57

Fast Field Solvers

  • Upload
    others

  • View
    11

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Fast Field Solvers

����� ������� ����� � ������ ���

������������� !����#" $ %&��')(�" * + !��,!&+ -�* .�� " �

/�+ + ��� 0 ( 1�������� � * ��� 23� 46587 + 0 * � ��-�" 0 9�+ :���� * $;+ -�*���46587 + 0 * � " 0 ��7,58-�<�" -�+ + � " -�<���-�= >?��$;:�.&* + ��!&0 " + -�0 +

@ �� ��0 (�.� + * * �A -� * " * .&* +#��46BC+ 0 (�-���7 ��<�2>?��$D��� " =�<�+ E,@�FHG&I�J K�L�MD� !�� F#�

J N3!&+ :OJ L�L&I

BP(�" Q?��� R�QP�� O .�:�:���� * + =H��2S* (�+T9#+ 4 + -� +TF�=&U���-�0 + =V/�+ + ��� 0 (VW8� � X + 0 * YF�<�+ -�0 2H0 ��-&Z* � ��0 * ;��G�G�G&J [ Z N�\ Z ��Z N�I�]�E?@ 9�F�L&\�I Z N�N Z ��Z G�G�N�E?��-�=^��G�G�G&J [ Z L&J Z % Z J _�L�N�E6* (�+ ��� * " ��-���7�!&0 " Z+ -�0 +#`���.�-�=���* " ��-�0 ��-�* � ��0 *Da @ A W6Z N�N&] N&\ _�[�F�G&I�b E�`?� c�� A ��0 ��-�* � ��0 *�% Z `6c?A Z N�N Z G�_&\�E&��-�=�<�� ��-�* 4 � ��$dA � c�� @Y��9�" <�" * ��7,58e�.�" :�$;+ -�*#>?��� :,��� ��* " ��-,E���-�=�F�-���7 ��<�9�+ U&" 0 + �

Page 2: Fast Field Solvers
Page 3: Fast Field Solvers

f

g?h�i�j&k f l�m�npoqsr t�t�uOv�w�x x w o m&y x z n n x3{ |�x n f n y&n z h }�~ z o m | h�� h l j��Pg w��D� k f ��l z � v��D�8� � �Pk f l�m�n xk z x z k � z � �

~ m�f xP� l k z z �;z | n�l�f � z x j�h y � n m z#��{ g?�8���&�8�P� o z k n w f | k f l�m�n xPw�| � h � � f l w n f h |�x �6� j y x f | l�n m zx h } n � w k z ��j�h y f | ��f o w n z n m w n j�h y m w � z k z w � � y | � z k x n h&h � � w�| ����f � � o h � i�� j ��f n m3n m z n z k �;x �

vY� { � ~ ��v���� �?���#�����8�8���?�&�8��~ � ~ { ���#�S����� � ��� � ��~ { �?�����6�#�8���?���)��� { v3�� ��{ �8� �8� j � w j�h } z ��w�� i�� z � � y&n | h n � f � f n w n f h | � vY� { � ~ �8v ��� �?�T�#�����8�8���?�&�8��~ ���~ { ���#�;���^� � ��� � ��~ { �?�;��� v �8�Pg?� � ��~ ���P{ �C{ ~?�V����� { ~P���?���;�C��� � �P�S� � � �~ { g?� ��� �S�8�����?�#�&�����)~P� � ~)~P�����#�&�����T~P��� ��{ g?�8���&�8�������6~?� � ����gP� v3��?�����8��~��;�����D�#g?� v �8��~ � ~ { ���)� { �C� �#��~ { ���6� { �#��� � �P�S� � ~P�8��~�����gP���6� �� { �#��~�����~P� � ��� v � � � �;������~P���8�^� { ����~�� �&vY� { � ~ ��x m w � � | h n �,z m z � � � f w�� � z } h�k w�| j� f w�� f � f n j | h�kP} h�k w�| j ��f k z o n � f | ��f k z o n h�k o h |�x z   y z | n f w � � w��;w l z x ��f n m k z x i z o n�n h w�| j o � w f �� j �C{ g?�8�#�&�8�^h�k w�| j n m�f k � i w k n j3h |3w o o h y | n h�}�h�k w k f x f | l } k h � n m�f x?� l k z z �;z | n h�k y x z h�}n m�f xPx h } n � w k z �

Page 4: Fast Field Solvers

¡ ¡

Page 5: Fast Field Solvers

¢P£P¤�¥C¦8¤;¥6§ ¨ ¨ ¨

©�ª3«3¬C­#«3¬8®

¯±° ²�³�´ ²Tµ#¶ ·&¸C¹�¶ · º »C¸C¼�´3½P¾ ¿ ·�À ¯Á� ÁsÃ,Ä8ÅPÆ�Ä�ÇHÇ�È É&Ê Ë Ì�Í�Î ¨ Í È�Ï Ð�Ê È Ë Ñ Ì�Ò ÈVÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂÓÁ

Á� Á� ÁÔÃ,Ä8ÅPÆ�Ä�ÇHÕ#Ì Ê ÌÖÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂÓÁÁ� Á� ×ÙØ�Ú ¨ Ð�Û�Ã,Ä8ÅPÆ�Ä�ÇSÑ Ü�ËPÎ�Ì�Ú Ê Ý?Ì�Þ)Â#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂß×Á� Á� àâá6ã�Ì�ä;Þ�Í ÈTÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂß×Á� Á� åçæ Ü&è ¨ Ñ é ¨ Ð�ÛDÊ ê�È#Õ ¨ Ú Ò Ë È Ê ¨ ë Ì�Ê ¨ Ü�Ð^Â#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂßì

Á� ×îí#È Ð�È Ë ¨ Ò�Î ¨ Í È�Ï Ð�Ê È Ë Ñ Ì�Ò È�Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂðïÁ� àîØ�Ú ¨ Ð�Û�Ì;ñ ¨ Ú Ê�Î ¨ Í È�Ê Ü3ò&Þ�È Ò ¨ Ñ é Ý?Ü�ä;Þ�Í ¨ Ò Ì�Ê È è í�È Ü�ä;È Ê Ë ¨ È ÚóÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂßô

õsö3¼C»C»C¾ »C÷T½�¹�À ´�ø�¹�¸ ¯�ù×� ÁsÅCË Ì�è ¨ Ð�Û;ú�ûOÄ�Ò Ò É�Ë Ì�Ò é�ü,æ È ä;Ü�Ë é�Ø�Ú Ì�Û�È#Ì�Ð�è ò&Þ�È È è�Â#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ�Á×� ×îÝ?ê�Ì�Ð�Û ¨ Ð�Û�Ê ê�È#Õ ¨ È Í È Ò Ê Ë ¨ Ò�Ã6È Ë ä ¨ Ê Ê ¨ þ�¨ Ê é3Î�Ì�Ò Ê Ü�ËÿÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ�Á×� àîÆ�È ä;Ü þ&¨ Ð�Û;Ý?Ü�Ð�è�É�Ò Ê Ü�Ë ÚóÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ ××� å Ý?Ì�Í Ò É�Í Ì�Ê ¨ Ð�Û�Ý?Ì�Þ�Ì�Ò ¨ Ê Ì�Ð�Ò È Ú�Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ ×

×& å� ÁÙò&Þ�ê�È Ë ¨ Ò Ì�ÍCÝ?Ì�Þ�Ì�Ò ¨ Ê Ü�Ë�ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ à×& å� ×âÝ?É ��¨ ÒDÝ?Ì�Þ�Ì�Ò ¨ Ê Ü�Ë?ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ ô×& å� àâÃ6Ì�Ë Ì�Í Í È Í,Ã8Í Ì�Ê È#Ý?Ì�Þ�Ì�Ò ¨ Ê Ü�ËÖÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂýÁ �×& å� å��PÉ�Ú�Ý?Ë Ü�Ú Ú ¨ Ð�Û;Ã8Ë Ü � Í È ä ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂD ×�××& å� ìâÝ?Ü�Ì Ê È è ò&Þ�ê�È Ë ¨ Ò Ì�ÍCÝ?Ì�Þ�Ì�Ò ¨ Ê Ü�Ë Â#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂD ×�ì×& å� ïâÄVò ¨ ä;Þ�Í È�ñ ¨ Ú Ê�Î ¨ Í È�á6ã�Ì�ä;Þ�Í ÈÖÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ × ï×& å� ô��PÌ�Ò �&Þ�Í Ì�Ð�ÈDÝ?Ü�Ð�Ð�È Ò Ê Ü�ËOÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà&Á×& å� �âÕ#Æ�Ä�æ�Ý?È Í Í ÚsÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà�à

×� ì Ã8Ë Ü&è�É�Ò ¨ Ð�Û�à ¨ Ò Ê É�Ë È ÚVÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà�ì×& ì& ÁÔñ ¨ Ð�È�Õ#Ë Ì � ¨ Ð�Û�Ú#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà�ì×& ì& ×âÝ?ê�Ì�Ë Û�È#Õ#È Ð�Ú ¨ Ê é�Ì�Ð�è�ÅCÜ�Ê Ì�ÍCÝ?ê�Ì�Ë Û�È#à ¨ Ò Ê É�Ë È Ú^ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà�ï

×� ïTÌ�Ë Ð ¨ Ð�Û�ÚPÌ�Ð�è�á8Ë Ë Ü�Ë ÚdÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçà�ï×� ô�PÉ�Û�Ú)Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçå��×� �� �É ¨ Ò �3Æ�È Ñ È Ë È Ð�Ò È Â#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçå�×

� øD²��T¸C¾ ¿ ¾ »C÷O½�¹�À ´�ø�¹�¸ ���Ä# Á Õ#È Ñ Ì�É�Í Ê�Ý?Ü�ä;Þ ¨ Í Ì Ê ¨ Ü�Ð;Ã8Ë Ü&Ò È è�É�Ë È Â#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçå��Ä# ×Öò&Þ,È Ò ¨ Ì�ÍCÝ?Ü�ä;Þ ¨ Í Ì�Ê ¨ Ü�Ð3Ã8Ë Ü&Ò È è�É�Ë È ÚHÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçå��Ä# à Ý?Ü�Ð���Û�É�Ë Ì�Ê ¨ Ü�Ð�Î6Í Ì�Û�Ú�ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂçå��Ä# åÖÃ8Ë Ü&è�É�Ò ¨ Ð�ÛDÊ ê ¨ Ú�í#É ¨ è�È�Ì�Ð�è�Æ�È Í Ì Ê È è�Õ�Ü&Ò É�ä;È Ð�Ê ÚHÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#Â#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂDÂ#ÂD ì�Á

Page 6: Fast Field Solvers

� � ������� �!�"�$#

Page 7: Fast Field Solvers

%

&�')( *!+",.-./),.0)1)2 * 3 4 ( 5�2 *76�,�* 8 97,.:�;�,<8 ')4 2 2 = 1)( +"2 -)* ( >.-),�0)3 ,�:),.3 ( 8 ,.-)3 2?2 @�8 4 ,�3 8 ( >�-":)4 >.A�4 ,.+CB6�,�* 8 97,.:D3 >.+":)/�8 2 *�* 2 0 E?,�-)1D+�/�8 /),�073 ,.:),�3 ( 8 ,�-)3 2 *�5�2 8 F�2 2 -G( 1)2 ,.0!3 >.-)1)/)3 8 >.4 *H>�E?,�4 5)( 8 4 ,.4 I* '),�:�2 * ;$>.4 ( 2 -.8 , 8 ( >.-)*J,�-)1K* ( L 2 * BC&�')2"3 >�-)1)/)3 8 >�4 *H3 ,�-D5�2"2 +H5�2 1)1)2 1K( -K,M1)( 2 0 2 3 8 4 ( 3�4 2 A.( >�-3 >.+":�>.* 2 1G> E<,�-.ID-./)+�5�2 4�> E<3 >.-)* 8 ,�-.8 = :�2 4 +"( 8 8 ( N)( 8 IK4 2 A�( >.-)*H>�E?,�-.ID* '),.:�2C,�-)1G* ( L 2�BK&�')2,�0 A.>�4 ( 8 ')+O/)* 2 1P( -Q6�,�* 8 97,.:Q( *C,.-Q,�3 3 2 0 2 4 ,�8 ( >�-Q>�EH8 ')2K5�>�/)-)1),.4 I.= 2 0 2 +"2 -.8C8 2 3 ')-)( R�/)2SE >.4* >�0 N)( -)A�8 ')2H( -�8 2 A�4 ,.0T2 R./),�8 ( >�-M,.* * >�3 ( ,�8 2 1CF?( 8 'C8 ')2H+�/)0 8 ( :)0 2 = 3 >.-)1)/)3 8 >.4 ;)+�/)0 8 ( :)0 2 = 1)( 2 0 2 3 8 4 ( 33 ,.:),�3 ( 8 ,�-)3 2<2 @�8 4 ,�3 8 ( >�-U:)4 >.5)0 2 +CB$&�')2J0 ( -)2 ,.4!* I�* 8 2 +V4 2 * /)0 8 ( -)AJE 4 >.+W8 ')2<5�>�/)-)1),.4 I.= 2 0 2 +"2 -.81)( * 3 4 2 8 ( L ,�8 ( >�-G( *�* >.0 N.2 1X/)* ( -)AK,K,KA.2 -)2 4 ,�0 ( L 2 1G3 >�- Y /)A., 8 2C4 2 * ( 1)/),�0�,.0 A�>.4 ( 8 ')+ZF?( 8 'G,SE ,.* 8+H/)0 8 ( :�>�0 2<,�0 A.>�4 ( 8 ')+[8 >�2 \"3 ( 2 -.8 0 IC3 >.+":)/�8 2<8 ')2J( 8 2 4 ,�8 2 * B

&�')( *<+",.-./),.0$( *<1)( N�( 1)2 1S( -�8 >U8 F�>C* 2 3 8 ( >.-)* B�&�')2H]�4 * 8H* 2 3 8 ( >�-K2 @):)0 ,�( -)*<')> FW8 >C:)4 2 :),.4 2( -):)/�8?]�0 2 *�E >.4�6�,.* 8 97,�:�B?&�')2H( -):)/�8?]�0 2 *?3 >�-.8 ,�( -C8 ')2H1)2 * 3 4 ( :�8 ( >.-C>�E$8 ')2J3 >�-)1)/)3 8 >�4<* /)4 E ,�3 2,�-)1S1)( 2 0 2 3 8 4 ( 3H( -�8 2 4 E ,�3 2�A�2 >�+"2 8 4 ( 2 * BJ&�')2"* 2 3 >�-)1K* 2 3 8 ( >�-S* ')> F?*J')> FW8 >U4 /)-S8 ')2H:)4 >.A�4 ,.+CB^ 8H+",.( -)0 IS2 @):)0 ,�( -)*J')> F[8 >C+">�1)( E IM8 ')2"1)2 E ,./)0 8H* 2 8 8 ( -)A.*J,�* * /)+"2 1K5.IK6�,.* 8 97,�:�BU_<0 * >C1)>�3 =/)+"2 -.8 2 1S( -M8 ')2H* 2 3 8 ( >.-M,.4 2H>�/�8 :)/�8 *<E 4 >�+`* 2 N.2 4 ,.0$2 @),�+":)0 2H4 /)-)* ;T( -)3 0 /)1)( -)A�8 ')2H:�>�* 8 * 3 4 ( :�8]�0 2 *?6�,�* 8 97,.:C:)4 >�1)/)3 2 *?,�*?,�-C,.( 1U8 >�:)4 >.5)0 2 +aN�( * /),.0 ( L ,�8 ( >�-�B

^ -�E >.4 +", 8 ( >.-G>.-X3 >�+":)( 0 ( -)AK6�,�* 8 97,.:�;?>�5�8 ,.( -)( -)AS8 ')2M6�,�* 8 97,.:X* >./)4 3 2S3 >�1)2M,�-)1b3 >.4 4 2 =* :�>.-)1)( -)A<,�5�>�/�8$6�,.* 8 97,�:�( * A.( N.2 -�( -H_?:):�2 -)1)( @�_JB$6�/)4 8 ')2 4 ,.:):�2 -)1)( 3 2 *$:)4 > N�( 1)275),.3 c.A.4 >�/)-)1( -�E >�4 +",�8 ( >�-U,�5�>�/�8�8 ')2J6�,.* 8 97,�:M,�0 A.>�4 ( 8 ')+CB

dfehgJikj$gml[n$oJpMq�n$osr tSpSuMjwvQx y oJz

&�')( *?* 2 3 8 ( >.-M> E$8 ')2H+",.-./),.0T1)2 * 3 4 ( 5�2 *<')> F{8 >":)4 2 :),�4 2H( -):)/�8?]�0 2 *�E >.4?6�,�* 8 97,.:�B?&�')2H( -):)/�8]�0 2 *<* :�2 3 ( E IC8 ')2H1)( * 3 4 2 8 ( L , 8 ( >.- >�E!3 >.-)1)/)3 8 >.4�* /)4 E ,.3 2 * ( -�8 >U:),�-)2 0 * B?&�')2 4 2H,.4 2<8 F7>"8 I�:�2 *<>�E( -):)/�87]�0 2 *!8 '),�8�3 ,�-C5�2<4 2 ,�1C5.IU6�,.* 8 97,�:�B7|<-)2<( *78 ')2<}�_!&�~?_?�P-)2 /�8 4 ,�0�]�0 2 ;),.-)1"8 ')2J> 8 ')2 4( *$,HA�2 -)2 4 ( 3�]�0 27E >�4 +",�8!1)2 * ( A.-)2 1"E >�4!6�,�* 8 97,.:�B$&�')2 * 2�8 F�>H'), N.2?/)-)( R./)2�]�4 * 870 ( -)27E >�4 +",�8 * ;.* >8 '), 8?6�,.* 8 97,�:C3 ,�-M( -�8 2 4 -),�0 0 IU1)2 8 2 4 +"( -)2?8 ')2<8 I�:�2 B7�?* 2 4 *?-)> 8�F?( * ')( -)AH8 >"/)* 2<8 ')2J}�_$&�~?_<�:)4 >�A.4 ,�+a8 >�:)4 2 :),�4 2H,�-C( -):)/�8�]�0 2J3 ,.-C* c�( :U8 >U��2 3 8 ( >�- % B �.B

�!� ���"�K�K�Q�b���{� �?�)�)�7���M� � �{���!�)� �)� �$�T�}�_$&�~?_<�X( *$,<A�2 -)2 4 ,.0�:)/)4 :�>�* 2�;�8 ')4 2 2 = 1)( +"2 -)* ( >.-),�0�* >�0 ( 1H+">�1)2 0 2 4TF?( 8 '�( -�8 2 4 ,�3 8 ( N.27A�4 ,.:)')( 3 * B6�,�* 8 97,.:K( -)3 0 /)1)2 *<,.-K( -�8 2 4 :)4 2 8 2 4<E >�4J}�_$&�~?_<�J� *J* 8 ,.-)1),�4 1K>./�8 :)/�8 ;T8 ')2�-)2 /�8 4 ,�0$]�0 2 B"&�')( *E 2 ,�8 /)4 2J,�0 0 > F?*78 ')2H/)* 2 4�8 >"3 >.-)* 8 4 /)3 8J,�-)1M,�-),.0 I�L 2J+">�4 2J3 >.+":)0 ( 3 ,�8 2 1C3 >.-)1)/)3 8 >.4?* 8 4 /)3 8 /)4 2 *F?( 8 'M')2 0 :M>�E$N�( * /),.0 ( L ,�8 ( >�-�� B?&�')( *?* 2 3 8 ( >.-M5)4 ( 2 �)IC1)2 * 3 4 ( 5�2 *<')> FP8 >U/)* 2H}�_$&�~?_<�{8 >"5)/)( 0 1* /)3 'C* >�0 ( 1U+">�1)2 0 * ;�,.-)1U')> FQ8 >�A.2 -)2 4 , 8 2<8 ')2<-)2 /�8 4 ,.0�]�0 2<* /)( 8 ,�5)0 2?E >�4�6�,�* 8 97,.:�B!6�>�47,�+">.4 23 >.+":)0 2 8 2J1)2 * 3 4 ( :�8 ( >�-C>.-C/)* ( -)A"}�_$&�~?_<�J;�* 2 2<8 ')2J}�_!&�~?_?�{~?2 0 2 ,.* 2H�.B ��/)* 2 4 � *?+",.-./),.0 B

�)� �)� ���7 J¡H¢U U£h¤C¥�¦ ¥§72 E >�4 2?A�>.( -)A<>.-",�-.IHE /)4 8 ')2 4 ;�>�-)2?'),.*$8 >J/)-)1)2 4 * 8 ,.-)1�8 ')2?')( 2 4 ,.4 3 '�I">�E�1),�8 ,<E >.4$* >.0 ( 1�+">�1)2 0 *( -J}�_$&�~?_<�JB�&�')2 4 27,�4 2!8 F�>?0 2 N.2 0 * > E)1),�8 ,?4 2 0 2 N�,�-.8T8 >?6�,.* 8 97,�:�;�A.2 >.+"2 8 4 IJ1),�8 ,�,.-)1H,�-),.0 I�* ( *+">�1)2 0T1), 8 ,)B¨ ©Tª «!¬ ­ ® ¯7­ ° ± «!° ²�³ °�´ ³ ª7µ�­�± ­ ³ ¶!µ «!· ¸ ¹ º�» ¸ ¼!´ ³ ª�³ ½ ¾ ® µ�­T¿ À ­ Á�­ ¶!Â�¾ À ª ¬$° ² ­�Ã�® ¾ ° ¾ ´ ± À à °�Ä ½ ­T¶  ¯�Ã7® à ° À ® ª�¾

¶ ­ ¾ ´ ± À µ�­ ¶�À ªJÅ ­ ´ ° À ® ªJÆ Ç È Ç

Page 8: Fast Field Solvers

É ÊÌËHÍHÎÐÏ7ÍPÑ!Ò?Ó!Ñ�Ô?Ò?ÓbÕ Ö?ÑH×�ÏGØ$Õ Ù Ó7Ú

Û<Ü�Ý ÜJÞ ß�à7á.â ß.ã"â Ý à ä å?â æ�Ý ä Ý ä â ç7è)â ç å à ä é�âJê�ë ì í î ï$ð ì ñ�ò î ï�ó�ô�õ ö ÷�ò î7Ü.æ)èC÷�ø ó�ò ë ó�ô�õ ö ÷�ò î ù!ú�û)ä ç7è)Ü Ý ÜÝ ü�ý�â?ä ç$Ü�þ ç ßJà â Þ â à à â è�Ý ßJÜ�ç!ý)û)Ü�ç âJÿ�è)Ü�Ý ÜJä æ����$ú������Jù.ú�û)â<ê ë ì í î$Ü�à â�ç ä ã"ý)þ üHý�ß�ä æ.Ý ç$ä æ�ç ý)Ü.å â�ù�Qó)ô�õ ö ÷�ä ç7ÜHÝ 7ß� è)ä ã"â æ)ç ä ß�æ)Ü.þ�ç �)à Þ Ü.å â�?ä Ý ûUÞ ß��)à�å ß.à æ)â à?ê�ë ì í î �?û)ä þ â<Ü"÷�ø ó)ò ë ó)ô�õ ö ÷�è)â ��æ)â ç�Üç ß�þ ä è�?ä Ý ûCâ ä á.û�Ý<å ß.à æ)â à<ê ë ì í î ù�?æ)Ü.þ ü�ç ä çHã"ß�è)â þ!è)Ü�Ý Ü� !ý)û)Ü�ç â É è)Ü Ý Ü� $Ü.à â"é��)ä þ Ý�ß�æKÝ ß.ýDß Þ?á.â ß.ã"â Ý à ä å"è)Ü�Ý ÜMÜ.çJÝ û)â üDÜ�à â

å à â Ü Ý â èUé�üUã"â ç û)ä æ)áHá�â ß�ã"â Ý à ä å�â æ�Ý ä Ý ä â ç ù$ú�û)â<à â ç �)þ Ý ä æ)áJè)Ü�Ý ÜHå ß�æ)ç ä ç Ý�ß Þ�ò ð ò �Uò ñ)õ î7Ü�æ)èMñ�� í�ò î Ý û)Ü Ý?Ü.à âJÜ�þ ç ß"à â Þ â à à â èCÝ ß�Ü.ç��������WÜ.æ)è��������Wè)Ü Ý Ü)ù

��� ��� � �"! # $&%('�)+*-,�)�.0/ 132�4&5�! 6�7-5�8��Ü�ç Ý �7Ü.ýDä æ�Ý â à ý)à â Ý ç����$ú������[ó)ô�õ ö ÷�ò î Ü�ç å ß�æ)è��)å Ý ß�à ç �)à Þ Ü�å â ç ùMú�û)Ü�Ý�ä ç $ÜMå ß�æ)è��)å Ý ß�à�ä çJÜå ß.þ þ â å Ý ä ß�æ<ß�Þ�ó�ô�õ ö ÷�ò î�Ý û)Ü�Ý Ü�à â!å ß.æ)æ)â å Ý â è�ù!Û<ä ç å à â Ý ä 9 ä æ)á!Ý û)â!ç �)à Þ Ü.å â çTä æ.Ý ß���Ü.ç Ý �7Ü�ýJý)Ü.æ)â þ ç å ß�à à â ç ý�ß�æ)è)ç�Ý ß"ã"â ç û)ä æ)á�Ý û)â<ó�ô�õ ö ÷�ò î�ä æ.Ý ß����!ú������-: ç�;<�)Ü.è)à ä þ Ü Ý â à Ü�þTÜ�æ)èUÝ à ä Ü.æ)á��)þ Ü.àJò ð ò �Uò ñ�õ î ù= æMé��)ä þ è)ä æ)á�å ß.æ)è��)å Ý ß.à�ã"ß�è)â þ ç �Ý û)â<Þ ß�þ þ ß ?ä æ)á�ç Ý â ý)ç?ç û)ß<�)þ èCé�â?Ý Ü<>�â æ�ùÿ.ù�?��)ä þ èUå ß.æ)è��)å Ý ß.à�ç �)à Þ Ü.å â ç �)ç ä æ)áJó�ô�õ ö ÷�ò î@?ä Ý ûUå ß�à æ)â à�ê�ë ì í î ù@�?þ þ�ß�Ý û)â à�á�â ß�ã"â Ý à ä å?â æ.Ý ä Ý ä â ç?Ü�à âJä á.æ)ß�à â èCé�ü���Ü�ç Ý �7Ü.ý� �Ü�æ)èMå Ü.æMé�â+�)ç â èMß�æ)þ üCÜ.ç�ä æ.Ý â à ã"â è)ä Ü Ý âJâ æ.Ý ä Ý ä â ç7Ý ß"û)â þ ýå à â Ü Ý âCó�ô�õ ö ÷�ò î ùA�?ß�Ý â BMÜ.þ þ7Ý û)âCý)Ü Ý å û)â ç"ß.æXÜKá�ä C.â æXå ß.æ)è��)å Ý ß.à"ã-�)ç ÝUé�âMå ß.æ)æ)â å Ý â è�ù� Ü�Ý å û)â ç"Ü�à âUå ß�æ)æ)â å Ý â è(?û)â æGÝ û)â üDç û)Ü.à âUÜSá.à ä è�ùD= Þ�Ý û)ä çHå ß�æ)æ)â å Ý ä C)ä Ý üGå ß.æ)ç Ý à Ü�ä æ.Ý�ä çä á�æ)ß.à â è� ���Ü.ç Ý �7Ü�ýE?ä þ þ$ä æ.Ý â à ý)à â ÝHÝ û)â"è)ä ç å ß�æ)æ)â å Ý â èDç â Ý çHß�Þ�ý)Ü�Ý å û)â ç�Ü�çHç â ý)Ü�à Ü�Ý â"å ß�æ�è��)å Ý ß.à ç ù

É ù��?Ü.ã"âJâ Ü�å ûSå ß.æ)è��)å Ý ß.à��)ç ä æ)á�Ý û)â-���!ú������F����G��Qå ß.ã"ã"Ü�æ)è�ù��!Ü�å ûSå ß.æ)è��)å Ý ß.à<å Ü.æé�âJæ)Ü.ã"â èCé.üCæ)Ü�ã"ä æ)á�Ü�Ý?þ â Ü�ç Ý?ß.æ)âJß Þ Ý û)âJå ß�æ)è��)å Ý ß�à : ç7ó)ô�õ ö ÷�ò î ùH ù�GCâ ç ûJÝ û)â$ó�ô�õ ö ÷�ò î��)ç ä æ)á�Ý û)â����!ú������AG"��I�JGå ß�ã"ã"Ü.æ)è�ù ú�û)ä çTå ß�à à â ç ý�ß.æ)è)ç�Ý ß?ý)þ Ü.å ä æ)á

ñ�� í�ò îTÜ�æ)èCò ð ò �Uò ñ)õ îTß�æ<Ý û)â$ó)ô�õ ö ÷�ò î ù ú�û)â!ã"â ç û)ä æ)á?ß�ý�â à Ü�Ý ä ß�æJý)à ß�è��)å â çTÜ?è)ä ç å à â Ý ä 9 Ü�Ý ä ß�æß ÞTÝ û)â?å ß�æ)è��)å Ý ß�à?ç �)à Þ Ü�å â ç ä æ�Ý ß-���$ú������[ò ð ò �Uò ñ�õ î �Ü.þ ç ßJà â Þ â à à â è"Ý ßHÜ�ç���Ü.ç Ý �7Ü�ýUý)Ü�æ�â þ ç ù@K<æ)â�û)Ü�ç Ý ß<à â ã"â ã�é�â àTÝ ß<å à â Ü�Ý â7ß.æ)þ üJÝ û)â�9 â à ß�Ý û�ß�à è)â àTÝ à ä Ü.æ)á��)þ Ü.àTß.à&;��)Ü�è)à ä þ Ü�Ý â à Ü.þò ð ò �Uò ñ)õ î ù@= æ����$ú������PÝ û)â üCå ß.à à â ç ý�ß�æ)èMú���= L H L M"ß�à�N�O��?Û-L P�L MMò ð ò �Uò ñ�õ î ùP)ù��$ä æ)Ü�þ þ ü< �?à ä Ý âHß���Ý<ÜUæ)â ��Ý à Ü.þ���þ â<Þ à ß.ãQ���!ú������Hù�?7âHç �)à âJÝ ßUß���Ý ý���ÝJé�ß�Ý ûMá�â ß�ã"â Ý à ä åR ý)û)Ü�ç â"ÿ�S�Ü�æ)èMÜ.æ)Ü�þ ü)ç ä ç?ã"ß�è)â þ R ý)û)Ü�ç â É S�è)Ü Ý Ü"Ý ß�Ý û)âHæ)â ��Ý à Ü�þ���þ â R ç â âJÝ û)â-���$ú������ã"Ü�æ��)Ü�þ�Þ ß�à�ã"ß.à â<ä æ�Þ ß.à ã"Ü Ý ä ß.æ"Ü.é�ß<��Ý?å à â Ü Ý ä æ)á"æ)â ��Ý à Ü.þ���þ â ç S ù

��� ��� T U�V�5�W(8&X Y�7ß�æ)ç ä è)â à!å ß�ã"ý���Ý ä æ)áJÝ û)â?å Ü.ý)Ü�å ä Ý Ü�æ)å â�ß�Þ�Ý û)â?â Z�Ü.ã"ý)þ â�ä æ[�$ä á<�)à â<ÿ R Ü<S <?û)ä å ûUå ß.æ)ç ä ç Ý ç!ß�Þ�Ý �ßå ß.æ)è��)å Ý ß.à ç ù��!Ü�å ûKå ß�æ)è��)å Ý ß�àJû)Ü.ç<ç ä ZMÞ Ü.å â ç TÜ.æ)èMÝ û��)çJà â ;��)ä à â çJç ä ZMó)ô�õ ö ÷�ò î?Ý ßUã"ß�è)â þTÝ û)â ä àç �)à Þ Ü�å â ç ù"I�ä æ)å â�â Ü�å ûDç â ÝHß�Þ�ç ä ZMó�ô�õ ö ÷�ò îJÜ.à â�å ß�æ)æ)â å Ý â è� Ý û)â üD?ä þ þ$é�â"ä æ�Ý â à ý)à â Ý â èKÜ.çJé�â ä æ)áÞ à ß�ãVß�æ)âJå ß.æ)è��)å Ý ß.à�é�ü"��Ü.ç Ý �7Ü�ý�ù7ú�û)â?Þ ß.þ þ ß ?ä æ)áHä ç7Ý û)â<þ ä ç Ý?ß Þ Ý û)â+���$ú������På ß�ã"ã"Ü.æ)è)ç!Ý ßé��)ä þ èUÜ.þ þ�Ý û)âJá.â ß.ã"â Ý à ä å<â æ�Ý ä Ý ä â ç�ä æ"�$ä á��)à â�ÿ R Ü�S ù�$ä à ç Ý )ý���Ý<è)ß ?æMê�ë ì í î7Ý ß[�)ç âJÜ.ç7ó)ô�õ ö ÷�å ß�à æ)â à�ý�ß�ä æ.Ý ç�é�üCÝ ü)ý)ä æ)á�B\�]�^ _�`ba�`c`Dd@e d�f<d@e d�f<d@e d\�]�^ _�`hg�`c`(a&e d�f<d@e d�f<d@e d\�]�^ _�`ji@`c`(a&e d�f�a&e d�f<d@e d

Page 9: Fast Field Solvers

k�l kjm�n�o&p�n�qrq�s�t�u v w x�y�z x s�{ |3u s v } w�~ s �

� �<� � �3�

� � � � �3���� ����� �-�<�@��� �<�[��� �+���<� � � � � �<����� � � � � � �[��� � ����� � � �<������� � � � � � � � � � � �<���

Page 10: Fast Field Solvers

�  j¡-¢-£¥¤�¢§¦@¨�©@¦�ª�¨�©A« ¬�¦-­�¤¯®�« °&©�±

²�³�´ µ�¶j·@¶c¶D¸@¹ ¸�º�»&¹ ¸�º<¸@¹ ¸²�³�´ µ�¶h¼�¶c¶D¸@¹ ¸�º<¸@¹ ¸�º�½�¹ ¸²�³�´ µ�¶h¾�¶c¶(»&¹ ¸�º<¸@¹ ¸�º�½�¹ ¸²�³�´ µ�¶j¿@¶c¶(»&¹ ¸�º�»&¹ ¸�º�½�¹ ¸²�³�´ µ�¶jÀ@¶c¶D¸@¹ ¸�º�»&¹ ¸�º�½�¹ ¸²�³�´ µ�¶hÁ�¶c¶ Â�»&¹ ¸�º<Ã@¹ ¸�º�»&¹ ¸²�³�´ µ�¶(»�¸&¶§¶ Â�»&¹ ¸�º<Ã@¹ ¸�º<Ã@¹ ¸²�³�´ µ�¶(»�»�¶§¶ Â�»&¹ ¸�º�½�¹ ¸�º<Ã@¹ ¸²�³�´ µ�¶(»�Ã&¶§¶ Â�»&¹ ¸�º�½�¹ ¸�º�»&¹ ¸²�³�´ µ�¶(» ½�¶§¶DÃ@¹ ¸�º<Ã@¹ ¸�º�»&¹ ¸²�³�´ µ�¶(» ·�¶§¶DÃ@¹ ¸�º<Ã@¹ ¸�º<Ã@¹ ¸²�³�´ µ�¶(»�¼&¶§¶DÃ@¹ ¸�º�½�¹ ¸�º<Ã@¹ ¸²�³�´ µ�¶(»�¾&¶§¶DÃ@¹ ¸�º�½�¹ ¸�º�»&¹ ¸Ä�Å Æ Ç�È�É�Ê Ë<Ì�Æ Ç�È�Í Î Ï Ð�Æ Î+Î Ñ�Å Ê Ò<Å[Ó<Ð�Ô<É�Ï Õ Ê Ô Î Å Ï Ô�Ê�Ö�×�Ø Ù Ú3Û Ü�Ý�ËDÍ Þ�Å Æ Õ ß Ë�Õ È�à�Î á�Å Õ Ï�Æ Ç�Ï È�Å Ï+â�ã ä å�æ ç-è ÍÝ<Ë[Î Ë�Þ�Õ È�à�é

ê�ë<ì�í<î@¶¯»�¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶(»�º<Ã�º�½�º�·ê�ë<ì�í<î@¶EÃ�¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶D¼�º<¾�º�¿�º�Àê�ë<ì�í<î@¶D½@¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶(»�º�·�º�À�º<¼ê�ë<ì�í<î@¶D·@¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶�·�º�½�º�¿�º�Àê�ë<ì�í<î@¶E¼�¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶�½�º<Ã�º<¾�º�¿ê�ë<ì�í<î@¶E¾�¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶DÃ�º�»�º<¼�º<¾ê�ë<ì�í<î@¶D¿@¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶DÁ�º�»�¸<º3»<»�º�»�Ãê�ë<ì�í<î@¶DÀ@¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶(» ½�º3» ·�º�»�¼<º3» ¾ê�ë<ì�í<î@¶EÁ�¶Dï�ð�ë<µ@¶§¶DÁ�º�»�Ã<º3» ¾�º�» ½ê�ë<ì�í<î@¶ » ¸�¶Eï�ð�ë<µ@¶§¶(»�Ã<º3»<»�º�»�¼<º3» ¾ê�ë<ì�í<î@¶ »<»�¶Eï�ð�ë<µ@¶§¶(»�» º3» ¸�º�» ·�º3» ¼ê�ë<ì�í<î@¶ » Ã�¶Eï�ð�ë<µ@¶§¶(»�¸<º�Á<º3» ½�º�» ·ñ á�Å È�Ì�Å Ï Ô<Í Å�Ô<Ê Ê�Î á�Å�à<Å Ç<ò[Å Î Ï Ë(Å È<Î Õ Î Õ Å Í�Ý�˯É�Å Ê Å Î Õ È�à"ß Ï Ç�òóÎ á�Å�Ô<Æ Î Õ Ò<Å�Í Å Î ô ñ á�Õ Í-Æ Ô�ȯÝ3ÅÉ�Ç�È�Å+Ý<Ë�Î Ë�Þ�Õ È�à�é

õ ö�ì@¶Dë<í<ì3´ ÷<ö�¶Dø�ù<ø�öú Ê Ç Î�Ç<È�Å�Ö�×�Ø Ù Ú-Ô�Î�Ô-Î Õ ò[Å Ì�Ô<È�É�Ð�Í Å�Î á�Å ú�û�ñ�ü�û�ý§ý�û+þ"ÿ Æ Ç<ò[ò[Ô�È�É[Î Ç-È�Ô<ò[Å�Õ Î ô û à�Ô<Õ È�ÌÇ�È�Ê Ë"Ç�È�Å Ö�×�Ø Ù Ú-ß Ï Ç<ò Å Ô�Æ á�Æ Ç�È�É�Ð�Æ Î Ç�Ï�È�Å Å É�Í�Î Ç�Ý�Å+È�Ô�ò[Å É�ô

ê�ë<ì�í<î@¶¯»�¶"ê���ù�ìø<ë��<ö�¶�í�ù�ø<µ<ð�í�ì3ù ³�»ê�ë<ì�í<î@¶¯»�¶"ö�³�ë�õ ö

ê�ë<ì�í<î@¶D¿@¶"ê���ù�ìø<ë��<ö�¶�í�ù�ø<µ<ð�í�ì3ù ³3Ãê�ë<ì�í<î@¶D¿@¶"ö�³�ë�õ ö

� Å ß Ç�Ï Å�Î á�Å+È�Å �<Î�Í Î Å Þ�Ì3Þ�Ê Ç Î�Î á�Å+Å È�Î Õ Ï Å��3à�Ð�Ï Å+Ý�Ô<Æ �Ç<È�Î á�Å+Í Æ Ï Å Å ÈDÝ�Ë�Î Ë�Þ�Õ È�à�é

Page 11: Fast Field Solvers

�� � ������������������ � � ��� � � ��! "#� � � $ ��% � &

' (*),+.-�/�)#0 1�(2+.-�3*3465 7 8 967 :�8<;�=�> ? @#A B�C�9 8ED 9 8 C�7 8 F�G�7 :�8 HJIEK�L 7<M#8EIN8 L :�8 F.M�8 5 O�9 8ED 9 8 C 7 P Q�RSCNT#C�L 7 U2C�V.D O�IXW

V�C 7 P M�Y 8XQ�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8�[N4�L<L :�O \�Q]P Q.T P R�K�9 8N^*_ M#` G�a�4 b�U2cd^X7 :�9 O�K�R�:e^�fSD C�QgM#8NF�P L D 9 8 7 P h 8 FP Q�7 OSi�j�4�k<l�m�l�nJA o A pSA q�> B6M�HS7 H�V�P Q�R*r

s�(#' t2+vu�w )�w x +gy z�-�{#|�}�|�~ +.3�(*�*��)*t,+ew�� ~� 8 R�P QS7 OX\�9 P 7 8<O�K*7�CNQ�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8<M�HS7 H*V�P Q�R�r��(*z�)*�*-*3

a�4 b6��4���\�P Y Y�V�9 O*F�K�D 8�CXD O�K�V�Y 8<O 5 Q�8 K*7 9 C�Y�L H�L 7 8 IdIN8 Q*K�L [,b6:�8<K�L 8 9�L :�O�K�Y FvD :�O*O�L 8EU2��� W4 b6����j�b6a,j�b�C�Q�F.�,��b6� �����J��k<�,�eO�V*7 P O�Q�L�P QJ7 :�O�L 8XIN8 Q*K�L G�9 8 L V�8 D 7 P ��8 Y H�[<a�4 b6��4��\�P Y Y#5 O�Y Y O \�\�P 7 :S7 \2ON�*K�8 L 7 P O�Q�L G2� k�OEH�O�Kv\�P L :S7 ONO�K*7 V�K*7�a,:�C�L 8 W �2F�C�7 C��]_ �El �<` �*G#C�Q�F�� k<OH�O�Kg\�P L :.7 OvO�K*7 V�K*7X��T �2�El�U2T �2��7 C�M�Y 8 L ��_ �El �<` �*[���9 8 L V#O�Q�L 8 L<7 OJM#O�7 :g��K�8 L 7 P O�Q�L<\�P Y YZ#Q�C�Y Y HSR�8 Q�8 9 C 7 8ECXQ�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8<L K�P 7 C�M�Y 8�5 O�96T#C�L 7 U2C�V�[

��O \�7 :�8�K�L 8 92P L69 8 C�F*HN7 OX9 K�QST#C�L 7 U2C�VN\�P 7 :S7 :�8�Q�8 K*7 9 C�Y#Z#Y 8�M�HS8 �*P 7 P Q�RE5 9 O�I�a�4 b6��4��C�Q�FJM�HS7 H*V�P Q�R�r

�*��� �������������*���  6� ¡�¢��6� w\�:�8 9 8 �#� ���*�� 2� ¡ ¢*�2� w P L 7 :�8�Q�C�IN8�O 5�7 :�8�Q�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8�[ b6:�8�K�L 8 92D C�QNZ#Q�FSINO�9 8�P Q*5 O�9 INC�7 P O�QO�Qg:�O \�7 Ov9 K�Q.T#C�L 7 U2C�VgP QJ7 :�8XQ�8 �*7ED :�C�V*7 8 9 [X£*:�O \�QgM�8 Y O \�P L�CSV�C�9 7<O�52T#C�L 7 U2C�V.O�K*7 V�K*77 :�C 7�F�P L V�Y C H�L27 :�8<D C�V�C�D P 7 C�Q�D 8<INC�7 9 P �N5 O�927 :�8<8 �*C�INV�Y 8�P QvT P R�K�9 8E^�_ M#` [

/�-�u*-*/�0 )*-*��/�(�s�-�)*�#0�¤ +J��¥���¡���������¦#�w x

/*§���{*z*/�)�§���w ¨�����§�z�u�w�w w ©�ª � x¬«�ª*­ � ª�®/*§���{*z*/�)�§���x�¨�����§�z�u�w�x¯«*ª�­,� ª�® w ©*ª,� x

°�± °�± ²´³�µ�¶�· ¸ ¹�· º�»g¼ ½�¾J¿v· À Á� ¾�¼ · Ã�Ä*¼ · µ#º� Q�INC�Q�HeD C�L 8 LNC]K�L 8 9SINP R�:�7NQ�8 8 FÅ7 OgR�8 Q�8 9 C 7 8JL 8 ��8 9 C�Y�F�P L D 9 8 7 P h C 7 P O�Q�LXO�5�7 :�8vD O�Q�F�K�D 7 O�9L K�9 5 C�D 8 L [ET#O�9�8 ��C�INV�Y 8<7 :�8XK�L 8 9�INP R�:�7�\�P L :.7 OS9 K�Q.T#C�L 7 U2C�VJ\�P 7 :.R�9 C�F�K�C�Y Y HSZ#Q�8 9�IN8 L :�8 L7 OEP Q�L K�9 8�7 :�C�727 :�8�F�P L D 9 8 7 P h C�7 P O�QS8 9 9 O�92P L2L INC�Y Y [ b6:�8�K�L 8 92D C�Qv9 8 F�P L D 9 8 7 P h 867 :�8�L K�9 5 C�D 8 L6M�H�r^�[���8 C�F�P Q�RvP Qg7 :�8NO�Y Fga�4 b6��4���Q�8 K*7 9 C�Y,Z#Y 8 G P 527 :�8SK�L 8 9EP LEL 7 C�9 7 P Q�RJCJQ�8 \�a�4 b6��4��L 8 L L P O�Q�[

f*[���8 IN8 L :�P Q�RE7 :�8�;�=�> ? @#A B [Æ [6Ç]9 P 7 P Q�RXO�K*7�CNQ�8 \�Q�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8�[4�L�C�Qv8 �*C�INV�Y 8 G�7 :�8<D O�Q�F�K�D 7 O�96L K�9 5 C�D 8 L6P QvT P R�K�9 8E^�_ M#`2D C�QJM#8<F�P L D 9 8 7 P h 8 FvP Q�7 ONL INC�Y Y 8 9

V�C�Q�8 Y LSC�LSL :�O \�Q�P QÅT P R�K�9 8g^*_ D ` [�b6:�8J5 O�Y Y O \�P Q�RgP LN7 :�8.Y P L 7SO 5Ea�4 b6��4��ÈD O�ININC�Q�F�LX7 OC�D D O�INV�Y P L :N7 :�P L6V�C�Q�8 Y�9 8 Z#Q�8 IN8 Q�7 [

b�ON9 8 C�FvP QS7 :�8<O�Y FSQ�8 K*7 9 C�Y�Z#Y 8�7 H�V#8��(*z�)*�*-*3

Page 12: Fast Field Solvers

É Ê�ËEÌEÍÏÎ2Ì�Ð,Ñ�Ò,Ð�Ó�Ñ�Ò�Ô Õ�ÐEÖ6Îe× Ô Ø�Ò2Ù

Ú�Û,Ü2Ý�Û�Þ�ß�à á á#â ã ä å#æ�ç�èSß�à é êSëXç�ã ì*é â ë�á�ä í*ä é ã îïîNã ç*ì�ð,Ü6ê�ã�ì�ä ã â6ä ê�æ�ì�á èvñ ê�æ*æ�ä ã�é ê�ã<ò Þ�Ú,ó�ÜôJõ�ö<÷,ø]æ�å*é à æ�ç�ù�ë�ç�èJå�â æ ú*à è�ã�é ê�ã<ç�ë�îNã�æ�û�é ê�ã<ç�ã ì*é â ë�á�ü#á ã�ß�ê�ã çJë�ä ý�ã è�ð

Ü6ê�ã ç�ù#é ê�ã�þ*ÿ�� � ��� �6ñ ë�ç��#ã<â ã îNã ä ê�ã è��íSé í*å�à ç��� ���� ������ ��� ����� �������� ���!��#"��%$%&��%�'��!'( )%)�)%)

Ú�Û,Ü2Ý�Û�Þgß�à á á�â ã ä å#æ�ç�è*��í<ë�ä ý�à ç�2é ê�ã,ì�ä ã â ù�+ ,�ò ø�ø.-Eõ�ó]Ú,÷,Ý�ôJò Üeõ�/<÷,Ý0,�Ý�ò Ü6÷�132 -*1 Þ*1 4�5 6û æ�â6ã ë�ñ êJå�ë�é ñ ê�ù#ä à ç�ñ ã�é ê�ã�þ�ÿ�� � ��� �6ë�â ã<ë�á â ã ë�è*ívîNã ä ê�ã è�ð7 à ç�ë�á á í�ù é ê�ãvì�ä ã âNñ ë�çÅâ ã å�ã ë�éXé ê�ãvá ë�ä éNä é ã åÅà ç]é ê�ãvå�â ã ú*à æ�ì�äXä ã ñ é à æ�ç]é ægæ�ì*é å�ì*éNëgç�ã ß

ç�ã ì*é â ë�á�ü#á ã ðÜ6ê�ã�û æ�á á æ ß�à ç�Eà ä6ëNå�ë�â é�æ�û�7#ë�ä é 82ë�åvæ�ì*é å�ì*é6û â æ�î�â ì�ç�ç�à ç�Xé ê�ã<ã 9�ë�îNå�á ã<à ç7 à �ì�â ã.:�2 ñ 5 ð;%<�= >0?�<�@BA�C0=�D�E%D%F G�H�D�;�I G�H%D J�H%= K�( F C%>

L����%�%L�M �%�%$�L��B ����%N�M�O���@0I�?�F�;�<�P�<�Q�=� �

L%R�$��%�%L���R�N0� S�&�N�R������T� � 0��( UWV�X%!�( U��L%R�$��%�%L���R�N���S�&�N�R������Y�ZV%X�!'( U0� � ��[( U

Þ�æ�é à ñ ãNé ê�ë�éEé ê�ãSñ ë�å�ë�ñ à é ë�ç�ñ ãNú�ë�á ì�ã äEë�â ãSè�à \�ã â ã ç�éEû â æ�îÈé ê�æ�ä ãSâ ã å#æ�â é ã è]û æ�â<é ê�ãSñ æ�ë�â ä ãè�à ä ñ â ã é à ] ë�é à æ�çJä ê�æ ß�çgà ç�7 à �ì�â ã.:%2 ��5 ð<Ü6ê�ãEè�à \�ã â ã ç�ñ ãXà ä�è�ì�ã<é æNé ê�ãXâ ã è�ì�ñ ã ègè�à ä ñ â ã é à ] ë�é à æ�çã â â æ�â ù�ß�ê�à ñ êSé ê�ã<ì�ä ã â6îXì�ä é�ë�á ß2ë í�ä^��ã<ë ß2ë�â ã<æ û�ß�ê�ã çJè�à ä ñ â ã é à ] à ç�Xñ æ�ç�è�ì�ñ é æ�â�ä ì�â û ë�ñ ã ä ð

Ú�Û Ü6Ý�Û�ÞÅë�á ä æ�å�â æ ú�à è�ã ä ä ã ú�ã â ë�á*ß2ë í�ä�é æ�ñ â ã ë é ã2ç�æ�ç%_ ì�ç�à û æ�â î�îNã ä ê�ã ä ð Ü6ê�ã2è�à ä ñ â ã é à ] ë�é à æ�çä ê�æ ß�çeà ç`7 à �ì�â ã�:�2 è�5Eà äa�ã ç�ã â ë�é ã èeà ç]Ú�Û,Ü6Ý�Û�Þb��í]ì�ä à ç�.à ç�é ã â ë�ñ é à ú�ã�c�d e%�Eë�ç�èB� f � gh� c��ã è�à é à ç�Xñ ë�å�ë���à á à é à ã ä ð'4*ã ã<Ú�Û Ü6Ý�Û�Þ�Ý�ã á ã ë�ä ã*i*ð jNì�ä ã â k ä�îNë�ç�ì�ë�á#û æ�â6îNæ�â ã<è�ã é ë�à á ä ð

Ü6ê�ãNâ ã ä ì�á é ä�û â æ�îÈâ ì�ç�ç�à ç�7#ë�ä é 82ë�å.û æ�â�é ê�ãXè�à ä ñ â ã é à ] ë é à æ�ç.à ä<ä ê�æ ß�ç���ã á æ ß<ðNÞ�æ�é ãEé ê�ë�éé ê�ã�ú�ë�á ì�ã ä6ë�â ã<æ�ç�á íSä á à �ê�é á íSè�à \�ã â ã ç�é�û â æ�î�é ê�ã<å�â ã ú�à æ�ì�ä�â ã ä ì�á é ä�à ç7 à �ì�â ã.:�2 è�5 ð

;%<�= >0?�<�@BA�C0=�D�E%D%F G�H�D�G�F�G�C%G�I�;%F�P�J�D J�H%= K^( F�C�>

L����%�%L�M �%�%$�L��B ����%N�M�O���@0I�?�F�;�<�P�<�Q�=� �

L%R�$��%�%L���R�N0� S�&�N�R������T� � �)WV�X���( X�lL%R�$��%�%L���R�N���S�&�N�R������Y�ZV%X��[( X%l � �)

m'n oqpYr[s3r�t0u vTwu x rzy%s'{�r[t�| }�v�rò çJë�è�è�à é à æ�çNé æNÚ�Û Ü6Ý�Û�Þ�ç�ã ì*é â ë�á�ü#á ã ä ù�7#ë�ä é 82ë�åvñ ë�çvâ ã ë�èvü#á ã ä�à çvëNä à îNå�á ã3�ã ç�ã â à ñ�û æ�â îNë�é ð÷,ë�ñ êSå�ë�ç�ã á k ä2ñ æ*æ�â è�à ç�ë é ã ä,ë�â ã�á à ä é ã èSà çNëEä à ç��á ã�á à ç�ã�ë�á æ�ç��ß�à é êNà é ä2å�ë�â ã ç�é6ñ æ�ç�è�ì�ñ é æ�â2ç�ë�îNã ð

Ü6ê�ã<ú�ã â ívü#â ä é�á à ç�ã<îEì�ä é3�#ãEëXé à é á ã�á à ç�ã�ù�ß�ê�à ñ ê��#ã �à ç�ä6ß�à é ê ! û æ�á á æ ß6ã è��íJë�çJë�â ��à é â ë�â íé à é á ã�ë�ä�ä ê�æ ß�ç��#ã á æ ß<ð

!�~ >0I >���H%�ò ç�è�à ú�à è�ì�ë�á*å�ë�ç�ã á ä�â ã å�â ã ä ã ç�é à ç��é ê�ã2è�à ä ñ â ã é à ] ë�é à æ�çEæ û#ë�ñ æ�ç�è�ì�ñ é æ�â�ä ì�â û ë�ñ ã6ë�â ã2ä å#ã ñ à ü#ã èEì�ä à ç�ë�ç�ígîNà 9.æ�û2é ß6ævé í�å#ã äEæ û6è�ë�é ëvá à ç�ã ä ù�û æ�â*�*ì�ë�è�â à á ë�é ã â ë�á ë�ç�è.é â à ë�ç��ì�á ë�â�å�ë�ç�ã á ä ðv÷,ë�ñ ê]è�ë é ëá à ç�ã�îEì�ä é�ä é ë�â é6ß�à é êvã à é ê�ã â6ë � æ�â6ë � û æ�á á æ ß2ã è��íSé ê�ã<ñ æ�ç�è�ì�ñ é æ�â�ç�ì�î.�#ã â ä6ë�ç�èh9#ù�ívë�ç�è]ñ æ*æ�â è�à ç�ë é ã ä6æ û�û æ�ì�â6æ�â6é ê�â ã ã<ñ æ�â ç�ã â ä ù#â ã ä å#ã ñ é à ú�ã á í�ù#ë�ä6ä ê�æ ß�ç���ã á æ ß<ð

Page 13: Fast Field Solvers

��� ����� � �%��.��� � ����� � �a� �����[� � � � ���'� �a�0� � � �%� � ���3� ���h� � � � � � �

�¡  ¢ £ ¤ ¥�¦§¤ ¨ ©�ª «¬  ­%® «  ¯%® «  °�® «¡  ­ ± «  ¯ ± «  ° ± «¡  ­ ² «  ¯ ² «h  ° ² «¡  ­ ³�«  ¯ ³�«  ° ³�«´µ  ¢ £ ¤ ¥�¦§¤ ¨ ©�ª «¬  ­%® «  ¯%® «  °�® «¡  ­ ± «  ¯ ± «  ° ± «¡  ­ ² «  ¯ ² «h  ° ² «

¶^·�¸a¹ º�» ¼�¸ »§¹ º%º�» ½�¾ ¼�¿�À ¸ Á3ÂaÃ�Á À*Ä�¸a¸ ¼�À ¸ » ¸ ½�¾ ¼�¹ Å º%¹ Æ�ǧ¾ Á ¸aº�»§¹ º�Ã�¼�À ¸ » ¹ Å º%¹ Æ�ǧ¾ Á ¸.º�» ½�¸ »§Á À ¿�» À ¾ ¼�ÈÉ » º�ÂÊ¿�¼�Ë#º�¼�¸a¹ º�» ¼�¸ » Ì3¶^·�¸hÍ�Î�Ï%Ð�ÑÏ�Ò�Ó�ÔhÕ�¸ Å ½#¾ Á§Ã�Á Ã�¿�Å Å Ë�¿h¼%Ã�ÂaÄ0¸ »3Ä�Ã%À3Â�¿ Ë�Ä0¸a¿�¼�Ë#Á À » ¾ ¼�Ⱦ ¼È�¸ ¼�¸ » ¿�Å ÌÖ�º�»*¹ º�¼�×�¸ ¼�¾ ¸ ¼�¹ ¸�Ø'¸ ¿�¹ ·`¹ º�¼�½�Ã�¹ À º�»a¹ ¿�¼�Ä0¸�» ¸ ¼�¿�Â�¸ ½`Ã�Á ¾ ¼�È�¿Å ¾ ¼�¸.ǧ·�¾ ¹ ·�Ä0¸ È�¾ ¼�Á3ǧ¾ À ·`Ù�Ì

¶^·�¸*Å ¾ ¼�¸Ù�Ú�Î%Û�ÐzÍ�Î�Ï%Ð�ÑÏ�Ò�Ó�Ô%Ü�Ú Ï�Ô ÝÞÍ�Î Ï�Ð'ÑÏ�Ò�Ó�Ô%Ü

¿�Á Á º%¹ ¾ ¿ À ¸ Áh¿�Å Å^À ·�¸�ß�¿�¼�¸ Å Áhß�» ¸ ×%¾ º�Ã�Á Å Ëà¿�Á Á ¾ È�¼�¸ ½àÀ ºáÎ�Û�ÐTÍ�Î Ï�Ð'ÑÏ�Ò�Ó�Ôâǧ¾ À ·áÀ ·�¸#¼�¸ Çã¼�¿�Â�¸Ï�Ô�ÝzÍ�Î Ï�Ð'ÑÏ�Ò Ó�Ô%̶^·�¸ É º�Å Å º ǧ¾ ¼�ȧ¾ Á�¿�¼�¸ ä�¿�Â�ß�Å ¸�º É ¿3È�¸ ¼�¸ » ¾ ¹ É º�» Â�¿�À�¾ ¼�ß�Ã%À�Õ�Å ¸^½�¸ Á ¹ » ¾ Ä�¾ ¼�ȧÀ ·�¸^½�¾ Á ¹ » ¸ À ¾ å ¿�À ¾ º�¼

º É º�¼�¸*º É À ·�¸3À Ç�º�¹ º�¼�½�Ã�¹ À º�» Á§Á ·�º ǧ¼�¾ ¼Ö�¾ È�Ã�» ¸aæ�ç ¿%è Ìéëêíì Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ìîê Ñ ìTê Ñ ìBì Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìBì Ñ ìéëêíì Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìzê Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìzê Ñ ìéëêíì Ñ ìBì Ñ ìTê Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìTê Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìBï Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìBï Ñ ìéëêíì Ñ ìBì Ñ ìYï Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìYï Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìYð Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìYð Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìYì Ñ ìëê Ñ ìzê Ñ ìYì Ñ ìîê Ñ ìTê Ñ ìzê Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìzê Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìTê Ñ ìëê Ñ ìzê Ñ ìTê Ñ ìîê Ñ ìTê Ñ ìBï Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìBï Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìYï Ñ ìëê Ñ ìzê Ñ ìYï Ñ ìîê Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ìéëêñê Ñ ìzê Ñ ìYì Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìzê Ñ ìëê Ñ ìTê Ñ ìzê Ñ ìéëêñê Ñ ìzê Ñ ìTê Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìTê Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìBï Ñ ìëê Ñ ìTê Ñ ìBï Ñ ìéëêñê Ñ ìzê Ñ ìYï Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìYï Ñ ìîê Ñ ìYì Ñ ìYð Ñ ìëê Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìYì Ñ ì�ì Ñ ìBì Ñ ìYì Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìzê Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìzê Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìTê Ñ ì�ì Ñ ìBì Ñ ìTê Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìBï Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìBï Ñ ìéëêíì Ñ ìzê Ñ ìYï Ñ ì�ì Ñ ìBì Ñ ìYï Ñ ì�ì Ñ ìYì Ñ ìYð Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ìéëêíì Ñ ìBì Ñ ìàð Ñ ìëê Ñ ìBì Ñ ìàð Ñ ìîê Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ì�ì Ñ ìTê Ñ ìYð Ñ ìÙ êóò�ô õ

ö'÷ øíùYú�û ü3ýÿþ��hû ú�����û � ������ ����[û � ������� �� û ��þ�������������� �!0û �[ú"�º�À ·�È�¸ ¼�¸ » ¾ ¹�¿�¼�½`¼�¸ Ã%À » ¿�Å É º�» Â�¿ À*Õ�Å ¸ Á*Â�¿ Ë�Ä�¸�¹ º�Â.Ä�¾ ¼�¸ ½�Ã�Á ¾ ¼�È¿�¼�¿�Ã%ä�¾ Å ¾ ¿�» Ë�Õ�Å ¸.¹ ¿�Å Å ¸ ½#¿Å ¾ Á À'Õ�Å ¸ Ì'¶^·�¸§Å ¾ Á À'Õ�Å ¸§Å ¾ Á À Á�À ·�¸^Õ�Å ¸§¼�¿�Â�¸ Á�À ·�¿�À�¿�» ¸^À ºaÄ�¸§¾ ¼�¹ Å Ã�½�¸ ½�¾ ¼�À ·�¸§¹ º�Â�ß�º�Á ¾ À ¸^ß�» º�Ä�Å ¸ ¿�¼�½¿�Å Å º ǧÁ É º�»�½�¾ #�¸ » ¸ ¼�À§ß0¸ » Â�¾ À À ¾ ×�¾ À ¾ ¸ Á'À º.Ä0¸3¿�Á Á º%¹ ¾ ¿�À ¸ ½hǧ¾ À ·¸ ¾ À ·�¸ »^Á ¾ ½�¸3º É À ·�¸*Á Ã�» É ¿�¹ ¸ Á§¾ ¼¸ ¿�¹ ·hº É À ·�¸^Õ�Å ¸ Á Ì�¶^·%Ã�Á'À ·�¸3Å ¾ Á À'Õ�Å ¸§¾ ¼�À ¸ » É ¿�¹ ¸§ß�» º ×%¾ ½�¸ Á�Ä�º�À ·�¿aÂ�¸ ¿�¼�Á�º É ¸ ¼�À ¸ » ¾ ¼�È.È�¸ º�Â�¸ À » ¾ ¸ Áǧ¾ À ·�ÂaÃ�Å À ¾ ß�Å ¸a½�¾ ¸ Å ¸ ¹ À » ¾ ¹ Á*¿�¼�½0Ø[¾ ¼�È�¸ ¼�¸ » ¿�Å Ø[¿hÇ^¿ Ë#À ºÄ�Ã�¾ Å ½#¹ º�Â�ß�Å ¾ ¹ ¿ À ¸ ½#È�¸ º�Â�¸ À » ¾ ¸ Á*º�Ã%À*º ÉÁ ¾ Â�ß�Å ¸ »^Á À » Ã�¹ À Ã�» ¸ Á ÌÖ�º�»^¸ ä%¿�Â�ß�Å ¸ Ø%À ·�¸3À Ç�º%$ Á Ã�» É ¿�¹ ¸*È�¸ º�Â�¸ À » ˺ É À ·�¸*¹ º�¿ À ¸ ½Á ß�·�¸ » ¸a¾ ¼hÖ�¾ È�Ã�» ¸�&a¹ ¿�¼Ä0¸3Á ß0¸ ¹ $

¾ Õ�¸ ½Ã�Á ¾ ¼�È.À ·�¸*Å ¾ Á À^Õ�Å ¸aÍ�Î�Ò%'�Ô�Ð�() *�+�Ñ Û�) '�Ø,,�- Ò�) '�Í�Ò *�) .�/ - Ò�Í�ÔBÛ ô ) ' - ô Û%Ô - Î%/�'%Ý�ÎTÍ�Î�Ï�Í�Ô Ï�'�/ ô Í0) *�+�Ô1/ ô Í�Ò%Û0) +�Ô�Û%Û�),32 ô Ï�Ï�Ô%/ ô )àÒBÍ�Î Ï�Ð%.0Í '�Î%/�) ./ - Ò%Í�Ô,32 Î%.1'�Ô%/ ô )àÒàÐ ô Ô%Û�Ô�Í '/ ô Í%4�Ð ô Ô�Û%Ô%Í '�/ ô Í65 Í�Î%Ò ' ô Ï õ 4%Ò ô /7 ô Ï1'�Ô%/ - Ò�Í�Ô

Page 14: Fast Field Solvers

8 9;:=<=>@?A<�BDCFEDB GFCFE3H IFB=J�?LK�H M�EAN

O�P Q%RS TAU�V�W�XTDYP Z [ S T \ P ] ^ \ P _1`�RZ T Y�\ _F[ _%acbR�\ TD\ XTD[ ^%b^1[ P \ ^1`[ TA_ de^FYP T f T [ \ S P [ g [ _1^ \ T Y�Z bXT S TP `hd S T T=Z b^1[ T%i�j�_%acT=_ d�\ XT=_1R�\ T S�YP T f T [ \ S P [ g k _%R`Y^1S lhb^%`T f ZFX^ m1TnkeT T `oS T ac_ m1T Yp\ _cZ X_ q\ XT�P ``T S�[ _%`YR[ \ _%SFZ RS d ^1[ T�b^1`T f Z i

rr�st%uev w x�y�x ze{1|�|0v1xL}�z{0~%�%��u1we~ }�1s� x �1ze{%s{1�D� �e{ w���� ����� ���D� ����� �rr�st%uev w x3�0x ze{1|�|0v1xL}�z{�uv1{1|�{�~ }�sev1~0v ��}{1s1�t�~1{���t�v%s��%��}1ze{��%w1} x1v%u�{��� v ���x �1ze{%s{y�� �e{ w�y�� ����� ����� ���D� ����� ���D� ����� ���D� ���W�XTc�eS Z \n`_%`�g [ _1acacT `1\=f P `TcZ b T [ P �eT Z=\ XTcP ``T S ��S ^%YP RZ g _%`T�[ _1`YR[ \ _1S ��Z RS S _1R`YT YLk%l�^YP T f T [ \ S P [=[ _1^ \ P `QcqFP \ XoS T f ^%\ P m1T=beT S acP \ \ P m�P \ l ��� � i�W�XTnf ^1Z \�f P `T=YT �e`T ZF\ XTn_%R�\ T S�Z RS d ^%[ T_ d�\ XT�[ _%^%\ P `Q��e^nYP T f T [ \ S P [�P `%\ T S d ^%[ T i

� `pQ%T `T S ^1f�^cf P Z \A�ef T�X^%ZFf P `T Z�_%d�\ XT�d _%S a�Q%P m1T `hk T f _ q�i���%� � �%��� �%���� � � �1� �% L�1¡ ���1�¢ � £1¤%¥ �1�L� � �%�% 1� � ���� ¦ �%�1¡ ����� §%�%�1¡ ����� ¨ �%�1¡ ���ª© «%¬­ � £1¤%¥ �1�L� � �%�% 1� � ����%¤ �% 1� � ���� ¦ �%�1¡ ����� §%�%�1¡ ����� ¨ �%�1¡ ����� ¦ �1�%£1��� §%�1�%£1��� ¨ �1�%£1�ª© ® ¬¯ � £1¤%¥ �1�L� � �%�% 1� � ����%¤ �% 1� � ���� ¦ �%�1¡ ����� §%�%�1¡ ����� ¨ �%�1¡ ����� ¦ �1�%£1��� §%�1�%£1��� ¨ �1�%£1�ª© ® ¬�© «%¬W�XT � f P `TAP Z�RZ T Yn\ _�P `[ f RYTA\ XT�b^%`T f Z�P ` �ev%|�{ ^1Z�b^1S \ Z�_%d [ _1`YR[ \ _1S�Z RS d ^1[ T ZDZ RS S _1R`YT Yk1l�YP T f T [ \ S P [cqFP \ X�S T f ^ \ P m1T�b T S acP \ \ P mP \ l � w�}1�e{%s1° i�W�XThT `1\ P S T�[ _%`1\ T `1\ Zn_%d �v1|1{ ac^ lLkeT\ S ^%`Z f ^%\ T Y�k1l�Z beT [ P d lP `QL`_1`�g ] T S _Lm%^1f RT Z�d _1Sp±%² }�st �e³ ±%´ }�st �e³ ±%µ }�st �e³ i�W�XT � ^1`Y¶ f P `T ZnZ b T [ P d lLYP T f T [ \ S P [�P `1\ T S d ^1[ T Zn^1f _%`Qo\ q�_�S T Q%P _1`Z=qFP \ XLb T S acP \ \ P mP \ P T Z �%w1}��{1s%° ^1`Yv ���{1s%° ioW�XT ¶�· _%So¸ ke_%\ X¹1º�Z beT [ P �eT Z�\ X^%\�\ XT�YP T f T [ \ S P [cP `1\ T S d ^1[ T�P Z�[ _%P `[ P YT `1\=qFP \ X�^1`P `��e`P \ T Z P ac^1f f lh\ XP `�[ _%`YR[ \ _%S ��qFXP f T � Z RS d ^%[ T Zn^%S T�YP T f T [ \ S P [cP `1\ T S d ^1[ T Z=^%f _1`T ip� `�ke_%\ X[ ^1Z T Z ��\ S ^%`Z f ^%\ P _%`Z�^1S Tobe_1Z Z P kf Tp^1Zcd _1S � Z RS d ^1[ T Z i�� `�^%f f�[ ^1Z T Z �ev%|�{ [ ^%`�k ToP `3T P \ XT S» ¼DWA½F¼�¾�g Q%T `T S ^%\ T Yp`T R�\ S ^%f�_1S�Q%T `T S P [�d _%S ac^%\ i

Page 15: Fast Field Solvers

¿%À ÁÃÂ�Ä Å Æ�ÇhÈnÉ�Å Ä Ê�Ë�Å Ì Í=Ê ÎcÏ%Ð�Í Ñ Å Ò Ó�ÔDÎ Õ=Ð Ì Å Ñ È�Ê Í Öp×�Í Î%Õ�Í Ê Ø Å Í Ä Ù

Ú�Û Ü%ÝÞ ßLàá�â�ãß�äå%Þ æ ç�è é�æ ãß�ê ëeê3ì è1å æ ß íªîÝç�ì Þ è1ç ç Û ïÜ�äÞ è1îð ß ñhá�ì è1ïíÝì æ è1Þ ò å1Û Þ�Û ï%æ ß Þ òé å%ì ß ç óð ß é æ�ô é Þ è1ñ�õ%ö%÷�ø ù�ú%û ü ýeü�þ ÿ��eú�� óì è%ïíÝì æ è%Þ ò äå%ç ç Û �%å%æ Û è%ï�ð å �1ß ÞAÛ ï%æ ß Þ é å%ì ß ç óì ß ï1æ ß Þ�ô é Þ è%ñõ%ö%÷�ø øú�������õ ü ý ü�þ ÿ�� ú��Aå%ïícäå1ç ç Û �%å æ Û è1ïnð å �1ß Þ ò å1Û Þ�Û ï1æ ß Þ é å1ì ß ç ó�Þ Û Ü1ã%æ�ô é Þ è%ñ�Þ ß ñcå1Û ïÛ ïÜeð ß çDÛ ïü ý ü ��� ��þ ��� � � ���Fë�ß çFå%Þ ß�æ ãÞ ß ß�ÝïÛ æ ç�ð è%ïÜ��

â�ãß�Þ ß é ß Þ ß ïì ßhäeè1Û ï%æ��1ý1û�����������û����������1û������oå1ïí�è1ä�æ Û è%ïå1ð�� ���pé è%Þ���å%ïí ��ç ÝÞ é å%ì ß çå%Þ ß�Ýç ß íhæ ècç äeß ì Û é �"!FãÛ ì ãhç Û íß�è%é�æ ãß=Û ï%æ ß Þ é å%ì ß�ãå%ç#!FãÛ ì ãpäeß Þ ñcÛ æ æ Û ��Û æ ���%$ ïhäå1Þ æ Û ì Ýð å1Þ ó�æ ãßÞ ß é ß Þ ß ïì ß=äeè1Û ï%æ&�1ý1û������'���1û�����������û������hÛ ç�å1ç ç Ýñcß ípæ ècð Û ß�è%ïhæ ãßnö ����( �%û�)pç Û íß�è%éDå%ð ð æ ãßäå%ïß ð çFÛ ï"�eú������Fâ�ãß=è%ä�æ Û è1ïå%ð� ���cÛ ïíÛ ì å æ ß ç�æ ãå æ&�%ý�û����������1û�����������û�������Û ïç æ ß å%ípð Û ß ç�è1ïæ ãß=ú ÷�( �%û�)hç Û íß �%$ æFÛ çDæ ãß�Ýç ß Þ * ç�Þ ß ç äeè1ïç Û îÛ ð Û æ �næ ècñcå�+%ß�ç ÝÞ ß�æ ãß�Þ ß é ß Þ ß ïì ß=äeè1Û ï%æ�Û ç�è%ï�æ ãßç å%ñcßnç Û íß=è%éDæ ãßníÛ ß ð ß ì æ Þ Û ì=Û ï1æ ß Þ é å1ì ß=é è%Þ�å1ð ð�äå%ïß ð ç ��,%�oäå%Þ æ Û æ Û è1ïÛ ïÜcç ÝÞ é å1ì ß ç�Û ï1æ è�ì è%ï��1ß ëç Ýîç ÝÞ é å%ì ß ç óå=ì è1ñcäð ß æ ß�ç ä ß ì Û eì å%æ Û è%ïcè é�å1ï��cíÛ ß ð ß ì æ Þ Û ì�Û ï1æ ß Þ é å1ì ßFì å1ïcå%ð !�å ��çAîeßFñcå%íß�Ýç Û ïÜñ=Ýð æ Û äð ßeð ß ç óeß å%ì ã"!FÛ æ ãhÛ æ ç�è !FïpÞ ß é ß Þ ß ïì ß�ä è%Û ï1æ �

â�ãß�è%ä�æ Û è1ïå%ð#� -��cå%Þ Ü1Ýñcß ï1æFÛ ç�Ýç ß íhæ ènì è%ï1æ Þ è%ð�ì è1ïíÝì æ è1Þ�ïå1ñcÛ ïÜ��/.�ãß ïpå10�è%Þ#��ð Û ïßÛ ç�æ ß Þ ñcÛ ïå%æ ß í"!FÛ æ ãpå � -eó ��å%ï��päå1ïß ð ç#!FÛ æ ãhæ ãß=ç å1ñcß�ì è%ïíÝì æ è%Þ�ïå%ñcß=Û ïhæ ãå æ�ð Û ïß�* ç�eú����å%ïí�æ ãß�ïß ë�æ10�è%Þ��oð Û ïß�* ç��ú����oå1Þ ßcì è%ïç Û íß Þ ß í�æ èoîeßcäå1Þ ænè é�æ ãßcç å1ñcßcì è%ïíÝì æ è%Þ �oÚeè%Þß ëå%ñcäð ß%óì è%ïç Û íß ÞAæ ãß2eÞ ç æFé ß !0ð Û ïß çAé Þ è1ñ�æ ãß�ß ë�å1ñcäð ß�ð Û ç æ#eð ßcü ý ü ��� ��þ ��� � ó33 ü ýeü ���4��õ%û�ö�����ú ÷�5'(�ûö � ����)�6eú ��70øeú������õ �ûú�õ�ö ÷8�1ö�6��1ûªõ%ö%÷�ø��eõ �ö1û��33 õ1ö ÷ø�� õ �eö%û'�eö�ùú ûªú ÷����1û��ù�õ����00õ1ö ÷ø�9�ù�ú%û�9eü ý ü�þ ÿ�� úªü�þ :':Dþ :�:�þ :':Dþ :'-33 õ1ö ÷ø�� õ �eö%û'�eö3øeú������õ �ûú�õ�ú ÷�� �%û���ùõ����00õ1ö ÷ø�91øú�������õ�9ü ýeü�þ ÿ��eú�;Dþ <':Dþ :�:�þ :':Dþ :â�ãß=æ !�è=eð ß ç=õ1ö ÷ø�9�ù�ú%û�9eü ý ü�þ ÿ�� úhå1ïí�õ1ö ÷ø�91øú�������õ�9ü ýeü�þ ÿ��eúpÞ ß äÞ ß ç ß ï%æ�æ ãßnäå%Þ æ ç�è éDæ ãßì è1ïíÝì æ è1Þ çnæ ãå%æcî è%Þ íß Þnæ ãßhå1Û Þnå1ïí�äå%ç ç Û �%å%æ Û è%ïLíÛ ß ð ß ì æ Þ Û ì çcÞ ß ç ä ß ì æ Û �1ß ð ��ô ç ß ßpÚ�Û Ü%ÝÞ ßhà�� �,Aè%æ ã eð ß ç�ì è1ï%æ å1Û ï�äå1ïß ð ç�ì è1Þ Þ ß ç ä è%ïíÛ ïÜ�æ è�æ ãßoð è !Aß Þcì è%ïíÝì æ è%Þ�!FÛ æ ã3ì è1ïíÝì æ è1Þ�ïå%ñcß� ü�� ��â�ãß>� -���ì å1Ýç ß ç�å%ð ðAæ ãß ç ßhäå1ïß ð çnæ è�î ßhÜ1Þ è%Ýä ß íLæ è1Ü%ß æ ãß Þcå%ïíLæ Þ ß å æ ß í�å%çcå�ç Û ïÜ1ð ßì è1ïíÝì æ è1ÞAïå%ñcß ípü ?�@�A�B�C�D�ü%óeå%çAÛ çDÞ ß E1ÝÛ Þ ß íné è1Þ�æ ãßFì å%ð ì Ýð å æ Û è1ï4�F.�Û æ ãè1Ý�æDæ ãß=� -����ù�� �eõ1ù (!Aè1Ýð ínå%ç ç è�ì Û å æ ßAæ ãß�� ü ��äå1ïß ð ç�Û ï�õ1ö ÷ø�9�ù�ú%û�9eü ý ü�þ ÿ�� ú2!FÛ æ ãnå�ì è1ïíÝì æ è1Þ�ïå1ñcß íhü ?�@�A�B�C�D�ü%óå%ïíhæ ãè%ç ß�Û ïoõ1ö ÷ø�91øú�������õ�9ü ýeü�þ ÿ��eú�!FÛ æ ãpå%ïè%æ ãß Þ�ì è%ïíÝì æ è%ÞFïå%ñcß í�ü ?�@�A�B�C�D G��$ é#eð ß ç=å%Þ ßcÛ ï�åpÜ1Þ è%Ýä3ô æ ãå æ=Û ç�æ ãß ��å%Þ ßcð Û ç æ ß í�ì è1ïç ß ì Ý�æ Û �1ß ð ��Û ïoæ ãßcð Û ç æ&eð ßcå%ïí�ãå �1ß

� -��oç �ñ=î è%ð çcð Û ï�+1Û ïÜpæ ãß ñ æ è1Ü%ß æ ãß Þ � ó�å%ð ðDæ ãßhÜ1ß ïß Þ Û ì�é è%Þ ñcå%æ�eð ß çnñnÝç æcîeßhð Û ç æ ß íLîeß é è%Þ ß

Page 16: Fast Field Solvers

H I JLK1MONN2P N1Q'R�S2TFU�V/S2W

X�Y�Z\[4]/^#_]2`#a b�c Y�c d X�e c fgY�c h�e d X�iFj i c k l^#m�n kd c k e d n o e n p�Y\n kY�c o c k k X�d Zgf�h�c&e p�e m�c�X�q�n i n e Z�e pd c Y�X�r�c=o p�Y�f�h�o e p�d k1n Y b�c Y�c d n o=s p�d r�X�e�j i c k lt]2i k p�u�vwi n Y�c k�h�k c fte pgd c Y�X�r�c=b�d p�h�x�k�e pwq ck p�r�c e m�n Y�b�p e m�c d/e m�X�Y�e m�cf�c s X�h�i e#v�y z {�|�}�~�������u r�h�k e#p�o o h�d�n r�r�c f�n X e c i Z�q4c s p�d c#e m�c2b�d p�h�xe m�c Z"d c Y�X�r�c�l]i i e m�c2s c X�e h�d c k#p�sFe m�c&i n k e�j i c2n Y�e c d s X�o c2X�d cs h�d e m�c d�n i i h�k e d X�e c f=q�Z�e m�c&c ��X�r�x�i c2i n k e�j i c

����� �#� ��� �"� m�n o m\n k#b�c Y�c d X�e c f\q�Z"e Z�x�n Y�b����� ����� ~ � � �

^#m�ck o d n x�e � ��� ����� ~ � � � h�k c k� ��� ����� ~=X�Y�f���� � ��� ~�e p�o d c X e c2X�i i�e m�cn Y�x�h�e�j i c k�d c ��h�n d c f=q�Z����� �#� ��� � l#��c o e n p�Y\��l ��l �1f�c k o d n q4c k#e m�c&b�c p�r�c e d Z"o p�d d c k x4p�Y�f�n Y�b1e p ����� �#� ��� � l

�����g�g�g� �\���"�1�O��� �1¡

^#m�c&q�X�k n os p�d r p�sOe m�c&¢ X�k e £�X�x"x�d p�b�d X�r o p�r�r�X�Y�f"i n Y�c2n k¤�¥ � � � ¥�¦¨§ ©�ª } ��« ¦�¥ ~ ��¬ ª ~ ª�­�® � ­ ��¯ § ©�® } ¦�¥�­ �4¬ �4¬ ª ~ ¬ ~ � ® � ¦ ��� ��¯ § } ¬ ~ ¦ � � ¤ ¬���� ��¯

§ ©�¦ } ¦ � ­ � ¬ ��� ¬ ° ¬ ��± ¤�¥ � � ª�­ ��¯ § ©�­ � }�� ª ~ ® ��¬�� � ��¯ § ©�­ ¬ }�� ª ~ ® ��¬�� � ��¯§ © ¯ § © � } ��¬�� � ¤ ¬���� ��¯ § © � } ¬ ��� ­ � ª � ��¯

² e m�c d2p�x�e n p�Y�km�X ³�n Y�b�e p=f�p � n e m\x�d p�f�h�o n Y�b�x�n o e h�d c k2p�s/e m�c�b�c p�r�c e d Z\h�Y�f�c d2X�Y�X�i Z�k n kX�d cf�n k o h�k k c f\n Y\��c o e n p�Yg��l ´�lµ k h�X�i i Z>p�Y�i Z¶e m�c ¬ ~ ¦ � � ¤ ¬���� u&n Y>Y�c h�e d X�i&p�d"b�c Y�c d n ogs p�d r�X�e u2p�d"X ��¬�� � ¤ ¬�����· k c c

��c o e n p�Y H�¸ u n k#k x c o n j c f4l%¢ p�d#c ��X�r�x�i c�u�e m�c&o p�r�r�X�Y�f¤�¥ � � � ¥�¦ � ¦ ��� ­ ��¹/� ~ � �

d h�Y�k ¤�¥ � � � ¥�¦ p�Y\e m�c1c ��X�r�x�i c�Y�c h�e d X�iOj i c � ¦ ��� ­ ��¹/� ~ � �gf�c k o d n q4c fgn Yw��c o e n p�Yw��l ��l H l&^#m�cn Y�x�h�e#j i c2n k�e X�º�c Y"s d p�r � � ® ¬ ~\n s ¬ ~ ¦ � � ¤ ¬���� n k#Y�p�eb�n ³�c Y4l%¢ p�d#c ��X�r�x�i c

��� � ��� ~¼» ¤�¥ � � � ¥ ¦d h�Y�k ¤�¥ � � � ¥�¦ p�Y\e m�c��1½t��q�h�k2o d p�k k n Y�b=c ��X�r�x�i c�f�n k o h�k k c fgn Yg��c o e n p�Yw��l ��l ��l&¾\p�d c1o p�r1ax�i n o X�e c fgb�c p�r�c e d n c k uFn Y\x�X�d e n o h�i X�dx�d p�q�i c r�k � n e mgr�h�i e n x�i c&f�n c i c o e d n o�d c b�n p�Y�k uFX�d c1c Y�e c d c fh�k n Y�b1X ��¬�� � ¤ ¬����\· k c c1��c o e n p�Y H l ¿ ¸ l%^#m�h�k

¤�¥ � � � ¥�¦8© � À «4À ��� �/� ��� �d h�Y�k ¤�¥ � � � ¥ ¦ p�Y\e m�c1o p�X e c f H ½ H q�h�k2o d p�k k n Y�b"x�d p�q�i c rÁr�c Y�e n p�Y�c fgn Yw��c o e n p�Y H l ¿�l&^#m�c ©�à p�x�e n p�Yws p�d o c k�Xgd c X�fws d p�r � � ® ¬ ~tn Yto p�Y Ä h�Y�o e n p�Y � n e mtX ��¬�� � ¤ ¬���� p�d ¬ ~ ¦ � � ¤ ¬����d c X�f4l%¢ p�d�c ��X�r�x�i c u�e m�c&o X�x�X�o n e X�Y�o c&p s/X�o h�q c&Y�c ��ee p�X1k x�m�c d c&r�X Z"q c&X�Y�X�i Z�Å c f"h�k n Y�b

� ��� ����� ~ © « ª ¹ » ¤�¥ � � � ¥ ¦8© � ¦ ��� ­ ��¹/� ~ � �^#m�c"� ��� ����� ~wb�c Y�c d n o a s p�d r�X�e2j i c1b�c Y�c d X e p�d&n k&f�c k o d n q c fwn Yt��c o e n p�Yt��l ��l ��l�^#m�c�p�h�e x�h�e�n k� d n e e c Y�e p � � ®�ª � � c ��o c x�e�s p�d/e m�cx4p�k e k o d n x�e%j i c k%b�c Y�c d X e c f=h�k n Y�b&e m�cp�x�e n p�Y�k%f�c k o d n q4c f=n Y��c o e n p�Y\��l ´�l^#m�ctx�d p�b�d X�rÆX�h�e p�r�X e n o X�i i Z>o m�p�p�k c kge m�ctc ��x�X�Y�k n p�YÇp�d f�c d\X�Y�f�k x�X�e n X�i�x�X�d e n e n p�Y�n Y�b

f�c x�e m>e m�X e"r�X���n r�n Å c=e m�cgc È=o n c Y�o Z>p�s&e m�cgr�h�i e n x4p�i c"X�i b�p�d n e m�r¼X�Y�f'k e n i i#r�X�n Y�e X�n Y H É

Page 17: Fast Field Solvers

Ê�Ë ÌÎÍ�Ï Ð�Ñ�Ò Ó�ÔgÕ#Ö\×&Ø Ø�Ù�Ï Ð�Ø Ú ÛOÜ\Ý Þ=ß Ï Ú¶àOá Ð Ô�Ý&Ð Ó Ñ\â�ãOÝ Ý Ñ ä�ä

å�æ æ ç�è å�æ é�ê"ë ì¶í î�ïgð å�è ñ�ï è�æ å�ò�å�æ ë í å�ì�æ ïgó�å�í è ë ô¶ï ì�í è ë ï õ öø÷%é>ù�ï ú å�ç�ð í"å ç�ì�ë ú û�è ó"ü#ú è ï ï ý õ ò�å�æ ïù�ë ï ð ï æ í è ë æ2õ ç�è è û�ç�ì�ù�ë ì�ñ1í î�ï&æ û�ì�ù�ç�æ í û�è õ#ë õå�õ õ ç�ó�ï ù4ö

þ�ÿ ��������� � ������������������������� ��!#"$�%��&(')�����*��� �,+�-�����. î�ï0/ å�õ í 1�å�òtò�è û�ñ�è å�ó32 õ�ù�ï ú å�ç�ð í ä54 å�æ æ ç�è å�æ étë õ�û76�í å�ë ì�ï ùtç�õ ë ì�ñ\õ ï æ û�ì�ù û�è ù�ï è�ó1ç�ð í ë ò û�ð ïï ô�ò�å�ì�õ ë û�ì�õ#å�ì�ù"å1ù�é�ì�å�ó�ë æ å�ð ð é�õ ï íì�ç�ó64ï è#û ú/ò�å�è í ë í ë û�ì�ë ì�ñ�ð ï 8�ï ð õ ö�9 ú/ð û :�ï è#å�æ æ ç�è å�æ é"ë õ�í û�ð ýï è å76�ð ï ü�ú å�õ í ï è�æ å�ð æ ç�ð å í ë û�ì�õ%å�è ï2ò4û�õ õ ë 6�ð ï�6�é�ú û�è æ ë ì�ñ;%<)= >�?7< @=í û�ç�õ ï2ð û :#ï è�û�è ù�ï è#ï ô�ò�å�ì�õ ë û�ì�õ ö/ û�è#ï ô�å�ó�ò�ð ïí î�ï&æ û�ó�ó�å�ì�ùA7B = C%D E,F0;%<)= >�?7< @*G)H%I

è ç�ì�õ ;)<%= >J?5<5@gû�ì\í î�ï�KMLNKM6�ç�õ2æ è û�õ õ ë ì�ñ"ï ô�å�ó�ò�ð ï0O õ ï ïMP�ï æ í ë û�ìQK�ö R�ö R)S$:ë í î3T è õ í&û�è ù�ï è2ï ô�ýò�å�ì�õ ë û�ì�õ ö . î�ï\ë í ï è å�í ï õ�å�è ï\æ å�ð æ ç�ð å�í ï ù¶å564û�ç�í�í :ë æ ï\å�õ1ú å�õ í"å�õ1ú û�è1í î�ï\ù�ï ú å�ç�ð í�æ å�õ ïQ6�ç�íí î�ï2æ å�ò�å�æ ë í å�ì�æ ï2ó�å�í è ë ô�ï ì�í è ë ï õ$:ë ð ð î�å 8�ï&ð å�è ñ�ï è�ï è è û�è õ ü%:ë í î�í î�ï&ñ�è ï å í ï õ íò ï è æ ï ì�í å�ñ�ï&ï è è û�èë ìtí î�ï"õ ó�å�ð ð ï è�ó�å�í è ë ôtï ì�í è ë ï õ öVU2õ ë ì�ñQW ï è ûwû�è ù�ï è�ï ô�ò�å�ì�õ ë û�ì�õ�ó�å5X�ï õ1í î�ï"ë í ï è å�í ï=æ å�ð æ ç�ð å ýí ë û�ì¶å76 û�ç�í=ì�ë ì�ï\í ë ó�ï õ1ú å�õ í ï è06�ç�í"æ å�ì>ò�è û�ù�ç�æ ïgõ ë ñ�ì�ë T æ å�ì�í=ï è è û�è õ ü2ï 8�ï ì>ë ì í î�ïgù�ë å�ñ�û�ì�å�ðæ å�ò�å�æ ë í å�ì�æ ï=ó�å�í è ë ôwï ì�í è ë ï õ ü�å�ì�ù õ î�û�ç�ð ù ì�û íM6 ï"ç�õ ï ùY:î�ï ì å�æ æ ç�è å í ï"ï õ í ë ó�å�í ï�í î�ï=õ ó�å�ð ðæ û�ç�ò�ð ë ì�ñ"æ å�ò�å�æ ë í å�ì�æ ï õ&å�è ï�ì�ï ï ù�ï ù4ö3Z'î�ï ìtç�õ ë ì�ñ3W ï è ûgû�è ù�ï è&ï ô�ò�å�ì�õ ë û�ì�õ ü/í î�ï�ò�å�è í ë í ë û�ì�ë ì�ñù�ï ò�í îtõ î�û�ç�ð ùN6 ï�õ ï í�ó�å�ì�ç�å�ð ð é3:ë í îgí î�ï0G5[gû�ò�í ë û�ì4üFû�í î�ï è :ë õ ï�ï ô�æ ï õ õ ë 8�ï�ó�ï ó�û�è égó�å éN6 ïç�õ ï ù4ö9 ìtæ å�õ ï õ:î�ï è ï=å�æ æ ç�è å�æ étñ�è ï å í ï è2í î�å�ì ä 4 ë õ&è ï \�ç�ë è ï ù4üOí î�ï1í û�ð ï è å�ì�æ ï�û�ìwí î�ï�ë í ï è å�í ë 8�ï

ð û�û�ò�ó�å é�64ï#í ë ñ�î�í ï ì�ï ù�ç�õ ë ì�ñ2í î�ï G5>�û�ò�í ë û�ì4ö . î�ïù�ï ú å�ç�ð í�8�å�ð ç�ï ]�^ ]%I X�ï ï ò�õ#ï è è û�è õ/í û&å76 û�ç�íä 4 û�úOí î�ï&ð å�è ñ�ï è#õ ï ð ú/æ å�ò�å�æ ë í å�ì�æ ï õ ö . î�ï�æ û�ó�ó�å�ì�ùA7B = C%D E*G5E)_`F0;)<%= >J?5<5@*G >�]�^ ]7]�I�G)H5a

è ï õ ç�ð í õ=ë ì í ï ì¶í ë ó�ï õ�ó�û�è ï"å�æ æ ç�è å í ï\õ û�ð ç�í ë û�ì�õ1í ûwí î�ï\ù�ë õ æ è ï í ë W ï ù>ò�è û56�ð ï ó"ö . î�ë è ù>û�è ù�ï èï ô�ò�å�ì�õ ë û�ì�õ\å�è ïwõ ò4ï æ ë T ï ùb:ë í î>í î�ïYG)H5a'û�ò�í ë û�ì>õ û í î�å�í"í î�ïwå�æ æ ç�è å�æ é'û�ú�í î�ïwë í ï è å í ï õ"ë õæ û�ì�õ ë õ í ï ì�í$:ë í î�í î�ï2ë í ï è å�í ë 8�ïð û�û�ò�í û�ð ï è å�ì�æ ï ö�cð õ û�åT ì�ï è#ò�å�ì�ï ð ë ì�ñ&ë õ�ç�õ ï ùQO G5E)_�û�ò�í ë û�ì�SOí û6�è ë ì�ñ1ù�ë õ æ è ï í ë W å í ë û�ì=ï è è û�è#ù�û :ì"í û1í î�ï&ð ï 8�ï ðFû úOí î�ï2í ë ñ�î�í ï è�í û�ð ï è å�ì�æ ï ö

þ�ÿ þedYf ��� �$ ���hg�f��jij ��k ���Jg%�� �jlm���J!h g)g� n� g7�po ���Jg%"��. î�ï�G5@1û�ò�í ë û�ì�æ å�ì�64ï#ç�õ ï ù1í û&õ ò4ï æ ë ú é1å&ò4ï è ó�ë í í ë 8�ë í é&ú å�æ í û�è/û�í î�ï è/í î�å�ì1í î�ïù�ï ú å�ç�ð í�8�å�ð ç�ï�û�úI�^ ]�ö . î�ïò ï è ó�ë í í ë 8�ë í é&ú å�æ í û�è%ó�ç�ð í ë ò�ð ë ï õOå�ð ð�í î�ïò ï è ó�ë í í ë 8�ë í ë ï õOë ì�í î�ïò�è û56�ð ï ó"ö . î�ïù�ï ú å�ç�ð íò ï è ó�ë í í ë 8�ë í é�ë õ/í î�ï#ú è ï ï ý õ ò�å�æ ïq8�å�ð ç�ïqr%s r)t R)KqL ä u)v%w ê /�x ó#6�ç�í%í î�ïè ï ð å í ë 8�ïò ï è ó�ë í í ë 8�ë í é�ó�å é6 ï&æ î�å�ì�ñ�ï ù%y ö . î�ï&æ û�ó�ó�å�ì�ù"ð ë ì�ï;)<%= >J?5<5@*G @%a�^ zj= @){%D7|)D)}�^ E%D B

è ç�ì�õ ;%<)= >�?7< @wû�ì\í î�ï1õ ò�î�ï è ë æ å�ð/æ å�ò�å�æ ë í û�è2ï ô�å�ó�ò�ð ï1ï ó64ï ù�ù�ï ùgë ìgå"ó�å�í ï è ë å�ðJ:ë í îwè ï ð å�í ë 8�ïò ï è ó�ë í í ë 8�ë í éM~%s t�ö. î�ï�G5@=û�ò�í ë û�ì=ë õ%í é�ò�ë æ å�ð ð é�ì�û�í#ç�õ ï ù0:ë í î3�%�7= >(;��5�)D1ë ì�ò�ç�íõ ë ì�æ ï2å�ð ð�í î�ï2ò4ï è ó�ë í í ë 8�ë í ë ï õå�è ï&õ æ å�ð ï ù36�é"í î�ï&õ å�ó�ï2ú å�æ í û�è ö�/ û�è#ï ô�å�ó�ò�ð ï� �J� � � � � � � �q� � � � � �j� � � � � � ��� � � �(� � � � � � � � � � � � � � � � �M� �$� � � � � ���� � �m� �(� � � � � � � � ��J� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �����5� �J�5�$� � � � � � � � � ��� �q� � ���5� � ��� � � � � � ���$� � �q� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � �)�� ����  ¡Y� � � � ��� � ��� � � � �$� �� � � � � � � � � � � ¢ ��£5� � � � � � � � � ¤%� � �5� �5� � � �$� � �$� �5� � � �5��� � ��� � � � �$� ��� ���5��� ��$� � � � � �

Page 18: Fast Field Solvers

¥ ¦ §©¨�ª�«�« ¬ «�­b®%¯ °�±$²�¯ ³

´)µ%¶ ·J¸5µ5¹*º ¹�»�¼ ½(º7¾%¸5¿)µ ·�À5Á%Â)¶ ¹7Ãq¼ ¾%¶ ·Ä�Å5Æ%Ç È É�Ê Ë%È�Ì Í7Î%Í5Ì Ï Ê Í5Ð%Ì ÈÑ5Ò�Í3É Î%Ë%È Ç ÈÓ�Ï Ê ËQÍ0ÎJÈ Ç ÔMÏ Ê Ê Ï Õ%Ï Ê Öm× ¼ ½ Ì Ñ5Í5Ê Ï Ð%Å0È Ô�Ø�È Ù%Ù%È ÙNÏ ÐmÍ0ÎJÈ Ç ÚÔMÏ Ê Ê Ï Õ)Ï Ê Ö »�¼ ½ Ù%Ï È Û È Ì Ê Ç Ï Ì ÔMÈ Ù%Ï Æ%ÔpÜ É È ÈÝ)È Ì Ê Ï Ñ5Ð ¥5Þ ß Ò Ñ7ÇqÍ�Ù%È É Ì Ç Ï Î)Ê Ï Ñ7Ð3Ñ Ò ¸5¿)µ ·�À5Á%Â)¶ ¹7Ãq¼ ¾%¶ ·�à Þ

á$â ãåä�æ�ç#è�é�ê ë�ìpíYè$ë î�ï ðJñ%è�ò�óô Ë%È º7õ%¶ Í7Ð%Ù º7õ%ö Ñ5Î)Ê Ï Ñ7Ð%ÉqÇ È ÔMÑ Õ7È�Ì Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç É�Ò Ç Ñ5ÔhÊ Ë%ÈÉ Ñ5Û Õ7ÈÍ5Ð%ÙmÏ Ð%Î%Æ)Ê�Û Ï É Ê É�Ç È É ÎJÈ Ì Ê Ï Õ7È Û Ö Þô Ë%È º7õ%¶ Ñ5Î)Ê Ï Ñ7Ð�Ï É�Æ%É È Ù�Ê Ñ�É ÎJÈ Ì Ï Ò Ö�Í�Û Ï É Ê�Ñ5ÒJÌ Ñ7Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ7Ç É�Ê Ë%Í5Ê�Í7Ç È$Ê Ñ�Ø�È�Ë%È Û ÙMÍ Ê$÷ È Ç Ñ�ÎJÑ Ê È Ð5Ê Ï Í7ÛÒ Ñ5Ç�Í5Û ÛJÊ Ë%È�Ì Í5Û Ì Æ%Û Í Ê Ï Ñ7Ð%É Þ�ø Ñ7ÇqÈ ù)Í7ÔMÎ%Û È ú%Ê Ë%ÈÎ%Ç Ñ5Ø%Û È ÔûÑ Ò�Í ¦üY¦ Ø%Æ%É�Ì Ç Ñ7É É Ï Ð%ÅMÑ Õ7È Ç ÍMÅ5Ç Ñ7Æ%Ð%ÙÎ%Û Í5Ð%È�Ì Í7Ð3ØJÈ�Í5Ð%Í7Û Ö)÷ È Ù0Ó�Ï Ê Ë3Ê Ë%È�Ì Ñ7ÔMÔMÍ5Ð%Ù%Éý7þJ¶ ÿ%À ���Vý)þ�¶�¼ �7þ�ö¸ þ)ý%À7ÿ)À��*º ¹*º ·*º ��»7½(º��%¿7º���º��%¿7º��Vº)¿)º���º�5Ã��(º�5Ã��(º��%µ ����� ´%µ)¶ ·�¸7µ ¹*º�ý7þJ¶�¼ �5þJöbº5õ�¶

ô Ë%È3Å5Ç Ñ7Æ%Ð%ÙYÎ%Û Í7Ð%È0Ï ÉÔMÑ)Ù%È Û È Ù�Æ%É Ï Ð%ÅQÍ ¸ þ7ý�À5ÿ%À � Ú Å7È Ð%È Ç Í Ê È Ù�É �)Æ%Í5Ç È3É Ë%È È ÊMÓ�Ï Ê ËYÌ Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5ÇÐ%Í5ÔMÈ ���� Þ ô Ë%È º7õ%¶� Í7Ç Å5Æ%ÔMÈ Ð5ÊqÊ È Û Û É ´)µ%¶ ·J¸5µ5¹ Ê Ñ�Ë%Ñ5Û Ù0Ê Ë%È Ì Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç ���� Í Ê�÷ È Ç ÑÕ7Ñ7Û Ê É�Ò Ñ7ÇÍ5Û Û�Ê Ë%È�Ì Ñ7ÔMÎ%Æ)Ê Í Ê Ï Ñ7Ð%É Þ ô Ë7Æ%ÉqÊ Ë%È�Î%Ç Ñ5Ø%Û È ÔhÑ5Ò ���� Í5Ê�Ñ5Ð%È Õ7Ñ5Û Ê ú%Ê Ë%È�Ò Ñ7Æ%ÇqØ%Æ%É$Ó�Ï Ç È ÉqÅ5Ç Ñ7Æ%Ð%Ù%È ÙÐ%È È ÙQÐ%Ñ Ê�ØJÈÉ Ñ5Û Õ7È Ù Þ�� ÐQÅ7È Ð%È Ç Í5Û úJÏ Ò�Ê Ë%ÈÉ È Û Ò$Ì Í7Î%Í5Ì Ï Ê Í5Ð%Ì ÈÑ5Ò�Í0Ì Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç Ï É Ð%Ñ Ê�Ç È �)Æ%Ï Ç È ÙJú�Ï ÊÌ Í7ÐNØ�È�Ç È ÔMÑ Õ7È ÙNÒ Ç Ñ5Ô�Ê Ë%È�É Ñ7Û Õ7È�Û Ï É Ê�Æ%É Ï Ð%Å0Ê Ë%È º5õ�¶ Ñ7Î)Ê Ï Ñ5Ð Þ ô Ë%ÈMÌ Ñ7Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ7Ç�Û Ï É Ê�Í5Ç Å7Æ%ÔMÈ Ð7Ê� ¸7¿ �%Áj¾)ö)¶ ·�� Ï ÉqÍMÌ Ñ7ÔMÔMÍ�É È Î%Í7Ç Í Ê È Ù3Û Ï É Ê�Ñ Ò�Ì Ñ7Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ7ÇqÐ%Í7ÔMÈ ÉqÑ5Ò�Ê Ë%È Ò Ñ7Ç Ô

� � �%µ��%À������ � � ��µ ��À����%¼7¼)¼�� � � ��µ ��À��� � ��µ ��À� Ê Ñ��5È Ð�Ð%È È ÙbÑ7Ð%Û ÖVØJÈQÈ Ð%Ñ7Æ%Å5ËbÑ Ò�Ê Ë%ÈQÌ Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç3Ð%Í5ÔMÈ�� É0Û È Í5Ù%Ï Ð%ÅYÌ Ë%Í7Ç Í5Ì Ê È Ç É0Ê ÑÉ Î�È Ì Ï Ò Ö3Ï Ê�Æ%Ð%Ï �)Æ%È Û Ö Þô Ë%È º5õ�ö Ñ5Î)Ê Ï Ñ7Ð3Ï É�Æ%É È ÙQÈ ù%Í5Ì Ê Û ÖmÛ Ï �5È º5õ�¶ Þ � Û ÛJÊ Ë%ÈÎ%Í5Ð%È Û É�Ì Ñ7Ç Ç È É ÎJÑ5Ð%Ù%Ï Ð%ÅMÊ ÑMÌ Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç É

Ï ÐQÍ º7õ%ö � ¸5¿��)Áj¾)ö)¶ ·�� Í5Ç ÈMÌ Ñ7ÔMÎ%Û È Ê È Û ÖQÇ È ÔMÑ Õ7È ÙQÒ Ç Ñ5ÔpÊ Ë%È�Û Ï É Ê�Ñ5Ò$Ï Ð%Î%Æ)ÊÌ Ñ5Ð%Ù%Æ%Ì Ê Ñ5Ç É Þ ô Ë%Ï ÉÑ5Î)Ê Ï Ñ7Ð0Ï É$Æ%É È Ò Æ%ÛJÒ Ñ5Ç$È ù)Í7ÔMÏ Ð%Ï Ð%ÅÉ Æ%Ø%Î%Ç Ñ5Ø%Û È ÔMÉ�Ó�Ï Ê Ë%Ñ7Æ)ÊqÍ5Û Ê È Ç Ï Ð%Å�Ê Ë%È Ï Ð%Î%Æ)Ê Þ�ø Ñ5Ç$È ù)Í7ÔMÎ%Û È ú)Ê Ë%ÈÌ Í7Î%Í5Ì Ï Ê Í5Ð%Ì È�Ñ Ò�Ê Ó$Ñ�Ó�Ï Ç È ÉqÌ Ç Ñ5É É Ï Ð%ÅMÑ Õ7È Ç�ÍMÉ Ï Ð%Å5Û È Ó�Ï Ç È Ì Í5ÐmØ�È�È ù)Í7ÔMÏ Ð%È Ù3Æ%É Ï Ð%Åý7þJ¶ ÿ%À � � ´%µ)¶ ·�¸7µ ¹*º7õ%ö��

á$â í"!$# ð�ï�# !�ñ�ê ë ìpí"!$%&!�ð�ê ñ�!$ë�ð�æ�óô Ë%ÈQÑ5Æ)Ê Î%Æ)Ê3Î%Ç Ñ)Ù%Æ%Ì È ÙbØ5ÖVÊ Ë%ÈQÙ%È Ò Í7Æ%Û ÊMÕ7È Ç É Ï Ñ5Ð�Ñ5Ò ´)µ%¶ ·J¸5µ5¹ Ï É0Ù%È É Ì Ç Ï Ø�È Ù�Ë%È Ç ÈmØ7ÖVÓ$Í Ö�Ñ5ÒÉ È Õ7È Ç Í5Û$È ù%Í5ÔMÎ%Û È É Þ � É�Ù%Ñ)Ì Æ%ÔMÈ Ð7Ê È ÙYÏ ÐQÊ Ë%È�Ä�Û È �7þ�¾� %¾7¿5ý%µ)¾�¼ à ú ´%µ)¶ ·�¸7µ ¹ Ì Í7ÐNØJÈ�Ì Ñ5Ð)Ä�Å7Æ%Ç È ÙÊ Ñ�Ñ7Æ)Ê Î%Æ)Ê�Ñ5Ê Ë%È Ç�Ï Ð)Ò Ñ5Ç ÔMÍ5Ê Ï Ñ5Ð0Í5ÉqÓ$È Û Û Þô Ë%È Ä�Ç É Ê�Î%Í5Ç Ê�Ñ Ò�Ê Ë%È Ñ5Æ)Ê Î%Æ)Ê�É Æ%ÔMÔMÍ7Ç Ï ÷ È É�Ê Ë%È Ï Ð)Ò Ñ7Ç ÔMÍ Ê Ï Ñ7Ð�Ò Ç Ñ7Ô#Ê Ë%È Ì Ñ5ÔMÔMÍ7Ð%Ù0Û Ï Ð%È�Í7Ð%Ù

Ê Ë%È Ï Ð%Î%Æ)ÊqÄ�Û È7Ü É à Þ ô Ë%È�Î%Ç Ñ5Å7Ç Í5Ô#Ê Ë%È Ð3Ì Ñ5Ð%É Ê Ç Æ%Ì Ê ÉqÔ�Æ%Û Ê Ï Î�Ñ7Û È�È ù%Î%Í5Ð%É Ï Ñ7Ð%É$Ò Ñ7Ç�Ê Ë%È�Î�Ñ5Ê È Ð7Ê Ï Í5ÛJÍ5ÊÍ5Û Û�Û È Õ7È Û É�Ñ5Ò�Ê Ë%ÈÉ Î%Í5Ê Ï Í5Û�Î%Í5Ç Ê Ï Ê Ï Ñ7Ð%Ï Ð%Å Þ ô Ë%ÈÍ5Ù%Í7Î)Ê Ï Õ7ÈÐ%Í Ê Æ%Ç È�Ñ Ò�Ê Ë%È�Í5Û Å7Ñ5Ç Ï Ê Ë%ÔûÈ Ð%É Æ%Ç È É�Ê Ë%Í5ÊÑ5Ð%Û ÖNÔÆ%Û Ê Ï ÎJÑ5Û ÈÈ ù)Î%Í7Ð%É Ï Ñ5Ð%É�Ê Ë%Í ÊÛ È Í7ÙQÊ Ñ3Í3Ç È Ù%Æ%Ì Ê Ï Ñ7ÐNÏ ÐNÌ Ñ7ÔMÎ%Æ)Ê Í Ê Ï Ñ7ÐQÍ5Ç ÈMÌ Ñ7Ð%É Ê Ç Æ%Ì Ê È Ù Þ �ÔMÈ É É Í7Å5È0Ï ÉÎ%Ç Ï Ð7Ê È ÙYÏ Ò�Í7ÐYÈ Ð7Ê Ï Ç È0Î%Í5Ç Ê Ï Ê Ï Ñ7Ð%Ï Ð%Å3Û È Õ7È Û$Ë%Í5É�Ð%ÑmÔ�Æ%Û Ê Ï Î�Ñ7Û È�Ñ7ÇÛ Ñ)Ì Í7Û�È ù%Î%Í5Ð%É Ï Ñ7Ð%É Þ' Ï Ê ËQÐ%ÑmÑ5Î)Ê Ï Ñ7Ð%É É ÎJÈ Ì Ï Ä�È ÙJú ´)µ%¶ ·J¸5µ5¹ Í7Æ)Ê Ñ5ÔMÍ5Ê Ï Ì Í7Û Û ÖmÉ È Ê É�Ê Ë%È�Î%Í7Ç Ê Ï Ê Ï Ñ5Ð%Ï Ð%Å0Ù%È Î)Ê ËJú�Ñ5Ò Ê È ÐNÉ ÑÊ Ë%Í ÊqÊ Ë%È�Û Ñ ÓqÈ É Ê Û È Õ7È Û�Ï É$Ò Ç È È�Ñ Ò�È ù)Î%Í7Ð%É Ï Ñ5Ð%É Þ ô Ë7Æ%É Í�ÔMÈ É É Í5Å7È�Ñ Ò�Ê Ë%È Ò Ñ7Ç Ô

�)¿(À��7¹%µ���¶)ö5¿���¶(µ ·j¾)À (�À7¾ ×*) ¾)¿ +�À)¶ ·�,

Page 19: Fast Field Solvers

-�. /10�2 3 4�5�3 2�6 7 8�9:0�2 ;<24 7 6 2�8�4 = > ? @

A�B CD�E FHG�I�JLK�FNM O�P�QR�Q�S<T U�Q�VXW Y F Z [ \$]^�_`M OP�Q�R�Qa�T U�Q V:_�B b c E F [ B d ] [ B e^�bLe Zf[ K�F�D�^�B [&b g�K�F E F h

B bL]i^�eE jN]�Y<c e^�_�B [ B e�^kh�JLK�FHl�^�]YkY B ^�F�e Z�jiD�Y [ B g�eY F&b F [ D�g:B ^�Z eE jN] [ B e^NK�]b$[ K�FHZ eE j

m QR�nQ U�o�pq�Qsr�tvuV�w okx O�w�xQ�Mvy�r�U�Q{z�|vuV�w okx O�rw�Q�}`~�$T S �

JLK�F�^D�ji��F Eie�Z&jiD�Y [ B g�Y B c ]�[ B e�^�b�_�e^�F�B ^Xe^�F�t�p�M o�np O�B [ F E ]�[ B e�^XZ e�Ei]�^��{g�]^�F YLg�E e��Y F jB bHc e�^�b B _�F E ]���Y �"Y F b b�[ K�]�^`[ K�FN�k��E F ��D�B E F _`Z eE�]�^"F ��g�Y B c B [�jN] [ E B ��� �F c [ eEHg�E e�_�D�c [ hN� ^`[ K�B bF ��]�jNg�Y F&� @�� ?�� e�Z�[ K�F$�k��jiD�Y [ B g�Y B c ]�[ B e�^�b<]E FL]�g�g�E e ��B jN] [ F _�D�b B ^�CH[ K�FLj�D�Y [ B gke�Y F�]Y C�eE B [ K�j��B jNg�Y ��B ^�Ci]ib B C^�B l�c ]^�[&E F _�D�c [ B e^�B ^�c ejNg�D�[ ] [ B e^kh�vB [ K�[ K�F�F ��g�]^�b B e�^�b�B ^�g�Y ]�c F �$[ K�F:g�E e�CE ]�j���F C�B ^�bNB [ F E ] [ B ^�C`Z e�Ei[ K�F:��c eY D�jN^�bie�Z

[ K�F�c ]g�]�c B [ ]�^�c F�jN] [ E B �k���&K�F E F��*B bL[ K�F�^D�ji��F E&e Z�c e�^�_�D�c [ e�E bL[ ]�B ^�CNB ^�[ eN]�c c eD�^�[&[ K�eb FE F jNe �F _:Z E ej�[ K�F�c e�jNg�D�[ ]�[ B e�^��&B [ K:[ K�Fi�R�M�]^�_"��R�xNeg�[ B e�^�b hH�vK�F ^`[ K�F�B [ F E ] [ B e^�b&]�E Fc ejNg�Y F [ F���[ K�F�c ]�g�]c B [ ]^�c F�jN]�[ E B ��F ^[ E B F b&]�E F�g�E B ^�[ F _�B ^:�:�����sD�^�B [ b h��F c [ B e�^`�h G�h ? g�E F b F ^�[ bHF ��]�jNg�Y F�B ^�g�D�[&_�B b c E F [ B d ] [ B e^�bLe Zf[ K�F�D�^�B [&b g�K�F E F�B ^�^�F D�[ E ]�Ykl�Y F

Z e�E jN]�[ h� &[ K�F ELF ��]�jNg�Y F b$]�E FHC�F ^�F E ]�[ F _���N[ K�F&g�E eC�E ]jNb&n V�z�Qq�Q�U`W ��F c [ B e^��h G�h ��\ �kn�p�O�q�Q UW ��F c [ B e�^N�h G�h @ \<]^�_�z�V�M�q�Q�U�W ��F c [ B e^i��h G�h G�\<B ^�C�F ^�F E B c�l�Y F�Z e�E jN]�[ h���eE F$c ejNg�Y B c ]�[ F _�F ��]ji�g�Y F b ��&K�B c KNc e�ji��B ^�FLb B jNg�Y FLC�F e�jNF [ E B F b�C�F ^�F E ]�[ F _�D�b B ^�CH[ K�FLg�E eC�E ]jNb$n Vz�Q�q�Q Uk��O�x O�Qyq�Q U]�^�_�O�|R�p�q�Q U:�&B [ K�^�F D�[ E ]�Y<l�Y F�CF ejNF [ E B F bL]E F�CB �F ^:B ^`��F c [ B e�^�bH��h G�h ¡i[ K�E eD�C�K`��h G�h ¢�hLJLK�FC�F ^�F E B c&l�Y F&CF ^�F E ] [ eE b$]�E FHc ejNg�B Y F _N�&B [ KNt�p�M o�np O�]�^�_�]E FH]�Y Y���]b F _�e�^N[ K�FHE F c [ ]�^�CY F&]^�_[ E B ]�^�CY F�_�B b c E F [ B d ] [ B e^XZ D�^�c [ B e�^�bNy�xM £�Q�n o$¤ ¥X]�^�_�y�xM ¦�R�x<¤ ¥XB ^X[ K�F�l�Y F bNy�xM�R�Q�n oLT nX]^�_y�x�M o�R�x�T nNE F b g�F c [ B �F Y ��h

§k¨ ©<¨ ª¬«<­f®f¯° ± ²³�´&µ�³�­f³�²± ¶ ·�°�¸c e^�_�D�c [ B ^�C�b g�K�F E F"B ^{Z E F F"b g�]�c F`�&B [ Kve^�F"jNF [ F E�E ]_�B D�b�K�]�b:c ]g�]�c B [ ]�^�c F"G ¹fº »HA½¼¾�� ?�?? ��¡¿i^�A$��]b:jN] �v��F"�F E B l�F _ÀD�b B ^�C{ÁH]D�b b  b`Ã<] ��h*JLK�F"[ �Le�F ��]jNg�Y F"^�F D�[ E ]YHl�Y F bM O�P�QR�Q�S<T U�Q�V�]^�_vM O�P�QR�Q�a�T U�Q�V{_�F b c E B ��F�[ K�F�[ �$eX_�B b c E F [ B d ]�[ B e�^�bNe ZH[ K�F�D�^�B [�b g�K�F E F:B Y �Y D�b [ E ] [ F _�B ^�A�B C�D�E FHG�h��À[ K�B E _�_�B b c E F [ B d ] [ B e^k�l�^�F E$[ K�]�^�[ K�]�[LB ^:M OP�Q�R�Qa�T U�Q Vk�kB b$CB �F ^�B ^M O�P�QR�Q��T U�Q�V�h

Page 20: Fast Field Solvers

Ä Å ÆÈÇiÉfÊ&ÊHË ÊiÌvÍ�ÎHÏ<Ð$Ñ�ÎHÒ

Ó&Ô Ô�Õ Ö�× Ø ØLÙ�Ú Û Ü × Ø Õ Ú Ý Þ Õ Ú ßà�Û�Þ× ØLß�á�Õ ÞÚ à�Ø ÙNá�âNãNØ Û Ö�Ú à�ä�Þ�å�à�Ú Õ$Û æ�Ö�Ø × Ø&æ�× Ú ãNÚ Õ Ú çØ�è&Ú Õ ÖNéå�ÞÙ�× Ú êÔ Þ Õ Ø × Þ�Ô Ûkå�Û Ú à�äLÕ Ö�Ø$ëìí&ß�æ�Õ Ú ßàHÚ àHî�ïðñ�ïò�ó ôLÖ�ØLõ ö�÷�øù�ø�ú<û ü�ø�ý�Ü Þ�Û Ø�Ü ß�× × Ø Û æ�ßà�Ù�ÛkÕ ßLþ�ÿþ��sÿ�þ�ò��� û �:è&Ö�Ú Ô ØiÕ Ö�Ø:õ ö�÷�øù�ø���û ü�ø�ý�Þ�à�Ù�õ ö÷�ø�ù�ø�$û ü�ø ý�Ü Þ�Û Ø Ûi× Ø Û å�Ô Õ�è&Ö�Ø àXþ�ÿþ��sÿ�þ�ò� � û �`Þà�Ùþ�ÿþ��sÿ�þ�ò�� � û ú�:× Ø Û ækØ Ü Õ Ú çØ Ô âó�ôLÖ�ØNæ�Þ�à�Ø Ô Û�Ú à`Õ Ö�Øiî�ïðñ�ïò"Ù�Ú Û Ü × Ø Õ Ú Ý Þ�Õ Ú ß�à�Û�Þ�× ØNà�Ø Þ× Ô â`ÞÔ Ôà�ß�à�æ�Ô Þà�Þ�×Lé�å�Þ�Ù�× Ú Ô Þ�Õ Ø × ÞÔ Û ó ��Ú à�Ü Ø�����õ �����ö:× Ø é�å�Ú × Ø ÛHæ�Ô Þ�à�Þ×Læ�Þ�à�Ø Ô Û ��Ø ÞÜ Ö:à�ß�à�æ�Ô Þà�Þ�×&éå�ÞÙ�× Ú êÔ Þ Õ Ø × Þ�Ô�Ú àiÕ Ö�Ø&Ú à�æ�å�Õ ��Ô Ø&Ú Û�Þå�Õ ß�ãNÞ�Õ Ú Ü ÞÔ Ô â�á�× ß���Ø à�Ú àÕ ß�Õ èLß�æ�Ô Þà�Þ�×�Õ × Ú Þà�ä�Ô Ø Û ��× Ø Û å�Ô Õ Ú à�ä�Ú àiÕ Ö�ØÙ�Ú Û Ü × Ø Õ Ú Ý Þ�Õ Ú ß�à�ÛLß����Ú ä�å�× Ø Å óôLÖ�Ø�Ü ß�ãNãNÞà�Ù����õ �����ö õ ö�÷�øù�ø�ú<û ü�ø�ý

æ�× ß�Ù�å�Ü Ø ÛLÕ Ö�Ø�ß�å�Õ æ�å�Õ&ákØ Ô ß è�óñý�üü�� ü�������õ �����ö���û � � �������!�"���#ë üö�ý��%$`õ ö÷�ø�ù�ø�úfû ü�ø ýë üö�ý�� õ ý�ù������ø�õ�$& ñ�í '�îkúõ ö÷�ø�ù�ø�úfû ü�ø ý ()�*�ü�+ý,� ��*ù�,� ��-�ø�$/. ì�î�0�þñ�þ1(`ñ�ï�2�ë '�ì�ú3(�þ�ÿ�þ��Àÿþ�ò�4 � û �65* ý���øù{ö�ø�ù�7,� ����� 8�� ��!1$�úüý�7�9�ø�ù:*�vö���ü�ø�-�õ�$Xú ��;üý�7�9�ø�ù:*�sø<���ù��Àø 8,��-�ý���,��* üsö�*�� ü���õ�$ ���ù�� ükõ-�� ���*�ü $ � ���/� #

2,� ��ø�$=��*�ü/�,�!:����ú �1$ ����$ ;�� ú"�"��0,*�õ � $�÷,��- 9�ø�ù��

ë òî�'�ð�ì '�����ï�ñ�>þ�<�ö,� ükõ���* ü�*ù�+�ø�ù $��òý�7�9�øù�*��{ö,��ù��,� �,��* ü�� ü���-ø8�ø�-�õ�$?�í8�øù���-�-{ö�ø�ù�7,� ����� 8�� ��!������ ��*ù1$Xúð,* �,��-{üý�7�9�ø�ù:*��{ö,� ü�ø�-�õ6$Xú �;òý�7�9�øù:*���*�ü�+ý,� ��*ùvö���ü�ø�-�õ�$Xú �;òý�7�9�øù:*��+��ø�-�ø�� ��ù,���:� ü���øù������ø{ö���ü�ø�-�õ�$ �òý�7�9�øù:*�/�÷�� ü@�*�ü�+ý,� ��*ù:*�ü�+,��ø�-ø�� ��ù������ ü���øù������ø{ö,� ü�ø�-�õ6$ �

òý�7�9�øù�*��:��* ü�+�ý�� �,*�ù�õ6$�úò�*Àø<ö���ü�õ��*�ü�õ�� ��-ø8�ø�-A� � -�* B�ø�õ �,#ò�*Àø<ö���ü�õ��*�ü�õ�� ��-ø8�ø�-/�î�øù��ø ü�������ø:*�/7ý,- ��� ö,-��ø�õ/+�*�ü�øA9�!/7ý,- ��� ö,*�-�ø�$ �CD �ù�ü�� ü��1$�ü,*E7�ý�-�,� ö�*�-ø:������ø�-øù���,��* ü

ë ð�þñ�ï�ðkë�íò/2�ï�ð�ïì �,��ù��,� ü��:*�ü���*�-�ý�7�ü ú � ì î�0þ�ñþ C�& ñ�í'î<ú#úE�A�

F ïî�ï F ë ð�ï�ò F þ���ï�ð�ñ�ëG�(:ü,� ü,*����ù��+�õú

Page 21: Fast Field Solvers

H�I JLK1M N OPN M�Q R S�T?K1M U3M�O R Q MS,O V W X Y

Z [�\�]�^�]�_�`�^�ab�[3c:c d1e cd�f�gh%i�j k1lm�n o�m�n%j p p m�k n q r n s k�i�l tAu�v�w x,y�v z{rm�n l�|}r n j ~ rp p ��~ r�p ~ m�p rn s k1j n s q r n s k1s ��o�p j ~ j n p ��� lq1o�q l���p s |}k�n i�r n�r�q s�n l�l=k |}rp p6n l{t%rq q r��n�m�k j ���=|�m�p n j o�lp s�s ��o�r���k j l��k �{�,lq�k m�~ i�o�q l���p s |}k�n i�s|�m�p n j o�lp s�ro�o�q l ��j |}r n j l���l�%j n s q r n s k�j k�r~ n m�rp p ��|}lq s}~ lk n p ��n i�r���n i�s{s ��r~ n�~ r�p ~ m�p rn j l���� �}n i�j k1~ r�k s%n i�s%~ lr�q k s ��s k k l��n i�s%��j k ~ q s n j � r n j l���r�p k l�p s r��k�n l�����s q q l�q1j ��n i�s%k o�i�s q s � k k s p � �~ r�o�r~ j n r��~ s ���,m�p p�q r n s ��r~ ~ m�q r�~ �E� ��s � r�m�p n X �}��~ r���l���p �?��s�q s r�p j � s �?j �1n i�s���j k ~ q s n j � rn j l�s q q l�q%j k%��s �p j ��j ��p s �h%i�j k%k m����s k n k�m�k j ����r��,��s q%��j k ~ q s n j � r n j l��{l�6n i�s�k o�i�s q s� h%i�s�~ l�|}|}r���u�v�w x�yvz@w z���������� e � ��

o�q l���m�~ s k%n i�s�lm�n o�m�n���s p l t��

^ � ����� ��� u�v�w x�yvz�� e d � �����v� �¡���¢£ � z���x%¤�w z��,������ e � � �£ � z���x@w ����u�v�y���w�¤`^,a b�[�cw z��,������ e � � � ¥)y¦ ��§ �,y x�¦��x � x�¨���¤/© Z[�\�]�^�] ¥ ^�ª�«,£ b�Z�c ¥ ]�¬] � ¬�]�­�®�d�e �6¯¦ ��x����Az,���° � x�x � ±�� x� 1¤ c� ��°�²,��:¦u/z�v � ��¨�w�¤?³ f�´� ��°�²,��:¦u:�µ�x���v�� ± v�¨��vx � ¦ � z�¦ � � x,w�¤ dx���v � w¨�v x � ¦ � ¤ � d�d/d ¢

« v x,��¤=��¦ � �,v :��� c �1¤ ��¶1¤ g ³ c ¡�¡��\ ¦�w x ¤=� � ¨ ²,���x

£ ­�[�b�·�Z b ��� ª^�¸] µz,v � w � ¦ � ¦�� § �� ¤��­ ��°�²�����¦�uAz,v��x � x � ¦ ��� ��� ¨�� ± ��¨�w�¤ ga± ����v�¨�¨Az,���° � x�x � ±�� x� �u�v�y x�¦��1¤ c· ¦ x,v�¨ � ��°�²,��:¦�uAz,v � ��¨�w6¤?³ f´­ ��°�²����:¦u�y¦ ��§ �,y x�¦��/z�v � ��¨�w�¤?³ f´­ ��°�²����:¦u §�� ��¨���y x�� � y � � x�����u�v�y��Az�v � ��¨�w�¤ d­ ��°�²����:¦u/x�� � � y¦ ��§ �,y x�¦��:¦ ��§,� ��¨���y x�� � y � � x�����u�v�y��Az,v � ��¨�w6¤ d­ ��°�²�����¦�u:y�¦ ��§ ��y x,¦�,w6¤ c­ ¦��µ�z�v � w � ¦ � w�v x�¨�� ± ��¨ g¹� ¨�¦ º,��w x,¢[ ����y�� � x�v � �:¦u/°��,¨ x � z,¨ � ��w § ¦ � �A²� /°��,¨ x � z,¦�¨���¤�³ f1e c _

£ ·�]�^�ª·�£a�­/«�ª·�ªZ x,v��x � ��� ¦ � y�¦�¨��° �»c@� Z [�\�]�^�]�_�`�^�ab�[3c ¢c �

¼�ª�[�ª�¼�£ ·�ª�­�¼�] � ª·�^,£½ ¥ � v � ¦u�v��v § wc

Z [�\�]�^�]�_�`�^�ab�[3c:c d1e c�c d �

Page 22: Fast Field Solvers

¾ ¿ ÀÂÁ�Ã6Ä�Ä�Å Ä�Æ/Ç�È�É3Ê Ë�È�Ì

Í ÎÏ}Ð�Ñ�Ò Ó Ô�Õ Î{Õ Ö�Ó}Ñ�×�ÑØ Ù�Õ Ú Û�ÜÑ�Ø Ý�Ó Þ6Õ Ö�Ó}Û Ñ�Ð�ÑÛ Ú Õ Ñ×�Û Ó}Û Ñ�Ø Û Ý�Ø ÑÕ Ó Ô�ß�Ù�à�á�â ã,ä�á å×�Î æ»Ö�Ñç�è�é êëÓ Ò Ò Î�Ò éì ×�Ð�Ò Ñ�Û Õ Ú Û Ó Þ6Ö�Î æ%Ó Ü�Ó Ò Þ6Õ Ö�Ó}Ø ÑÛ í?Îî Ñ�×�ÑØ Ù�Õ Ú Û�Û Ñ�Ð�ÑÛ Ú Õ Ñ×�Û Ó�ÜÑ�Ø Ý�Ó ç�Ò Ó ï�Ý�Ú Ò Ó ç�î Ý�Ò Õ Ö�Ó Ò�Ò Ó ð,×�Ó ñ

Ï}Ó ×�Õ�Îî6Õ Ö�Ó�Ô�Ú ç Û Ò Ó Õ Ú ò ÑÕ Ú Î×=Ý�×Õ Ú Ø�Õ Ö�Ó�Û Ñ�Ð�ÑÛ Ú Õ Ñ×�Û Ó�ÜÑØ Ý�Ó ç%ç Õ Ñß�Ú Ø Ú ò Ó é1ó%Ö�Ó�Û ÎÏ}Ï}Ñ�×�Ôà�á�â ã�äáå@â å�ô�õ�ö�õ�÷1ø ù�õú

Ð�Ò Î�Ô�Ý�Û Ó ç%Õ Ö�Ó�ÎÝ�Õ Ð�Ý�Õ�ß�Ó Ø Î æ�éû ú�ù�ù�ü ù�ýþø�ø ÿ ��ü ù,ÿà�á�â ã,ä�á å��1ø ��� ��� �,á�� ���� ù�å�ú�ã���â å�ô,õö�õ÷ ø ù,õ ú� ù�å�ú�ã@â ú�ö�à�á�ä�õ�â���û�� �����â å�ô,õö�õ÷ ø ù,õ ú��)ä�ù���ú,ä ã���öã,ü ã���õ�� � ! � "�#�û�# � û�$ %�� � ! � � #�&# � & #�')( ��ø � ��*� ú�ã�õ�öAå,õö +,ü ã�ã�ü ,�ü ã�-� �ù�ú�+ �,õö.�à/å�áù�õ���â�� � ��� �ù�ú�+ �,õö.�à:õ/�ã�ö�á�õ ,,á �ú�áã,ü � ù:å���ü ù�ã,â��0�ã�ö�á ù�â��á ã�ü�ù��)� �)� ���

% á ã,õ��1���ù �,á.� � � �-� ÷���� �2 � � ���" ��â ã��=ô,ü � �,õö�ã

� ' � ��3 ! � � � $û�4# /å,á ù�â�ü � ù5��ö ��õö��0�' ú +���õ�ö)��àAå,áö�ã,ü ã,ü � ù�ü ù�ý5��õ,�õ���â��?÷� ,�õ�ö�á�� �Aå,õö +,ü ã�ã�ü ,�ü ã��à�á�ä ã���ö-� �3 � ã,á �Aù�ú�+ �,õö.��àAå,á ù,õ ��â6� � � ���' ú +���õ�ö.�à�ä�ù���ú,ä ã���ö/å�áù�õ���â�� � � ���' ú +���õ�ö.�à)��ü�õ ��õ�ä ã�ö,ü�ä:ü ù�ã�õ�ö�à�á�ä�õAå�áù�õ���â��0�' ú +���õ�ö.�à/ã�ô�ü ù@ä�ù���ú,ä ã���ö.�ù)�,üõ���õ�ä ã�ö�ü�ä�ü ù�ã�õ�ö�à�á�ä�õAå,á ù,õ ��â6�0�

' ú +���õ�ö)��à:ä � ù��ú�ä ã��ö,â6� �� õ�ö�ä�õ ù�ã�á�ý�õ.�à +�ú�� ã�ü å���ü�õ�â ���ù�õ7�� +�ú�� ã�ü å�� ��õ��08 8 ø 2�9

� 3�#�û�$3��� ' %�$3�$! ã,áö�ã,ü ù�ý.�ù�ä � �ú +�ù � � ! ��" #�û # 9 ��û��� �:� �� �

; $ ��$�;�� 3�$�' ; # � $3�û��< �?ù,á ù��à�áö�á�,â�

! ��" #�û # 9 ��û��� �:�.� �1ø ��� � 2ó%Ö�Ó=ð,×�Ó Ò}Ô�Ú ç Û Ò Ó Õ Ú ò Ñ Õ Ú Î�×)Ú ×/â å�ô,õö�õ÷ ø ù,õ ú/Û Î�×Õ Ñ�Ú ×�ç}×�Ó ÑÒ Ø Ù)Õ æ�Ú Û Ó?Ñç{Ï}Ñ×�ÙEÐ�Ñ×�Ó Ø ç}Ñ�ç�Õ Ö�Óâ å�ô�õ�ö�õ���ø ù�õú?Û Ñ�ç Ó Þ�Ø Ó Ñ�Ô�Ú ×�=�Õ Î�Ï�Ý�Ø Õ Ú Ð,Î�Ø Ó�Ó >�Ð�Ñ�×�ç Ú Î×�ç�Î×=Õ Ö�Ó�Ø Î æ Ó ç Õ�Ø Ó Ü�Ó Ø-? Ø Ó Ü�Ó Ø:@�A éÍ ÎÏ}Ð�Ñ�Ò Ó Ô=Õ Î�Õ Ö�Ó�Ñ×�Ñ�Ø Ù�Õ Ú Û�ÜÑØ Ý�ÓÞ�Õ Ö�Ó�Û Ñ�Ð�ÑÛ Ú Õ Ñ×�Û Ó�Ú ç�Û Î�Ò Ò Ó Û Õ�Õ Î}ß,Ó Õ Õ Ó Ò%Õ Ö�Ñ�× ¾ ë{Þ,Ñ�ç î Î�Ò

Õ Ö�Ó=â å�ô,õö�õ �1ø ù,õ ú)Ô�Ú ç Û Ò Ó Õ Ú ò Ñ Õ Ú Î�×�é ì î%Õ Ö�Ó{Ñ×�Ñ�Ø Ù�Õ Ú Û}Û ÑÐ�Ñ�Û Ú Õ Ñ�×�Û Ó}æ Ó Ò Ó{×�ÎÕ�í�×�Î æ�×�Þ1Ú Õ�æ Î�Ý�Ø Ôç Õ Ú Ø Ø�ß,Ó�Ð,Î�ç ç Ú ß�Ø Ó Õ Î�Û Î×�Û Ø Ý�Ô�Ó Õ Ö�ÑÕ1Õ Ö�Ó%ç Ð�Ö�Ó Ò Ó B ç Û Ñ�Ð�ÑÛ Ú Õ Ñ×�Û Ó%Ú ç�æ�Ú Õ Ö�Ú × ¾ ë:Îî3è�C ¾¾ èD�×�E Þ�ç Ú ×�Û ÓÕ Ö�Ó�Ô�Ú ç Û Ò Ó Õ Ú ò ÑÕ Ú Î×=Ò Ó ð,×�Ó Ï}Ó ×�Õ�Û Ö�Ñ×�=�Ó ç%Õ Ö�Ó�Û ÑÐ�Ñ�Û Ú Õ Ñ�×�Û Ó�Î×�Ø Ù=ç Ø Ú =Ö�Õ Ø Ùé

Page 23: Fast Field Solvers

F�G HJI-K L MNL K�O P Q�RSI-K T:K M P O KQ�M U V W X

Y�Z [\�] ^`_�a-b�c�^ed f g�hi�h j5kj�lSm n ^ o p q�rs�tud f�g�h i�hj5k j�vwt�Z x y ] ^ p Z z rp Z {s�x�{o6p c�^`\�s�Z p|y \�}�^ ~

�|x Z s�[�r�t�Z x y ] ^ p Z z r p Z { s�] ^ ��s�^ ��^ s p�p {�y c�^ y �`p c�^�y r��r y Z p r s�y ^��rn \�^ x6Z x�s�{ p-rx�y {x p n ��\�x Z s�[����� � d �� rx�o {]`{ p c�^ ]�y r��r y Z p r s�y ^e^ � p ] r y p Z { s0��] { [] r ��x ~��`{\�}�n Z s�[�p c�^es�\���}�^ ]`{ o���rs�^ n x� c�^ sw\�x Z s�[�re��r \�x x Z rsw^ n Z ��Z s�rp Z {s�}�r x ^ twr n [{ ] Z p c��5n ^ r t�x�p {�rsw^ Z [ cp � o {n t�Z s�y ] ^ rx ^�Z s�] \�sp Z ��^ ~�b�c�^ ����� � d �� ] \�s�p Z ��^-o {] � ��� h ��h �-� j�hf���c�{ � ^ � ^ ] ��Z x6{ s�n ��r}�{\�p�p � Z y ^�p c�r p-] ^ ��\�Z ] ^ to {] � � � h��h �-� j�h f�~

��� �:� �����6 6¡ ¢0��£�¤6£�¢ ¡ ¥ ¦�§b�c�^�y r ��ry Z p rs�y ^�{ o�r`\�s�Z p-y \�}�^�Z s�o ] ^ ^�x ��ry ^���r �e}�^�Z s � ^ x p Z [ r p ^ te\�x Z s�[|p c�^ ����� � d � � Z s���\�p��n ^e[^ s�^ ] rp {]ed f g�hi�h j�~�b�c�^�t�Z x y ] ^ p Z z rp Z {s��:Z n n \�x p ] rp ^ t0{ sSp c�^�n ^ o p�Z s0Y�Z [ \�] ^e_��6\�x ^ x`��� ^��rs�^ n x|rn { s�[�^ r y cS^ t�[^� � Z p cS^ t�[^���rs�^ n � Z t�p c�x|^ � \�r n:p { W ¨ © { o-Z s�s�^ ]|��rs�^ n � Z t�p c�x ª ~|«����� � d �� [^ s�^ ] Z y�o {] ��rp�Z s���\�p`��n ^�y {s p rZ s�Z s�[wx \�y c¬rwt�Z x y ] ^ p Z z r p Z { sSZ x � ] Z p p ^ sSp { � ��­�® f �\�x Z s�[�p c�^`y {����r s�t

d f�g�h i�hj5k j�l

b�c�^ed f g�hi�h jS��] {[ ] r�¯c�rx|x ^ � ^ ] rn6{��p Z { s�x � c�Z y c1r ] ^`x \�����r] Z z ^ t1Z sS°�^ y p Z {s0± ~ ²�~b�c�^`y {����r s�t

d f�g�h i�hj5k j�l´³ ����� � d ��

��] {�t�\�y ^ x�p c�^`{\�p ��\�p|}�^ n { � ~µ ¶-·¸:·¹�º » ¼ ½ ¾�¿ ÀÁ�Â�· ¶-·Ã�Ä » À À¿ À�Å�Æ ¸�Ç�È ¾ » À É6Ê�¿ Ë¿ È ¾ É ¿ ÀÈ »-Ê�¿ ½ È º ½ ¿ É ¾ Ì ÀÍ�Î Ì Ä6Ï�¼ Ä » » Ð Ñ:¾ Ò�» ÀÍ ¾ Ì À¿ ½�Ó�º ½ É ¾ Ð

È Ì ÀÁ ºÈ É Ì Ä�Ô Õ Í É » Ò|Í Å Ö|× Ø�Ø�Ø7Ù Ú Û Ü Ý Û Þ ß à á Ü Ý|á Ü�â`à Þ Ú á ã�Û ä åeÙæ å á Ú ç`Û Üè�Ù å Þ æ Üà é êå Ý Å ë ì í ë î ï ð ñ ò ó ë Å ô » õ Ä º¿ Ä Õì ö ð ÷ ·

Page 24: Fast Field Solvers

ø ù úüûeý6þ|þ�ÿ þ�������������

��������� ��������� ���������� !#" ��$�%���&�'���() �������+*,� ��-.� �) �������/� ��0�������1���*2��.3 4�5�6� ��-.� ��78��9���-��.� ��9�0�.� ��:�1�*�; 6 <�=�6 <�=.6 </� ��>.1#" ��?�$�1�?�!� 6�(A@9 ����1�0B�.1�0�<.� ����� C�� ��&D*E6����<�>.1�0F9���������1�:���*86 $�!����<�>.1�0F9��F1�G���0���1 C.��:������.��9 �F��9�� ���.��*,!��0�� ����:�� ����9���*�" !�!�!�(

H.� �.1�*I%�9���%.��&F��$�6 $D* J�KD* L�M/6�'�'��N.9�� ��*IO.��: >.1�0��

) P�5�4�Q�R 4�%�%�S���TU�G��.� ������9 ��9�0�-�1�0�*,�P���<�>�1�0�9��B�.��0��.� �.��9 ��� ����:�1�C�1�:���*VJ3�C�1�0���:�:B�.1�0�<.� ����� C�� ��&������ ��9�0D*86Q.9 �.��:B����<�>.1�0F9��B�.� �.1�:��A*86�$�!P���<�>�1�0F9�����9���-��.� ��9�0�������1�:���*86�$�!P���<�>�1�0F9���-���1�:�1�� ��0.���F� ����1�0�������1B������1�:���*,!P���<�>�1�0F9�����O�� �/��9���-��.� ��9�0F9���-.��1�:�1�� ��0������ ����1�0�������1B�.� �.1�:��A*,!

P���<�>�1�0�9��F��9 ��-���� �.9�0.�A*E6P�9�1�G������.����9��.��� ��:�1�C�1�:BJW" :�9 X.1�� �.(5�1�0���1 ��������1F9���<��.: ��� �.:���1���-�9���1B>�&�<��.: ��� �.9�:�1�*,K��D Y�Z

) Q�U���S�Q�)�3�P�H�S�Q�SR �.��0��.� ���F9�����9�:���<��[6/" 6 Z�2��.3 4�5�6�(6\�BJ�L

]�S�5�S�]�) Q�S�P�]�U�%�S�Q��.)�=�7V������9�����0���-.�6

6 Z�2��.3 4�5�6�6 K�J� ��M

^A_a` b�c ` d�e b�cDf.g�c h i e jk_ l�e b�c�` m�n�m�` i e m�o�` c�p�m�h q�c r e b�cDf.o�c sAg�i t ` s c e i u m�e i _�okn�i ` e q�s c gk_�ove b�c�s i w�b�ei oIx�i w�q�s cvy�r�zai e bIt c p�c oVn�m�o�c h t+m�h _�o�w�c m�` bVc g�w�c�r.i t+q�t c g�{�^+b�cv` _�s s c t n._�o�g�i o�w|` _�}|}|m�o�g

� ��>�1���1���~ ��K��I����� �������

n�s _�g�q�` c t+e b�cv_�q�e n�q�ea��c h _ zv{

��������� ��������� ���������� !#" ��$�%���&�'���() �������+*,� ��-.� �) �������/� ��0�������1���*2��.3 4�5�6� ��-.� ��78��9���-��.� ��9�0�.� ��:�1�*�; 6 <�=�6 <�=.6 </� ��>.1#" ��?�KF1�?�!� 6�(A@

Page 25: Fast Field Solvers

��� ���D� � ����� ��� � ���V�D� ���� � � ���.� � � � �

� �������B�.�����.� ����� ��� ���D�E�  ����¡.���F��¢���£   ��¤�¥��,¦�§�¨  ����¡.���F��¢F��©�����£�� �.£�¤���£��.���   �����   �.¥��,ª����£   ¥�¤�£ �����   ��« ª�ª�ª�¬

­ £ �.���I®��   ®.£��F¦�¯�� ¯D� °�§�� � ¯���§�§�¦± ��¥ ���I².��¤ ¡.�����

³ ´�µ�¶�·�¸ ¶ ®�®�¹�º�»¼ ©��.£   ¥����   ����½������,¦´ ����¡�������¢B�.£����.� �.���   �  �¾ ¤�������¤�¥��V°¿ ������£�¤�¤B�.�����.� ����� ��� ����¢�£�À �����D�8�· � �.£�¤   ����¡.���F��¢B�.£   ��¤�¥A�,¦�§�¨´ ����¡����F��¢�À��   ½��.À ��������£   ��¤�¥��,¦�§�¨´ ����¡����F��¢�½�����¤���À ���.��ÀF�   ������¢�£�À��B��£   ��¤�¥��,ª´ ����¡����F��¢���²��   À��   ½��.À �����F�   ½.����¤���À ������À��   ������¢�£�À��B�.£   ��¤�¥A�,ª

´ ����¡�������¢FÀ��   ½���À �.���.¥A�E�µ ����À��   ��£ ¾ �F��¢����.¤ ��� �.¤�����¥�½��   �B¡������.¤ ��� �.��¤����Á¯�ª�Â

³ ·�¼ º�¹ ·�³�¿�´�­ ¹ · ¹¸ �.£����.�  �¾ �   À���¤����   �/« � Â�Ã�º ¿ ¶�µ ��¬�\¦B°�¨�¯�Ä

Å ¹ µ ¹ Å�³ · ¹ ´�Å�¼ ®�¹ · º ³�Æ�Ç ����À���¢�£���£�½.¥�

� Â�Ã�º ¿ ¶�µ ��� È�°�É ¨

Ê+Ë�ÌaÍ Î|Ï�Ð Ð�Ñ Ë�Ï�Ò�Ó�ÌaÔ Ò�Õ Ë�Ì�Ñ Ï�Ö�Ï�Ñ Ô Õ Ï�Ò�Ñ Ì+×�Ï�Ð Ø�ÌaÔ Ò�Ù�Ô Ñ Ï�Õ Ì Í�Õ Ë�Ï�ÕDÕ Ë�ÌaÍ Ì Ð Ú Û Ñ Ï�Ö�Ï�Ñ Ô Õ Ï�Ò�Ñ ÌaÜ ÚÕ Ë�ÌaÑ Ø�Ý�ÌÔ Í|Þ ß�à á�Ö�â�Õ Ü,ãaÔ Õ Ë�Ô Ò ��ä|å Ê+Ë�Ô Í�Ñ Ü�Î|Ö�Ï�æ Ì Í�ã�Ì Ð Ð�ãaÔ Õ ËEÜ�Õ Ë�Ì æ�Ò�Ø�Î|Ì æ Ô Ñ Ï�Ð+Ñ Ï�Ð Ñ Ø�Ð Ï Õ Ô Ü�Ò�ÍkÓ�Ô ×�Ô Ò�Ó×�Ï�Ð Ø�Ì Í+Ü Ú�Þ ß�à ç�Ö�â8Ï�Ò�ÙVÞ�ß�à á�Ö�â�è å

é�ê ëê ìîí�ï�ð ï�ñ ñ ò�ñ�íkñ ï�ó òVô�ï�õAï�ö�÷ ó ø.ðÊ+Ë�Ì�Ñ Ï�Ö�Ï�Ñ Ô Õ Ï�Ò�Ñ Ì�Ü Ú�ÏkÖ�Ï�æ Ï�Ð Ð Ì Ð.Ö�Ð Ï Õ Ì�Ñ Ï�Ö�Ï�Ñ Ô Õ Ü�æ�Ñ Ï�ÒIÝ.Ì�Ô Ò�×�Ì Í Õ Ô Ó�Ï Õ Ì ÙùØ�Í Ô Ò�ÓkÕ Ë�Ì À�£�� ¾ �   Ô Ò�Ö�Ø�Õú Ð Ì�Ó�Ì Ò�Ì æ Ï Õ Ü�æ å Ê+Ë�ÌvÑ Ü�Î|Î|Ï�Ò�Ù

À�£�� ¾ �  �û�  ¦�ªWüI¢�£�¥ ��À�£��

æ Ø�Ò�Í ¢�£�¥ �.À�£ � Ü�ÒvÕ Ë�Ì�Ù�Ô Í Ñ æ Ì Õ Ô ý Ï�Õ Ô Ü�ÒvÖ�Ô Ñ Õ Ø�æ Ì ÙkÜ�ÒvÕ Ë�Ì�Ð Ì Ú Õ�Ô Òvâ�Ô Ó�Ø�æ ÌDþ å Ê+Ë�Ì�Ö�Ï�æ Ï�Ð Ð Ì Ð�Ö�Ð Ï Õ Ì ÍAÏ�æ ÌÔ Ò ú Ò�Ô Õ Ì Í Ô Î|Ï�Ð Ð ÿ�Õ Ë�Ô Ò���Ü�Ò�ÌkÎ|Ì Õ Ì æaÜ�ÒVÏùÍ Ô Ù�ÌvÏ�Ò�Ù���à � Î|Ì Õ Ì æ ÍaÏ�Ö�Ï�æ Õ å�� Ï�Ñ ËVÖ�Ð Ï�Õ ÌvÔ ÍaÙ�Ô Í Ñ æ Ì Õ Ô ý Ì ÙÔ ÒIÕ Ë�Ì�Í Ï�Î|ÌkÎ|Ï�Ò�Ò�Ì æ�Ï�ÍaÕ Ë�Ì�Ñ Ø�Ý.ÌkÚ Ï�Ñ Ì ÍvÔ ÒIÕ Ë�Ì�Ö�æ Ì ×�Ô Ü�Ø�Í�Ì ��Ï�Î|Ö�Ð Ì��Ï�Ð Õ Ë�Ü�Ø�Ó�ËIÕ ã�Ì Ò�Õ ÿÁÖ�Ï�Ò�Ì Ð ÍÖ.Ì ævÌ Ù�Ó�Ì|Ï�æ Ì�Ø�Í Ì ÙÁÕ ÜIÝ�Ì Õ Õ Ì ævÏ�Ö�Ö�æ Ü ��Ô Î|Ï�Õ ÌkÕ Ë�Ì|Í Õ æ Ü�Ò�Ó�Ì ækÍ Ô Ò�Ó�Ø�Ð Ï�æ Ô Õ ÿ,Ô Ò,Õ Ë�Ì|Ñ Ë�Ï�æ Ó�Ì|Ù�Ì Ò�Í Ô Õ ÿÜ�ÒVÏ�Õ Ë�Ô ÒIÖ�Ð Ï�Õ Ì å Ê+Ë�Ì À�£ � ¾ �   Ñ Ü�Î|Î|Ï�Ò�ÙIÐ Ô Ò�ÌvÜ�Ö�Õ Ô Ü�Ò�Í+Ï�æ ÌkÍ Ø�Î|Î|Ï�æ Ô ý Ì ÙIÔ Ò���Ì Ñ Õ Ô Ü�Ò� å �å Ê+Ë�ÌÜ�Ø�Õ Ö�Ø�Õ�Ô Í+Ó�Ô ×�Ì ÒIÝ�Ì Ð Ü ã å� �� ��� �� � � ��� ��� ������ ��� �� � � "!$# % & ' ( ) * +�,.- /�* & 0 1 %�2�' & 3 1 4 5�0 %�6.1 & ' % & 0 * +87�3 ' 1 ) 9�* %�4:,�+ * 5 & 1 5 & * & 0 ; 5 !

�8< � � = ?> <�@BA = � � ! C�� ��� � �$!�D E F F

Page 26: Fast Field Solvers

G H IKJ�L8M:M"N M�OQPSR"T.U?V�R"W

X�Y Z�[S\ ]_^$`_a�bS]�c�d eSf$g�hji hBk�lnm o ] p q r�s�tSuvc�d�e$fSg hji�hSk$wxuSY y z \ ] q Y { s q Y |�tSy�| p:sx}Ss�\ s�o o ] o�}So s�q ]z s�}Ss�z Y q |�\ ~

��� h�h�� hSf��$dS� ��c�d�ejk�� l�� k�w��Sd��$�$k$�� h�e � ���x� �$�B� h� h�e � ��� �S� �Sd$c�g$������B� �$���� �$�B� h?��c���h$� � c �S� ��B� �S�$g��Q� � �$��� � k����_eS�$d �Bg�c�d eBd$c$� �B� ��  � ��¡jl�� � � ��g eBd � d ������h�� hS¢$k$l�g�¢Sl�� � �8£� � �Sg � eBg ��� � ����� ¤�� �S��� �h �$��¥ g � ���QeSd�hSg$�$����¦$l$lh �$��¥ g � ���§g�¨�� � d�g ¤Bd�� � d��B��� h§eS�S� h$�B���xl� � d h����$d ������h?��� l�lQl$�

© d �Bg��ª�S��hQ�Bd��§k�w � w�� w$k�� «$w � ���$k¬ �$� �?�ª¡B��� ¥ g � �

� ­����$®j¯ � ���S° �$±² ¨�eBd h������ hj� � �Sg � �xk­����$¥ g � ���veBd � �B� �B��� h�� hSfj��g�¤Sg$�$����«� ¤Sg � d$���veBg ��� � ����� ¤�� �S���Sd$c �S� � � �® � �Bd��vh �$��¥ g � ���veBd hBg��S�8��¦Sl�l­����$¥ g � ���jc���h$� � c �S� � eSd�hSg$�$����¦Sl�l­����$¥ g � �����S��g��$g$c � � ��c§� h$�Sg � �Sd$c�gveSd�hSg$�$���xl­����$¥ g � ���Q��¡�� h�c���h$� � c �S� � ��h��B��g$��gSc � � �$c�� h$�Sg � �Sd$c�gveBd hBg��S�8�xl

­����$¥ g � ���§c�� hS� � c �B� � �8�³k­ ��g�¨�eSd�hB�$����hB��d �j��g�¤Sg$�v«´� �$�   g$� �B�� g � c�g h$�Sd�f$g§��� ��� � ��� eB�$��g$�Q�$��hSg ¥ � ��� � ��� eB���$g��x¦$w�� µ$¶

� ®$²�� ° ®�����­Q© ° ® °¯ �Bd � �B� h$f§��hjc���� ��� h � � � ¶ ���B� �$��� �� kv·¯ �Bd � �B� h$f§��hjc���� ��� hjk�� k�¶ ���B� �$��� �� kv·�«

Page 27: Fast Field Solvers

¸$¹ º¼»�½ ¾ ¿�À�¾ ½$Á  Ã$Ä�»�½ Å.½�¿  Á ½�ÃB¿ Æ Ç È�É

Ê�Ë�Ì$Ë$ÊSÍ Î$Ë$Ï�Ê�Ð�ÑSË�Î$ÒBÍ�Ó�Ô�ÕBÖ ÕB×�ØSÖ�ÙSÖ�ÚBÛÜ Ý

Ü Þ$ß�ÒBà á$Ì�Ü�Ü â�ã Ü�Ý�ä$åçæ�â�ã Ü�â�è$éÝ�Þ$ß�ÒBà á$Ì�ÜvÝçæ�â�ã Ü�â�è$é â�ã Ü�Ý�ä$åê�ëSì:íBîSì ï�ðSñ ò ó ï ì ô ñ õ ö�ô ñ ÷�î_ñ ø ø ùSò ô ï ö�ô ì ð_÷�î_ô ëSì"ï ñ ú�ë�ô�ñ î_û�ñ ú�ùSï ì:ü�ñ ò?ñ îSýSù$ô�ô ÷ ØSÖ$Û þBÿ�Ö � ùSò ñ îSú

ô ëSì�ó ÷���� ö�îSðÿ�Ö������ Õjæ�ÕSÝ$åªØ$ÖSÛ þ�ÿ�Ö��

ö�îSð�ýSï ÷$ðSùSó ì ò?ô ëSì�÷�ù$ô ýSù$ô���ì ø ÷ ��Ò��$Õ�Õ�� Õ���Ø$ÖSÛ þ�ÿ�Ö��jÝ�ã â�� Ý�å�ÑSÖ����$Ý��Í Õ�����þ��xÛ þ$Ú�� ÕÍ Õ�����þ�Û �SÙ�ØSÖ$ÿ��$Û��ß�ÒBà á$Ì�ÜÛ þ$Ú�� Õ?Ô�ÿ�×�Õ$Ú��Bÿ þS×�Ùþ�� þ�������� Ü �$Ó�Ü �jÝ �!���$Ö þ���ÿ�Ö �BÖ$ÿ�� þB×�Ù#"�� þ�$jâ�ã Ü ��Û�� �BÖ�ÙSÖ þ���×�Õ � Õ�%$Ý$å#��%Sâ�ã Ü��'&× �$þ���Ù(����Ù���� þ�þ�� )�� þ��*� ÜÕ�����+���Ù§×�Ø��SÖ�Õ����$Û���Ü Ý$å�âÕ�����+���Ù§×�Ø,��-�þ$ÙSÖ#� )BÖ����SÖ�þ���× Õ,�S×�� Õ$þBÛ��xâþ$ÙSÖ Õ�Û��$Ö þ���×�Õ.�#� â�âQâ��

/BÖ þ����ªÑS×�ÕQÑBÖ��§Ý�åjÜ å*� å$å�� â�äjÜ����$Ý0B×$Û þ.�1$���� +���Ù�þ

Í Ï�Ì�á$Î32 á$Ñ�ÑSË�Ò�4Ð�-��BÖ Õ�Û���× Õj×�Ù�Ú���Ù.�xÝÏ�����+���Ù�×�Ø(�BÖ�Ù�þ�� þ���× Õ�� Õ��3����)����$Û��65à�)���Ù$Ö����(����Ù���� þ�þ�� )�� þ���ØSÖ$ÿ þS×�Ù*��ÜÎB× þBÖ��vÕ�����+���Ù§×�Ø(�BÖ Õ����SÛ'��Ü�Ý�å$âÏ�����+���Ù§×�Øjÿ�×�Õ$Ú��Bÿ þS×�Ù��SÖ�Õ����$Û���Ü�Ý�å$âÏ�����+���Ù§×�Ø�Ú��������$ÿ þ$Ù���ÿ,� Õ$þ���Ù�ØSÖ$ÿ��(�SÖ�Õ����$Û��xâÏ�����+���Ù§×�ØQþ�$�� Õ�ÿ�×�Õ$Ú��Bÿ þS×�Ù§×�Õ�Ú��������Sÿ þSÙ��$ÿ#� Õ$þ���Ù�ØSÖ$ÿ��(�BÖ Õ����SÛ'�xâ

Ï�����+���Ù�×�اÿ�× ÕSÚ���ÿ þB×�ÙBÛ'�³ÝÏ$×#��-��SÖ�ÕBÛ���×�ÕBÛ�Ö þ3����)����(5� �$× "��$Û þ��Ì���ÙSÿ�� Õ$þSÖ����§×�Ø������ þ�� �������$ÛQÚ$×�Õ��(+�������� þ�� �B×������xé�é?ã ��ÞÍ Î$Ð�ÒSË�Î�Í�à�Ï�/SË�ÎSË2 þBÖ�Ù�þ�� Õ��§×�Õjÿ�×������$Õ Ü7� Ü Þ$ß�ÒBà á$Ì�Ü��ÜnÝvè#52 þBÖ�Ù�þ�� Õ��§×�Õjÿ�×������$ÕjÝ�� Ý�Þ$ß�ÒBà á$Ì�Ü��ÜnÝvè#5

Ê�Ë�Ì$Ë$ÊSÍ Î$Ë$Ï�Ê�Ð�ÑSË�Î$ÒBÍ�Ó�Ô�ÕBÖ ÕB×�ØSÖ�ÙSÖ�ÚBÛÜ Ý

Ü Þ$ß�ÒBà á$Ì�Ü�Ü â�ã Ü�Ý�ä�8 æ$â�ã Ü â�5Ý�Þ$ß�ÒBà á$Ì�ÜvÝ æ$â�ã Ü â�5 â�ã Ü�Ý�ä�8

Page 28: Fast Field Solvers

9�9 :<;>='?�?A@ ?>B�C�DAEGF.H�DAI

J�K L�M�N O�P�Q.R�S�OAT�U�V W�X Y3Z�Y�[�\�K ] ^ N O _ K ` a _ K b�c!b�d'_ S�O 9feg9>h M�]�^ N b�] ] K c�L>i�N b h�j O k1l

m*n>_ S�O�] a�k�O�a�N L�M�k�O c�_*M�] O \�K c>i�N O o�K b�M�]*O p�a�k�i j O ] q�_ S�O ] O�^ a�i�a�^ K _ a�c�^ O ]*a�N O�a�^ ^ M�N a�_ O._ b>r�s�lR�S�O>O c�_ N K O ]�K c6_ S�O>^ a�i�a�^ K _ a�c�^ O>k�a�_ N K p6K c�\�K ^ a�_ O�_ S�a�_At�S�O cga!b�c�Ofo�b j _ u�] b�M�N ^ O>K ]A^ b�c�v

c�O ^ _ O \wa�^ N b�] ]�_ S�Of^ a�i�a�^ K _ b�N q�x�y r 9 P c�z�b�d*^ S�a�N L�Ofa�^ ^ M�k>M j a _ Ofb�c6_ S�Ofi j a _ Ofa _Ab�c�O�o�b j _Aa�c�\{ x�y r x�|�c�z}a�^ ^ M�kfM j a�_ OAb�c!_ S�OAL�N b�M�c�\�O \1i j a _ O�l*~#] k�a j j i�a�N _�b�dG_ S�OA^ S�a�N L�OAb�c�_ S�O�i�b�] K _ K o�Oi j a _ O�q�x�y r 9 P { x�y r x�|f��x�y x 9�� c�z�q�K ]*K c�\�M�^ O \f_ b�] M�i�i�b�N _.] _ N a n>O j O ^ _ N K ^.��O j \ j K c�O ]'_ O N k�K c�a _ K c�La _>K c���c�K _ n�q't�S�K j O>_ S�O!N O k�a�K c�K c�L1x�y r x�|�c�z3b�d�^ S�a�N L�O!K ]fK c�\�M�^ O \ h nw��O j \ j K c�O ]f] _ a�N _ K c�L6b�c_ S�O>i�b�] K _ K o�O>i j a�_ O>a�c�\gO c�\�K c�L1b�c6_ S�O�L�N b�M�c�\�O \�i j a _ O�l>� d._ S�O>L�N b�M�c�\�O \gi j a _ O�� ]�i�b _ O c�_ K a jK ]�^ S�a�c�L�O \�q'_ S�O c�a�cgO j O ^ _ N K ^f��O j \ h O _ t.O O c�K _fa�c�\�K c���c�K _ ngK ]�i�N b�\�M�^ O \�q*L�K o�K c�L1K _ ]�^ S�a�N L�Oa�] _ N a n1��O j \6^ b�k�i�b�c�O c�_ l�R�S�M�] q�_ S�Ofk�b�] _Aa�^ ^ M�N a�_ Ofk�b�\�O j d b�N�_ S�Of] _ N M�^ _ M�N O>K c1a�c6O j O ^ _ N K ^^ K N ^ M�K _�^ b�c�] K ] _ ]�b�d*_ S�N O O�K \�O a j ^ a�i�a�^ K _ b�N ] Q�a6x�y x 9�� c�J(^ a�i�a�^ K _ b�N�d N b�kO a�^ Sgi j a�_ Of_ O N k�K c�a j_ b!L�N b�M�c�\w_ b!k�b�\�O j ] _ N a n6��O j \wO ��O ^ _ ] q'a�c�\wa1x�y r x�|�c�J(^ a�i�a�^ K _ b�N h O _ t.O O cg_ S�Of_ t�b!_ O N k�K vc�a j ] l}� c}^ b�c�_ N a�] _ q._ S�O1k�b�\�O j b h _ a�K c�O \�t�K _ S�b�M�_�����V ����� �}K ]�ag] K c�L j O1^ a�i�a�^ K _ b�N h O _ t�O O c_ S�O1_ O N k�K c�a j ]ft�K _ S�o�a j M�O1i�N b�i�b�N _ K b�c�a j _ bg_ S�O6K c�o�O N ] O6b dA_ S�O6i j a�_ O1] O i�a�N a _ K b�c}\�K ] _ a�c�^ O q� � � x�y r J��(x�y x�����c�J.l�R�S�K ]�k�b�\�O j ^ b�k�i j O _ O j n1c�O L j O ^ _ ]�] _ N a n!��O j \1O ��O ^ _ ] l

��� �G� ���>�'�!�f� ��� � � �'����� ���'  ¡�¢R�S�O!��c�a j ] K k�i j O!O p�a�k�i j O!a�i�i j K O ]>����V ����� ��_ bw_ S�O h M�]>^ N b�] ] K c�LgL�O b�k�O _ N n�K j j M�] _ N a _ O \�K cJ�K L�M�N O�P�l�R�S�O�K j j M�] _ N a _ O \f\�K ] ^ N O _ K ` a _ K b�c>K ]�L�O c�O N a _ O \>K c�L�O c�O N K ^.� j O.d b�N k�a�_ h n>_ S�O�i�N b�L�N a�kT�U�V W�X Y�q�t�S�b�] O.b�i�_ K b�c�]Ga�N O*] M�k�k�a�N K ` O \�K cf£�O ^ _ K b�c 9 l ��l'¤A] K c�L�a�^ b�k�k�b�c�i�a�c�O j K c�L�] _ N a _ O L n�qT�U�V W�X Y���N ] _ h N O a�¥�]*_ S�O�^ b�c�\�M�^ _ b�N ].K c�_ b�^ M h K ^�] O ^ _ K b�c�]A¦ ] O OAJ�K L�M�N O���§�a�c�\>_ S�O c h N O a�¥�]*_ S�OO p�i�b�] O \1d a�^ O ]�b�d�O a�^ S6] O ^ _ K b�c6K c�_ S�O�] a�k�OAt.a n6a�]A� U�T�X�W�X Y�¦ ] O Of£�O ^ _ K b�c 9 l |�l 9 § lR�S�O�\�K ] ^ N O _ K ` a _ K b�c!b�d�J�K L�M�N OfPfK ]�K c�i�M�_�_ b�����V �������1t�K _ S!_ S�O�^ b�k�k�a�c�\¨ ©Gª ª�«�¬ ­ ® ¯ ­ ° ± ª ²G± ³ ®'³ ® ´ ® ³ ® ¯�µ ® ¶�­ ¬�­ · ®�«�¬ ­ ® ¯ ­ ° ± ª�± ­G° ¯ ¸ ¯ ° ­ ¹ º

Page 29: Fast Field Solvers

»�¼ ½¿¾*À Á Â�Ã�Á À�Ä Å Æ�Ç6¾*À ÈGÀ�Â Å Ä À�Æ�Â É Ê Ë Ì

section

Í�Î Ï�Ð�Ñ ÒAÓ�Ô*Õ�Ö�Ò�× Ø�Ù�Ú�Ð�× Û Ø�Ñ Ü�Ý�Ñ ÒAÞ�Ñ Ø�ß�Ò Ù6Î Ù�Û Ø>Ü Ò × Û Î Ø�Ù�Ü�Þ�Ý�Ü Ò Ú6Ø�Ù1à�Ö�Ò Ñ Ò�Û Ö�Ò á1Ø â�Ò Ñ ã Ý�ä�å

æ�ç�è é�ê ë3ì�ë�í î!ï�ð�è ñ�ò�ð�óÝ�Ù�Ú6ä�Ñ Ø�Ú�Ð�× Ò Ü.Û Ö�Ò�Ø�Ð�Û ä�Ð�Û�Þ�Ò ã Ø à�åô�ç�ë�ë�õ ë�é#ï�ð�è ñ�ò�ð�ó3ö�÷ ø�ù ö�í�ú�ð�û�ü�ö�ýþ ë�ó�ç�ñ�ÿwè ñ���õ ëþ ë�ó�ç�ñ7è ç���ï�ð�ò�ê�è�ÿ��ô�� ���è ñ���õ ë���ò� �ë���ç�ò ñ� ��ñ�õ ñ���ê�ÿ�� ö���ö(æ�ç�è#ò �� �è�è�õ ë�é�ó��� �æ���ê ����õ ñ��� ����õ���ê�è ù ë���í�ê���ø*÷ �ý�� ç�ñ�ê��(ó�ê�����õ ñ�ñ�õ ��õ ñ�û*ÿ�ë�ç���æ�ê��� �ï�ó�ð�ë�ê���è�ÿwö�ö�ø�øë�ç���æ�ê��� �ï,ê���ñ���ð#ê ��ð���ç�ð�ñ�õ� ë,ó� �õ ë�ñ�è�ÿwøñ���ð ë�è���ð ñ�õ� �ë.ÿ#ù ø#ø�ø�ý

�ð ñ�ê�ÿ1ú� �ë�ú�ð�û,ö�í! í*ÿ í�"*ÿ #�í!�ü�ü�ö$� �è ñ.ÿ%��õ�� æ�ê���ñ

þ &�����'!( ��ú�ú�)�ô�*+���ó�ð ë�è�õ� ë! �����ê��.ÿwö&�ç���æ�ê��� �ï(ó�ð���ñ�õ ñ�õ� ë�õ ë�é!��ê���ê���è�ÿ-,����ê���ð����(ó�ê�����õ ñ�ñ�õ ��õ ñ�û#ï�ð�ò ñ� ��*ÿ.'� ñ�ð��(ë�ç���æ�ê��� �ï(ó�ð ë�ê���è'ÿwö�ö�ø�ø&�ç���æ�ê��� �ï3ò� �ë���ç�ò ñ� ���ó�ð�ë�ê���è�ÿwö�ö�ø�ø&�ç���æ�ê��� �ï���õ�ê���ê�ò ñ���õ�ò,õ ë�ñ�ê���ï�ð�ò�ê(ó�ð�ë�ê���è�ÿwø

Page 30: Fast Field Solvers

/ 0 132547686:9 65;�<�=:>�?�@A=:B

C�D�E�F�G�H�I�J�K�LM NPO�I�N�Q�D�O K�I�H�I�N�Q�M�G�R�G�O K�H�M�O�M N�K�G�H�J�S�O�GUT�S N�G�R�V7WYXC�D�E�F�G�H�I�J�O�I N�Q�DO K�I�H�V7WYZ

[�G�H�O�G N�K�S�\�G�I�J�E�D�R KM T�R�M�G�V�Q�I�N�GUF�]�E�D�R KM T�I�R�GAWY^�_a` b�c

d e�f�g�h�ed�i�C�j�h�e�hk K�S�H�K�M N�\�I�N!O�I�R�D�E�N�lPm l c�n�g�i o�[l�plrqUb�Z�s�tk K�S�H�K�M N�\�I�N!O�I�R�D�E�N!qum q�c�n�g�i o�[l�plrqUb�Z�s�tk K�S�H�K�M N�\�I�N!O�I�R�D�E�N�bvm b�c�n�g�i o�[l�plrqUb�Z�s�tk K�S�H�K�M N�\�I�N!O�I�R�D�E�N�Zvm Z�c�n�g�i o�[l�plrqUb�Z�s�t

w�h�[�h�w�d e�h�C�w�f�x�h�e�g�d�yAz-TM�O�I�J�S�H�S�Q�Vl q b Z

l c�n�g�i o�[l�l q�Z�{a` ^ |�^�sa` X�l |�Z�^�` s�b |�Z�^�` s�bq�c�n�g�i o�[lUq |�^�sa` X�l q�Z�{a` ^ |�Z�^�` s�b |�Z�^�` s�Zb�c�n�g�i o�[lrb |�Z�^�` s�b |�Z�^�` s�b q�Z�{a` _ |�^�Z�` _�_Z�c�n�g�i o�[lrZ |�Z�^�` s�b |�Z�^�` s�Z |�^�Z�` _�_ q�Z�{a` _

}7~Y� ��� � �.� ����� ������� � � ����� ������� ��� � �A� ������� � � � � � � � � � � ~��.~ �:�A� ����� �%�-� �5� � ����� ��� ~-� �����5� ��� �� � � � � ~��-�����8� � ��� �-������� � ��~��%��� � ��� �a}�������� ����� � � � � � � � ��� � ~��%� ��� ��������� ~ J�S�V KO�S�T ��� � ���

F�DV \�G N!|�N�{���J�S�V KO�S�T

�8��� � �%��� ��� ��� ����~���� �����:��� � ~ ���

g�D�N�NM N�\�J�S�V KO�S�T!qA` Xum q�s�x�S�]�_�q�pd N�T�D�K�WYV K�Q�M Nd N�T�D�KPV D�H�J�S�O�G�VAWn�g�i o�[lV K�Q�M N�z.O�I�N�Q�D�O K�I�HK�M K�R�GAW�� q�y�qUF�D�V�O H�I�V�V�M N�\�T�H�I�F�R�G E� M K�L�l E� �M�H�G�V�m N�¡�{�G�¡�Xa` l�p�¢I D�K�G�HUT�G�H�E�M K�KM £M K�]aW�lN�D�E�F�G�H�I�J�T�S�N�G�R�VAW-Z�bl qN�D�E�F�G�H�I�J�G�¤�K�H�S�G £�S�R�D�S�K�M�I N�T�I�M N�K�VAWYXK�H�S NV�R�S KM�I�N�W�m X�X�X�p

j�S K�GAW%x�I�N�x�S�]�q�s!l taW X�sAW b�s!l�_�_�q¥�I�V K�WYR�G�M F�N�M K�¦

d C�[�o�e!k o�x�x�h�g�§f�¤�T�S NV�M�I N!I�H�Q�G�H�WYqC�D�E�F�G�H�I�JUT�S�H�K�M K�M�I NM N�\!R�G�£�G�R�VAWYsi�£�G�H�S�R�RUT�G�H�E�M K�KM £M K�]�J�S�O K�I�HaW.le�I K�S�RUN�D�E�F�G�H�I�JUT�S N�G�R�V7W-Z�b�l�q

Page 31: Fast Field Solvers

¨�© ª¬«a­ ® ¯�°�® ­�± ² ³�´-«a­ µ�­�¯ ² ± ­�³�¯ ¶ · ¸�¹

º�»�¼�½�¾�¿�À�Á!Â�À�Ã�Ä�»� Å�À�¿�Æ�Ç�Ã�¾�È�ÉAÊ-Ë�Ì�Í�κ�»�¼�½�¾�¿�À�Á�Ä�Ï�¾�È�¾� Å�¿�Ï�Â�Ï Ã�Å�¾�¿�Á�Ç�Â�¾UÆ�Ç�Ã�¾�È�ÉAÊYк�»�¼�½�¾�¿�À�Á�Å�ÑÏ ÃPÂ�À�Ã�Ä�»� Å�À�¿�À�Ã�Ä�Ï�¾�È�¾� Å�¿�Ï�Â�Ï Ã�Å�¾�¿�Á�Ç�Â�¾UÆ�Ç Ã�¾�È�É7ÊYÐ

º�»�¼�½�¾�¿�À�Á�Â�À Ã�Ä�»Â Å�À�¿�É7ÊYËÒ�¾�¿�Â�¾ Ã�Å�Ç�Ó�¾�À�Á�¼�»�È ÅÏ Æ�È�Ï�¾�É�Ä�À�Ã�¾U½�Ô�¼�»�È ÅÏ Æ�À�È�¾AÊÖÕ�×aØ Ì�Ù

Ú Û�Ü�Ý�Þ�ÛÚ�ß�º�à�Þ�Û�Þá Å�Ç�¿�Å�Ï Ã�Ó�À�Ã!Â�À�È�»�¼�Ã�ÍPâ Í Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍ�åÍrÎUÌ�Ë�×�æUç�è�Õ�Í�Ð�Í�Íá Å�Ç�¿�Å�Ï Ã�Ó�À�Ã!Â�À�È�»�¼�Ã!Îuâ Î�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍ�åÍrÎUÌ�Ë�×�æUç�è�Õ�Í�Ð�Í�Íá Å�Ç�¿�Å�Ï Ã�Ó�À�Ã!Â�À�È�»�¼�Ã�Ìvâ Ì�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍ�åÍrÎUÌ�Ë�×�æUç�è�Õ�Í�Ð�Í�Íá Å�Ç�¿�Å�Ï Ã�Ó�À�Ã!Â�À�È�»�¼�Ã�Ëvâ Ë�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍ�åÍrÎUÌ�Ë�×�æUç�è�Õ�Í�Ð�Í�Í

é�Þ�Ò�Þ�é�Ú Û�Þ�º�é�Ü�ê�Þ�Û�Ý�Ú�ëAì-ÆÏ�Â�À�Á�Ç�¿�Ç�Ä�ÉÍ Î Ì Ë

Í Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍ�Í Î�Ë�èaØ Î í�è�×aØ Í è í�Ë�è�Ø æ�Í í�Ë�è�Ø æ�ÍÎ�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍUÎ í�è�×aØ Í è Î�Ë�èaØ Í í�Ë�è�Ø æ�Í í�Ë�èaØ æÌ�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍrÌ í�Ë�è�Ø æ�Í í�Ë�è�Ø æ�Í Î�Ë�èaØ Ì í�è�×AØ ÎË�Ù�ã�Ý�ß ä�ÒÍrË í�Ë�è�Ø æ�Í í�Ë�èaØ æ í�è�×AØ Î Î�Ë�èaØ Î

î�ï�ð�ñ ò�ó�ô ôõ ï�ó�ö�÷�ð�ø ö�ù ï�ð�õ ó�ú�ó�õ ø ù ó�ö�õ ð ñ�ó û ù ð ü�ù ï�ð:ü ð ý�ö�ð ò�ð ö�ù:þ û7ù ï�ð�ÿ�ø ñ õ ü ð ù ø � ó�ù ø þ�ö%ø ö�ÿ�ø õ ó�ù ð ñù ï�ó ù�ù ï�ð ñ ð���ó�ô ��ð ñ8ó�ü ð�ó�õ õ ��ü ó�ù ð:ù þ�� ���

� � ��������� ����� ������� !��#"$���#���#!� � ���î�ï�ð%ô ø ñ ù5ý�ô ð Â�À�Ç Å�¾�Ä#%�É Æ�Ñ�Ø È�É Å ÿ�ð ñ õ ü ø &�ð ÿrø ö('�ð õ ù ø þ�ö��)� *Öü ð ú�ü ð ñ ð ö�ù ñ�ó+��ö�ø ù�ü ó�ÿ�ø ��ñ5ñ ú�ï�ð ü ðõ þ�ó ù ð ÿ-,8ø ù ï�ó���ö�ø ù�ù ï�ø õ .�ö�ð ñ ñAÿ�ø ð ô ð õ ù ü ø õAó�ñ7ø ô ô ��ñ ù ü ó ù ð ÿ�ø ö-/Aø ÷���ü ð ¸ �10 û�ù ï�ð�õ þ�ó ù ø ö�÷8ï�ó�ñ7ü ð ô ó�ù ø ��ðú�ð ü ò�ø ù ù ø ��ø ù 2 ¸ ó�ö�ÿÖù ï�ð%ñ ��ü ü þ)��ö�ÿ�ø ö�÷Yü ð ÷�ø þ�ö.ø ñ�û ü ð ð%ñ ú�ó�õ ð 3aù ï�ð�ñ ù ü ��õ ù ��ü ð%ï�ó�ñ5õ ó�ú�ó�õ ø ù ó�ö�õ ð� 4�5�6 * ¹ ú#/7&�298�ó)��ñ ñ : ñ<;7ó ,-�aî�ï�ð�õ þ�ò�ò�ó�ö�ÿ

Á�Ç�É ÅÂ�Ç�Æ!í�È�Â�À�Ç Å�¾�Ä#%�É Æ�Ñ�Ø È�É Å÷�ð ö�ð ü ó�ù ð ñ�ù ï�ð�þ���ù ú#��ù

Ý�»�Ã�ÃÏ Ã�Ó�Á�Ç�É ÅÂ�Ç�Æ!ÎAØ Ðuâ Î�×�ê�Ç�Ô�Õ�Î�åÚ Ã�Æ�»�Å�ÊYÂ�À�Ç�Å�¾�Ä�%�É Æ�Ñ�Ø È�É ÅÚ Ã�Æ�»�ÅPÉ »�¿�Á�Ç�Â�¾�ÉAÊã�Ý�ß ä�ÒÍÉ Æ�Ñ�¾�¿�¾�ÎaØ Ã�¾ »�ì�Â�À�Ã�Ä�»� Å�À�¿Å�Ï Å�È�¾AÊ�= á�Ò�>�Ü�Ý�ÜaìYÝ�Þ�à�Ú ä�á!Í�ì%Ü#?�Ü�ê@?�Ü�º@A�ÐAØ Î�BÀ »�Å�¾�¿UÆ�¾�¿�¼�Ï Å�ÅÏ CÏ Å�ÔaÊÖÎÃ�»�¼�½�¾�¿�À�Á�Æ�Ç�Ã�¾�È�ÉAÊ-ç�æ�èÃ�»�¼�½�¾�¿�À�Á�¾)D�Å�¿�Ç�¾ C�Ç�È�»�Ç�Å�Ï�À Ã�Æ�À�Ï Ã�Å�ÉAÊYÐÅ�¿�Ç ÃÉ�È�Ç ÅÏ�À�Ã�Ê�â Ð�Ð�Ð�å

Page 32: Fast Field Solvers

E F GIHKJ�L$L�M LKN�O#P�Q RTS1P�U

V)W�X Y�Z#[\�] ^#_�` a�b�c)d#c#e�f g�c hTi+j�])c�k�c#l m#d#]�l@] g�m�c)d�n�o#l)cm�] m#k�c1p�q r)Z�s�t�W�tuivW�w�x�y Y#r@[1i�t#z)t�{@z�t�|@}@~1f ���a#c�d)��] m�m�] ��] m�]�c�`1p+[�� ] g�g�c)d���e�� � h�m#c�d#�g�h���\�c)d��)n�a#o)g#c�k�`1p9���#[g�h���\�c)d��)n�c)��m�d#o@c ��o�k)h#o)m�]�� g�a#�#] g�m�`1p9�����m�d#o g�`)k�o m�])�)gTp@� ~@~�~��

x�o m�c1p�{#�)g�{�o)��[���e �up ~�[1p e ��e)����[s���` mTp�b�]�k \�c)d�m

y |�Z�Y���r Y�{�{#w)W��t#�)a�o g�`�]�� g���d�j#c)dTpv[|�h���\#c�d@��n�a�o)d�m�] m�]�� g�] g#^�k�c)�#c�k�`1p9�X)�#c�d�o�k�k�a�c)d���] m�m�] ��] m#�@n#o�l m#��dup7e��� m�o�k�g�h���\�c)d���n�a�o g�c�k#`�p7e)[�~�~|�h���\#c�d��)n�l)�)g�j�h�l m#��d�a#o)g#c�k�`1p9�#�)�|�h���\#c�d��)n@j#]�c�k�c�l m�d�]�l�] g�m#c�d�n#o�l�c�a#o)g#c�k�`1p9���#[|�h���\#c�d��)n�m�b�] g�l)�)g�j�h�l m#��d��)g@j�])c�k�c#l m#d#]�l@] g�m#c�d�n#o�l�c�a�o g�c�k#`�pv~

|�h���\#c�d@��n�l�� g#j)h�l m��)d�`�p�e|��@c)��a#o)g�`�])�)g�`@o m�k�c)�#c�k���� k�� ��c�` m��Z#c�d#l�c g�m#o�^�c��)n���h�k m�] a�k�]�c�`�j��)g#c�\�����h�k m�] a���k�c1p+��~uf ���

y ��t�W#w)��y)X�|�x#w)�#wr m�o)d�m�] g�^��)g�l���k)h���g�e�� r Z�s�t�W�t#��V�W#X)Y�Z e)�e([��

��w�Z�w��#y ��w�|���t@{#w)��W�y)�1i9g�o g��)n#o)d#o)j�`e

r Z�s�t�W�t#��V�W#X)Y�Z e�e ~uf e ������<�#�-�  )¡£¢#¤�¥ � ¦�� §�¢#§)� ¨ ¥ §)©#� �-¨ ªT«T� ¬ ¬�«$¨ ¥ �#¨ ©9­)®�  ¯�¥ �#�-§�©#§)¬ °�¥ ¨ �$±)§)¬ ¤#�)²

³�´ µ ´ ¶¸·º¹ » ¼7½�¾ ¿�ÀT» Á £Ã<» ¾ ¿9Ä$Å Æ#¼7½�¾ ¿Ç ª ¨ ¡£¢#¬ ��� È#§)¡£¢#¬ ��¥ �#§ ¥$¤#ª � ª$§K¬ ¨ ª ¥<É�¬ �-¨ ª<Ê)� ©#� Ë §)¥ � ¦�«$¨ ¥ ��¥ �#�-�  �¡£¡£§)©#¦

m#c#` m#^�c)gTf ` b�<�#��ª � Ë ¨ ¢�¥ m�c�` m�^#c g<f ` b ¤#ª � ªK¥ �#��Ê)� ©#� Ë ¨ �£¯  �Ë ¡£§ ¥K¨ ©#¢#¤�¥�É�¬ ��Ê�� ©#� Ë § ¥  �Ë ª l h�\�c)^#c g�Ìu\�h�` ^#c g§)©#¦ a���d�o�^�c)g ¥  £� Ë � § ¥ ��¨ ©#¢#¤�¥<É�¬ � ªT¥ �#§)¥$§�Ë ��¬ ¨ ©#Í)� ¦�¥  )Ê�� ¥ �#� Ë<Î�°�§£¬ ¨ ª ¥TÉ�¬ � m#c#` m<f k#` m�Ì

ÏÏ m�c�` m@^#c��)�#c)m�d���m#��` b�� �@b#�)��] g�m�c)d�n�o#l)c��#��d)Ð�`Ï�Ñ o�a���d�o)��])j1i+o)g@z Ñ ` b#o)a#c@o)g�j�o�e ��e�\�h�`(��] g#^�\�m���g@^�g�j�a#k�o g�c�`Ï�Ñ m��#��j#]�c�k�c�l m�d�]�l�`)k�o \�`(\#c)m���c�c)g�^�d#� h�g�j�a�k�o)g#c#`ÏÏ�Ï a���d�o)��])j�� `�] g#^�k�c�l�� g#j)h�l m��)d�] g�] m�`�� ��g@n�])k�c��

Page 33: Fast Field Solvers

Ò�Ó ÔÖÕu× Ø Ù)Ú)Ø ×�Û Ü Ý�Þ9Õu× ß ×�Ù Ü Û ×)Ý�Ù à á â)ã

ä�å æ ç#è�é#ê ë�ì íTå î�ï�ì�ðÖñ�ò@ñó�ó ð ô�ð7õ�ï�ö@÷ é#ø�ö�ö�ì ù�úüû ö�ì ù#ú�ý�þ�ÿ#ì�ý�þ���ì ���@ë�ï#ý���ì ç#ý�þ�÷)ø)ù�í�ï�÷ �#ø�é#ö����� �ä�å æ õ�ï�ö1å î�ï�ì�ðÖñ@ñ�ñó�ó���� ö ��ê ç�þ)í�÷)ø)ù�í�ï�÷ �#ø�é�û ö�ì ù#ú�ý�þ@ø)õ ��þ�÷ ��õ�ï�ì�ý ��ÿ�é�ø)ë@ò�ö)þ)ç#ê�é�ê��#þ�ÿ�ì)ý�þ�ö��ä�å æ�ý#÷ ù���éTå î�ï�ì�ðÖñ�ñ�ñ��ä�å æ�ý�ý�þ�ÿ��<å î�ï�ì�ð ð(ñ�ñ��ä�å æ�ý�é#ì)ú����Tå î)ï�ì�ðÖñ�ð�ñó�ó ú�é#ø ï�ù�í�ç�ý�ê)ù#þ#ö�û ï�ö)þ@ø)ÿ�ö)ê)ë#þ�ÿ�ì)ý�þ�é#þ ç�þ�ê��#þ�í�ý�è �ä�å æ ç�ý�ê)ù#þuå î�ï�ì�ð � ð � ð � ð��ä�å æ ç�ý�ê)ù#þuå î�ï�ì�ò � ð � ð��ó�ó í#ì�þ�ý�þ�÷ ��é�ì�÷�ì ù��#þ�é�ÿ#ê�÷�þ û ö)ê)ë#þ�ÿ�ì)ý�þ�ê#ö(ú�é�ø)ï�ù#í�ç#ý�ê ù�þ�ö���üå æ ç�ý�ê)ù#þuå î�ï�ì�ò�ð � ð � ð�� ñ@ñ��üå æ�ö ��ì)é��<å î�ï�ì�ð�ò � ð � ð�� ñ@ñ��Tå � ���� ��� � �! " � #%$ �& ' ( ' ) '* �+-,.��/�� ,�#0( 1�& � 2�)3) �,�&�465 ' � ,��7� 1�$ �& 1 8 $ ) ��3,�& 1�,�93:;9�! 8 '$ � �' ' ( & <�=>��� �0) � � � �*$ �& 1 8 $ ) �� '-,�� �*!7� ) ?�� � &@) ?A �� �� ( B �&�) ,�"C<�� �8 & 1.� " ,�& � ' =>��� �08 � �D� �<�� �8 & 1� " ,�& �@� ,�'3,�1 ( � " � $ ) � ( $�$ �,�) ( & <.?E( ) �� � " ,�) ( F����7� � #0( ) ) ( F�( ) /�G =H��� �@<�� �#0� ) � /( '( " " 8 ' ) � , ) � 1*( &3IC( <�8 � �KJ�=��� �K$ �#0#0,�& 1

ÿ�ê#ö ��÷)ê)ç � ý��#þ#ö �<å ý#ö �

� � �1 8 $ � '�) � �K �8�) � 8�)

L�ï�ù�ù�ì ù#ú@ÿ�ê#ö ��÷)ê)çNM1å ñ�û M���O#ê�è�P�M��Q ù�ç�ï���R�å æ ��þ�ö �Tå ý�ö �Q ù�ç�ï���ö ï#é�ÿ#ê�÷�þ�öCR��L7S ��T�ðç#è�é#ê ë�ì íTå î�ï�ìVU�÷)ø)ù�í�ï�÷ �#ø�é��ì �#ý�þCRW ð ë�X�ð ë X�ð ë@ç#è�é#ê ë�ì í�û ù�Y�ò�þ�Y#ñ1å ð��VZø ï��#þ�é�ç�þ)é�ë�ì ����ì [�ì �#è\R�ðù�ï�ë�õ�þ)é�ø)ÿ�ç#ê)ù#þ�ý�öCR9ò�]ù�ï�ë�õ�þ)é�ø)ÿ�þ)ô���é#ê@þ [�ê�ý)ï#ê���ì�ø ù�ç#ø#ì ù���öCRvñ��é#ê ù�ö)ý�ê ��ì)ø)ùAR@û ñ�ò@ñ��

��7�õ�ï�ö1å î�ï�ìVU7÷)ø)ù�í�ï�÷ �#ø�é��ì �#ý�þCRW ð X�ð�õ�ï�ö@÷ é#ø�ö�ö�ì ù�ú�ç#é�ø)õ#ý�þ ë;��ì ����ð ë;��ì)é�þ#ö�û ù�Y�ò@þ�Y�ñuå ð��6Zø ï��#þ�é�ç�þ)é�ë�ì ����ì [�ì �#è\R�ðù�ï�ë�õ�þ)é�ø)ÿ�ç#ê)ù#þ�ý�öCR�M���Mù�ï�ë�õ�þ)é�ø)ÿ�þ)ô���é#ê@þ [�ê�ý)ï#ê���ì�ø ù�ç#ø#ì ù���öCRvñ��é#ê ù�ö)ý�ê ��ì)ø)ùAR@û ñ@ñ�ñ��

��L7S ��T�òý#÷ ù���éTå î�ï�ìVU7÷�ø ù#í)ï�÷ ��ø)é��ì �#ý�þCRW ð ë�X�ð ë X�ð ë�÷ ï�õ�þ�û ù�Y�ò�þ�Y#ñ1å ð��VZø ï��#þ�é�ç�þ)é�ë�ì ����ì [�ì �#è\R�ð

Page 34: Fast Field Solvers

^ _ `badcVeEegf edhi jgk6lAmCjgn

oCp q�r s tgu v\w�x tKy p z0{ | tE} t y }E{ s ~�� | t z3�

Page 35: Fast Field Solvers

��� ���\� � ����� ��� � ���>�\� �6��� � � ���7� � � � �

�������7�������� ��� �����C >¡�¢�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ §;§§�©

��������¤�ª «��7¦V¬.­�� � ®��D­ ¤7���¤7¦ ¤ ���C ¯ ° ��±D° � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´�¡���´ §Cª °�©Vµ� ��¤ �����7�����7¦ ¤�¤D¦ ¥D¦ ¤ ¶\ �°�������7�������� ��� �����C >·�¸�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ °�§§�©

��� ¦�¹�º�¤Aª «��D¦6¬�­�����®��7­ ¤ ���¤7¦ ¤ ���C ¯ ° ��±D° � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´�¡���´ §Cª °�©Vµ� ��¤ �����7�����7¦ ¤�¤D¦ ¥D¦ ¤ ¶\ �°�������7�������� ��� �����C >·�¸�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ §N°�§�©

»�¼7½ ¾�¿ ·�7����� �\ª «��7¦V¬.­�� � ®��D­ ¤7���¤7¦ ¤ ���C ¯ À���± ¢ � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´D° §;��´�§ ©6µ� ��¤ �����7�����7¦ ¤�¤D¦ ¥D¦ ¤ ¶\ �°�������7�������� ��� �����C .°�°�§�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ Á7°�Á7°�Á7°�©

�7����� �\ª «��7¦V¬.­�� � ®��D­ ¤7���¤7¦ ¤ ���C ¯ À���± ¢ � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´D° §;��´�§ ©6µ� ��¤ �����7�����7¦ ¤�¤D¦ ¥D¦ ¤ ¶\ �¡�������7�������� ��� �����C .°�°�§�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ Á7°�Á7°�¸ ©

»�¼7½ ¾�¿ ¸�7����� �\ª «��7¦V¬�®7¦������ ­ ¤ � ¦�­;¦ ��¤7������� ­��¤7¦ ¤ ���C ¯ À���± ¢ � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´D° §;��´�§ ©6µ� �����D¦ ¤�¤7¦ ¥7¦ ¤7¦����C �°²¨ ¦ ���7���7©�¡Â¨ � ��¤ ��� ©�������7�������� ��� �����C .°�°�§�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �Ã�Ã�§¤�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ Á7°�Á7°�·7©

»�¼7½ ¾�¿ ¢� Ä7¦���¤�ª «��7¦V¬�®7¦������ ­ ¤ � ¦�­;¦ ��¤7������� ­��¤7¦ ¤ ���C ¯ À���± ¢ � ±7° �²­ ���7�³¨ ��´ Ã;��´ §�©Vµ� �����D¦ ¤�¤7¦ ¥7¦ ¤7¦����C �¡Â¨ ¦ ���7���7©�°²¨ � ��¤ ��� ©�������7�������� ��� �����C .° §�·�������7����������£�¤�� �;� ¥7����� ��¤7¦�� ��� � ¦ ��¤7�C �Ã�§�Ť�� � �D����� ¤D¦����A ;¨ Á7°�Á7°�·7©

Æ � ¤7�C 3Ç ���Ç7��¶�Ã�¸N° ¢\  ¡�Å\  ·�À²°�È�È�ÃÉ ��� ¤A 3º7¦�� �7����¤

Page 36: Fast Field Solvers

Ê�Ë ÌbÍdÎVÏEÏgÐ ÏdÑÒ ÓgÔ6ÕAÖCÓg×

Ø Ù�Ú�Û�ÜNÝ Û�Þ�Þ ß�à�áâ ã�ä7å æDç�è�é æNé�ê�ë ì�êAí�îÙ�ï�ð�ñ ì�ê;é�ò�ä7å�ê�ó7è ó7è�é æDè æ ôNõ�ì�ö ì�õ�çCí>÷ø�ö ì�ê�å�õ�õ�ä7ì�ê�ð7è ó�óDè öDè ó ù;ò å�ú ó é�ê\í.ûÜ7é ó7å�õ�æ�ï�ð�ñ7ì�ê�é�ò�ä7å æ7ì�õ çVí>ü�÷�ýÙ�ï�ð�ñ ì�ê�é�òNú�é�æ�ë�ï7ú ó é�êä å�æ ì�õ�çCí�þ�ÿ��Ù�ï�ð�ñ ì�ê�é�ò;ë è�ì�õ�ì�ú ó�ê7è�ú�è æ�ó ì�ê�ò å�ú�ì�ä å�æ ì�õ�çCí�î û ÷Ù�ï�ð�ñ ì�ê�é�òó��Dè æ²ú�é�æ�ë�ï7ú ó é�ê�é�æ;ë7è�ì�õ�ì ú ó ê è�ú;è æ�ó ì�ê�ò å�ú�ì�ä7å æ7ì�õ çVí��

Ù�ï�ð�ñ ì�ê;é�ò�ú�é æ ë�ïDú ó7é�ê7çVí��Ù�é;ì�ã�ä å�æ7ç�è�é�æ7ç;å óNõ�ì�ö ì�õ�÷�� õ�é 7ì�ç ó�Ú ì�ê ú�ì æ�ó å�ô�ì�é�òð�ï7õ óDè ä7õ�è�ì�çë�é�æ ì�ñ�ùð�ï7õ óDè ä7é�õ�ìCí�ü�ÿ � î��

Ø Ü�â�à ß�ÜDØ�ø�Ù�� ß�Ü ßÝ ó7å�ê�ó7è æ�ô�é�æNú�é�õ�ï�ð�æHû�� Ú�á�à�ß�Þ7Ø ������à7ø Û�ÚDû�û�î�ÿ;÷��þ��;üÝ ó7å�ê�ó7è æ�ô�é�æNú�é�õ�ï�ð�æNî�� û ����Û7Ý�û�î�ÿ;÷��þ��;üÝ ó7å�ê�ó7è æ�ô�é�æNú�é�õ�ï�ð�æ�ÿ�� î�����Û7Ý�û�î�ÿ;÷��þ��;ü;ýÝ ó7å�ê�ó7è æ�ô�é�æNú�é�õ�ï�ð�æ�÷�� ��Ý���ß�Ú�â�����à ø�Û�Ú ÿ�û�î�ÿ;÷��þ��;ü;ýÝ ó7å�ê�ó7è æ�ô�é�æNú�é�õ�ï�ð�æ���� ��Ù�������à7ø Û�Ú�÷�û�î�ÿ;÷��þ��;ü;ý��ß�Ú�ß�� Ø Ü�ß�Ù���â;Þ ß�Ü�à7Ø��! >äDè�ú�é�ò å�ê å�ë7ç

û î ÿ ÷ �Ú�á�à�ß�Þ7Ø ������à7ø Û�ÚDû�û þ�� � ��÷ "�÷#� ÿ�î�ÿ "�ÿ � þ�ÿ " û�û$� ÿ "�÷�ÿ#� î��û ����Û7Ý î "�÷#� ÿ�î�ÿ û ü ý!� � "�÷�÷#� ÷�÷ " û �#� ��÷ "7û�û ÷î�����Û7Ý ÿ "�ÿ � þ�ÿ "�÷�÷ � ÷�÷ û ���#� ÿ " û�û$� ��ÿ " û���ü � î��Ý���ß�Ú�â�����à ø�Û�Ú ÿ ÷ " û�û$� ÿ "7û � � ��÷ " û�û$� ��ÿ û �Dû$� � " û�û � � þ��Ù�������à7ø Û�Ú�÷ � "�÷�ÿ � î�� "7û�û ÷ " û���ü � î " û�û � � þ ý�þ��!� ÷

%'&�( )+* ,�-�.0/�1 *2( 1 1 3�) 4 5 -�4 * )+&�6 7�4 &�*�8 9�:;- 4+4 &�*<* =�>�6 ? -;1 ( ) 4+@�1 *21 ( =�*<A -�=�BC*<3�) * >�4 6;D�5 6�3�/) * /�-�5 - 4 * >E@�1 * )04 6�D�* 4 &�* 5 F�G =E4 &�( )HA -�) *�B�6�4 & ��à7ø Û�Ú�ÿ -�=�> ��à ø�Û�Ú ÷ -�5 *I? 6�5 .0* >E4 &�( )07 - J�K/�5 6�>�3�A ( =�D;4 &�*0A 6�=�>�3�A 4 6�5 ) ��Ý���ß�Ú�â�����à ø�Û�Ú ÿ -�=�> ��Ù�������à7ø Û�Ú�÷ 5 * ) /C* A 4 ( L�* 1 J�FIG =MD�* =�* 5 -�1#-�1 1/�-�=�* 1 )!7N( 4 &<4 &�*N) -�.0*NA 6�=�>�3�A 4 6�5#=�-�.0*'( =0-�=�J0D�5 6�3�/0-�5 *'A 6�=�) ( >�* 5 * >04 62B�*N/�-�5 4 6�?C4 &�*N) -�.0*A 6�=�>�3�A 4 6�5 FPO+1 4 &�6�3�D�&;4 &�( )+* ,�-�.0/�1 *<>�6�* )+=�6�4+) &�6 7�4 &�( ) K$-HD�5 6�3�/�.0- JIA 6�=�4 -�( =�.06�5 *P4 &�-�=6�=�*PA 6�=�>�3�A 4 6�5 F%'&�*<D�5 6�3�/�=�-�.0*<( )+-�1 7'- J�)P-�/�/C* =�>�* >I4 6H4 &�*2A 6�=�>�3�A 4 6�5P=�-�.0*<5 * -�>I? 5 6�.�4 &�*<( =�/�3�4N4 6

D�3�-�5 -�=�4 * *04 &�- 4 ò�å ç óDú�å�ä�Q )<( =�4 * 5 =�-�1#=�-�.0* )2-�5 *03�=�( R�3�*�FISN* 5 *<4 &�*H) * A 6�=�>TD�5 6�3�/�&�-�)2B�* * =5 * =�-�.0* > ��Û7Ý KU5 - 4 &�* 5N4 &�-�=I4 &�*0>�* ? -�3�1 4 ��à7ø Û�Ú î KU3�) ( =�DH4 &�* � 1 ( =�*2( =I4 &�*<1 ( ) 4+@�1 *�F<G 42( )N4 &�*3�) * 5 Q )25 * ) /C6�=�) ( B�( 1 ( 4 JI4 6I5 * =�-�.0*0D�5 6�3�/�)P( =�) 3�A &M-;7'- J�4 &�-�42-�1 1!4 &�*0A 6�.0/�6�) ( 4 *<=�-�.0* )2-�5 *3�=�( R�3�*�F%'&�*P) A 5 ( /�4 ó ì ç ó ê�ï�æ � ç � D�( L�* ) ? 3�5 4 &�* 5'* ,�-�.0/�1 * )'3�) ( =�D<4 &�( )'/�5 6�B�1 * .;F

Page 37: Fast Field Solvers

V�W XZY#[ \ ]�^�\ [�_ ` a�bIY#[ c$[�] ` _ [�a�] d e f�g

h!i j�k�l m g n�oqp'r m�s r l m mut�v�w x�y�z v�{�muw |�{�{�m w s |�l�y�l |�t�z m }0~�j�m {�m l v s m ��t���s r mu~ w l i y�s ~����������� �������#� � �T� z m � s � � ����������� ������� � � �T� w m {�s m l �'v�{�� ����������� ������� � � �T� l i j r s � � p'r m2v�w s k�v�z��i ~ w l m s i � v�s i |�{�~'k�~ m �;v�l m+��{�m l's r v�{;s r |�~ mPy�i w s k�l m �C�

�C� �$� ���<��� �$ U¡ ��¢U£�¤<¥�¢U¢U£���¦ ¥�§p'r m<w v�y�v�w i s v�{�w m ~+v�~ ~ |�w i v�s m �I¨Ni s r ~ m ©�m l v�z#~ i � m ~+|�� t�v�w x�y�z v�{�m<w |�{���k�w s |�l ~P}0v ��t�m<i {�©�m ~ s i ªj�v�s m �2k�~ i {�j's r m ~ r m z z�~ w l i y�s ~ ��� ������� �������!� � � � ����������� ������� � � � v�{�� ��� ������� �������#� � ��« �!¬#v�w r~ w l i y�sNj�m {�m l v�s m ~'v<~ m sN| �Uj�m {�m l i wN� |�l }0v�s ��z m ~'k�~ i {�j � ­�®���¯���� v�{��0°�± ��²�¯�� � s |�j�m s r m l ¨Ni s r vz i ~ sN��z mPs r v�sPz i {�x�~Ns r m<~ k�l � v�w m2��z m ~Ns |�j�m s r m l+s |Hy�l |���k�w m2s r m2��{�v�zU}0|���m z � p'r m<j�m |�}0m s l i m ~v�{�v�z ��� m �;v�l m+y�i w s k�l m �Hi {Hh!i j�k�l m g n � p |2v�{�v�z ��� mNs r m+~ }0v�z z m ~ s'w |�{�{�m w s |�l ����l ~ sNj�m {�m l v�s mNs r m��i ~ w l m s i � v�s i |�{;k�~ i {�j2s r mPw |�}0}0v�{��

����������� �������#� � ���#� ³�´����p'r m+��l ~ sPv�l j�k�}0m {�sN~ yCm w i ��m ~Nl m z v s i ©�mPyCm l }0i s s i ©�i s � f � µ2� |�l's r mP¶Nª ~ r v�y�m �Iy�z v�~ s i wPw |�{�{�m w s |�lt�|������ p'r m;~ m w |�{��Ev�l j�k�}0m {�s0i ~<y�v�~ ~ m �E��i l m w s z �Ms | � ­�®���¯�� � v�{��M°�± ��²�¯���� v�{��E~ m s ~<s r m��{�m {�m ~ ~H| �+s r mI��i ~ w l m s i � v s i |�{ � ~ m mIv�z ~ |M·�m w s i |�{�¸�� ¹�� |�l0}0|�l mI|�{ � ­�®���¯�� � v�{��T°�± ��²�¯�� �|�y�s i |�{�~ � �!º�i s r s r mP��i ~ w l m s i � v�s i |�{;j�m {�m l v�s m �C��l k�{I» ²�� �C��² °;¨Ni s r s r mPw |�}0}0v�{��

» ²�� �C��² ° ´�¼������������ ���������#� ³�´���� � ¼�� �¨ r i w r j�i ©�m ~'s r mP|�k�s y�k�s½ ­����C¾ ��¯ » ²�� �C��² ° �!� ¿�À ��³�Á�² ±� ��ÃÄ � ° ­��'Å���� ������� ��������� � ³�´�Æ � ¼�� �Ä � ° ­���� ­�� » ²������!ÅÇ�½�È É�ÊCË° ¾ ��Ì�����Æ Ë ¿#� ¿�¿!� ¿�¿#� ¿��#� ³���´�Æ � Í�­C¾$Î�������Æ�­�� �������¾ ��¼��!Å�Ï Ë � ��Ð�Ñ Ë � ��Ð�Ñ Ë Ð °�± ��²�Ð�¾�Æ�À ��Ò��Ó��Ò�¿#� Ë Ã$Ô� ­������ ° ����Ð�¾ ���C¾ ÕC¾ � ± Å Ë��­�Ð�®����Ó� »�° ²�����¼��!ÅI�

Ö ×CØ Ù Ú'Û+ÚNÜ Ý Þ�ß à�Ü á Ý â!Ü Ý Þ Þ Ù Ü á Ý âUã äUß ã ä Ü à�ä ä Ù ß+ã ÞPå Ý â Ù#ß Ù á æ ã ç�ã ÞPè'é�êUæ ë�Ý â äUæ Þ�ß+ì�é íHØ ã á Ù îCï ð+à ç á ã ñ�Ý ç Ù òæ Ü Ü Ù ç Ù â æ á Ù ß#ó ò ôHÜ æ ñ�æ Ü ã á æ Þ�Ü ÙCÙ õ á â æ Ü á ã Ý Þ æ ç ö Ý â ã á Ø åNä�÷ Ý â�ä á â à�Ü á à â Ù ä�ø$ã á Ø'Ü Ý Þ ÷ Ý â å'æ ç ß ã Ù ç Ù Ü á â ã Ü ä é ù2úCû ü ý þ þ ÿ � � � �ü ��� � þ� � ��� ���� � �������'þ � � � ����� � ü ��� � � ü �� �ü � � þ û þ ��ý þ î�ì à Þ Ù�� � � � é

Page 38: Fast Field Solvers

"! #%$'&�(�(�) ('*,+.-�/1032�-�4

5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�HJI@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

FKE 5�N"D�< 5.O�IP I�I�P I"IP I"QP R"S�T;U3P V"6KE1WYX;<;5�U"6�X @.<":@�E @.D�9�H,Z [�P Q"7�\K[1P Q;7.\�[;R 7]X 6"8�9^L 5._"Q=9;_.I�P [;M�`< 6�@.9":YF�9;:"7�E @"@KE CKE @.aHb[5"6�7"8�9;:=<;>,F.A;5.9�D�G�Hdc5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�HJI@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

FKE 5�N�G"D"9�9 C�9"IP I�I�P I"IP I"QP R"S�T;U3P V;6KE�WeX;<;5�U"6�X @.<":@�E @.D�9�H,Z [�P Q"7�\K[1P Q;7.\�RP S;7]X 6"8�9fL 5�_�QB9"_�IP ["M1`< 6�@.9":YF�9;:"7�E @"@KE CKE @.aHJQ3P R5"6�7"8�9;:=<;>,F.A;5.9�D�G�Hdc5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�HJI@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

FKE 5�N�G g.<":;@�I�P I"IP I�I�P I;Q3P R�S"T"UP V"6�E�WeX"< 5.U;6KX @�<;:@�E @.D�9�H,Z [�P Q"7�\K[1P Q;7.\"h"7]X 6�8.9^L 5�_�QB9"_�IP ["M1`< 6�@.9":YF�9;:"7�E @"@KE CKE @.aHb[5"6�7"8�9;:=<;>,F.A;5.9�D�G�Hdc5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�HJI@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

FKE 5�N"9;5�U.S"IP I�I�P I"IP I"QP R"S�T;U3P V"6KE1WYX;<;5�U"6�X @.<":@�E @.D�9�H,Z [�P Q"7�\K[1P Q;7.\�T�[ 7=F.a":.A 7KE UiL 5._"Q=9;_.I�P [;M�`< 6�@.9":YF�9;:"7�E @"@KE CKE @.aHb[5"6�7"8�9;:=<;>,F.A;5.9�D�G�Hdc5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�HJI@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

j k�l;m�npo q.r s t;u npv w�s l;r m�t;x v l;wyr n m�l z"n {�s l;r�|.r n z�v x };~ ��;��� ��� S�R8�A�X �.S"QP R"T"UP V;6KE1W�U�E;9�D"9.X @.:.E�XBE 5"@�9;:�>�A.X;9@�E @.D�9�H,Z [ Q;7.\�[ Q;7.\�RP S;7]X 6�8.9^L 5�_�cB9"_�I.M1`F.9":;7KE @�@�E C�E @�E"9�G�HJQP RfL E 5�5.9":.M=[]L <;6"@�9;:�M5"6�7"8�9;:=<;>,F.A;5.9�D�G�HJS5"6�7"8�9;:=<;>=9;?"@�:.AB9 C�A"D;6.A;@�E"< 5=F.<.E 5�@�G�Hdc@�:.A 5KG;D�A @KE;<;53HBL IBI,I�M

� A @�9�H��"6�9e��A;a=S"�BI.[�H I�S�H c"h�[;�"��S� <�G @3H�g�E"D 8�9;:"@

� �"�"� ��� � �"�.� ���� ?;F�A 5KG"E"< 5�<":"U.9;:3HJS� 6"7�8.9":B<">YF�A;:"@�E @�E"< 5KE 5.O�D"9;C.9�D�G�HdQ� C.9":�A�D"DYF�9;:"7�E @"@KE CKE @.aB>.A�X @.<":H�[��< @�A"DY5"6�7"8�9;:=<">YF�A 5�9"D.G�H�[ Q�S� 6"7�8.9":=<;>�X;<;5�U"6�X @.<":,F.A;5.9�D�G�Hd�.I� 6"7�8.9":=<;>BU.E"9"D�9�X @�:�E"X=E 5�@.9":">.A�X"9YF.A;5.9�D�G�HJR"S

Page 39: Fast Field Solvers

��� ���� � �;�;� ��  ¡ ¢�£d�� ¤1�"� ¡   �;¢�� ¥ ¦ §;§

¨"©"ª�«.¬"­=®;¯,°"±K² ³�´;®;³�µ"©�´ °.®"­=®;³Bµ�²;¬�¶"¬.´ °.­.²�´B² ³�°.¬"­"¯.·�´"¬Y¸�· ³�¬"¶.¹�ºJ»¨"©"ª�«.¬"­B®"¯=´"® ³.µ;©K´ °�®;­�¹�ºJ¼

¨�®Yª"©�¶ °K² ¸�®"¶�¬B¬;½"¸.·;³�¹�²;®;³�¹B· °�¶"¬;¾.¬�¶,¿^À ¶�® Á�¬�¹ °�ÂÃ.¬"­.´"¬ ³�°.·"Ä�¬=®;¯,ª"©�¶ °K² ¸�¶�²"¬�¹,µ�®;³.¬Y«�Å,ª"©�¶ °K² ¸�®"¶�¬�º�Æ;¼3Ç È"É

Ê Ë�Ì"Í.Î;ËKÊ;Ï"¨,Ð.Î;Ë.ÎÑ °�·;­"°�² ³�Ä=®;³�´"®"¶;©"ª�³]Ò�À Ò É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ"ÂÒeÕY¿B¼BÖÑ °�·;­"°�² ³�Ä=®;³�´"®"¶;©"ª�³�ÕfÀ Ò É�Ó;Í�Ï Ô�Ã.Æ.ÂÒeÕY¿B¼BÖÑ °�·;­"°�² ³�Ä=®;³�´"®"¶;©"ª�³=¿^À Ò É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ�Ò;ÂÒeÕY¿B¼BÖÑ °�·;­"°�² ³�Ä=®;³�´"®"¶;©"ª�³=¼^À Ò É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ;Æ�ÂÒeÕY¿B¼BÖ

×"Î"Ã�Î�×.Ê Ë�Î�¨"×"ÌBØ.Î;Ë�Í�Ê;Ù�Úd³�· ³�®;¯.·;­.·;µ�¹Ò Õ ¿ ¼

Ò É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒÛÒ »�Ç Ü"Ü�¼�ÕÞÝ�»�Ç Õ"Æ"¼"ßàÝ�»�Ç Õ"Ö�Ò ÈÞÝ�»�Ç Ò »�Ò ¼Ò É�Ó;Í�Ï Ô�Ã.ÆÛÕáÝ�»�Ç Õ"Æ"¼"ß »�Ç Ü"Ü.Õ"ÖÞÝ�»�Ç Ò »�»"ÖÞÝ�»�Ç Õ"Ö�Õ.ÒÒ É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ�Òe¿ÞÝ�»�Ç Õ"Ö�Ò ÈÞÝ�»�Ç Ò »�»"Ö »�Ç Ü"Ü.Õ"Ö Ý"»Ç Õ�Æ"ÖÒ É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ;Æ,¼ÞÝ�»�Ç Ò »�Ò ¼àÝ�»�Ç Õ"Ö�Õ.Ò Ý"»Ç Õ�Æ"Ö »�Ç Ü"ÜKÒ Ü

â�ã.ä å3æ;ç�è é.ç�è3ê ç.ë è ã.ì ë3ä í í ç.å è ë î è ì åã.æ ï ¯.·�¹ °�´"· ¸�ð ë æ"ç.é.å3é.î;ë è å3æ;ê�ñ æ"ò.ó.ç.ñ è æ"ë åè ã.î;è�î;ë ì�ñ ã.î;ä ò.ì óè æ ð ì è ã.ì ëä ò'è ã.ì�í ä å è�ô�í ì�õ"ö�÷�ì î"ò.åæ;êKè ã.ì�ø'æ"é�è ä æ;òdù å ì ì�ú�ì ñ è ä æ"ò�û;ü §"ý üþ ò�è ã.ä å�é.î"ë è ä ñ ç.í î"ë�ñ î;å ì;ÿð ë æ"ç.é.åpû"ÿ��.ÿ1û"û î"ò.ó�û ��ÿKñ æ"ò.å ä å è ä ò ð æ êé.î"ò.ì í å�ï�ã.ä ñ ãJî;ë ì î;í í�î;å å æ�ñ ä î è ì ó�ï�ä è ã�è ã.ìpñ æ;ò.ó.ç.ñ è æ;ëò.î;÷�ì�� Ò � ä òyè ã.ì ä ò.é.ç�è�ô�í ì å ÿ�ã.î �"ìpè ã.ì ä ë�ñ æ;ë ë ì å é�æ"ò.ó.ä ò ð ñ æ;ò.ó.ç.ñ è æ;ë å�ë ì ò.î"÷�ì ó�è æ Ò É"Ó"Í.Ï;Ô"Ã1Ò ÿÒ É�Ó;Í�Ï Ô�Ã.Æ ÿ Ò É�Ó;Í�Ï Ô�ÃKÒ�Ò î;ò.ó Ò É"Ó"Í.Ï;Ô"Ã1Ò Æ è æ�î �"æ;ä ódî;ò"ö�î;÷'õ.ä ð ç.ä è ö;üâ�ã.ì�ä ò.é.ç�è ô�í ì�ó.ä ÷�ì ò.å ä æ"ò.å î;ë ì�î;å å ç.÷�ì ó�è æJõKìyä òb÷�ì è ì ë å ÿ ð ä ��ä ò ð ñ î"é.î;ñ ä è î;ò.ñ ì å�ä ò�è ã.ì

ò.î;ò.æ;ê î;ë î"óeë î"ò ð ì;ü�� ÷�æ"ë ìdë ì î"í ä å è ä ñ�ñ æ;ò.ò.ì ñ è æ"ë�ï�æ;ç.í óYã.î �"ìJó.ä ÷�ì ò.å ä æ;ò.åyæ;òeè ã.ìdæ"ë ó.ì ëyæ;ê÷�ä í í ä ÷�ì è ì ë å ÿ;÷�ì î;ò.ä ò ð è ã.î è3è ã.ì�ë ì éKæ;ë è ì ó�ñ î;é.î"ñ ä è î"ò.ñ ì å3å ã.æ;ç.í óyõKì�ä ò"è ì ë é.ë ì è ì óyî"å3é.ä ñ æ;ê î;ë î"ó.å üâ�ã.ìì ��î"÷�é.í ì�é.ë æ"õ.í ì ÷�å1ê æ;ëKè ã.ìí î"ë ð ì ë1ñ æ"ò.ó.ç.ñ è æ"ë å�î;ë ì ð ì ò.ì ë î è ì ópî"ò.ópë ç.ò ä òpî;ò î;ò.î"í æ ð æ;ç.å

ê î;å ã.ä æ"òKü

� � ��������������� � �â�ã.ì'ô�ò.î;íì �.î;÷�é.í ì�ç.å ì åpè ã.ì�å ã.ì í íå ñ ë ä é�è ­.· ª.Ä�¬;³3Ç ¹ ± è æ ð ì ò.ì ë î è ì�îdí ä å è�ô�í ì è ã.î;è ñ æ"÷ õ.ä ò.ì åð ì ò.ì ë ä ñ3ê æ;ë ÷�î;è�ô�í ì å�î;ò.ó'ò.ì ç�è ë î;í�ô�í ì å�è æ�é.ë æ�ó.ç.ñ ì�î�ó.ä å ñ ë ì è ä � î è ä æ"ò æ;ê.è ã.ë ì ì�î;ó � æ"ä ò.ä ò ð �"! �$#ñ ì í í å3î"å�ä í í ç.å è ë î è ì óyä ò�%�ä ð ç.ë ì û;û & ü â�ã.ìpå è ë ç.ñ è ç.ë ìpä å�î'å ä ÷�é.í ä ô�ì óy÷�æ�ó.ì íKæ;ê�è ã.ë ì ìpî;ó � î"ñ ì ò;è�$! �"#^ñ ì í í å ü('î;ñ ãyñ ì í í�ñ æ;ò.å ä å è å3æ;ê1î é�æ"í ö�ñ ä ó.ì�õ.ä è3í ä ò.ì�ë ç.ò.ò.ä ò ð î"ñ ë æ"å å�è ã.ì�ñ ì í í ÿ;è ì ë ÷�ä ò.î è ä ò ðä ò�î��.ä îyï�ã.ä ñ ã�ñ æ"ò.ò.ì ñ è åpè æyè ã.ì�ó.ë î"ä òJæ;ê�î�è ë î;ò.å ä å è æ"ë�ê æ;ë ÷�ì óJõ"ö�îdé�æ"í ö�ñ ä ó.ì'í ä ò.ì'ñ ë æ;å å ä ò ðè ã.ì�å ç.õ.å è ë î è ìyî;è ë ä ð ã"è î"ò ð í ì å�è æ�è ã.ì�õ.ä è í ä ò.ì;üyâ�ã.ì�å æ"ç.ë ñ ìyæ ê�è ã.ì'è ë î;ò.å ä å è æ"ëpä åpñ æ;ò.ò.ì ñ è ì ó) *�+ , -(. / 0 132 4 .5, -(6 , - 7 89- - . 6", :�13; < .36 . = 0 , 4�, :?>3@BAC0 D9; < -(0 :96�E9@9F�+ , = . G HJI :�, 152 < ; K . 6�0 2 2 < ; 0 7 +"= ;, :97 4 896 , : L"7 ; : M ; < 1 0 4�6 , . 4 . 7 = < , 7 -C, :�158 4 = , 29; 4 . N 0 7 7 . 4 . < 0 = . 6$= + < . . N 6 , 13. :9- , ; :90 4�7 0 290 7 , = 0 :97 .5. / = < 0 7 = , ; :�@ OP*�;0 2 29. 0 <C, :?Q�R S T U U V W X Y Z3S [(\ ] U�^"S R _ Z ] S `�S X$aJb c3U R W T d e�f�S V U e W X Y�S [CQ�R S T U Z Z U Z3d X9V5g5U h W T U Z [ S R(i X \ U Y R d \ U Vj W R T b W \ Z k�a$l�QBm gni o�G p"0 q N E 8 : .5r s s t @

Page 40: Fast Field Solvers

u9v w�x?yCz z${ z?|~}��$� �5�(�$�

zbuf -lramcell-d.lst -v -c -a0 -e87

� ���

� �B�

��� �B�3�9������ ��� � � � � ��� � � � � ��� � � � ��� � ��� � � � � ����� �9� �

� � � � � ��� �

� � � � � � � � � �� �9� � � � �9� � �

� � � ��� �

����

����

��� �

� �� �� �� �� �� � �

      

    ¡

    ¡

¢

¢

¢

¢¢

£ � �9¤�� �¦¥9¥B§3¨3©��?� �Bª ��� � � ��«$¬ ­"® ª¦� ��� � ¯(� �B� ¯��B����� � � ©�� ©���� � � � � � � � � � � �9� � � � �9� � �$� � ª¦� � � �� � �3� � �9� � � °9¯ � ��� ±

Page 41: Fast Field Solvers

²�³ ´¶µJ· ¸�¹�ºB» ¼ ½�¾�µJ¼ » ¿ º9· À Á ÂBÃ

Ä Å¦Æ?Ç È É�Ê�Ë�ÅBÌ Í�Î È É�Ê"Ë�Ì Æ9Ä Ê$Ä Ï�Ð Å9Ñ�ÒBÏ�ƦÏ�Ê Æ Ó�È Ì Í�É�ÅBË�Ê É�Ð Ê Ò9È ÅBÔ�Ä Å¦Ê Ô�Ï�Æ9Ô�Î Ê�Î Æ9Ë�ÆBÎ È Ä ÆBÔ�Î Ê9Õ3Ö3Ï�Ð Ê Ê× Å9Ð Ê�Ç5ÅBÐ ÉnÌ È Ô�Ê Ø$Ë�ÆBØ Ø$Ä Ï�Ð Å9Ñ�ÒBÏ�Ä Ï�Ê?Î Ê Ì Ì Ø Ù"Æ�Ë�ÅBÌ Í�Î È É�Ê�Ì È Ô�Ê9Ú Æ9Ô�ÉPÄ Ç3Å�ÆBÌ Ñ × È ÔBÑ × Ì È Ô�Ê Ø$Æ9Û�Å ÓBÊÄ Ï�Æ Ä$Ì È Ô�Ê9Õ5Ö3Ï�Ê�Æ9Ì Ñ × È Ô�Ñ × Ç3Å9Ð É�Ì È Ô�Ê Ø3ÆBÐ Ê"Î Å ÓBÊ Ð Ê É�Ç È Ä Ï�Æ�Ø È Ì È Î ÅBÔ�Ô�È Ä Ð È É�Ê¦Ü Ë�Ê Ð × È Ä Ä È Ó�È Ä Í�Ý�Õ Þ�ßË�Æ9Ø Ø È Ó9Æ9Ä È Å9Ô¦Ì Æ ÍBÊ Ð Ú�ÆBØJÐ Ê Ë�Ð Ê Ø Ê ÔBÄ Ê É�Û9Í?Ä Ï�Ê3Ä Ç3Å�É�È Ê Ì Ê Î Ä Ð È Î3È ÔBÄ Ê Ð à ÆBÎ Ê ØJÈ Ì Ì Ñ�Ø Ä Ð Æ Ä Ê É?È Ô¦á(È Ò9Ñ�Ð Ê$âBâ Æ�ÕÖ3Ï�Ê × Æ Ä Ê Ð È Æ9Ì Æ9Û�Å ÓBÊ"Ä Ï�Ê$Ä ÅBË�È Ô9Ä Ê Ð à Æ9Î Ê"È Ø ÆBÈ Ð5Ç Ï�È Ì Ê"Û�Ê Ì Å ÇãÄ Ï�Ê�Æ9Ì Ñ × È Ô�Ñ × Ç3Å9Ð ÉPÌ È Ô�Ê Ø Ø È Ì È Î ÅBÔÉ�È Å ä�È É�Ê"Ü Ë�Ê Ð × È Ä Ä È Ó�È Ä Í Â Õ åBßCÈ Ø(ÆBØ Ø Ñ × Ê É�ÕJæ Ô?á(È ÒBÑ�Ð Ê âBâ Û�Ú9Ä Ï�Ê3É�È Ê Ì Ê Î Ä Ð È Î5È ÔBÄ Ê Ð à ÆBÎ Ê Ø(ÆBÐ Ê5Ð Ê × Å ÓBÊ ÉÄ Å?Ø Ï�Å ÇãÄ Ï�Ê"Î Å9Ô�É�Ñ�Î Ä Å9Ð Ø × ÅBÐ Ê$Î Ì Ê ÆBÐ Ì Í9ÕÖ3Ï�Ê"Î Å ×¦× ÆBÔ�É

ç�è9é�ê�ë ì3í î ïË�Ð Å�É�Ñ�Î Ê Ø"Æ�É�È Ø Î Ð Ê Ä È ð Æ Ä È ÅBÔ�Ø Ñ ×¦× Æ9Ð È ð Ê ÉPÈ Ô�Ä Ï�Ê?Ì È Ø Ä ñ�Ì Ê ç�è9é�òBëBó�ó(í ó�î ô Õ¦Ö3Ï�Ê?Ø Î Ð È Ë�Ä"Î Æ9Ì Ì Ø Ä Ï�ÊÒ9Ê Ô�Ê Ð È Î�ñ�Ì Ê�Ò9Ê Ô�Ê Ð Æ9Ä Å9ЦË�Ð Å9ÒBÐ Æ × Ø�õ�ö õ ë9÷�ê�ë9ì Æ9Ô�É ò ø�ù�ëBê�ë9ì Ç Ï�ÅBØ Ê�ÅBË�Ä È Å9Ô�Ø?ÆBÐ Ê�È Ä Ê × È ð Ê ÉúÈ Ôû Ê Î Ä È Å9Ô�ü�Õ ý�ÕJÖJÍ�Ë�È Ô�Ò

þ è�î ô�ò9è õ ÿ óBç�è9é�òBëBó�ó(í ó�î ôË�Ð Å�É�Ñ�Î Ê Ø3Ä Ï�Ê"Å9Ñ�Ä Ë�Ñ�Ä Û�Ê Ì Å Ç�Ò9È ÓBÊ Ô�È Ô�Ä Ï�Ê$ñ�Ì Ê ç�è9é�òBëBó�ó(í � ø�ô Õ

� Ø(È Ô"Ä Ï�Ê5Î ÅBÔ�Ô�Ê Î Ä Å9Ð(Î Æ9Ø ÊJÄ Ï�Ê5È Ô�Ë�Ñ�Ä(Ø Î Æ9Ì Ê5È Ø × Ê Ä Ê Ð Ø Ú9Ç Ï�È Ì Ê(Ä Ï�ÊJÄ Ð Ñ�Ê5Ø Î Æ9Ì Ê5È Ø × Ñ�Î Ï�Ø × ÆBÌ Ì Ê Ð ÕÖ3Ï�Ê���� ��� Î Ê Ì Ì�É�È × Ê Ô�Ø È Å9Ô�Ø3ÆBÐ Ê$ÅBÔ�Ä Ï�Ê"ÅBÐ É�Ê Ð3Å9à × È Î Ð ÅBÔ�Ø Ú�Ø Å?Ä Ï�Ê"Ð Ê Ë�ÅBÐ Ä Ê É�Ó9Æ9Ì Ñ�Ê Ø × Ñ�Ø Ä$Û�ÊØ Î ÆBÌ Ê É�Û9ÍPâ Þ��3Ä Å?ÅBÛ�Ä Æ9È Ô�Ä Ï�Ê"Æ9Î Ä Ñ�Æ9Ì Î Æ9Ë�ÆBÎ È Ä ÆBÔ�Î Ê Ø3Å9àCÄ Ï�Ê���� ��� Ò9Ê Å × Ê Ä Ð Í9Õ

�� ��������������� ������� � �!����"�#Ö3Ï�Ê"Î Å × Ë�Ì Ê Ä Ê$Î Å ×¦× Æ9Ô�É�Ì È Ô�Ê à ÅBÐ × Æ Ä Å àCÄ Ï�Ê"á�ÆBØ Ä $5Æ9Ë�Ë�Ð Å9ÒBÐ Æ × È Øþ è�î ô�ò9è õ&% ÿ �' ë)( õ è9ì�î ö � ì � ç�÷�ëBç+*, % ÿ ÷ ' õ èBç9ô ö ô ö � ì ö ì�ê ÷�ë õ ô�ï�*, % ' ö ì õ ø�ô þ�ö óBë+*),

% ÿ9õ ' õ ëBç9é ö ô�ô ö -�ö ô+. þ è�ò ô � ç�*), % ÿ ç�î ' ò � ì�÷ ó ö î ô!*), % ÿ ç ö ' ò � ì�÷�ó ö î ô�*,% ÿ , % ÿ ó ' ó ö î ô þ�ö ó�ë*, % ÿ ô ' ö ô�ëBç~ô � ó+*), % ÿ è ' è)/ ö é�øBô�ï�*, % ÿ ë ' ëBó�ë - è ô ö � ì�*,% ÿ ç ' ç � ô�è9ô ö � ì!*), % ÿ ï ' ÷ ö î ô�è9ì�òBë*, % ÿ î ' îBòBèBó�ë*, % ÿ 0 ' ó ö ì�ë 0�ö ÷BôBï!*),% ÿ ø ' ø õ è)( ö î*), % ÿ)1 ' ò � ì�÷�ó ö î ô!*), % ÿ ç�ò ' ò � ì�÷ ó ö î ô!*), % ÿ ( ' è)(�ë�îBóBë9ì�êBôBï!*),% ÿ ù ' í þ�ö ê þ�ö óBë+*), % ÿ é�, % ÿ ç2+, % ÿ ç�÷, % ÿ ÷�ò , % ÿ ò , % ÿ - , % ÿ ì�, % ÿ9þ , % ÿ ê,

Ö3Ï�Ê5ñ�Ð Ø ÄJÔ�È Ô�Ê3Û�ÆBØ È Î5ÅBË�Ä È Å9Ô�Ø(ÆBÐ Ê5É�Ê Ø Î Ð È Û�Ê É¦È Ô?Ë�Ð Ê Ó�È Å9Ñ�ØJØ Ê Î Ä È Å9Ô�Ø ÕJÖ3Ï�Ê3Ð Ê × Æ9È Ô�È Ô�Ò$Å9Ë�Ä È ÅBÔ�Ø(Æ9Ð ÊÑ�Ø Ê ÉPÄ Å�Ë�Ð Å�É�Ñ�Î Ê?Ë�Å9Ø Ä Ø Î Ð È Ë�Ä$à Å9Ð × Æ9Ä$Ë�È Î Ä Ñ�Ð Ê Ø$Å àJÄ Ï�Ê?Ò9Ê Å × Ê Ä Ð Í�Ñ�Ô�É�Ê Ð$Æ9Ô�ÆBÌ Í�Ø È Ø Õ û Ê Î Ä È ÅBÔPü�Õ ýÈ Ä Ê × È ð Ê ØCÄ Ï�Ê Å9Ë�Ä È ÅBÔ�Ø(ÆBÔ�É�Ä Ï�È ØJØ Ê Î Ä È Å9Ô¦Ò9È ÓBÊ ØJØ Ê ÓBÊ Ð Æ9Ì�Ê ä�Æ × Ë�Ì Ê ØJÅ9à�Ä Ï�Ê È ÐJÑ�Ø Ê ÕJÖ3Ï�Ê Ë�È Î Ä Ñ�Ð Ê ØJÆ9Ð ÊÄ Ç3Å 3 É�È × Ê Ô�Ø È ÅBÔ�Æ9Ì�Ð Ê Ô�É�Ê Ð È Ô�Ò9Ø3Å àCÄ Ï�Ê Ä Ï�Ð Ê Ê 3 É�È × Ê Ô�Ø È ÅBÔ�Æ9Ì�Å9Û+4 Ê Î Ä Ø3Ñ�Ô�É�Ê Ð3ÆBÔ�Æ9Ì Í�Ø È Ø Ú�Æ9Ô�É × Æ Í�Û�ÊÌ È Ô�Ê3É�Ð Æ Ç È Ô�Ò9ØJÅBÐJØ Ï�Æ9É�Ê É¦Ë�Ì Å9Ä ØJÈ Ô�É�È Î Æ9Ä È Ô�Ò Ä Ï�Ê Î Ï�Æ9Ð ÒBÊ É�Ê Ô�Ø È Ä Í¦Å9Ð(Ä Å9Ä Æ9Ì�Î Ï�ÆBÐ Ò9Ê ÅBÔ¦Ê ÆBΠϦË�ÆBÔ�Ê Ì ÕÖ3Ï�Ê"Ì Æ9Ä Ê Ð3Ë�Ì Å Ä Ø3ÆBÐ Ê"Ñ�Ø Ê à Ñ�Ì�à ÅBÐ3Ò9ÆBÑ�Ò9È Ô�Ò�Ä Ï�Ê"Ê 5�Ê Î Ä È ÓBÊ Ô�Ê Ø Ø$Å9à(Æ?Ë�ÆBÐ Ä È Î Ñ�Ì ÆBÐ5É�È Ø Î Ð Ê Ä È ð Æ Ä È ÅBÔ�Õ6 7 8 7 9;:=< >�?A@CB D)EF< >�G!HI Ï�Ê Ô�þ è�î ô�òBè õ�È Ø3Ò9È ÓBÊ Ô�Ä Ï�Ê�ÿ é Å9Ë�Ä È ÅBÔ�È Ä3Î Ï�ÆBÔ�Ò9Ê Ø3à Ð Å × Î Æ9Ì Î Ñ�Ì Æ Ä È ÅBÔ¦Ä Å?Ì È Ô�Ê 3 É�Ð Æ Ç È Ô�Ò × Å�É�Ê9ÕJ Ø Ñ�ÆBÌ Ì Í�Ä Ï�Ê$É�Ê à ÆBÑ�Ì Ä5Ø Ê Ä Ä È Ô�ÒBØ5Ë�Ð Å�É�Ñ�Î Ê$Æ9Ô�Æ9Î Î Ê Ë�Ä Æ9Û�Ì Ê Ë�Ì Å9ÄJà Å9Ð5Î Ï�Ê Î K�È Ô�Ò�Æ�É�È Ø Î Ð Ê Ä È ð Æ Ä È ÅBÔ�Ú�Û�Ñ�Ä× Æ9ÔBÍnÆBÉ 4 Ñ�Ø Ä × Ê ÔBÄ Ø�ÆBРʦË�Å9Ø Ø È Û�Ì Ê9ÚCÄ Ï�Ê × Å9Ø Ä?È × Ë�ÅBÐ Ä Æ9ÔBÄ�Û�Ê È Ô�Ò�Ä Ï�ʦÓ�È Ê Ç Æ9Ô�ÒBÌ Ê Ø�Ü Ð Ê Ì Æ Ä È ÓBÊ?Ä ÅÆ�Î Å�ÅBÐ É�È Ô�Æ Ä Ê�Ø Í�Ø Ä Ê × Ë�Æ9Ð ÆBÌ Ì Ê Ì Ä Å?Ä Ï�Ê?È Ô�Ë�Ñ�Ä$Î Å�Å9Ð É�È Ô�Æ9Ä Ê Ø ÆBÔ�ÉPÎ Ê Ô9Ä Ê Ð Ê ÉnÅ9Ô�Ä Ï�Ê�Î Ê Ô9Ä Ê Ð$Å9à(Ä Ï�ÊÅ9Û+4 Ê Î Ä ß�Ç Ï�È Î Ï Æ9Ð Ê�Æ9É 4 Ñ�Ø Ä Ê É Ñ�Ø È Ô�ÒnÄ Ï�ÊPÿ è Æ9Ô�É~ÿ ë Å9Ë�Ä È ÅBÔ�Ø ÕML Ä Ï�Ê Ð¦Å9Ë�Ä È ÅBÔ�ئΠÅBÔ9Ä Ð ÅBÌ3Ó�È Ê Ç

Page 42: Fast Field Solvers

N)O PRQTS�U�U�V UTWMX�Y�Z\[�]^Y�_

`�a b c d)e�f g�h i)j�k l+c mon p `�a qrg e�b a ne�d)s�t�u n v g f c a nerb f ds g�h i�w)k l+u n)c d c a neCh ixyde�`Fi)z�k^de�`rs a e�g�m�a `+c {h i |!k }�~��+g brn)��d)e��s g e��)c {�qrd ���!g�a e�f s ��`�g `�m�a c {�c {�gAi��nt+c a n)e�d)e�`�s a e�g b l�du u n m�brde�``�n c bTqrd ���!gFd`�`�g `���b a e���i � }A�^a e�ds s �)l=ix��de�`�ix��Ad)u gF��b g � ��s=� n)uTu g qrn ��a e���`�a g s g f c u a f pa e)c g u � d)f g�d)e�`Ff n)e�`���f c n)uob ��u � df g b l�u g b t!g f c a �g s �)l�c {�d co��s n+f �Tc {�g�`�g b a u g `F�+a g m�}=��d)��s gy���)a �g bc {�g�f nqrqrd)e�`�bo��b g `Cc nTt�u n+`���f g�c {�g�s a e�g�`�u d m�a e��)b�a eFc {�a bo�)��a `�g�d)b�g ��d)qrt�s g b }

� � � � ���y����� �!�A�C���� �   ¡�����¢�£�¤�  ��¥��y����� �!�A¦�� §)  ¨�� �+��o{�g�i)©�n)t+c a ne�t�u n ��a `�g b\doqrg d)e�b\n)��f {�g f �+a e��oc {�g^f {�du �)g=`�a b c u a ���+c a n)e�f d)s f ��s d c g `����ª�«+w ¬!�« ­ }�o{�g�f n)qrqrde�`

ª+«�w ¬ �)«)­®i)©®w ­+j�¯x+¯!°\± ²�¯)zf d��b g b�ª�«+w ¬!�« ­Tc n�m�u a c g�c {�g�t!nb c b f u a t+c=� nu qrd c^³!s g�w ­+j�¯x+¯!°°�± ­ wyf ne)c da e�a e���c {�g�t�a f c ��u goa e�^a �)��u gT� ´+}�~µb a qra s d)u�t�s n)c�f deC� g�qrd`�g�� n)u�c n)c d)s\t�de�g s\f {�du �)g b���b a e��Tc {�g�b dqrg�f nqrqrd)e�`m�a c {Fc {�gyi)�!�Tnt+c a n)eCd)`�`�g ` }

�!n)u�t�u n)��s g qrb=m�a c {rqrnu goc {�d)eFne�g�f n)e�`���f c n)u l!ª+«�w ¬ �)«)­®i)©Tm�u a c g b�dTt!nb c b f u a t+c�³!s g�f n)u pu g b t n)e�`�a e���c n�c {�gof {�du �)go`�g e�b a c �Tt�u g b g ec�d)� c g u^g d)f {rf ns ��qreyf d)s f ��s d c a neya b^f nqrt�s g c g ` }^�o{�gu g b ��s c b�n)�=d)e�Ct�du c a f ��s duob ����b g c�n)�^c {�g�f n)s ��qre�f ds f ��s d)c a n)e�boqrd �C� g�m�u a c c g eCc nrt n)b c b f u a t+c³!s g by�)��b t g f a � �+a e���s a b c b�n)�of n)s ��qre�b�c n�a e�f s ��`�gTm�a c {�c {�gFi©Ant+c a n)e }C�!nu�g ��d)qrt�s g)l^a eAc {�g³��gof n)e�`���f c n)u=t�u n��s g q®b ��qrqrdu a ¶ g `y��yc {�g�s a b c�³!s g�¬!¯+w ¬�± ·+w ¬�h b g g�¸+g f c a n)eF´} ¹+} O k lª�«+w ¬!�« ­i)©�ºMi+· ¬!¯+w ¬�± ·+w ¬�t�u n+`���f g b�ne�s ��ne�gTt!nb c b f u a t+c�³!s g l\c {�gTn)e�gTf n)u u g b t!ne�`�a e��Fc nFf n)e�`���f c n)uº)»+¼)½!¾+l!de�`Cª�«+w ¬!�« ­®i©)¿+À=Á Â+¾^Á ºÃi+· ¬!¯+w ¬�± ·+w ¬Cm�u a c g bodrt�a f c ��u g�³!s g�� nu�ds s ���+c�f n)e�`���f c n)u b° »+¼)½!¾rde�`CÄ+Å)Æ�»ÄÇ�È)½¿�É�}

Ê�Ë ÌÎÍÐÏ^Ñ Ò�Ó Ò�Ô�Õ�Ï=Ò�ÖØ×�Ñ�Ñ!Ù=Ñ!Õ�o{�gyg u u nu b�de�`Cmod)u e�a e��b�qrnb c�n � c g e�g e�f n)��ec g u g `�m�{�g eA��b a e��rª�«+w ¬!�« ­Ad)u gys a b c g `C{�g u gya en)u `�g uon)��� u g Ú+��g e�f �Fm�a c {Cc {�g�qrn)b co� u g Ú��g e)c�dt�t!g d)u a e��y³!u b c }Û «x)² Ü ²�Ý=ÞC²!ß�à+z�·)¬!Ü ­�ß+·¯µ«+�+�)¯+·¯x+«)¬!Üß ²�o{�gCqT��s c a t!ns grdt�t�u n �+a qrd)c a n)e�a bTe�n cF�!g a e�����b g `�c n�f n)qrt��+c gCa c g u d c g b }�~�brg ��t�s d)a e�g `�a e¸+g f c a n)e�´} ¹+} �)l=c {�a b�mod)u e�a e��An+f f ��u bTqrnb cTn)� c g e�m�{�g e�c {�gFa e�t��+crt�u n)��s g q&a b�c n+nAb qrds s^c nmod)u u d)ec�c {�g���b g�n ��c {�g�qy��s c a t n)s g^dt�t�u n �+a qrd)c a n)e }��o{�g�qrg b b d)�g=ds b n�d)t�t g du b\m�{�g eyª�«+w ¬!�« ­a by� nu f g `�c nAf d)s f ��s d c gFc {�gCa c g u d c g bTm�a c {�n)�+cTc {�g�qy��s c a t n)s gFd)t�t�u n ��a qrd c a ne���b a e��Ac {�gAi)��áf nqrqrd)e�`+p s a e�g�nt+c a n)e }x+¯�w)ß+· â!¯ã)ä!Ü··+ã·�Üw ¬!w^Þ�«µ�)ß)²+�z!� ¬�ßxÃx�¯ à!ß â!¯)�M| Ü ¬+jµix�ÜÃÜwÃÜ ²Ã¬j!¯Mix�wM·+Ü+w ¬x+¯�w)ß+· â!¯ã)ä!Ü··+ã·�Üw ¬!w^Þ�«µ�)ß)²+�z!� ¬�ßxÃx�¯ à!ß â!¯)�M| Ü ¬+jµix�ÜMß)xµi)x!wMÜ+wMÜ ²M¬j!¯Ãi)©Ã·�Üw ¬x+¯�w)ß+· â!¯ã)ä!Ü··+ã·�Üw ¬!w^Þ�«+··µ�)ß)²+�z!� ¬�ßx�wï+Ü ¬j!¯)x®Ü ²µix�ÜMß)xµi)x!w�·�Üw ¬�o{�g b gog u u n)u b^d)u g�f d)��b g `T�)�Td)b �+a e���� n)u�t�s n)c b�nu�f nqrt��+c d c a neya e)�ns �+a e���d�f n)e�`���f c n)u�c {�d)c^{�db�!g g eru g qrn �g `T� u nqÃc {�g�t�u n)��s g q�h m�a c {Fi)x!Ü)k^n)u=a b^e�n c�{�d �+a e���a c b^f n)s ��qreTn)�!c {�gof d)t�df a c de�f gqrd c u a �Ff d)s f ��s d c g `�h a erc {�gyix�wrs a b c k }­�·+«+�¯)©�Þ Û «x)² Ü ²�Ý^Á�x+¯)à�ß)â!Ü ²+Ý®Ü)�+¯)²¬ Ü�«·Ã©)z!«)�+x�Ü·«)¬�¯x+«+·�­!« ²!¯·xàâ!¯)�®� ¬�xMåçæ i+á^± Éè+é+êMè�± É+èè+èèë°�± º�ìÃw z�xªÃåîí â Ü)«=± ²!¯ z�ï�¬�x+«)²!w�åîæ áMáÃá+ìw« â!¯)�®� ¬�xMåçæ i+á^± Éè+é+êMè�± É+èè+èèë°�± º�ìÃw z�xªÃåîí â Ü)«=± ²!¯ z�ï�¬�x+«)²!w�åîæ áMáÃá+ì

Page 43: Fast Field Solvers

ð+ñ òôóFõ ö ÷�ø ÷+ù+ú�õ ÷!ûCü=ö ö ý ö ú þÿ

��� ����� � ���� �������� ����� ��������� ��� �þ ��� �� ������ !��"�#! �$ %�& �' ( ) "�)+* ,�-�' . � / ��01����� �

��� �� ������ !��"�#! �$ %�& &1'�2�3�2� ) "�)+* ,�-�' 4 � ��� � �501����� ���� �� ������ !��"�#6��3 �12 ���* 3�� � � � ��7��801����� ��9:�12 ���* 3�� �;� �

) "1) <�-��=* 3�� �?>@� � 7���. .�� 7��BA C�D. � ��� ��4 ������� ��� � E������

FG��� �� ������ �� ��H�2�(�21)+* %�2�- . � / ��01����� ���� �� ������ �� ��H�2�(�2�I�* %�2�- � � ��7��501����� �

J -�<�2�K�2�%���%�L:MB��� �� ����� � � ��7��501����� � -�<�2�K�2�%���%�NOMB��� �� ����� . � / ��01����� �

P ��� �� ������3 �12�� ��* 3�� ����2�N�LQ�� R S ��� �� ������ !��3� �$�%�%12� ��$�(�I�#T* L���&T* 3�� �U����V�* LW. � / �X01����� ��9Y� ��Z����;��� ��� � [

��� � E\��� � ���8 �$�%�%12� ��$�(�IT* � H#�* L6��&

��� �� ������ !��3� �$�%�%12� ��$�(�#�#T* L���&T* 3�� �U����V�* N�L]4 � ��� � �^01����� � 9^� ��Z����_��� ��� � [��� � E\��� � ���8 �$�%�%12� ��$�(�#�* � H#�* L6��&

��� �� ������ !��3� �$�%�%12� ��$�(�`�#T* L���&T* 3�� � . � / �X01����� ��9Y� ��Z����;��� ��� � [��� � E\��� � ���8 �$�%�%12� ��$�(�`�* � H#�* L6��&

R�R ��� �� ������ !��3�(�� 1 �2�3�3���&T* 3�� �a���V6��2�b�N 01����� �Qc ��d 9e� ��Z����f��� ��� � � � � E��� � ����(�� �K�2 %5* � H���&

��� �� ������ !��(�&6��3�(� � �2�3�3���&�* 3�� �U���VQ��2�N�Vg01����� �hc i1d 9B� ��Z����f��� ��� � � � � E��� � ����(�� �K�2 %5* � H���&

R�j ��� �� ������,!� ��H�2�(�21)+* %�2�- ��� �k��&1 l� �XE�� � Z�. � m;� � � ��.Z������ .Q4 7���� ��� �n� � � 7�� �a� 7�� �Z������ .+4 7���� ���oE�� ��� � � � � �

R þ -�<�2�K�2�%���&:MB��� �1 � ���� !��"�I6� <� -�<�2�2�K�* 1' KpE���� �?��� ��� �_ -�<12�2�KT* �'�K�95� � [� . � ���?E������o� ��. ��� � q

r=��i�. � R�s ������������E��5��� � E�� ����� ��� � ��� �o� �����o� � Z�� � � � ��� ��� � t���01����� � �@� �B� 7�� �5����� E�� u

Page 44: Fast Field Solvers

v�w xYy?z={@{�| {?}Q~����+�������

DENSITY, statC/m^2

0.096111

0.091781

0.087451

0.08312

0.07879

��� ����� �5� ���=�5�����1� �5� ���1���������+� �1��� � � ��� � � ���5� � ���Q� ����� ���������� o¡�¢�� £1¤�¢ ��¥�¦!� ���1�������=� §1� ¨�©� ��� ª@� ���?� ���o� ����� ���o �� ��� � � «������ ��� ��¬������ �=� � � � ��� ���o� ��¬���� � � ����� �o� ��� � ��� ��� � ����­

Page 45: Fast Field Solvers

®�¯ °²±B³ ´ µ�¶ µ�·�¸@³ µ1¹�ºT´ ´ » ´ ¸ ¼�½

¾�¿�À@Á�Â�Ã�Ä Å Æ+¿@Ç È É�È É�ÄTÆ Â�Ê�ÄTË Ä Ã�È Ä Ì=Ë À�À�Ì Í�Ç Ã�Â È Ä Æ�É� Î�Ä�Ï1Ä Ä ÃÑÐ�Ç Î�Ä ÃoÂ�Æ+Ç Ã�Á�Ò�È Ó=¾5É�Ä�Ê�À�Æ È=Ë À�Ê�Ê�À�ÃË Â�Ò�Æ Ä�À Ô�È É�Ç Æ�Ä Ì Ì À�Ì�Ç ÆTÄ Õ�È Ì Â?Á�Â�Ã�Ä Å ÆTÇ ÃBÃ�Ä Ò�È Ì Â�Å�Ö1Å Ä ÆTÍ�Ò�Ä@È ÀÑË Â�Ì Ä Å Ä Æ Æ�Ê�Ä Æ É�Ç Ã�ÐÑÀ�Ô+Á�Â�È Ë É�Ä Æ Ó�¾5É�ÄÄ Õ�Â�Ê�Á�Å ÄeÖ1Å Ä�×�Ø�ÙTÚ Û1Ü ÝQË À�Ã�È Â�Ç Ã�ÆBÆ Ç Õ_Í�Ò�Á�Å Ç Ë Â È ÄÞÁ�Â�Ã�Ä Å Æ Ó!¾5É�ÄÞÁ�Ì À�Ð�Ì Â�ÊlÌ Ä Ê�À Î�Ä ÆBÈ É�ÄÞÄ Õ�È Ì ÂÁ�Â�Ã�Ä Å Æ5Â�Ã�Í�Ë À�Ã�È Ç Ã�Ò�Ä Æ5¿@Ç È ÉBÈ É�ÄoË Â�Å Ë Ò�Å Â È Ç À�Ã�ÓØ�ß�à�ß á�â�Ù�ã�Ü ä1Ü�Ü�å�Ü�æTçÞè�Ù�æ�Û�Ø Û�é�êÞë�Ù�ã�ÜQì�æ�í�Ü�æ1Ø Û�éQá1Ü�ß á6ë�Ù�Ø�î Ý�æ�ÜÙ�î å�ï�Ù�ð�ë�Ù�ã=êÞë�Ù�ã�ÜQñ�ñQò6óTÚ ñ�ô�õ�ö!Ù�î�å�ï1Ù�ð�ë�Ù�ã æ�Ü�ëTêfë�Ù�ã�Ü6óhò6óTÚ ñ�ô�ö�õÚ�Ú�Ú¾5É�Ç Æ�Ä Ì Ì À�Ì=Ç Æ�Ò�Æ Ò�Â�Å Å ÷ÑË Â�Ò�Æ Ä Í?Ï�÷?Â È È Ä Ê�Á�È Ç Ã�Ð5È À�Á�Ì À�Í�Ò�Ë Ä�Â�Á�Ç Ë È Ò�Ì Ä�À�Ô1Â�Ã?Ç Å Å Ä Ð�Â�Å�Í�Ç Æ Ë Ì Ä È Ç ø Â�È Ç À�ÿ@Ç È É�Æ Ò�Á1Ä Ì Ç Ê�Á1À�Æ Ä Í�Á�Â�Ã�Ä Å Æ ù�Â�ÆTË Â�Ã�É�Â�Á�Á1Ä Ã?¿@É�Ä Ã�Ò�Æ Ç Ã�ÐÑÂoÅ Ç Æ ÈTÖ1Å Ä�¿@Ç È É�Ç Ã�Ë À�Ì Ì Ä Ë ÈTÈ Ì Â�Ã�Æ Å Â È Ç À�ÃÎ�Ä Ë È À�Ì Æ Ó5ú@Ô È Ä ÃBÈ É�ÄoÁ�À�Æ È Æ Ë Ì Ç Á�È5Ö1Å ÄoÁ�Ç Ë È Ò�Ì ÄoÇ Æ5Æ È Ç Å Å�Ë À�Ì Ì Ä Ë È Óæ�Ü�Ù�í�ð å1Ù Û1Ü�î�ß=çÞé�Ü�Û�Ü�æ�Ø�ãhë�ì�æ�û�Ù�á6ë1Ø�î�Üü�Ú�Ú ý�Ü�þ�Ù�û�å1î�Ü�ß�ý�ã�ì�Û�í�ð�Ù�Ø æ�ð�à þ1à=Ú ÿ�Ý�Ø��

æ�Ü�Ù�í!Ù�ë�á�Ü�æQÛ�Ü�Ý�á�æ�Ù�îQë�Ø�î�Ü�� ß��6Ø Ûaß�Ù�û�ÜQé�æ�ì Ý�å�������æ�Ü�ì�æ�í�Ü�æ�î�Ø�ß á6ë1Ø�î�ÜQÜ�Û�á�æ�Ø�Ü�ß Ð�Ä Ã�Ä Ì Ç ËTÔ À�Ì Ê� È�Ö1Å Ä�À�Ë Ë Ò�Ì ÆTÂ Ô È Ä Ì�Â�Ã�Ä Ò�È Ì Â�Å�Ö1Å Ä�Ç ÃÑÈ É�Ä@î�Ø�ß á!ë�Ø�î�ÜÑÂ�Ã�ÍÑÈ É�Ä�Ö1Å Ä ÆTÂ�Ì Ä5Ð�Ì À�Ò�Á1Ä ÍÈ À�Ð�Ä È É�Ä Ì�Ò�Æ Ç Ã�ÐÑÈ É�Ä� �� ÑÀ�Á�È Ç À�Ã�� Æ Ä Ä���Ä Ë È Ç À�Ã���Ó ¼�� ÓT¾5É�Ç Æ�Ë À�Ã�Í�Ç È Ç À�ÃBÇ Æ�Ã�À�È5Â�Å Å À ¿�Ä ÍBÍ�Ò�Ä@È ÀÑÈ É�ÄË À�Ã�Í�Ò�Ë È À�Ì5Ì Ä Ã�Â�Ê�Ç Ã�ÐÑÈ É�Â�È@Ë Â�ÃeÀ�Ë Ë Ò�Ì5Ç Ã�Ð�Ä Ã�Ä Ì Ç Ë�Ô À�Ì Ê� È5Ö1Å Ä Æ ÓÛ�Ù�û�Ü�ð�í�Ù á1Ù�ç ã�ì�Û�í�Ý1ã á�ì�æ�� ������ä������������������ �ï1Ù�ß_Û�ì_å1Ù á�ã ï!�Qæ�Ü�í�ìhÛ�Ù�û1Ø Û�é�ß�ì_á�ï�Ù�á!ì�Û�Ü!Ø�ß6Ø Û�ã�î�Ý�í�Ü�íÙ�ß�ß�Ø�é�Û1ð Û1Ù û1Ü�ß�çeÛ�ì!ã�ì�Û�í�Ý1ã á�ì�æQÛ�Ù�û�Ü�ß6ß å1Ü�ã�Ø ë1Ø�Ü�íÙ�ß�ß�Ø�é�Û1ð Û1Ù û1Ü�ß�çfó6ã�ì�Û�í�Ý1ã á�ì�æ�ßhï�Ù�×�ÜhÛ1ì_Û�Ù�û�Ü�ßÙ�ß�ß�Ø�é�Û1ð Û1Ù û1Ü�ß�çfó_Û�Ù�û�Ü�ßhé�Ø ×�Ü�Û6ë�ì�æ6ô!ã�ì Û�í�Ý�ã á1ì�æ1ß¾5É�ÄÞÇ Ã�Á�Ò�È#"����������_Ã�Ä Ò�È Ì Â�Å@Ö1Å ÄeË À�Ã�È Â�Ç Ã�ÆBË À�Ã�Í�Ò�Ë È À�Ì Æ�È É�Â�È�Â�Ì ÄÞÃ�À È�Ã�Â�Ê�Ä ÍhÁ�Ì À�Á�Ä Ì Å ÷�Ó ÆÊ�Ä Ã�È Ç À�Ã�Ä Í�Ç Ã���Ä Ë È Ç À�Ã$��Ó ��ù1ë�Ù�ß á1ã�Ù å&% Æ�Ã�Ä Ò�È Ì Â�Å�Ö1Å ÄoÇ Ã�È Ä Ì Ô Â�Ë ÄoÃ�Ò�ÊÑÏ�Ä Ì Æ5È É�ÄÑÇ Ã�Á�Ò�È@Ë À�Ã�Í�Ò�Ë È À�Ì ÆÇ ÃeÈ É�Ä�À�Ì Í�Ä Ì�È É�Ä ÷fÂ�Á�Á�Ä Â�ÌoÇ ÃeÈ É�Ä?Ç Ã�Á�Ò�ÈoÖ1Å Ä�Ó#��Ç Ã�Ë ÄÑÈ É�Ä?Ò�Æ Ä ÌoÃ�À�Ì Ê�Â�Å Å ÷eÍ�À�Ä ÆoÃ�À È�'�Ã�À ¿�È É�Ç ÆÀ�Ì Í�Ä Ì ù�Â?Ë À�Ê�Á1À�Ã�Ä Ã�È5Ë À�Ã�È Â�Ç Ã�Ç Ã�ÐÑ È@Å Ä Â�Æ È5À�Ã�Ä�Á�Â�È Ë É�È É�Â�È5Ç Æ�Á�Â�Ì È5À Ô=Ä Â�Ë É�Ë À�Ã�Í�Ò�Ë È À�Ì5ÊÑÒ�Æ È@Ï1ÄÃ�Â�Ê�Ä Í�Ò�Æ Ç Ã�Ð("����������)% Æ*��������Í�Ç Ì Ä Ë È Ç Î�Ä�Óë�Ù�ß á�ã�Ù�å�çÞì�Ý�á�ì�ëQû�Ü�û�ì�æ�+�Ø Û6ë1Ø�î�Ünü û�Ý1î�,�Ü á�Ý�å5Ú ã-� Ù á�î�Ø Û�Ü�à ñ�.� ����/�/Qå1ì�Ø Û�á1Ü�æ!ì�Ûaà�0�ó�ô21�+�á1Ühæ�Ü�ÿ�Ý�Ü�ß á&���ì�á�Ù�î2��Ü�û�ì�æ�+3��î�î�ì�ã�Ù�á�Ü�íTç$4�.1à ñ�.251Ø�î�ì�1�+�á�Ü�ß6� 1�æ�56ò�0�þ�à ñ�ë�ë�ë�ó�í�ö)�å�î�Ù�ã�Ü�ÿ�ç�76î�Ü ×1Ü�î�ß6ß�Ü�áQÝ�å8�Ç Ì È Ò�Â�Å�Ê�Ä Ê�À�Ì ÷BÉ�Â�Æ5Ï�Ä Ä Ã�Ä Õ�É�Â�Ò�Æ È Ä Í�Ó Æ@Ä Õ�Á�Å Â�Ç Ã�Ä ÍBÇ Ã���Ä Ë È Ç À�Ã�9�Ó ��È É�ÄoÒ�Æ Ò�Â�Å+Ë Â�Ò�Æ ÄoÀ Ô=È É�Ç ÆÁ�Ì À�Ï�Å Ä Ê!Ç Æ=Ì Ò�Ã�Ã�Ç Ã�Ð@ë�Ù�ß á1ã�Ù åÑ¿@Ç È ÉÑÅ À ¿_À�Ì Í�Ä Ì=Ä Õ�Á�Â�Ã�Æ Ç À�Ã�Æ�À�Ã?Ê�À�Í�Ä Ì Â�È Ä�È À�Å Â�Ì Ð�ÄTÁ�Ì À�Ï�Å Ä Ê�Æ Ó�: ÃÈ É�À�Æ Ä@Ë Â�Æ Ä Æ�È É�Ä@Ã�Ò�ÊÑÏ�Ä Ì�À Ô+Á�Â�Ì È Ç È Ç À�Ã�Ç Ã�Ð�Å Ä Î�Ä Å ÆTÆ É�À�Ò�Å Í�Ï1Ä@Æ Ä È5À�Ã?È É�Ä@Ë À�Ê�Ê�Â�Ã�Í?Å Ç Ã�Ä�¿@Ç È É?È É�Ä��í�À�Á�È Ç À�Ã�È ÀoÈ É�Ä�Â�Ê�À�Ò�Ã�È5Æ Ò�Ë Ë Ä Æ Æ Ô Ò�Å Å ÷�Â�Å Å À�Ë Â È Ä Í�Ï�÷�È É�Ä�Ê?Ò�Å È Ç Á1À�Å Ä5Ç Ã�Ç È Ç Â�Å Ç ø Â�È Ç À�Ã?Æ Ò�Ï�Ì À�Ò�È Ç Ã�Äå�î�Ù�ã�Ü�ÿ1Ó : Ã?È É�Ç Æ�Ä Õ�Â�Ê�Á�Å Ä�È É�Ä@À�Á�È Ç À�Ã#��í�7?Æ É�À�Ò�Å Í�Ï1Ä@Ò�Æ Ä Í�Ó : Ô�È É�Ä5Ä Ì Ì À�ÌTÍ�Ç Í�Ã�À�ÈTÀ�Ë Ë Ò�Ì�Í�Ò�Ì Ç Ã�ÐÈ É�ÄÑÊÑÒ�Å È Ç Á�À�Å ÄoÇ Ã�Ç È Ç Â�Å Ç ø Â È Ç À�Ã�ù�È É�Ä ÃeÈ É�ÄÑÅ Ç Ã�Ä�å1î�Ù�ã�Ü�ÿTç�76î�Ü ×1Ü�î�ß6ß�Ü�áQÝ�åeÇ Æ@Ã�À�È�Á�Ì Ç Ã�È Ä Í�Ó;: ÃÈ É� È�Ë Â�Æ ÄÑÈ É�ÄÑÃ�Ò�Ê?Ï1Ä Ì@À�ÔTÁ�Â�Ì È Ç È Ç À�Ã�Ç Ã�Ð?Å Ä Î�Ä Å Æ@Æ É�À�Ò�Å ÍeÏ1ÄÑÆ Ä È@È ÀBÀ�Ã�ÄÑÅ Ä Æ Æ5È É�Â�Ã�È É� ÈoÌ Ä Á�À�Ì È Ä ÍÇ ÃBÈ É�Ä(< ��"�����,�����������=eÀ�Ò�È Á�Ò�È@Æ Ä Ë È Ç À�Ã�Óû�5�ß ��Ù å�ä�Ý�û�å5ç�è1Ù�æ�Û1Ø Û�é��!ã�Ù�å�Ù�ã�Ø á�Ù�Û1ã�Ühû1Ù á�æ�Ø�þQï�Ù�ß^Û1ì Û)� Û1Ü�é�Ù á�Ø ×1Ü6ì�ë�ë���í1Ø�Ù�é�ì�Û�Ù�î�ßæ�ì >!ñ!ã�ì�î!àû�5�ß ��Ù å�ä�Ý�û�å5ç�è1Ù�æ�Û1Ø Û�é��!ã�Ù�å�Ù�ã�Ø á�Ù�Û1ã�Ühû1Ù á�æ�Ø�þ�Ø�ß_Û�ì�á�ß á�æ1Ø�ã á�î�+6í�Ø�Ù�é�ì Û1Ù�î�î�+!í�ì�û1Ø Û�Ù�Û�áí�Ý�Ühá�ìhæ�ì >!ñ

Page 46: Fast Field Solvers

?�@ ACB(D-E*E;F E(GIH�J;K�LNM�J;O

PRQ�S(T U�V�U�T W X U�Y�T S#Z#U X [ W \�]�^�S _`Y�^ X�Q�U a�S(X Q�S(T ^�[ [ S T X�_ X [ b�T X b�[ S�c#PRQ�S�dRU�[ Y�W Y�e�_;U�[ S(b�_ b�U�f f gS Y�T ^�b�Y�X S [ S ]2d*Q�S Y2h�i�j k)l�i mIW _#n ^�[ T S ]2X ^ob�_ S$f ^ dNS [p^�[ ]�S [pS \�V�U�Y�_ W ^�Y�_ crq*_s]�W _ T b�_ _ S ]IW Yt S T X W ^�Y�u�c v�w [ S _ b�f X _�^�x�X U�W Y�S ]`b�_ W Y�eRf ^ dRS [�^�[ ]�S [�S \�V�U�Y�_ W ^�Y�_-U�[ S ^�Y�f g`[ S f W U�x�f S�n ^�[&X Q�S ]�W U�e�^�Y�U�fT U�V�U�T W X U�Y�T S y Z#U X [ W \�S Y�X [ W S _ c(z Y�U�T T b�[ U�T W S _`W Y�X Q�S(^�{)y ]�W U�e�^�Y�U�f-Z#U X [ W \�S Y�X [ W S _`T U�Y�V�[ ^�]�b�T SX Q�S _ S;dNU�[ Y�W Y�e�_ w�S a�S YpX Q�^�b�e�Q#X Q�S;]�W U�e�^�Y�U�f)T U�V�U�T W X U�Y�T S _RU�[ S;U�T T b�[ U X S;S Y�^�b�e�Q#X ^�x&S;b�_ S n b�f cPRQ�S*]�W U�e�^�Y�U�f)]�^�Z#W Y�U�Y�T S*S [ [ ^�[NW _ U�f _ ^�T U�b�_ S ]px�gpW f f S e�U�f�]�W _ T [ S X W | U X W ^�Y�_�d*W X Q#_ b�V&S [ W Z#V&^�_ S ]V�U�Y�S f _ wNV&^�^�[ f go]�W _ T [ S X W | S ]}]�W S f S T X [ W Ts[ S e�W ^�Y�_ wNV�U�[ X W T b�f U�[ f g$d*W X Q~Q�W e�Q~V&S [ Z#W X X W a�W X W S _ w U�Y�]V)^�^�[ f g(]�W _ T [ S X W | S ]#T ^�Y�]�b�T X ^�[N_ b�[ n U�T S _ w�S _ V)S T W U�f f g�d*Q�S Yp]�W {&S [ S Y�XNT ^�Y�]�b�T X ^�[ _NU�[ SRa�S [ g#T f ^�_ SX ^�e�S X Q�S [ c

���������������������������!���������!�������3� ���������)�������PRQ�S(W X S [ U X W ^�Ysn ^�[*X Q�S(T U�V�U�T W X U�Y�T S(Z#U X [ W \�Q�U�_;n U�W f S ]sX ^sT ^�Y�a�S [ e�S�c(PRQ�S#]�S n U�b�f X;a�S [ _ W ^�Y�^�nh�i�j k&l�i�msQ�U�f X _RU n X S [N��W X S [ U�X W ^�Y�_ n ^�[NU�Ys��V�U�Y�S f&V�[ ^�x�f S Z�W n-T ^�Y�a�S [ e�S Y�T S`Q�U�_RY�^�XR^�T T b�[ [ S ]&cPRQ�W _RS [ [ ^�[R[ U�[ S f gs^�T T b�[ _Rn ^�[RV�[ U�T X W T U�f�V�[ ^�x�f S Z#_R_ W Y�T S`h�i�j k)l�i m�b�_ S _*U#V�[ S T ^�Y�]�W X W ^�Y�S [ c

�N� ���}�*�N�PRQ�W _;_ S T X W ^�Y�U�X X S Z#V�X _*X ^sW X S Z#W | S;X Q�S(Z#U � ^�[*_ Q�^�[ X T ^�Z#W Y�e�_;^ nNh�i�j k&l�i�m�U�Y�]�X Q�S(W Y�V�b�X*�)f Se�S Y�S [ U�X ^�[NV�[ ^�e�[ U�Z#_ c�PRQ�S;b�_ S [RW _ S Y�T ^�b�[ U�e�S ]#X ^([ S V&^�[ XRU�Y�gp^ X Q�S [Nx�b�e�_Nx�g#_ S Y�]�W Y�e�Z#U�W f�X ^h�i�j k&l�i�m����������� �¡�¢���£�¡�j�¤�¥ ¦&¤ kR¥ ¢�§��)c

h�i�j k&l�i�mv�c*¨�W _ XR�)f S`V�[ ^ a�W ]�S _Nn ^�[R^�Y�f gpX [ U�Y�_ f U�X W ^�Y�_ w)Y�^ X*[ ^�X U X W ^�Y�_ cu�c*P-[ U�Y�_ f U�X W ^�Y�_*^ n V�U�Y�S f _*W Y�V�b�X*a�W Usj k�§)¤ ©�^�[`¤ ©�m���k�h�¤�¡�¢pU�[ S�Y�^ X;V&^�_ _ W x�f S�cRª;_ S�U#f W _ X�)f S*d*Q�S YsX [ U�Y�_ f U�X W ^�Y�_RU�[ S`[ S «�b�W [ S ]&c

¬ c*q*f f)W Y�V�b�XN]�W Z#S Y�_ W ^�Y�_ U�[ S*U�_ _ b�Z#S ]pW Y(Z#S X S [ _ c PRQ�S [ S*W _ T b�[ [ S Y�X f g#Y�^`dNU g#X ^`_ T U�f SRX Q�SV�[ ^�x�f S Z�^�Y�X Q�S#T ^�Z#Z#U�Y�]$f W Y�S c#PRQ�S(T U�V�U�T W X U�Y�T S#^ nNX Q�S(X [ b�S(e�S ^�Z#S X [ g�W _`S «�b�U�f-X ^X Q�S#T U�f T b�f U�X S ]$T U�V�U�T W X U�Y�T S#Z�b�f X W V�f W S ]�x�g�X Q�S(n U�T X ^�[`[ S «�b�W [ S ]�X ^�T ^�Y�a�S [ X�X Q�S#W Y�V�b�Xf S Y�e�X Qsb�Y�W X _`­ U�f dRU g�_*Z#S X S [ _ ® X ^(X Q�S`]�S _ W [ S ]�b�Y�W X _ c

?�c*¯;W S f S T X [ W TNW Y�X S [ n U�T S _ T U�Yp^�Y�f g(x&S*W Y�V�b�X d*W X Q#U`f W _ X��)f S�­ ^�Y�f g#T ^�Y�]�b�T X ^�[ _ T U�Ypx)S*W Y�V�b�XX Q�[ ^�b�e�Q�j k�§�¤ ©sU�Y�]�¤ ©�m���k�h)¤�¡�¢�® cNª*_ S`U#f W _ XR�)f S*n ^�[RU�f f�]�W S f S T X [ W T;W Y�X S [ n U�T S _ c

° c*PRQ�Ss]�W S f S T X [ W Tp_ b�[ [ ^�b�Y�]�W Y�e$U�f fRT ^�Y�]�b�T X ^�[ _#W Y�V�b�X#X Q�[ ^�b�e�Q2j k�§)¤ ©}U�Y�]2¤ ©�m���k�h)¤�¡�¢U�f dRU g�_ Q�U�_�X Q�SRV)S [ Z#W X X W a�W X g�^�n)n [ S SR_ V�U�T S*Z�b�f X W V�f W S ]�x�g(X Q�SRV&S [ Z#W X X W a�W X g`n U�T X ^�[�_ V&S T yW �)S ]pd*W X Q���m$­ v�c @#x�gs]�S n U�b�f X ® c ª;_ S`U#f W _ XN�)f S`W n-^�X Q�S [Ra�U�f b�S _RU�[ S`[ S «�b�W [ S ]&c

± c*¯;W S f S T X [ W TpW Y�X S [ n U�T S _#Q�U a�S�Y�^$Y�U�Z#S _(U�Y�]oX Q�S [ S n ^�[ SsT U�Y�Y�^�X#x&Ss[ S Z#^ a�S ]}_ S f S T X W a�S f gn [ ^�ZrX Q�S;W Y�V�b�XR^�[NT Q�U�[ e�S;]�W _ X [ W x�b�X W ^�Y#V�f ^�X _ d*W X QpT ^�Z#Z#U�Y�]pf W Y�S*^�V�X W ^�Y�_ c P-^�[ S Z#^ a�S]�W S f S T X [ W TRW Y�X S [ n U�T S _ _ S f S T X W a�S f g(n [ ^�Z�X Q�S*W Y�V�b�X w�T ^�Z#Z#S Y�XN^�b�XNf W Y�S _ W Y�X Q�SRf W _ X �)f S c�P-^[ S Z#^ a�S`U�f f&]�W S f S T X [ W T;W Y�X S [ n U�T S _Rn [ ^�Z6T Q�U�[ e�S`V�f ^�X _Rb�_ S��� �§�c

²�c*z Y��)Y�W X S _ W Z#U�f f g;X Q�W Y(T ^�Y�]�b�T X ^�[ _ ^�Y(]�W S f S T X [ W TNW Y�X S [ n U�T S _*­ W Y�T f b�]�S ](b�_ W Y�e;f W Y�S _-_ X U�[ X W Y�ed*W X Q�³ ´)µ)W Ysf W _ XN�)f S _ ® w)U�[ S`Y�^ X;_ b�V�V)^�[ X S ]�W YpX Q�W _R[ S f S U�_ S�c

Page 47: Fast Field Solvers

¶�· ¸º¹;» ¼�½ ¾�¿

À�Á*Â*à ÃNÄ Å�Æ Ç È�É Ê Ä(È�Æ ÊpÃ Ë Ä Ì Ê ÍoË ÎoÌ Ï�Ê�Ð Ñ�Ò�Ó�ÔrÕ Ó�Ö�×�Ø�Ù�Ú�Õ$Û�È�Æ Ì#Ü Ç*Ì Ï�ÊsÜ�Å�Ì Û�Å�Ì#Ê Ý�Ê Î}Ë Ç;È�Ã Ã Ì Ï�ÊÉ Ü�Î�Í�Å�É Ì Ü�Æ Ä*Ë ÎpÄ Ü�Þ#Ê`Ü Ç-Ì Ï�Ê Þ6Ï�È Ý�Ê`ß&Ê Ê ÎsÆ Ê Þ#Ü Ý�Ê Í�Å�Ä Ë Î�àpá�Ö)â�Á

ã�Á*äRÏ�Êså&Â�äRæ*Â;ç6Î�Ê Å�Ì Æ È�ÃNè)à ÊpË Î�Ì Ê Æ Ç È�É ÊpÏ�È�Ä�Ý�Ê Æ é~Ã Ë Ì Ì Ã Ê#Ê Æ Æ Ü�Æ(É Ï�Ê É ê�Ë Î�à�Áoë Ç;×�Ø�Õ Ô&Ù�Ø�Ò~Ë Äà�Ë Ý�Ê ÎsÈ�ÎsË Î�É Ü�Æ Æ Ê É ÌRÇ Ü�Æ Þ#È Ì*Î�Ê Å�Ì Æ È�Ã&è)à Ê;Ë Ì*Ê Ë Ì Ï�Ê ÆRÏ�È�Î�à�Ä*Ü�ÆRÍ�Å�Þ#Û�Ä*É Ü�Æ Ê Á

¿ ì�Á*äRÏ�Ê(È�É Ì Å�È�Ã�Û)Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ì`è)Ã Ê Î�È�Þ#Ê Ä`Å�Ä Ê Íoß�é$×�Ø�Õ Ô&Ù�Ø�Ò!á í$Ü�Æ;×�Ø�Õ Ô)Ù�Ø Òrá�î�ï�Ù�ð Ñ�ñ�ò�â�Õ Ô)óÈ�Æ Ê`Í�Ê Æ Ë Ý�Ê ÍsÇ Æ Ü�Þ�Ì Ï�Ê`Ë Î�Û�Å�ÌRè)à Ê`Î�È�Þ#Ê ÄRÈ�Î�Í�É È�Î�Î�Ü Ì;ß)Ê`Í�Ë Æ Ê É Ì Ã épÉ Ï�È�Î�à�Ê Í�ß�épÌ Ï�Ê`Å�Ä Ê Æ Á

¿�¿�Á*å-Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ìpè)Ã Ê ÄpÛ�Æ Ü�Í�Å�É Ê Í}ô*Ë Ì Ï}×�Ø�Õ Ô)Ù�Ø Ò!á�í}Ü�Æ#×�Ø�Õ Ô)Ù�Ø Ò!á�î�ï�Ù�ð�Ñ�ñ!ò�â�Õ Ô)óoÛ�Æ Ü�Í�Å�É ÊÛ�È�Î�Ê Ã-Ü�Æ Í�Ê Æ Ë Î�à#Ê Æ Æ Ü�Æ Ä�õ È�Î�Í�Å�Ä Å�È�à à é�Û�Æ Ë Î�Ì*ôRÈ�Æ Î�Ë Î�àpÞ#Ê Ä Ä È�à�Ê Ä öNô*Ï�Ê Î�Û�È�Î�Ê Ã Ä*Ë Î�Ì Ê Æ Ä Ê É Ì Á÷ Ü ôRÊ Ý�Ê Æ ø&Ä Å�É Ï�Í�Ë Ä É Æ Ê Ì Ë ù È�Ì Ë Ü�Î�ÄRÈ�Æ Ê`Ë Ã Ã Ê à�È�à Á

¿ ú�Á;û;É É È�Ä Ë Ü�Î�È�à à é}Ì Ï�Ê$Û&Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ì�Û�Ë É Ì Å�Æ Ê Ä�È�Æ Ê$Ë Î�É Ü�Æ Æ Ê É Ì�Ê Ý�Ê Î3Ç Ü�ÆsÃ Ê à�È�Ã;Í�Ë Ä É Æ Ê Ì Ë ù È Ì Ë Ü�Î�Ä ÁäRÏ�Ê Æ Ê#È�Æ Ê�Ì ôNÜ�ê�Î�Ü ô*Îoß�Å�à�Ä`Ã Ê È�Í�Ë Î�à#Ì ÜpÌ Ï�Ë Ä`Û�Æ Ü�ß�Ã Ê ÞsÁ�äRÏ�Ê(è)Æ Ä Ì�Ë Ä;Ü Ç Ì Ê Î�È Ý�Ü�Ë Í�Ê Í$ß�éÉ Ï�È�Î�à�Ë Î�àRÌ Ï�Ê Ý�Ë Ê ô~È�Î�à�à ÊNÄ Ã Ë à�Ï�Ì Ã é�Á-äRÏ�ÊNÄ Ê É Ü�Î�Í(Ë Ä�É È�Å�Ä Ê Í(ß�é�Û�Æ Ü�ß�Ã Ê Þ#Ä�ô*Ë Ì Ï�Í�Ë Þ#Ê Î�Ä Ë Ü�Î�ÄÜ�Î$Ì Ï�Ê#Ü�Æ Í�Ê Æ�Ü�Ç;¿ ì�ü�ý(Ü�Æ`Ã Ê Ä Ä Á�äRÏ�Ë Ä�Û�Æ Ü�ß�Ã Ê ÞþÉ È�ÎoÜ�Î�à é$ß&Ê#È Ý�Ü�Ë Í�Ê Íoß�éoÆ Ê Ä É È�Ã Ë Î�àsÌ Ï�ÊË Î�Û�Å�Ì Á

¿ ÿ�Á*äRÏ�Ê(Û�È�Î�Ê Ã�Ä Ü�Æ Ì Ë Î�àpÈ�à à�Ü�Æ Ë Ì Ï�Þ6Å�Ä Ê Í�Ì Ü#ô*Æ Ë Ì Ê(Ü�Å�Ì;Ì Ï�Ê(Û&Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ì;è)Ã Ê Ä*Ì È�ê�Ê Ä;Ì Ë Þ#Ê�Û�Æ Ü��Û)Ü�Æ Ì Ë Ü�Î�È�Ã&Ì ÜpÌ Ï�Ê�Î�Å�Þ�ß&Ê Æ;Ü�ÇNÛ�È�Î�Ê Ã Ä;Ä � Å�È�Æ Ê Í&Á�äRÏ�Ë Ä;Ã Ë Þ#Ë Ì ÄRË Ì Ä;Å�Ä Ê Ç Å�à Î�Ê Ä Ä;Ì ÜpÛ�Æ Ü�ß�Ã Ê Þ#Äô*Ë Ì Ï�Ã Ê Ä ÄRÌ Ï�È�Î�È(Ç Ê ô3Ì Ï�Ü�Å�Ä È�Î�Í�Û�È�Î�Ê Ã Ä Á��)Ü�Æ*à È�Æ à�Ê Æ*Û�Æ Ü�ß�Ã Ê Þ#ÄRÌ Ï�Ê`Û�È�Î�Ê Ã Ë Î�à#Ä Ï�Ü�Å�à Í�ß)ÊÍ�Ü�Î�ÊpÏ�Ë Ê Æ È�Æ É Ï�Ë É È�à à é�Ä ÜsÌ Ï�È Ì(È�É Ü�È�Æ Ä Ê Æ�Í�Ë Ä É Æ Ê Ì Ë ù È�Ì Ë Ü�Î$É È�Îoß)ÊpÅ�Ä Ê Í$Ç Ü�Æ`Û�Ë É Ì Å�Æ Ê Ä Á��)Ü�ÆÛ�Æ Ü�ß�Ã Ê Þ#Ä*ß�Å�Ë Ã Ì;Å�Ä Ë Î�à#Ì Ï�Ê(à�Ê Î�Ê Æ Ë É�Ë Î�Û�Å�Ì;è)à Ê�à�Ê Î�Ê Æ È�Ì Ü�Æ Ä ø&Ì Ï�Ê#á�ñ�Ü�Û�Ì Ë Ü�Î�Û�Æ Ü Ý�Ë Í�Ê Ä*Ì Ï�Ë ÄÇ Å�Î�É Ì Ë Ü�Î&Á

¿ ¾�Á��IÏ�Ê Î�È ��Ê Ä*È�Æ Ê`Ë Î�É Ã Å�Í�Ê ÍsË ÎsÛ)Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�ÌRè)Ã Ê ÄRÅ�Ä Ë Î�à(Ì Ï�Ê�á��ï�Ø�Ú�ÕIò�Ú�Ñ���Ô )ópÜ�Û�Ì Ë Ü�Î&ø�Ì Ï�ÊÈ ��Ê Ä �NÌ ôNÜ�� Í�Ë Þ#Ê Î�Ä Ë Ü�Î�È�Ã*Û�Æ Ü � Ê É Ì Ë Ü�Î�ÄsÈ�Û�Û&Ê È�ÆpË Î}Ì Ï�Ê�Û)Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ìpè)à Ê�ß)Ê Ç Ü�Æ Ê�Ì Ï�Ê�Û�È�Î�Ê Ãè)Ã Ã Ä Á`äRÏ�Ë Ä;Þ#Ê È�Î�Ä*Ì Ï�È�Ì;Ì Ï�Ê(Ü�ß�� Ê É Ì`Ä Ï�Ü�Å�à Í�ß)Ê(ß&Ê Ì ôNÊ Ê Î�Ì Ï�Ê�Ý�Ë Ê ô!Û&Ü�Ë Î�Ì`È�Î�Í�Ì Ï�Ê(È���Ê Ä øÜ Ì Ï�Ê Æ ô*Ë Ä Ê(Ì Ï�Ê#È���Ê Ä�É È�Îoß)ÊpÜ�ß�Ä É Å�Æ Ê ÍoÄ Ì Æ È�Î�à�Ê Ã é�Á�äRÏ�Å�Ä`Ì Ï�ÊpÜ�Û�Ì Ë Ü�Î�ôNÜ�Æ ê�Ä(ß)Ê Ä Ì�ô*Ï�Ê ÎÝ�Ë Ê ô*Ë Î�àsÜ�ß� Ê É Ì Ä�Ì Ï�È Ì�Ã Ë Ê#Ê Î�Ì Ë Æ Ê Ã é$Ë Î�Ì Ï�ÊpÛ)Ü�Ä Ë Ì Ë Ý�Ê(Ü�Æ Ì Ï�È�Î�Ì`Ç Æ Ü�ÞþÈsÝ�Ë Ê ôrÛ&Ü�Ë Î�Ì�Ë Î�Ì Ï�ÊÛ)Ü�Ä Ë Ì Ë Ý�Ê;Ü�Æ Ì Ï�È�Î�Ì Á

¿ ��Á*äRÏ�Ê(ß&Ü�Å�Î�Í�Ë Î�àsß)Ü ��Ë Î�Û&Ü�Ä Ì Ä É Æ Ë Û�Ì;è)Ã Ê Ä;Û�Æ Ü�Í�Å�É Ê Í�ô*Ë Ì Ï$á�î�Ë Ä;Ë Î�É Ü�Æ Æ Ê É Ì`Ë Ç Ì Ï�Ê(Ä Ï�È�Í�Ë Î�àê�Ê épË Ä Ë Î�É Ã Å�Í�Ê Í&Á äRÏ�Ê*ß&Ü�Å�Î�Í�Ë Î�à�ß)Ü �#Û�Æ Ë Î�Ì Ê ÍpË Ä�Ì Ï�È�ÌNÜ�Ç&Ì Ï�Ê*Ä Ï�È�Í�Ê ÍpË Þ#È�à�ÊNô*Ë Ì Ï�Ü�Å�Ì Ì Ï�Êê�Ê é�Á

Ù Ó���Ú��Ú�ÑÂ*à Ã�Ì Ï�Ê Ç Å�Î�É Ì Ë Ü�Î�Ä�Ü�Ç�Ì Ï�ÊRÉ Å�ß&ÊNË Î�Û�Å�Ì�è)à ÊNà�Ê Î�Ê Æ È�Ì Ü�ÆNÙ Ó���Ú��Ú�Ñ(É È�Î(ß)ÊRÛ)Ê Æ Ç Ü�Æ Þ#Ê Í�ß�é�Ò&â Ò)Ú�ñ���Ú�Ñ)øÈ�Ã Ì Ï�Ü�Å�à�Ï�Ù Ó���Ú��Ú�Ñ�� Ä*Ë Î�Ì Ê Æ Ç È�É Ê`Ë ÄRÜ�Ç Ì Ê Î�Þ#Ü�Æ Ê`É Ü�Î�Ý�Ê Î�Ë Ê Î�Ì Á

Ò���Ö�Ø��Ú�ÑäRÏ�Ê#Û�é�Æ È�Þ#Ë Í$Ë Î�Û�Å�Ì`è)à Ê#à�Ê Î�Ê Æ È�Ì Ü�Æ;Ò���Ö�Ø���Ú ÑoË Ä`É Å�Æ Æ Ê Î�Ì Ã é$Ü�Î�à é�É È�Û�È�ß�à Ê#Ü ÇNÌ Ï�ÊpÍ�Ê Ç È�Å�à Ì�Í�Ë Ä �É Æ Ê Ì Ë ù È�Ì Ë Ü�Î&ø ô*Ë Ì ÏoÌ Ï�Æ Ê ÊsÛ�È�Î�Ê Ã Ä(Ü�Î~È$Ä Ë Í�Ê$õ È�Ã Ä Ü$Æ Ê Ä Å�Ã Ì Ä(Ç Æ Ü�Þ á�Ñ���ö øNÈ�Î�Í~Î�Ü$Í�Ë Ä É Æ Ê Ì Ë ù È�Ì Ë Ü�Îõ Å�Ä Ë Î�à#á�ñ�ö Á

Page 48: Fast Field Solvers

�� ��������� � ��!#"�$ %'&)(*$ +

,�-�.�/�0 1

2�3 3'4 5�687 9�:�; 4 < =�:�> = 7?4 5�6A@�B�C B3 3 6 3�@�3 B 4 6A; B@�B�; < 4 =�C�< :�@�9�4 D�3 6AE�6 :�6 C B�4 =�C ,�-�.�/�0 1 ; B�:GF�6A@H6 C I7 =�C JK6 LMF�NMFH= 4 5 , O�P�0/�0�1 B:�L .HQ .�0�R�/�0�1�S 9�:�3 6 > >�JK=C 6�4 5�B:T4 U�=K@�3 B�4 6 >�BC 6 C 6 V9�< C 6 LHW

X)Y Z\[^]8_ `�acbed�f d�g�d*h�`'d

i -�j kH,�-�.

l 9�:mJ�9�3 4 < @�=3 6AB; ; 6 3 6 C B 4 6 Lm; B�@�B; < 4 B:�; 6K6 n4 C B; 4 < =:mB3 E�=C < 4 5�Jo=�:p> @�6 ; < D�6 Lp; =:�L�9�; 4 =C8E6 I=�JK6 4 C N S =�@�4 < =:�B�3 3 N�@�C =�L�9�; 6 BA@�=> 4 > ; C < @�4)D�3 6�@�< ; 4 9�C 6�=�7H4 5�6 ; 5�B�C E6�L�< > 4 C < F�9�4 < =�:K9�> 6 LT< :�4 5�6; B3 ; 9�3 B�4 < =�: S =C�@�C =�L�9�; 6�BK@H=�> 4 > ; C < @�4�D�3 6A3 < :�68L�C B U�< :�ET= 7*4 5�6A< :�@�9�48E�6 =�JK6 4 C N�W�2 C E�9�JK6 :�4 >; B:MFH68> @�6 ; < D�6 LM< :MB:�NM=C L�6 C W

i -�j kH,�-�.rq s�tu�0�v.�-�1�j�Q�t�1wt�x�R�0x�yz{q sR�u�.�-x�kHQ kHQ�t�1�Q 1�/|R�0�.k�}�yz{q u�Q 1�.O�k i Q~0�y�zq s�.�u�.�0x��HQ k�k�Q ��Q k�� i -�, k�t�x�y�z{q s�x�j�u�,�t�1�R|~�Q�j k�y�z{q s�x�Q�u�,�t�1�R�~�Qj k�yzq szoq s~�u~�Qj k i Q�~�0yzoq s k�u�Q k�0x#k�t~�y�z{q s�-u�-���Q ��Ok�}�yzrq s�0u�0~�0 ��- kHQ�t�1�yzq sx�ux�t�k�-�k�Qt 1�y�zrq s }�u�R�Qj k�-�1�,0yzrq s�j�u�j,-~�0yz{q s ��u~�Q 1�0 �HQ Rk}�y�zq s�O�u�O.�-�v�Qjy�zrq s���u�,t 1�R�~�Q�j k�y�z{q s�x�,�u�,�t�1�R|~�Q�j k�y�z{q sv�u�-�v�0�j~0�1�/k}�y�zq s�P�u?� i Q / i Q~0�y�zrq s ��zoq s�x��z{q s�x�Rz{q s�R�, z{q s�, z{q s ��zoq s 1�zoq s i z{q s/z

Page 49: Fast Field Solvers

��� ���8��� � �T� � � � � � ��� � ���

����� �H�����G� ��  ¡ ¢�£�¤� ��  ¡ ¢�£¦¥ § ¨ ©�ª�«  ­¬�©£�®�§ ¯�ª�£�°   ¡ ¢�£±² ³µ´*¶p·�¸¸�¸º¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�§ ¼���©�£�¤ ¡ ¢£M¢½ ¾�§ ½ ¿±�À ©ª�  ¢ ´*¶p·�¸¸�¸º¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�¤ ��©   ¡ ©«H��©½   ¡   ¡ ¢�£�¡ £�®�¾�§ ��  ÁH¿± � ·'¸ ´ÃÂ�´?¸ ´µ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�½ § « ©�  ¡ ħ �H§ ½ ÅK¡     ¡ Ä�¡   ÆK¨ ©�°   ¢�½ ¿±�Ç � ÈÉÈ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�° ¢£�¾�ª�°   ¢½ ¤�  ¢�½ § ÅK¢ ħ ¨ ½ ¢�Åʤ ¢« ħ8« ¡ ¤   ¿±�Ç�Ë ÈÉÈ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�° ¢£�¾�ª�°   ¢½ ¤�  ¢�½ § ÅK¢ ħ ¨ ½ ¢�ÅÊ¡ £���ª�  ¿± Ì Ì ¯�¢½ ° § ¤�° ¢�£�¾�ª�°   ¢�½�¤ ª�½ ¨ ©�° §8½ § ©¾T¨ ½ ¢Åc� � À�Ë Í ¿±Î Ì Ì ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�¤ ª�½ ¨ ©�° § Î�Ë � �Ï� Ë�Î�Ð ¿± � ´?¸ ´�·\Â�´?¸ ´µ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�¡   § ½ ©�  ¡ ħ « ¢�¢�K  ¢« § ½ ©£�° §8¢�£ÒÑ Ó Ô�Õ Ö ×�Ø�ÙÚ Ñ Û ¿± � Ü ´*¸ ´ÞÝ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�©�ß ¡ ÅAª�  ÁTÄ�¡ § à�©�£�®« § ¡ £M¾�§ ®½ § § ¤ ¿±Ð Ü ´*¸ ´ÞÝ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�§ « § Ä�©   ¡ ¢£KÄ�¡ § à�©�£�®« § ¡ £M¾�§ ®�½ § § ¤ ¿±�Ç ´*¸ ´áÝ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�»�£�©�«'½ ¢�  ©   ¡ ¢£T¢�¨?â ã ¥�¡ ÅK©�®§ ¡ £M¾�§ ®½ § § ¤ ¿± ä ³*¸ ´Ãå|´?¸ ´É¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�¾�¡ ¤   ©�£�° § ¨ ½ ¢�Åʤ ª�½ ¨ ©�° §8¢�¨*¢�æ�ç § °  �¡ £M¢æç § °   ½ ©�¾�¡ ¡ ¿± � ·'¸ ´ÃÂ�´?¸ ´µ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�»�£�©�«'¤ ° ©�« ¡ £�®�¢�¨?â ã ¥�¡ ÅK©®�§�¿± è ·'¸ ´Ãå|´?¸ ´É¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤���¢¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« § « ¡ £�§�à�¡ ¾�  ÁH¿± é êµë�ì�í�ì ¢½ êî¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�à�Á�¡ ° Á � ã ¥|© ¼�¡ ¤�¡ ¤�ÅK©����H§ ¾T  ¢�Æã © ¼�¡ ¤�¡ £�â ã ¥�¡ ÅK©®�§�¿±�ï ÈÉÈ ð)©ª�¤ § ¤�° Á�©½ ®�§8¾�¡ ¤   ½ ¡ æ�ª�  ¡ ¢£T�H¢�¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« § ¤�  ¢�æH§ à�½ ¡     § £H¿±�Ç � ÈÉÈ ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�° ¢£�¾�ª�°   ¢½ ¤�  ¢�½ § ÅK¢ ħ ¨ ½ ¢�ÅÊ©« «H��¡ °   ª�½ § ¤ ¿±�ë ·'¸ ´ÃÂ�´?¸ ´Éñ £�° « ª�¾�§ ¤�©�¼�§ ¤�¢ ¨*« § £�®   Á�� ë�Ð � Î�Ð Í�ò � ä ¡ £M��¡ °   ª�½ §�¿± ó ôµô ¹ �H§ ° ¡ »�§ ¤�« ¡ £�§ ¤ ì ¾�¢   ¤�©�£�¾�©�½ ½ ¢ à�¤�  ¢�¤ ª��H§ ½ ¡ ÅK�H¢�¤ §8¢�£���¡ °   ª�½ §�¿± õ Ì Ì ð)©ª�¤ § ¤��H¢�¤   ¤ ° ½ ¡ ��  ã »�« §8« ¡ £�§ ¾�½ © à�¡ £�®Aà�½ ¡   §�¿±�Çö Ì Ì ¬�§ ÅK¢ ħ ¤�  Á�§8¤ Á�©�¾�¡ £�®K÷�§ ÆM¡ £M° Á�©�½ ®§8¾�¡ ¤   ½ ¡ æ�ª�  ¡ ¢£T��¡ °   ª�½ § ¤ ¿±�Ç�À Ì Ì ¬�§ ÅK¢ ħ ¤�©�« «'¾�¡ § « § °   ½ ¡ ° ¤ ª�½ ¨ ©° § ¤�¨ ½ ¢�ÅÊ��¢¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« § ��¡ °   ª�½ § ¤ ¿±�À � Ì Ì ø ©�÷�§ ¤�  ¢   ©«H° Á�©½ ®�§ ì ½ ©   Á�§ ½)  Á�©£M° Á�©½ ®�§8¾�§ £�¤ ¡   Æ ìH±�ï ��¡ °   ª�½ § ¤ ¿± � Ì Ì ù ª�  ¤�  Á�§8° ¢ÅKÅK©�£�¾M« ¡ £�§ ¡ £M�H¢�¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« § ��¡ °   ª�½ § ¤ ¿± ú Ì Ì ¬�§ ÅK¢ ħ ¤8� ä�² è ��� ò�Ð ¨ ½ ¢Åû�H¢�¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« §�¿± Í Ì Ì ü ª�ÅAæH§ ½ ¤�¨ ©�° § ¤�¡ £M¢�½ ¾�§ ½�¡ £���ª�  ¿± � Ì Ì ¹ ª�����½ § ¤ ¤ § ¤ Á�¡ ¾�¾�§ £�« ¡ £�§ ½ § ÅK¢ Ä�©« ¿±�ò Ì Ì ù ½ ¡ £  ¤)  Á�§8®½ ©���ÁMª�¤ § ¾M  ¢�¢½ ¾�§ ½�  Á�§8��©�£�§ « ¤�¡ £M��¢¤   ¤ ° ½ ¡ �� �»�« § ¿

Ý ¬�©�£�®§8¡ ¤�ª�£�½ § ¤   ½ ¡ °   § ¾H¿È ð)¢�£�¾�ª�°   ¢�½ « ¡ ¤  �¨ ¢�½ ÅK©�  ýMþ ÿ Í � õ�Ð����?¶�¸�¸¸¶ þ ÿ Í � õ�Ð���� ¿ ü ©ÅK§A¤   ½ ¡ £�®�¤ £�§ § ¾�¢£�« Æ�æ�§A¤ �H§ ° ¡ »�§ ¾à�¡   ÁG§ £�¢ª�®�Ám« § ©¾�¡ £�®K° Á�©½ ©�°   § ½ ¤   ¢Mæ�§�ª�£�¡ �ª�§�¿ ¹ ��§ ° ¡ ¨ Æ�¡ £�® ±ï à�¡   ÁG£�¢M« ¡ ¤   ¡ ¤�  Á�§�¤ ©ÅK§A©¤®�¡ Ä�¡ £�®�©�« ¡ ¤  �¢ ¨*©« «�  Á�§8° ¢�£�¾�ª�°   ¢�½ ¤ ¿ôA¹ § §?¨ ª�£�°   ¡ ¢£ Ç�Ð � À���Ë Í�Ð ��� ¡ £K� Ç �� ê�ó�é ��� Í� é � ¸ ��¨ ¢½'©�¾�§ ¤ ° ½ ¡ ��  ¡ ¢£A¢ ¨�  Á�§ ¸ � Ë�ò »�« §*¨ ¢�½ ÅK©�  ¿

� é�ó�Ðò�Ð�Í� § £�§ ½ ©�  §A©T° ª�æ�¡ °A° ©���©° ¡   ¢½���½ ¢�æ�« § Åʨ ¢�½�¡ £���ª� �  ¢T����� ���� �H¿�� ½ ®�ª�ÅK§ £�  ¤ ÅK© Æ�æ�§A¤ �H§ ° ¡ »�§ ¾¡ £M©�£ÆM¢�½ ¾�§ ½ ¿� é�ó�Ðò�Ð�Í þ ±ë�² ÿ ²Ç�Ë�ò�Ë Í�ë���� þ ±�í�² ÿ ²�Ç�Ë ò�Ë Í�í���� þ ±ê�² ÿ ²Ç�Ë�ò�Ë Í�ê����þ ±ë�ä ÿ ä�Ð�Ë�ò�ä � ë���� þ ±�íä ÿ ä�Ð�Ë òä � í���� þ ±ê�ä ÿ ä�Ð�Ë�ò�ä � ê����þ ±�Í ÿ Íé�õ ��� Í�Ð�Î ���� Ë À�Ð���� þ ±�Ð ÿ Ç�Ð�ÎÏÐ�À�ò�Ð ��� Í�Ð�Îeè�Ë�À � ä���� þ ±�Í ��ÿ Í � õ�Ð����

Page 50: Fast Field Solvers

��� ����������� ���������! #"$��%

& '�(�)*& '�+�)*& ' ,�)-& ' .�)-& ' .�/�0�)*& '�.�/�1�)*& ' .�,�0�)*& '�.�,�1�)*& '�2�)

3 4 ,�5�6�5 798�:�; < =�>�?8�:�; < =�>A@�B C D�E�F ;HG�D�>�I�B J�E�>�K ; < =�>'�L�( M$N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BU=�V < I�< >XWYK =�=�V Z�< >�D�; B�< >Y[XB ; B V ? \'�]�( M$N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BU=�V < I�< >X^YK =�=�V Z�< >�D�; B�< >Y[XB ; B V ? \'�_�( M$N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BU=�V < I�< >a`UK =�=�V Z�< >�D�; B�< >Y[XB ; B V ? \'�L�b c!N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BUB W�K E�V ? < =�>YC V =�[d=�V < I�< >a< >aWYZ�< V B K ; < =�>Re�[XB ; B V ? \'�]�b c!N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BUB W�K E�V ? < =�>YC V =�[d=�V < I�< >a< >a^YZ�< V B K ; < =�>Re�[XB ; B V ? \'�_�b c!N MPO Q�:RB K < S�B ?�K E�T�BUB W�K E�V ? < =�>YC V =�[d=�V < I�< >a< >Y`UZ�< V B K ; < =�>Re�[XB ; B V ? \' 7 fgc!h9ijN�N�NkQ�:RB K < S�B ?�>�E�[lTRB V�= C$:�D�>�B F ?m:RB V�K E�TRBUB Z�I�B \'�5 M$N conpMjN MqQ�:RB K < S�B ?�B Z�I�B�; =X< >�>�B Vm:�D�>�B F!r�< Z�; sYV D ; < =�\' 7�t u c�vow Q�:RB K < S�B ?�K =�>�Z�E�K ; =�V�>�D�[XB�\'�( x x y#D�E�? B ?�K E�TRB�; =�TRBUK B >�; B V B Zz=�>a; s�BU:R=�< >�;l{ |�|X|�} \' + x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�B�; =�:aC D�K B e�����_�(���_�bY:�F D�>�B �R\' , x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�BUTR= ; ; =�[�C D�K B�e��l�p_�(X:�F D�>�B �R\' . x x �j��E�< ~�D�F B >�;�; =X'�.�/�0�'�.�/�1�' .�,�0�' .�,�1�\' .�/�0 x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�B�C V =�>�;�F B C ;mC D�K B e��z��L�(���L�bY:�F D�>�B ��\' .�/�1 x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�B�C V =�>�;�V < I�s�;mC D�K B�e�����]�(���]�bY:�F D�>�B �R\' .�,�0 x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�BUT�D�K �aF B C ;#C D�K B�e�����]�(X:�F D�>�B �R\' .�,�1 x x G�B [X= ~�B ?�:�D�>�B F ?�=�>a; s�BUT�D�K �aV < I�s�;mC D�K B e��z��L�(X:�F D�>�B ��\'�2 x x @U< ? D�T�F B ?mZ�< ? K V B ; < ` D�; < =�>Y= C$K E�T�B�C D�K B ? \

O G�D�>�I�BU< ?mE�>�V B ? ; V < K ; B ZR\w ��>�^Y? ; V < >�I�r�< ; sY>�=X? :�D�K B ?�< ?mD�F F = r#B ZR\�UJ�D�K B#>�D�[XB ?�D�V B#T�D�? B Z�=�>U~�< B r�< >�I�; s�B#K E�TRBjC V =�[�; s�B#:�=�? < ; < ~�Bj=�V ; s�D�>�; \$Q�B B#D�F ? =�J$< I�E�V Bm� ��\

3 t�.�6�5 7��B >�B V D�; BXDz:�D�V D�F F B F$:�F D�; BXK D�:�D�K < ; =�VU:�V =�T�F B [-C =�Vl< >�:�E�;U; =z/�t�� + 3 t�.�\z��V I�E�[XB >�; ?l[XD ^�T�B? :�B K < S�B ZY< >YD�>�^z=�V Z�B V \3 t�.�6�5 7�& '���� .�0�t�+�5p��5�.���)-& ' ��� .�0�t�+�5�����2�+�b���)*& '�.���7 4�� .�0�t +�5�����)

& ' 7�� 7 4�� .�t 7�5�0�����.�0�t +�5��R� 2�+�b���)�& '�5���1�5�0�5�2�6�5�.�t�7�5�0�����2�+�b���)& ' 7�t�� 3 (�7�2�7�t � 5���)*& '�2�)

3 t .�6�5�7z8�:�; < =�>�?8�:�; < =�>�@UB C D�E�F ;HG�D�>�I�B J�E�>�K ; < =�>'�� M$N co��MjN M�Q�:RB K < S�B ?�:�F D ; BU? B :�D�V D ; < =�>Y< >Y[XB ; B V ? \'�� c!N M���MjN M�Q�:RB K < S�B ?�:�F D ; B�r�< Z�; sY< >Y[XB ; B V ? \'�. igcRh�i$N�N�N�Q�:RB K < S�B ?�>�E�[�T�B Vm=�C$:�D�V D�F F B FR:�F D�; B ? \'�7 f�cRh�i$N�N�N�Q�:RB K < S�B ?�>�E�[�T�B Vm=�C$:�D�>�B F ?m:RB V�:�F D ; B�r�< Z�; sR\'�5 M$N conpM$N MqQ�:RB K < S�B ?�B Z�I�B�; =X< >�>�B Vm:�D�>�B FRr�< Z�; szV D ; < =�\' 7�t O�O Q�:RB K < S�B ?�K =�>�Z�E�K ; =�V�>�D�[XBUT�D�? B�\'�2 x x @U< ? D�T�F B ?#Z�< ? K V B ; < ` D ; < =�>a=�C$:�F D�; B ? \

Page 51: Fast Field Solvers

 �¡ ¢¤£U¥�¦ § ¨a©�ª « ª ¬ ª ­�§ ª ®�¯

° ±�²�³�²�´�²�µ�´�¶�·�¸¹° ºXºa»�·

° ±�²�³�²�µ�³�¶�´�²�·�¸¹° ºY»Uº�·

° ±�²�µ�±�¶�³�²�´�²�·�¸¹° »lº�º�·

¼

½

¾�¿ ¾�À

Á$ Ã�Ä�Å Æ » Ç�ÈjÉmÊ ÆUË�Â Ì Í Å Æ Î Â Ï Ð Î Â Ñ�ÒaÃ�Æ Ò�Æ Å Ð Î Æ ËYÓ�ÔaÎ Ê ÆUÍ Ñ�ÕXÕXÐ�Ò�Ë9Ö ×�Ø�Ù�Ú�Ù�ÛpÜ�Ý�Þ�Ì Ê Ñ ß� Ò�Ã Ê Ñ ß�Î Ê Æà Ð�Í Æ Ì�Ð�Å ÆU Ë�Æ Ò�Î Â á�Æ ËRâ ÉmÊ ÆUÐ�ã�Æ ÌmÐ�Å Æ�Î ßmÑXÄ�Ò� ΠÌmä Ñ�Ò�Ã�â

å æ Ò�Ô�Ì Î Å Â Ò�ÃYß�Â Î Ê Ò�ÑzÌ ç�Ð�Í Æ Ìl ÌUÐ�ä ä Ñ ß#Æ ËRâaèjÔ�Ë�Æ à Ð�Ä�ä ÎUÎ Ê ÆXÍ Ñ�Ò�Ë�Ä�Í Î Ñ�Å ÌlÐ�Å Æ�Ã� é�Æ Ò�Î Ê Æ�á�Å Ì Î�êÒ�Ä�Õ�Ó�Æ Å ÌmÐ�ÌmÒ�Ð�ÕXÆ Ì Þ�ß Ê Æ Å Æmêz Ì#Î Ê ÆUÒ�Ä�Õ�Ó�Æ ÅmÑ à ç�Ð�Ò�Æ ä ÌmÌ çRÆ Í Â á�Æ ËYß�Â Î Ê Ü�ë�â

Ø�×Rì Ú�Ù Ûí Æ Ò�Æ Å Ð�Î ÆlÐaÓ�Ä�ÌUÍ Å Ñ�Ì Ì Â Ò�Ãaç�Å Ñ�Ó�ä Æ Õ à Ñ�Å� Ò�ç�Ä�Î�Î Ñ ¾�î ì ½ Ö î ëRâ æ Å Ã�Ä�ÕXÆ Ò�Î Ì�ÕXÐ ÔzÓ�Æ�Ì ç�Æ Í Â á�Æ Ë9 ÒÐ�Ò�ÔYÑ�Å Ë�Æ Å âØ�×Rì Ú�Ù Û�ï Ü ±�²�ð�² À�ñ Ú ñ Û ±�ò�ó ï Ü ³�²�ð�² À�ñ Ú ñ Û ³�ò�ó ï Ü ´�²�ð�² À�ñ Ú ñ Û ´�ò�ó

ï Ü�Ö ð Ö ² Û�Ý�×RÖ ½ ² À ì�ô�Ø�×Rì ò�ó ï Ü õ ð õ ñ À Ù�õ ñ Ý ½ ¶�ò�óï Ü Û ð Û�×�ö�ë î Û�Ù ¿ ì�ô�õ ñ�À Ù�õ ñ Ý ½ ¶�ò�ó ï Ü�Ù ð À Ù ¿ Ù�Ý�Ú�Ù�ë î Û�Ù ¿ õ ñ Ý ½ ¶�ò�óï Ü Û î ð Û î ö�Ù�Ø î ì�Ù ò�ó ï Ü�Ý ó

Ø�×�ì�Ú�Ù�Ûz÷�ç�Î Â Ñ�Ò�Ì÷�ç�Î Â Ñ�Ò�øUÆ à Ð�Ä�ä ÎHù�Ð�Ò�Ã�Æ Á�Ä�Ò�Í Î Â Ñ�ÒÜ ±�² ú$û ú å ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Ó�Ä�Ì�Ñ�Å Â Ã� ÒXãYÍ Ñ�Ñ�Å Ë� Ò�Ð Î ÆU ÒaÕXÆ Î Æ Å Ì âÜ ³�² ú$û ú å ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Ó�Ä�Ì�Ñ�Å Â Ã� ÒXÔYÍ Ñ�Ñ�Å Ë� Ò�Ð Î ÆU ÒaÕXÆ Î Æ Å Ì âÜ ´�² ú$û ú å ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Ó�Ä�Ì�Ñ�Å Â Ã� ÒaÏUÍ Ñ�Ñ�Å Ë� Ò�Ð Î Æ� ÒYÕXÆ Î Æ Å Ì âÜ�Ö ýgþRÿ�ý û�û�û ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Ò�Ä�Õ�Ó�Æ ÅmÑ à Í Ñ�Ò�Ë�Ä�Í Î Ñ�Å Ì�ç�Æ ÅmÓ�Ä�Ì âÜ�õ þ û ú���újû ú ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Í Ñ�Ò�Ë�Ä�Í Î Ñ�Å#ß� Ë�Î Ê Â ÒYÕXÆ Î Æ Å Ì âÜ�Û ��þRÿ�ý û�û�û ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Ò�Ä�Õ�Ó�Æ ÅmÑ à ç�Ð�Ò�Æ ä ÌmçRÆ Åmß� ŠÆ�ß� Ë�Î Ê âÜ�Ù ú$û þ�� ú$û ú ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Æ Ë�Ã�Æ�Î ÑX Ò�Ò�Æ Åmç�Ð�Ò�Æ äRß� Ë�Î Ê Å Ð�Î Â Ñ�âÜ�Û î ��� ü çRÆ Í Â á�Æ Ì�Í Ñ�Ò�Ë�Ä�Í Î Ñ�ÅmÒ�Ð�ÕXÆUÓ�Ð�Ì Æ�âÜ�Ý � � øUÂ Ì Ð�Ó�ä Æ Ì#Ë�Â Ì Í Å Æ Î Â Ï Ð Î Â Ñ�ÒaÑ à Í Ñ�Ò�Ë�Ä�Í Î Ñ�Å à Ð�Í Æ Ì â

å ù�Ð�Ò�Ã�ÆU ÌmÄ�Ò�Å Æ Ì Î Å Â Í Î Æ ËRâ

Page 52: Fast Field Solvers

� � ��������� ����������������

! "�#%$'& ( ) * #�+-,�* ( .'#�/0& 1�23 4 &5* &�26 6 / ,74 8:9<;=$'8�4 > 2%?�6 (�( .�4<3 /#�8�?�3 ( /) &52%) 4<+%* @%4 #A( .�4<BC) & (<DE#F?FG�HC4 ) &72%&7#�2%G-4 & I�,�.�4 ) 45E�* &�( .�45#F?�G<H:4 )�/ >�3 /#�8�?�3 ( /) &�1:4 )�H�?�&7& 1:4 3 * BC4 80,�* ( .AJ�K%9

LCM L�N%O%P�N QR�4 #�4 ) 2( 4�2�1�2) 2%6 6 4 6 4 1�* 1C4 8�1�) /%H�6 4 GS> /)�* #�1�?F(�( /<TFU�V W:KU L 9�"�) +?�G-4 #( &�G-2 $XHC4�& 1C4 3 * BC4 8X* #2#%$0/) 8�4 ) 9

LCM L�N%O%P�N QZY JFK[]\^`_�aFb%c Y JFK�de\%^�_`aFb%c Y JFK%f�\%^�_`aFb%c Y JFKg`\%^�_�a�bcY J Q \ QFh%i]L U Q�NFj V%kFV M O�N b%c Y J N \[ N%j`N%O%P�NlL U Q�NFjem:M O W%nCbcY J Q U%\ Q U i�N bc Y J W�c Y J o�c Y J L c Y J L T j c Y J L TF[%c Y J L o j c Y J L o�[%c Y J O c

L:M LCNOFPFNQ'p 1F( * /#�&p 1F( * /#rq54 > 2%?�6 (ts�2#�+%4 uC?�#�3 ( * /#JFK[wv x�x`xFy{z |F1C4 3 * BC4 &�1�2) 2%6 6 4 6 4 1�* 1C4 8X) 4 > 4 ) 4 #�3 453 /) #�4 ) 9JFK�d}v dex`xFy{z |F1C4 3 * BC4 &7BC) & (�1�2%) 26 6 4 6 4 1�* 1:4 8X3 /) #�4 ) 9JFK%f~v x]dlxFy{z |F1C4 3 * BC4 &�& 4 3 /#�8A1�2%) 26 6 4 6 4 1�* 1:4 8X3 /) #�4 ) 9JFKgwv x�x�dy{z |F1C4 3 * BC4 &7( .�* ) 801�2) 2%6 6 4 6 4 1�* 1C4 8X3 /%) #�4 ) 9J Q g d:��f��F�%��|F1C4 3 * BC4 &�#%?�G�HC4 )7/>�1�2#�4 6 &71:4 )�> 2%3 454 8�+49J N x�� d���x�� x�|F1C4 3 * BC4 &�4 8�+%4�( /�* #�#�4 )71�2%#�4 6:,�* 8F( .0) 2( * /F9J Q U � d%��! |F1C4 3 * BC4 &�3 /%#�8�?�3 ( /%)7#�2%G-4 9J W � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�4�( /10> 23 4 I�K�d J�K [�JFK%f-1�6 2%#�4 �:9J o � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�45HC/( ( /G�> 23 4 IC1�2%) 26 6 4 6C( /<( /%1F�C9J L � � �=�%?�* @2%6 4 #%(7( /XJ L T j J L T%[]J L o j J L o�[�9J L T j � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�4�> ) /#%(�6 4 > (�> 2%3 4I�KFdJFK[FJ�K g01�6 2%#�4 �:9J L T%[ � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�4�> ) /#%(�) * +%.(7> 23 4 I�K%f%J�K [�JFKg01�6 2#�4 �C9J L o j � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�45H�23 �06 4 > (7> 2%3 4I�1�2%) 26 6 4 6C( /�> ) /#%(�) * +.%( �C9J L oF[ � � s�4 G-/ @%4 &�1�2#�4 6 &7/%#X( .�45H�23 �0) * +.%(7> 23 4 IC1�2) 2%6 6 4 6C( /�> ) /%#(�6 4 > ( �C9J O � � q�* & 2%H�6 4 &78�* & 3 ) 4 ( * � 2 ( * /%#X/>�1�2) 2%6 6 4 6 4 1�* 1C4 8-> 23 4 & 9

z s�2#�+%45* &7?�#�) 4 & ( ) * 3 ( 4 8:9! "�#%$0& ( ) * #�+�,�* ( .0#�/-& 1�23 4 &�* &72%6 6 / ,�4 8:9�FuC2%3 4�#�2%G-4 &72) 4�H�2%& 4 80/#X@F* 4 ,�* #�+5( .�4�1�2%) 26 6 4 6 4 1�* 1:4 8�> ) /%G�( .�451C/%& * ( * @%4�/%) ( .�2#%( 9=|F4 4�2%6 & /u�* +?�) 4�� � 9

L _F[FU PFNQR�4 #�4 ) 2( 4=2�1$�) 2G-* 8<3 2%1�23 * ( /)�1�) /H�6 4 G�> /%)�* #�1�?F(�( /�T�UFV WCK%U L 9="�) +%?�G-4 #%( &�G-2 $5H:4=& 1:4 3 * BC4 8* #02#%$0/) 8�4 ) 9

L _F[FU PFNQZY J%^F�F\%�%[ MP�M Q ^�bc Y J_��%\F�[ M PCM Q _Fb%c Y J%aF�F\%�%[ MP�M Q a�bcY J%^nC\ n NFMP nFWF^�bc Y J_%n�\n N�M P n%W�_Fb%c Y J%anC\ n NFMP nFWFa�bcY J Q \ Q%hFi`L U Q�NFj V%kFV M O�N b%c Y J N \%[ NFj`NOFPFNlL U Q�NFjlmCMO WFn�b%cY J Q UF\ Q U iCN b%c Y J o�c Y J L c Y J L T j c Y J L T%[Fc Y J L o j c Y J L oF[Fc Y J O c

Page 53: Fast Field Solvers

�F� �{�5�� � �X��� � � � � �C� � �% 

¡�¢�£�¤ ¥<¦X¥§ ¡¨X£�¤ ¦0¥-¥ §

© ¡ ª0£�¤ ¥-¥-¥ §

¡ «0£�¤ ¥-¥<¦%§

¬

­F® ­ ª

¯�° ±²�³ ´ ¥ �Fµ<¶7· ´-¸�° ¹ º ³ ´ » ° ¼ ½» ° ¾¿'±%´ ¿�´ ³ ½ » ´ ¸�À%Á'» · ´-º ¾%Â-Â-½¿�¸'ÃCÄ Ã�Å%Æ%Ç�Å È�É ¡ ªS¢�¢�¢ É ¡�¢�¢Ê ¢ É ¡¨ Ê ¢�¢ É ¡«�¢�¢ Ê ÉÆCË:¹ · ¾ Ì�° ¿�± · ¾ Ì]» · ´�Í ½%º ´ ¹�½³ ´<° ¸�´ ¿%» ° ÎC´ ¸:Ï ¶7· ´<½ÐF´ ¹�½³ ´5» Ì7¾²�¿�° » ¹7Ñ ¾¿�±�Ï

Ã�Ò ª�Ó Ç�Å È'Ô�ÕF» ° ¾¿�¹Ô�ÕF» ° ¾¿×Ö�´ Í ½²�Ñ »ÙØ�½%¿�±´ ¯C²�¿�º » ° ¾¿ÉÚ�Û Ê�Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0¾³ ° ±%° ¿-Ð0º ¾F¾%³ ¸�° ¿�½ » ´5° ¿XÂ-´ » ´ ³ ¹ ÏÉÒ�Û Ê�Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0¾³ ° ±%° ¿-Á0º ¾F¾%³ ¸�° ¿�½ » ´5° ¿XÂ-´ » ´ ³ ¹ ÏÉß�Û Ê�Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0¾³ ° ±%° ¿X¼5º ¾F¾%³ ¸�° ¿�½ » ´�° ¿0Â-´ » ´ ³ ¹ ÏÉÚ%à ¢ Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0À�½¹ ´5´ ÐFº ²�³ ¹ ° ¾¿0Í ³ ¾Âá¾%³ ° ±° ¿X° ¿XÐ0¸�° ³ ´ º » ° ¾%¿:Ë�Â-´ » ´ ³ ¹ ÏÉÒ%à ¢ Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0À�½¹ ´5´ ÐFº ²�³ ¹ ° ¾¿0Í ³ ¾Âá¾%³ ° ±° ¿X° ¿XÁ0¸�° ³ ´ º » ° ¾%¿:Ë�Â-´ » ´ ³ ¹ ÏÉß%à ¢ Ü Ê}Ý Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸ · ´ ° ± · »�½»�½Õ:´ Ð ¤ ¼5¸�° ³ ´ º » ° ¾%¿ § Ë�Â-´ » ´ ³ ¹ ÏÉ È «â¢�ã'¨ Ü%ÜFÜäÞ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�¿F²�Â<À:´ ³�¾ Í�Õ�½%¿�´ Ñ ¹7Õ:´ ³�º ²�À:´5´ ¸�±%´ ÏÉ%Å Ê�Ü ¢�å Ê=Ü Ê�Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�´ ¸�±´�» ¾-° ¿�¿�´ ³7Õ�½%¿�´ Ñ�Ì�° ¸F» · ³ ½ » ° ¾�ÏÉ È Ó æ ¢ç�è Þ Õ:´ º ° ÎC´ ¹�º ¾¿�¸�²�º » ¾³�¿�½Â-´ÏÉ é ê ê Ø�´ Â-¾ ë%´ ¹�Õ�½%¿�´ Ñ ¹�¾¿X» · ´5À:¾ » » ¾%ÂSÍ ½%º ´ËCì £ ßFÛ-Õ�Ñ ½%¿�´ í:ÏÉ Ã ê ê î=ïF²�° ë½Ñ ´ ¿»�» ¾-Éà ­�® Éà ­ ª É ÃFé ® É ÃFé ª ÏÉ Ã ­F® ê ê Ø�´ Â-¾ ë%´ ¹�Õ�½%¿�´ Ñ ¹�¾¿X» · ´�Í ³ ¾%¿»�Ñ ´ Í »7Í ½º ´ í:ÏÉ Ã ­ ª ê ê Ø�´ Â-¾ ë%´ ¹�Õ�½%¿�´ Ñ ¹�¾¿X» · ´�Í ³ ¾%¿»�³ ° ± · »7Í ½%º ´ íCÏÉ ÃFé ® ê ê Ø�´ Â-¾ ë%´ ¹�Õ�½%¿�´ Ñ ¹�¾¿X» · ´5À�½%º ðXÑ ´ Í »�Í ½%º ´ íCÏÉ ÃFé ª ê ê Ø�´ Â-¾ ë%´ ¹�Õ�½%¿�´ Ñ ¹�¾¿X» · ´5À�½%º ðX³ ° ± · »7Í ½º ´ í:ÏÉÆ ê ê Ö5° ¹ ½À�Ñ ´ ¹7¸�° ¹ º ³ ´ » ° ¼ ½» ° ¾¿0¾ Í�º ²�ÀC´�Í ½%º ´ ¹ Ï

Ý Ø�½¿�±%´5° ¹7²�¿�³ ´ ¹ » ³ ° º » ´ ¸:Ïè ñ ¿%Á0¹ » ³ ° ¿�±�Ì�° » · ¿�¾-¹ Õ�½º ´ ¹�° ¹7½%Ñ Ñ ¾ Ì�´ ¸:Ïí0¯C½%º ´�¿�½Â-´ ¹�½%³ ´<À�½%¹ ´ ¸'¾%¿AëF° ´ Ì�° ¿�±-» · ´<Õ%ÁF³ ½%Â-° ¸0Í ³ ¾%Âá» · ´<Õ:¾¹ ° » ° ë%´<¾%³ » · ½¿%»�° ¿'½XÂ-½¿�¿�´ ³½¿�½%Ñ ¾±%¾²�¹�» ¾�» · ´ ¡ ò é�Å%ÇFÅÈ0º ½¹ ´Ï

Page 54: Fast Field Solvers

óô õ÷ö7ø�ù0ú=û ü�û ý<þ`ÿ�õ�����ö�õ�ú

������� � ������������ ����������� !� � "�!# $ % � $ % & � '#$)( *�*#+� *�( $ % &��, $)*#�-� ��./#0�/�132 4/�5���� !�6� $ ( $ , % � ,)% $ ( &� � '#$+7$ % 8-� � '�� 9-:; <�=

���� �������?> �@)2 AB� ��./#0�/�132 4/�5?>#C#@B> �7D32 D#D7E����F���� �������F*��F&HG7�$ ( 9F6� I , % $ � J $ 6K< LNMO< LNMO<�LN, �P7$���� !FJ $ % *H*#% 6$ %Q$ R�+&#�I � *��ITS *#%I +7$ $ 6K&#�6FI $ '#$ �K+&#% � � *��� �"H( $ '#$ ( IT *-, *#�I $ % '#$�8-$ 8-*#% 97=

� 5�U/#V�/�4?> 4@�DW>��#A32 DYXZ���� �������?>�[#DW>�C�\��������� �7�#� �]*#�^ !$Z:FM]:OP�IH, % *#I I � �"O+% *�P( $ 8Y��� !^G'#$Z��� S *#% 8Y+&#�$ ( IH&�( *#�"KI !*#% $ 6"#$ I =

U#5�� V/ 4?>�/E 2 DW> 47A_>� @`XZ���� �7�#� �����K���� �7�#� �O��� !K*#% 6$ %�J $ % *Z$ R�+&#�I � *��I� *Z"#$ �&Z% *#�"�!O� 6$ &Z*�S3 !$�( &#% "�$ %�, &#+&�, � &��, $ IS *�%Q&Za b�8áóHM'óHP�I�, % *�I I � �"-$ 8HP7$ 66$ 6K� �FI � ( � , *��Z6� * R� 6$ =

U#5�� V/ 4?>� cB> d71 e7>#fYXZ���� �7�#� �?>���@T2 gW>�[#D

hjilk-monOp q p rKsotFuHv wQixuHn

y &#% G7( $T, *��# &�� �� �"� !$QI *#�% , $QG7( $ I S *#%3���� �������7z#U�57��V�/�47z�������V/ 4�z7� 5�U�V/ 4-&��6� !� I3"#�� 6$ z&�I)�Q$ ( (�&#IT&�( ( !$��$ �� % &�(7G7( $ IT� Q6$ I , % � P7$ I z8-& 9ZP7$�*�P� &#� �$ 6Z*#�- &�+�$�P#9ZI $ �6� �"H&���% � $ �% $ {��$ I � *

|)% * S }�~�&�, *�PF�_!� $�F&#I I &�, !��I $ I�� �I � �� $�* S3� $ , !�*�( *#" 9��$ +&�% 8-$ �� �*�S3�)( $ , % � , &#(��)�"#� �$ $ % � �"H&#�6K�T*#8-+�� $ %���, � $ �, $��*�*�8�:���� ô%ô���T&�8HP% � 6"�$�z7� y �#a�� :#�H��} �7} y }

�Q!� I�&#66% $ I I�8-& 9K&#( I *-P�$��I $ 6KS *#%�"�$ �$ % &#( , *#% % $ I +�*��6$ �, $H% $ "�&#% 6� �"-���� �7�#� ��z�&�( !*#�"�!$ ( $ , % *#�� ,Q8-&#� (�8-& 9-P�$QI $ �� T *����� �������>�U#5V#��0���/#>����#�32 ��� �Q2 /�C#57z�S *�%)P�"�% $ +�*�% I z&��6H *���� ����������0���/#>����#�32 ��� �Q2 /#C�5�z�S *�%Q{��$ I � *#�I�*�%Q, *�8-8-$ �� I z7� S3� Q� IQ8-*#% $�, *��#'#$ �� $ �� }�Q!$� &#%TG7( $�!&#IT !$�S *#% 8���� �������>�132 D#>�1#A���#��g�132 ��#0)2 �

&��6F9�� $ ( 6IQ&� �T*-( $ '#$ ( 6� % $ , *�% 9Z % $ $���!$ �K��� &#% % $ 6F��� !Z !$�, *�8-8-&#�6I5#4���[��#�0�/�#�_���� �������>�132 D#>�1#A���#��g�132 ��#0)2 ���#0_�#���W���� �������>�132 D#>�1#A���#��g�132 ��#0

�Q!$F *#+�� ( $ '#$ (�6� % $ , *#% 9�� I-, &�( ( $ 6����� ��������&��6�!&#IHS *#�%-I �P�6� % $ , *�% � $ I }W�Q!$O6� % $ , *�% 9���� ��������� 07�-, *#�� &#� �IQ&#( (7 !$��_I *��% , $�G7( $ I � !$�� � � �� G7( $ ITS *#%T !� IQ8-&����&�(�&�% $�S *#��6F� ����� ��������#C�[�#z&#�6H���� �7�#� �7�#/#�����#�7�#/��, *#�� &#� �I !$Q$ R�&#8-+( $)G7( $ I }3�3R$ , �� &�P( $ I)&�% $QI *#% $ 6� �Z !$����� ���������U7� 4K6� % $ , *�% 9F&�S $ %Q, *�8-+� ( &� � *��Z�I � �"H !$�+% *�, $ 6�% $ I�6$ I , % � P�$ 6KP7$ ( * ��}

Page 55: Fast Field Solvers

���  ¢¡�£ ¤ ¥¦�§ ¨T©)ª�«�¬�­ § ¥�¨ ­ ª�®-¯)° ª�± £ ²�¦�° £ ³�´

µB¶ ·¹¸Wº�» ¼)½�¾ ¿WÀ�ÁTÂlÃ�Ä ¾ ¼ ¿7Ä ÁTÅYÆ^Ç7ÁQÈ�º É�½�ǺÊQËÌ�ÍÌ Î Ï#ÐÑ ÒQÓ#Ì Ô Õ Ö ×#ØF×�Î�Ò ËÌ�Ì Ù�Ì Ú Ð�Ò Ï#ÛÑ Ì�Ü�ÝÞ ß�à�Ý�áFÖ ÕQÚ ×�â-ãÖ Ñ Ì ÍäQÛ�åFÚ ËÏ#Øæ�Ö ØæHÒ ×�Ò ËÌ�Ò ×#ã�ç Ñ Ì Ó#Ì ÑÍÖ Ô Ì Ú Ò ×�Ô å#è7Ü�ÝÞ ß�à�Ý�á7è�Ï�ØÍFÒ åãÖ Øæ

é Ý�êëWÝ#ì�ì

Ò ×OÖ ØÕ Ò Ï�Ñ Ñ)Ò ËÌZÌ ÙÌ Ú Ð�Ò Ï�ÛÑ Ì ÕHÜÝ�Þ ß7à#Ý á�è)í#î�Þ ïë ð�è�à�Ý�á�ïë ð]Ï#ØÍ�à î#í7ë�ïë ð]Ö Ø^Ò ËÌFÜ�ÝÞ ß�à�Ý�áñ�í7ò ðÍÖ Ô Ì Ú Ò ×�Ô å#ó^ô�Ñ Ò Ì Ô ØÏ�Ò Ö Ó#Ì Ñ å�Ï#Ø�å]× Î�Ò ËÌZÌ Ù�Ì Ú Ð�Ò Ï#ÛÑ Ì Õ-â-Ï å�Û7ÌFÚ ×#â-ãÖ Ñ Ì Í�Ï�Ñ ×#ØÌ ó�õ7×�Ô�Ì Ù�Ï#â-ãÑ Ì èö é Ý ê7ë�ÜÝ�Þ ß7à#Ý á÷-ãÔ ×�ÍÐÚ Ì Õ�×#ØÑ åZÜÝ�Þ ß7à#Ý á�ó

µB¶ øúù�Ã�º È Ä ¼T¾ZÀ^ÁQÂlÃ�Ä ¾ ¼3¿7Ä ÁQÅYÆ^ÇÁ�È�º�É�½�Ç7º�ûü ÎTÜ�ÝÞ ß�à�Ý�áKÖ Õ�Ú ×#Ø�ý7æ�ÐÔ Ì ÍFÒ ×ZãÔ Ö Ø#Ò�Ì ÙÌ Ú Ð�Ò Ö ×�ØKÒ Ö â-Ì�Ö Ø�Î ×#Ô â-Ï Ò Ö ×#ØFÛ�åKÕ Ì Ò Ò Ö Øæ-Ò ËÌ�þ7ÿ ������þ��7Ï�æÖ ØZÞ �7à�ñ é î7ì�ì��íÝ�ì�� -Ò ×����� Õ Ì Ì�Ê Ï�ÛÑ Ì��� è�Ï�Ø-Ï�Ñ Ò Ì Ô ØÏ Ò ÌQÚ ×�â-ãÖ Ñ Ï�Ò Ö ×�Ø�ãÔ ×�Ú Ì ÍÐÔ ÌQÖ Õ)ØÌ Ì ÍÌ ÍHÒ ×Ï�Ú Ú ×#ÐØ�Ò�Î ×�Ô�×�ã�Ì Ô Ï�Ò Ö Øæ-Õ åÕ Ò Ì âYÍÖ ��Ì Ô Ì ØÚ Ì Õ ó�Ê ×ZÚ ×�Ø�ý7æ#ÐÔ Ì�ÜÝ�Þ ß7à#Ý á7ñ�Þ�à#ñ �7Ý ê7ë�Ü7ò�ì�ë�è)Ú ËÏ�Øæ#ÌÒ ×�Ò ËÌ�Ò ×#ã�ç Ñ Ì Ó#Ì Ñ�ÍÖ Ô Ì Ú Ò ×#Ô å�è7Ü�ÝÞ ß�à�Ý�á7è�Ï#ØÍZÒ å�ã�Ì

à�ð�Ü7ò ï��Î ×�Ô ³ ó �H×�Ô ³ ó �������BÕ åÕ Ò Ì â-Õ è

à�ð�Ü7ò ï �

Î ×�Ô��#åÕ Ò Ì â"!?Õ å�Õ Ò Ì â-Õ�×�Ôà�ð�Ü7ò ïBÝò #

Î ×�ÔHü ��$ ô�ü % Õ å�Õ Ò Ì â-Õ ó�ÊQËÌFô�ü %NÚ ×�Ø�ý7æ#ÐÔ Ï Ò Ö ×#Ø�Ö ÕHÔ Ì Ú ×�â-â-Ì ØÍÌ Í�Î ×#Ô�ô�ü %NÕ åÕ Ò Ì â-Õ-Ì Ó#Ì Ø& ËÌ ØOÜ�ÝÞ ß�à�Ý�áKÖ Õ�Ø× Ò�Ú ×�Ø�ý7æ#ÐÔ Ì ÍKÒ ×-ãÔ Ö Ø#Ò�Ì Ù�Ì Ú Ð�Ò Ö ×#ØFÒ Ö â-Ì�Ö Ø�Î ×�Ô â-Ï�Ò Ö ×�Ø�óTô�Ñ Õ ×-Ú Ì Ô Ò Ï�Ö Ø��('*)Ú ×#â-ãÖ Ñ Ì Ô ÕQÔ ÐØF×#Ð�Ò�× Î3Õ ãÏ#Ú Ì�ÍÐÔ Ö Øæ�Ò ËÌ�Ú ×�â-ãÖ Ñ Ì�ó3õ7×#Ô)Ò Ë×#Õ Ì�â-Ï#Ú ËÖ ØÌ ÕQÐÕ Ì

à�ð�Ü7ò ï�+ë�à

ÊQËÌ�ÍÌ Î Ï�ÐÑ Ò�Ú ×#Ø�ý7æ�ÐÔ Ï�Ò Ö ×�ØFâ-Ï åFÛ7Ì�Ô Ì Õ Ò ×�Ô Ì ÍKÛ�åZÒ å�ãÖ Øæ

à�ð�Ü7ò ï,_Ö Ò Ë�Ü�ÝÞ ß�à�Ý�áñÞ �7à�ñ�Ý�êë#Üò#ì#ë�Ú ×�Ø�ý7æ#ÐÔ Ì Í�è#Ì Ù�Ì Ú Ð�Ò Ï#ÛÑ Ì Õ3Ï#Ô Ì)Ú ×�â-ãÖ Ñ Ì Í�Ï#Õ Ö Ø�Ò ËÌ)ÍÌ Î Ï�ÐÑ Ò3Ú Ï�Õ Ì�ó

µB¶ - À�ÁTÅ/./0Q½�Ç7¼ ¿7Ä ÁTÅ21K¾ ¼30)ûÊQËÌ�ý7Ñ Ì-Þ �7à�ñ é î7ì�ì��íÝ�ì�� ^ÍÌ ý7ØÌ Õ/�7Ï�æ#ÕQÒ ËÏ�Ò�Ú ×#Ø�ý7æ�ÐÔ Ì�Ò ËÌ�ÍÖ Õ Ú Ô Ì Ò Ö 4 Ï Ò Ö ×#Ø�è�â�ÐÑ Ò Ö ã�×�Ñ Ì�Ï#ØÍ×�Ð�Ò ãÐ�Ò�Ô ×�Ð�Ò Ö ØÌ Õ�ÐÕ Ì Í^Ö ØKÒ ËÌHÌ ÙÌ Ú Ð�Ò Ï�ÛÑ ÌHÜÝ�Þ ß7à#Ý á�óHÊ Ï�ÛÑ Ì��-ÍÌ Õ Ú Ô Ö Û�Ì Õ�Ò ËÌH×�Ð�Ò ãÐ�Ò�Ú ×#Ø�ý7æ�Ð�çÔ Ï Ò Ö ×#Ø��7Ï#æ�Õ�Ö ØFâ-×�Ô Ì�ÍÌ Ò Ï#Ö Ñ ó5 6 7 8:9 ;=<?>=9 @BA C A D E F�A G H D:H A:8 E I 7 FJF*E KL E L*D MN D=O P Q RS P TU Q VS U W P X Y OZ [ Y=\E]8 E I 7 K ^ _ ` 8 E L*\E a 7 8 E�I 7 F*b

c H d N D H 7 K/`A H K _JD M E c 8 7 I E L ` 8 E3L E A I 8 H \E L�H K(e E I D H 7 K(>3f g f

Page 56: Fast Field Solvers

h i jlkJm�npo3q r=q s�t�u�j/v=w*k�j/o

x�y z�{}|/~ � z��y � x:����� � � ��������������� ����3� � ��� �*� ��~(� ������~ � � � � ~ �p� z��z�� � � z���� ~(��z� � � �:�

������3� � ��� �J���� ��� ��{���������������� ����3� � ��� �*� ��~(� �����z�����y � ��~/z � {����~ �� � �

������3� � ��� �J���� ��� ��{����������������� ����3� � ��� �*� ��~(����� ������~ � � � � ~ �p� z��z�� � � z���� ~(��z� � �:�

������3� � ��� �J���� ��� ��{��  �������������� ����3� � ��� �*� ��~ � ~ � � ����zy=��� � �"z� � ~ � ~ z� ��� � ~ � z � � ���¡�

������3� � ��� �*� ��~(� � ~ � z � � ���������£¢:~ � z� � ~ � ~ z�� �p� � ~ � z � � ���¡��¡  ������������ ����3� � ��� �/zp� ������z � �B��J¤ �3¥ � � ��~�z����B��~ ��� � �B��� ¦

z�{~��§J� ��~ �/z � ~£����y � � ~ �:� � � ~ �¨� �3©�ª�« ¬:­�ª ®¨� �/� ��£¦��� y ~ ����� � ��{£� ��~(� � ��� ~ ��� � ~(��3¯�~ � � � ���°(� ±��

������3� � ��� �J���� ��� ��{������²����������� ����3� � ��� �J� � � ~(� ���³:{�� � z � � ����´:z�{� �

������3� � ��� �J���� ��� ��{����µ�¶����������� ����3� � ��� �J¢ � � ~ ������y � � �¡�y ~�� ~ � ����� ��� � � ��z� � ��¡�

������3� � ��� �J���� ��� ��{���¡ ��� ·��¸���� ����3� � ��� ��� ������z � ��� �¡� ��¢¡~*� ��¹��y ¹�~ ��~ ���3¢�£��z � � � � � ���¦

� ��{�y ~ ¹�~ y �������3� � ��� �J���� ��� ��{��

���������������� ����3� � ��� �B� ��~º�����£¢:~ � ��p����y � � �¡�y ~¨� � z���� � � � ��z� � ����z� � � � ~ �*� � � z�y y¡�:��� � � ¢�y ~/� ��¢:~(��z�� � � ��{� �

������3� � ��� �J���� ��� ��{���¡ ��� ���¸�� ����3� � ��� �J� � � � z�� ~/³:y ~(� ��� � � ��z� � ��¡�

������3� � ��� �J���� ��� ��{��

§]z¢�y ~»±�¼½©�ª�« ¬:­�ª ®����� �����¾� ����³:{� � z� � ��¿� ������ y ~À´:z{��ÂÁ ��~ ³:��~ ��� �©�ª�« ¬¡­ª®�Ã�« Ä:­ÃÅ�Æ:Ç ² Ç�ÈÉ�ª�Ç�Ê Ë�Ì �

Page 57: Fast Field Solvers

Í�Î ÏÑÐ3Ò Ó�Ô¡Õ�Ö × Ø�Ù�Ú Û�× Ü(Ý�Õ× Ô�Þ/ßØ:Ô�à/Þ á ß�Ú Þ Ô�â�Ó�Ö Õã�Þ Ø:Ú Ü ä�å

æ ç è�é¨ê:ëJì�í�î]ï ð�ñóò:ô/ï õ÷ö�í/ï ì/ø ù*ð�ìûú?ø]ü ù]ò�ø]ìþý÷ë�î]í/ÿóø�ð3ò�õ� ��� ����� ��� � ��� ���� � � � � �� ��������� ����� ����� ����

� � �! � �"�#���$

� �%�� ����&�� �'� ��� � �)( *�+�,.-� � /�#�01( *�+�,�������*1( *�+�,�2��� � ���1( *+�,%� �3� ���4��� � � � � ��� �3����� ����� ��5*�6���78.���1-� �4#�01( *�+�,�9�� ��� � 2 � � /:� ���.&�/ � � ; /'9�&�� ��� �<%��� �4�����*1( *�+�,32��� � ���.( *�+�,��� ����&�� �.� � �� � ��� /� =:� <1�>2�� � � � � /.��� / � � � ?�� ��9@� ���32� 9��� � � ��AB&�/ � �C?�C����� ������7