Faktorisasi Bentuk Aljabar · 1.1 Suku Tunggal dan Suku Banyak Contoh ... Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. ... Untuk bilangan bulat a dengan

Publikasi Maryono,S.Pd. di https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono

Kumpulan soal-soal ulangan harian dan pembahasaannya 2013

1

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Satuan Pendidikan : SMP. N 2 Jatipuro Bidang Study : MATEMATIKA Kelas / Semester : VIII / I 1. STANDAR KOMPETENSI

Memahami bentuk aljabar.

2. KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi aljabar

1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya

3. INDIKATOR

1 Menyelesaikan operasi tambah dan kurang pada bentuk aljabar.

2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya

3 Menentukan faktor suku aljabar

4 Menyelesaikan operasi kali, bagi dan pangkat pada bentuk aljabar

4. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Peserta didik dapat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dan pecahan bersusun

2. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar.

3. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan perpangkatan pecahan bentuk aljabar.

4. Peserta didik dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya

(memfaktorkan bentuk aljabar).

5. TOPIK MATERI : FAKTORISASI SUKU ALJABAR

1 Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar

2 Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

3 Faktorisasi Bentuk Aljabar

4 Operasi Pecahan dalam Bentuk Aljabar

6. URAIAN MATERI AJAR

A. PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR

1.1 Suku Tunggal dan Suku Banyak

Contoh bentuk Aljabar Suku Satu atau Suku Tunggal

4a

-5a2b

5c

-2pq

-pq

2p2q

2

Contoh bentuk Aljabar Suku Banyak

2q + 5 suku dua

7p2 – 2pq ( binom )

2a + 5ab + 7 suku tiga (trinom)

P3 + 2p

2q + 2pq

2 – 7q suku empat

2x3 – 3x

2y – 5x + 8y – 7y

2 suku lima

1. 2 Suku-suku Sejenis

Pada 2x, 2 disebut koofisien dan x disebut variabel (peubah)

Perhatikan bentuk aljabar berikut ini !

13x2 – 9x +6xy – 8y – 3x

2 + 5y

Bentuk aljabar diatas terdiri dari 6 suku, yaitu 13x2, 9x, 6xy, 8y, 3x

2 dan 5y, dan

memiliki suku-suku sejenis, yaitu :

i) 13x2 dan -3x

2

ii) -8y dan 5y



2

Suku-suku dikatakan sejenis apabila memiliki variabel yang sama dengan pangkat

yang sama juga. Dengan kata lain, suku sejenis memiliki perbedaan hanya pada

koofisienya saja.

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan pengurangan Bentuk Aljabar

Untuk menentukan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk Aljabar, perlu

diperhatikan hal-hal berikut ini :

a Suku-suku sejenis

b Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap

pengurangan, yaitu :

i) ab + ac = a (b + c) atau a (b + c) = ab + ac

ii) ab – ac = a (b – c) atau a(b – c) = ab - ac

c Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu :

i) Hasil perkalian dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

ii) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

iii) Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah

bilangan bulat negatif.

Contoh :

1. Sederhanakan bentuk aljabar 5x + 6x – 9x

2. Tentukan hasi penjumlahan dari 12x2 – 9x + 6 dan -7x

2 + 8x – 14

3. Kurangkanlah 5x – 3 dan 9x – 6

Jawab :

1 5x + 6x – 9x = (5 + 6 – 9)x

= 2x

2 Penjumlahan dari 12x2 – 9x + 6 dan -7x

2 + 8x – 14

(12x2 – 9x + 6) + (-7x

2 + 8x – 14) = 12x

2 – 9x + 6 -7x

2 + 8x – 14

=12x2 -7x

2 – 9x + 8x + 6 – 14

= 5x2 – x – 8

3 Pengurangan 5x – 3 dan 9x – 6

(5x – 3) – (9x – 6) = 5x – 3 - 9x + 6

= 5x – 9x – 3 + 6

= - 4x + 3

Latihan 1 1) Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut !

a) 6a + 3a – 5a

Jawab :

SSuukkuu--ssuukkuu yyaanngg sseejjeenniiss ppaaddaa bbeennttuukk aalljjaabbaarr mmeemmiilliikkii vvaarriiaabbeell--vvaarriiaabbeell

yyaanngg ssaammaa ddaann ppaannggkkaatt ddaarrii mmaassiinngg--mmaassiinngg vvaarriiaabbeell jjuuggaa ssaammaa

Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat

disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku

yang sejenis



3

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

..

b) 5x3 + y

2 – 6y

2 – 2x

3

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

..

2) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini !

a) -15p + 6p - 17p

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.........

b) 3y2 + 7y – 6y

2 – 10y

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.........

3) Sederhanakanlah bentuk – bentuk Aljabar berikut ini !

a) 15x – 3(x – 7)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.......................................

b) a(a + 2b) + 4a(a + b)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

......................................

4) Tentukan jumlah dari :

a) 2a – 7b dan -4a + 5b

Jawab : .............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

...............................................

b) 5x2 – 6y + 3 dan -2x

2 + 7y – 5

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................

5) Kurangkanlah :

a) 6a – 5 dari 7a + 3

Jawab :

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................. ...........................

.............................................................................................................................................

.......................................

b) -3(4y2 - 2y +5) dari 2(y

2 + 2y + 2)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................



4

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perkalian bentuk Aljabar erat kaitanya dengan “faktorisasi Aljabar” yang akan

dibahas pada bahasan berikutnya.

Perkalian suku dua dan suku banyak yang perlu diingat kembali meliputi materi-materi

berikut ini :

Contoh Soal : Tentukanlah hasil

perkalian bentuk

aljabar berikut ini !

1 (x + 2)(x + 3)

2 (2x + 3)(x2 + 2x - 5)

Jawab :

1 (x + 2)(x + 3)

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

= x2 + 3x + 2x + 6

= x2 + 5x + 6

2 (2x + 3)(x2 + 2x - 5)

(2x + 3)(x2 + 2x - 5) = 2x (x

2 + 2x - 5) + 3(x

2 + 2x - 5)

= 2x3 + 4x

2 – 10x + 3x

2 + 6x – 15

= 2x3 + 4x

2 + 3x

2 – 10x + 6x – 15

= 2x3 + 7x

2 – 4x – 15

Latihan 2 Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini !

1. 4a(2a – 5ab)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

................................................

2. -2p (x2 + 2x)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................

3. (3p – 7)(p – 3)

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................

4. (a – 3)(a2 + 4a + 5)

Jawab :

1. x (x + k) = x(x) + x(k)

= x2 + kx

2. x (x + y + k) = x(x) + x(y) + x(k)

= x2 + xy +kx

3. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q)

= x2 + (p + q)x + pq

4. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) +

p(q) + p(r)

= x2 + xq + xr + px + pq + pr



5

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................

5. 3y(4xy – 4yz)

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...................................

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk

aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada

operasi pembagian bentuk aljabar terlebih dahulu kita tentukan faktor sekutu kedua bentuk

aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

\

Contoh soal :

Tentukanlah hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini !

1. 5xy : 2x

2. (p2q x pq) : p

2 q

2

Jawab :

1. 5xy : 2x =

2. (p2q x pq) : p

2 q

2 =

=

= p

Latihan 3 Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini !

1. 6xy : 2y

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................

2. p4q

6r

5 : pq

2r3

Jawab :

Untuk bilangan bulat a dengan pangkat m dan n

selalu berlaku :

am

x an = a

m + n dan a

m : a

n = a

m - n



6

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

......................................

3. 18a3b

5c

6 : 2ab

2 : 3a

2c

2

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

........................................................................................................

4. 3x2y x 2yz

2 : xyz

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................

5. 8p3q

2r x (15p

5q

7r4 : 5p

2q

4r

3)

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

........................................................................................................................................ ........

...............................................................................................................

3 Pemangkatan Bentuk Aljabar

(a) Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar

Operasi pemangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur

yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku :

Dalam pemangkatan bentuk aljabar perlu dibedakan pengertian – pengertian berikut

ini :

i) 3a2 dengan (3a

2)

Pada bentuk 3a2, yang dikuadratkan hanya a, sedangkan pada bentuk (3a)

2,

yang dikuadratkan adalah 3a. Jadi, 3a2 tidak sama dengan (3a)

2.

3a2 = 3 x a x a dan (3a)

2 = (3a) x (3a)

ii) –(3a)2 dengan (-3a)

2

Pada bentuk –(3a)2 ,yang dikuadratkan hanya 3a, sedangkan pada bentuk

(-3a)2, yang dikuadratkan adalah -3a. Jadi, -(3a)

2 tidak sama dengan (-3a)

2

-(3a)2 = -(3a x 3a) dan (-3a)

2 = (-3a) x (-3a)

Contoh Soal :

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut ini !

1. (5a)3

2. (-7x2y

3)

2

Jawab :

1. (5a)3 = (5a) x (5a) = 25a

2

2. (-7x2y

3)

2 = (-7x

2y

3) x (-7x

2y

3)

= 49 x4y

6

(b) Pemangkatan Suku Dua

Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koofisien dari suku-suku hasil

pemangkatan dapat ditentukan berdasarkan Segitiga Pascal.

Hubungan antara segitiga Pascal dengan pemangkatan suku dua ditunjukkan seperti

berikut ini :

an= a x a x a x ... x a

sebanyak n kali



7

1

1 1 (a + b)1 dan (a + b)1

1 2 1 (a + b)2 dan (a + b)2

1 3 3 1 (a + b)3 dan (a + b)3

1 4 6 4 1 (a + b)4 dan (a + b)4

Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal diatas merupakan Koofisienpada hasil

pemangkatanbentuk Aljabar suku dua.

Contoh Soal :

T

e

n

t

Tentukan hasil pemangkatan berikut ini !

(a) (a + b)2

(b) (4x – 3)2

Jawab :

Untuk (a + b)2 dan (a – b)

2, bilangan segitiga Pascalnya adalah 1, 2, 1, sehingga

penjabaran dari pengkuadratan suku dua adalah sebagai berikut :

(a) (a + b)2 = 1(a)

2 + 2(a)(b) + 1(b)

2

= a2 + 2ab + b

2

(b) (4x – 3)2 = 1(4x)

2 + 2(4x)(-3) + 1(-3)

2

= 16x2 – 24x + 9

Latihan 4 1. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini !

a. (-7a)2

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.................................................................................................................

b. (4p2q

2)3

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

......................................

c. (5a – 7)2

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

........................................................................................................

d. (3a2 – 2a)

3

Jawab :

KKooooffiissiieennddaarrii ssuukkuu--ssuukkuu ppaaddaa hhaassiill ppeemmaannggkkaattaann ssuukkuu

dduuaa ddiippeerroolleehh ddaarrii bbiillaannggaann ppaaddaa sseeggiittiiggaa PPaassccaall

11.. ((aa ++ bb))22 == 11aa

22 ++ 22aabb ++ 11bb

22

22.. ((aa ++ bb))33 == 11aa

33 ++ 33aa

22bb ++ 33aabb

22 ++ 11bb

33

33.. ((aa ++ bb))44 == 11aa

44 ++ 44aa

33bb ++ 66aa

22bb

22 ++ 44aabb

33 ++ 11bb

44

44.. ((aa ++ bb))55 == 11aa

55 ++ 55aa

44bb++ 1100aa

33bb

22 ++ 1100aa

22bb

33 ++ 55aabb

44 ++ 11bb

55

PPeerrhhaattiikkaann,, ppaannggkkaatt ddaarrii aa ttuurruunn,, ddaann ppaannggkkaatt ddaarrii bb

nnaaiikk !!



8

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................

2. Tentukan suku ke-4 dan hasil pemangkatan bentuk Aljabar berikut ini!

a. (p + q)4

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...............................................................................................................

b. (2a2 + 3a)

5

Jawab :

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

C. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR

1. Faktorisasi dengan Hukum Distributif

Hukum distributif dapat dinyatakan sebagai berikut :

ab + ac = a(b + c) , dengan a, b, c sebarang bilangan bulat.

bentuk perkalian

bentuk penjumlahan

2. Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y

2danx

2 – 2xy + y

2

Untuk memfaktorkan bentuk Aljabar x2 + 2xy + y

2 dan x

2 - 2xy + y

2 perhatikan uraian

berikut !

a. x2 + 2xy + y

2 = x

2 + xy + xy + y

2

= (x2 + xy) + (xy + y

2)

= x(x + y) + y(x + y)

= (x + y)(x + y)

= (x + y)2

b. x2 – 2xy + y

2 = x

2 – xy – xy + y

2

= (x2 – xy) – (xy – y

2)

= x(x – y) – y(x – y)

= (x – y)(x – y)

= (x – y)2

Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan :

Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi

bentuk perkalian.

Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama

dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif

x2+ 2xy + y

2 = (x + y)

2

x2 – 2xy + y

2 = (x – y)

2



9

Faktorisasi bentuk x2 + bx + c adalah :

x2 + bx + c = (x + p)(x + q)

dengan syarat c = p x q dan b = p + q

Contoh Soal :

Faktorkanlah bentuk berikut ini !

1) a2 + 10a + 25

2) 16x2 – 56xy + 49y

2

Jawab :

1) a2 + 10a + 25 = (a)

2 + 2(a)(5) + (5)

2

= (a + 5)2

2) 16x2 – 56xy + 49y

2 = (4x)

2 – 2(4x)(7y) + (7y)

2

= (4x – 7y)2

3. Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat

Bentuk x2 – y

2disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari dua suku yang masing-

masing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih)

x2 – y

2 = x

2 + xy – xy – y

2

= (x2 + xy) + (xy – y

2)

= x(x + y) + y(x – y)

= (x + y)(x – y)

Dapat disimpulkan bahwa :

Contoh Soal :

Faktorkanlah selisih dua kuadrat berikut ini !

1) a2 + 4

2) 5a2 + 5b

2

Jawab :

1) a2 + 4 = a

2 + 2

2

= (a + 2)(a + 2)

2) 5a2 + 5b

2 = 5(a

2 + b

2)

= 5 (a + b)(a - b)

4. Faktorisasi Bentukax2 + bx + c dengana = 1

Untuk memehami pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita

tulis dengan x2 + bx + c, perhatikan uraian berikut ini :

Misal : (x + 3)(x + 4) = x2 + 4x + 3x + 13

= x2 + 7x + 12

Dari contoh diatas dapat diperoleh hubungan sebagai berikut ;

x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

3 + 4

3 x 4

Ternyata pemfaktoran bentuk x2 + bx + c dapat dilakukan dengancara menentukan

pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut:

i) Bilangan Konstan c merupakan hasil perkalian

ii) Koofisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan

Faktorisasi selisih dua kuadrat adalah :

x2 – y

2 = (x + y)(x – y)



10

Untuk bentuk x2 + bx + c, jikakoofisien x

2 bertanda negatif, maka pemfaktoran dapat

dilakukan dengan mengalikan semua sukunya dengan (-).

Contoh Soal :

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini !

1) x2 + 10x + 16

2) 12 + 4x – x2

Jawab :

1) x2

+ 10x + 16 = (x + 2)(x + 8)

2 + 8

2 x 8

2) 12 + 4x – x2 = -x

2 + 4x + 12

= -1 (x2 – 4x – 12)

= -1(x – 6)(x + 2)

= (-x + 6)(x + 2)

= (6 – x)(2 + x)

5. Faktorisasi Bentuk ax2 + bx + c dengan a 1

Misalkan pada :

8 x 15 = 120

10 x 12 = 120

(2x + 3)(4x + 5) = 8x2 + 10x + 12x + 15

= 8x2 + 22x + 15

Dapat disimpulkan bahwa pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 , terlebih dahulu 22x diuraikan

menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut :

i) Jika kedua suku itu dijumlahkan, maka akan menghasilkan koofisien x

ii) Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koofisien

x2 dengan bilangan konstan

Dengan demikian, pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 dapat dilakukan dengan cara sebagai

berikut ;

8 x 15 = 120

8x2 + 22x + 15 = 8x

2 10x + 12x + 15

1012 = 2x(4x + 5) + 3(4x + 5)

10 x 12 = 120 = (4x + 5)(2x + 3)

Contoh Soal :

Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini !

1) 6x2 – 11x + 3

Jawab :

18

6x2 – 11x + 3 = 6x

2 – 2x – 9x + 3

= 2x(3x – 1) – 3(3x – 1)

Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a 1 dilakukan dengan langkah sebagai berikut :

ax2 + bx + c = ax

2 + px + qx + c

p x q = a x c dan p + q = b

+6x2 +3 3x)(-3)=-9x

2x -3

3x -1 (2x)(-1)=-2x

-9x+(-2x)=-11x maka

6x2-11x+3=(2x+(-3))(3x+(-1))

= (2x-3)(3x-1)



11

-2 -9 = (2x – 3)(3x – 1)

Latihan 5 Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini !

1. 2a + 10

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

........................................................

2. 8p2q – 16pq

2 + 24pq

Jawab :

............................................................................................................................ ......................

..................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

3. 4x2 – 8x + 4

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..........................................................

4. 16p2 + 72pq + 81q

2

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

...........................................................

5. a2 – 4b

2

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...............................................................................................................

6. a4 - 16

Jawab :

............................................................................................................................ ....................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

....................................

7. a2 + 4a + 3

Jawab :

................................................................................................................................ ................

................................................................................................................................................

....................................................

8. a2 – 10a + 21

Jawab :

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................. ................

..................................................................................................................................................

..........................................................

9. 5x2 + 13x + 6

Jawab :



12

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................

10. 12 + 4m – 2m2

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

......................................................

D. OPERASI PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR

1. Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama

kecuali 0, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih

sederhana.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka

pecahan tersebut dapat disederhanakan.

Contoh Soal :

Sederhanakanlah pecahan

Jawab : = = pembilang dan penyebut dibagi

dengan 4

2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut yang

sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan pembilang-pembilangnya.

Jika penyebutnya berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus disamakan

lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut tersebut, kemudian masing-

masing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya

merupakan KPK yang sudah ditentukan.

Dalam penjumlahan atau pengurangan pecahan Aljabar, jika penyebutnya

dapat difaktorkan, maka kerjakan pemfaktoran terlebih dahulu.

Contoh :

Sederhanakan pecahan berikut ini !

–

Jawab :

– = –

= –

=

=

=

3. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar

Hasil pekalian dua pecahan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang

dengan pembilang, penyebut dengan penyebut, yaitu :

=

Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan suatu

pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikanya, yaitu :



13

= x

Contoh :

1.

2.

Jawab :

1. =

2. =

Latihan 6 Sederhanakanlah Pecahan Berikut ini !

1.

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.............................................................................................................

2.

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..............................

3.

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................

Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan – pecahan berikut ini !

1.

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................

2.

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.....................................................................................

3.

Jawab:

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................



14

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................. ................................

...................

4.

Jawab:

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ....................

.....................................................................................

Tentukan hasil perkalian pecahan-pecahan berikut ini !

1)

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................

2)

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

........

3)

Jawab :

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.........................................................................

4)

Jawab :

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.......................................................................................................................... ........................

.................................................................................................

SOAL LATIHAN BAB I I. Untuksoalnomor 1 sampaidengannomor 15, pilihlahsalahsatujawaban yang paling tepat !

1. Padabentukaljabar 2x2 + 3xy – y

2terdapat …. Variable

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

2. Sukuduaterdapatdalambentukaljabar ….

a. 2x2 + 4x – 2

b. 3x2 – y

2 + xy – 5



15

c. 4x2 – y

2

d. 2x2

3. Bentuksederhsana 3(r2 – 2r) + 6(r + 2) adalah …..

a. 3r2 + 12

b. – 3r2 – 12

c. 3r2 – 12

d. – 3r2 + 12

4. Hasildari adalah …

a. 2x + 3 + y

b. -2x – 3 + y

c. 2x – 3 + y

d. -2x – 3 – y

5. Jumlahdari 5ab + 2bc – d dan

3ab – 2bc + 6d adalah ….

a. 8ab + 4bc – 5d

b. 8ab – 4bc + 7d

c. 8ab – 5d

d. 8ab + 5d

6. Hasilpengurangan -2(3p+2) dari 2p+6d

adalah….

a. -8p+2

b. -8p-10

c. 8p+2

d. 8p+10

7. Hasildari a2b x 4a

4b

3 adalah….

a. 4a6b

4

a. 3a6b

3

b. 4a8b

3

b. 4ab4

8. Hasil dari 6a9b

5 : 2a

3b….

a. 3a3b

5

b. 3a3b

4

c. 3a6b

5

d. 3a6b

4



16

9. Bentuk 50 + 15x + x2 dapatdifaktorkanmenjadi….

a. (10 + x) (5 – x)

b. (x + 10) (x + 5)

c. (x +2) (x + 25)

d. (x – 10) (x - 5)

10. Pemfaktoran 3x2 – 7x – 6 adalah...

a. (x + 3) (3x – 2)

b. (x – 3) (3x + 2)

c. (x + 2) (3x- 3)

d. (x – 2) (3x + 3)

11. Hasildari - adalah …

a.

b.

c.

d.

12. + = …

a.

b.

c.

d.

13. Bentuksederhanadari = …

a.

b.

c.

d.

14. Hasil dari (8x6y

4 : 4x

4y

4)

3adalah …

a. 2x6y

3

b. 2x5y

4

c. 8x6y

3

d. 8x5y

4

15. Bentuk paling sederhanadari

adalah …

a. 2a – 2

b. 2a + 2

c. -2a + 2

d. -2a – 2



1

II. Untuk soal-aoal berikut ini, kerjakan dengan lengkap !

1. Sederhanakanlah :

a. (3x2 – xy

2) + (5x

2 + 2xy

2 -1)

b. (2p – 3) – (3p + 7) – ( 5p – 9) + (p – 12)

c. 3(6a –(a + b))+3(-2 (2a + 3b) + 4(a – b))

2. Jabarkandansederhanakanla :

a. (3x – 2) (4x + 5)

b. (x + 8y) (2x – 3y)

c. (9p – 5q)2

d. (x + 5) (x2 + 6x – 4)

3. Faktorkanlah :

a. x2 + 6x – 16

b. 8x2 – 2xy – 15y

2

c. P2 – 16q

4

4. Sederhanakanlah :

a.

b.

c.

5. Diketahui suatu segitiga dengan alas (x + 2) cm dan luasnya (x2 – 4) cm

2

a. Tentukan tinggi segitigad alam variable x

b. Jika x = 3, tentukan Ukuran Segitiga tersebut.



Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat, dengan memberi tanda silang pada huruf a, b, c atau d pada lembar jawaban yang disediakan.

1. Bentuk aljabar 2x dan mempunyai suku …

a. 1 dan 2 b. 1 dan 3 c. 2 dan 3 d. 3 dan 4

Pembahasan : 2x mempunyai suku 1 2x2 + x 1 mempunyai suku 3

2. Koefisien dan konstanta dari persamaan adalah …

a. – 3 dan – 5 b. – 3 dan 5 c. 3 dan – 5 d. 3 dan 5

Pembahasan : Koefisien dari x2 = 3 Konstanta = 5

3. Bentuk paling sederhana dari 5x + 3y – 2 – x + y + 2 adalah ….

a. 4x + 3y b. 4x + 4y c. 4x + 3y – 4 d. 4x + 4y – 4

Pembahasan : = 5x + 3y – 2 – x + y + 2 = 5x – x + 3y + y – 2 + 2 = 4x + 4y

4. Bentuk paling sederhana dari 6a – 3b + a + 4b adalah ….

a. 6a + b b. 6a – 7b c. 7a + b d. 7a – 7b

Pembahasan : = 6a – 3b + a + 4b = 6a + a – 3b + 4b = 7a + b

5. Bentuk paling sederhana dari adalah ….

a. c.

b. d. Pembahasan : = 5a2b ab2 7a2b + 6ab2 = 5a2b 7a2b ab2 + 6ab2 = 5ab2 2a2b

6. Bentuk paling sederhana dari 4(2x – 5y) – 5(x + 3y) adalah ….

a. 3x – 2y b. 3x – 5y c. 3x – 17y d. 3x – 35y

Pembahasan : = 4(2x – 5y) – 5(x + 3y) = 8x – 20y – 5x 15y = 3x 35y

7. Jika maka P – 2Q = ….

a. b. c. d. Pembahasan : = P – 2Q = 4x2 + 3x 2(5x x2) = 4x2 + 3x 10x + 2x2 = 4x2 + 2x2+ 3x 10x = 6x2 7x 18



8. Bentuk sederhana dari adalah …..

a. c.

b. d. Pembahasan : = 9x2 +6xy + y2 (4y2 + 8xy + 4x2) = 9x2 +6xy + y2 4y2 8xy 4x2 = 9x2 4x2+6xy 8xy + y2 4y2 = 5x2 2xy 3y2

18

9. Bentuk sederhana dari adalah …..

a. c.

b. d. Pembahasan : =2 (9a2 + 36a + 36) (9a2 + 30a + 25) =18a2 + 72a + 72 9a2 30a 25 =18a2 9a2 + 72a 30a + 72 25 =9a2 + 42a + 47

10. Bentuk sederhana dari 4(p – 3q) – 3(5q + 4p) adalah …

a. – 8p – 27q b. – 8p + 27q c. –27p – 8q d. 27p – 8q

Pembahasan : = 4p – 12q – 15q 12p = 4p 12p –12q – 15q = 8p – 27q

11. Jumlah dari 2p + 3q – 4 dan p – 3q + 2 adalah …

a. 3p – 2 b. 3p – 6 c. 2p – 6 d. 2p – 2

Pembahasan : = (2p + 3q – 4) + (p – 3q + 2) = 2p + p + 3q – 3q – 4+ 2 = 3p – 2

12. Jumlah dari 6xy + 3yz + 4z dan 3yz + 4yx – 4z adalah …..

a. 6xy + 9yz c. 8xy + 7yz – 8z

b. 10xy + 6yz d. 6xy + 9yz + 8z

Pembahasan : = 6xy + 3yz + 4z + (3yz + 4yx – 4z) = 6xy + 4xy + 3yz + 3yz + 4z– 4z = 10xy + 6yz

13. Jumlah dari 7x – 3y + 4 dan– 8x + 9y – 5 adalah ….

a. x + 6y –1 c. x + 6y + 1

b. –x + 6y – 1 d. –x + 6y + 1

Pembahasan : = 7x – 3y + 4 + (– 8x + 9y – 5) = 7x – 3y + 4 – 8x + 9y – 5 = 7x – 8x – 3y + 9y + 4– 5 = x + 6y – 1

19



14. Hasil pengurangan dari adalah …

a. c.

b. d. Pembahasan : = 7a2 + 2a (6a2 12a) = 7a2 + 2a 6a2 + 12a = 7a2 6a2 + 2a + 12a = a2 + 14a

15. Hasil pengurangan dari – 3(2p + 1) dari p + 5 adalah …

a. –5p – 4 b. –5p + 2 c. 7p + 6 d. 7p + 8

Pembahasan : = p + 5 [ – 3(2p + 1)] - 19- = p + 5 ( –6p 3) = p + 5 + 6p + 3 = 7p + 8

16. Hasil pengurangan 2b – 3a + 5c dari 5a – 2c – 3b adalah ...

a. 8a + 5b – 7c c. 8a – 5b – 7c

b. – 8a – 5b – 7c d. 8a – 5b + 7c

Pembahasan : = 5a – 2c – 3b (2b – 3a + 5c) = 5a – 2c – 3b 2b + 3a 5c = 5a + 3a– 3b 2b 5c– 2c = 8a 5b 7c

17. Bentuk sederhana dari 7(5x + 4) adalah …

a. 35x – 28 c. –35x + 28

b. –35x – 28 d. 35x + 28

Pembahasan : = 35x + 28

18. Bentuk sederhana dari – a(5a + 3b + 15) adalah …

a. c.

b. d. Pembahasan : = –5a2 3ab 15a

19. Hasil dari (2x + 3)(3x – 5)

a. c.

b. d. Pembahasan : = 2x(3x – 5) + 3(3x – 5) = 6x2 10x + 9x 15 = 6x2 x 15

20. Hasil dari (p – 3q)(2p + 5q)

a. 2p2 – pq – 15q2 c. 2p2 – 11pq – 15q2

b. 2p2 + pq – 15q2 d. 2p2 + 11pq – 15q2

Pembahasan : = p(2p + 5q) 3q(2p + 5q) = 2p2 + 5pq 6pq 15q2

20



= 2p2 pq 15q2

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat dan jelas !

1. Dengan memakai hukum distributif, nyatakan bentuk-bentuk di bawah ini sebagai jumlah atau selisih !

a. 7(5x +4) c. 9(-3c - 5) e. –(14p + 12q + 19)

b. 3(8b - 6) d. –a(5a + 3b + 15)

Pembahasan :

a. 35x + 28 c. – 27c – 45 e. – 14p – 12q – 19

b. 24b – 18 d. – 5a2 – 3ab – 15a

2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini !

a. 6a – 9 + 7a + 17 d. 5(3c + 2d) + 3(4c – 3d)

-20-

b. 11m – 3n - 4n + 12m e. 9(2m + 3n) – (5m – 7n)

c. 4p – 3(2p + 5)

Pembahasan :

a. 13a + 6 c. – 2p –15 e. 13m + 34

b. 23m – 7n d. 27c + d

3. Tentukan jumlah dari :

a. 3x + 4y dan 7x + 2y d. -4k2 + 2m2- 3l2 dan 5l2 – 5k2 + m2

b. -8a – 2b dan 5a – 4b e. 8c – 2b + 3d dan – 4d + 3c – 10b

c. 7q + 3p – 2r dan 6r – 2p + q

Pembahasan :

a. 3x + 4y

7x + 2y +

10x + 6y

c. 7q + 3p – 2r

q – 2p + 6r +

8q + p + 4r

e. 8c – 2b + 3d

3c – 10b – 4d +

11c – 12b – d

b. –8a – 2b

5a – 4b +

–3a – 6b

d. – 4k2 + 2m2 – 3l2

– 5k2 + m2 + 5l2 +

–9k2 + 3m2 + 2l2

4. Kurangkanlah !

a. 5x + 3 dari 10x - 7 d. 3a – 8b + 5c dari 5a + 2b - c

b. 7b – 2c dari 12b + 8c e. 5q – 3p + 2r dari 7p + 4r – 3q

c. 2y + 9 dari 7y – 5

Pembahasan :

a. 10x – 7 10x – 7

5x + 3 – –1 –5x – 3 +

5x –10

d. 5a + 2b – c 5a + 2b – c

3a – 8b + 5c – –1 –3a + 8b – 5c +

2a + 10b – 6c

b. 12b + 8c 12b + 8c

7b – 2c – – 1 – 7b + 2c +

5b + 10c

e. 7p + 4r – 3q 7p + 4r – 3q

– 3p + 2r + 5q – – 1 3p – 2r – 5q +

10p + 2r – 8q

22 21



5. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini !

a. c. e.

b. d.

Pembahasan :

a. c. e.

b. d.

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat, dengan memberi tanda silang pada huruf a, b, c atau d pada lembar jawaban yang disediakan.

1. Banyak suku pada bentuk aljabar adalah ...

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6

Jawab : b

Pembahasan :

2. Jika bentuk aljabar maka koefisien dari x2y adalah ...

a. 12 b. 6 c. 5 d. -10

Jawab : c

Pembahasan :

koefisiennya adalah 5

3. Pada bentuk-bentuk aljabar berikut, yg memiliki dua suku sejenis adalah ...

a. c.

b. d.

Jawab : c

Pembahasan :

S ----->3a^2 + a^2

S ----->3b 8ab

4. Bentuk sederhana dari 3p + 9q – 7p + 2q adalah ...

a. 4p + 11q b. –4p + 11q c. –4p – 11q d. 4p – 11q

Jawab :

Pembahasan :

= 3p + 9q – 7p + 2q

22



= 3p – 7p + 9q + 2q

=– 4p + 11q

5. (9p + 8q – r) + (12p – 3q + 5r) = ...

a. 21p + 11q + 4r c. 21p + 5q + 6r

b. 21p + 11q + 6r d. 21p + 5q + 4r

Jawab : d

Pembahasan :

= (9p + 8q – r) + (12p – 3q + 5r)

= 9p +12p + 8q– 3q – r+ 5r

= 21p + 5q + 4r

6. (11x – 13y + z) – (10x – 13y – z) = ...

a. x b. x + 2z c. x – 26y d. x – 26y + 2z

Jawab : b

Pembahasan :

= 11x – 13y + z – 10x + 13y + z

= 11x – 10x – 13y + 13y + z + z

= x + 2z

7. Hasil pengurangan 3x + 2y dari adalah ...

a. c.

b. d.

Jawab : a

Pembahasan :

8. Hasil penyederhanaan dari adalah ...

a. b. c. d.

Jawab : b

Pembahasan :

9. Hasil penyederhanaan bentuk 2(x + 3) + 4(x – 2) adalah ...

a. 2x + 8 b. 6x + 2 c. 6x – 2 d. 2x – 8

Jawab : d

Pembahasan :

= 2(x + 3) + 4(x – 2)

= 2x + 6 + 4x – 8

= 6x 2

23



11. Hasil dari 9x(3x + 4) adalah ...

12.

a. b. 27x + 36 c. 27x + 9x d.

Jawab : d

Pembahasan :

= 9x(3x + 4)

15. Faktor dari ��− �� −�� adalah ...

a. (x + 3)(x – 7) c. (x – 3)(x + 7)

b. (x + 2)(x – 8) d. (x – 2)(x + 8)

Jawab : a

Pembahasan :

=

= (x + 3)(x 7)

16. Faktor dari adalah ...

a. (x – 5)(3x + 2) c. (x + 5)(3x – 2)

b. (x + 5)(3x + 4) d. (x + 5)(3x – 4)

Jawab :

Pembahasan :

= (x – 5)(3x + 2)

17.

a.

b.

c.

d.

Jawab : c

Pembahasan :

18. Bentuk sederhana dari adalah ...

a.

c.

b.

d.

24



Jawab : a

Pembahasan :


24

a.

b.

c.

d.

Jawab : d

Pembahasan :


a.

c.

b.

d.

Jawab : b

Pembahasan :

II. Jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini dengan benar ! 25



21. Sederhanakan bentuk aljabar : 5x2 + 3x – 9x2 + 3x

Pembahasan :

= 5x2 – 9x2 + 3x + 3x

= – 4x2 + 6x

22. Sederhanakan bentuk aljabar : 2(x + 5) + 5(9 – x)

Pembahasan :

= 2(x + 5) + 5(9 – x)

= 2x + 10 + 45 – 5x

= 2x – 5x + 10 + 45

= – 3x + 55 25

23. Faktorkan bentuk aljabar : x2 + 2x – 3

Pembahasan :

= x2 + 2x – 3

= (x + 3)(x 1)

24. Sederhanakan bentuk aljabar :

Pembahasan :

25. Sederhanakan pecahan bentuk aljabar :

Pembahasan :

26




1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B pada diagram panah di samping adalah

a. kurang dari b. setengah dari c. lebih dari d. faktor dari

Pembahasan : "kurang dari" : {(1, 2), (1, 6), (1, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 6),(4, 8)}

2. Relasi “factor dari” dari himpunan P = {1, 2, 3} ke Q = {2, 4, 6} ditunjukkan oleh

diagram panah .... a. b. c. d.

Pembahasan : " factor dari " : {(1, 2), (1, 4) (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}

3. K = {3, 4, 5} dan L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “dua lebihnya dari” dari himpunan K ke L adalah ….

a. {(3, 5), (4, 6)} c. {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} b. {(3, 5), (4, 6), (5, 7)} d. {(3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Pembahasan : " dua lebihnya dari " dri himpunan K ke L : 3 ---> 5, 4 ---> 6, 5 ---> 7 atau {(3, 5), (4, 6), (5, 7)}

4. Himpunan pasangan berurutan dari grafik catesius di samping adalah … a. {(2, 1), (3, 5), (4, 4), (6, 4)} b. {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (5, 3)} c. {(1, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 6), (5, 3)} d. {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)}

Pembahasan : Himpunan Pasangan berurutan dari grafik cartesius : {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)}

5. Range dari himpunan pasangan berurutan {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} adalah …

a. {1, 2, 4, 5} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. {1, 2, 3, 4, 5} d. {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pembahasan :

27



Range dari {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} yaitu : {1, 2, 4, 5}

6. Diagram panah pada gambar di samping merupakan pemetaan maka rangenya adalah

a. {a, b, c} b. {d, e} c. {a, b, c, d, e} d. {1, 2, 3, 4} Pembahasan : Rangenya adalah {a, b, c}

7. Daerah hasil pemetaan yang ditunjukan oleh diagram panah di samping adalah

a. {a, b, c} b. {p, r} c. {p, q, r} d. { a, b, c, p, r}

Pembahasan : Hasil pemetaan dari diagram panah di atas : {p, r}

8. Dari gambar diagram panah di dibawah, yang merupakan pemetaan ialah …

a. hanya I dan II c. hanyan I dan III b. hanyan II dan III d. hanyan II dan IV

Pembahasan : yang merupakan pemetaan hanyan I dan III

9. Dari himpunan pasangan berurutan berikut ini :

I. {(1, 2), (2, 2), (3, 3)} III. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} II. {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} IV. {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4)}

Yang merupakan pemetaan adalah …

a. IV b. III c. II d. I Pembahasan : Yang merupakan pemetaan adalah {(1, 2), (2, 2), (3, 3)}

10. Dari diagram cartesius di bawah ini, yang menunjukkan pemetaan adalah ….

28 28



10. Dari diagram cartesius di bawah ini, yang menunjukkan pemetaan adalah ….

a. hanya I, II dan III c. hanya I, III dan IV b. hanya I, II dan IV d. hanya II, III dan IV Pembahasan : Yang menunjukkan pemetaan hanya I, II dan III

11. Diketahui : Himpunan A = {factor dari 10} dan B = {factor prima dari 30}. Banyak

semua pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah …

a. 81 b. 64 c. 16 d. 8 Pembahasan : A = {1, 2, 5, 10} ---> n(A) = 4 dn B = {2, 3, 5} ----> n(B) = 3 Banyak pemetaan A ---> B adalah 3^4 = 81

12. K = {factor dari 8} dan L = {bilangan prima yang kurang dari 7}. Banyak semua

pemetaan yang mungkin dari himpunan K ke himpunan L adalah …

a. 100 b. 81 c. 64 d. 16 Pembahasan : K = {1, 2, 4, 8} ---> n(K) = 4 L = {2, 3, 5} ---> n(L) = 3 n(K ---> L) = 3^4 = 81

13. Diketahui : P = {x| 11 < x <19, x bil. Prima}, Q = { y| y2< 9, y bil. Cacah}, banyak semua

pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah …

a. 27 b. 8 c. 4 d. 2 Pembahasan : P = {13, 17} ---> n(P) = 2 Q = {1, 2} ---> n(Q) = 2 n(P ---> Q) = 2^2 = 4

14. Banyak koresponden satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan P ={3, 5, 7, 9}

dan Q = {p, q, r, s} adalah …

a. 4 cara b. 8 cara c. 16 cara d. 24 cara Pembahasan : Banyaknya koresponden satu-satu : 4! = 1.2.3.4 =24 cara

15. Jika n(P) = n(Q) = 3 , maka banyaknya koresponden satu-satu antara himpunan P ke

Q adalah

a. 15 cara b. 12 cara c. 9 cara d. 6 cara Pembahasan : 3! = 1.2.3 = 6 cara

16. Dari pernyataan-pernyataan berikut :

I . Siswa dengan tempat duduknya II. Siswa dengan tanggal lahirnya

29



III. Negara dengan lagu kebangsaannya

Yang berkoresponden satu-satu adalah …

a. hanya II dan III c. hanya I dan III b. hanya I, II dan III d. hanya I dan II Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu adalah ... I . Siswa dengan tempat duduknya III. Negara dengan lagu kebangsaannya

17. Dari pernyataan berikut ini :

(i) Himpunan negara dan himpunan bendera (ii) Semua penonton dan tiket masuk dalam pertandingan sepakbola (iii) Semua siswa di kelasmu dan nama siswa pada daftar hadir di kelasmu (iv) Semua siswa di sekolahmu dan guru-guru di sekolahmu

Yang berkoresponden satu-satu adalah ...

a. (i), (iii), (iv) c. (i), (ii), (iii) b. (ii), (iii), (iv) d. (i), (ii), (iv) Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : (i) Himpunan negara dan himpunan bendera (ii) Semua penonton dan tiket masuk dalam pertandingan sepakbola (iii) Semua siswa di kelasmu dan nama siswa pada daftar hadir di kelasmu

18. Dari pasangan himpunan-himpunan berikut ini.

(i) A = {x | 0 < x < 4, x bilangan cacah} dan B = {factor dari 4} (ii) P = {huruf Vokal} dan Q = {bilangan asli kurang dari 4} (iii) K = {a, b, c, d} dan L = {factor dari 6} (iv) D = {1, 2, 3, 4} dan E = {bilangan prima kurang dari 8}


a. (ii), (iii), (iv) b. (i), (ii), (iv) c. (i), (ii), (iv) d. (i), (iii), (iv) Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : (i) A = {x | 0 < x < 4, x bilangan cacah} dan B = {factor dari 4} (iii) K = {a, b, c, d} dan L = {factor dari 6} (iv) D = {1, 2, 3, 4} dan E = {bilangan prima kurang dari 8}

19. Dari himpunan-himpunan berikut :

A = {x| x < 4, x bilangan Asli} B = {x| x < 4, x bilangan Prima} C = {x| x < 4, x factor prima dari 70} D = {x| 2 < x < 10, x bilangan ganjil}


a. A dan B b. A dan C c. B dan D d. C dan D Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu : A = {x| x < 4, x bilangan Asli} C = {x| x < 4, x factor prima dari 70} 30



20. Dari himpunan pasangan berikut :

(i) {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)} (ii) {(p, 5), (q, 7), (q, 9), (r, 11)} (iii) {(s, 3), (t, 4), (u, 5), (v, 6)} (iv) {(s, 3), (t, 4), (u, 3), (v, 6)}

Yang berkoresponden satu-satu adalah ..

a. (i) b. (ii) c. (iii) d. (iv) Pembahasan : Yang berkoresponden satu-satu adalah .. (iii) {(s, 3), (t, 4), (u, 5), (v, 6)}

II. Kerjakan Soal - Soal dibawah ini

1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}

a. Tulislah himpuanan pasangan berurutan yang menunjukkan korespondensi satu-satu dari A ke B !

b. Berapakan banyak koresponden satu-satu dari A ke B ?

Pembahasan :

a. {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} b. (1 x 2 x 3 x 4) = 24

2. Diketahui pemetaan f : x 2x – 3 dengan daerah asal D = {1, 2, 3, 4, 5},

a. Buatlah tabel pemetaan itu !

b. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f !

c. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius !

Pembahasan :

Jawab :

c.

3. a. Buatlah daftar untuk pemetaan x ½ x + 1 dari himpunan {0, 2, 4, 6, 8} ke himpunan bilangan cacah !



3331



Pembahasan :

c.

4. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22.

Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. rumus fungsi f(x)

c. Tentukan nilai f(10)

Pembahasan :

a. f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 maka :

f(2) = 2a + b 2a + b = 13 … 1)

f(x) = ax + b, jika f(5) = 22 maka :

f(5) = 5a + b 5a + b = 22 … 2)

Eliminasi b dari pers. 1) dan 2)

2a + b = 13

5a + b = 22 –

−3a = −9 a = 3

Substitusikan a = 3 ke pers. 1)

2a + b = 13 2(3) + b = 13

6 + b = 13 b = 7

b. Substitusikan a = 3 dan b = 7 ke fungsi f, maka rumus fungsi menjadi : f(x) = 3x + 7

c. f(x) = 3x + 7, jika f(10) maka :

f(10) = 3(10) + 7

= 30 + 7 = 37

5. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32, h(4) = –8,

Tentukan :

a. Nilai p dan q

b. rumus fungsi h(x)

c. nilai h(−2)

Pembahasan :

a. h(x) = px + q, jika h(−6) = 32 maka :

h(−6) = −6p + q −6p + q = 32 … 1)

h(x) = px + q, jika h(4) = −8 maka :

h(4) = 4p + q 4p + q = −8 … 2)

Eliminasi q dari pers. 1) dan 2)

−6p + q = 32

4p + q = −8 –

−10p = 40 p = −4

c. Substitusikan p = −4 dan q = 8 ke fungsi h, maka rumus fungsi menjadi : h(x) = −4x + 8

32



= daerah hasil

= daerah asal

Substitusikan p = −4 ke pers. 1)

−6p + q = 32 −6(−4) + q = 32

24 + q = 32

q = 32 – 24 = 8

c. h(x) = −4x + 8, jika h(−2) maka :

h(−2) = 3(−2) + 8 = −6 + 8 = 2

Menentukan Nilai Fungsi Gafiknya :

Contoh:

Diketahui fungsiƒ :A →B dan fungsi ƒ ditentukan dengan aturan ƒ(x) = x + 1.

Daerah asalfungsi ƒ ditetapkanA = {x│1 ≤ x ≤ 4, x R}.

a) Hitunglah ƒ(1), dan ƒ(2)

b) Gambarlah grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 pada sebuah bidang Cartecius.

c) Tentukan wilayah hasil dari fungsi ƒ.

Penyelesaian:

a) y = ƒ(x) = x + 1, artinya setiap bilangan real x dipetakan kebilangan real yang nilainya

sama dengan x +1.

Dengan demikian,

untuk x = 1, maka ƒ(1) = 1 + 1 = 2

untuk x = 2, maka ƒ(2) = 2 + 1 = 3

b) Grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 dengan daerah asal A = {x│1 ≤ x ≤ 4, x R} adalah

sebagai berikut:

Keterangan:

0 1 2 3 4 x

(1,2)

(2,3)

(3,4)

(4,5)

Y

5

4

3

2

1

33



c) Berdasarkan grafik fungsi y = ƒ(x) = x + 1 yang berada di atas jelas bahwa

untuk daerah asal A = {x│1 ≤ x ≤ 4, x R}, maka wilayah hasilnya adalah

Wƒ= {y│2 ≤ y ≤ 5, y R}

Contoh:

Diketahui fungsi linier ƒ : x → f(x) = ax + b dengan nilaif(0) = 4 dan nilai f(4) = –4

1) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah untuk fungsi f(x).

2) Tentukan titik potong fungsi f dengan sumbu x maupun sumbu y.

3) Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal Df = {x│x R}.

Penyelesaian:

1) f(x) = ax + b

untuk f (0) = 4, diperoleh :

(0) + b = 4

b = 4

untuk f(4) = -4, diperoleh :

a(4) + b = -4

4a + 4 = -4

a = -2

rumus untuk fungsi f(x) adalah

f(x) = -2x + 4

Jadi, nilai a = -2 b = 4, dan rumus untuk f(x) adalah

f(x) = -2x + 4

2) y = f(x) = -2x + 4

titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0

-2x + 4 = 0

x = 2→(2,0)

titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0

y = -2(0) + 4

y = 4 →(0,4)

Jadi, fungsi y = f(x) = -2x + 4 memotong sumbu X di titik (2,0) dan memotong sumbu Y

di titik (0,4)

3) Grafik fungsi y = -2x + 4 untuk xRpada bidang cartesius diperlihatkan pada gambar

di bawah ini:

34



Harga dua buah pena Rp 3.000,00 dan harga lima buah penaRp 7.500,00. Berapakah

harga sepuluh buah pena?

Jawab:

Diketahui:

- Harga dua buah pena Rp 3.000,00

- Harga lima buah pena Rp 7.500,00

Ditanyakan: Berapa harga sepuluh buah pena. . . ?

Penyelesaian:

Soal tersebut jika dikaitkan dengan fungsi adalah sebagai berikut:

f(2) = 3. 000= 2 x 1.500

f(5) = 7.500 = 5 x 1.500

Tampak bahwa f(x) =1.500 x x

Maka, untuk f(10) = 1.500x 10

= 15.000

Jadi, harga sepuluh buah pena adalah Rp15.000,00.

0 1 2 3 4 5 6 x

Y

4

3

2

1

(0, 4)

(2, 0)

Y = -2x+4

35




1. Pada pemetaan bayangan dari 2 adalah …

a. 3 b. 8 c. 9 d. 27

Pembahasan :

f(x) = 4x 5

f(2) = 4(2) 5

f(2) = 8 5 = 3

2. Pada pemetaan maka h(5) adalah …

a. 33 b. 29 c. 21 d. 17

Pembahasan :

h(x) = x^2 + 4

h(5) = 5^2 + 4

h(5) = 25 + 4 = 29

3. Pada pemetaan f : 5 – x, jika daerah asalnya {3, 2, 1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah …

a. {–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8} c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b. {–2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9} d. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Pembahasan :

f(3) = 5 (3) = 8 f(1) = 5 1 = 4

f(2) = 5 (2) = 7 f(2) = 5 2 = 3

f(1) = 5 (1) = 6 f(3) = 5 3 = 2

f(0) = 5 0 = 5 f(4) = 5 4 = 1

Daerah Hasilnya = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

4. Pada pemetaan jika daerah asalnya {x | x < 5, x bilangan asli }, maka

daerah hasilnya adalah …

a. {–4, –8, –12, –16, –20} c. {4, 8, 12, 16, 20}

b. {–8, –12, –16, –20, – 22} d. {8, 12, 16, 20, 22}

Pembahasan :

x = {1, 2, 3, 4, 5}

f(1) = 4(1) = 4 f(4) = 4(4) = 16

f(2) = 4(2) = 8 f(5) = 4(5) = 20

f(3) = 4(3) = 12

daerah hasilnya = {4, 8, 12, 16, 20}

5. Pada pemetaan jika daerah asalnya x {2, 3, 4, 5 }, rangenya adalah

…

a. {4, 11, 14, 15} c. {6, 11, 14, 17}

b. {6, 11, 14, 15} d. {8, 11, 14, 17}

Pembahasan :

f(2) = 3(2) + 2 = 8 f(4) = 3(4) + 2 = 14

f(3) = 3(3) + 2 = 11 f(5) = 3(5) + 2 = 17

36



Daerah hasilnya = {8, 11, 14, 17}

6. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = px + q, jika f(0) = –2 dan f(2) = 4, maka nilai p dan q berturut-turut adalah …

a. 2 dan –5 b. – 2 dan 5 c. 2 dan –3 d. –2 dan 3

Pembahasan :

f(0) = 2 p(0) + q = 2 q = 2

f(2) = 4

p(2) + q = 4

2p + (2) = 4

2p 2 = 4

2p =4 + 2 p = 6/2 = 3

7. Dari tabel di bawah ini, himpunan pasangan berurutannya adalah ….

a. {(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

b. {(0, 1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

c. {(-1, 1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}

d. {(1, -1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}

Pembahasan :

Himpunan Pasangan berurutannya:

{(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

8. Dari tabel fungsi f(x) = 3x – 2, rangenya adalah .....

a. {(2, -8), (-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)}

b. {(2, 8), (-1, 5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)}

c. {(-8, -2), (-5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)}

d. {(8, -2), (5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)}

Pembahasan :

Range : {(2, -8), (-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)}

9. Diketahui fungsi f : x ---> ax – 7 dan f(5) = 18, maka nilai a adalah …

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8

Pembahasan :

f(5) = 18

5a 7 = 18

5a = 18 + 7

5a = 25, maka a = 5

10. Diketahui fungsi f : x ---> 3x – 11 dan f(a) = –20, maka nilai a adalah …

a. – 3 b. – 4 c. – 5 d. – 6

Pembahasan :

f(a) = 20

3a 11 = 20

3a = 20 + 11 3a = 9 a = 3

37



11. Pada pemetaan f : x ---> 3x + 2, jika f :(a ) 38, maka nilai a adalah …

a. 18 b. 16 c. 12 d. 10

Pembahasan :

f(a) = 38

3a + 2 = 38

3a = 38 2

3a = 36 ---> a = 12

12. Diketahui fungsi , jika f( a) ---> 4, maka nilai a adalah …

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7

Pembahasan :

<---> x + 3 = 2.4

<---> x + 3 = 8

<---> x = 8 3 = 5

13. Diketahui fungsi , jika f(a) = 10, maka nilai a adalah …

a. 22 b. 21 c. 20 d. 19

Pembahasan :

<---> 2a 12 = 3.10

<---> 2a = 30 + 12

<---> 2a = 42 ----> a = 21

14. Diketahui fungsi f(x) = ax – b, sedangkan f(3) = 4 dan f(–5) = –28, maka nilai a dan b berturut-turut adalah …

a. –3 dan 8 b. 3 dan – 8 c. 4 dan 8 d. 4 dan – 8

Pembahasan :

f(3) = 4 f(5) = 28

3a b = 4 .....1) 5a b = 28 .....2)

Eliminasi b dari pers. 1 dan 2

3a b = 4

5a + b = 28 ________________ + 8a = 32 a = 4 Substitusikan a = 4 ke persamaan 1) : 3(4) b = 4 12 b = 4 b = 4 12 ---> b = 8

15. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka nilai a dan b berturut-turut adalah …

a. –4 dan 5 b. 4 dan – 5 c. 3 dan 7 d. 3 dan – 7

Pembahasan :

f(2) = 13 f(5) = 22

2a + b = 13 ..... 1) 5a + b = 22 .... 2)

Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2

2a + b = 13

5a b = 22 _________________ + 3a = 9

38



a = 3 Substitusikan a = 3 ke persamaan 1) : 2(3) + b = 13 6 + b = 13 ----> b = 13 6 = 7

16. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8, maka nilai p dan q berturut-turut adalah …

a. –2 dan 9 b. 2 dan – 8 c. 6 dan –4 d. –4 dan 8

Pembahasan :

h(6) = 32 h(4) = 8

6p + q = 32 ..... 1) 4p + q = 8 .... 2)


6p + q = 32

4p q = 8 _________________ + 10p = 40 p = 4 Substitusikan p = 4 ke persamaan 1) : 6(4) + q = 32 24 + q = 32 ----> q = 32 24 = 8

17. Diketahui fungsi f(x) = ax – b, sedangkan f(3) = 7 dan f(–5) = –25, maka rumus fungsi f(x) adalah …

a. f(x) = 3x +5 b. f(x) = 3x – 5 c. f(x) = 4x + 5 d. f(x) = 4x – 5

Pembahasan :

f(3) = 7 f(5) = 25

3a b = 7 ..... 1) 5a b = 25 .... 2)


3a b = 7

5a + b = 25 _________________ + 8a = 32 a = 4 Substitusikan a = 4 ke persamaan 1) : 3(4) b = 7 12 b = 7 ----> b = 7 12 = 5

Rumus fungsi f(x) = 4x 5

18. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka rumus fungsi f(x) adalah …

a. f(x) = 3x + 7 b. f(x) = 3x – 7 c. f(x) = 2x + 5 d. f(x) = 2x – 5

Pembahasan :

f(2) = 13 f(5) = 22

2a + b = 13 ..... 1) 5a + b = 22 .... 2)


2a + b = 13

5a b = 22 _________________ + 3a = 9 a = 3

39



Substitusikan a = 3 ke persamaan 1) : 2(3) + b = 13 6 + b = 13 ----> b = 13 6 = 7 Rumus funfsi f(x) = 3x + 7

19. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8, maka rumus fungsi h(x) adalah …

a. f(x) = – 5x + 8 b. f(x) = –5x – 8 c. f(x) = – 4x + 8 d. f(x) = –4x – 8

Pembahasan :

h(6) = 32 h(4) = 8

6p + q = 32 ..... 1) 4p + q = 8 .... 2)


6p + q = 32

4p q = 8 _________________ + 10p = 40 p = 4 Substitusikan p = 4 ke persamaan 1) : 6(4) + q = 32 24 + q = 32 q = 32 24 = 8

Jadi rumus fungsi f(x) = 4x + 8

20. Nilai a, b dan c dari tabel f(x) = 2x + 2, berturut-turut adalah …

a. [2, 4, 6} b. [2, 6, 8} c. [4, 6, 8} d. [4, 8, 10}

Pembahasan :

f(0) = 2(0) + 2 a = 2

f(2) = 2(2) + 2 b = 6

f(3) = 2(3) + 2

c = 8 -----> maka nilai a, b, dan c = [2, 6, 8]

II. Jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini dengan benar !

1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}

d. Tulislah himpuanan pasangan berurutan yang menunjukkan korespondensi satu-satu dari A ke B !

e. Berapakan banyak koresponden satu-satu dari A ke B ?

Pembahasan :

a. {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} b. (1 x 2 x 3 x 4) = 24

2. Diketahui suatu pemetaan f : x 2x – 3 dengan daerah asal D = {1, 2, 3, 4, 5},

a. Buatlah tabel pemetaan itu !


40




Pembahasan :

c.

3. d. Buatlah daftar untuk pemetaan x ½ x + 1 dari himpunan {0, 2, 4, 6, 8} ke himpunan bilangan cacah !

e. Tentukan himpunan pasangan berurutan dari f !

f. Buatlah grafik pemetaannya dalam diagram cartesius !

Pembahasan :

c.

4. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22.

Tentukan :

d. Nilai a dan b

e. rumus fungsi f(x)

f. Tentukan nilai f(10)

Pembahasan :

a. f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 maka :

f(2) = 2a + b 2a + b = 13 … 1)

f(x) = ax + b, jika f(5) = 22 maka :

f(5) = 5a + b 5a + b = 22 … 2)

Eliminasi b dari pers. 1) dan 2)

2a + b = 13

5a + b = 22 –

−3a = −9 a = 3

Substitusikan a = 3 ke pers. 1)

2a + b = 13 2(3) + b = 13

6 + b = 13 b = 7

b. Substitusikan a = 3 dan b = 7 ke fungsi f, maka rumus fungsi menjadi : f(x) = 3x + 7

c. f(x) = 3x + 7, jika f(10) maka :

f(10) = 3(10) + 7

= 30 + 7 = 37

5. Fungsi f dinyatakan dg rumus h(x) = px + q, jika h(–6) = 32 dan h(4) = –8,

Tentukan :

a. Nilai p dan q b. rumus fungsi h(x) c. nilai h(−2)

41



Pembahasan :

a. h(x) = px + q, jika h(−6) = 32 maka :

h(−6) = −6p + q −6p + q = 32 … 1)

h(x) = px + q, jika h(4) = −8 maka :

h(4) = 4p + q 4p + q = −8 … 2)

Eliminasi q dari pers. 1) dan 2)

−6p + q = 32

4p + q = −8 –

−10p = 40 p = −4

Substitusikan p = −4 ke pers. 1)

−6p + q = 32 −6(−4) + q = 32

24 + q = 32

q = 32 – 24 = 8

b. Substitusikan p = −4 dan q = 8 ke fungsi h, maka rumus fungsi menjadi : h(x) = −4x + 8

c. h(x) = −4x + 8, jika h(−2) maka :

h(−2) = 3(−2) + 8 = −6 + 8 = 2



Tentang Penyusun

Maryono, S.Pd

Lahir di Karanganyar, pada Tanggal 1 Januari 1970,

menamatkan sekolah di SD Negeri Gondangmanis I

tahun 1983, SMP Negeri 1 Karangpandan tahun 1986,

SMA Negeri Karangpandan tahun 1989. Melanjutkan

dengan mencari biaya kuliah sambil menjadi kondektur

BUS solo tawangmangu, juga pernah sambil buruh jadi

tukang kebun di sumber solo, Alhamdulillah, Lulus D-III

Pendidikan Matematika FKIP UNS Tahun 1992. Demikian

juga menyelesaikan jenjang S1 sambil mengajar namun

berkat ridlo Alloh SWT berhasil Lulus Sarjana S-1

Pendidikan Matematika FKIP UNS tahun 1999.

Mengawali karier sebagai guru privat di “Widya Gama”

Karanganyar, sebagai guru di kelas : sejak Juli 1993 mengajar di SMP Muhammadiyah 4

Karangpandan, STM Bhinneka Karya Surakarta, STM Pertanian Karanganyar, SMEA YPE “Wikarya”

Pusat Semarang tahun 1993 sampai dengan 2002. Dan sejak 01 Desember 2000 diangkat sebagai

CPNS di SMP Negeri 2 Jatipuro dan aktif sampai sekarang.

Penyusun yang pernah menjabat sebagai Wakil Kepala Sekolah Bidang Kurikulum di SMEA

Wikarya sejak 1996 sampai 2002 bahkan sejak 2006 sampai sekarang juga menjabat Wakil Kepala

Sekolah Kurikulum di SMP Negeri 2 Jatipuro ini, tergolong cukup unik karena dari beragam

pengalaman dan tempat bekerja seperti itu masih mengisi waktu luangnya untuk bertani,

menurutnya agar roda ekonomi rumah tangga tetap kokoh, juga memberikan les privat. Karena

keluarga dan mengembangkan diri demi ilmu yang ditekuninya agar dapat berkembang dan

bermanfaat bagi nusa bangsa amat penting namun harus seimbang kebutuhan keluarga yaa

setidaknya cukup. Tidak ketinggalan sekarang masih berusaha untuk aktif di dunia maya sebagai

“Blogger” agar tidak GAPTEK.

Terima Kasih, Wassalamu „alaikum warohmatulaahi wabarokatuh. Semoga keselamatan

tercurahkan bagi kita.

Website/Blog : http://uns-id.academia.edu

Email/Paypal : [email protected]

Facebook : Dimas Maryono

Twitter : @dimasmaryono



42

Documents

Faktorisasi Bentuk Aljabar · 1.1 Suku Tunggal dan Suku Banyak Contoh ... Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. ... Untuk bilangan bulat a dengan