matriz A e a
Transposta da Matriz B. Pediremos os alunos para renomearem, caso achem
necessário, estas matrizes para o nome que eles quiserem. Automaticamente, a
matriz resposta também mudará o seu nome. Ex.: Se a Matriz A for renomeada para
TaBE*LA minha, a sua oposta denominará Oposta da TaBE*LA minha.
101
Na questão planilha Adição elaboramos a questão 05 onde os alunos
efetuarão a soma das matrizes. Novamente eles poderão alterar o nome das
matrizes.
Na planilha Multiplicação os alunos farão a multiplicação como a de um
escalar por uma matriz, de duas matrizes quadradas de ordem 2 e de outras
matrizes. Na letra f os alunos poderão criar suas próprias matrizes ou até mesmo
conferir os resultados das matrizes respondidas em seus cadernos.
Propositalmente colocamos um exercício que não possui resposta, pela
condição de existência da multiplicação de matrizes. Omitimos essa informação aos
alunos.
102
Até esse momento só mostraremos aos alunos como efetuar os cálculos
utilizando, “fórmulas manuais”.
Nas questões seguintes mostraremos aos alunos como utilizar as
fórmulas existentes no próprio Excel.
Na planilha Multiplicação_2 os alunos utilizarão o recurso da fórmula
=MATRIZ.MULT. É importante salientar que, se o mesmo não souber quantas
linhas e colunas são necessárias para a resposta, a fórmula apresentará o seguinte
erro #VALOR!.
Na planilha Inversa elaboramos atividades com a inversa das matrizes
utilizando a fórmula =MATRIZ.INVERSO. Novamente, o aluno deverá saber quantas
linhas e colunas serão necessárias para a resposta.
103
Na última planilha temos a Determinantes com a questão 09 utilizando a
fórmula do Excel =MATRIZ.DETERM.
