KELOMPOK 6

Azico Sudhagama – 1002579Clara Desi – 1006534Eka Septia T – 1001102Elyzabeth – 1006638Mila Apriliani U – 1005202

FAKTORISASI- 2

FAKTORISASI-2

Faktor-2 adalah graf yang setiap simpulnya berderajat 2. Jika sebuah graf adalah 2-factorable, maka masing-masing faktor haruslah gabungan dari siklus yang disjoint. Jika sebuah factor-2 terhubung, maka itu disebut siklus merentang (spanning cycle).

Sebuah graf lengkap adalah 1-factorable jika dan hanya jika graf tersebut memiliki simpul yang genap. Karena graf 2-factorable harus memiliki derajat yang genap untuk semua simpulnya, maka graf lengkap K2n bukan merupakan 2-factorable. Graf yang 2-factorable adalah graf lengkap yang berderajat ganjil atau K2n+1.

TEOREMA 9.6

Graf K2n+1 adalah gabungan dari n buah spanning cycle.

BUKTI TEOREMA 9.6

Untuk mengkonstruksi n buah spanning cycle di K2n+1, pertama-tama kita labeli 2n+1 simpul yang kita punya dengan v1, v2, …, v2n+1. Lalu konstruksi n lintasan Pi yang melalui simpul-simpul v1,v2, …, v2n dengan mengikuti pola : Pi = vi vi-1 vi+1 vi-2 … vi+n-1 vi-n. Dengan indeksnya adalah bilangan modulo 2n. Setelah diperoleh lintasan Pi, kita buat spanning cycle Zi, yang dapat diperoleh dengan menghubungkan simpul v2n+1 dengan simpul ujung dari Pi

CONTOH

Graf K7 adalah gabungan dari 3 buah spanning cycle.Kita punya v1, v2, v3, v4, v5, v6, dan v7.

Untuk i=1 (Lintasan pertama P1)

P1 = v1 v0 v2 v-1 v3 v-2, yang sama dengan

P1 = v1 v6 v2 v5 v3 v4.

Dan Z1 adalah siklus yang menghubungkan P1 dengan v7.

Untuk i=2 (Lintasan kedua P2)

P2 = v2 v1 v3 v0 v4 v-1, yang sama dengan

P1 = v2 v1 v3 v6 v4 v5.

Dan Z2 adalah siklus yang menghubungkan P2 dengan v7.

Untuk i=3 (Lintasan ketiga P3)

P3 = v3 v2 v4 v1 v5 v0, yang sama dengan

P1 = v3 v2 v4 v1 v5 v6.

Dan Z3 adalah siklus yang menghubungkan P3 dengan v7.

TEOREMA 9.7

GRAF LENGKAP K2N

ADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN (N-1) SIKLUS PERENTANG

BUKTI :

KARENA K2N ADALAH GRAF LENGKAP DENGAN 2N SIMPUL MAKA K2N MEMILIKI (2N-1) FAKTOR-1.MISALKAN FAKTOR-1 DARI GRAF K2N ADALAH F1, F2, ... , F2N-1

K2N = F1 U F2 U ... U F2N-1

= F1 U ( F2 U F3 U ... U F2N-1 ) = F1 U [( F2 U F3 ) U (F4 U F5 ) U ...U (F2N-2 UF2N-1

)] = F1 U ( S1 U S2 U ... U SN-1 )

DIMANA S MERUPAKAN SIKLUS PERENTANG.JADI, TERBUKTI BAHWA GRAF LENGKAP K2N MERUPAKAN PENJUMLAHAN ATAU GABUNGAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN (N-1) SIKLUS PERENTANG.

CONTOH :GRAF LENGKAP K2N DENGAN N=2 MEMILIKI SEBUAH FAKTOR-1 DAN 1 BUAH SIKLUS PERENTANG

= = +

TEOREMA 9.8

SETIAP GRAF KUBIK TANPA JEMBATANADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN SEBUAH FAKTOR-2

BUKTI :

CUKUP DENGAN MEMBUKTIKAN BAHWA GRAF KUBIK TANPA JEMBATAN MEMILIKI 1-FAKTOR.MISAL GRAF G ADALAH GRAF TERATUR BERDERAJAT 3 TANPA SISI PEMOTONGNOTASIKAN G1, G2, ... , GN ADALAH KOMPONEN GANJIL DARI G-S, DAN MISALKAN MI = BANYAKNYA SISI DENGAN 1 UJUNG DI GI DAN 1 UJUNG DI S. KARENA G TERATUR BERDERAJAT GENAP MAKA :

adalah ganjil. Andai karena G tidak memiliki garis potong maka Sehingga

KARENA MAKASEBUAH GRAF DIKATAKAN MEMILIKI FAKTOR 1 SEHINGGA TERBUKTI BAHWA GRAF KUBIK TANPA JEMBATAN ADALAH PENJUMLAHAN DARI SEBUAH FAKTOR-1 DAN SEBUAH FAKTOR-2

TEOREMA 9.9

Sebuah graph merupakan graf 2-factorable jika hanya jika graph tersebut merupakan graf teratur dengan setiap simpulnya berderajat genap.

Ilustrasi :

ARBORICITY

ARBORICITY

arboricity dari grafik G, dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai jumlah minimum dari dekomposisi hutan rentang yang saling lepas, jika digabungkan membentuk graph asal tersebut.

Contohnya :

TEOREMA 9.10

 Diberikan graf G (p,q) yang nontrivial dan qn, merupakan nilai maksimum dari sisi-sisi untuk sembarang subgraf dari G yang memiliki simpul sebanyak n

⇓

Akan ditunjukkan bahwa . Karena G memiliki titik sebanyak p ,

banyaknya nilai maksimum dari sisi-sisi dalam sembarang hutan rentang adalah sebanyak p-1 . Karenanya, kemungkinan nilai minimum dari hutan rentang wajib memenuhi G , yang didefinisikan oleh , adalah paling sedikit sebanyak q/(p-1) . Tetapi arboricity dari G merupakan sebuah bilangan bulat, jadi . Berdasarkan sifat ketidaksamaan, bahwa untuk sembarang subgraf H dari G

Diantara semua subgraf H dengan titik-titik , nilai maksimum dapat tercapai pada subgraf yang memuat nilai terbesar dari garis-garis. Demikian, jika H merupakan subgraf dari G , dapat lebih besar dari

Contohnya pada graf berikut

dengan mengambil n = 5 dan qn = 10 ,

diperoleh

Untuk Kp , nilai maksimum dari jelas ada untuk n= p , jadi . Hampir serupa untuk graf bipartit komplit , dengan asumsi nilai maksimum saat .

Akibat 9.10(a)Arboricity dari graf lengkap dan graf lengkap bipartit adalahϒ(Kp) = {p/2} dan ϒ(K r,s) = {rs/(r+s-1)}Penjelasan :bukti rumus Nash William ini tidak memberikan metode dekomposisi yang spesifik. Beineke menyelesaikan dekomposisi untuk graf lengkap dan graf lengkap bipartit

Untuk Kp dengan p = 2n1. Kp dapat didekomposisi kedalam n rentang lintasan2. Beri label simpul v1,v2,...,v2n3. Buat n lintasan

Pi = vi vi-1 vi+1 vi-2 ... vi+n-1 vi-n

pada simpul v1,v2, ... , v2n

Untuk Kp dengan p = 2n+11. Arboricity dari Kp adalah n+12. Ambil n lintasan yang sama3. tambahkan simpul yang kemudian diberi label v2n+14. Bangun sebuah star denganmenggabungkan simpul v2n+1 ke setiap simpul v2n lain.