Fakult at Grundlagen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me1/matrizen_praes.pdf · IR IR y = f(x) = a x Eigenschaften einer linearen Abbildung: f(x ... 21 a 22 a ik Elemente der

GrundsatzlichesRechnen mit Matrizen

Anwendungen

Matrizenrechnung

Fakultat Grundlagen

Juli 2015

Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung


Anwendungen

Ubersicht

1 GrundsatzlichesMatrixbegriffRechenregelnSpezielle Matrizen

2 Rechnen mit MatrizenMatrizenrechnungDeterminanten

3 AnwendungenEigenwerteLineare GleichungssystemeUberbestimmte lineare Gleichungssysteme

Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 2


Anwendungen

MatrixbegriffRechenregelnSpezielle Matrizen

Lineare Abbildungen

x

y

IR

IR

y = f (x) = a · x

Eigenschaften einer linearen Abbildung:

f (xa + xb) = f (xa) + f (xb)f (t · x) = t · f (x)

zusammengefasst:

f (α · xa + β · xb) = α · f (xa) + β · f (xb)

Verallge-meinerung:

x → ~x ∈ IR2

y → ~y ∈ IR2

(x1

x2

)→(

y1

y2

)analoge Darstellungerfordert IR4

affine Abbildungy1 = 3 · x1

y2 = 2 · x2

bzw.y13 = x1y22 = x2

1

1

x1

x2

3

2y1

y2

Kreis: x21 + x2

2 = 1 geht uber in Ellipse:(y13

)2

+(y22

)2

= 1



Anwendungen


Lineare Abbildungen

x

y

IR

IR

y = f (x) = a · x



zusammengefasst:


Verallge-meinerung:

x → ~x ∈ IR2

y → ~y ∈ IR2

(x1

x2

)→(

y1

y2



y2 = 2 · x2

bzw.y13 = x1y22 = x2

1

1

x1

x2

3

2y1

y2

Kreis: x21 + x2


)2

+(y22

)2

= 1



Anwendungen


Lineare Abbildungen

x

y

IR

IR

y = f (x) = a · x



zusammengefasst:


Verallge-meinerung:

x → ~x ∈ IR2

y → ~y ∈ IR2

(x1

x2

)→(

y1

y2



y2 = 2 · x2

bzw.y13 = x1y22 = x2

1

1

x1

x2

3

2y1

y2

Kreis: x21 + x2


)2

+(y22

)2

= 1



Anwendungen


Lineare Abbildungen

x

y

IR

IR

y = f (x) = a · x



zusammengefasst:


Verallge-meinerung:

x → ~x ∈ IR2

y → ~y ∈ IR2

(x1

x2

)→(

y1

y2



y2 = 2 · x2

bzw.y13 = x1y22 = x2

1

1

x1

x2

3

2y1

y2

Kreis: x21 + x2

2 = 1

geht uber in Ellipse:(y13

)2

+(y22

)2

= 1



Anwendungen


Lineare Abbildungen

x

y

IR

IR

y = f (x) = a · x



zusammengefasst:


Verallge-meinerung:

x → ~x ∈ IR2

y → ~y ∈ IR2

(x1

x2

)→(

y1

y2



y2 = 2 · x2

bzw.y13 = x1y22 = x2

1

1

x1

x2

3

2y1

y2

Kreis: x21 + x2


)2

+(y22

)2

= 1



Anwendungen


Lineare Abbildungen im IR2

~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22

)aik Elemente der Matrix

~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)

Linearitat: A ·(α~a + β~b

)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7

)”Multiplikation“ einer Matrix mit einem Vektor erfolgt mittels:(a11 a12

a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)

7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x

~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)

mity1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22

)

aik Elemente der Matrix

~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x

bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)

Linearitat:

A ·(α~a + β~b

)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)

= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b

A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7

)

”Multiplikation“ einer Matrix mit einem Vektor erfolgt mittels:(a11 a12

a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7

)


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7

)


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)



Anwendungen



~x =

(x1

x2

)7→ ~y =

(y1

y2

)mit

y1 = a11 · x1 + a12 · x2

y2 = a21 · x1 + a22 · x2

~x~y

x1 y1

x2 y2

A

Matrix A =

(a11 a12

a21 a22


~y = A · ~x bzw.(y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)


)= αA · ~a + βA · ~b

A =

(cos 0.7 sin 0.7−2 sin 0.7 2 cos 0.7

)


a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 4


Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)

=

(x2

x1

):

Spiegelung an der erstenWinkelhalbierenden.

~y =

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)·(

x1

x2

)=

(x1 cosϕ− x2 sinϕx1 sinϕ+ x2 cosϕ

)Bilder der Einheitsvektoren(

cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)Die Abbildung ergibt eine Drehungum den Winkel ϕ.

ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;

∣∣∣∣( cosϕsinϕ

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣( − sinϕcosϕ

)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

)

:Spiegelung an der erstenWinkelhalbierenden.

~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)

=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=


)

Bilder der Einheitsvektoren(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=


)Bilder der Einheitsvektoren


)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)

=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕ

ϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)

=

(− sinϕcosϕ


ϕ

ϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)

Die Abbildung ergibt eine Drehungum den Winkel ϕ.

ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)

= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣

=


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣

= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ

)


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Beispiele

~y =

(0 11 0

)·(

x1

x2

)=

(x2

x1

):


~y =


)·(

x1

x2

)=




)·(

10

)=

(cosϕsinϕ

)(


)·(

01

)=

(− sinϕcosϕ


ϕϕ

x1

x2

− sinϕ

cosϕ

cosϕ

sinϕ

(cosϕsinϕ

)·(− sinϕcosϕ

)= 0;


)∣∣∣∣ =


)∣∣∣∣ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

⊥



Anwendungen


Definition

Eine Matrix kann als verallgemeinerter Vektor aufgefasst werden:

Vektor: Matrix:geordnetes n–Tupel rechteckiges Zahlenschemaeindimensionales Feld zweidimensionales Feld

Definition: Eine Matrix ist ein rechteckiges (oder quadratisches)Zahlenschema:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

Typ: A(m,n) ist eine m × n–Matrix (m Zeilen, n Spalten).aik ∈ IR: i gibt die Zeile an (Zeilenindex), k gibt die Spalte an(Spaltenindex).

So steht z. B. a43 in der 4. Zeile und 3. Spalte.



Anwendungen


Definition


Vektor:

Matrix:

geordnetes n–Tupel

rechteckiges Zahlenschema

eindimensionales Feld

zweidimensionales Feld


A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn





Anwendungen


Definition




A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn





Anwendungen


Definition




A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn





Anwendungen


Definition




A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn





Anwendungen


Definition




A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn





Anwendungen


Beispiel

Eine Wettbewerbsituation fuhre zu folgender Veranderung derMarktanteile:

Die Firma A behalt 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % andie Firma B und 10 % an die Firma C .Die Firma B behalt 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % andie Firma A und 10 % an die Firma C .Die Firma C behalt 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an dieFirma A und 5 % an die Firma B .

Das folgende Schema beschreibt das Kundenverhalten:

vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9

siehe auch Folie: 31



Anwendungen


Beispiel


Die Firma A behalt 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % andie Firma B und 10 % an die Firma C .

Die Firma B behalt 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % andie Firma A und 10 % an die Firma C .Die Firma C behalt 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an dieFirma A und 5 % an die Firma B .


vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9




Anwendungen


Beispiel


Die Firma A behalt 80 % ihrer Kunden und verliert 10 % andie Firma B und 10 % an die Firma C .Die Firma B behalt 70 % ihrer Kunden und verliert 20 % andie Firma A und 10 % an die Firma C .

Die Firma C behalt 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an dieFirma A und 5 % an die Firma B .


vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9




Anwendungen


Beispiel




vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9




Anwendungen


Beispiel




vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9




Anwendungen


Beispiel




vonA B C

A 0,8 0,2 0,05nach B 0,1 0,7 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0,8 0,2 0,050,1 0,7 0,050,1 0,1 0,9




Anwendungen


Gleichheit

~a =

a1

a2...an

, ~b =

b1

b2...bn

;

~a = ~b wenn

a1 = b1

a2 = b2...

an = bn

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

,

B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

......

bm1 bm2 . . . bmn

A = B wenn aik = bikfur alle i und fur alle k .

Gleichheit in jeder Position!

Dies ist nur moglich bei gleichemTyp der beiden Matrizen.



Anwendungen


Gleichheit

~a =

a1

a2...an

, ~b =

b1

b2...bn

;

~a = ~b wenn

a1 = b1

a2 = b2...

an = bn

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

,

B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

......

bm1 bm2 . . . bmn






Anwendungen


Gleichheit

~a =

a1

a2...an

, ~b =

b1

b2...bn

;

~a = ~b wenn

a1 = b1

a2 = b2...

an = bn

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

,

B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

......

bm1 bm2 . . . bmn






Anwendungen


Gleichheit

~a =

a1

a2...an

, ~b =

b1

b2...bn

;

~a = ~b wenn

a1 = b1

a2 = b2...

an = bn

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

,

B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

......

bm1 bm2 . . . bmn






Anwendungen


Gleichheit

~a =

a1

a2...an

, ~b =

b1

b2...bn

;

~a = ~b wenn

a1 = b1

a2 = b2...

an = bn

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

,

B =

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

......

bm1 bm2 . . . bmn


Gleichheit in jeder Position!Dies ist nur moglich bei gleichemTyp der beiden Matrizen.



Anwendungen


Addition, Subtraktion

~a± ~b =

a1 ± b1

a2 ± b2...

an ± bn

komponentenweise!!

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1n

a21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n...

......

am1 ± bm1 am2 ± bm2 . . . amn ± bmn

element-weise!!

Beispiel:

(1 2 34 5 6

)+

(1 −1 10 −5 7

)

=

(2 1 44 0 13

)



Anwendungen



~a± ~b =

a1 ± b1

a2 ± b2...

an ± bn

komponentenweise!!

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1n

a21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n...

......


element-weise!!

Beispiel:

(1 2 34 5 6

)+

(1 −1 10 −5 7

)

=

(2 1 44 0 13

)



Anwendungen



~a± ~b =

a1 ± b1

a2 ± b2...

an ± bn

komponentenweise!!

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1n

a21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n...

......


element-weise!!

Beispiel:

(1 2 34 5 6

)+

(1 −1 10 −5 7

)

=

(2 1 44 0 13

)



Anwendungen



~a± ~b =

a1 ± b1

a2 ± b2...

an ± bn

komponentenweise!!

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1n

a21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n...

......


element-weise!!

Beispiel:

(1 2 34 5 6

)+

(1 −1 10 −5 7

)

=

(2 1 44 0 13

)



Anwendungen



~a± ~b =

a1 ± b1

a2 ± b2...

an ± bn

komponentenweise!!

A± B =

a11 ± b11 a12 ± b12 . . . a1n ± b1n

a21 ± b21 a22 ± b22 . . . a2n ± b2n...

......


element-weise!!

Beispiel:

(1 2 34 5 6

)+

(1 −1 10 −5 7

)=

(2 1 44 0 13

)



Anwendungen


s-Multiplikation

r~a =

ra1

ra2...

ran

rA =

ra11 ra12 . . . ra1n

ra21 ra22 . . . ra2n...

......

ram1 ram2 . . . ramn

fur r ∈ IR.

Beispiel: pro km 0,32 C Kilometergeld.

Gefahrene Kilometer:

Mo Di Mi Do FrW1 300 180 220 320 150W2 200 150 180 350 100W3 . . .

Entgeld

Mo Di Mi Do FrW1 96 57,6 70,4 102,4 48W2 64 48 57,6 112 32W3 . . .



Anwendungen


s-Multiplikation

r~a =

ra1

ra2...

ran

rA =

ra11 ra12 . . . ra1n

ra21 ra22 . . . ra2n...

......


fur r ∈ IR.



Mo Di Mi Do FrW1 300 180 220 320 150W2 200 150 180 350 100W3 . . .

Entgeld

Mo Di Mi Do FrW1 96 57,6 70,4 102,4 48W2 64 48 57,6 112 32W3 . . .



Anwendungen


s-Multiplikation

r~a =

ra1

ra2...

ran

rA =

ra11 ra12 . . . ra1n

ra21 ra22 . . . ra2n...

......


fur r ∈ IR.



Mo Di Mi Do FrW1 300 180 220 320 150W2 200 150 180 350 100W3 . . .

Entgeld

Mo Di Mi Do FrW1 96 57,6 70,4 102,4 48W2 64 48 57,6 112 32W3 . . .



Anwendungen


s-Multiplikation

r~a =

ra1

ra2...

ran

rA =

ra11 ra12 . . . ra1n

ra21 ra22 . . . ra2n...

......


fur r ∈ IR.



Mo Di Mi Do FrW1 300 180 220 320 150W2 200 150 180 350 100W3 . . .

Entgeld

Mo Di Mi Do FrW1 96 57,6 70,4 102,4 48W2 64 48 57,6 112 32W3 . . .



Anwendungen


s-Multiplikation

r~a =

ra1

ra2...

ran

rA =

ra11 ra12 . . . ra1n

ra21 ra22 . . . ra2n...

......


fur r ∈ IR.



Mo Di Mi Do FrW1 300 180 220 320 150W2 200 150 180 350 100W3 . . .

Entgeld

Mo Di Mi Do FrW1 96 57,6 70,4 102,4 48W2 64 48 57,6 112 32W3 . . .



Anwendungen


Transponieren einer Matrix

~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9

AT entsteht aus A, indem man

die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt,die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt,die 3. Zeile als 3. Spalte schreibt,...

Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

:

AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9


die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt,

die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt,die 3. Zeile als 3. Spalte schreibt,...

Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9


die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt,die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt,

die 3. Zeile als 3. Spalte schreibt,...

Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9


die 1. Zeile als 1. Spalte schreibt,die 2. Zeile als 2. Spalte schreibt,die 3. Zeile als 3. Spalte schreibt,

...

Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6

)



Anwendungen



~a =

a1

a2...an

(n,1)

~aT = (a1, a2, . . . , an)(1,n)

A =

1 2 34 5 67 8 9

: AT =

1 4 72 5 83 6 9



Es gilt:(AT)T

= A.

Beispiel:

1 23 45 6

T

=

(1 3 52 4 6



Anwendungen


Matrizenmultiplikation I

Hintereinanderaus-fuhrung von lin-earen Abbildungen

~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2

z1 = b11(a11x1 + a12x2) + b12(a21x1 + a22x2) = (b11a11 + b12a21)︸︷︷︸= c11

x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2

Die einzelnen Positionen inder Produktmatrix entstehenals Skalarprodukt aus Zeilender 1. Matrix und Spalten der2. Matrix.

(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}

~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x)

= (B · A)︸︷︷︸C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2

z1 = b11(a11x1 + a12x2) + b12(a21x1 + a22x2)

= (b11a11 + b12a21)︸︷︷︸= c11

x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2

z2 = b21(a11x1 + a12x2) + b22(a21x1 + a22x2)

= (b21a11 + b22a21)︸︷︷︸= c21

x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

)

(c11 c12

c21 c22

)



Anwendungen




~y = A · ~x~z = B · ~y

}~z = B · (A · ~x) = (B · A)︸︷︷︸

C

·~x

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a21x1 + a22x2

z1 = b11y1 + b12y2

z2 = b21y1 + b22y2


x1 + (b11a12 + b12a22)︸︷︷︸c12

x2


x1 + (b21a12 + b22a22)︸︷︷︸c22

x2


(a11 a12

a21 a22

)(

b11 b12

b21 b22

) (c11 c12

c21 c22



Anwendungen


Matrizenmultiplikation II

cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ainbnk

cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . . cik

C (m,r) = A · B

cik : Skalarprodukt aus i–tem Zeilenvektor von A und k–temSpaltenvektor von B. Das Ergebnis hat dann so viele Zeilen wie Aund so viele Spalten wie B.



Anwendungen




cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . . cik

C (m,r) = A · B




Anwendungen




cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . .

cik

C (m,r) = A · B




Anwendungen




cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . . cik

C (m,r) = A · B




Anwendungen




cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . . cik

C (m,r) = A · B

cik : Skalarprodukt aus i–tem Zeilenvektor von A und k–temSpaltenvektor von B.

Das Ergebnis hat dann so viele Zeilen wie Aund so viele Spalten wie B.



Anwendungen




cik = ~a Ti · ~bk

b11 b12 . . . b1k . . . b1r

b21 b22 . . . b2k . . . b2r...

......

...bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr

B(n,r)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

A(m,n)

.......... . . . . . . . . . cik

C (m,r) = A · B




Anwendungen


Matrizenmultiplikation III 1 4 10 5 −33 6 −5

B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A

Im Allgemeinen gilt: A · B 6= B · A.



Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen



B(3,3) 1 2 3

4 5 67 8 9

A(3,3)

10 32 −2022 77 −4134 122 −62

C (3,3) = A · B

1 2 34 5 67 8 9

A(3,3) 1 4 1

0 5 −33 6 −5

B(3,3)

24 30 36− 1 1 3− 8 −4 0

D(3,3) = B · A




Anwendungen


Symmetrische Matrizen

Matrizen A(m,m), B(n,n) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahlheißen quadratische Matrizen.

Gilt nun zusatzlich AT = A, dann heißt A symmetrische Matrix.

Bemerkung: A(m,n) =⇒(AT)

(n,m): nur quadratische Matrizen

konnen symmetrisch sein.

Symmetrische Matrizen sind zur Diagonalen”spiegelbildlich“.

A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

,

AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen









A =

2 3 −13 0 2−1 2 1

, AT =

2 3 −13 0 2−1 2 1

= A

=⇒ A symmetrisch.



Anwendungen


Nullmatrix, Einheitsmatrix

Nullmatrix

A + 0 = A ,

neutral bezuglich Addition:

0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:

neutral bezuglich Multiplikation:

A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)

Die Einheitsmatrix ist immer einequadratische Matrix.

E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A

bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)

=

(2 34 5

)



Anwendungen



Nullmatrix

A + 0 = A ,


0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

Einheitsmatrix:

A · E = A bzw. E · A = A:


A(m,n) · E (n,n) = A(m,n)

E (m,m) · A(m,n) = A(m,n)


E =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(

2 34 5

)·(

1 00 1

)=

(2 34 5

)



Anwendungen


Rechenregeln

(1) A + B = B + A

A und B mussen vom gleichen Typ sein.

(2) A + 0 = A 0 muss den gleichen Typ haben wie A .

(3) A + (B + C ) = (A + B) + C

(4) A · B 6= B · A im Allgemeinen

(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C

(8) A · E = E · A = A E muss geeignete Große haben (s. o.).

(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT

(11) (A · B)T = BT · ATAchtung: Die Reihenfolge andert sich!



Anwendungen


Rechenregeln

(1) A + B = B + A A und B mussen vom gleichen Typ sein.


(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln


(2) A + 0 = A

0 muss den gleichen Typ haben wie A .

(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C

(4) A · B 6= B · A

im Allgemeinen

(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C

(8) A · E = E · A = A

E muss geeignete Große haben (s. o.).

(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT

(11) (A · B)T = BT · AT

Achtung: Die Reihenfolge andert sich!



Anwendungen


Rechenregeln



(3) A + (B + C ) = (A + B) + C


(5) A · (B · C ) = (A · B) · C

(6) A · (B + C ) = A · B + A · C

(7) (A + B) · C = A · C + B · C


(9) A · 0 = 0 · A = 0

(10) (A + B)T = AT + BT




Anwendungen

MatrizenrechnungDeterminanten

Matrizengleichungen I

A + X = B (A, B gegeben, X gesucht)

X = B − A = −A + B

(−A = (−1)A: Multiplikation von A mit (−1))

(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A

= −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B

(−A = (−1)A:

Multiplikation von A mit (−1))

(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)

X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)

⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen




X = B − A = −A + B


(1 3 −2−1 5 1

)+ X =

(7 4 −26 1 1

)X =

(7 4 −26 1 1

)−(

1 3 −2−1 5 1

)⇒ X =

(6 1 07 −4 0

)



Anwendungen


Matrizengleichungen I (Beispiel)

X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2

ergibt LGS fur X und Y

(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1]

= 13

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen



X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2


(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1]

= 13

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen



X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2


(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1]

= 13

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen



X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2


(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1]

= 13

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen



X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2


(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1] = 1

3

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen



X − Y =

(0 12 4

)= D1

X + 2Y =

(3 45 4

)= D2


(1 −1 D1

1 2 D2

)∼(

1 −1 D1

0 3 D2 −D1

)

Y = 13 [D2 −D1] = 1

3

[(3 45 4

)−(

0 12 4

) ]=

(1 11 0

)

X = Y + D1 =

(1 11 0

)+

(0 12 4

)=

(1 23 4

)



Anwendungen


Matrizengleichungen II, Inverse Matrix

A · X = B: Problem schwieriger.Man kann nicht wie bei Zahlen auf beiden Seiten durch A teilen!

Bei Zahlen:ax = b (auf beiden Seiten mit a−1 multiplizieren)

a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)

Analog versucht man, eine Matrix A−1 zu finden mit derEigenschaft

A−1 · A = A · A−1 = E .

Multiplikation der Gleichung A · X = B mit A−1 von links:

A−1 · (A · X )︸︷︷︸

= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .

Bemerkung: Die inverse Matrix A−1 ist nur fur quadratische

Matrizen definiert. A−1 hat dieselbe Große wie A.Es gibt nicht zu jeder quadratischen Matrix eine inverse Matrix.



Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸

= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸

= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸

= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸

= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B

⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B ⇒ X = A−1B .





Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B ⇒ X = A−1B .


Matrizen definiert. A−1 hat dieselbe Große wie A.

Es gibt nicht zu jeder quadratischen Matrix eine inverse Matrix.



Anwendungen





a−1ax = a−1b ⇐⇒ x = a−1b (da a−1a = 1)


A−1 · A = A · A−1 = E .


A−1 · (A · X )︸︷︷︸= (A−1 · A) · X = E · X = X

= A−1 · B ⇒ X = A−1B .





Anwendungen


Inverse Matrix, Beispiel

A =

(1 12 3

)

, gesucht A−1.(1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E

fuhrt auf folgende Gleichungssysteme:

b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.

(1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E

(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen



A =

(1 12 3

), gesucht A−1.(

1 12 3

)︸︷︷︸

A

·(b11 b12

b21 b22

)︸︷︷︸

A−1

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

E


b11 + b21 = 12b11 + 3b21 = 0

b12 + b22 = 02b12 + 3b22 = 1

simultane Losung

A E(1 12 3

) (1 00 1

)

(1 10 1

) (1 0−2 1

)

(1 00 1

) (3 −1−2 1

)

E A−1

A · A−1 =

(1 12 3

)·(

3 −1−2 1

)=

(1 00 1

)= E



Anwendungen


Inverse Matrix,Rechenregel

Regel zur Erzeu-gung der Inversengilt allgemein:

A E

E A−1

Start: links A, rechts E .So lange umformen, bis linksE entsteht; dann steht rechtsautomatisch A−1.

Fur n = 2 ergibt sich die Merkregel:1(a11 a12

a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0

Bemerkung: Mit A · A−1 = E gilt auch A−1 · A = E .

1

Der Ausdruck a11a22 − a12a21 fuhrt im nachsten Abschnitt zum Begriffder Determinante.



Anwendungen




A E

E A−1

Start: links A, rechts E .

So lange umformen, bis linksE entsteht; dann steht rechtsautomatisch A−1.


a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1




Anwendungen




A E

E A−1

Start: links A, rechts E .So lange umformen, bis linksE entsteht;

dann steht rechtsautomatisch A−1.


a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1




Anwendungen




A E

E A−1



a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1




Anwendungen




A E

E A−1


Fur n = 2 ergibt sich die Merkregel:

1

(a11 a12

a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1




Anwendungen




A E

E A−1



a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1Der Ausdruck a11a22 − a12a21 fuhrt im nachsten Abschnitt zum Begriffder Determinante.



Anwendungen




A E

E A−1



a21 a22

)−1

= 1a11a22 − a12a21

(a22 −a12

−a21 a11

), a11a22 − a12a21 6= 0


1Der Ausdruck a11a22 − a12a21 fuhrt im nachsten Abschnitt zum Begriffder Determinante.



Anwendungen


Inverse Matrix, Beispiel I

Zur Herstellung diverser Produkte werden ver-

schiedene Rohstoffe benotigt. Den Zusam-

menhang liefert die Matrix der Rohstoffkoef-

fizienten.

Der Rohstoffkoeffizient rjk gibt an,

wieviel Einheiten des j-ten Rohstoffs fur die

Produktion einer Einheit des k-ten Produkts

benotigt werden. Dann gilt zwischen dem Pro-

duktionsvektor ~x und dem Rohstoffvektor ~s

der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x

Falls R quadratisch ist und R−1 existiert, erhalt man den umgekehrten

Zusammenhang durch: ~x = R−1 · ~s

Dabei ist zusatzlich zu beachten, dass keine negativen Produktionszahlen entstehen.



Anwendungen






fizienten. Der Rohstoffkoeffizient rjk gibt an,



benotigt werden.

Dann gilt zwischen dem Pro-


der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x






Anwendungen









benotigt werden.

Dann gilt zwischen dem Pro-


der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x






Anwendungen











der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x






Anwendungen











der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x






Anwendungen











der Zusammenhang:

Produkt

Rohstoff-typ

1 . . . k . . . n

1 r11 · · · r1k · · · r1n...

......

...j rj1 · · · rjk · · · rjn...

......

...m rm1 · · · rmk · · · rmn

sj =n∑

k=1

rjkxk , j = 1, 2, . . . ,m oder ~s = R · ~x






Anwendungen


Inverse Matrix, Beispiel II

In einem zweistufigen Produktionsprozess werden inStufe 1 aus zwei Rohstoffen (R1, R2) drei Zwischenpro-dukte (Z1, Z2, Z3) und in Stufe 2 aus den Zwischenpro-dukten zwei Endprodukte (E1, E2) gefertigt.

Die jeweils benotigten Mengeneinheiten fur die Produk-

tion einer Einheit des End- bzw. Zwischenprodukts

ergeben sich aus dem sogenannten Gozinto-Graph.

~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1

2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

)

, B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

)

, B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3

2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

)

, B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 3

1

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

)

, B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)

~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E

~R = A · B︸︷︷︸= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)

~E = C−1 · ~R mit C−1 = 16

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R

mit C−1 = 16

(15 −11−9 7

)



Anwendungen







~R =

(r1r2

), ~Z =

z1

z2

z3

, ~E =

(e1

e2

)~R = A · ~Z , ~Z = B · ~E ~R = A · B︸︷︷︸

= C

·~E

A =

(1 2 12 1 3

), B =

2 32 31 2

,

E1 E2

Z1 Z2 Z3

R1 R2

12

1 2

13

2

3 2 31

2

C = A · B =

(7 119 15

)~E = C−1 · ~R mit C−1 = 1

6

(15 −11−9 7



Anwendungen


Determinanten der Ordnung 2(a11 a12

a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)

⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2

Gauß-Algorithmus.(a11 a12 b1

a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21

)

Fur D = a11 · a22 − a12 · a21 6= 0 erhalt eine eindeutige Losung:

x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12

a22p p p p p p p p@@

Die Elemente auf der durchgezogenen Liniewerden multipliziert und mit einem ’+’ versehen: +a11a22

Die Elemente auf der punktierten Liniewerden multipliziert und mit einem ’−’ versehen: −a12a21

|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21

)


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21

)Fur D = a11 · a22 − a12 · a21 6= 0 erhalt eine eindeutige Losung:

x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21

)


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12

a22

p p p p p p p p@@Die Elemente auf der durchgezogenen Liniewerden multipliziert und mit einem ’+’ versehen: +a11a22


|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12

a22

p p p p p p p p

@@



|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen



a21 a22

)·(x1

x2

)=

(b1

b2

)⇔ a11 · x1 + a12 · x2 = b1

a21 · x1 + a22 · x2 = b2


a21 a22 b2

)| · (−a21) +��| · (a11)

∼(

a11 a12 b1

0 a11 · a22 − a12 · a21 b2 · a11 − b1 · a21


x2 =a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a12 · a21

x1 =b1 · a22 − b2 · a12

a11 · a22 − a12 · a21

Definition: |A| =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Merkregel:

|A| =a11

a21

a12




|A| = Summe = +a11a22 − a12a21.



Anwendungen


Determinanten der Ordnung 3 a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:

N = [ a12 · a21 − a11 · a22 ] · [ a13 · a31 − a11 · a33 ] −[ a12 · a31 − a11 · a32 ] · [ a13 · a21 − a11 · a23 ]

= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0

Determinante2 n = 3:

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2

In der Vektorrechnung entsprichtdie Determinante dem Spatprodukt.



Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0

Determinante

2

n = 3:

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

2




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0

Determinante

2

n = 3:

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a332




Anwendungen



a21 a22 a23

a31 a32 a33

| · (−a11)| · (−a11)

∼

a11 a12 a13

−a11 · a21 −a11 · a22 −a11 · a23

−a11 · a31 −a11 · a32 −a11 · a33

· a21�� · a31��

∼

a11 a12 a13

0 a12 · a21 − a11 · a22 a13 · a21 − a11 · a23

0 a12 · a31 − a11 · a32 a13 · a31 − a11 · a33

o. B. d. A. a11 6= 0

Losbarkeit:


= a11 · [ a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

−a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 ]

6= 0


|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a332In der Vektorrechnung entspricht

die Determinante dem Spatprodukt.Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 26


Anwendungen


Determinanten fur n = 3; Entwicklungssatz

Wir konnen die Berechnung auf Determinanten 2. Ordnungzuruckfuhren.

Ausgehend von einer beliebigen Zeile oder Spaltemultiplizieren wir samtliche Elemente dieser Zeile bzw. Spalte mitder zugehorigen Unterdeterminante, die dadurch entsteht, dassman die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht.

Zusatzlich sind die Unterdeterminanten miteinem alternierenden Vorzeichen zu versehen(Schachbrettregel).

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣Entwicklung nach der ersten Zeile:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen



Wir konnen die Berechnung auf Determinanten 2. Ordnungzuruckfuhren. Ausgehend von einer beliebigen Zeile oder Spaltemultiplizieren wir samtliche Elemente dieser Zeile bzw. Spalte mitder zugehorigen Unterdeterminante, die dadurch entsteht, dassman die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht.


∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen





∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen





∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

Entwicklung nach der ersten Zeile:∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

+ a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen





∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣


a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣

− a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen





∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣


a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣

+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣



Anwendungen





∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +


a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = + a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 27


Anwendungen


Determinanten; Entwicklungssatz

Man berechnet die Determinante einer quadratischen n× n Matrix,in dem man nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt.

Beim Entwickeln wird das Matrixelement aij mit der(n − 1)× (n − 1) Unterdeterminante multipliziert, die durchStreichen der i–ten Zeile und der j–ten Spalte entsteht.Die Unterdeterminanten sind mit einem alternierenden Vorzeichen– Schachbrettregel – zu versehen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸Determinante

⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸Schachbrettmuster

⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


Man darf eine Determinante nach jeder Zeile oder Spalte ent-wickeln. (Zeilen bzw. Spalten mit vielen Nullen wahlen!!)



Anwendungen



Man berechnet die Determinante einer quadratischen n× n Matrix,in dem man nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt.Beim Entwickeln wird das Matrixelement aij mit der(n − 1)× (n − 1) Unterdeterminante multipliziert, die durchStreichen der i–ten Zeile und der j–ten Spalte entsteht.

Die Unterdeterminanten sind mit einem alternierenden Vorzeichen– Schachbrettregel – zu versehen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +





Anwendungen



Man berechnet die Determinante einer quadratischen n× n Matrix,in dem man nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt.Beim Entwickeln wird das Matrixelement aij mit der(n − 1)× (n − 1) Unterdeterminante multipliziert, die durchStreichen der i–ten Zeile und der j–ten Spalte entsteht.Die Unterdeterminanten sind mit einem alternierenden Vorzeichen– Schachbrettregel – zu versehen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +





Anwendungen




a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +





Anwendungen




a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +





Anwendungen




a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +


⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ − · · · +− + · · · −...

.... . .

...+ − · · · +





Anwendungen


Determinanten n=3; Sarrus

Man schreibt die erstenzwei Spalten noch einmalrechts an die Matrix.

|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@

@@ @@ @@p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

Die Elemente auf den durchgezogenen Lin-ien werden multipliziert und mit einem ’+’versehen:

+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32

Die Elemente auf den punktierten Linienwerden multipliziert und mit einem ’−’versehen:

−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Die Sarrus-Regel funktioniert nur bei 3× 3-Determinanten!!



Anwendungen




|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@



+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32


−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33





Anwendungen




|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@

@@ @@ @@

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p


+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32


−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33





Anwendungen




|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@



+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32


−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33





Anwendungen




|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@



+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32


−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33





Anwendungen




|A| =

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

@@ @@ @@



+a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32


−a13a22a31

−a11a23a32

−a12a21a33





Anwendungen


Determinanten n=3; Beispiel

Entwicklung nach der erstenZeile unter Beachtung derSchachbrettregel:

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =

+ 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0

Berechnung der Determinante mit der Regel von Sarrus:

|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@

@@ @@ @@p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p = 45 + 84 + 96− 105− 48− 72 = 0



Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣

− 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣

+ 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣

= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@

@@ @@ @@

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

= 45 + 84 + 96

− 105− 48− 72 = 0



Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@

@@ @@ @@p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p = 45 + 84 + 96− 105− 48− 72

= 0



Anwendungen




∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣+ − +− + −+ − +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = + 1

∣∣∣∣ 5 68 9

∣∣∣∣ − 2

∣∣∣∣ 4 67 9

∣∣∣∣ + 3

∣∣∣∣ 4 57 8

∣∣∣∣= +1 · (45− 48)−2 · (36− 42)+3 · (32− 35) = 0


|A| =

1

4

7

2

5

8

3

6

9

1

4

7

2

5

8

@@ @@ @@




Anwendungen


Rechenregeln

1 Wenn die Matrix transponiert wird, andert die Determinanteden Wert nicht.

2 Wenn zu einer Zeile (Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile(Spalte) addiert wird, andert die Determinante den Wertnicht.

3 Wenn zwei Zeilen (Spalte) vertauscht werden, wechselt dieDeterminante ihr Vorzeichen.

4 Wird eine Zeile (Spalte) mit einem Faktor λ multipliziert, sowird die Determinante ebenfalls mit λ multipliziert.

Zeilen- und Spaltenumformungen sind absolut gleichberechtigt.Ist die Determinante einer Matrix ungleich Null, so kann sieinvertiert werden. Die inverse Matrix kann auch mittelsUnterdeterminanten bestimmt werden. Dies fuhrt jedoch furgroßere Matrizen jedoch zu einem großen Rechenaufwand.



Anwendungen


Rechenregeln








Anwendungen


Rechenregeln








Anwendungen


Rechenregeln





Zeilen- und Spaltenumformungen sind absolut gleichberechtigt.

Ist die Determinante einer Matrix ungleich Null, so kann sieinvertiert werden. Die inverse Matrix kann auch mittelsUnterdeterminanten bestimmt werden. Dies fuhrt jedoch furgroßere Matrizen jedoch zu einem großen Rechenaufwand.



Anwendungen


Rechenregeln





Zeilen- und Spaltenumformungen sind absolut gleichberechtigt.Ist die Determinante einer Matrix ungleich Null, so kann sieinvertiert werden.

Die inverse Matrix kann auch mittelsUnterdeterminanten bestimmt werden. Dies fuhrt jedoch furgroßere Matrizen jedoch zu einem großen Rechenaufwand.



Anwendungen


Rechenregeln








Anwendungen

EigenwerteLineare GleichungssystemeUberbestimmte lineare Gleichungssysteme

Eigenwerte; Beispiel Gleichgewichtszustand I


Die Firma A behalt 85 % ihrer Kunden und verliert 5 % an dieFirma B und 10 % an die Firma C .Die Firma B behalt 75 % ihrer Kunden und verliert 15 % andie Firma A und 10 % an die Firma C .Die Firma C behalt 90 % ihrer Kunden und verliert 5 % an dieFirma A und 5 % an die Firma B .


vonA B C

A 0,85 0,15 0,05nach B 0,05 0,75 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0, 85 0, 15 0, 050, 05 0, 75 0, 050, 1 0, 1 0, 9

vgl. Folie: 6



Anwendungen






vonA B C

A 0,85 0,15 0,05nach B 0,05 0,75 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0, 85 0, 15 0, 050, 05 0, 75 0, 050, 1 0, 1 0, 9

vgl. Folie: 6



Anwendungen






vonA B C

A 0,85 0,15 0,05nach B 0,05 0,75 0,05

C 0,1 0,1 0,9

⇔ T =

0, 85 0, 15 0, 050, 05 0, 75 0, 050, 1 0, 1 0, 9

vgl. Folie: 6



Anwendungen


Eigenwerte; Beispiel Gleichgewichtszustand II

Gleichgewichtszustand:~x∞ = A · ~x∞

⇔ (A− E ) · ~x∞ = ~o~x∞ =

abc

Gesucht sind nichttriviale Losungen dieses Systems. Man erhalt dieKoeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems, indem manvon den Elementen der Hauptdiagonalen den Wert 1 abzieht. −0.15 0.15 0.05 0

0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t

Die Losung muss noch so normiertwerden, dass a + b + c = 1 gilt.Mit dem Wert t = 1

6 erhalten wirdie stationare Verteilung der Anteile.

~x∞ =

131612



Anwendungen



Gleichgewichtszustand:~x∞ = A · ~x∞ ⇔ (A− E ) · ~x∞ = ~o

~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc

Gesucht sind nichttriviale Losungen dieses Systems. Man erhalt dieKoeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems, indem manvon den Elementen der Hauptdiagonalen den Wert 1 abzieht.

−0.15 0.15 0.05 00.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)��

1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25)

∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t

Die Losung muss noch so normiertwerden, dass a + b + c = 1 gilt.

Mit dem Wert t = 16 erhalten wir

die stationare Verteilung der Anteile.

~x∞ =

131612



Anwendungen




~x∞ =

abc


0.05 −0.25 0.05 00.1 0.1 −0.1 0

| · 20� ��| · 20| · 10

∼

1 −5 1 0−3 3 1 01 1 −1 0

| · 3�� | · (−1)�� 1 −5 1 00 −12 4 00 6 −2 0

| · 0.5�� | · (−0.25) ∼

1 −5 1 00 3 −1 00 0 0 0

⇒a = 2tb = tc = 3t



~x∞ =

131612



Anwendungen


Eigenwerte; Definition

Eine quadratische Matrix A beschreibt eine Abbildung des IRn insich.

~y = A · ~x

Gesucht Vektoren ~x , die auf ein Vielfaches λ~x abgebildet werden.Oder geometrisch formuliert: Gesucht sind diejenigen Vektoren,deren Richtung bei der Abbildung unverandert bleibt.Definition: Eine Zahl λ heißt Eigenwert einer quadratischenMatrix A , wenn die Gleichung

A · ~x = λ~x

einen Losungsvektor ~x 6= ~o besitzt. Ein solcher Vektor heißtEigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ .

Bedingung an λ:

(A− λE ) · ~x = ~o nichttriviale Losung ⇔ |(A− λE )| != 0



Anwendungen




~y = A · ~x

Gesucht Vektoren ~x , die auf ein Vielfaches λ~x abgebildet werden.

Oder geometrisch formuliert: Gesucht sind diejenigen Vektoren,deren Richtung bei der Abbildung unverandert bleibt.Definition: Eine Zahl λ heißt Eigenwert einer quadratischenMatrix A , wenn die Gleichung

A · ~x = λ~x


Bedingung an λ:




Anwendungen




~y = A · ~x

Gesucht Vektoren ~x , die auf ein Vielfaches λ~x abgebildet werden.Oder geometrisch formuliert: Gesucht sind diejenigen Vektoren,deren Richtung bei der Abbildung unverandert bleibt.

Definition: Eine Zahl λ heißt Eigenwert einer quadratischenMatrix A , wenn die Gleichung

A · ~x = λ~x


Bedingung an λ:




Anwendungen




~y = A · ~x


A · ~x = λ~x


Bedingung an λ:




Anwendungen




~y = A · ~x


A · ~x = λ~x


Bedingung an λ:




Anwendungen




~y = A · ~x


A · ~x = λ~x


Bedingung an λ:




Anwendungen


Eigenwerte; Beispiel

A =

(2 −1−1 2

)

A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3

Eigenvektor zum Eigenwert λ1 = 1 :(1 −1−1 1

)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11

)Eigenvektor zum Eigenwert λ2 = 3 :(−1 −1−1 −1

)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11

)Hinweis: Zu jedem Eigenwert ist nur ein Eigenvektor angegeben.Das Vielfache t · ~ai ist ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λi .Bei symmetrischen Matrizen sind die Eigenvektoren paarweiseorthogonal.



Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)

∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0

λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3

Eigenvektor zum Eigenwert λ1 = 1 :

(1 −1−1 1

)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

)

~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11

)

Eigenvektor zum Eigenwert λ2 = 3 :(−1 −1−1 −1

)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11

)Eigenvektor zum Eigenwert λ2 = 3 :

(−1 −1−1 −1

)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

)

~a2 =

(−11




Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11

)

Hinweis: Zu jedem Eigenwert ist nur ein Eigenvektor angegeben.Das Vielfache t · ~ai ist ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λi .Bei symmetrischen Matrizen sind die Eigenvektoren paarweiseorthogonal.



Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11

)Hinweis: Zu jedem Eigenwert ist nur ein Eigenvektor angegeben.Das Vielfache t · ~ai ist ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λi .

Bei symmetrischen Matrizen sind die Eigenvektoren paarweiseorthogonal.



Anwendungen



A =

(2 −1−1 2

) A− λE =

(2− λ −1−1 2− λ

)∣∣∣∣ 2− λ −1−1 2− λ

∣∣∣∣ = (2− λ)2 − 1!

= 0 λ1 = 1λ2 = 3


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a1 =

(11


)·(

x1

x2

)=

(00

) ~a2 =

(−11




Anwendungen


Matrizenform eines linearen Gleichungssystems

a11x1+ a12x2+ a13x3+. . .+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+. . .+ a2nxn = b2...

......

am1x1+am2x2+am3x3+. . .+amnxn = bm

⇔ A · ~x = ~b

mit: A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

; ~x =

x1...xn

, ~b =

b1...bm

,

Interpretieren wir die Matrix A als Abbildung des n-dimensionalenVektorraums IRn in den m-dimensionalen Vektorraum IRm, so lasstsich ein lineares Gleichungssystem wie folgt deuten: Beivorgegebenem Bildvektor ~b ∈ IRm sucht man das Urbild ~x ∈ IRn.Ist die Matrix quadratisch (m = n) und besitzt sie eine inverseMatrix A−1, so ergibt sich die eindeutige Losung

~x = A−1~b.



Anwendungen



a11x1+ a12x2+ a13x3+. . .+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+. . .+ a2nxn = b2...

......


⇔ A · ~x = ~b

mit: A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

; ~x =

x1...xn

, ~b =

b1...bm

,


~x = A−1~b.



Anwendungen



a11x1+ a12x2+ a13x3+. . .+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+. . .+ a2nxn = b2...

......


⇔ A · ~x = ~b

mit: A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

; ~x =

x1...xn

, ~b =

b1...bm

,

Interpretieren wir die Matrix A als Abbildung des n-dimensionalenVektorraums IRn in den m-dimensionalen Vektorraum IRm, so lasstsich ein lineares Gleichungssystem wie folgt deuten:

Beivorgegebenem Bildvektor ~b ∈ IRm sucht man das Urbild ~x ∈ IRn.Ist die Matrix quadratisch (m = n) und besitzt sie eine inverseMatrix A−1, so ergibt sich die eindeutige Losung

~x = A−1~b.



Anwendungen



a11x1+ a12x2+ a13x3+. . .+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+. . .+ a2nxn = b2...

......


⇔ A · ~x = ~b

mit: A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

; ~x =

x1...xn

, ~b =

b1...bm

,

Interpretieren wir die Matrix A als Abbildung des n-dimensionalenVektorraums IRn in den m-dimensionalen Vektorraum IRm, so lasstsich ein lineares Gleichungssystem wie folgt deuten: Beivorgegebenem Bildvektor ~b ∈ IRm sucht man das Urbild ~x ∈ IRn.

Ist die Matrix quadratisch (m = n) und besitzt sie eine inverseMatrix A−1, so ergibt sich die eindeutige Losung

~x = A−1~b.



Anwendungen



a11x1+ a12x2+ a13x3+. . .+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+. . .+ a2nxn = b2...

......


⇔ A · ~x = ~b

mit: A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

; ~x =

x1...xn

, ~b =

b1...bm

,


~x = A−1~b.Fakultat Grundlagen Matrizenrechnung Folie: 36


Anwendungen


Losung quadratischer linearer Gleichungssysteme

Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Losung~x , wenn A eine inverse Matrix besitzt.

Dies wiederum ist aquivalent dazu, dass die Determinante von A

nicht verschwindet: |A| 6= 0.∣∣A∣∣ 6= 0 ⇔ Gleichungssystem ist eindeutig losbar;∣∣A∣∣ = 0 ⇔ Gleichungssystem hat keine Losungoder unendlich viele Losungen.

Zur Berechnung der Losung gibt es im Fall∣∣A∣∣ 6= 0 zum

Gaußschen Algorithmus einen alternativen Losungsweg mittelsDeterminanten, die so genannte Cramersche Regel.Fur großere Gleichungssysteme fuhrt diese Regel zu einem großenRechenaufwand und ist numerisch instabil.



Anwendungen



Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Losung~x , wenn A eine inverse Matrix besitzt.Dies wiederum ist aquivalent dazu, dass die Determinante von A

nicht verschwindet: |A| 6= 0.

∣∣A∣∣ 6= 0 ⇔ Gleichungssystem ist eindeutig losbar;∣∣A∣∣ = 0 ⇔ Gleichungssystem hat keine Losungoder unendlich viele Losungen.





Anwendungen









Anwendungen






Gaußschen Algorithmus einen alternativen Losungsweg mittelsDeterminanten, die so genannte Cramersche Regel.

Fur großere Gleichungssysteme fuhrt diese Regel zu einem großenRechenaufwand und ist numerisch instabil.



Anwendungen









Anwendungen


Cramersche Regel fur 2× 2-Matrizen

Das lineare Gleichungssystem(a11 a12

a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2

)

hat genau dann eine eindeutige Losung, wenn die Determinanteder Koeffizientenmatrix nicht Null ist. Cramersche Regel:

x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2

)hat genau dann eine eindeutige Losung, wenn die Determinante

der Koeffizientenmatrix nicht Null ist.

Cramersche Regel:

x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2


der Koeffizientenmatrix nicht Null ist. Cramersche Regel:

x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2



x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ ,

x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2



x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2



x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2



x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3

, x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen




a21 a22

)·(

x1

x2

)=

(b1

b2



x1 =

∣∣∣∣ b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , x2 =

∣∣∣∣ a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .x1 + x2 = 7−2x1 + 3x2 = 6

; x1 =

∣∣∣∣∣ 7 16 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 15

5 = 3 , x2 =

∣∣∣∣∣ 1 7−2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−2 3

∣∣∣∣∣= 20

5 = 4 .



Anwendungen



Das lineare Gleichungssystem a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

· x1

x2

x3

=

b1

b2

b3


x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣.



Anwendungen




a21 a22 a23

a31 a32 a33

· x1

x2

x3

=

b1

b2

b3


x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣.



Anwendungen




a21 a22 a23

a31 a32 a33

· x1

x2

x3

=

b1

b2

b3


x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣, x3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣.



Anwendungen


Beispiel

Beispiel: Die Abstande von vier Punkten auf einer Geraden sollenbestimmt werden.

x1︷︸︸︷ x2︷︸︸︷ x3︷︸︸︷A B C D

Zur Bestimmung dieser drei Abstande sind eigentlich nur dreiMessungen notwendig. Wenn wir aber mit Messfehlern rechnen, istes naheliegend, nicht nur die Strecken AB, BC und CD zu messen,sondern auch noch zusatzlich als Kontrollmessung die Abstandevon AC , AD und BD zu bestimmen. Dahinter steht die Hoffung,dass sich ein Teil der Messfehler

”rausmittelt“.

Insgesamt erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem.

x1 = 1.1x1 + x2 = 3.1x1 + x2 + x3 = 6.0

x2 = 1.9x2 + x3 = 4.9

x3 = 3.2

⇐⇒ A · x = d



Anwendungen


Beispiel


x1︷︸︸︷ x2︷︸︸︷ x3︷︸︸︷A B C D


”rausmittelt“.


x1 = 1.1x1 + x2 = 3.1x1 + x2 + x3 = 6.0

x2 = 1.9x2 + x3 = 4.9

x3 = 3.2

⇐⇒ A · x = d



Anwendungen


Beispiel


x1︷︸︸︷ x2︷︸︸︷ x3︷︸︸︷A B C D


”rausmittelt“.


x1 = 1.1x1 + x2 = 3.1x1 + x2 + x3 = 6.0

x2 = 1.9x2 + x3 = 4.9

x3 = 3.2

⇐⇒ A · x = d



Anwendungen


Beispiel


x1︷︸︸︷ x2︷︸︸︷ x3︷︸︸︷A B C D


”rausmittelt“.


x1 = 1.1x1 + x2 = 3.1x1 + x2 + x3 = 6.0

x2 = 1.9x2 + x3 = 4.9

x3 = 3.2

⇐⇒ A · x = d



Anwendungen


Beispiel


x1︷︸︸︷ x2︷︸︸︷ x3︷︸︸︷A B C D


”rausmittelt“.


x1 = 1.1x1 + x2 = 3.1x1 + x2 + x3 = 6.0

x2 = 1.9x2 + x3 = 4.9

x3 = 3.2

⇐⇒ A · x = d



Anwendungen


Problemstellung

Dieses lineare Gleichungssystem A · x = d

ist nicht exakt losbar. Je nach Wahl von x entsteht ein Fehler r .

r = A · x − d

Wir wollen nun eine”Losung“ x bestimmen, so dass der

Fehlervektor r moglichst klein wird.Als Maß fur die Beurteilung des Fehlers benutzen wir:

| r |2 = r21 + r2

2 + . . . + r2m

!= Min

(Bei der Beurteilung von Abweichungen, Soll-Ist-Vergleichen, Messfehlern etc. wird

stets die Summe der Fehlerquadrate benutzt.)

Fur zwei Variable x1, x2 wollen wir die Beziehungen zurBestimmung der ausgeglichenen Losung explizit herleiten.



Anwendungen


Problemstellung



r = A · x − d


Fehlervektor r moglichst klein wird.

Als Maß fur die Beurteilung des Fehlers benutzen wir:

| r |2 = r21 + r2

2 + . . . + r2m

!= Min






Anwendungen


Problemstellung



r = A · x − d



| r |2 = r21 + r2

2 + . . . + r2m

!= Min






Anwendungen


Problemstellung



r = A · x − d



| r |2 = r21 + r2

2 + . . . + r2m

!= Min






Anwendungen


Problemstellung



r = A · x − d



| r |2 = r21 + r2

2 + . . . + r2m

!= Min






Anwendungen


Beweisskizze Ir1r2...rm

=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.

Das Fehlerquadrat fur die ite Komponente ergibt sich zu

ri = ai1 · x1 + ai2 · x2 − di r2i = (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )

2 .

Die Summe der Fehlerquadrate ist eine Funktion von x1, x2.

f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2

Dies ist eine quadratische Funktion von x1, x2 und hat die Gestalteines Paraboloids.Zur Bestimmung des Minimums mussen wir die ersten partiellenAbleitungen Null setzen.



Anwendungen



=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.


ri = ai1 · x1 + ai2 · x2 − di

r2i = (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )

2 .


f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2




Anwendungen



=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.



2 .


f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2




Anwendungen



=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.



2 .


f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2




Anwendungen



=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.



2 .


f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2

Dies ist eine quadratische Funktion von x1, x2 und hat die Gestalteines Paraboloids.

Zur Bestimmung des Minimums mussen wir die ersten partiellenAbleitungen Null setzen.



Anwendungen



=

a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)−

d1

d2...dm

.



2 .


f (x1, x2) =m∑i=1

r2i =

m∑i=1

(ai1 · x1 + ai2 · x2 − di )2




Anwendungen


Beweisskizze II

∂∂x1

f (x1, x2) =m∑i=1

2 (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di ) · ai1

= 2

{m∑i=1

ai1 · ai1 · x1 +m∑i=1

ai1 · ai2 · x2 −m∑i=1

ai1 · di}

= 2

{x1 ·

m∑i=1

ai1 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai1 · ai2 −m∑i=1

ai1 · di}

Analog erhalten wir fur die zweite partielle Ableitung

∂∂x2

f (x1, x2) = 2

{x1 ·

m∑i=1

ai2 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai2 · ai2 −m∑i=1

ai2 · di}



Anwendungen


Beweisskizze II

∂∂x1

f (x1, x2) =m∑i=1

2 (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di ) · ai1

= 2

{m∑i=1

ai1 · ai1 · x1 +m∑i=1

ai1 · ai2 · x2 −m∑i=1

ai1 · di}

= 2

{x1 ·

m∑i=1

ai1 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai1 · ai2 −m∑i=1

ai1 · di}


∂∂x2

f (x1, x2) = 2

{x1 ·

m∑i=1

ai2 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai2 · ai2 −m∑i=1

ai2 · di}



Anwendungen


Beweisskizze II

∂∂x1

f (x1, x2) =m∑i=1

2 (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di ) · ai1

= 2

{m∑i=1

ai1 · ai1 · x1 +m∑i=1

ai1 · ai2 · x2 −m∑i=1

ai1 · di}

= 2

{x1 ·

m∑i=1

ai1 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai1 · ai2 −m∑i=1

ai1 · di}


∂∂x2

f (x1, x2) = 2

{x1 ·

m∑i=1

ai2 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai2 · ai2 −m∑i=1

ai2 · di}



Anwendungen


Beweisskizze II

∂∂x1

f (x1, x2) =m∑i=1

2 (ai1 · x1 + ai2 · x2 − di ) · ai1

= 2

{m∑i=1

ai1 · ai1 · x1 +m∑i=1

ai1 · ai2 · x2 −m∑i=1

ai1 · di}

= 2

{x1 ·

m∑i=1

ai1 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai1 · ai2 −m∑i=1

ai1 · di}


∂∂x2

f (x1, x2) = 2

{x1 ·

m∑i=1

ai2 · ai1 + x2 ·m∑i=1

ai2 · ai2 −m∑i=1

ai2 · di}



Anwendungen


Beweisskizze III

Aus den Bedingungen

∂∂x1

f (x1, x2) = 0

∂∂x2

f (x1, x2) = 0

erhalten wir das lineare Gleichungssystem fur x1, x2 :

x1 ·{

m∑i=1

ai1 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai1 · ai2}

=m∑i=1

ai1 · di

x1 ·{

m∑i=1

ai2 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai2 · ai2}

=m∑i=1

ai2 · di

bekannt unbekannt



Anwendungen


Beweisskizze III

Aus den Bedingungen

∂∂x1

f (x1, x2) = 0

∂∂x2

f (x1, x2) = 0


x1 ·{

m∑i=1

ai1 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai1 · ai2}

=m∑i=1

ai1 · di

x1 ·{

m∑i=1

ai2 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai2 · ai2}

=m∑i=1

ai2 · di

bekannt unbekannt



Anwendungen


Beweisskizze III

Aus den Bedingungen

∂∂x1

f (x1, x2) = 0

∂∂x2

f (x1, x2) = 0


x1 ·{

m∑i=1

ai1 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai1 · ai2}

=m∑i=1

ai1 · di

x1 ·{

m∑i=1

ai2 · ai1}

+ x2 ·{

m∑i=1

ai2 · ai2}

=m∑i=1

ai2 · di

bekannt unbekannt



Anwendungen


Losung

Ubersichtliche Darstellung des LGS mit Skalarprodukten.a11 a12

a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d

Prinzip:uberbestimmtes LGS Normalengleichung

A · x = dA

T ·=⇒ AT · A · x = AT · d

Gultig fur m Gleichungen in n Unbekannten (n < m)



Anwendungen


Losung


a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d


A · x = dA

T ·=⇒ AT · A · x = AT · d




Anwendungen


Losung


a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d

Prinzip:

uberbestimmtes LGS Normalengleichung

A · x = dA

T ·=⇒ AT · A · x = AT · d




Anwendungen


Losung


a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d

Prinzip:uberbestimmtes LGS

Normalengleichung

A · x = d

AT ·

=⇒ AT · A · x = AT · d




Anwendungen


Losung


a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d


A · x = dA

T ·=⇒ AT · A · x = AT · d




Anwendungen


Losung


a21 a22...

...am1 am2

·(

x1

x2

)=

d1

d2...dm

︸︷︷︸a1

︸︷︷︸a2

︸︷︷︸d

ergibt:

x1 · (a1 · a1) + x2 · (a1 · a2) = a1 · d

x1 · (a2 · a1) + x2 · (a2 · a2) = a2 · d


A · x = dA

T ·=⇒ AT · A · x = AT · d




Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1

x1 = 1.125, x2 = 1.875,x3 = 3.075 sind diejeni-gen Abstande zwischen denPunkten A, B und C ,die am besten (im Sinneminimaler Fehlerquadrate)zu allen sechs Messungenpassen.

=⇒ Normalengleichung:

3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035



Anwendungen


Zahlenbeispiel

ATA =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

=

3 2 12 4 21 2 3

ATd =

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1

·

1.13.16.01.94.93.2

=

10.215.914.1



3 2 1 10.22 4 2 15.91 2 3 14.1

⇒x1 = 1.125x2 = 1.875x3 = 3.075

r =

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1

· 1.125

1.8753.075

−

1.13.16.01.94.93.2

=

0.025−0.100

0.075−0.025−0.050−0.125

D(x) = rT r = 0.035


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Fakult at Grundlagen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me1/matrizen_praes.pdf · IR IR y = f(x) = a x Eigenschaften einer linearen Abbildung: f(x ... 21 a 22 a ik Elemente der