Faktorisasi 2

  • View
    533

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teori Graf

Text of Faktorisasi 2

KELOMPOK 6

Azico Sudhagama 1002579 Clara Desi 1006534 Eka Septia T 1001102 Elyzabeth 1006638 Mila Apriliani U 1005202

FAKTORISASI- 2

FAKTORISASI-2

Faktor-2 adalah graf yang setiap simpulnya berderajat 2. Jika sebuah graf adalah 2-factorable, maka masingmasing faktor haruslah gabungan dari siklus yang disjoint. Jika sebuah factor2 terhubung, maka itu disebut siklus merentang (spanning cycle).

Sebuah graf lengkap adalah 1factorable jika dan hanya jika graf tersebut memiliki simpul yang genap. Karena graf 2-factorable harus memiliki derajat yang genap untuk semua simpulnya, maka graf lengkap K2n bukan merupakan 2-factorable. Graf yang 2-factorable adalah graf lengkap yang berderajat ganjil atau K2n+1.

TEOREMA 9.6Graf K2n+1 adalah gabungan dari n buah spanning cycle.

BUKTI TEOREMA 9.6Untuk mengkonstruksi n buah spanning cycle di K2n+1, pertama-tama kita labeli 2n+1 simpul yang kita punya dengan v1, v2, , v2n+1. Lalu konstruksi n lintasan Pi yang melalui simpulsimpul v1,v2, , v2n dengan mengikuti pola : Pi = vi vi-1 vi+1 vi-2 vi+n-1 vi-n. Dengan indeksnya adalah bilangan modulo 2n. Setelah diperoleh lintasan Pi, kita buat spanning cycle Zi, yang dapat diperoleh dengan menghubungkan simpul v2n+1 dengan simpul ujung dari Pi

CONTOHGraf K7 adalah gabungan dari 3 buah spanning cycle. Kita punya v1, v2, v3, v4, v5, v6, dan v7. Untuk i=1 (Lintasan pertama P1) P1 = v1 v0 v2 v-1 v3 v-2, yang sama dengan P1 = v1 v6 v2 v5 v3 v4. Dan Z1 adalah siklus yang menghubungkan P1 dengan v7.

Untuk i=2 (Lintasan kedua P2) P2 = v2 v1 v3 v0 v4 v-1, yang sama dengan P1 = v2 v1 v3 v6 v4 v5. Dan Z2 adalah siklus yang menghubungkan P2 dengan v7. Untuk i=3 (Lintasan ketiga P3) P3 = v3 v2 v4 v1 v5 v0, yang sama dengan P1 = v3 v2 v4 v1 v5 v6. Dan Z3 adalah siklus yang menghubungkan P3 dengan v7.

TEOREMA 9.7

GRAF LENGKAP K2N ADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN (N-1) SIKLUS PERENTANG

BUKTI : KARENA K2N ADALAH GRAF LENGKAP DENGAN 2N SIMPUL MAKA K2N MEMILIKI (2N-1) FAKTOR-1. MISALKAN FAKTOR-1 DARI GRAF K2N ADALAH F1, F2, ... , F2N-1 K2N = F1 U F2 U ... U F2N-1 = F1 U ( F2 U F3 U ... U F2N-1 ) = F1 U [( F2 U F3 ) U (F4 U F5 ) U ...U (F2N-2 UF2N-1 )] = F1 U ( S1 U S2 U ... U SN-1 ) DIMANA S MERUPAKAN SIKLUS PERENTANG. JADI, TERBUKTI BAHWA GRAF LENGKAP K2N MERUPAKAN PENJUMLAHAN ATAU GABUNGAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN (N-1) SIKLUS PERENTANG.

CONTOH : GRAF LENGKAP K2N DENGAN N=2 MEMILIKI SEBUAH FAKTOR-1 DAN 1 BUAH SIKLUS PERENTANG= = +

TEOREMA 9.8

SETIAP GRAF KUBIK TANPA JEMBATAN ADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN SEBUAH FAKTOR-2

BUKTI : CUKUP DENGAN MEMBUKTIKAN BAHWA GRAF KUBIK TANPA JEMBATAN MEMILIKI 1-FAKTOR. MISAL GRAF G ADALAH GRAF TERATUR BERDERAJAT 3 TANPA SISI PEMOTONG NOTASIKAN G1, G2, ... , GN ADALAH KOMPONEN GANJIL DARI G-S, DAN MISALKAN MI = BANYAKNYA SISI DENGAN 1 UJUNG DI GI DAN 1 UJUNG DI S. KARENA G TERATUR BERDERAJAT GENAP MAKA :

adalah ganjil. Andai potong maka Sehingga

karena G tidak memiliki garis

KARENA MAKA SEBUAH GRAF DIKATAKAN MEMILIKI FAKTOR 1 SEHINGGA TERBUKTI BAHWA GRAF KUBIK TANPA JEMBATAN ADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN SEBUAH FAKTOR-2

TEOREMA 9.9Sebuah graph merupakan graf 2-factorable jika hanya jika graph tersebut merupakan graf teratur dengan setiap simpulnya berderajat genap. Ilustrasi :

ARBORICITY

ARBORICITY

arboricity dari grafik G, dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai jumlah minimum dari dekomposisi hutan rentang yang saling lepas, jika digabungkan membentuk graph asal tersebut.Contohnya :

TEOREMA 9.10Diberikan graf G (p,q) yang nontrivial dan qn, merupakan nilai maksimum dari sisi-sisi untuk sembarang subgraf dari G yang memiliki simpul sebanyak n

Akan ditunjukkan bahwa . Karena G memiliki titik sebanyak p , banyaknya nilai maksimum dari sisi-sisi dalam sembarang hutan rentang adalah sebanyak p-1 . Karenanya, kemungkinan nilai minimum dari hutan rentang wajib memenuhi G , yang didefinisikan oleh , adalah paling sedikit sebanyak q/(p-1) . Tetapi arboricity dari G merupakan sebuah bilangan bulat, jadi . Berdasarkan sifat ketidaksamaan, bahwa untuk sembarang subgraf H dari G

Diantara semua subgraf H dengan titik-titik , nilai maksimum dapat tercapai pada subgraf yang memuat nilai terbesar dari garis-garis. Demikian, jika H merupakan subgraf dari G , dapat lebih besar dari

Contohnya pada graf berikut

dengan mengambil n = 5 dan qn = 10 , diperoleh

Untuk Kp , nilai maksimum dari jelas ada untuk n= p , jadi . Hampir serupa untuk graf bipartit komplit , dengan asumsi nilai maksimum saat .

Akibat 9.10(a) Arboricity dari graf lengkap dan graf lengkap bipartit adalah (Kp) = {p/2} dan (K r,s) = {rs/(r+s-1)} Penjelasan : bukti rumus Nash William ini tidak memberikan metode dekomposisi yang spesifik. Beineke menyelesaikan dekomposisi untuk graf lengkap dan graf lengkap bipartit

Untuk Kp dengan p = 2n 1. Kp dapat didekomposisi kedalam n rentang lintasan 2. Beri label simpul v1,v2,...,v2n 3. Buat n lintasan Pi = vi vi-1 vi+1 vi-2 ... vi+n-1 vi-n pada simpul v1,v2, ... , v2n

Untuk Kp dengan p = 2n+1 1. Arboricity dari Kp adalah n+1 2. Ambil n lintasan yang sama 3. tambahkan simpul yang kemudian diberi label v2n+1 4. Bangun sebuah star dengan menggabungkan simpul v2n+1 ke setiap simpul v2n lain.